3.多変数の関数と偏微分

多変数の関数と偏微分、全微分
多変数の関数
• Rnの実関数
n個の実数x1,..., xnが決まると一つの実数が決まる
f(x1,..., xn)
• 経済学の例
りんごの需要がりんごの価格pだけでなく、みかん
の価格qと所得Yに依存する・・ D(p,q,Y)
財がたくさんあって、各価格がp1,..., pn,所得がYのと
き、各財の需要はD1(p1,..., pn ,Y) ,..., Dn (p1,...,
pn,Y )
RnからRmへの関数(写像)
• Rnの実関数をm個並べる
nの実数x1,..., xnが決まるとm個の実数が決まる
f1 (x1,..., xn) ,..., fm(x1,..., xn)
2変数の関数の図示
• 2変数のときは、等高線や等圧線を描くこと
ができる。
一般的にはレベル曲線
経済学では無差別曲線
f  x, y   xy  x
のレベル曲線
レベル集合
2次元では x, y  : f  x, y   a
無差別曲線の上の部分
一般的には
 x ,..., x  : f  x ,..., x   a
  x : f  x   a
1
n
1
n
準凹関数
• レベル集合が凸集合
Aが　凸集合
x, y  A,    0,1   x  1    y  A
凸集合
凸集合でない
多変数の関数の例
• 線形関数
f  x1 ,..., xn   a1x1  ...  an xn
• アフィン関数(一次関数)
f  x1 ,..., xn   a1x1  ...  an xn  b
• 線形代数で扱う
Cobb Douglas関数
f  x1 ,..., xn   Ax1 ..., xn , A, 1 ,..., n  0
1
n
対数を取る
ln f  x1 ,..., xn   ln A  1 ln x1  ...  n ln xn
対数が線形
Cobb Douglas生産関数
F  K , L   AK L
K : 資本、 L : 資本
 
単位の取り方でA=1に標準化できる
F  K , L  K L
 1
   1
F  2K , 2L    2K 
 2L 
 2F  K , L 

 1
2 2
 1
K L
1
資本と労働の投入を二倍にしたとき生産が2倍
一次同次関数と0次同次関数
f  ax1 ,..., axn   af  x1 ,..., xn  , a  0
一次同次関数
f  ax1,..., axn   ak f  x1,..., xn  , a  0
k次同次関数
f  ax1 ,..., axn   f  x1,..., xn  , a  0
0次同次関数
一次同次の生産関数
• F(ax1,....axn)=aF(x,.... , x)
• 生産プロセスを何倍にでも、あるいは、何分
の1にでもできる
• 規模に対して、収穫一定(constant return to
scale)
需要関数の0次同次性
D1  p1 ,..., pn , Y  ,..., Dn  p1 ,..., pn , Y 
各財の需要関数
• すべての財の価格と所得が2倍になっても経
済状態は変わらない→各財の需要は変化し
ない
Di  ap1,..., apn , aY   Di  p1,..., pn ,Y 
効用関数の序数性
• 序数的・・・どちらがいいかのみ意味がある
• 基数的・・・大きさ自体に意味がある。
序数的なら
f  x1 ,..., xn  , f  y1 ,..., yn  の比較と
ln  f  x1 ,..., xn   ,ln  f  y1,..., yn   の比較は同等
より一般的に
  f  x1 ,..., xn   ,   f  y1,..., yn   : は厳密に増加的
の比較は同等
Cobb-Douglas 効用関数と対数
線形効用関数の同値性


 ln  A   ln  x   ....  ln  x 
ln  f  x1 ,..., xn    ln Ax11 ..., xn n
n
1
1
n
 ln  A   1 ln  x1   ....   n ln  xn 
対数線形のほうが使いやすい
レベル集合の不変性
gが厳密に増加的

 x ,..., x  f  x ,..., x   A
1

n
1
n
 x ,..., x  g  f  x ,..., x    g  A
1
n
1
n
レベル曲線・無差別曲線も変化しない
CES関数
F  K , L    K  1    L



