数学Ⅲ 第 章 積分の応用 【練習】 面積を １ [青チャート数学Ⅲ 練習238] 次の曲線と 軸で囲まれた部分の面積 を求めよ。 とする ， ， ， ，…… 。 の値を求めよ。 を求めよ。 …… 14 [青チャート数学Ⅲ 練習251] ２ [青チャート数学Ⅲ 練習239] 極方程式 次の曲線または直線で囲まれた部分の面積 ， を求めよ。 ， 極方程式 ， を求めよ。 半径 ， ， と表される。 の半円の直径を ろし，線分 ， ， 軸 ， ，中心を ， ， 軸 ， および を下 を半円 が描く立体の体積を求めよ。 軸の周りに 回転させてできる立体の体積 を求め よ。 が点 ， を とし，曲線 ， ， ， 軸 ， ， 軸 で接しているとき ， ， の値を求めよ。 に垂線 16 [青チャート数学Ⅲ 練習253] は自然対数の底， ， ， は実数である。放物線 と から の長さに等しい二等辺三角形 上で動かす。この △ 次の曲線や直線で囲まれた部分を とする。 とする。半円周上の点 を底辺とし，高さが線分 と垂直な平面上に作り， を ４ [青チャート数学Ⅲ 練習241] を を結んだ線分が通過する領域 15 [青チャート数学Ⅲ 練習252] 次の曲線と直線で囲まれた部分の面積 軸で囲まれる領域の面積を，次 で表される曲線上の点と極 の面積は ， ３ [青チャート数学Ⅲ 練習240] と のことを利用して求めよ。 ， で表される曲線 ， ， ， 軸 軸， 軸で囲まれた図形の面積を求めよ。 17 [青チャート数学Ⅲ 練習254] ５ [青チャート数学Ⅲ 練習242] 次の 次の面積を求めよ。 曲線で囲まれた部分を 連立不等式 ， ， つの楕円 ， ， ， と ６ [青チャート数学Ⅲ 練習243] 上の 曲線と直線 次の図形の面積 を求めよ。 曲線 で囲まれた図形 曲線 軸および 軸で囲まれた図形 を考える。 を描き，これらで囲まれる領域を斜線で図示せよ。 で示した斜線部分の領域を 軸の周りに 回転して得られる回転体の体積 19 [青チャート数学Ⅲ 練習256] 水を満たした半径 の半球形の容器がある。これを静かに角 ７ [青チャート数学Ⅲ 練習244] と を 求めよ。 で囲まれた図形 曲線 を求めよ。 ， 18 [青チャート数学Ⅲ 練習255] 曲線 と で表される領域の面積 の内部の重なった部分の面積 曲線 軸の周りに 回転させてできる立体の体積 け下がり，こぼれ出た水の量と容器に残った水の量の比が 軸および直線 で囲まれる部分の面積 傾けたとき，水面が ： になった。 と だ の値を 求めよ。ただし， は弧度法で答えよ。 を求めよ。 20 [青チャート数学Ⅲ 練習257] ８ [青チャート数学Ⅲ 練習245] 媒介変数 によって， れた図形の面積 次の曲線や直線で囲まれた部分を 軸の周りに 回転させてできる回転体の体積 を求 と表される曲線と， 軸で囲ま めよ。 ， を求めよ。 ， ， ， 軸 ， 軸 ９ [青チャート数学Ⅲ 練習246] は より大きい定数とする。曲線 を，原点を中心とする と直線 で囲まれた図形の面積 放物線 の回転移動を考えることにより求めよ。 なるように，正の実数 ， と 軸で囲まれた図形の面積が と の値を定めよ。 点 と ： の共有点 と を正の定数とする。曲線 ： がある。 を通る直線 が， ， および 軸によって囲まれた部分の面積を 等分す ： と と よって囲まれる部分を とする。次のものを求めよ。 が共有点 軸によって囲まれる部分を を 軸の周りに 回転させて得られる回転体の体積 を 軸の周りに 回転させて得られる回転体の体積 とし， で共通の接線 と と 軸に 23 [青チャート数学Ⅲ 練習260] 曲線 について，次の問いに答えよ。 