電気電子数学 I 演習問題7 2015. 6. 26 K. Shibata [1] xyz の三次元

電気電子数学 I 演習問題７
2015. 6. 26 K. Shibata
[1] xyz の三次元空間上で，xy 平面上の原点を中心とする半径 R の円を底面とし，z = 0 の
xy 平面から z = H までの高さ H の円柱の内部を V とする。体積分 ∫ z dV を求めなさい。
V
また，原点 O を中心とする半径 R の球のうち x, y, z ≥ 0 の領域 V2 で体積分
∫
V2
z dV を
求めなさい。
[2] 原点を中心とする半径 R の球を V、その表面を S、原点からの距離を r とする。
r を V で体積分した値 ∫VrdV および r を S で面積分した値 ∫ r dS を求めなさい。
S
Q
[3] 電荷量 Q の点電荷が r だけ離れた場所に作る電場の大きさは E =
である。この点
2
4
πε
r
€
電荷を原点に置き，半径 r の球面 S で囲んだ場合、ガウスの法則 Q = ε ∫ E dS が成り立
S
つことを示しなさい。（この式は，電場と面 S が常に直交している場合にのみ有効）
[4] 底面が xy 平面上の原点を中心とする半径２の円で，z 軸上の z = 2 に頂点がある円錐 V
について，以下の問いに答えなさい。
(1) 側面の式を立てなさい。（デカルト座標系と円筒座標系の両方で）
(2) 円錐の体積 ∫ dV を、円筒座標系で、θ → r → z の順で積分する場合と、θ → z → r の
V
順で積分する場合の２通りで求め、円錐の体積の公式から求めたものと一致すること
を確認しなさい。
(3) 円錐の側面積を、積分を使って求めなさい。
（難）
[5] xyz の三次元空間内に，原点を中心とする半径 R の球 V が与えられていたとする。
以下の問いに答えなさい。
(1) ある点の座標 x, y, z の各成分をそれぞれ三次元極座標(球面座標)系 r, θ, φ で表しなさ
い。ただし，θは z 軸と位置ベクトルのなす角度，φは z 軸に対する右ねじの方向の
回転角度で x 軸方向を 0 としたもの，r は原点からの距離とする。
(2) x, y, z を使って，与えられた球面の式を書きなさい。
(3)与えられた球面を，三次元極座標系での式で示しなさい。
π
(4) 与えられた球面上で， θ = を満たす点の集合はどのような曲線になりますか。xyz の
6
三次元空間上に図を描くとともに，一意に特定できるように言葉でも説明しなさい。
(5) (4)の曲線を C とするとき，曲線の長さ l を示しなさい。
(6) 曲線 C のうち，y
€ = 0, x > 0 の点を始点とし，曲線 C に沿って z 軸に対して右ネジ方向
に進む座標軸を s とするとき，横軸を s，縦軸をφとして，s とφの関係を 0 ≤ s ≤ l の範
囲でグラフにしなさい。
(7) 曲線 C でφを線積分した値 ∫C φdsを求めなさい。
€
(8) (4)において，θが変化するとき，θと曲線 C の長さ l との関係を書きなさい。
(9) r, θ, φがそれぞれ微少量 dr, dθ, dφだけ変化させることによって決まる微小体積 dV を
r, θ, φ, dr, dθ, dφの中から必要なものを使って表しなさい。
€
(10) 与えられた球 V で sinθを体積分しなさい。

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