1

Cobb Douglasの一般化
1次同次


F  aK , aL     aK   1    aL 

  a K  1    a L



 a



1

1
 
 a  K  1    L







  K  1    L 
1

1

1

 a  K  1    L



1

F  K , L    K  1    L



1

  1   K  1    L    K  1    L
1
1
1
1
線形
  0   K  1    L



1

 K  L1
コッブ・ダグラス
ロピタル・ルールを用いる
ロピタル・ルール
lim x a f  x   lim x a g  x   0, g '  a   0

lim x a
f  x f 'a

g  x g 'a
Y   K  1    L



1

 対数を取る
ln Y  
ln  K   1    L 

 分母と分子を  で微分し、0を入れる
d
d 
d 


ln  K  1    L   0 
K  1   
L
d
d
 d 
1
 K  1    L  0
  K  ln K  1    L ln L 
 ln K   ln L1  ln K  L1
 0
  ln K  1    ln L 
 0
補足
d 
K  K  ln K
d
f  x   a の微分
x
 対数を取る
ln f  x   ln a x  x ln a
 微分
f ' x
 ln a
f  x

f '  x   f  x  ln a  a x ln a
レオンチェフ形
 K  1    L



1
  min  K , L 

L
L  K     1,  K  L
K
 K  1    L 


 K   1    
  K  1     K 


 K   1     


1



1

1
s  s
s K
同様にL  K   K  1    L



1

  L
1

各型のレベル曲線(等量曲線)
－∞< σ <1
σ=－∞
σ=1
CESは、Constant Elasticity of Substitutionで、代替の弾力性が一定の意味
偏微分(Partial derivative)
• 多変数の関数で、他の変数を定数として、一
つの変数のみについて、微分する
• dのかわりに∂を使う
f  x1 ,..., xn 
xi
 lim 0
f  x1 ,..., xi 1 , xi  , xi 1 ,...., xn   f  x1 ,..., xi 1 , xi , xi 1 ,...., xn 

f  x1 ,..., xn 
xi
 lim 0
f  x1 ,..., xi 1 , xi  , xi 1 ,...., xn   f  x1 ,..., xi 1 , xi , xi 1 ,...., xn 

• 極限は上から取っても下から取っても一致
• そうでないときは、偏微分できない(偏微分不
可能である )
f  x1 ,..., xn 
xi
fi  x1 ,..., xn 
関数としては偏導関数
一次近似
• 一方向

 
f x1 ,.., xi 1 , xi , xi 1 ,., x n  f x1 ,.., x i 1 , x i , x i 1 ,., x n
¥

f x1 ,..., x n

xi
f x1 ,..., x n
xi

x  x 
i
i
 : f  x ,..., x  を
1
xi
n
 x1 ,..., xn    x1 ,..., x n  で評価

一次近似
• すべての方向

f  x1 ,..., xn   f x1 ,..., x n
¥

f x1 ,..., x n
x1


 x  x   .... 
1
1

f x1 ,..., x n
xn

x
n
• 略して全微分表現
df  x1 ,..., xn  

f x1 ,..., x n
x1
df  f1dx1  ....  f n dxn
 dx  ....  f  x ,..., x  dx
1
1
xn
n
n
 xn

一次近似が成立しない例
x

f  x, y    y
0

y0
x0
x  0, y  0
 0,0で評価すると f x  x, y   f y  x, y   1
x  yは両軸以外では、 f  x, y   0
のいい近似ではない
全微分(可能)
• すべての方向でいい近似
  0,   0,

