Extrema ohne und mit Nebenbedingungen
(für HM II)
1) Extrema ohne Nebenbedingungen
Definition: relatives Maximum, relatives Minimum
notwendige Bedingung: grad f (~a) = ~0
hinreichende Bedingung: Hesse-Matrix Hf (~a) positiv definit, negativ definit, indefinit
Hurwitz-Kriterium: Kriterium zur Bestimmung der Definitheit einer symmetrischen
Matrix, insbesondere der Hesse-Matrix
Beispiele:
Bestimme die lokalen Extrema folgender Funktionen.
a) f : R2 → R, f (x, y) := 2x2 + 3y 2
!
notwendige Bedingung: grad f (x, y) = (4x, 6y) = (0, 0) ⇔ (x, y) = (0, 0)
4 0
hinreichende Bedingung: Hf (0, 0) =
positiv definit
0 6
Also liegt in (0, 0) ein relatives Minimum vor.
b) f : R2 → R, f (x, y) := 2x2 − 3y 2
!
notwendige Bedingung: grad f (x, y) = (4x, −6y) = (0, 0) ⇔ (x, y) = (0, 0)
4 0
hinreichende Bedingung: Hf (0, 0) =
indefinit
0 −6
Also liegt in (0, 0) ein Sattelpunkt vor.
c) f : R2 → R, f (x, y) := 2x2 + 3y 4
!
notwendige Bedingung: grad f (x, y) = (4x, 12y 3 ) = (0, 0) ⇔ (x, y) = (0, 0)
4 0
hinreichende Bedingung: Hf (0, 0) =
positiv semidefinit
0 0
Das Hurwitz-Kriterium liefert damit keine Aussage.
Wegen f (0, 0) = 0 und f (x, y) ≥ 0 für alle (x, y) ∈ R2 liegt in (0, 0) ein relatives
(sogar absolutes) Minimum vor.
d) f : R2 → R, f (x, y) := x3 − 3x + y 3 − 12y
!
notwendige Bedingung: grad f (x, y) = (3x2 − 3, 3y 2 − 12) = (0, 0)
liefert die kritischen Punkte P1 (1, 2), P2 (1, −2), P3 (−1, 2), P4 (−1, −2)
hinreichende Bedingung:
6 0
Hf (1, 2) =
positiv definit, also relatives Minimum in P1
0 12
6
0
Hf (1, −2) =
indefinit, also Sattelpunkt in P2
0 −12
1
−6 0
Hf (−1, 2) =
indefinit, also Sattelpunkt in P3
0 12
−6
0
Hf (−1, −2) =
negativ definit, also relatives Maximum in P4
0 −12
Aufgaben:
Bestimme die lokalen Extrema folgender Funktionen.
a) f : R2 → R, f (x, y) := x2 + 2xy − 4x + 8y
Lösung: keine lokalen Extrema, Sattelpunkt in (−4, 6)
b) f : R2 → R, f (x, y) := xy(3a − x − y), wobei a ∈ R\{0}
Lösung: Sattelpunkte in (0, 0), (3a, 0), (0, 3a), relatives Maximum in (a, a), falls
a > 0, und relatives Minimum in (a, a), falls a < 0
2) lokale Extrema mit Nebenbedingungen
notwendige Bedingung: grad L(~a) = ~0 für Lagrangefunktion L und Rangbedingung
hinreichende Bedingung: Satz vom Minimum und Maximum
Beispiel:
Bestimme die Extremstellen der Funktion f : R3 → R mit f (x, y, z) := x + 2y unter der
Nebenbedingung g(x, y, z) := x2 + y 2 + z 2 − 1 = 0.
Die notwendige Bedingung für die Lagrangefunktion
L(x, y, z, λ) = f (x, y, z) − λg(x, y, z) = x + 2y − λ(x2 + y 2 + z 2 − 1)
1 √2
1
2
√
√
√
liefert die kritischen Punkte P1 5 , 5 , 0 und P2 − 5 , − 5 , 0 .
Die Rangbedingung lautet in diesem Fall
grad g(x, y, z) = ~0
⇔
(x, y, z) = (0, 0, 0) .
Wegen g(0, 0, 0) = −1 6= 0 liefert diese keinen weiteren kritischen Punkt.
Nach dem Satz vom Minimum und Maximum existieren Minimum und Maximum, da
f stetig und {g(x, y, z) =0} beschränkt
und abgeschlossen (Kugeloberfläche). Wegen
1
2
5
1
2
f √5 , √5 , 0 = √5 und f − √5 , − √5 , 0 = − √55 ist in P1 das Maximum und in P2 das
Minimum.
sawo
2
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