微分積分プリント（三角関数の極限)

微分積分プリント（三角関数の極限)
2015.6 佐藤 (敏) 1. 極限値の計算
(1) ∞
や ∞ − ∞ の不定形は代入しただけでは求まらない
∞
i. 約分して 0 になる項を消す
ii. 分子分母を最高次数 x, x2 で割り，
iii. 分子を有理化する
(2) x → −∞ のときは √
1
1
→ 0 , 2 → 0 を作る．
x
x
x2 ̸= x ⇐= 正の平方根 ̸= 負の無限大だから符号が異なる
t = −x とおき t → ∞ とする
2. 平均変化率と微分係数，導関数の違い
(1) 平均変化率意味線分 AB の傾き
式 ∆y
f (b) − f (a)
f (a + h) − f (a)
=
=
∆x
b−a
h
(2) 微分係数意味点 A における接線の傾き
式 f ′ (a) = lim
f (a + h) − f (a)
h
(3) 導関数意味微分係数を求める関数
式 f ′ (x) = lim
f (x + h) − f (a)
h
h→0
h→0
3. 微分係数は 3 点そろって f ′ (a) (導関数も同じ)
f ′ (a) = lim
h →0
lim
h→0
f (a + h ) − f (a)
h
(注) 計算では ∆x よりシンプルな h を使う！
f (a − h) − f (a)
h
lim
h→0
f (a + 2h) − f (a)
h
t = −h とおくと
t = 2h とおくと
h → 0 のとき t → 0
h → 0 のとき t → 0
= lim
t→0
f (a + t) − f (a)
= − f ′ (a) −t
= lim
h→0
f (a + t) − f (a)
= 2 f ′ (a)
1
t
2
4. f (x) を x = a で連続にするには
(1) lim f (x) を求める．(存在しないときは連続でない)
x→a
=⇒ lim f (x) = f (a) (2) (1) の極限値が f (a) と一致する．
x→a
極限値存在
極限値存在しない
極限値存在
不連続
連続
不連続
極限値と一致
極限値と一致しない
a
x
a
x
a
x
5. 実数解を持つことを示すには中間値の定理を使用する．
中間値の定理の準備
(1) f (x) が閉区間で連続
(2) f (a) ̸= f (b)
(3) f (c) = k (f (a), f (b) の間にある値 k) となる
c (a < c < b) が少なくとも１つ存在する
f (x) の符号が変わればその間に必ず少なくとも１つ実数解が存在する
f (a) > 0
実数解
b
a
実数解を 4 個持つときは 4 回調べる
x
f (b) < 0
6. sin x は 3 点そろって 1
lim
x →0
sin x
x
= lim
= 1 x
sin
x
x →0
lim
sin x
2x
lim
= lim
sin x 1
× x
2
t = 2x とおくと x → 0 のとき t → 0
x→0
x→0
=
x→0
1
2
sin 2x
x
= lim
t→0
sin t
sin t
= lim
×2=2
1
t→0
t
2 t
7. 微分の公式
(1) ( n
) ′ = n n−1
× ′
(2) ( f g )′ = ビブン・シナイたすことのシナイ・ビブン (3) (
f ′
ビブン・シナイひくことのシナイ・ビブン
) = g
(分母)2
√
1
・ ( x)′ = √
2 x
・根号は指数に 1
1
( )′ = − 2 x
x
√
3
1
x = x 3 分母はマイナス指数に 1
= x−3 x3

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