TOPOLOGIE
MIT GRUNDLAGEN
Wolfgang Soergel
29. Februar 2016
Diese Zusammenstellung ist ergänzt um die besonders relevanten Abschnitte
der Skripte zur Analysis. Alle in der farbigen Darstellung grünen und überwiegend
vierteiligen Referenzen beziehen sich auf die öffentliche Werkbank. Lädt man
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Darstellung von pdf-Dateien auch die Hyperlinks.
2
Inhaltsverzeichnis
1
2
3
Stetigkeit in mehreren Veränderlichen
1.1 Vorschläge zur Veranschaulichung . . . . . . . . .
1.2 Stetigkeit bei metrischen Räumen . . . . . . . . .
1.3 Konvergenz von Folgen in metrischen Räumen . .
1.4 Abgeschlossene und offene Teilmengen . . . . . .
1.5 Topologische Räume . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Induzierte Topologie . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7 Abgeschlossene Teilmengen topologischer Räume .
1.8 Grenzwerte in topologischen Räumen . . . . . . .
1.9 Kompakte metrische Räume . . . . . . . . . . . .
1.10 Affine Räume* . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.11 Normierte Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.12 Überdeckungen kompakter metrischer Räume . . .
1.13 Integrale mit Parametern . . . . . . . . . . . . . .
Mengentheoretische Topologie
2.1 Topologische Räume . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Inneres, Abschluß, Umgebungsbegriff . . . . . .
2.3 Zusammenhang . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Topologische Mannigfaltigkeiten* . . . . . . . .
2.5 Kompakte Räume . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6 Konstruktion topologischer Räume . . . . . . . .
2.7 Kompakte topologische Eins-Mannigfaltigkeiten*
2.8 Produkttopologie . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9 Topologische Gruppen . . . . . . . . . . . . . .
2.10 Quotienten nach Gruppenwirkungen . . . . . . .
2.11 Projektive Räume . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.12 Kompakt-offene Topologie . . . . . . . . . . . .
2.13 Eigentliche Abbildungen** . . . . . . . . . . . .
2.14 Separierte Abbildungen** . . . . . . . . . . . .
Homotopie und Fundamentalgruppe
3.1 Einführung in die algebraische Topologie
3.2 Die Definition der Fundamentalgruppe . .
3.3 Die Fundamentalgruppe der Kreislinie . .
3.4 Anwendungen und Beispiele . . . . . . .
3.5 Homotopie . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6 Kategorien und Funktoren . . . . . . . .
3.7 Homotopie und Fundamentalgruppe . . .
3
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3.8
3.9
4
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7
Die abelisierte Fundamentalgruppe* . . . . . . . . . . . . . . . . 128
Selbstabbildungen der Kreislinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
Beschreibung einiger Fundamentalgruppen
4.1 Produkte und Koprodukte in Kategorien . . . . .
4.2 Kartesische Diagramme . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Kokartesische Diagramme . . . . . . . . . . . .
4.4 Der Satz von Seifert und van Kampen . . . . . .
4.5 Freie Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6 Push-out von Gruppen . . . . . . . . . . . . . .
4.7 Simplizialkomplexe und triangulierbare Flächen .
4.8 Klassifikation der geschlossenen Flächen . . . .
4.9 Gruppen durch Erzeugende und Relationen . . .
4.10 Die Fundamentalgruppen geschlossener Flächen .
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Überlagerungstheorie
5.1 Überlagerungen . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Kategorien von Mengen mit Gruppenwirkung
5.3 Quotientenabbildungen als Überlagerungen .
5.4 Lifts und Decktransformationen . . . . . . .
5.5 Universelle Überlagerungen . . . . . . . . .
5.6 Eigenschaften von Funktoren . . . . . . . . .
5.7 Transformationen . . . . . . . . . . . . . . .
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Überlagerungen und Fundamentalgruppe
6.1 Transport durch Wegeliften . . . . . . .
6.2 Klassifikation von Überlagerungen . . .
6.3 Existenz universeller Überlagerungen .
6.4 Adjungierte Funktoren . . . . . . . . .
6.5 Der abstrakte Faserfunktor . . . . . . .
6.6 Die Zopfgruppe . . . . . . . . . . . . .
6.7 Das Yoneda-Lemma* . . . . . . . . . .
6.8 Mehr zu adjungierten Funktoren* . . .
6.9 Überlagerungen topologischer Gruppen*
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Kategorien und Funktoren
7.1 Kategorien . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Funktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3 Transformationen . . . . . . . . . . . . . . .
7.4 Natürliche Konstruktionen in der Geometrie*
7.5 Köcher* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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7.9
7.10
8
Produkte und Koprodukte in Kategorien . .
Summen und Produkte von Vektorräumen*
Algebren* . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Yoneda-Lemma* . . . . . . . . . . . . . .
Universen* . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Danksagung
272
Literaturverzeichnis
273
Index
274
5
1
Stetigkeit in mehreren Veränderlichen
1.1
Vorschläge zur Veranschaulichung
1.1.1. Eine Abbildung f : Rn → Rm schreiben wir in der Form
(x1 , . . . , xn ) 7→ (f1 (x1 , . . . , xn ), . . . , fm (x1 , . . . , xn ))
oder abkürzend f = (f1 , . . . , fm ). Man kann sich derartige Abbildungen auf die
verschiedensten Arten vorstellen.
1. Den Fall n = m = 1 hatten wir schon in ?? ausführlich behandelt und
sogar etwas allgemeiner mögliche Interpretationen einer Abbildung von R
in einen beliebigen Raum bzw. von einem beliebigen Raum nach R besprochen: Erstere kann man sich etwa veranschaulichen als Beschreibung der
Bewegung eines Teilchens in besagtem Raum, Letztere als eine Temperaturverteilung auf besagtem Raum.
2. Im Fall n + m = 3 kann man sich die Abbildung f ähnlich wie im Fall
n = m = 1 durch ihren Graphen Γ(f ) = {(x, f (x)) | x ∈ R} ⊂ R3 bzw.
Γ(f ) = {(x, y, f (x, y)) | x, y ∈ R} ⊂ R3 veranschaulichen. Der Graph
einer Funktion f : R2 → R ist anschaulich eine hügelige Landschaft. Der
Graph einer Abbildung f : R → R2 sieht aus wie ein Draht im R3 mit
genau einem Punkt für jede vorgegebene x-Koordinate. Zum Beispiel ist
der Graph jeder konstanten Abbildung R → R2 eine Parallele zur x-Achse
und der Graph jeder konstanten Abbildung R2 → R eine „vollständig platte
Landschaft“ alias eine zur (x, y)-Ebene parallele Ebene.
3. Eine Funktion f : R2 → R kann man auch graphisch darstellen, indem man
auf der Ebene R2 die Niveaulinien einzeichnet, die im Bild der Hügellandschaft die Höhenlinien in einer Landkarte für unsere Landschaft wären, in
Formeln die Mengen {(x, y) | f (x, y) = c} für verschiedene, meist äquidistant gewählte c ∈ R. Auch eine Funktion f : R3 → R kann man sich
noch mithilfe ihrer analog definierten Niveauflächen vorstellen, aber mit
dem Zeichnen wird es dann schon schwierig.
4. Eine Funktion f : Rn → Rn kann man sich vorstellen als ein Vektorfeld,
jedem Punkt x ∈ Rn wird ja in der Tat ein Vektor f (x) ∈ Rn zugeordnet.
5. Es ist auch oft nützlich, sich f wirklich als eine Abbildung vorzustellen.
Die Abbildung x 7→ (x, x) ist in diesem Bild zum Beispiel die diagonale Einbettung der Zahlengerade in die Ebene, und (x, y) 7→ (y, x) ist die
Spiegelung am Bild unserer diagonalen Einbettung.
6
p
Die Niveaulinien und der Graph der Funktion f : R2 → R, (x, y) 7→ x2 + y 2 .
Der Graph dieser Funktion hat die Gestalt einer Eistüte mit dem Öffnungswinkel
90◦ , die mit ihrer Spitze senkrecht auf den Ursprung in der xy-Ebene steht.
Die Darstellung als bewegtes Teilchen und der Graph der Funktion f : R → R2 ,
z 7→ (cos(2πz/(0, 4)), sin(2πz/(0, 4))). Anders als im Text haben wir hier eine
Funktion der z-Koordinate dargestellt.
7
1.1.2. Ich will den Begriff der Stetigkeit nun statt für Abbildungen Rn → Rm
gleich im allgemeineren Rahmen der sogenannten „metrischen Räume“ diskutieren, bei dem die bisherige stark von Koordinaten abhängige Darstellung von
einer mehr abstrakt-geometrischen Sichtweise abgelöst wird. Dieser koordinatenfreie Zugang benötigt zwar einen größeren begrifflichen Aufwand, aber ich denke, dieser Aufwand lohnt, und zwar aus den folgenden Gründen: Erstens umfaßt
unser Rahmen so auch unendlichdimensionale Räume wie zum Beispiel die für
die Quantenmechanik wichtigen Hilberträume. Zweitens treten in meinen Augen
auch schon im endlichdimensionalen Kontext die Zusammenhänge bei einer koordinatenfreien Behandlung klarer hervor. Man kennt das aus der Physik: Rechnet
man wie üblich mit Einheiten, die ja mathematisch schlicht Basen eindimensionaler Vektorräume sind, so treten auch die Konsistenz und der Sinn physikalischer
Formeln viel klarer zu Tage, als wenn man mit bloßen Zahlen arbeitet.
