図形の次元, 写像としての作図における退化次数からみたマルチタッチ

日本科学教育学会研究会研究報告　Vol. 29　No. 9（2015）
図形の次元㻘㻌写像としての作図における退化次数からみた㻌
マルチタッチ作図ツールの特徴㻌
㻙二つの作図に関する分析を中心に㻌㻙㻌
a feature of multi-touch dynamic geometry software from the viewpoint of “dimension
of figure” and degenerate dimension of construction as mapping
- Based upon case study on two problems 飯島康之
IIJIMA Yasuyuki
愛知教育大学
Aichi University of Education
［要約］図形に対して㻘㻌元になっている点の自由度の総和をその図形の次元と定義し㻘㻌いろいろ
な四角形の次元を示した㻚四角形の集合から四角形の集合への写像として扱える二つの問題の考
察をもとに㻘㻌写像によって退化する次元は㻘㻌同じ図形にうつる元の図形の集合㻔原像㻕の次元と一致
することなどを明らかにした㻚マウスの場合には図形の中の制約を作図によって構成することが必要
だが㻘㻌マルチタッチの場合には制約のない図形の動かし方を工夫することに帰着することができ㻘㻌
独自の問題を可能にすることを例示した㻚㻌
［キーワード］数学的探究，次元㻘自由度㻘マルチタッチ㻘動かし方㻘作図ツール㻌
㻌
１．はじめに㻌
の点を同時に動かせる.
マルチタッチの作図ツールは, 独自の数
GC/html5 における作図では, (独立変数
学的探究や問題を可能にする(飯島,2014).
の)いくつかの点を出発点に, (従属変数とな
今回は「図形の次元」を定義し, 図を写像
る)幾何的対象(数, 点, 直線, 線分, 半直線,
として捉え, その退化次数に注目して,二事
円)を階層的に構成する.独立変数に相当す
例についての分析を中心にマルチタッチの
る点の自由度の総計を, その図形 F の次元
意義について考察する.
と定義し, dim F で表すことにする.
これは直感的には, 図形をマルチタッチ
２．図形を動かす自由度の観点からの「図形
の次元」㻌
2.1 マウスによる「点の次元(自由度)」とタ
ッチによる「図形の次元」
作図ツールでマウスを使って点を動かす
場合, 平面内を自由に動かせる(自由度 2),
直線上のみを動かせる(自由度 1), 動かせな
い(自由度 0)の 3 種類がある(Laborde,C.,
1995).自由度という概念は,直感的にもわか
りやすい(なお, 以下では直線上のみでなく,
円上や曲線上など, 局所的に 1 次元的な広
がりを持つ対象上で動かせる場合も自由度
1 として扱うことにする).
一方, 近年マルチタッチに対応できるよ
うになり,たとえば, GC/html5 では, 複数
で変形する自由度を示す概念といえる.
2.2 いろいろな四角形の次元
いくつかの四角形について次元を考察し
よう(以下ではすべて ABCD で表す).
(1) 一般の四角形
4 点がそれぞれ自由度 2 なので,次元は 8.
(2) 平行四辺形
A,B,C がきまると D が決定され,A,B,C の
3 点のみが自由度 2 を持つので,次元は 6.
(3) 長方形
A,B がきまると, C は AB に垂直で B を通
る直線上に動きが制限される.そして C が
きまると D も決定されるため, 次元は 5.
(4) ひし形
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A,B がきまると, C は B を中心として A
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を通る円上に動きが制限される.そして C
けではないので, 陰関数定理によって,
f1-1(0) は, 局所的に 8 － 1 = 7 次元の
がきまると D も決定されるため, 次元は 5.
(5) 正方形
広がりを持つ.
さらに平行四辺形の集合は, この 7 次元
A,B がきまると, C,D の位置は 2 通りにな
る.これらの間には連続的な変形としての
の広がりの中において,
f2(A,B,C,D) = cos-1(AC・BD / |AC||BD|)
自由度はないため, 次元は 4.
(6) 等脚台形, たこ形
と定義すると , f2-1(0) となり , 局所的に
A,B,C がきまると,対称軸のとり方に応じ
7 － 1 = 6 次元の広がりを持つ.
て, D の位置がきまるため, 次元は 6.
このように, 独立した k 個の条件で定義
(7) 台形
される四角形は,( 8 － k) 次元になる.
A,B,C がきまると, D はたとえば BC に平
2.5 円に外接する四角形の場合
行で A を通る直線上に制限され, 次元は 7.
(8) 円に内接する四角形
円に外接する四角形の場合に実験的に確
かめよう. A,B,C,D に対して, 円に外接する
A,B,C がきまると, 外接円が確定する.そ
ための条件は AB+CD = BC+DA なので,
の円上に D の動きが制限され, 次元は 7.
f(D) = AB － BC + CD － DA
(9) 円に外接する四角形
とおき, f(D) = 0 となる集合を調べると図
A,B,C がきまったとき, D は直線や円の
-1 のような結果がえられ，直線でも円でも
上に制限されるわけではないが, 後述する
ない曲線としてえられるが, 局所的には 1
ように自由度は 1 なので, 次元は 7.
