基礎数学C レポート11 解答例 (2015/07/16)

基礎数学 C レポート 11 解答例 (2015/07/16)
問題 11 (5 点+5 点) an を数列, k ∈ N とする. べき級数
の収束半径が一致することを次の 2 通りの方法で示せ.
∑∞
n=0
an+k xn と
∑∞
n=0
an xn
(1) 定義通り行う方法 (Theorem5.3).
(2) コーシー・アダマールの定理を使う方法 (Theorem5.6).
∑∞
∑∞
答え f1 (x) := n=0 an+k xn , f2 (x) := n=0 an xn の収束半径をそれぞれ ρ1 , ρ2 ≥ 0
とおく.
(1)
i). ρ2 > 0 のとき.
に対して
N
∑
f1 (0), f2 (0) の収束は明らか. 任意の x0 ∈ R\{0}, N ∈ N
an+k xn0 =
n=0
N +k
N +k
k−1
1 ∑
1 ∑
1 ∑
n
n
a
x
=
a
x
−
an xn0
n 0
n 0
xk0 n=k
xk0 n=0
xk0 n=0
である. |x0 | < ρ2 のとき収束半径の定義から f2 (x0 ) は収束するため
∑
∑k−1
n
k
k
n
N → ∞ のとき N
n=0 an+k x0 → (1/x0 )f2 (x0 ) − (1/x0 )
n=0 an x0 すなわ
ち f1 (x0 ) は収束する. 従って ρ2 ≤ ρ1 .
また |x | < ρ のとき f1 (x0 ) が収束するため同様にして N → ∞ のとき
∑N 0 n 1 k
∑k−1
n
n=0 an x0 → x0 f1 (x0 ) +
n=0 an x0 すなわち f2 (x0 ) は収束する. 従って
ρ2 ≥ ρ1 . 以上から ρ2 > 0 のとき ρ1 = ρ2 である.
ρ1 > 0 と仮定すると 0 < |x0 | < ρ1 をとることができ
ii). ρ2 = 0 のとき.
る. このとき f1 (x0 ) は収束するため同様にして f2 (x0 ) の収束が言えるが
ρ2 = 0 に矛盾する. 従って ρ1 = 0 = ρ2 .
いずれの場合も ρ1 = ρ2 , すなわち f1 , f2 の収束半径は一致する.
(2) コーシー・アダマールの定理より
lim sup |an+k |1/n =
n→∞
1
1
, lim sup |an |1/n =
ρ1 n→∞
ρ2
∞
を得る. bk,n := supi≥n |ai+k |1/i , bn := supi≥n |ai |1/i , k, n ∈ N とおくと {bk,n }∞
n=1 , {bn }n=1
は共に単調減少列であり, 上極限の定義から
limn→∞ bk,n = 1/ρ1 , lim bn = 1/ρ2
n→∞
(a)
が成り立つ.
i). ρ1 = 0 ⇐⇒ ρ2 = 0 を示す.
ρ2 = 0 のとき. (a) より bn = ∞ for all n ∈ N が成り立つ. bn の定め方
から各 n ∈ N に対してある自然数 in ≥ n が存在し, |ain |1/in ≥ n を満た
す. 特に n > k において |ain |1/(in −k) ≥ nin /(in −k) ≥ n が成り立ち, 加えて
bk,n の定め方から bk,n−k ≥ |ain |1/(in −k) ≥ n が成り立つ. これが各 n > k
に対して成り立つことから limn→∞ bk,n = ∞ すなわち (a) から ρ1 = 0.
同様にして ρ1 = 0 =⇒ ρ2 = 0 を示せる.
ii). ρ1 = ∞ ⇐⇒ ρ2 = ∞ を示す.
ρ2 = ∞ のとき. limn→∞ bn = 0 よりある N ∈ N が存在し bn < 1, n ≥
N . 特に全ての i ≥ n に対し |ai |1/i < 1 が成り立つ. 辺々を i 乗して
|ai | < 1 であるから任意の n > N ′ := max{N, K} と全ての i ≥ n に対
して |ai |1/(i−k) < |ai |1/i . 従って右辺の上限をとり |ai |1/(i−k) < bn . 再び
左辺の上限をとり bk,n−k ≤ bn , n > N ′ . limn→∞ bn = 0 であったから,
limn→∞ bk,n−k = 0, すなわち ρ1 = ∞ を得る.
同様にして ρ1 = ∞ =⇒ ρ2 = ∞ も示せる.
iii). 0 < ρ1 , ρ2 < ∞ のとき.
ρ1 < ρ2 と仮定する. 実数の連続性から, ρ1 < ρ < ρ2 なる実数 ρ を取れ
る. 1/ρ < 1/ρ1 と (a) より各 n ∈ N に対し 1/ρ < |ain +k |1/in を満たす自
然数 in ≥ n が存在する. 従って (1/ρ)1−k/(in +k) < |ain +k |1/(in +k) ≤ bn+k .
n → ∞ のとき in → ∞ より 1/ρ ≤ 1/ρ2 であるがこれは ρ の取り方に矛
盾する. 従って ρ1 ≥ ρ2 .
ρ1 > ρ2 と仮定する. 実数の連続性から, ρ1 > ρ > ρ2 なる実数 ρ を取れ
る. 1/ρ < 1/ρ2 と (a) より各 n ∈ N に対し 1/ρ < |ain |1/in を満たす自然数
in ≥ n が存在する. n > k に対し (1/ρ)1+k/(in −k) < |ain |1/(in −k) ≤ bk,n−k .
n → ∞ のとき in → ∞ より 1/ρ ≤ 1/ρ1 であるがこれは ρ の取り方に矛
盾する. 従って ρ1 ≤ ρ2 .
以上からいずれの場合も ρ1 = ρ2 , すなわち f1 , f2 の収束半径は一致する.
講評
• 「収束」は極限操作をした際に用いる言葉です. 有限和にわざわざ「収束」と
言う必要はありません.
• 極限操作を自由にやっている印象を受けました. 「何となく成り立ちそう」で
証明するのではなく, 既出の定理や命題またはそれらから証明できる事柄のみ
用いて証明しましょう.
• n 乗根を忘れていたりコーシーアダマールの定理の極限の取り方を勘違いして
いる人が多数います. f1 はあくまで n 番目の項の係数が an+k となっている
だけです.
•
∞
∑
an は収束 =⇒ lim an = 0 ですが, 逆は成り立ちません.
n=0
n→∞
• |an+k /an |1/n → 1 (n → ∞) は成り立ちません. 反例 an = en .
∑∞
∑∞
•
n=0 an = ±∞ ではありません. 振動する場合もありま
n=0 an が発散 =⇒
n
す. 例:an = (−1) .
(
)1+k/n
• |an+k |1/n = |an+k |1/(n+k)
が成り立つからといって
(
)1+k/n
(
)
1/n
lim sup |an+k | = lim sup |an+k |1/(n+k)
= lim sup |an+k |1/(n+k)
2
n→∞
n→∞
とするのは議論に飛躍があります.
n→∞

Download Report