【因数分解の
因数分解の応用】
応用】
【問題１
問題１】
２桁数までの
桁数までの乗算
までの乗算(
乗算(掛け算)ができる電卓
ができる電卓があります
電卓があります。
があります。つまり、
つまり、最大『
最大『９９ x ９９』
９９』まで計算
まで計算できる
計算できる電卓
できる電卓です
電卓です。
です。
いま、
いま、この電卓
この電卓を
電卓を使って、
って、４桁数どうし
桁数どうしの
どうしの乗算をしたい
乗算をしたい。
をしたい。
４桁の一方の
一方の数を『ABCD』
ABCD』(千の位が A、百の位が B、十の位が C、一の位が D という数
という数)、他方を
他方を『EFGH』
EFGH』(左
同)として、
として、どうすればよ
どうすればよいだろうか。
いだろうか。
【問題１
問題１の答え】
４桁数を
桁数を２桁ごとに分
ごとに分け、
・ABCD = ABx100 + CD
・EFGH = EFx100 + GH
と考えます。
えます。すると、
すると、
(ABCD)x(EFGH) = (ABx100 + CD)x(EFx100 + GH)
2
= ABxEF
ABxEFx100
x100 + (ABxGH
(ABxGH + CDxEF)x100
CDxEF)x100 +CDxGH
+CDxGH
となります
となります。
ります。
各乗算部(
各乗算部(下線部)
下線部)は２桁数の
桁数の電卓で
電卓で計算でき
計算できます
できます。
ます。後は、10000 倍、100 倍などをして、
などをして、加算(
加算(足し算)すれば良
すれば良
いのです。
いのです。
コンピュータは二進数
コンピュータは二進数で
二進数で計算しますが
計算しますが、
しますが、例えば６４
えば６４桁数
６４桁数の
桁数の乗算を
乗算を、１６桁
１６桁の乗算器を
乗算器を用いて計算
いて計算しなくてはな
計算しなくてはな
らない場合
らない場合が
場合が多々あります。
あります。このような場合
このような場合、
場合、上と同じ方法で
方法で、１６桁
１６桁ごとに分
ごとに分割して計算
して計算していきます
計算していきます。
していきます。
『分解して
分解して計算
して計算する
計算する』
する』ことに気
ことに気づかない人
づかない人は、大人でも
大人でも計算
でも計算できないと
計算できないと騒
できないと騒ぎます。
ぎます。
【問題２
問題２】
今、『問題１
問題１』で、２桁乗算用電卓
乗算用電卓が
電卓が４台有り
台有り、電卓は
電卓は１回の計算に
計算に１秒かかるものとします。
かかるものとします。
２つの４
つの４桁数の
桁数の組が１.５秒毎に
秒毎に連続して
連続して入力
して入力される
入力される(
される(与えられる)
えられる)とき、
とき、どのようにすれば、
どのようにすれば、とりこぼしなく、
とりこぼしなく、
連続して
連続して答
して答えが出
えが出せるでしょうか。
せるでしょうか。計算を
計算を手伝ってくれる
手伝ってくれるアルバイトの
ってくれるアルバイトの応援
アルバイトの応援(
応援(何人でもよい
何人でもよい)
でもよい)を頼んでも良
んでも良いも
のとします。
のとします。
【問題２
問題２の答え】
『問題１
問題１』より
(ABCD)x(EFGH) = (ABx100 + CD)x(EFx100 + GH)
= ABxEFx100x100
ABxEFx100x100 + (ABxGH
(ABxGH + CDxEF)x100
CDxEF)x100 + CDxGH
"ア"
"イ"
"ウ "
"エ "
ができれば良
ができれば良いのですが、
いのですが、これを１
これを１.５秒ではこなせません。
ではこなせません。
工場では
工場では、
では、仕事を
仕事を分けて、
けて、ベルトコンベアに乗
ベルトコンベアに乗せて部分
せて部分ごとに
部分ごとに装置
ごとに装置を
装置を組み立てて行
てて行きます。
きます。
これと同
これと同じように、
ように、５つのベルトコンベアを作
つのベルトコンベアを作り、５人で処理します
処理します。
します。
①コンベア１
『ABxEF』
コンベア１では『
では『AB、
AB、EF』
EF』を取り出して、
して、
ABxEF』(ア)の計算をし
計算をし、
をし、コンベア５
コンベア５に送出。
送出。
②コンベア２
『ABxGH
コンベア２では『
では『AB、
AB、GH』
GH』を取り出して、
して、
『ABxGH』
ABxGH』(イ)の計算をし
計算をし、
をし、コンベア５
