第 37 回数学教育論文発表会論文集数学科の指導における地域博物館の活用の可能性岸本忠之富山大学教育学部藤谷哲目白大学経営学部要約本稿の目的は、数学科の指導において地域博物館をどのように活用できるのかその可能性を検討することである。まず数学科の指導において地域博物館を活用する上での制約を明らかにする。そして地域博物館の活用の可能性として、 ①課題学習的活用、②調査学習的活用、③問題発見的活用、④発展学習的活用をあげた。地域博物館の活用の具体例として、高校・数学Ⅰの三角比の指導における新湊博物館の数学に関する展示内容（江戸時代の測量）を活用する事例を示し、その事例に基づいて地域博物館を活用するときの利点と留意点を示した。１．研究の目的中央教育審議会(1996)の第一次答申では、学校教育において単に学校だけを教育の場と考えるのではなく、社会教育施設などとの連携を積極的に図る必要があると述べられている。社会科や理科では社会教育施設を活用した実践が行われているが、数学科では十分多いとは言えない。社会教育施設の中には、和算や算額など数学に関する展示をしているところもある。例えば一関博物館では、千葉胤秀など一関の和算家の世界を取り上げている。千葉県立博物館では、花香安精とその一門が収集した数学関係の叢書がある。網走のオホーツク数学ワンダーランドは数学に関する博物館である。数学科でも社会教育施設を活用することによって、生徒の学びを広げる可能性があるのではないだろうか。本稿の目的は、数学科の指導において地域博物館をどのように活用できるのかその可能性を検討することである。２．地域博物館活用の枠組み (1)数学科の指導において地域博物館を活用する上での制約 ①博物館において数学に焦点をあてた展示は十分多いとは言えない科学系博物館においても、理科に関する展示内容が多く、数学に焦点をあてた展示は十分多いとは言えない。さらに地域博物館では、数学に関する展示はその地域に関係する内容に限られる。従って近隣の地域博物館では、学習プログラムに生徒が見学する活動を含めることができるが、展示内容の制約を受けるので活用できる単元は限定される。一方遠方の地域博物館では、学習プログラムに生徒が見学する活動を含めることはできないが、教師が展示内容を教材として取り上げることはでき、活用できる単元はやや広がる。 ②博物館の展示はあるテーマに基づいて構成されている博物館の展示はあるテーマに基づいて構成されているので、その展示内容を学校カリキュラムに位置づける必要がある(川上・宮脇,2000)。例えばその地域で発展した和算というテーマであると、その展示内容には、算術や図形の問題が混在しているので、それらをカリキュラム上に位置づける必要がある。 (2)数学科の指導における地域博物館の活用の可能性博物館の活用可能性として、一場(1997) は、学習段階の時期という視点で①課題発見型(導入段階)、②問題解決型(展開段階)、 ③調査活動型(展開段階)、④学習整理型(まとめ段階)、⑤発展学習型(発展段階)を示している(p.153)。数学科としての地域博物館の活用を考えたとき、その活用が数学科のカリキュラムの枠内に留まるのかどうかは学習プログラムを構成する上で重要である。本稿では数学科という教科のカリキュラムの枠の内外という視点で博物館活用の可能性を示す (図-1 参照)。数学科のカリキュラムの枠外での活用を「①目的としての活用」とし、数学科のカリキュラムの枠内での活用を「②方法としての活用」とした。②は一場の分類を手がかりに集約した。いずれの博物館の活用においても、生徒が実際に博物館を見学する場合と教師が展示内容を教材として取り上げる場合がある。［数学科での活用可能性］ ①目的としての活用（枠外） ①−１課題学習的活用 ①−２調査学習的活用 ②方法としての活用（枠内）・導入・展開 ②−１問題発見的活用［一場(1997)］・導入 ①課題発見型・展開 ②問題解決型 ③調査活動型・応用・発展 ②−２発展学習的活用・発展 ④学習整理型 ⑤発展学習型図-1 数学科の指導における地域博物館活用の可能性 ①目的としての地域博物館活用 ①−１：課題学習的活用課題学習的活用は生徒が数学に関する展示内容の理解を深めることを通して、問題発見能力や問題解決能力などを伸ばすことをねらいとした活用である。この活用は、課題学習、地域学習、総合学習で用いられる。その地域の博物館を活用すれば、地域学習とすることができる。 ①−２：調査学習的活用調査学習的活用は学習課題に対して地域博物館をその学習リソースの１つとすることを通して、問題発見能力や問題解決能力などを伸ばすことをねらいとした活用である。この活用は、他教科の学習、課題学習、地域学習、総合学習で用いられる。