1 12-A1 部材 AB および BC に作用する軸力を Q AB，QBC とする。荷重

12-A1
部材 AB および BC に作用する軸力を QAB，QBC とする。
荷重点 B における力のつり合いより，
水平方向：
QAB cos 30  QBC cos 30  0
垂直方向：
QAB sin 30  QBC sin 30  P  0
Q AB
30
B
30
QBC
上式より， QAB  P, QBC   P
トラス全体のひずみエネルギーは，部材に作用する軸力から，
U  U AB  U BC 
2
2
 P 2
 QBC
Q AB


2 EA 2 EA
EA
ここで，部材 AB および BC の長さは  である。
荷重点 B の垂直方向（荷重方向）変位 δB は，カスティリアノの定理より，
B 
U 2 P

EA
P
1
P
12-A2
P0
w
A
C
x

カスティリアノの定理を利用するために，両端支持はりの中央に仮想荷重
P0 を考える。
支持反力は対称性より R とすれば，
R
P0  w
・・・(a)
2
支持端 A から x の位置に生じる曲げモーメント M は，
M  Rx 
w 2
x
2
ひずみエネルギーは，対称性より  / 2 までの積分を 2 倍して求める。
U  2
1

EI

/2
0
1
M2
dx 
2 EI
EI

2
 / 2
0
1
w 2
 Rx  x  dx 
2 
EI

/2
 2 x3
x 4 w2 x 5 
R
Rw




3
4
4 5 0


1
EI

w2 4 
 R 2 x 2  Rwx3 
x dx

4


 / 2
0
 2 3
 4 w25 
R
Rw




64 640 
 24
上式に式(a)を代入して，カスティリアノの定理を適用する。
vc 
U
1  2 P0  2w  3 1 w 4 


 


P0 EI 
4
24 2 64 
仮想荷重 P0=0 とすれば，はりの中央のたわみ vC は，
vc 
5 w 4
384 EI
2
12-A3
a

A
B
o
P
Q
B 点の垂直方向の垂直方向変位 vB を求めるため，仮想荷重 Q を作用させ
る。
角度 φ の位置に生じる曲げモーメントは，
M  Pa sin   Qa(1  cos  )  Pa sin   Qa(cos   1)
M
 a (cos   1)
Q
カスティリアノ定理を適用して，
 M M
U U M


ad
0 EI Q
Q M Q
1 

{Pa sin   Qa(cos   1)}a(cos   1)ad
EI 0

vB 

仮想荷重 Q=0 であるので，
vB 

Pa 3
EI
3
a
EI


0
sin  (cos   1)d 

a3
EI


0
(sin  cos   sin  )d 
2 Pa

 1
 4 cos 2  cos     EI
0

3
3
a3
EI


0
1
( sin 2  sin  )d
2
12-A4
図のように B 点で切断して，AB 間，BC 間でひずみエネルギーを考える。
（AB 間の引張荷重 P によるひずみエネルギーは小さいので無視する）
B
A
A
a
B
a
M B  Pb
b
P
C
B
図 1 L 字型はり
xC
P
C
図 2 自由体図
BC 間のひずみエネルギーは，自由端 C からの距離を xC として，
U BC 

b
0
1
M2
dx 
2 EI
2 EI

b
0
PxC 2 dx  P
2 3
b
6 EI
AB 間のひずみエネルギーは，モーメント MB=Pb は一定であるので，
U AB 

a
0
2
2
M a P 2 ab 2
MB
dx  B 
2 EI
2 EI
2 EI
したがって，フレーム全体のひずみエネルギーU は，
U  U BC  U AB 
P 2b3 P 2 ab 2 P 2b 2


(3a  b)
6 EI
2 EI
6 EI
C 点の水平方向変位 uC は，カスティリアノの定理より，
uC 
U Pb 2

(3a  b)
P 3EI
4
b
12-A5
図のように A 点に反力 R，C 点に荷重 P が作用する片持ちはりとみな
し，A 点のたわみがゼロになる荷重 R を求める問題として考える。
P
a
b
A
C
x
R
B

図の A 点のたわみ vA は，カスティリアノの定理により次のようになる。
vA 

U

(U AC  U BC )  0
R R
ここで，UAC および UBC は，それぞれ AC 間および BC 間のひずみエネル
ギーである。
計算が容易なように，ひずみエネルギーそのものではなく，R で偏微分し
た値をそれぞれの区間で求める。
AC 間については，自由端 A からの距離を x とすれば，曲げモーメント
M=Rx であるので，
U AC

R

a
0
M M
1
dx 
EI R
EI

a
0
Rx 2 dx 
Ra 3
3EI
BC 間については，曲げモーメント M=Rx－P(x－a)であるので，
5
U BC

R

a b
a
1
M M
dx 
EI R
EI
1
a b
 {Rx  P( x  a)}xdx  EI 
a
a b
( Rx 2  Px 2  Pax )}dx
a
a b
x3
x2 
a3
a3 
1 
1 
( a  b) 3
( a  b) 2


 Pa
 ( R  P )  P )
( R  P)  Pa )
( R  P )
EI 
EI 
3
2 a
3
2
3
2 
1

[2{(a  b)3  a 3}R  (3a  2b)b 2 P]
6 EI
上記の結果より，A 点のたわみはゼロであるので，
U AC U BC Ra 3
1



[2{(a  b)3  a 3}R  (3a  2b)b 2 P]
R
R
3EI 6 EI
1

[2(a  b)3 R  (3a  2b)b 2 P]  0
6 EI
したがって，支点反力 R は，
R
(3a  2b)b 2
P
2(a  b) 3
6
12-A6
図のように A 点に反力 R，C 点に荷重 P が作用する片持ちはりとみな
し，A 点のたわみがゼロになる荷重 R を求める問題として考える。
P
a
b
vA
vC
A
B
A
R
C
B
C
a
vA
(a)
b
(b)
図(b)より，A 点および C 点のたわみは，式 7-21 より，
vC 
Rb 2
R ( a  b) 3
(3a  2b), vA 
6 EI
3EI
図(a)，(b)から相反定理より，
PvC  Rv A
解くべき問題の A 点は支持端であるのでたわみはゼロであるから，図(a)
および(b)の A 点の変位の条件は， v A  vA である。
したがって，反力 R は，
R
(3a  2b)b 2
vC
v
P
P C P
vA
vA
2( a  b ) 3
これは，前問の結果と一致している。
7

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