アインシュタインの相対性理論 － 第 １１ 回 － レスポンスカードを取ってください レポートの返却をします 以前の分は前で別途返却します レポートの点数分布 10点 2人 9点 8人 ８点 30人 ７点 50人 6点 45人 5点 9人 2~4点 5人 第４回宿題レポートについて チェック項目 ①思考実験の設定 光時計の説明、光時計の静止系での説明 ②光速度不変の原理 光時計に対して動く系から見ると時間が遅くなること ③横収縮しない 距離の変更での説明はできないこと ④特殊相対性原理 どちらの慣性系も平等（主張は共に正しい） ⇒互いに相手の時間がゆっくり進む ⑤観測例 相対性理論の効果が実際観測されていること 1 前回のまとめ １．特殊相対性理論が示す４つの相対性 同一地点の相対性、同一時刻の相対性 位置間隔の相対性、時間間隔の相対性 主役を明確にして考えよう 見かけと真実の区別も大事 ２．光速に近づいたときの目に見える現象 景色は十人十色 ドップラー効果、光行差、テレル回転とゆがみ 3 今回の内容 ローレンツ変換と速度の合成 これまでの結果を数式にまとめてみよう 速度の相対論的足し算 光速に対する理解を深めよう 今日のキーワード ローレンツ変換 速度の合成 光速 2 今回の講義について 数式を扱う内容が多く難しいと感じるかも しかし、 しかし ローレンツ変換は特殊相対性理論の基盤 ⇒ 講義内容にいれる方がよいであろう 速度の合成則 ・・・ローレンツ変換による導出が最も容易 ロ レンツ変換による導出が最も容易 §５ ローレンツ変換と速度の合成 二つの慣性系の位置と時刻の関係 今日の講義のテーマ １ ある事件が起こった位置と時刻は 慣性系Ｓでは Ｓに対して 地球にいる弟による記述 の速さで動く慣性系Ｓ’では ロ レンツ変換 ローレンツ変換 と ロケットの兄 の関係 Ｓ’の原点Ｏ’がＳの 軸上を正の向きに動くとすると簡単 6 と 、 と の向きをそろえると簡単 3 ☆ローレンツ変換の果たす役割 力学と電磁気学の完成 これが主だが講義では省略 １．相対論的力学の構築 １ 相対論的力学の構築 ニュートン力学の修正 ニュ トン力学の修正 ２．マックスウェル理論の共変性 ２つの慣性系での電磁気現象の関係 派生的利用 ３．時空図を用いる説明 ４．速度の合成則の導出 速度の合成則を相対論的力学の構築に利用する 7 説明法もあるが、本来は独立した内容 ☆ローレンツ変換の導出 ローレンツ収縮 前方は未来 動く時計は遅れる ⇒右のグラフ（時空図）を完成 ＳとＳ’の原点が一致する時刻を に取る １．座標軸は傾いている 主役は原点にいると考えよ Ｓ’の原点はＳにとり速度 で動く ⇒ 軸 は 前方は未来 ⇒ 軸 兄の同時刻 傾きは？ は右肩上がり 8 4 ２． ＝一定の状況から を と で表そう Ｓ’での長さ の「ものさし」 に左端 Ｓにとっては長さ の「ものさし」が 速さ で右に動くので右端の位置は ⇒ ∴ ３ ３． と 横収縮は起こらない ⇒ に左端 に右端のものさしを考える等 ４．時間の関係を考えよう（その１） Ｓ’の原点Ｏ’（ ）の時計が時刻 Ｓでは時間が速く進んで 兄の時計はゆっくり進む ５．時間の関係を考えよう（その２） Ｓ’の位置 にある時計が時刻 ＳにとってＳ’の前方は未来より 上下左右は同時刻⇒ には依らない これからすること の決定・・・どれだけ未来か を と で表す 10 5 思考実験 時刻 一致した原点 Ｓ’の位置 に から にある的に光を発射 Ｓ’での到着時刻 光速度不変の原理 Ｓでの到着時刻 光は的に の速さで接近 Ｓでは的までの距離は 収縮 ⇒ に代入すると 11 従って ⇒ と決まり 立場の入れ替え Ｓ’から見ればＳが速さ 特殊相対性原理 で左に動く の入れ替えをすると 別解： を代入して解く⇒当然同じ結果 12 6 まとめ ローレンツ変換 軸 時空図 の傾きは ４次元時空 ＳとＳ’夫々の立場で ＳとＳ 夫々の立場で ローレンツ収縮 動く時計の遅れ を理解できる 13 高速ロケットから光を放っても、光速度不変の 原理より光の速さは秒速３０万ｋｍである。 では物体を放つと？ １． 光速を越えることもある ２． 光速に達するまでは可能 ３． 