1.2
Stetigkeit bei metrischen Räumen
Definition 1.2.1. Unter einer Metrik d auf einer Menge X versteht man eine
Abbildung d : X × X → R≥0 derart, daß für alle x, y, z ∈ X gilt:
1. d(x, y) = 0 ⇔ x = y;
2. d(x, y) = d(y, x);
3. d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y).
Ein metrischer Raum ist ein Paar X = (X, d) bestehend aus einer Menge X und
einer Metrik d auf X.
Beispiel 1.2.2. Der Buchstabe d steht in diesem Zusammenhang vermutlich für
das Wort „Distanz“. Auf dem Rn liefert der übliche euklidische Abstand d(x, y) :=
p
(x1 − y1 )2 + . . . (xn − yn )2 eine Metrik. Die Ungleichung aus der Definition
einer Metrik wird in diesem Beispiel in ?? formal bewisen und bedeutet anschaulich, daß in einem Dreieck mit Seitenlängen a, b, c stets gilt a ≤ b + c. Sie heißt
deshalb auch ganz allgemein die Dreiecksungleichung.
Beispiel 1.2.3. Auf dem Rn ist auch der Betragsabstand
d(x, y) = sup |xi − yi |
1≤i≤n
eine Metrik. Wenn nichts anderes gesagt ist, fassen wir den Rn stets auf als einen
metrischen Raum mit dem Betragsabstand als Metrik. Diese Metrik ist zwar weniger anschaulich als der euklidische Abstand, läßt sich aber einfacher handhaben.
8
Illustration zur Dreiecksungleichung
9
Beispiel 1.2.4. Jede Teilmenge eines metrischen Raums ist mit der induzierten
Metrik selbst ein metrischer Raum.
Definition 1.2.5. Sei X ein metrischer Raum. Für x ∈ X und ε > 0 setzen wir
B(x; ε) := {z ∈ X | d(x, z) < ε}
Diese Menge heißt der ε-Ball um x oder auch die ε-Kugel um x oder auch die
ε-Umgebung von x.
Beispiel 1.2.6. Für den euklidischen Abstand im R3 ist der Ball um x mit Radius
ε anschaulich tatsächlich ein Ball. Für den Betragsabstand hat B(x; ε) dahingegen
die Gestalt eines Würfels mit Mittelpunkt x und Seitenlänge 2ε.
Definition 1.2.7. Unter einer Umgebung eines Punktes in einem metrischen Raum
versteht man eine Teilmenge von besagtem Raum, die einen ganzen Ball um unseren Punkt umfaßt.
1.2.8 (Vom Nutzen des Umgebungsbegriffs). Die Umgebungen eines Punktes
im Rn bezüglich der euklidischen Metrik sind dieselben wie seine Umgebungen
bezüglich der Betragsmetrik, was man unschwer explizit prüft und was formal
auch aus 1.11.12 folgen wird. Das ist der Grund dafür, daß wir im Folgenden unsere Definitionen nach Möglichkeit mithilfe von Umgebungen formulieren: Für
so definierte Begriffe ist a priori klar, daß im Fall des Rn ihre Bedeutung nicht davon abhängt, ob wir mit dem euklidischen Abstand oder mit dem Betragsabstand
arbeiten.
1.2.9. Der Schnitt von endlich vielen Umgebungen eines Punktes in einem metrischen Raum ist wieder eine Umgebung besagten Punktes. Je zwei verschiedene Punkte eines metrischen Raums besitzen disjunkte Umgebungen. Genauer sind für x, y mit d(x, y) = r > 0 die (r/2)-Bälle um x und y disjunkt.
In der Tat folgte für z aus dem Schnitt ja mit Hilfe der Dreiecksungleichung
r = d(x, y) ≤ d(x, z) + d(y, z) < r, also kann es solch ein z nicht geben.
Definition 1.2.10. Eine Abbildung f : X → Y zwischen metrischen Räumen
heißt stetig im Punkt p ∈ X, wenn es für jede Umgebung U von f (p) eine
Umgebung U 0 von p gibt mit f (U 0 ) ⊂ U . Eine Abbildung zwischen metrischen
Räumen heißt stetig genau dann, wenn sie stetig ist in jedem Punkt.
Lemma 1.2.11 (ε-δ-Kriterium). Eine Abbildung f : X → Y zwischen metrischen Räumen ist stetig im Punkt p ∈ X genau dann, es für jedes ε > 0 ein
δ = δε > 0 gibt derart, daß gilt f (B(p; δ)) ⊂ B(f (p); ε).
10
Bälle in der Ebene für den Betragsabstand und den euklidischen Abstand
11
Beweis. Ist f stetig bei p, so finden wir insbesondere für die Umgebung U :=
B(f (p); ε) von f (p) eine Umgebung U 0 von p mit f (U 0 ) ⊂ U , und diese Umgebung U 0 muß dann ihrerseits einen Ball B(p; δ) umfassen. Gilt umgekehrt das
ε-δ-Kriterium und haben wir eine Umgebung U von f (p) gegeben, so finden
wir erst ein ε > 0 mit B(f (p); ε) ⊂ U , können dann dazu ein δ finden mit
f (B(p; δ)) ⊂ B(f (p); ε), und U 0 := B(p; δ) schließlich ist die gesuchte Umgebung von p mit f (U 0 ) ⊂ U .
Beispiel 1.2.12. Einfache Beispiele für stetige Abbildungen sind Einbettungen
von einem Teilraum, konstante Abbildungen, oder auch die Projektion eines Rn
auf eine Koordinate. In diesen Fällen können wir einfach δ = ε nehmen.
Beispiel 1.2.13. Als etwas kompliziertere Beispiele bemerken wir, daß die Addition und die Multiplikation R2 → R, (x, y) 7→ x + y bzw. (x, y) 7→ xy stetig
sind. Das ist im Wesentlichen die Aussage der ersten beiden Teile von Lemma ??.
1.2.14 (Partiell stetig impliziert nicht stetig). Es gibt Funktionen f : R2 → R
derart, daß sowohl x 7→ f (x, b) als auch y 7→ f (a, y) stetig sind für alle b bzw. alle
a, daß aber dennoch die Funktion f selbst nicht stetig ist. Als Beispiel betrachte
man die Funktion mit (x, y) 7→ xy/(x2 + y 2 ) für (x, y) 6= (0, 0) und (0, 0) 7→ 0.
Sie ist nicht stetig am Nullpunkt nach dem anschließenden Satz 1.2.15, da nämlich
ihre Verknüpfung mit R → R2 , t 7→ (t, t) nicht stetig ist bei t = 0. Die Stetigkeit
von t 7→ (t, t) hinwiederum mag man aus der Komponentenregel 1.2.18 folgern.
Der Anschauung mag die Erkenntnis helfen, daß unsere merkwürdige Funktion,
wenn man vom Ursprung selbst einmal absieht, auf allen Geraden durch den Ursprung konstant ist. Auf den beiden Koordinatenachsen ist unsere Funktion konstant Null, auf allen anderen Geraden durch den Ursprung jedoch nimmt sie nur
am Ursprung den Wert Null an und sonst konstant einen von Null verschiedenen
Wert.
Satz 1.2.15. Jede Verknüpfung von stetigen Abbildungen ist stetig.
Beweis. Seien f : X → Y und g : Y → Z Abbildungen zwischen metrischen
Räumen und p ∈ X ein Punkt. Wir zeigen genauer: Ist f stetig bei p und g stetig
bei f (p), so ist (g ◦ f ) stetig bei p. Ist in der Tat g stetig bei f (p), so finden wir
für jede Umgebung U von g(f (p)) eine Umgebung U 0 von f (p) mit g(U 0 ) ⊂ U .
Ist zusätzlich f stetig ist bei p, finden wir für diese Umgebung U 0 von f (p) weiter
eine Umgebung U 00 von p mit f (U 00 ) ⊂ U 0 . Damit haben wir aber auch eine
Umgebung U 00 von p gefunden mit (g ◦ f )(U 00 ) ⊂ U .
Definition 1.2.16. Gegeben metrische Räume (Xi , di ) für 1 ≤ i ≤ n machen wir
das Produkt X = X1 × . . . × Xn zu einem metrischen Raum durch die Produktmetrik, indem wir für x = (x1 , . . . , xn ) und y = (y1 , . . . , yn ) vereinbaren
d(x, y) = sup di (xi , yi )
1≤i≤n
12
Beispiel 1.2.17. Der Betragsabstand auf Rn+m ist die Produktmetrik zu den Betragsabständen auf Rn und Rm .
Proposition 1.2.18 (Komponentenregel). Seien Z und X1 , . . . , Xn metrische
Räume und fi : Z → Xi Abbildungen. Genau dann ist die Abbildung f =
(f1 , . . . , fn ) : Z → X1 × . . . × Xn stetig, wenn alle fi stetig sind.
1.2.19. Wenden wir diese Proposition an mit f der Identität auf einem Produkt,
so impliziert die Stetigkeit der Identität, daß alle Projektionsabbildungen pri :
X1 × . . . × Xn → Xi stetig sein müssen.
