数学問題

Ｈ20
１
□
広島県
公立
数学問題
数-08-公-広島-問-01
次の問１∼問８に答えなさい。
問１ 16÷(5＋3) を計算しなさい。
問２
2
1
＋
9
6
を計算しなさい。
問３ (−7)×(−4) を計算しなさい。
問４ 8(x＋y)−5(x−y) を計算しなさい。
問５下の連立方程式を解きなさい。
4 x＋ y＝−5

2 x＋3 y＝5
問６
50 ÷ 2
を計算しなさい。
問７ (x＋4y)(x−4y) を展開しなさい。
問８方程式
２
□
x2＋8x−20＝0 を解きなさい。
数-08-公-広島-問-02
次の問１∼問３に答えなさい。
問１右の展開図を組み立てて立方体をつくります。下の①∼④は
それぞれ，この立方体の 2 つの頂点を結ぶ線分です。①∼④の
中で，最も長いものはどれですか。その番号を書きなさい。
① 線分 AP
② 線分 BP
③
線分 CP
④ 線分 DP
問２右の図のように，AD // BC，BC＝2AD の台形 ABCD があり，
辺 AB の中点を E とします。辺 CD 上に EF // BC となるよう
に点 F をとり，EF を直径とする円を O とします。辺 AD の長
さを x cm，円 O の面積を y cm2 とするとき，y を x の式で表し
なさい。ただし，円周率はπとします。
−1−
問３右の図のように，関数 y＝x2 のグラフ上に 2 点 A，B があり，
線分 AB は y 軸に垂直です。線分 AB の延長上に BC＝1 となる
ように点 C をとります。点 C を通り y 軸に平行な直線と，関数
が y＝x2 のグラフとの交点を D とします。このとき，AC＝CD
となります。このわけを，点 B の x 座標を a として，a を使っ
た式を用いて説明しなさい。ただし，a＞0 とします。
３
□
数-08-公-広島-問-03
次の問１∼問３に答えなさい。
問１右の図のように，関数 y＝ax のグラフと 2 点 A (3，8)，
B (9，0) があります。関数 y＝ax のグラフが△AOB の面積を
2 等分するとき，a の値を求めなさい。
問２ 5 人の生徒が，校舎を背景に横一列に並んで記念撮影をします。5 人のうち，A さんと B さんは必
ず両端に並ぶものとします。このとき，5 人の並び方は全部で何通りありますか。
問３右の図のように，1 つの平面上に四角形 ABCD と△CDE
があり，∠ADE＝2∠CDE，∠BCE＝2∠DCE です。∠ABC
＝71°，∠BAD＝100°のとき，∠CED の大きさは何度です
か。
−2−
４
□
数-08-公-広島-問-04
下の図のように，底面が AB＝4 cm，BC＝2 cm の△ABC で，高さが 4 cm の三角柱があります。こ
の三角柱のもう 1 つの底面を△DEF とします。正しくつくられた大小 2 つのさいころを同時に 1 回投
げます。大きいさいころの出る目の数を x として，点 P は A を出発し，辺 AB，BC 上を矢印の向きに x
cm 動いて止まるものとします。また，小さいさいころの出る目の数を y として，点 Q は F を出発し，
辺 FE，ED 上を矢印の向きに y cm 動いて止まるものとします。
これについて，次の問１・問２に答えなさい。
問１ x＝2，y＝3 となるとき，線分 PQ の長さは何 cm ですか。
問２直線 PQ と直線 BE がねじれの位置にある確率を求めなさい。
−3−
数-08-公-広島-問-05
５
□
下の図のように，関数 y＝
6
6
のグラフと 2 点 A (0，−1)，B (a，0) があります。直線 AB と関数 y＝
x
x
のグラフとの交点のうち，x 座標が小さい方を C，大きい方を D とします。ただし，a＞0 とします。
これについて，次の問１∼問３に答えなさい。
問１ a＝2 のとき，直線 AB の式を求めなさい。
問２点 C の x 座標，y 座標がともに整数となるような a の値は何個ありますか。
問３ AB：BD＝2：3 となるとき，a の値を求めなさい。
−4−
６
□
数-08-公-広島-問-06
下の図のように，円 O の円周上に 4 点 A，B，C，D があり，∠ABD＝∠ADB です。また，線分 BC
上に点 E があり，AE // DC です。
これについて，次の問１・問２に答えなさい。
問１ △ECA は二等辺三角形であることを証明しなさい。
問２ AB＝5 cm，∠ADB＝30°のとき，
の長さは何 cm ですか。ただし，
のとし，円周率はπとします。
−5−
は小さい方の弧をさすも
Ｈ20
広島県
問題番号
公立
数学
解答用紙
解
答
配点
数
問１
8
0
-
公広島
問２
1
0
Y
K
-
問３
１
□
問４
問５
問６
問７
問８
数
問１
8
0
-
公広島
問２
2
0
Y
K
-
２
□
問３
数
8
0
-
公広島
問１
３
□
通り
問３
度
問１
cm
3
0
Y
K
数
問２
-4
8
0
0
Y
K
公
広島
４
□
問２
−6−
備
考
-
問題番号
解
答
配点
数
8
0
-
公広島
問１
５
□
問２
個
5
0
Y
K
-
問３
数
〔仮定〕図において，4 点 A，B，C，D は円 O の円周上
8
0
-
公広島
の点，∠ABD＝∠ADB，AE // DC
〔結論〕△ECA は二等辺三角形
6
0
Y
K
-
〔証明〕
６
□
問１
cm
問２
−7−
備
考
Ｈ20
広島県
公立
数学
問題番号
解答
解
答
配点
備
考
数
8
0
-
公広島
1
0
K
-
１
□
2
2
問２
7
18
2
問３
28
2
問４
3x＋13y
2
問５
 x＝− 2