コンベア５に送出。
送出。
③コンベア３
『CDxEF
コンベア３では『
では『CD、
CD、EF』
EF』を取り出して、
して、
『CDxEF』
CDxEF』(ウ)の計算をし
計算をし、
をし、コンベア５
コンベア５に送出。
送出。
④コンベア４
『CDxGF
コンベア４では『
では『CD、
CD、GH』
GH』を取り出して、
して、
『CDxGF』
CDxGF』(エ)の計算をし
計算をし、
をし、コンベア５
コンベア５に送出。
送出。
⑤コンベア５
コンベア５では『
では『"ア"x10000 + ("イ
("イ"+"ウ
"+"ウ")x100 + "エ
"エ"』(加算のみ
加算のみ)
のみ)の計算をし
計算をし、
をし、答えを送出。
送出。
各コンベア上
コンベア上の仕事が
仕事が１.５秒以内でできれば
秒以内でできれば良
でできれば良いのです。
いのです。
⑤は加算(
加算(足し算)のみで十分速
のみで十分速く
十分速く処理できるはずですが
処理できるはずですが、
できるはずですが、間に合わないなら、
わないなら、これを分
これを分けて"コンベア６
コンベア６"(６
"(６人
目)を用意すれば
用意すれば良
すれば良いです。
いです。
コンピュータではこの方法
コンピュータではこの方法を
方法を『パイプライン処理
パイプライン処理』
処理』と呼び、電子回路を
電子回路を作る大切なテクニック
大切なテクニックの
なテクニックの一つとなって
います。
います。一例として
一例として、
として、キズついた画像
キズついた画像を
画像を高速で
高速で修復する
修復する装置
する装置などに
装置などに使
などに使われます。
われます。
【問題３
問題３】
①『２６ｘ
２６ｘ３４』
３４』を計算せよ
計算せよ。
せよ。
②『３３ｘ３７』
３７』を計算せよ
計算せよ。
せよ。
【問題３
問題３の答え】
２
２
(Ａ＋Ｂ)
Ａ＋Ｂ)ｘ(Ａ－Ｂ)
Ａ－Ｂ)＝Ａ －Ｂ
・・・第一式
・・・第一式
に気づきけば簡単
けば簡単。
簡単。この式
この式のＡは、二数の
二数の中間値を
間値を、Ｂは中間値からの
中間値からの距離
からの距離を
距離を示しています。
しています。
このことは、
このことは、ある数
ある数Ｃ、Ｄの
Ｃ、Ｄの掛け算(乗算)
乗算) は以下でも
以下でも求
でも求められることを示
められることを示します。
します。
２
２
ＣｘＤ＝(ＣとＤの中間値)
中間値) －(中間値からの
中間値からの距離
からの距離)
距離)
２
２
＝{(Ｃ
{(Ｃ＋Ｄ)/２
)/２} －{(Ｃ－Ｄ)/２
)/２}
２
２
＝{(Ｃ＋Ｄ)
Ｃ＋Ｄ) －(Ｃ－Ｄ)
Ｃ－Ｄ) }/４
}/４ ・・・第二式
・・・第二式
①中間値＝
中間値＝３０、
３０、中間値からの
中間値からの距離
からの距離＝
距離＝４ の整数となるので
整数となるので、
となるので、第一式から
第一式から、
から、
２６ｘ
２６ｘ３４＝
３４＝(３０－
３０－４)ｘ(３０＋
３０＋４)
２
２
＝３０ －４
＝９００－
００－１６
＝８８４
簡単に
簡単に計算できますね
計算できますね。
できますね。
②中間値＝
中間値＝３５．
３５．５、中間値からの
中間値からの距離
からの距離＝
距離＝２．５ の小数なので
小数なので、
なので、小数点以下が
小数点以下が出て、苦手と
苦手と感じる人
じる人もいるで
しょう。
しょう。こんなときは、
こんなときは、赤部を
赤部を思い出して、
して、第二式で
第二式で計算しましょう
計算しましょう。
しましょう。
２
２
３３ｘ
３３ｘ３８＝{(３３＋
３３＋３８) －(３３－
３３－３８) }/４
}/４
２
２
＝(７１ －５ )/４
)/４
＝(５０４１－
５０４１－２５)/
２５)/４
)/４
＝(５０１６)/
５０１６)/４
)/４
＝１２５４
１２５４
２
２
第一式の
第一式の、『(３５．
３５．５－２．５)ｘ(３５．
３５．５＋２．５)＝３５．
３５．５ －２．５ 』
で求める場合
める場合とどちらが
場合とどちらが計算
とどちらが計算し
計算し易いでしょうか？
いでしょうか？
なお、
なお、
２
７１
２
＝(７０＋
７０＋１)
２
２
＝７０ ＋２ｘ７０ｘ
７０ｘ１＋１
＝４９００＋
４９００＋１４０＋
１４０＋１
＝５０４１
と、これも習
これも習った因数分解
った因数分解の
因数分解の式で簡単に
簡単に計算できます
計算できます。
できます。
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