Beweis. Da die Projektionen pri Abstände zwischen Punkten nie vergrößern, können wir ihre Stetigkeit direkt zeigen, indem „wir jeweils δ = ε nehmen“. Ist f
stetig, so sind folglich auch die fi = pri ◦f stetig als Verknüpfungen stetiger Abbildungen. Sind umgekehrt alle fi stetig in p, so gibt es für jedes ε > 0 gewisse
δi mit d(p, z) < δi ⇒ di (fi (p), fi (z)) < ε, wo di die Metrik auf Xi bezeichnet.
Nehmen wir δ = inf δi , so gilt
d(p, z) < δ ⇒ d(f (p), f (z)) < ε
und das ist gleichbedeutend zu f (B(p; δ)) ⊂ B(f (p); ε).
Beispiel 1.2.20. Eine Abbildung f = (f1 , . . . , fn ) : Rk → Rn ist genau dann
stetig, wenn alle ihre Komponenten fi : Rk → R stetig sind. Allgemeiner ist für
einen metrischen Raum X eine Abbildung f = (f1 , . . . , fn ) : X → Rn genau
dann stetig, wenn alle ihre Komponenten fi : X → R stetig sind.
Korollar 1.2.21 (Summen und Produkte stetiger Abbildungen sind stetig). Ist
X ein metrischer Raum und sind f, g stetige Abbildungen X → R, so sind auch
f + g und f g stetige Abbildungen X → R.
Beweis. Wir schreiben f +g bzw. f g als die Verknüpfung der nach 1.2.18 stetigen
Abbildung X → R2 , x 7→ (f (x), g(x)) mit der nach 1.2.13 stetigen Addition bzw.
Multiplikation R2 → R.
Beispiel 1.2.22. Die Abbildung f : R2 → R2 gegeben durch die Vorschrift
(x, y) 7→ (x sinh(y), x2 y 3 )
ist stetig. In der Tat reicht es nach der Komponentenregel zu zeigen, daß ihre beiden Komponenten f1 und f2 stetig sind. Wir zeigen das nur für die erste Komponente und überlassen die Behandlung der zweiten Komponente dem Leser. Warum
also ist die Abbildung f1 : R2 → R, (x, y) 7→ x sinh(y) stetig? Nun, (x, y) 7→ x
ist stetig nach 1.2.19 als Projektion auf eine Koordinate, (x, y) 7→ y desgleichen,
(x, y) 7→ sinh(y) dann auch als Verknüpfung stetiger Funktionen, und schließlich
auch (x, y) 7→ x sinh(y) als Produkt stetiger Funktionen.
13
Übungen
Übung 1.2.23. Ist (X, d) ein metrischer Raum, so ist für alle z ∈ X die Abbildung
X → R, x 7→ d(x, z) stetig. Hinweis: Dreiecksungleichung. Ist allgemeiner A ⊂
X eine nichtleere Teilmenge, so ist auch die Abbildung dA : X → R gegeben
durch dA (x) = inf{d(x, a) | a ∈ A} stetig. Alternativ verwenden wir auch die
Notation d(x, A) = dA (x).
Übung 1.2.24. Ist (X, d) ein metrischer Raum, so ist die Metrik stetig als Abbildung d : X × X → R.
Übung 1.2.25. Wir versehen den Körper der komplexen Zahlen C mit der Metrik
d(z, w) = |z − w|. Man zeige, daß das in der Tat eine Metrik ist, und daß die
Addition und die Multiplikation stetige Abbildungen C × C → C sind und das
Bilden des Inversen eine stetige Abbildung C× → C× .
Ergänzende Übung 1.2.26. Man zeige, daß das Invertieren von Matrizen eine stetige Abbildung GL(n; C) → GL(n; C) ist. Hinweis: Cramer’sche Regel ??.
Übung 1.2.27. Sei f : X → Y eine Abbildung von metrischen Räumen, die
Abstände nicht verkleinert, in Formeln d(f (x), f (z)) ≥ d(x, z) ∀x, z ∈ X. Man
zeige, daß f injektiv ist und f −1 : f (X) → X stetig.
Übung 1.2.28. Jede lineare Abbildung f : Rk → Rn ist stetig. Jede multilineare
Abbildung f : Rk(1) × . . . × Rk(r) → Rn ist stetig.
1.3
Konvergenz von Folgen in metrischen Räumen
Definition 1.3.1. Sei N → X, n 7→ xn eine Folge in einem metrischen Raum X
und x ∈ X ein Punkt. Wir sagen, die Folge xn strebt gegen x oder konvergiert
gegen x und nennen x den Grenzwert der Folge und schreiben
lim xn = x
n→∞
genau dann, wenn jede Umgebung von x fast alle Glieder unserer Folge enthält.
Gleichbedeutend können wir ebensogut auch fordern, daß jeder Ball um x fast alle
Glieder unserer Folge enthält.
1.3.2. Der Grenzwert einer Folge ist eindeutig, wenn er existiert. Das folgt wie
im Beweis von ?? daraus, daß nach 1.2.9 je zwei verschiedene Punkte eines metrischen Raums disjunkte Umgebungen besitzen.
Definition 1.3.3. Ein metrischer Raum heißt beschränkt genau dann, wenn es
für die möglichen Abstände zwischen Punkten unseres Raums eine reelle obere
Schranke gibt. Eine Abbildung in einen metrischen Raum heißt beschränkt genau
dann, wenn ihr Bild beschränkt ist.
14
Illustration zur Konvergenz von Folgen. Eingezeichnet sind drei Umgebungen
eines Punktes x, in jeder sollen fast alle Folgenglieder liegen.
15
Beispiel 1.3.4. Sei D eine Menge und X ein metrischer Raum. Auf dem Raum
Ensb (D, X) aller beschränkten Abbildungen f : D → X kann man eine Metrik
erklären durch die Vorschrift
d(f, g) = sup{d(f (p), g(p)) | p ∈ D}
im Fall D 6= ∅ und in offensichtlicher Weise im Fall D = ∅. Diese Metrik heißt
die Metrik der gleichmäßigen Konvergenz. In der Tat ist für fn , f im Funktionenraum Ensb (D, R) mit dieser Metrik die Konvergenz
lim fn = f
n→∞
gleichbedeutend dazu, daß die Abbildungen fn im Sinne unserer Definition ??
gleichmäßig gegen die Abbildung f konvergieren.
Definition 1.3.5 (Punktweise und gleichmäßige Konvergenz). Sei D eine Menge, X ein metrischer Raum, fn : D → X eine Folge von Abbildungen und
f : D → X eine weitere Abbildung.
1. Wir sagen, die Folge der fn konvergiere punktweise gegen f genau dann,
wenn gilt limn→∞ fn (p) = f (p) für alle Punkte p ∈ D.
2. Wir sagen, die Folge der fn konvergiere gleichmäßig gegen f genau dann,
wenn es für jedes ε > 0 ein N = Nε gibt mit
n ≥ N ⇒ (d(fn (p), f (p)) < ε ∀p ∈ D)
Übungen
Übung 1.3.6. Sei (xn , yn ) eine Folge im Produkt X × Y der metrischen Räume
X und Y . Genau dann konvergiert unsere Folge gegen (x, y), wenn xn gegen x
konvergiert und yn gegen y. Man formuliere und beweise auch die offensichtliche
Verallgemeinerung auf beliebige endliche Produkte metrischer Räume.
Übung 1.3.7. Für beschränkte Abbildungen von einer Menge D in einen metrischen Raum X ist auch in dieser Allgemeinheit gleichmäßige Konvergenz gleichbedeutend zur Konvergenz im Raum Ensb (D, X) mit seiner eben erklärten „Metrik der gleichmäßigen Konvergenz“.
Übung 1.3.8. Für jede konvergente Folge in einem metrischen Raum ist die Menge
der Folgenglieder beschränkt.
Übung 1.3.9 (Stetigkeit als Folgenstetigkeit). Sei f : X → Y eine Abbildung
von metrischen Räumen. Genau dann ist f stetig in p, wenn für jede Folge xn mit
limn→∞ xn = p gilt limn→∞ f (xn ) = f (p). Hinweis: ??.
16
1.4
Abgeschlossene und offene Teilmengen
Definition 1.4.1. Sei X ein metrischer Raum und A ⊂ X eine Teilmenge. Ein
Punkt x ∈ X heißt ein Berührungspunkt von A genau dann, wenn es eine Folge
in A gibt, die gegen x konvergiert. Eine Teilmenge A ⊂ X heißt abgeschlossen
oder präziser abgeschlossen in X genau dann, wenn sie alle ihre Berührungspunkte enthält, wenn sie also „abgeschlossen ist unter der Bildung von Grenzwerten“. Statt „A ist eine abgeschlossene Teilmenge von X“ schreiben wir kurz aber
unüblich
V
A⊂ X
1.4.2. Wenn wir eine Menge einfach nur „abgeschlossen“ nennen, so in der Hoffnung, dem Leser sei klar, in Bezug auf welchen größeren Raum X dies „abgeschlossen“ gemeint ist. Ist X ein metrischer Raum und sind U ⊂ Y ⊂ X TeilV
mengen, so meint U ⊂
Y , daß U abgeschlossen ist als Teilmenge des Raums Y
mit seiner induzierten Metrik.