x1  x1

2

 ...  xn  x n

2



f  x1 ,..., xn   f x1 ,..., x n


 f x1 ,..., x n


x1




 x  x   .... 
1

x1  x1  ...  xn  x n
まえの例では、x  y  0, x  y  とすると
0  0   x  y
x y
2
2
1


f x1 ,..., x n
xn
2
 x  x   y  y
2
2
 2は、  が小さくなっても小さくならない




xn  x n 



 2なら
比較静学
• 未知数が、未知数と同じだけの方程式で決
まっているとき、その未知数以外の方程式の
変数がちょっとだけ変化したとき、未知数がど
んなふうにちょっと変化するかを考える問題
• 全微分(一次近似)して、連立方程式を解く
•
例生産関数
F  K , L  生産関数
K
資本の投入
L
労働の投入
F  K , L 
K
F  K , L 
L
限界生産物
資本の限界生産物
労働の限界生産物
一単位投入を増やしたとき産出がどれ
だけ増えるか
FK  K , L  , FL  K , L 
FK , FL
独立変数を省略
生産関数の全微分
Y  F  K , L  資本の限界生産物
両辺を全微分
dY  FK dK  FL dL
変化率と弾力性による表現
dY  FK dK  FL dL
両辺をY=Fで割る
dY KFK dK LFL dL


Y
F K
F L
dY dK dL 変化率
,
,
Y K L
時間についての変化率と似て
いるが違う
変化率と弾力性による表現（2)
dY KFK dK LFL dL


Y
F K
F L
F
KFK
 F
K
F
K
変化率を変化率で割ったもの
弾力性・・
生産の資本に対する弾力性
変化率と弾力性による表現（3)
dY KFK dK LFL dL


Y
F K
F L
KFK
LFL
 K ,
 L
F
F
dY ˆ dK
dL
 Y,
 K,
L
Y
K
L
Rochester ハット
Yˆ  K Kˆ  L Lˆ
慣れれば本能的に瞬時に出る
Cobb-Douglousのケース
 1
Y K L
 x

'   x
 1
Y
 1 1 Y
 
K L
 1    K L ,
K
L
dY  FK dK  FL dL
K
L dK  1    K L dL
 1 1
Yˆ   Kˆ  1    Lˆ
 
偏微分の積の公式
• 以下では、微分可能性などは仮定
  f  x, y  g  x, y 
x
f  x, y 
g  x, y 

g  x, y  
f  x, y 
x
x
 f x  x, y  g  x , y   g x  x , y  f  x , y 
2変数
  f  x1 ,..., xn  g  x1 ,..., xn 
xi
f  x1 ,..., xn 
g  x1 ,..., xn 

g  x1 ,..., xn  
f  x1 ,..., xn 
xi
xi
 fi  x1 ,..., xn  g  x1 ,..., xn   gi  x1 ,..., xn  f  x1 ,..., xn 
多変数
合成関数微分の公式
(チェイン・ルール)
• パスを全部通す
• dと∂のどちらを使うかは、文脈による
チェイン・ルールの例1
f  x, y でxの値がt , uに依存し g t , u となる
f  g  t , u  , y 
t

f  g  t , u  , y  g  t , u 
x
t
g  t , u 
 f x  g t, u  , y 
t
 f x  g  t , u  , y  gt  t , u 
 f1  g  t , u  , y  g1  t , u 
 f1  x, y  g1  t , u 
 f1 g1
チェイン・ルールの例2
f  x, y でxの値がt , uに依存し g t , u となる
f  g  t , u  , y 
u

f  g  t , u  , y  g  t , u 
x
u
g  t , u 
 f x  g t, u  , y 
u
 f x  g  t , u  , y  gu  t , u 
 f x  x, y  g u  t , u 
 f1 g 2
パスを全部通す例
f  x, y  で xの値が t , uに依存し g  t , u 
yの値が t , uに依存し h  t , u となる
f  g  t , u  , h  t , u  
t

f  g  t , u  , h  t , u   g  t , u 
x
t

f  g t , u  , h t , u   h  t , u 
y
t
g  t , u 
h  t , u 
 f x  g t, u  , h t, u 
 f y  g t , u  , h t , u  
t
t
 f x  g  t , u  , h  t , u   g t  t , u   f y  g  t , u  , h  t , u   ht t , u 
 f1  g  t , u  , h  t , u   g1  t , u   f 2  g  t , u  , h  t , u   h1 t , u 
 f1  x, y  g1  t , u   f 2  x, y  h1  t , u 
 f1 g1  f 2 h1
上の例の導出
f  g  t , u0  , h  t , u0    f  g  t 0 , u 0  , h  t 0 , u 0  
 f  g  t , u0  , h  t , u0    f  g  t 0 , u 0  , h  t , u 0  
 f  g  t 0 , u0  , h  t , u0    f  g  t 0 , u 0  , h  t 0 , u 0  


