個人の部問題 - BSN新潟放送

第 10 回新潟県数学選手権中学生大会問題 (個人)
問題 1 (20 点) 3 つのさいころ A と B と C がある。A と B は，1 から 6 の目が書かれた通常のさいこ
ろであり，C は，6 つの面それぞれに自然数が 1 つずつ書かれたさいころである。その自然数が何で
あるかは特に指定しない。A を投げて出た目を x，B を投げて出た目を y ，C を投げて出た目を z と
する。以下の問いに理由をつけて答えなさい。
(1) x + y が偶数である確率を求めなさい。
(2) x + z が偶数である確率を求めなさい。
(3) x + z が 3 の倍数である確率を求めなさい。
問題 2 (20 点) 以下の問いに答えなさい。
(1) 5 桁の自然数で，各桁の数字が 1 か 2 であるものの個数を求めなさい。
(2) n を 5 桁の自然数とする。n の各桁が 1 か 2 であることと 33333 − n の各桁が 1 か 2 であること
は同じことである。このことを利用して，5 桁の自然数で，各桁の数字が 1 か 2 であるものの
全ての和を求めなさい。
(3) 5 桁の自然数で，各桁の数字が 1 か 2 か 3 であるものの全ての和を求めなさい。(どのような方
法で解いてもよい。)
問題 3 (20 点) n を 3 以上の自然数とし，次の性質を考える。
立方体をうまく平面で切ると断面が正 n 角形となる
この性質を持つ n を全てあげ，それぞれの n について正 n 角形が現れる切り方の例を 1 つあげなさ
い。また，この性質を持たない n については，その理由を書きなさい。
問題 4 (20 点) 以下の問いに答えなさい。
(1) 正三角形 ABC の内部の点 P から各辺 BC, CA, AB へおろした垂線の足を H, I, J とする。P の
位置によらず，PH + PI + PJ は一定であることを示しなさい。
(2) 前問で BC, CA, AB の中点を A′ , B′ , C′ とする。PA′ + PB′ + PC′ が最小になるのは，P が正三
角形の中心 (重心)O と一致するときであることを示しなさい。
問題 5 (20 点)
田んぼを買ったり，米を収穫したりして，収穫した米の総量を増やしていく，次のような問題を考
える。
1 俵の米で田んぼ 1 枚が買え，1 枚の田んぼからは 1 年に 1 俵の米が取れる。また，最初 1 俵の米
を持っているとし, 田んぼは持っていないとする。それぞれの年ごとに，
K: 買う; 米を収穫したのち新しい田んぼを 1 枚買う。
T: 貯める; 米を収穫するのみとする。
のどちらかを選択する。
例えば次は, 0 年目 (最初), 1 年目, 2 年目, 3 年目に K, K, T, K を選択したときの 4 年間の表である。
年
選択
田んぼ
米
0
K
0 1
1 0
1
2
K
T
1 2 2 2
1 0 2 2
3
4
K
2 3 3
4 3 6
x は経過した年数，y は買った田んぼの枚数とする xy 平面を考える。xy の格子点 (x 座標も y 座標
も整数である点) 上を動く石で，この状態の変化を考えよう。
初め (0 年目) は点 (0, 0) にを置く。まず K を行いを上にすべらせ (0, 1) に移動し，1 年後右
にすべらせて (1, 1) へ移動する。更に K を行いを上にすべらせて (1, 2) へ移動し，1 年後右にす
べらせて (2, 2) に移動する。更に T を行いは動かさず，1 年後右にすべらせて (3, 2) に移動する。
更に K を行いを上にすべらせて (3, 3) へ移動し，1 年後右にすべらせて (4, 3) に移動する (下図
(あ))。
(あ)
(い)
さて, ある年数 N に対し，合計 N 回の K か T の選択後 N 年目の石
ている米の俵数を h とする。以下の問いに答えなさい。
の座標を (N, y) とし，持っ
(1) N = 7 とするとき，K,K,T,K,T,T,K と 7 回選択した結果得られる 7 年目の h を求めなさい。
(2) 石の動いた軌跡と x 軸で挟まれる部分 (前問を例とすれば，図 (い) で影を付けた部分) の面積
を S とする。h を S と y で表しなさい。
(3) N = 10 とするとき，K か T を 10 回うまく選んで得られる h の最大はいくつか求めなさい。
(4) N = 10 とするとき，K を 5 回，T を 5 回うまく選んで得られる h が 35 になったとする。K
と T の 10 回の選択の仕方はどのようなものか。

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