Definition 1.4.3. Eine Teilmenge eines metrischen Raums heißt offen oder genauer offen in unserem metrischen Raum genau dann, wenn sie für jeden ihrer
Punkte eine Umgebung ist, d.h. wenn sie mit jedem Punkt auch einen ganzen Ball
um besagten Punkt enthält. Statt „U ist eine offene Teilmenge von X“ schreiben
wir kurz aber unüblich
U ⊂◦ X
1.4.4. Wenn wir eine Menge einfach nur „offen“ nennen, so in der Hoffnung, dem
Leser sei klar, in Bezug auf welchen größeren Raum X dies „offen“ gemeint ist.
Ist X ein metrischer Raum und sind U ⊂ Y ⊂ X Teilmengen, so meint U ⊂◦ Y ,
daß U offen ist als Teilmenge des Raums Y mit seiner induzierten Metrik.
Beispiele 1.4.5. In einem metrischen Raum ist ein Ball B(x; r) stets offen, denn
für z ∈ B(x; r) gilt d(x, z) < r, also gibt es ε > 0 mit d(x, z) < r − ε, und dann
haben wir aber B(z; ε) ⊂ B(x; r) nach der Dreiecksungleichung. Insbesondere
umfaßt jede Umgebung eines Punktes eine offene Umgebung desselben Punktes.
Satz 1.4.6 (Komplemente offener und abgeschlossener Teilmengen). Eine Teilmenge eines metrischen Raums ist abgeschlossen genau dann, wenn ihr Komplement offen ist.
Beweis. Sei X unser metrischer Raum und M ⊂ X eine Teilmenge. Ist M nicht
abgeschlossen, so gibt es einen Punkt p ∈ X\M , der Berührungspunkt von M
ist, also p = limn→∞ xn mit xn ∈ M . Dann kann es aber kein ε > 0 geben mit
17
Illustration zu Beispiel 1.4.5: Ein Ball in einem metrischen Raum ist stets offen.
18
B(p; ε) ⊂ X\M , also ist X\M nicht offen. Ist X\M nicht offen, so gibt es einen
Punkt p ∈ X\M derart, daß gilt
B(p; 1/n) ∩ M 6= ∅
∀n ≥ 1
Wählen wir jeweils einen Punkt xn ∈ B(p; 1/n) ∩ M , so gilt limn→∞ xn = p und
M ist nicht abgeschlossen.
Übungen
Übung 1.4.7. Der Schnitt eines beliebigen Systems von abgeschlossenen Teilmengen eines metrischen Raums ist abgeschlossen. Die Vereinigung von endlich
vielen abgeschlossenen Teilmengen eines metrischen Raums ist abgeschlossen.
Die leere Menge und der ganze Raum sind abgeschlossen. Jede einpunktige und
damit auch jede endliche Teilmenge eines metrischen Raums ist abgeschlossen.
Jedes kompakte reelle Intervall ist abgeschlossen in R.
Ergänzende Übung 1.4.8. Ein Abbildung zwischen metrischen Räumen ist stetig
genau dann, wenn ihr Graph abgeschlossen ist im kartesischen Produkt unserer
beiden Räume. Hinweis: 1.3.9
Ergänzende Übung 1.4.9. Jede abgeschlossene echte Untergruppe der reellen Zahlengeraden ist zyklisch, als da heißt von der Gestalt Zα für ein α ∈ R. Hinweis:
Ist G ⊂ R unsere Untergruppe, so betrachte man inf(G ∩ R>0 ).
Übung 1.4.10. Der Schnitt von endlich vielen offenen Teilmengen eines metrischen Raums ist offen. Die Vereinigung eines beliebigen Systems von offenen
Teilmengen eines metrischen Raums ist offen. Die leere Menge und der ganze
Raum sind offen. In einem endlichen metrischen Raum ist jede Teilmenge offen
und abgeschlossen. Die im Sinne unserer hier gegebenen Definition „offenen“ Intervalle von R sind genau die Intervalle (a, b) für a, b ∈ R, d.h. unsere „offenen
reellen Intervalle“ aus ??.
Übung 1.4.11. Nimmt man zu einer Teilmenge M eines metrischen Raums X alle
ihre Berührungspunkte hinzu, so erhält man eine abgeschlossene Menge, genauer:
Die kleinste abgeschlossene Menge, die M umfaßt. Diese Menge heißt auch der
Abschluß von M in X und wird mit ClX (M ) = Cl(M ) = M bezeichnet.
1.4.12. Diese Notation beißt sich mit unserer Notation R für die erweiterten reellen Zahlen. Ich hoffe, daß der Leser aus dem Kontext erschließen kann, was
jeweils gemeint ist.
Ergänzende Übung 1.4.13. Sei X ein metrischer Raum und seien A, B ⊂ X
disjunkte, abgeschlossene Teilmengen. So gibt es eine stetige Funktion f : X →
[0, 1] mit f |A = 0 und f |B = 1. Hinweis: Man betrachte dA wie in Übung 1.2.23
mache den Ansatz f (z) = g(dA (z), dB (z)) für geeignetes g : R2 \0 → [0, 1].
19
Übung 1.4.14. Sei X ein metrischer Raum, z ∈ X ein Punkt, r ∈ R eine reelle
Zahl. So ist die Menge {x ∈ X | d(x, z) ≤ r} abgeschlossen.
Übung 1.4.15. Ist X ein metrischer Raum und A ⊂ X eine Teilmenge, so kann
ihr Abschluß Ā in der Notation von 1.2.23 beschrieben werden als die Menge
Ā = {x ∈ X | d(x, A) = 0}.
Ergänzende Übung 1.4.16. Ist f : X → Y eine stetige Abbildung metrischer
V
Räume, so ist ihr Graph eine abgeschlossene Teilmenge Γ(f ) ⊂ X × Y .
1.5
Topologische Räume
1.5.1 (Motivation für die Einführung topologischer Räume). Der Begriffsapparat der topologischen Räume wird erst sehr viel später unumgänglich werden,
in der hier vorgesehenen Entwicklung der Theorie erst bei der Diskussion von
abstrakten Mannigfaltigkeiten in ?? folgende. Daß ich dennoch bereits hier mit
einer ersten Einführung beginnen will, hat mehrere Gründe. Zum Ersten erlaubt
dieser Begriffsapparat eine große Vereinheitlichung: Zum Beispiel können in diesem Rahmen alle bisher betrachteten Grenzwertbegriffe unter einen Hut gebracht
werden, wie in 1.8.7 ausgeführt wird. Zum Zweiten erlaubt er es, den Begriff
der Stetigkeit im Kontext endlichdimensionaler reeller Vektorräume sehr direkt
zu fassen, indem man eben jeden derartigen Raum mit seiner „natürlichen Topologie“ aus 1.11.14 versieht. Sobald das einmal getan ist, kann man auch in diesem
Kontext mit Stetigkeit arbeiten, ohne Koordinaten zu benötigen. Und zum Dritten scheint es mir auch unabhängig davon wichtig, daß Sie beizeiten mit diesem
Begriffsapparat vertraut werden, der die ganze Mathematik durchdringt: Um ihn
an einfachen Beispielen einzuüben, will ich deshalb alles, was in dieser Vorlesung ohne große Umwege in der Allgemeinheit topologischer Räume formuliert
und bewiesen werden kann, auch in diesem Rahmen formulieren und beweisen.
Vielfach werden die Aussagen und Beweise dadurch sogar einfacher, und ich denke, dieser Vorteil wiegt zum Teil bereits die zusätzlichen Schwierigkeiten auf, die
durch das Erlernen dieses neuen Begriffsapparats und seiner Beziehungen zu den
primären Zielen der Vorlesung entstehen. Ich beginne mit Vorübungen zur Mengenlehre.
1.5.2. Gegeben eine Menge X können wir die Menge P(X) aller Teilmengen
von X bilden, die sogenannte Potenzmenge von X. Weil es mich verwirrt, über
Mengen von Mengen zu reden, nenne ich wie in ?? Teilmengen von P(X) lieber
Systeme von Teilmengen von X und spreche im folgenden von Teilsystemen,
wenn ich Teilmengen solcher Mengensysteme meine.
Definition 1.5.3. Gegeben eine Familie (Xi )i∈I von Teilmengen einer Menge X
im Sinne von ?? erklärt man ihren Schnitt und ihre Vereinigung durch die Vor20
schriften
T
Xi := {x ∈ X | Für alle i ∈ I gilt x ∈ Xi }
S
Xi := {x ∈ X | Es existiert ein i ∈ I mit x ∈ Xi }
i∈I
i∈I
Insbesondere ist der Schnitt über die leere Familie von Teilmengen von X ganz
X und die Vereinigung über die leere Familie von Teilmengen von X ist die leere
Menge.
Ergänzung 1.5.4. In 7.7 diskutieren wir allgemeiner Produkte und zusätzlich „disjunkte Vereinigungen“ beliebiger nicht notwendig endlicher Familien von Mengen.
Definition 1.5.5. Eine Topologie T auf einer Menge X ist ein System von Teilmengen T ⊂ P(X), das stabil ist unter dem Bilden von endlichen Schnitten und
beliebigen Vereinigungen. In Formeln ausgedrückt fordern wir von einer Topologie T also:
1. U1 , . . . , Un ∈ T ⇒ U1 ∩ . . . ∩ Un ∈ T für n ≥ 0 und insbesondere auch
X ∈ T als der Spezialfall n = 0. Gleichbedeutend dazu sind die beiden
Forderungen X ∈ T sowie U, V ∈ T ⇒ U ∩ V ∈ T ;
S
2. U ⊂ T ⇒ U ∈U U ∈ T und damit insbesondere auch ∅ ∈ T , da ja das
leere Mengensystem U = ∅ in jedem Mengensystem enthalten ist.