f  g  t , u0  , h  t , u0    f  g  t 0 , u 0  , h  t , u 0  
g  t , u0   g  t 0 , u 0 
 g  t , u   g  t , u 
0
f  g  t 0 , u0  , h  t , u0    f  g  t 0 , u 0  , h  t 0 , u 0  
h  t , u0   h  t 0 , u 0 
0
0
h  t , u   h  t , u 
0
0
0
 t  t0で割り t  t0
f  g  t , u  , h  t , u  
t

f  g  t , u  , h  t , u   g  t , u 
x
t

f  g  t , u  , h  t , u   h  t , u 
y
t
f  x, y  で xの値が tのみに依存し g  t 
yの値も tのみに依存し h  t のとき
df  g  t  , h  t  
dt

f  g  t  , h  t  
x
 f1 g ' f 2h '
g 't  
f  g  t  , h  t  
y
h 't 
tが時間のとき
f  f1 g  f 2 h
微分方程式でよく使う
例2Cobb Douglas 生産関数の時間微分
 1
Y K L
Cobb Douglas生産関数
KとLで微分
Y
 1 1
K L
K
Y
 
 1    K L
L
KとLともに時間の関数だとする
Y t   K t  L t 

tで微分
1
Y
Y
Y 't  
K ' t  
L ' t 
K
L
 1 1
 
  K L K '  t   1    K L L '  t 
Y
Y
Y 't  
K ' t  
L ' t 
K
L
 1 1
 
  K L K '  t   1    K L L '  t 
Y   K  1L1 K  1    K  L L
 1
Y

Y
両辺を Y  K L で割る
 
 K  1 L1 K 1    K L L

Y
Y
 
 1 1
1


K
L L

K L K 


 1
K L
K  L1
K
L
   1   
K
L
Y
K
L
   1   
Y
K
L
Y K L
, . 生産、資本、労働の成長率
Y K L
 1
Y K L
両辺の対数を取る
ln Y  ln  K  L1 
ln  xy   ln x  ln y, ln  x

   ln x
ln Y    ln  K   1    ln  L 
d ln Y d ln Y dY d ln x 1

,
 ,
dt
dY dt
dt
x
d ln Y d ln Y dY 1
Y
K
L

 Y     1   
dt
dY dt Y
Y
K
L
数IIIを少しやっていると見た瞬間にわかる
一般の生産関数
dY KFK dK LFL dL


Y
F K
F L
Yˆ   K Kˆ   L Lˆ
とパラレルに
Y
K
L
 K  L
Y
K
L
例3 オイラーの法則
f  ax1 ,..., axn   a f  x1 ,..., xn 
k
f  x1 ,..., xn がk次同次
xiで微分
afi  ax1 ,..., axn   a k f i  x1 ,..., xn 
fi  ax1 ,..., axn   a k 1 f i  x1 ,..., xn 
偏導関数はk  1次同次
f  ax1 ,..., axn   a f  x1 ,..., xn 
k
aで微分

n
x f  ax1 ,..., axn   ka
i 1 i i
k 1
f  x1 ,..., xn 
a  1で評価

n
x f  x1,..., xn   kf  x1,..., xn 
i 1 i i
オイラー法則

x
f
x
,...,
x

kf
x
,...,
x



i
i
1
n
1
n
i 1
n
一次同次
0次同次

x
f
x
,...,
x

f
x
,...,
x



i
i
1
n
1
n
i 1
n

x
f
x
,...,
x

0


i
i
1
n
i 1
n
例一次同次生産関数

n
x f  x1,..., xn   f  x1,..., xn 
i 1 i i
F  K , L 
F  K , L 
F  K , L 
K
L
K
L
F  K , L  F  K , L 
,
資本と労働の限界生産物
K
L
これらが生産物の価値で計った、資本賃率と賃
金率だと生産物の価値は、資本賃率の総額と総
賃金で払いつくされ、超過利潤はない

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