 y＝3
2
問６
5
2
問７
x2−16y2
2
問８
x＝2，x＝−10
2
問１
②
2
数
問１
8
0
-
公広島
問２
y＝
9
πx2
16
3
点 B の座標は(a，a2)である。関数 y＝x2 のグラフは y 軸
2
0
K
-
２
□
について線対称であるから，AB＝2a であり，BC＝1 であ
問３
るから，AC＝2a＋1 である。また，点 C の座標は (a＋1，
a2) であるから，点 D の y 座標は (a＋1)2＝a2＋2a＋1 であ
3
り，CD＝(a2＋2a＋1)−a2＝2a＋1 である。したがって，
AC＝CD となる。
数
8
0
-
公広島
３
□
2
3
2
問２
12
3
問３
117
3
問１
17
2
問２
11
36
3
3
0
K
数
問１
8
4
0
0
K
公
広島
４
□
−8−
内容を正しく
とらえていれば，
表現は異なって
いてもよい。
-
問題番号
解
数
8
0
-
公広島
問１
５
□
y＝
答
1
x−1
2
配点
備
考
2
問２
3
2
問３
8
5
3
5
0
K
数
△ECA において
8
0
-
公広島
に対する円周角であるから
∠ADB＝∠ACE
…………①
6
0
K
-
に対する円周角であるから
∠ABD＝∠ACD
６
□
問１
…………②
平行線の錯角であるから
∠ACD＝∠CAE
…………③
3
②，③より
∠ABD＝∠CAE
…………④
∠ABD＝∠ADB であることと①，④より，
∠ACE＝∠CAE
2 つの角が等しいから，△ECA は二等辺三角形である。
問２
5
π
3
−9−
3
小前提を省略
したものについ
ては，適宜減点す
ること。
Ｈ20
１
□
広島県
公立
数学
解説
数-08-公-広島-KS-01
問５ 4x＋y＝−5…①，2x＋3y＝5…②とおく。②×2 より，4x＋6y＝10… ②′
15 y＝3 これを①に代入して，4x＋3＝−5 4x＝−8
問７ (x＋4y)(x−4y)＝x2−(4y)2＝x2−16y2
②′ −①より，5y＝
x＝−2
数-08-公-広島-KS-02
２
□
問２ AD＝x cm のとき，BC＝2AD＝2x cm A と C を結び，AC と EF の交点を P とする。△ABC
において，EP//BC より，EP：BC＝AE：AB EP：2 x＝1：2 2EP＝2x EP＝x また，AD//EF//BC
より，DF：FC＝AE：EB＝1：1 △ACD において，FP：DA＝CF：CD FP：x＝1：2 2FP＝x
1
1
3
EF
3
＝ x (cm) したがって，
FP＝ x よって，EF＝x＋ x＝ x より，円の半径は，
2
2
2
2
4
2
9
3
y＝π×  x  ＝
πx2
16
4 
数-08-公-広島-KS-03
３
□
問１線分 AB の中点を M とすると，y＝ax が点 M を通るとき，△AOM＝△BOM となる。M の x
座標は 3＋(9−3)÷2＝6 y 座標は 8÷2＝4 より，M (6，4) よって，M の座標の値を y＝ax に代入し