Ein topologischer Raum ist ein Paar (X, T ) bestehend aus einer Menge mitsamt
einer Topologie. Statt U ∈ T schreiben wir meist
U ⊂◦ X
und nennen U eine offene Teilmenge von X. Die Notation ⊂◦ ist in der Literatur
jedoch unüblich.
Definition 1.5.6. Seien X ein topologischer Raum und A ⊂ X eine Teilmenge.
Eine Teilmenge U ⊂ X heißt eine Umgebung von A genau dann, wenn es eine offene Menge V ⊂◦ X gibt mit A ⊂ V ⊂ U . Im Fall einer einelementigen
Teilmenge A = {p} sprechen wir auch von einer Umgebung von p.
Definition 1.5.7. Eine Abbildung f : X → Y zwischen topologischen Räumen
heißt stetig im Punkt p ∈ X genau dann, wenn es für jede Umgebung U von
f (p) eine Umgebung U 0 von p gibt mit f (U 0 ) ⊂ U . Eine Abbildung zwischen
topologischen Räumen heißt stetig genau dann, wenn sie stetig ist in jedem Punkt.
21
Beispiel 1.5.8. Für jeden metrischen Raum bildet das System seiner im Sinne von
1.4.3 offenen Teilmengen eine Topologie, die metrische Topologie. Wir fordern
von einer Topologie nicht, daß ein beliebiger Schnitt offener Mengen stets wieder
offen sein muß: Sonst müßten ja in unserem Beispiel der metrischen Räume alle einpunktigen Mengen offen sein, als Schnitte immer kleinerer Bälle. Da nach
1.4.5 Bälle in metrischen Räumen stets offen sind, ist in metrischen Räumen eine
Umgebung eines Punktes im topologischen Sinne 1.5.6 dasselbe wie eine Umgebung im metrischen Sinne 1.2.7. Insbesondere ist eine Abbildung zwischen metrischen Räumen „topologisch stetig“ im Sinne der obigen Definition 1.5.7 genau
dann, wenn sie „metrisch stetig“ ist im Sinne unserer Definition 1.2.10.
Beispiel 1.5.9 (Topologie auf den erweiterten reellen Zahlen). Auf unserer erweiterten reellen Zahlengeraden R erklären wir eine Topologie durch die Vorschrift, daß eine Menge U ⊂ R offen sein möge genau dann, wenn sie für jedes
ihrer Elemente eine Umgebung im Sinne von ?? ist, wenn sie also mit jedem Punkt
p auch ein ganzes Intervall [a, b] um p umfaßt mit a < p falls p 6= −∞ und p < b
falls p 6= ∞. Unsere Umgebungen im Sinne von ?? sind dann auch genau die Umgebungen für diese Topologie im Sinne von 1.5.6, und eine Abbildung R → R ist
offensichtlich topologisch stetig im Sinne der obigen Definition 1.5.7 genau dann,
wenn sie stetig ist im Sinne unserer Definition ??.
Beispiele 1.5.10. Es gibt auch Topologien, die unserer bis hierher entwickelten
Anschauung eher ungewohnt sein mögen: Auf jeder Menge können wir etwa
die Klumpentopologie betrachten, die nur aus der ganzen Menge und der leeren
Menge besteht, oder die diskrete Topologie, indem wir schlicht alle Teilmengen
als offen ansehen. Einen topologischen Raum mit der diskreten Topologie nennen
wir auch kurz einen diskreten Raum.
Beispiele 1.5.11. Jede konstante Abbildung ist stetig. Die Identität auf einem topologischen Raum ist immer stetig. Jede Abbildung in einen Raum mit der Klumpentopologie ist stetig. Jede Abbildung aus einem Raum mit der diskreten Topologie ist stetig.
Übungen
Ergänzende Übung 1.5.12 (De Morgan’sche Regeln). Man verallgemeinere die
Formeln aus ??. Genauer schreibe man in Formeln und zeige, daß der Schnitt einer
derartigen Vereinigung mit einer weiteren Menge die Vereinigung der Schnitte ist,
die Vereinigung eines derartigen Schnitts mit einer weiteren Menge der Schnitt der
Vereinigungen, das Komplement eines Schnitts die Vereinigung der Komplemente und das Komplement einer Vereinigung der Schnitt der Komplemente. Etwas
allgemeiner zeige man für zwei
(Ai )i∈I und (B
S Familien S
S j )j∈J von Teilmengen
einer Menge X die Formeln ( i∈I Ai ) ∩ ( j∈J Bj ) = (i,j)∈I×J (Ai ∩ Bj ) und
22
T
T
T
( i∈I Ai ) ∪ ( j∈J Bj ) = (i,j)∈I×J (Ai ∪ Bj ). Besonders Mutige zeigen für eine
durch eine Menge A indizierte Familie (Xa )a∈A von Teilmengen einer vorgegebenen Menge X die Formel und eine beliebige Abbildung g : A → J in eine
weitere Menge J die Formel


!
\
[
[
\

Xa  =
Xs(j)
j∈J
g(a)=j
s:J→A
g◦s=id
j∈J
Hier läuft die Vereinigung rechts also über alle Schnitte s : J → A von g. Durch
Übergang zu den Komplementen folgert man die Gültigkeit einer analogen Formel, in der ∪ und ∩ vertauscht sind.
Übung 1.5.13. Seien f : X → Y und g : Y → Z Abbildungen zwischen topologischen Räumen. Ist f stetig in p ∈ X und g stetig in f (p) ∈ Y , so ist g ◦ f stetig
in p. Hinweis: 1.2.15.
1.6
Induzierte Topologie
1.6.1. Um die Beziehung zu unserem Stetigkeitsbegriff ?? für Abbildungen von
einer Teilmenge D ⊂ R nach R zu klären, vereinbaren wir zunächst, in welcher
Weise Teilmengen topologischer Räume mit einer Topologie versehen werden sollen.
Definition 1.6.2. Ist X ein topologischer Raum und Y ⊂ X eine Teilmenge,
so erklärt man die induzierte Topologie oder Spurtopologie auf Y durch die
Vorschrift
U ⊂◦ Y ⇔ ∃V ⊂◦ X mit U = V ∩ Y
In Worten ist also eine Teilmenge von Y offen für die induzierte Topologie genau
dann, wenn sie der Schnitt von Y mit einer offenen Teilmenge von X ist. Ab jetzt
fassen wir stillschweigend jede Teilmenge Y eines topologischen Raums X auf
als topologischen Raum mit der induzierten Topologie.
1.6.3. Es ist klar, daß das in 1.6.2 beschriebene Mengensystem auf einer Teilmenge eines topologischen Raums in der Tat eine Topologie auf besagter Teilmenge
liefert, und daß die Einbettungsabbildung stetig ist.
1.6.4. Wenn wir eine Menge einfach nur „offen“ nennen, so in der Hoffnung, dem
Leser sei klar, in Bezug auf welchen größeren Raum X dies „offen“ gemeint ist.
Ist X ein topologischer Raum und sind M ⊂ Y ⊂ X Teilmengen, so meint M ⊂◦
Y , daß M offen ist als Teilmenge des Raums Y mit seiner induzierten Topologie.
23
Beispiel 1.6.5. Gegeben eine Teilmenge D ⊂ R und eine Abbildung f : D → R
ist f stetig an einer Stelle p ∈ D im Sinne von ?? genau dann, wenn sie stetig
ist bei p im topologischen Sinne für die auf D induzierte Topologie. Desgleichen
ist unsere Abbildung stetig im Sinne von ?? genau dann, wenn sie stetig ist im
topologischen Sinne.
Satz 1.6.6 (Stetigkeit und Urbilder offener Mengen). Eine Abbildung zwischen
topologischen Räumen ist stetig genau dann, wenn darunter das Urbild jeder offenen Menge offen ist.
1.6.7. Insbesondere gilt diese Aussage auch für Abbildungen zwischen metrischen Räumen.
Beweis. Sei f : X → Y stetig an jeder Stelle p ∈ X. Gegeben U ⊂◦ Y offen ist ja U
Umgebung eines jeden seiner Punkte. Folglich gibt es für jede Stelle p ∈ f −1 (U )
eine Umgebung Up0 mit f (Up0 ) ⊂ U . Diese Up0 können sogar offen gewählt werden,
und damit ist f −1 (U ) offen als die Vereinigung aller Up0 mit p ∈ f −1 (U ). Ist
umgekehrt p ∈ X gegeben, so gibt es für jede Umgebung U von f (p) eine offene,
in U enthaltene Umgebung V von f (p), und ist das Urbild jeder offenen Menge
offen und U 0 = f −1 (V ) ist eine Umgebung von p mit f (U 0 ) ⊂ U . Ist also das
Urbild jeder offenen Menge offen, so ist unsere Abbildung auch stetig an jeder
Stelle p.
