24. 信号の離散化と周期化

24. 信号の離散化と周期化
24. Discretization and Periodization of Signal
このテーマの要点
 信号形態とスペクトル形態の関係を理解する
 離散化信号のフーリエ変換について理解を深める
 サンプリング定理とナイキスト周波数を理解する
教科書の該当ページ
 7.1 四つの信号/スペクトルの形態[p.123]
 7.2 サンプリングされた信号のフーリエ変換[p.125]
信号とスペクトルの形態、その関係
時間領域
変換演算
fT (t)
−T/2
0
周期化
−T/2
0
T/2
0
N
N
0
n
n
離散時間
フーリエ変換
DTFT
離散
フーリエ変換
DFT (FFT)
nω0
離散化 F (ω )
0
t
f (n)
0
{cn}
フーリエ
級数展開
FSE
フーリエ変換
FT
f (nΔ t)
周期化
−N
t
f (t)
離散化
−N
T/2
周波数領域
ω
周期化 F (Ω )
−π
0
π
Ω
離散化 F (k )
0
k
離散化と周期化
時間領域と周波数領域において、
離散化と周期化は「対」の関係にある
時間領域
周波数領域
離散化
周期化
周期化
離散化
離散化による周期性スペクトルの発生

F (ω )
f (t, n)
...
t, n
0
ω
離散点を通る信号は無数に存在
サンプリング信号のフーリエ変換
!
連続時間信号
!
サンプリング信号 Δ t 間隔
fa (t)
−T/2
0
T/2
f (n)
t
−N
+∞
fa (t) = 1 ⌠
F ( ω ) e j ω t dω
2π ⌡−∞ a
FT
0
2π
f (n) = 1 ⌠
F(Ω ) e j Ω n dΩ
2π ⌡0
DTFT
F(Ω ) = ∑ f (n) e − j Ω n
n = −∞
Fa (ω )
ωM
n
+∞
+∞
Fa(ω) = ⌠ fa (t) e − j ω tdt
⌡−∞
−ωM 0
N
F (Ω )
ω
−π
+∞
0
π
F(Ω ) = 1 ∑ Fa( Ω + 2π m )(7.4')
Δ t m = −∞
Δt
Ω
関係式の解釈
+∞
F(Ω ) = 1 ∑ Fa( Ω + 2π m )
Δ t m = −∞
Δt
③
F(Ω )のΩ スケール
ω => Ω
Δt
連続時間信号のスペクトル Fa (ω )
ω = 0 ~ ωM で成分を有するものとする
1 Fa (ω )
−ωM 0
①
④
ωM
反復現象
周期 2π で
F(Ω )が無限に反復
ω
F(Ω ) の形は Fa(ω) と同じ
2ωMΔ t
②
∴ Ω = Δt ω
F(Ω )の振幅
...
1
Fa(ω)の倍
Δt
1
Δt
...
2ωMΔ t
F (Ω )
...
...
Δtω
−ωMΔ t
0 ωMΔ t
スペクトルの重なり
サンプリング(離散化)によって、スペクトルが繰り返すと...
m=1
F (Ω )
m=2
...
0 ωMΔ t
−ωMΔ t
!
2π
Ω
4π
ωMΔ t < π のとき
!
ωMΔ t > π のとき
ωMΔ t
0
π
ωMΔ t
2π
ω
0
π 2π
ω
スペクトルは重ならない
スペクトルが重なる
Fa(ω)は F(Ω ) より再現可能
エイリアシング
Fa(ω)は F(Ω ) より再現不可能
サンプリング定理
!
ωMΔ t = π のとき
!
ωMΔ t
0
ω
fs = 1 = πM = 2 fM(7.8)
Δt
π 2π
ω
重なりの限界
!
ωMΔ t = π より
ナイキスト周波数
時間信号に含まれる最高周波数
の2倍のレートでサンプリングす
れば、全ての情報が保持される
サンプリング定理
最高周波数 fM のこと
fM 間隔でスペクトルが折り返す
F (Ω )
...
0
fM
2 fM 3 fM 4 fM
Ω
教科書式(7.4)の導出
時間信号.fa.(t).を離散化形と対応させ、フーリエ逆変換の式を用いて表すと
+∞
fa (t) = fa (nΔ t) = 1
Fa (ω ) e j ω nΔ t dω
2
π
−∞
∫
ここで、ω の積分範囲を 2π ごとに分割すると、これを寄せ集めた形式で
Δt
=
1
2π
+∞
∑
m= −∞
∫
2π (m+1)/Δt
2 π m/Δ t
Fa (ω ) e j ω nΔ t d ω
次に ω ′ = ω − 2π m と変数変換すると、dω ′ = dω
Δt
積分範囲は ω : 2π m → 2π ( m+ 1) のとき ω ′ : 0 → 2 π となるから
Δt
Δt
Δt
= 1
2π
=
1
2π
+∞
∑
∫
+∞
∫
m = −∞
∑
m = −∞
2π /Δt
Fa (ω ′ + 2π m ) exp{ j(ω ′ + 2π m ) n Δt} dω ′
Δt
Δt
2π /Δt
Fa ( Δtω ′ + 2π m ) exp( jω ′nΔt) exp( j2π mn ) dω ′
Δt
0
0
ここで、exp( j2 π mn) =1である(∵m, n は整数)
さらに、Δ tω ′ = Ω と変数変換すると、Δtdω ′ = dΩ
積分範囲は ω ′ : 0 → 2 π のときΩ :0 → 2π であるから
Δt
= 1
2π
= 1
2π
+∞
∑
m= −∞
2π
∫
0
∫
2π
0
1
Δt
1
Fa ( Ω + 2π m ) e jΩ n
dΩ
Δt
Δt
+∞
∑
m = −∞
Fa ( Ω +2π m ) e j Ω n dΩ
Δt
これより、DTFTの逆変換式
f (n) = 1
2π
∫
2π
0
F ( Ω ) e jΩn dΩ
と比べると、
F (Ω ) = 1
Δt
+∞
∑
m =−∞
Fa ( Ω +2π m )
Δt

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