は実数とする。このとき，曲線 と 直線 ， および と がある。 軸および で考えた図形を 軸で囲まれる図形の面積を求めよ。 軸の周りに 回転させて得られる回転体の体積を求めよ。 24 [青チャート数学Ⅲ 練習261] を求めよ。 次の図形を直線 放物線 13 [青チャート数学Ⅲ 練習250] で囲まれた図形のうち， ， 軸で囲 を最小にする の値とその最小値を求めよ。 と と曲線 の座標を求めよ。 12 [青チャート数学Ⅲ 練習249] 曲線 ： をもつとする。また， 曲線 ： 軸の周りに 回転させてできる立体の体積 の値，および直線 の方程式 るとき， の方程式を求めよ。 まれた図形の面積 軸で囲まれた部分を 22 [青チャート数学Ⅲ 練習259] 11 [青チャート数学Ⅲ 練習248] 平面上に 曲線 と を求めよ。 10 [青チャート数学Ⅲ 練習247] の範囲で， 曲線 21 [青チャート数学Ⅲ 練習258] 曲線 を満たす部分の の周りに 回転させてできる回転体の体積 と直線 を求めよ。 で囲まれた図形 と 直線 ， で囲まれた図形 25 [青チャート数学Ⅲ 練習262] を正の実数とする。 空間において，連立不等式 ， ， を満たす点全体からなる立体の体積を，平面 による切り口を考えること により求めよ。 26 [青チャート数学Ⅲ 練習263] 空間において， 点 回転して得られる立体を ， ， ， ， ， とする。立体 と， つの平面 を考える。線分 を 軸の周りに および で囲ま れる立体の体積を求めよ。 27 [青チャート数学Ⅲ 練習264] 次の曲線の長さを求めよ。 ， ， 28 [青チャート数学Ⅲ 練習265] とする。長さ のひもが一方の端を半径 の円周上の点 に固定して，その円 にまきつけてある。このひもを引っぱりながら円からはずしていくとき，ひもの他方の端 が描く曲線の長さを求めよ。 29 [青チャート数学Ⅲ 練習266] 軸上を動く 点 ， ， が同時に原点を出発して， 秒後の速度はそれぞれ である。 ア における イ から の座標を求めよ。 までに が動いた道のりを求めよ。 ウ 出発後初めて 点 ， が重なるのは何秒後か。また，このときまでの の道 のりを求めよ。 軸上を動く点の加速度が時刻 の関数 速度 である。 であり， のとき点 ， のときの点の位置を求めよ。 30 [青チャート数学Ⅲ 練習267] 時刻 における座標が次の式で与えられる点が動く道のりを求めよ。 ， ， 31 [青チャート数学Ⅲ 練習268] 半径 の円筒形水槽の底に設けた断面積 水深が のとき， の穴から流出する単位時間当たりの水量は， で示される。ただし， は重力の加速度， は流量係数という。 および ， は，水深 の変化には影響を受けない定数とする。なお，水深は鉛直方向 に上向きを正とする。この水槽について 水深が 水深が になったときに水面が低下する速さは から になるまでに要する時間は である。 である。 32 [青チャート数学Ⅲ 練習269] ， を任意の定数とする方程式 から ， を消去して微 分方程式を作れ。 次の微分方程式を解け。ただし， イ は 内の初期条件のもとで解け。 ア は定数 イ のとき 33 [青チャート数学Ⅲ 練習270] 内のおき換えを利用して，次の微分方程式を解け。 34 [青チャート数学Ⅲ 練習271] 点 し， ， を通る曲線上の点 における接線が 軸， 軸と交わる点をそれぞれ を原点とする。この曲線は第 象限にあるとして，常に △ るとき，曲線の方程式を求めよ。 △ ， と であ
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