次元の自由度を持っていることがわかる.
(10)1 点(に重なる)
4 点が 1 点に重なる場合,点の自由度は 2
なので次元は 2.
2.3 四角形を特徴づける独立した条件の数
と次元との関わり
たとえば , 次元 7 となる台形の場合 ,
AD//BC のように, 一つの条件を満たす集
合である.次元 6 の平行四辺形の場合,
AD//BC, AB//CD のように独立する条件は
二つ.次元 5 の長方形の場合には,さらに∠
ABC=90°が加わり三つ.このように, 独立
する条件の数が k 個であれば, その四角形
の集合の次元は (8 － k) 次元になる.
図$%&' %&'$ となる ' の集合
㻌
３．㻾㻤から㻾㻤への写像としての「四角形の㻠つ
の中点を結んで四角形をつくる図」㻌
3.1 写像としての「四角形の 4 つの中点を
結んで四角形をつくる図」
図 -2 は , 四角形 ABCD に対して ,
AB,BC,CD,DA の中点をそれぞれ E,F,G,H
2.4 背景としての陰関数定理
このことは, R8 から実数への関数に関す
る陰関数定理によって証明できる.たとえ
ば, 台形に関していえば,
f1(A,B,C,D) = cos-1(AB・CD / |AB||CD|)
が, 2 直線のなす角を求める関数になる.
一般の位置にある A,B,C,D に対して, こ
の関数は可微分で, 恒等的に定数になるわ
とするときに, それらを結んで四角形
EFGH をつくる図である.
ABCD を変形したときに, EFGH は変化
する.この図自体が, 四角形 ABCD に対し
て EFGH を対応させるという意味で, 平面
内の四角形の集合から自身への写像といえ
る(以下, この写像を φ で表現する).
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という集合の次元も 2 になる.
3.5 Imφ が平行四辺形の集合全体になるこ
とを確かめるための「逆問題」
Imφ=φ(Qd) が平行四辺形の集合全体にな
ることを確かめるには, 任意の平行四辺形
EFGH に対して, φ(ABCD) = EFGH とな
図四角形のつの辺の中点を結んで
る ABCD が存在することを示せばよい.
元の問題は ABCD に対して EFGH を構
できる四角形
3.2 φ は
R8
成していたのに対して, EFGH に対して
8
→R の線型写像
四角形の集合を Qd とするとき, Qd =
ABCD を構成する「逆問題」が生まれる.
{((x1,y1),(x2,y2),..,(x4,y4))|xi,yi∈R}という意
この問題では, 次の作図で ABCD を構成
味で, Qd は R8 と同一視できる.たとえば E
でき, Imφ は平行四辺形の集合全体になる.
まず点 A を任意の位置におく.E が AB の
の座標を(X1,Y1)とすると,
中点であるために,A を E に関して点対称移
X1 = x1/2 + x2/2 , Y1 = y1/2 + y2/2
となり,
φ は R8 から R8 への線型写像になる.
動した像を B とする.このような手続きを
繰り返して C,D,A’を構成すると, EFGH が
3.3 対応表と図形の次元
ABCD を代表的な四角形の形にしたとき
平行四辺形の場合には A=A’になり, 点 A を
の EFGH の形と, 形の次元をカッコ内にま
平面内で動かしても常に A=A’になる.一方
とめた対応表が下記である (3.6 でも考察
EFGH が平行四辺形でなくなると, A を動
するように, この表は代表的な観察結果を
かしても A=A’にはならない.
集約した表であり, 暫定的な結果である) .
ABCD
EFGH=φ(ABCD)
正方形(4)
正方形(4)
長方形(5)
ひし形(5)
ひし形(5)
長方形(5)
一般の四角形(8)
平行四辺形(6)
表四角形の辺の中点を結んでできる
四角形に関する対応表
3.4 「一般の四角形→平行四辺形」におけ
る「8 次元→6 次元」の意味
φ は R8→R8 の線型写像なので dim(Imφ),
Kerφ などを定義でき, 次の式がえられる.
図中点を結ぶ図の逆問題
3.6 写像 φ の退化次元の意味
この作図で, A をどの方向に移動しても,
dim Qd = dim (Im φ) + dim (Ker φ)
Imφ が平行四辺形の集合全体ならば ,
dim(Im φ) = 6 ,dim Qd=8 より,
φ(ABCD)=EFGH となる.つまり,
φ-1(EFGH) = {ABCD∈Qd | φ(ABCD) =
EFGH}
Ker φ= {ABCD∈Qd |φ(ABCD) = 0}
の次元が 2 になり, さらに線型であること
が局所的に 2 次元の広がりを持つことを検
から, 任意の平行四辺形 EFGH に対して,
証できる.