Ergänzung 1.6.8. Entwickelt man die Theorie der topologischen Räume ab initio,
so wird man in der Regel die im vorhergehenden Satz enthaltene Charakterisierung wegen ihrer großen Eleganz gleich als Definition der Stetigkeit nehmen. Daß
die Verknüpfung stetiger Abbildungen stetig ist, kann man von dieser Definition
ausgehend sehr leicht und direkt einsehen, indem man beachtet, daß aus f : X →
Y und g : Y → Z stetig folgt V ⊂◦ Z ⇒ g −1 (V ) ⊂◦ Y ⇒ f −1 (g −1 (V )) ⊂◦ X. Da
nun gilt f −1 (g −1 (V )) = (g ◦ f )−1 (V ), ist damit auch (g ◦ f ) stetig.
Übungen
Übung 1.6.9. Man zeige, daß auf einer Teilmenge eines metrischen Raums die
Spurtopologie zur metrischen Topologie mit der Topologie zur induzierten Metrik
übereinstimmt.
Übung 1.6.10. Man zeige für jeden topologischen Raum: Der Schnitt von zwei
Umgebungen eines Punktes ist wieder eine Umgebung besagten Punktes. Jede
Umgebung eines Punktes kann verkleinert werden zu einer offenen Umgebung
desselben Punktes.
Übung 1.6.11. Eine Teilmenge eines topologischen Raums ist offen genau dann,
wenn sie für jeden ihrer Punkte eine Umgebung ist.
24
Übung 1.6.12. Sei X ein topologischer Raum und U ⊂◦ X eine offene Teilmenge.
So ist eine Teilmenge M ⊂ U offen in U genau dann, wenn sie offen ist in X.
In Formeln gilt unter der Voraussetzung U ⊂◦ X für Teilmengen M ⊂ U also
(M ⊂◦ U ⇔ M ⊂◦ X).
Übung 1.6.13 (Universelle Eigenschaft der induzierten Topologie). Sei f :
X → Y eine Abbildung zwischen topologischen Räumen und Z ⊂ Y eine Teilmenge mit f (X) ⊂ Z. So ist f stetig genau dann, wenn die induzierte Abbildung
f : X → Z stetig ist für die auf Z induzierte Topologie. Analoges gilt für Stetigkeit in einem Punkt.
1.7
Abgeschlossene Teilmengen topologischer Räume
Definition 1.7.1. Eine Teilmenge M eines topologischen Raums X heißt abgeV
schlossen oder präziser abgeschlossen in X und wir schreiben in Formeln M ⊂ X
genau dann, wenn ihr Komplement X\M offen ist.
1.7.2. Wenn wir eine Menge einfach nur „abgeschlossen“ nennen, so in der Hoffnung, dem Leser sei klar, in Bezug auf welchen größeren Raum X dies „abgeschlossen“ gemeint ist. Ist X ein topologischer Raum und sind M ⊂ Y ⊂ X
V
Teilmengen, so meint M ⊂ Y , daß M abgeschlossen ist als Teilmenge des Raums
Y mit seiner induzierten Topologie 1.6.2. Die Terminologie kommt vom Fall metrischer Räume her, in dem die Komplemente offener Mengen nach 1.4.6 gerade diejenigen Teilmengen waren, die „abgeschlossen sind unter dem Bilden von
Grenzwerten von Folgen“.
Lemma 1.7.3. Jede endliche Vereinigung und beliebige Schnitte abgeschlossener
Mengen sind abgeschlossen.
Beweis. Das folgt mit der Definition einer Topologie sofort aus der Formel
\
[
X\
M=
(X\M )
M ∈M
M ∈M
Diese Formel gilt ganz allgemein für jedes System M ⊂ P(X) von Teilmengen
einer Menge X.
Definition 1.7.4. Gegeben ein topologischer Raum X und eine Teilmenge M ⊂
X gibt es stets eine kleinste abgeschlossene Teilmenge von X, die M umfaßt,
nämlich den Schnitt über alle abgeschlossenen Teilmengen von X, die M umfassen. Wir notieren diesen Schnitt ClX (M ) = Cl(M ) = M̄ und nennen sie den
Abschluß von M oder genauer den Abschluß von M in X.
25
1.7.5 (Diskussion der Notation). Diese Notation beißt sich mit unserer Notation
R für die erweiterten reellen Zahlen. Ich hoffe, daß der Leser aus dem Kontext
erschließen kann, was jeweils gemeint ist. Immerhin ist R auch der Abschluß von
R in den erweiterten reellen Zahlen mit ihrer Topologie aus 1.5.9.
1.7.6. Eine Abbildung ist stetig genau dann, wenn darunter das Urbild jeder abgeschlossenen Menge abgeschlossen ist: Das folgt unmittelbar aus dem entsprechenden Satz 1.6.6 für offene Mengen, da das Urbild des Komplements einer Menge
stets das Komplement ihres Urbilds ist.
Beispiel 1.7.7. Wir geben einen neuen Beweis für die Erhaltung von Ungleichungen im Grenzwert ??, der zwar nur für reelle Folgen mit reellen Grenzwerten
funktioniert, aber dafür viele Möglichkeiten der Verallgemeinerung aufzeigt. Zunächst ist die Menge H = {(x, y) ∈ R2 | x ≤ y} abgeschlossen in R2 nach 1.7.6
V
als Urbild der abgeschlossenen Menge [0, ∞) ⊂ R unter der stetigen Abbildung
(x, y) 7→ y − x. Ist (xn , yn ) eine konvergente Folge in H, so liegt mithin auch ihr
Grenzwert in H, und das bedeutet gerade die Erhaltung von Ungleichungen im
Grenzwert.
Proposition 1.7.8. Sei f : X → Y eine Abbildung topologischer Räume.
1. Sei U eine offene S
Überdeckung von X, d.h. ein System offener Teilmengen
von X mit X = U ∈U U . So ist f stetig genau dann, wenn f |U stetig ist
für alle U ∈ U. Etwas vage gesprochen ist demnach Stetigkeit eine lokale
Eigenschaft.
2. Sei X überdeckt von endlich vielen abgeschlossenen
Teilmengen von X, in
S
V
Formeln A1 , . . . , An ⊂ X und X = ni=1 Ai . So ist f stetig genau dann,
wenn f |Ai stetig ist für alle i = 1, . . . n.
Beweis. Ist f stetig, so sind alle f |U stetig als Verknüpfung von f mit der stetigen
Inklusion U ,→ X. Sind andererseits alle f |U stetig, so ist für alle W ⊂◦ Y und
alle U ∈ U das Urbild f −1 (W ) ∩ U offen in U , nach 1.6.12 ist also
f −1 (W ) ∩ U
S
sogar offen in X, und damit ist dann natürlich auch f −1 (W ) = U ∈U f −1 (W ) ∩
U offen in X als Vereinigung offener Mengen. Mithin ist f stetig. Teil 2 zeigt
man ähnlich: Nach 1.7.6 muß nur gezeigt werden, daß für jede abgeschlossene
V
Teilmenge B ⊂ Y von Y ihr Urbild f −1 (B) abgeschlossen ist in X. Da aber gilt
V
f −1 (B) = f1−1 (B) ∪ . . . ∪ fn−1 (B) und fi−1 (B) ⊂ Ai nach Annahme folgt die
Proposition aus 1.7.10 und den Definitionen.
Übungen
Übung 1.7.9. Gegeben ein topologischer Raum X mit einer Teilmenge Y zeige
V
V
man: A ⊂ Y ⇔ ∃B ⊂ X mit A = B ∩ Y .
26
V
Übung 1.7.10. Sei X ein topologischer Raum und A ⊂
X eine abgeschlossene
Teilmenge. So ist eine Teilmenge B ⊂ A abgeschlossen in A unter der Spurtopologie genau dann, wenn B abgeschlossen ist in X. In Formeln gilt unter der
V
V
V
Voraussetzung A ⊂ X für Teilmengen B ⊂ A also (B ⊂ A ⇔ B ⊂ X).
Übung 1.7.11. Seien X ein topologischer Raum und Y, Z metrische Räume. Man
zeige, daß eine Abbildung (f, g) : X → Y × Z stetig ist genau dann, wenn f
und g stetig sind. Man zeige, daß Produkt und Summe von stetigen reellwertigen
Funktionen auf einem topologischen Raum wieder stetig sind.
Vorschau 1.7.12. In 2.8.1 werden wir erklären, wie man ganz allgemein das Produkt topologischer Räume so mit einer Topologie versehen kann, daß das Analogon der vorhergehenden Übung auch für beliebige topologische Räume Y, Z gilt.
1.8
Grenzwerte in topologischen Räumen
Definition 1.8.1. Sei N → Y , n 7→ yn eine Folge in einem topologischen Raum
Y und b ∈ Y ein Punkt. Wir sagen, die Folge yn strebt gegen b oder konvergiert
gegen b und nennen b einen Grenzwert der Folge und schreiben
lim yn = b
n→∞
genau dann, wenn jede Umgebung von b fast alle Glieder unserer Folge enthält.
Gleichbedeutend können wir ebensogut auch fordern, daß jede offene Menge ,die
b enthält, auch fast alle Glieder unserer Folge enthält.
1.8.2. In dieser Allgemeinheit ist der Grenzwertbegriff nur noch eingeschränkt
sinnvoll, da der Grenzwert einer Folge nicht mehr eindeutig zu sein braucht. Fordern wir jedoch von unserem topologischen Raum die sogenannte HausdorffEigenschaft, daß je zwei verschiedene Punkte disjunkte Umgebungen besitzen,
so ist der Grenzwert einer Folge eindeutig, wenn er existiert. Ein topologischer
Raum mit der Hausdorff-Eigenschaft heißt ein Hausdorff-Raum.
