折り紙幾何学～折り紙で数学を楽しもう～２９０３木村麻里研究動機  小さい頃から折り紙を折ることが好きで去年たまたま折り紙について調べていたところ、「すごいぞ折り紙」という本を見つけ読んでみたところ、とても興味深かったので、取り組むことにした。折り紙幾何学とは･･･  オリガミクス（origamics）と呼ばれる。 ↓ 折り紙（origami）＋学術・芸術を表す語尾（‐ics）研究内容１．折紙の三等分２．一つの正方形を面積の異なる二つの正方形にする３．正三角形を作る４．直角三角形（１：２：√３）をつくる５．正五角形を作る６．正方形の１/ｎの正方形を作る →この１～６を証明し、正しいかどうかを確かめる。１．折紙の三等分（芳賀の定理） → → → 証明① △ＡＧＥについて三平方の定理を使って表し、解いていくと X＝1/3aとなり AG：GB＝２：１・・・① △MNGと△MLEは一辺両端角相当となるので △ MNG≡△MLE ∴辺MN＝辺ML・・・② ①②より ML：MN：GB＝１：１：１よって辺ABは三等分されていることが分かる。２．一つの正方形を面積の異なる二つの正方形にする → → → → → → 証明② △AY’B≡DX’A （一辺両端角相等より） ∴辺BX=辺AX’＝辺BY’ 辺X’D＝辺Y’A＝辺CD 角Y’BX＝角CDX’＝９０° よって一つの正方形から面積の異なる正方形が二つできることがわかる。３．正三角形（と内心）を作る → → → → → → 証明③ △KIJについて ∠AKE＝∠EKF＝∠IKL＝３０° (折り紙で折ったときに重なるため) ∠EKJ＝９０°(手順③より) よって∠GKJ＝６０°･･･① 辺KLは垂直なので ∠IKL＝∠JKL＝３０°、∠L＝９０° よって∠KIL＝∠KJL＝６０°･･･② ①②よりすべての角が６０°なので △KIJは正三角形である。点M･･･辺DCの中点、点J･･･辺MCの中点点O･･･辺DJの中点、辺EO、辺NM//辺BC）点H･･･△KIJの内心、ピンクの丸･･･３０° 青の丸・・・２０° ４．直角三角形（１：２：√３）を作る → → → → → → → → → 証明④ △EBFについて ∠EBF＝３０°(手順④より)･･･① ∠EFB＝６０°(手順③より)･･･② ∠FEB＝１８０°－３０°－６０° ＝９０°･･･③ よって①②③より △EBFは1：2：√3の直角三角形になる。ピンク丸･･･３０° 青丸･･･１５° ３．正方形の１/ｎの正方形を作る → → → → → 証明⑤ △ABE≡△BCF≡△CDG≡△DAA’ (一辺両端角相等より) △ABEの面積＝１×(ｎ―１/２ｎ)×１/２＝ｎ－１/４ｎ □EFGHの面積＝□ABCD－△ABF―△BCF―△CDG―△DAA’ ＝□ABCD―△ABF×４＝１－(ｎ－１/４ｎ)×４＝１/ｎ ∴□EFGH＝□ABCD×１/ｎとなる。何の図形でしょうか？ → → → → → → 結果は・・・？正解は・・・正五角形！！証明⑥ △GJHと△IJHについて ∠HGJ＝∠GHJ＝∠HIJ＝∠IHJ･･･① (手順⑦の図より) 辺JH＝辺JH･･･② ∴①②から△GJHと△IJHはピンク丸･･･３６°緑丸･･･５４° 合同な二等辺三角形と分かる紫丸･･･９° 水色丸･･･４５° (△GBJは図を展開したとき、 △GJH、△IJHと合同な二等辺三角形になる。) ∴この五角形は、辺はすべて等しく、一角が１０８°となるので正五角形であることが分かる。折り紙工学       平面から作れるペットボトル宇宙船の帆のコンパクト化落下途中で絡まないパラシュートの畳み方車に搭載されているエアバッグの畳み方すばやく開ける地図軽くて丈夫なビルの構造感想  何回か折るだけで、様々な図形ができてこれこそが折り紙幾何学の面白さではないかと思った。  これはまだまだ初期段階なので、これからじっくりと取り組んでいきたいと思う。参考文献「すごいぞ折り紙～折り紙の発想で幾何を楽しむ～」阿部恒「絵をみてできる数学実験」磯田正美原田耕平[編] http://blog.gijutsushi.net/?eid=630346 http://suugakunomori.mikawanomori.com/origami.html http://www.origami-club.com/123/index.html Thank you for listening･･･