図形の折り返し

10
図形の折り返し
出題パターン　１ AB=1cm，BC=
2 cm の長方形 ABCD について，次の各問に答えなさい。
⑴　右の図 1 のように，長方形 ABCD を辺 BC 上の点 E，辺 CD 上の点 F
図 1 を通る線分 EF を折り目として折ったとき，点 C が辺 AD 上の点 G に重
26°
G
A
なりました。
D
F
∠DGF=26°のとき，∠GEF の大きさを求めなさい。
B
〔
C
E
〕
⑵　右の図 2 のように，長方形 ABCD を辺 BC 上の点 H，辺 AD 上の点 I
図 2 J
を通る線分 HI を折り目として折ったとき，点 C が点 A と重なりました。
また，点 D の移った点を J とします。このとき，zAHI の面積を求めな
I
A
D
さい。
B
〔
ポイント
〕
H
C
「図形の折り返し」についての問題では，総合的な知識を必要とするものが出題されます。折り
返した図形と，折り返す前のもとの図形が合同であることに注目し，大きさの等しい角や長さの等しい辺を調べ
て，図にかきこみ，その情報をもとに問題に取り組むようにしましょう。
➡　図形の折り返しと相似
➡　図形の折り返しと二等辺三角形
下の図の長方形 ABCD を線分 BE を折り目として
下の図の長方形 ABCD を線分 AC を折り目として
折り返したとき，点 C の移った点を F とすると，
折り返したとき，点 D の移った点を G，AG と BC
∠BFE=∠BCE=90°
との交点を H とすると，
よって，∠ABF=∠DFE，∠AFB=∠DEF
∠HAC=∠DAC
2 組の角がそれぞれ等しいので，
また，∠DAC=∠HCA
zABF∽zDFE
よって，∠HAC=∠HCA となり，zHAC は二等
となる。
辺三角形となる。
A
F
D
D
A
E
B
B
C
C
H
G
－ 45 －
練
習
問
題
１右の図のように，長方形 ABCD を，辺 BC 上の点 E，辺 AD 上の点 F
D´
を通る線分 EF を折り目として折ったとき，点 C の移った点を C´，点 D
の移った点を D´とします。∠D´FE=110˚のとき，∠C´EB の大きさ
C´
A
F
を求めなさい。
B
〔
D
110°
C
E
〕
２右の図のように，AD＞AB の長方形 ABCD を，辺 AD 上の点 E，
E
A
D
辺 BC 上の点 F を通る線分 EF を折り目として折ったとき，点 C の移っ
た点を C´，点 D の移った点を D´，線分 ED´と線分 BF との交点
を G とします。∠EFG=50˚のとき，∠D´GF の大きさを求めなさい。
50°
G
B
F
C
D´
C´
〔
〕
３右の図のように，1 辺の長さが12cm の正方形 ABCD を，辺 BC 上の
N
F D
A
点 E，辺 AD 上の点 F を通る線分 EF を折り目として折ったとき，点 C
が辺 AB の中点 M に重なりました。また，点 D の移った点を N とします。
このとき，線分 BE の長さを求めなさい。
M
〔
B
〕
E
４右の図のように，1 辺の長さが15cm の正三角形 ABC を，辺 AB 上
C
A
の点 D，辺 AC 上の点 E を通る線分 DE を折り目として折ったとき，
点 A が辺 BC 上の点 F に重なりました。CE=8cm，CF=3cm のとき，
線分 DF の長さを求めなさい。
E
D
B
〔
－ 46 －
〕
F
C
５右の図のように，長方形 ABCD を対角線 AC を折り目として折った
E
とき，点 B の移った点を E，辺 AD と辺 EC との交点を F とします。
このとき，次の各問に答えなさい。
⑴　∠CAB=a˚とするとき，∠EAF の大きさを a を用いた式で表しな
A
D
F
さい。
B
〔
C
〕
⑵　AF=CF であることを証明しなさい。
（証明）
⑶　AB=4cm，BC=6cm のとき，線分 DF の長さを求めなさい。
６右の図 1 のように，長方形の紙 ABCD を点 A が辺 CD 上に重なるよ
〔
図1
A
〕
E
D
うに折ったとき，折り目の線を BE，点 A の移った点を F とします。
このとき，次の各問に答えなさい。
⑴　zBCF とzFDE が相似であることを証明しなさい。
F
（証明）
B
図2
A
C
E
D
H
G
⑵　右の図 2 のように，図 1 の状態から，さらに辺 BC が線分 BF に重
なるように折ったとき，折り目の線を BG，点 C の移った点を H とし
ます。AB=7cm，BC=5cm のとき，線分 FG の長さを求めなさい。
〔
－ 47 －
〕
F
B
C
1 辺の長さが12cm の正方形の折り紙を，次の①～⑤の手順にしたがって折ると，正八角形ができます。
７
①　図 1 のように，折り紙の頂点を A，B，C，D として，対角線 AC に折り目をつけます。
②　図 2 のように，辺 BC が対角線 AC に重なるように折り返し，頂点 B の移った点を P とします。
③　図 3 のように，頂点 A が点 P に重なるように折り返します。
④　図 4 のように，②の折り返しをもとに戻します。
⑤　頂点 B，C，D について，①から④の手順を頂点 A の場合と同様に順に行います（図 5 ）。
このとき，次の各問に答えなさい。
図1
図2
A
D
図3
A
D
図4
A
P
D
図5
A
P
D
A
D
C
B
C
P
12cm
B
C
B
C
C
B
B
⑴　この正八角形の 1 辺の長さを求めます。途中の説明も書いて答えを求めなさい。その際，解答らんの図に
数や記号をかいて，それを用いて説明してもよいものとします。
（説明）
A
D
B
C
〔答〕　⑵　右の図 6 のように，もとの正方形の対角線の交点を O，正八角形の頂点の 2 つ
図6 A
F
E
D
を E，F とするとき，zAOE とzOFE が相似であることを証明しなさい。
（証明）
O
⑶　右の図 7 のように，もとの正方形の各頂点を折り返した点をそれぞれ A´，B´，
B
C
図7 A
D
C´，D´とし，この 4 点を OA´=OB´=OC´=OD´となるようにしながら，もと
の正方形の対角線に沿って点 O に近づけていくと，影をつけた部分
（
積と白い部分（
）
の面
G
B´
）の面積が等しくなりました。このとき，八角形の頂点の 1
つを G として，線分 OG を半径とする円の面積を求めなさい。ただし，円周
率は p とします。
〔
－ 48 －
〕
A´
B
D´
O
C´
C
８ AB=4cm，AD=4
2 cm の長方形 ABCD において，辺 AD，BC の
図1
中点をそれぞれ M，Nとします。右の図 1 のように，線分 BN 上に点 E，
M
A
D
辺 CD 上に点 F をとり，2 点を通る線分 EF を折り目として，点 C が
F
点 M に重なるように折ると，点 N は点 N´に移りました。このとき，次
N´
の各問に答えなさい。
⑴　zMDF とzMNE が相似であることを証明しなさい。
E
B
（証明）
N
C
⑵　線分 DF と線分 EN の長さを求めます。途中の説明も書いて答えを求めなさい。その際，解答らんの図に
数や記号をかいて，それを用いて説明してもよいものとします。
（説明）
M
A
D
F
N´
E
B
〔答〕　DF　⑶　右の図 2 のように，点 N´から線分 BN へ垂線をひいたときの交点
を G とします。このとき，線分 EG の長さを求めなさい。
N
C
，EN　図2
M
A
D
F
N´
B
〔
－ 49 －
〕
EG
N
C

Download Report