Vorschau 1.8.3. Für allgemeine topologische Räume ist es nicht mehr richtig, daß
jede unter der Bildung von Grenzwerten von Folgen abgeschlossene Teilmenge
auch tatsächlich abgeschlossen ist. Ein Gegenbeispiel gebe ich in 2.2.18, eine Zusatzbedingung, unter der das doch wieder gilt, in 2.2.19.
Definition 1.8.4. Ein Punkt eines topologischen Raums heißt ein Häufungspunkt
genau dann, wenn jede seiner Umgebungen auch noch andere Punkte unseres
Raums enthält, wenn also in anderen Worten die nur aus besagtem Punkt bestehende Menge nicht offen ist. Ist D ⊂ X eine Teilmenge eines topologischen
Raums und ist p ∈ X ein Häufungspunkt von D ∪ {p} im Sinne der vorhergehenden Definition, so sagen wir auch, p sei ein Häufungspunkt von D in X. Gehört
27
In einem Hausdorffraum haben je zwei verschiedene Punkte disjunkte
Umgebungen.
28
hier p nicht zu D, so nenne ich p einen externen Häufungspunkt von D in X.
Will ich betonen, daß ich einen Häufungspunkt von D in D meine, so spreche ich
auch von einem internen Häufungspunkt von D.
Ergänzung 1.8.5. Manche Autoren erklären auch noch die „Häufungspunkte einer
Folge in einem topologischen Raum X“ als die Punkte von X mit der Eigenschaft,
daß in jeder ihrer Umgebungen unendlich viele Folgenglieder liegen.
Definition 1.8.6 (Grenzwerte von Abbildungen). Seien X, Y topologische Räume, p ∈ X ein Häufungspunkt und f : X\p → Y eine Abbildung. Sei weiter b
ein Punkt aus Y . Wir sagen, f (x) strebt gegen b für x → p und schreiben
lim f (x) = b
x→p
genau dann, wenn es für jede Umgebung W des Grenzwerts b eine Umgebung W 0
des Punktes p gibt mit f (W 0 \p) ⊂ W .
1.8.7 (Spezialfälle des allgemeinen Grenzwertbegriffs). Die vorstehende Definition verallgemeinert alle bisher betrachteten Grenzwertbegriffe: Den Grenzwertbegriff für Folgen in den erweiterten reellen Zahlen nach ??, für Abbildungen
zwischen Teilmengen der erweiterten reellen Zahlen ??, für Folgen in metrischen
Räumen 1.3.1 und auch für Folgen in topologischen Räumen 1.8.1. Der Fall von
Folgen ist jeweils der Speziallfall, in dem wir X = N t {∞} mit der von R induzierten Topologie versehen und darin den Häufungspunkt p = ∞ betrachten. Ich
habe den topologischen Raum bei der Definition der Folgenkonvergenz 1.8.1 nur
deshalb etwas ungewöhnlich mit Y bezeichnet, um deutlich zu machen, inwiefern
es sich dabei um einem Spezialfall unseres allgemeinen Grenzwertbegriffs 1.8.6
handelt.
Ergänzung 1.8.8. Gegeben Abbildungen f : X → Y , g : X → Z von topologischen Räumen mit Y Hausdorff und Punkte x ∈ X, y ∈ Y , z ∈ Z findet man
manchmal die Notation
lim f (x) = y
g(x)→z
Das soll dann bedeuten, daß es für jede Umgebung U von y eine Umgebung V
von z gibt mit g(x) ∈ (V \z) ⇒ f (x) ∈ U . Zum Beispiel gilt für jedes nicht
konstante Polynom P : C → C die Formel lim|z|→∞ |P (z)| = ∞.
Ergänzung 1.8.9. Um durchgehend mit topologischen Räumen arbeiten zu können, müßten wir nun erklären, wie das Produkt zweier topologischer Räume mit
einer Topologie zu versehen ist, und allerhand Eigenschaften wie etwa das Analogon der Komponentenregel prüfen. Das alles werde ich vorerst vermeiden und
erst in 2 diskutieren, weil ich fürchte, den Sinn dieser Abstraktionen hier noch
nicht ausreichend begründen zu können.
29
Übungen
Übung 1.8.10. Konvergiert eine Folge von stetigen Funktionen von einem topologischen Raum in einen metrischen Raum gleichmäßig, so ist auch die Grenzfunktion stetig. Hinweis: Man kopiere den Beweis von ??.
Übung 1.8.11. Genau dann ist p Häufungspunkt des metrischen Raums X, wenn
es eine Folge xn in X\p gibt mit limn→∞ xn = p.
Übung 1.8.12. Auch in der Allgemeinheit von 1.8.6 ist der Grenzwert eindeutig,
wenn er existiert und der Wertebereich Hausdorff ist.
Übung 1.8.13. Seien X, Y topologische Räume, p ∈ X ein Häufungspunkt und
f : X → Y eine Abbildung. Man zeige, daß auch in dieser Allgemeinheit
limx→p f (x) = f (p) gleichbedeutend ist zur Stetigkeit von f bei p. Man diskutiere
des weiteren Analoga zu ??.
Übung 1.8.14. Seien X ein topologischer Raum, p ∈ X ein Häufungspunkt und
fi : X\p → Yi Abbildungen in metrische Räume für 1 ≤ i ≤ n. Sei Y =
Y1 × . . . × Yn das Produkt und f = (f1 , . . . , fn ) : X → Y . So ist limx→p f (x) = b
für b = (b1 , . . . , bn ) gleichbedeutend zu limx→p fi (x) = bi ∀i.
Übung 1.8.15 (Quetschlemma). Seien X ein topologischer Raum, p ∈ X ein
Häufungspunkt und f, g, h : X\p → R Funktionen mit der Eigenschaft f (x) ≤
g(x) ≤ h(x) ∀x ∈ X\p. So folgt aus limx→p f (x) = b = limx→p h(x) bereits
limx→p g(x) = b.
Übung 1.8.16. Im Fall einer Abbildung in einen metrischen Raum mit Metrik d
ist limx→p f (x) = y gleichbedeutend zu limx→p d(f (x), y) = 0.
1.9
Kompakte metrische Räume
Definition 1.9.1. Ein metrischer Raum heißt kompakt oder ausführlicher folgenkompakt genau dann, wenn jede Folge in unserem Raum eine konvergente Teilfolge besitzt.
1.9.2. Eine Teilmenge A eines metrischen Raums nennen wir kompakt oder auch
ein Kompaktum genau dann, wenn sie kompakt ist als metrischer Raum mit der
induzierten Metrik, wenn also jede Folge in A eine Teilfolge besitzt, die gegen
einen Punkt aus A konvergiert.
1.9.3. Man erliegt beim ersten Lernen leicht der Versuchung, die Begriffe „offen“, „abgeschlossen“ und „kompakt“ auf eine Stufe zu stellen. Ich will deshalb
darauf insistieren, daß „offen“ und „abgeschlossen“ Eigenschaften sind, die ein
Paar (X ⊃ Y ) bestehend aus einem metrischen Raum X mit einer Teilmenge Y
hat oder nicht hat, wohingegen „kompakt“ eine Eigenschaft ist, die ein metrischer
30
Raum selbst hat oder nicht hat. Natürlich kann man Kompaktheit auch für Teilmengen metrischer Räume mit ihrer induzierten Metrik diskutieren. Die Begriffe
„offen“ und „abgeschlossen“ dahingegen machen für einen metrischen Raum allein keinen Sinn.
1.9.4. Jeder kompakte metrische Raum ist beschränkt. Ist in der Tat ein Raum
nicht beschränkt, so finden wir darin eine Folge xn mit d(x0 , xn ) ≥ n, und diese
Folge kann nach 1.3.8 keine konvergente Teilfolge haben.
Proposition 1.9.5. Jedes endliche Produkt von kompakten metrischen Räumen ist
kompakt.
Beweis. Sei X = X1 × . . . × Xn mit kompakten Xi . Sei eine Folge in X gegeben. Da X1 kompakt ist, finden wir eine Teilfolge unserer Folge, die in der ersten
Koordinate konvergiert. Da auch X2 kompakt ist, finden wir von dieser Teilfolge hinwiederum eine Teilfolge, die auch in der zweiten Koordinate konvergiert.
Indem wir so weitermachen, finden wir schließlich eine Teilfolge, die in jeder Koordinate konvergiert. Diese Teilfolge konvergiert dann nach 1.3.6 auch in X.
Lemma 1.9.6. Eine kompakte Teilmenge eines metrischen Raums ist stets abgeschlossen.
Beweis. Sei X unser Raum und A ⊂ X unsere Teilmenge. Ist A nicht abgeschlossen, so gibt es eine Folge in A, die gegen einen Punkt aus X\A konvergiert. Solch
eine Folge kann aber unmöglich eine Teilfolge haben, die gegen einen Punkt aus
A konvergiert.
Satz 1.9.7 (Heine-Borel). Eine Teilmenge des Rn ist kompakt genau dann, wenn
sie beschränkt und abgeschlossen ist.