φ-1(EFGH) = {ABCD∈Qd | φ(ABCD) =
EFGH}
逆にいえば, 退化した次元 dim Q - dim
(Im Q) は, 一般的な要素 EFGH に対して,
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φ-1(EFGH)が持つ次元を示している.
円に外接する四角形
そのため, 代表的な種類の四角形につい
て調べて表 1 を作成した後, 次元について
一点(2)
(7)
一般の四角形(8)
円に内接する四角形
(7)
比較することにより, たとえば長方形(5)→
ひし形(5)では次元が退化していない点は,
表四角形の角の二等分線の交点でできる
長方形以外の四角形でもひし形に対応する
四角形に関する対応表
可能性がありうることを示唆している.
4.3 ψは線型写像ではないが, それぞれの
形(部分集合)において対応が成立
㻠㻚写像としての「四角形の㻠つの角の二等分
線の交点を結んでできる四角形」の分析㻌
4.1 R8 から R8 への写像としての「四角形の
4 つの角の二等分線の交点でできる四角形」
図-4 は, 四角形 ABCD に対して, ∠A,
∠B, ∠C, ∠D の二等分線を引き，隣り合
う 2 つの二等分線の交点をそれぞれ
E,F,G,H とするときに, それらを結んで四
角形 EFGH をつくる図である.
φと違って, ψは線型写像にはならない.
しかし, 「ABCD が平行四辺形の場合には,
EFGH は長方形になる」など, それぞれの
形, つまり部分集合の対応が成立している.
4.4 Im ψ を調べるための「逆問題」
ABCD が一般の四角形のとき, EFGH は
円に内接する四角形になるため, 逆に一般
的な円に内接する四角形 EFGH に対して,
ψ(ABCD)=EFGH となる ABCD を構成す
る逆問題は次のように解決できる.
図つの角の二等分線の交点でできる
四角形
この図も四角形 ABCD に対して EFGH
を対応させるので, 平面内の四角形の集合
から自身への写像になる(以下,ψで表す).
4.2 対応表と図形の次元
ψの詳しい対応表を以下に掲げる.
ABCD
EFGH=ψ(ABCD)
正方形(4)
一点(2)
長方形(5)
正方形(4)
ひし形(5)
一点(2)
平行四辺形(6)
長方形(5)
等脚台形(5)
円に内接するタコ形
(4)
たこ形(5)
一点(2)
台形(7)
向かい合う一組の角
が 90°の四角形(6)
図四角形の角の二等分線の交点で
できる四角形の逆問題
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まず, 4 角形 EFGH をつくる.∠A と∠B
の二等分線が EF,EH であるためには,直線
上に A,B をとる.EH が∠B の二等分線であ
５．図形の次元・退化次元とマルチタッチ㻌
5.1 マウスとタッチの基本的な相違点
たとえば, 四角形は 4 点を同時にあらゆ
るためには, AB を EH に関して線対称移動
る方向に動かしてもよいという意味で, 8 次
したものを直線 BC にすればよい.この手順
元の自由度を持つ.4 点を指で操作するマル
を繰り返すことで, 順次, C,D,A’, B’がつく
チタッチにおいては, この 8 次元の自由度
れる.このとき,必ずしも A=A’にはならない
を実感することができるが, マウスの場合
ものの,EFGH が円に内接する四角形にな
には, 点を一つずつ動かすことしかできな
っていると AB//A’B’となり, A を動かすと A’
いので, 最大 2 次元の自由度を切り換えな
が動き，A=A’となる位置が見つかる.AB を
がら使うことしかできない.
向きを保って動かすと A=A’の関係が保持
特に, 前述の長方形の操作のように,
されることから, EF 上に A1 をとり，さき
「C,D を同じ方向に動かす」という意味で
ほどの ABCD の 4 つの辺に平行になるよう
に A1B1C1D1 を構成すると, A1 を EF 上で
の 1 次元の自由度に関していえば, マルチ
タッチの場合には制約のない 2 点としての
動かすと常にψ(ABCD)=EFGH となるこ
C,D に対して「動かし方を工夫する」こと
とを確認することができる.また, EFGH を
によって実現可能である.
円に内接する四角形でないようにすると,
それに対して, マウスの場合にはそれは
AB//A’B’ でなくなるため , 条件を満たす
行えないために, 「C の動きに対する D の
ABCD は構成できないことがわかる.
動き方」を作図によって構成することによ
ってはじめて, 「C に関する 1 次元の自由
4.5 写像ψの退化次元の意味
この作図において, A1 の位置を EF 上で
度」として実現することになる.