例えば、中山ら(2003)は干潟に関するフィールド学習での学習リソースとして博物館を位置づけた実践を報告している。 ②方法としての地域博物館活用 ②−１：問題発見的活用問題発見的活用はある数学的内容の理解をねらいとして、単元の最初あるいはその中間で、その数学的内容に対する興味や関心などを高めたり、理解を促したりするために用いる活用である。数学に関する展示内容の中から、数学的内容を取り出していく指導が展開される。 ②−２：発展学習的活用発展学習的活用はある数学的内容の理解をねらいとして、単元の最後にその数学的内容がどう現実場面で利用されているのかを理解するために用いる活用である。この活用には、数学的内容がどう現実場面で利用されているかという応用と学習内容をさらに深めるという発展の２つがある。３．三角比の指導での地域博物館の活用 (1)三角比の指導のねらい単元名：高校・数学Ⅰ・三角比活用形態：問題発見的活用 ※生徒は地域博物館を見学せず、教師が展示内容を教材として取り上げる。指導形態：一斉授業単元目標： ①直角三角形における三角比の意味や計量の基本的な性質について理解すること ②角の大きさなどを用いた計量の考えの有用性を認識すること ③それらを具体的な事象の考察に活用できること (2)新湊博物館の概要新湊博物館は①新湊の歴史、②高樹文庫、 ③石黒宗麿の陶芸・絵画の３つの展示から構成されている。その中の②高樹文庫は、和算、測量術、絵図作製に功績を残した石黒信由以下４代にわたる資料である。展示は①石黒信由の実学、②加越能三州を測る、 ③正確な地図を作るの３つからなる。石黒信由(1760-1836)は、和算や測量術などの学問を究め、加越能三州を測量し、始めて正確な絵図を作製した。石黒信由はまた自身の和算を集大成した「算学鉤到解術」も刊本した。 (3)学習プログラム地域博物館を活用した三角比の学習プログラムは表-1 である。 ①地図を作るためには何が必要か？ ②誤差の修正（勾配）［内容］正弦、余弦、正接、三角比の相互関係 ③田畑を測る方法［内容］図形の計量（S=1/2bc sin A など） ④地図を作製する方法［内容］正弦定理、余弦定理 ⑤測量の工夫表-1 三角比の学習プログラム (4)指導の概要 ①地図を作るためには何が必要か？地図は検地、新田開発、用水・河川改修、境界線の画定のために使われた。地図を作るためには、それぞれ測点の①距離、②方位、③高低差の３つが必要となる。 ②誤差の修正２点間に高低差がある場合、そのまま測った距離は実際の２点間の距離と異なる。正確な地図を作るためには、２点間の水平距離を求める必要がある。下図のように「斜面上の距離(c)」と「高さ(a)」を測り、三角関数表を使って「水平距離(b)」を求める。［求め方］ｃａｂａｃ三角関数表より、θが求まる。 cosθ＝ｂよりｂ＝ｃ・cosθ ｃ＜その後 sinA、cosA、tanA、sin2A+cos2A=1、 tanA=sinA/cosA、90°−Ａの三角比、180° −Ａの三角比などを指導する＞ ③田畑を測る方法目的、広さ、縮尺の大小によって、様々な測量方法が使われた。十字法、三斜法は、検地や新田開発など田畑の面積を求めるために使われた。廻分間は、村や屋敷などの絵画を作るために使われた。ア．十字法十字法は、測量する土地を同じ面積の長方形とみなし、十字に竿を入れて縦と横の長さを測り、それらをかけ合わせて面積を求める方法である(図-2 参照)。実際の田畑は複雑な形をしていることが多く、同じ面積の長方形を作ることができず、精度の低い便宜的な測量である。 sinθ＝図-2 十字法イ．三斜法三斜法は、測量する土地をいくつかの三角形に分割して、その面積を求める方法である(図-3 参照)。かに分割し、方位と距離を順に測り一周して元の地点に戻る方法である(図-4 参照)。この方法は、村の境界や潟の周囲など比較的小面積の測量に使われたが、能登半島のような広い地域を測るときにも使われた。この方法は閉合トラバースと言われる。五四東六七八北南三二九一西図-4 廻分間＜この後 S=1/2bc sinA などを指導する＞ ④地図を作製する方法ア．道線法道線法は、道筋に沿って道路を多くの区間に分割し、測量する方法である(図-5 参照)。主要道路のように順につないだ道線の距離が長くなると、ある区間で生じたわずかな距離や方位の測定誤差が、それ以降の測点の位置を狂わせ、誤差が大きくなる。屈曲の著しい山道ではこの方法による正確な測量には限界がある。この方法は開放トラバースと言われる。図-5 道線法図-3 三斜法ウ．廻分間廻分間は、測量する土地の周囲をいくつイ．交会法交会法は、複数の測点間の距離と目印となる遠方の山・岬・島などの方位を測り、測点と目印の距離を求める方法である(図 -6,-7 参照)。