卒業論文レポート準備 0.1. Hadmardゲートとπ/8ゲートと CNOTゲートの

卒業論文レポート準備
0.1.
Hadmard ゲートとπ/8 ゲートと CNOT ゲートの普遍性
π/8 ゲート (T ) とは，以下のようにする：
(
T =
)
1
0
0 e
πi
4
Hadmard ゲートとは，以下のようにする：
(
1
1
H=√
2
1
)
1
−1
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
1
0
制御 N OT ゲートとは，以下のようにする：

1

0
CN OT = 
0

0






ゲートとは以下のようなものである：X −→ ゲート a を通す −→ aX
普遍性とは，n 個の任意の量子ビットのユニタリー演算は，Hadmard ゲートと制御 N OT ゲートで正確に実行で
きることを意味する．
Hadmard ゲート，制御 N OT ゲート (CN OT )，π/8 ゲート，位相ゲート、これらのゲートだけで構成される回路
を使った n 個の任意の量子ビットで動く任意のユニタリー変換が近似できることを．量子計算の普遍的なゲート
であるといえる．
ここでは，その Hadmard ゲートと π/8 ゲートと CN OT ゲートの普遍性の証明を行う．
その証明を行うために，Bloch 球の説明をあらかじめ行う．
Bloch 球とは：
量子ビットを以下のようにした時
| ψ⟩ = α | 0⟩ + β | 1⟩
2
2
この時の α と β は，|α| + |β| = 1 となるような複素数である．
この量子ビットを，Bloch 球上において以下のように示す：
(
)
θ
θ
| ψ̂⟩ = eiψ cos | 0⟩ + eiϕ1 sin | 1⟩
2
2
(0 ≤ ψ ≤ 2π, 0 ≤ θ ≤ π, 0 ≤ ϕ ≤ 2π)
上記の式を２次元化したものを，以下のように示す：
| ψ⟩ = cos
θ
θ
| 0⟩ + eiϕ2 sin | 1⟩
2
2
下図に | ψ̂⟩ を Bloch 球上に示す．
1
| 0̂⟩
z
| ψ̂⟩
θ
y
x
ϕ1
| 1̂⟩
このような球を Bloch 球といい、また Bloch 球上に表されるベクトルを Bloch ベクトルという．
この時，今後２次元ベクトルで証明を行いたいため，３次元ベクトルの | ψ̂⟩ が 2 次元ベクトルと対応しているこ
とを以下の２式から，θ，ψ ，ϕ の角度を求めることで示す．
2
2
| ψ̌⟩ = α | 0⟩ + β | 1⟩ , (|α| + |β| = 1)
(
)
θ
θ
| ψ̂⟩ = eiψ cos | 0⟩ + eiϕ sin | 1⟩
, (0 ≤ ψ ≤ 2π, 0 ≤ θ ≤ π, 0 ≤ ϕ ≤ 2π)
2
2
この２式から以下の式が求められる．
cos2
θ
θ
+ sin2 = 1
2
2
上記の２式から，２乗を外すことで，
θ
2
θ
|β| = sin
2
ここで，| ψ⟩ と | ψ̂⟩ の２式の | 0⟩ の係数を比較する
|α| = cos
α = eiψ cos
θ
2
|α| = cos θ2 を代入すると，
α = eiψ |α| , eiψ =
α
|α|
が求めることができ，
ψ = arg α
より，ψ が求められた．
次に，| ψ⟩ と | ψ̂⟩ の２式の | 1⟩ の係数を比較する
β = eiψ eiϕ sin
θ
2
|β| = sin θ2 を代入すると，
β = eiψ eiϕ |β| , eiψ eiϕ =
2
β
|β|
eiψ =
α
|α|
を上記の式に代入すると，
α iϕ
β iϕ
|α| β
e =
e =
|α|
|β|
|β| α
ϕ=
arg β
arg α
より，ϕ が求められた．
θ は，
θ
2
θ
|β| = sin
2
|α| = cos
このような角度を取る θ があると考えられる．
これにより，θ，ψ ，ϕ 全ての角度が得られた
これにより，３次元ベクトル | ψ̂⟩ が２次元ベクトル | ψ̌⟩ と対応していることが示せた．
普遍性の証明を行う．まず，Hadmard ゲートと π/8 ゲート (T ) を使って，任意の量子ビットのユニタリー演算を
近似できる証明を示す．
ゲート T とゲート HT H を考える。この時，ゲートには，| ψ⟩ を通すこととする．
T は，Bloch 球上で z 軸の回りに π/4 ラディアンだけ回転することに相当する
⃗ = (cos θ | 0⟩ + eiϕ sin θ | 1⟩)
| ψ⟩
2
2
( )
( )
1
0
を | 0⟩ =
と | 1⟩ =
を代入して | ψ⟩ を行列に変換して，ゲート T を通す．
0
1
(
)(
) (
)
1 0
cos θ2
cos θ2
T | ψ⟩ =
=
iπ
0 e4
eiϕ sin θ2
ei(ϕ+π/4) sin θ2
が得られた，行列を以下の様に変換すると，
(
| 0⟩ =
( )
1
0
・| 1⟩ =
( )
0
1
cos θ2
ei(ϕ+π/4) sin θ2
)
θ
= cos
2
( )
1
0
+e
i(ϕ+π/4)
θ
sin
2
( )
0
1
であるため，
| ψ( π4 ,Z) ⟩ = (cos
θ
θ
| 0⟩ + ei(ϕ+π/4) sin | 1⟩)
2
2
となり，ϕ は，z 軸を中心に回っている角度を示している．つまり，| ψ⟩ がゲート T によって，z 軸の回りに π/4
回転したことがわかる．
HT H は，Bloch 球上で x 軸の回りに π/4 ラディアン回転することに相当する．
)
)(
)(
)(
1 1
1 0
1 1
cos θ2
iπ
1 −1
0 e4
1 −1
eiϕ sin θ2
(
)(
)(
)
iπ
1 1
cos θ2
1 1 e4
=
iπ
2 1 e4
1 −1
eiϕ sin θ2
1
HT H =
2
(
3
(
)(
)
iπ
iπ
cos θ2
1 1+e 4 1−e 4
=
iπ
iπ
2 1−e 4 1+e 4
eiϕ sin θ2
(
)
iπ
iπ
1 (1 + e 4 ) cos θ2 + (1 − e 4 )eiϕ sin θ2
=
iπ
iπ
2 (1 − e 4 ) cos θ2 + (1 + e 4 )eiϕ sin θ2
4

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