2
て，4＝6a a＝
3
問２ A，B 以外の 3 人を①，②，③とすると，この 3 人の並び方は，①②③，①③②，②①③，②③①，
③①②，③②①の 6 通りある。それぞれに対し，A と B が両端にくる並び方は，A○○○B，B○○○A
と 2 通りずつあるので，5 人の並び方は 6×2＝12 (通り)
問３ ∠CDE＝a°，∠DCE＝b°とすると，∠ADE＝2∠CDE＝2a°，∠BCE＝2∠DCE＝2b°とおける。
四角形 ABCD の内角の和は 360°より，100°＋71°＋(2b°＋b°)＋(2a°＋a°)＝360° 3a°＋3b°＝189°
a°＋b°＝63° よって，∠CED＝180°−(a°＋b°)＝180°−63°＝117°
数-08-公-広島-KS-04
４
□
問２さいころの目の出方は全部で，6×6＝36 (通り) そのうち，PQ と BE がねじれの位置になる
のは，P が AB 上 (B は除く) にあって，Q が FE 上 (E は除く) にあるとき…(ア) と，P が BC 上 (B は除
く) にあって，Q が ED 上 (E は除く) にあるとき…(イ) である。(ア) のとき，(大，小)＝(1，1)，(2，1)，
(3，1) の 3 通り。(イ) のとき，(大，小)＝(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，
11
(6，6) の 8 通り。よって，ねじれの位置にあるのは，3＋8＝11 (通り) 求める確率は，
36
５
□
数-08-公-広島-KS-05
問２点 C は直線 AB と y＝
6
との交点のうち，x 座標が小さい方なので，x 座標は負の数である。
x
6
上の点で，x 座標 (x＜0)，y 座標がともに整数となる点は，(−1，−6)，(−2，−3)，(−3，−2)，
x
(−6，−1) の 4 つである。このうち，(−6，−1) は A (0，−1) と結ぶと x 軸に平行な直線となるので問
題に合わない。よって，3 個
3
問３ D から x 軸に垂線 DH をひく。OA // DH より，OA：DH＝AB：BD 1：DH＝2：3 DH＝
2
6
6
3
3
3
よって，点 D の y 座標はで，点 D は y＝上の点でもあるから，＝
x＝4 D  4， 
2
2
x
2
x

8
ここで，OB：BH＝AB：BD より，a：(4−a)＝2：3 2(4−a)＝3a 5a＝8 a＝
5
y＝
６
□
数-08-公-広島-KS-06
問２ O と A，O と B を結ぶ。円周角の定理より，∠AOB＝2∠ADB＝2×30°＝60° また，OA と
OB は円 O の半径より，OA＝OB よって，△OAB は正三角形となるので，OA＝AB＝5 したがって，
60
5
＝ π (cm)
弧 AB の長さは，2π×5×
360
3
− 10 −

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