測定誤差は、交会点が一点に交わるように調整することで修正できる。実際の測量では目印として立山・剣岳・白山などが使われた。広域地図の作製には写真測量が一般的であるが、今日でも狭い範囲の測量には交会法が使われる。［求め方］交会点測点 A 目標の山測点 B S1 ＝ BD sin｛180-(γ+δ)｝ sinα S2 ＝ CD sin｛180-(γ+δ)｝ sinγ となって、AD、BD、CD の長さを求めることができる。＜この後正弦定理、余弦定理を指導する＞ ⑤測量の工夫測量では必ず誤差が生じる。地図の作製ではその精度を向上させる必要がある。測点 C 図-6 交会法図-7 交会法による実際の記録例Ｄ α β Ａ γ Ｓ１Ｂ δ Ｓ２Ｃ △DAB において、 AB=S1、∠DAB=α、∠ABD=β △DBC において、 BC=S2、∠DBC=γ、∠DBC=δ を測り、AD、BD、CD が点 D で交わる。正弦定理より、 S1 ＝ AD sin｛180-(α+β)｝ sinβ 図-8 加越能三州郡分略絵図(1825) ア．投影法地図を作製するということは、球面を平面に投影することであり、必ず誤差が生じる。方位測定において真北（北極点）と磁北（方位磁針）は異なるので、その誤差も生じる。局所的な地図であれば、それらの誤差は無視できる程度である。伊能忠敬の全国地図ではそれらの誤差を修正していた。イ．測量法の併用による精度の向上局所的な範囲の測量ならば、道線法だけでも必要な結果を得ることができる。しかし加越能のような地図では誤差も大きくなる。石黒信由は、道線法を主たる測量法としながらも、交会法を併用してその精度を向上させた。ウ．西洋数学の導入石黒信由は、新しく入ってきたヨーロッパの数学を測量にも積極的に取り入れた。方位測量において従来は十二支からめもり度数は 120°であった。西洋数学の三角関数を利用するため、めもり度数を 360°とした。度数めもりが３倍細かくなり、測量精度が向上した。４．地域博物館活用の利点と問題点上記の活用事例から、地域博物館を活用するときの利点と留意点として以下があげられる。 (1)活用による利点 ①数学的内容の必要性を理解できる三角比や三角関数表を測量と関係づけることで、生徒がなぜそれらが必要であるか理解できる。また誤差を考慮することの重要性も理解できる。 ②数学科の指導の中でも地域学習を図ることができる新湊博物館に展示されている数学的内容を活用することで、生徒は地域学習を図ることができる。また生徒は数学を身近なものと理解できる。 ③数学への関心を高めることができる生徒は数学的内容の必要性を理解したり、数学を身近なものとして理解したりすることで、数学への関心を高めることができる。 (2)活用する上での留意点 ①博物館に展示されている数学的内容しか活用できない新湊博物館に展示されている数学的内容が測量に関するものなので、それに関連する三角比の単元しか活用しにくい。 ②指導内容に関係しない内容も含まれる博物館に展示されている測量の内容を扱うことになるので、指導するとき、測量の内容と三角比の内容とが混在するので、系統的に指導しにくい面がある。 ③十分な学習ﾌﾟﾛｸﾞﾗﾑを立てる必要がある三角比の指導において博物館に展示されている測量の内容をどのように位置づけるのか学習プログラムを明確に立てる必要がある。参考・引用文献中央教育審議会(1996)．21 世紀を展望した我が国の教育の在り方について＜第一次答申＞．藤谷哲・岸本忠之・牧原正記・三橋秋彦 (2003)．科学者・技術者との出会いを取り入れた科学館先端科学技術学習プログラムのグランドデザイン．日本科学教育学会研究会研究報告・第 18 巻・第４号． pp.13-18．川上輝・宮脇亮介(2000)．科学館と総合的な学習．科学教育研究報告・第 15 巻・第３号．pp.45-48．小林和夫・鎌田義弘・井上治・川端良和 (1981)．測量学−基本から応用まで−．理工図書．一場郁夫(1997)．新たな歴史の発見につながる博物館の利用方法．大堀哲（編）(1997)．教師のための博物館の効果的利用法．東京堂出版．pp.151-179．中山迅・山口悦司・里岡亜紀(2003)．フィールド学習を通して進める中学校と博物館の連携に関する事例的研究−宮崎県総合博物館の場合−．科学教育研究・第 27 巻・第１号．pp.71-81．小川義和(2003)．学校と科学系博物館をつなぐ学習活動の現状と課題．科学教育研究・第 27 巻・第１号．pp.24-32．大堀哲（編）(1997)．教師のための博物館の効果的利用法．東京堂出版．新湊市博物館(2001)．越中の偉人石黒信由 −改訂版−．渡辺信(1997)．数学を博物館に−数学教育の動機づけ−．日本科学教育学会年会論文集・第 21 号．pp.438-439．