数学解説 - 札幌市中央区の学習塾個別ゼミWill宮の森校

学力テストC　過去問解説
個別ゼミＷｉｌｌ宮の森校　作成
【問題】
平成26年度　学力テストCより
y  ax 2
右の図のように、関数　（aは正の定数）と、
関数　（ｂは正の定数）のグラフの交点A、Bのｘ軸
y  xb
y  xb
座標はそれぞれ－1、2、とします。また、関数　の
グラフとｘ軸との交点をC（-2、0）とします。
【問1】a、ｂの値を求めなさい。
y  ax 2
【問2】△AOB＝△POCとなる点Pが、関数　のグラフ
上の原点Oと点Bの間にあるとき、点Pの座標を求めなさい。
【考え方】
関数の式の決定は、座標の代入が基本であり、C（-2、0）が直線状の点なので、それを使えばｂを求
めることができる。ｂが分かれば、A、Bの座標も整数で表すことができる。
座標を求める問題では、座標を文字で置くことが基本。座標を文字で置いて、問題の条件に合うように
方程式を立てる。Pのｘ座標をｔとおいて、△AOB＝△POCから方程式を考えていこう。
※共通の辺があって面積が等しい場合、等積変形で解く場合が多い。
【解法】
【解法のポイント】
y  xb
にC（-2、0）を代入すると、ｂ＝2
ｙ＝ｘ+2となるので、A（-1、1）　B（2、4）となる。
y  ax 2
にAまたはBを代入して、a＝1
答　a＝1　ｂ＝2
Pのｘ座標をｔとすると、
t2
△POC＝2×　÷２
△AOB=POCより、
t2  3
t 3
y  xb
どちらの関数の式も、不明の値は1つ。
よって、それぞれ座標は1つずつ必要。
※不明の値の個数＝解くのに必要な情報数
△AOB＝2×（1+2）÷2
＝3
※ｙ軸で面積を二等分にして求める。
面積の求め方の解説は2学期末解説にて掲載済み）
←ここで±を忘れるな！
Pのｘ座標をｔとすると、P（ｔ、　）となる。
t2
0≦ｔ≦2より
P
t 3
C
答
さほど難しい問題でありま
せんが、この2次方程式の
解き方を間違う子が多数出
ます。因数分解以外の二次
方程式の解き方を忘れてい
る子もいますが、最も多い
のは±をつけずに答えを出
すミスです。高校生でも、数
学を苦手としている子は同
様のミスを多発します。この
ミスは高校の三角関数では
致命的！
y  ax 2
P( 3 ,3)
O
△POC＝OC×Pのｙ座標÷２
PはOとBの間なので、0≦ｔ≦2
【問題】
平成26年度　学力テストCより
右の図のように、正三角形ABCの辺BC上に点Dをとり、ADを
1辺とする正三角形ADEをつくります。ACとDEの交点をFとする
と、△ABD∽△AEFとなります。
【問1】△ABD∽△AEFであることを証明しなさい。
【問2】AB＝12ｃｍ、BD＝4ｃｍのとき、CFの長さを求めなさい。
【考え方】
角度が等しいことの証明で、別々の角の和が等しくなることや、同じ大きさの角（60°や90°）から
共通の角を引いていることを利用して証明していきます。この問題では両方をつかって解いていき
ます。問2は辺の比の問題ですが、問1以外の相似の図形を使っていきます。
【解法】
【解法のポイント】
【問1】
△ABDと△AEFにおいて
仮定より、∠ABD＝∠AEF＝60°・・・・①
∠BAC＝∠DAC＝60°より
∠BAD＝60°－∠DAF・・・・②
∠EAF＝60°－∠DAF・・・・③
②③より、∠BAD＝∠EAF・・・・④
①④より、二組の角がそれぞれ等しいので、
△ABD∽△AEF
∠BAD+∠DAF＝60°
∠EAF+∠DAF＝60°
よって、∠BAD＝∠EAF
正三角形の一つの角は60°を利用
【問2】
問題文から△AEFの辺の長さが一切分からないため、
△ABD∽△AEFでの辺の比は使えない。
求めたいのはCFなので、CFを含む三角形を考えると、
△DCFのみとなる。
△ABDと△DCFにおいて
仮定より、∠ABD=∠DCF＝60°・・・・①
①より、
∠BAD+∠ADB＝120°・・・・②
直線BCで∠ADE＝60°より
∠CDF＋∠ADB＝120°・・・・③
②③より
∠BAD＝∠CDF・・・・④
①④より、2組の角がそれぞれ等しいので、
△ABD∽△DCF
よって、AB：DC＝BD：CF
12：8＝4：CF
8
CF=
3
答
CF 
8
3
△ADBで、∠ADB＝90°より
∠DAB＋∠DBA＝90°・・・①
直線DEで、∠BAC＝90°より
∠DAB＋∠EAC＝90°・・・②
①②より、∠DBA＝∠BAC
※60°の正三角形でも同様のことができる。
この相似問題は、定番問題です。合
同証明や相似証明のときに必ず教え
る角が等しいことの証明方法です。
多くの問題集でも取り扱いがあるの
で、触れる機会は多いですが、解け
ない（気付けない）子が多い問題でも
あります。それは、この解き方をする
ときの判断方法を知らないからで
す。問題を解くときに、問題文には解
き方のサインがあります。それに気
付けるようになるための学習が大事
です。

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