必ず光速より遅い 物体 光 観測者 14 7 ☆速度の合成則 今日の講義のテーマ ２ 地球に対して速さ で動くロケット ロケットから速さ でミサイル発射 注 注： はロケットから見た速さ 地球から見たミサイルの速さは？ 一直線上の場合 軸に取る 時刻 に発射 ロケットに対して速さ ⇒ロケットに対する位置は 15 ローレンツ変換の関係式を代入 ⇒ 速度の合成則１ 地球からみたミサイルの速さ 光速を越えることはない ⇒徐々に加速して光速を越えることもできない 教訓８ 光速は越えられない壁 16 8 補足：光速度不変のチェック ロケットから光を放射 地球から見た光の速さ 光速度不変の原理と特殊相対性原理から 導かれた合成則なので当然の結果 17 ２機のロケットが0.８光速で平行に 飛んでいる。一方のロケットから真横 に０．８光速でミサイルを発射する。 地球から見ると？ １． 撃墜 ２． 後方にはずれる ３． 前方にはずれる 18 9 一致の原理 ロケットからみて撃墜の事実は 地球からみても同じ ミサイルは光速を越えないはずでは？ 時刻 に発射 ちょうど地球通過 ロケットに対して 方向に速さ ⇒ロケットに対する位置は ローレンツ変換の関係式を代入 ⇒ 19 地球からみたミサイルの速度 速度の合成則２ 成分 常にロケットの真横 ⇒撃墜 成分 ゆっくり接近 時間の遅れの効果の現れ 地球での撃墜までの時間は 倍 地球からみたミサイルの速さ 光速を越えることはない 20 10 水中など物質中の光の速さは真空中より遅くなる。 物質中を通過する物体の速さは？ １．物質中の光速を越えることもある １ ２．物質中の光速より遅い ３．物質中の光速まで可能 21 速度の合成則より真空中の光速までは加速可能 加速器や宇宙線で光速近くの素粒子を準備 ⇒ 物質中に打ち込めば「光速以上」が実現 例：水中の光速は真空中の０．７５倍 真空中の光速は越えられない壁 真の意味 物質中の光速を越えたときの現象 チェレンコフ光 超音速機の衝撃波と 同じ仕組み 青白い光 22 11 光は波の性質と粒子の性質を併せ持ち、粒子の 性質に注目する時は光子（フォトン）と呼ぶ。 このとき光のビームは光子の流れと解釈できる。 一つの光子から他の光子を眺めると？ つの光子から他の光子を眺めると？ １． 光速で前に進む ２． 光速で後ろに進む ３． 光速で横に進む 止ま て見える ４ 止まって見える ４． ５． 光子は主役になれない 23 ポイント 原理の理解と消去法 光速度不変の原理 ⇒ ４．は× 特殊相対性原理 ⇒ １．２．は× ２つの光子は平等 光子は平等 広がらずに進むビームを考えると ３．では広がってしまうので× 光子は主役になれない 主役は静止 光速で進む粒子の立場には立てない 光が自分自身を眺めると静止と考えるだけで 光速度不変の原理に反してしまう 24 12 アインシュタインの疑問 「光の速さで走る乗り物に乗ると、顔は鏡に映る？」 答１ 光の速さで走る乗り物はない 答２ 光の速さに近い乗り物に乗っても 何の変化もない 光速度不変の原理 25 特殊相対性理論により、通常の物質は光速以上の 速さに加速することができないことが分かったが、 常に光速以上で動く粒子（タキオン）は考えられる。 タキオンが利用できるなら？ １．未来の世界に時間旅行可能 ２．過去の世界に時間旅行可能 ３．歴史の変更が可能 26 13 １．は普通の亞光速ロケットで可能 光速近くで旅行して帰還 ⇒自分は歳を取らずに地球は未来 双子のパラドックス参照（ウラシマ効果） ２．は不可能 通常の物質にとって光速は壁 ⇒「タキオン船」に乗ることはできないので 移動手段の常識は変わらない ３．が可能になる タキオンを利用した超光速通信 ⇒過去の自分に情報を送れる 宝くじの当選番号が分かれば大金持ち・・・ 27 今日のまとめ １．ローレンツ変換 二つの慣性系の位置と時刻の関係 時空図を描いて利用 ２．速度の合成則 で動くロケットから進行方向に速さ のミサイル 地球に対する速度 光速は越えられない壁 28 14 次回の内容 第４章 特殊相対性理論の描く世界 相対論的質量とエネルギー 相対論的質量とエネルギ 29 15
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