移動しても, ψ(ABCD)=EFGH となるので
このように，制約を作図によって構成す
ψ-1(EFGH) = {ABCD∈Qd |ψ(ABCD)
ることが不可欠なマウスによる操作と，制
= EFGH}
約のない複数の点を「工夫して動かす」こ
は局所的に 1 次元の広がりを持つ.つまりφ
とが可能なマルチタッチという違いが両者
と同様に, 退化次元 dim Qd－dim (Im ψ)
の基本的な相違点になる.
は , 一般的な要素 EFGH に対して ,
5.2 マルチタッチの場合に可能になる発問
ψ-1(EFGH)が持つ次元を示している.
マウスの場合には作図が不可欠だった問
4.6 dimQd= dim (Im ψ) + dim (Ker ψ) は
題であっても, 「動かし方の工夫」を求め
成り立たない
る形の問いに変えることができる.たとえ
一方, 線型写像φで成立した次の式はψ
に関しては成り立たない.
ば, 次のような問いが可能になる.
問 1: 四角形 ABCD の 2 頂点を選び，
dimQd = dim (Imψ) + dim (Kerψ)
「ABCD は長方形」のままであるような動
実際, dimQd = 8, 一点に写る「円に外接
かし方について考えよ.
する四角形」の次元は 7 なので, dim(Im
ψ))=7, 「原点に写る ABCD」は, 「原点を
中心とする円に外接する四角形」で,次元は
5 なので dim (Ker ψ) = 5 であるため,
8 ≠ 7+5
図制約のない条件下での長方形
となってしまう.
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問 2: 次の四角形 ABCD の 2 頂点を選び，
めの作図が必要になるのに対して, マルチ
「EFGH は正方形」のままであるような動
タッチの場合には制約のない図形に対する
かし方について考えよ.
動かし方として扱え,新たな問いを生み出
問 3: 次の四角形 ABCD の 4 頂点を上手に
すことを示した.
この議論をより一般化して扱えるように
動かすと「EFGH は動かない(位置が変わら
することが今後の一つの課題である.
ない)」動かし方がある.考察せよ.
付記
本研究は日本学術振興会科学研究費補助
金基盤研究(C)「作図ツールを中心としたタ
ブレット端末用数学ソフトの開発と授業実
践に関する研究」(研究代表飯島康之, 課題
番号 26350192)および基盤研究(A)「イノベ
図制約のない条件下での正方形と辺
ーティブ人材を醸成する「卓越性の科学」
の中点を結んでできる四角形
究代表銀島文, 課題番号 24240101)によ
これらの問いはそれぞれ上記の考察の中
る支援を受けている.
㻌㻌参考文献・リファレンス㻌
Laborde,C.:Designing task for learning
の, 長方形の集合は 5 次元,
φ-1(正方形)の集
合は 6 次元, φ-1(EFGH)は 2 次元に対応する
問いである.これらは中学校の授業で扱っ
た問い(飯島,2011, 2014)だが, 作図が必要
な問いとして提示したら中学校での実践は
難しかったし, そもそも意味が理解できな
かっただろう. 数学的インターフェイスと
してのマルチタッチがあるからこそ, 生徒
による作図を必要とすることなく, 操作の
の教育課程の開発に関する実証的研究」(研
geometry
in
a
computer-based
environment : the case of Cabri-Geometry,
in
Burton,L.
&
Jaworski,B.(eds.),
Technology in Mathematics Teaching,
35-67, Chartwell-Bratt, 1995
飯島康之:iPad と GC/html5 を使った授業
による二つの提案 - 附属名古屋中学校で
仕方の工夫という問い, つまり中学生でも
の鈴木実践に関連して -, イプシロ
取り組みうる問いの形で実現し, 実施でき
ン,53,2011,13-24
たといえる.
飯島康之:作図ツール GC/html5 のマルチタ
ッチ機能を生かした数学的探究と授業の実
㻢㻚㻌まとめと今後の課題㻌
本稿においては, マルチタッチにおける
際について,教科開発学論集,愛知教育大学
動かし方の自由度の観点から図形の次元を
攻,2,2014,85-94
定義し, 四角形から四角形への写像として
飯島康之:iPad で作図ツール GC/html5 を
扱える 2 つの問題について考察した.それぞ
利用した実験 – 愛知教育大学附属名古屋
れの四角形の種類(部分集合)に関して次元
中学校におけるグループ活動での利用を中
の対応があることを確認するとともに,
心に - , Computer & Education, 37, 2014,
dim Qd － dim (Imφ) は一般的な要素
17-23
EFGH∈ Imφ に対して, φ-1(EFGH)の次元
GC/html5:http://www.auemath.aichi-edu.
を意味することや, その次元を実感する上
ac.jp/teacher/iijima/gc_html5/
大学院・静岡大学大学院共同教科開発学専
で, マウスの場合には制約を明確にするた
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