Beweis. Nach 1.9.4 und 1.9.6 ist eine kompakte Teilmenge eines metrischen Raums
stets beschränkt und abgeschlossen. In der anderen Richtung wissen wir schon aus
??, daß für jedes k ≥ 0 das Intervall [−k, k] kompakt ist. Falls eine Teilmenge
A ⊂ Rn beschränkt ist, finden wir ein k mit A ⊂ [−k, k]n . Nach 1.9.5 ist nun
[−k, k]n kompakt, und als abgeschlossene Teilmenge eines kompakten Raums ist
nach 1.9.14 dann auch A selbst kompakt.
Beispiel 1.9.8. Die Menge [0, 1] ∩ Q ist abgeschlossen in Q und beschränkt, ist
aber nicht kompakt für die induzierte Metrik.
Proposition 1.9.9. Unter einer stetigen Abbildung metrischer Räume werden Kompakta stets auf Kompakta abgebildet.
31
Beweis. Sei f : X → Y unsere stetige Abbildung und A ⊂ X ein Kompaktum.
Ist yn eine Folge in f (A), so finden wir eine Folge xn in A mit f (xn ) = yn . Falls A
kompakt ist, besitzt die Folge xn eine Teilfolge xnk , die gegen einen Punkt x ∈ A
konvergiert. Dann ist ynk nach 1.3.9 eine Teilfolge der Folge yn , die gegen einen
Punkt von f (A) konvergiert, nämlich gegen f (x).
Korollar 1.9.10. Jede stetige reellwertige Funktion auf einem kompakten metrischen Raum ist beschränkt und nimmt, wenn unser Raum nicht leer ist, das Supremum und das Infimum der Menge ihrer Funktionswerte an.
1.9.11. Ist also in Formeln X ein nichtleerer kompakter Raum und f : X → R
stetig, so gibt es p, q ∈ X mit f (p) ≤ f (x) ≤ f (q) ∀x ∈ X.
Beweis. Nach 1.9.9 ist f (X) ⊂ R kompakt, also beschränkt und abgeschlossen.
Aus X 6= ∅ folgt weiter f (X) 6= ∅. Damit besitzt f (X) ein Supremum und
Infimum in R. Da f (X) kompakt, also abgeschlossen ist, folgt sup f (X) ∈ f (X)
und inf f (X) ∈ f (X). Es gibt in anderen Worten p, q ∈ X mit sup f (X) = f (p)
und inf f (X) = f (q).
Definition 1.9.12. Eine stetige Abbildung von metrischen Räumen heißt gleichmäßig stetig genau dann, wenn es für jedes ε > 0 ein δ > 0 gibt derart, daß
gilt
d(x, y) < δ ⇒ d(f (x), f (y)) < ε
Satz 1.9.13 (Gleichmäßige Stetigkeit auf Kompakta). Jede stetige Abbildung
von einem kompakten metrischen Raum in einen weiteren metrischen Raum ist
gleichmäßig stetig.
Beweis. Mutatis mutandis zeigt das der Beweis von Satz ??.
Übungen
Übung 1.9.14. Endliche Vereinigungen kompakter Teilmengen eines metrischen
Raums sind stets wieder kompakt.
Übung 1.9.15. Eine Teilmenge eines kompakten metrischen Raums ist kompakt
genau dann, wenn sie abgeschlossen ist.
Ergänzende Übung 1.9.16. Ist in einem metrischen Raum eine abzählbare
Familie
T
kompakter Teilmengen (Kn )n∈N gegeben mit leerem Schnitt n∈N Kn = ∅, so
gibt es schon ein N mit K0 ∩ . . . ∩ KN = ∅. Das wird verallgemeinert auf den
Fall beliebiger Familien in 1.12.11.
Ergänzende Übung 1.9.17. Sei (X, d) ein metrischer Raum, K ⊂ X kompakt und
A ⊂ X abgeschlossen mit A ∩ K = ∅. So gibt es δ > 0 mit d(x, y) ≥ δ für alle
x ∈ A, y ∈ K. Hinweis: 1.2.23 und 1.4.15.
32
Ergänzende Übung 1.9.18. Man zeige, daß man auf dem Raum Ens(N, {W, Z})
aller Folgen in der zweielementigen Menge {W, Z} eine Metrik erklären kann
durch die Vorschrift d(ω, η) = 2−n für n ∈ N die kleinste Zahl mit ω(n) 6= η(n),
bzw. d(ω, η) = 0 falls ω = η. Man zeige weiter, daß der so gebildete metrische
Raum kompakt ist. Nebenbei bemerkt denke ich bei W an „Wappen“ und bei Z
an „Zahl“ und bei der Übung an Anwendungen in der Wahrscheinlichkeitstheorie.
1.10
Affine Räume*
1.10.1. Dieser Abschnitt ist ein Auszug aus Abschnitt ?? der linearen Algebra. Ich
habe ihn hier nur eingefügt, um Unklarheiten zu vermeiden, was die im weiteren
verwendeten Notationen und Begriffsbildungen angeht.
Definition 1.10.2. Ein affiner Raum oder kurz Raum über einem Körper k ist
ein Tripel
~ a)
E = (E, E,
~ ⊂ Ens× E
bestehend aus einer nichtleeren Menge E, einer abelschen Gruppe E
von Permutationen von E, von der man fordert, daß für alle p ∈ E das Anwen∼
~ →
den auf p eine Bijektion E
E besagter Gruppe mit unserem Raum liefert,
~ → E,
~ die die abelsche Gruppe E
~ zu einem
sowie einer Abbildung a : k × E
~ heißen die Translationen oder Richk-Vektorraum macht. Die Elemente von E
~ selbst nennen wir
tungsvektoren unseres affinen Raums und den Vektorraum E
~ mag
den Richtungsraum unseres affinen Raums E. Die Operation von k auf E
man die Reskalierung von Translationen nennen. Unter der Dimension unseres
affinen Raums verstehen wir die Dimension seines Richtungsraums. Das Resultat
~ auf p ∈ E notieren wir ~v + p := ~v (p) oder manchmal
der Operation von ~v ∈ E
auch p + ~v .
1.10.3 (Diskussion der Notation). Die eben eingeführte Notation für den Richtungsraum eines affinen Raums steht leider in Konflikt mit der Notation aus ??,
nach der mit Pfeilen versehene Mannigfaltigkeiten orientierte Mannigfaltigkeiten
andeuten sollen. Was jeweils gemeint ist, muß der Leser aus dem Kontext erschließen.
1.10.4. Ist E ein affiner Raum, so liefert nach Annahme für jedes p ∈ E die
∼
~ →
Operation eine Bijektion E
E, ~u 7→ ~u + p und es gilt ~0 + p = p sowie
~ und p ∈ E. Flapsig gesprochen
~u + (~v + p) = (~u + ~v ) + p für alle ~u, ~v ∈ E
ist also ein affiner Raum ein „Vektorraum, bei dem man den Ursprung vergessen
~ mit
hat“. Gegeben p, q ∈ E definieren wir p − q als den Richtungsvektor ~u ∈ E
p = ~u + q.
33
1.10.5 (Vektorräume als affine Räume). Jeder Vektorraum V kann als ein affiner Raum aufgefaßt werden, indem wir als Translationen die durch die Addition
von festen Vektoren gegebenen Abbildungen nehmen, so daß unsere Gruppe von
Translationen das Bild des injektiven Gruppenhomomorphismus V → Ens× (V ),
v 7→ (v+) wird, und die Reskalierung von Translationen dadurch erklären, daß
dieser Gruppenhomomorphismus einen Vektorraumisomorphismus auf sein Bild
liefern soll. Insbesondere erhalten wir damit eine kanonische Identifikation trans :
∼
V → V~ zwischen unserem Vektorraum und dem Richtungsraum des zugehörigen
affinen Raums. Diese Identifikation scheint mir derart kanonisch, daß ich sie von
nun an in Sprache und Notation oft so behandeln werde, als seien diese beiden
Vektorräume schlicht gleich.
Beispiel 1.10.6. Es scheint mir besonders sinnfällig, den uns umgebenden Raum
mathematisch als dreidimensionalen reellen affinen Raum zu modellieren: Hier~ als die Gruppe aller „Parallelverschiebungen“. Ähnlich mag
bei denkt man sich E
man die Zeit modellieren als einen eindimensionalen reellen affinen Raum. Die
leere Menge kann in meinen Konventionen nie ein affiner Raum sein, es gibt hierzu jedoch auch andere Konventionen.
Ergänzung 1.10.7. Meist findet man in der Literatur die begriffliche Variante eines
affinen Raums über einem vorgegebenen Vektorraum: Darunter versteht man
dann eine Menge E mit einer freien transitiven Operation des vorgegebenen Vektorraums. Ich ziehe die oben gegebene Variante vor, da sie jeden Bezug auf einen
vorgegebenen Vektorraum vermeidet und den Anschauungsraum meines Erachtens besser modelliert.
Definition 1.10.8. Eine Abbildung ϕ : E → E 0 zwischen affinen Räumen heißt
eine affine Abbildung genau dann, wenn es eine lineare Abbildung zwischen den
~ →E
~ 0 gibt mit
zugehörigen Richtungsräumen ϕ
~:E
ϕ(p) − ϕ(q) = ϕ
~ (p − q) ∀p, q ∈ E
Diese lineare Abbildung ϕ
~ ist dann durch ϕ eindeutig bestimmt und heißt der
lineare Anteil unserer affinen Abbildung.
1.11
Normierte Räume
1.11.1. Unter einem reellen Vektorraum bzw. einem reellen Raum verstehen
wir einen Vektorraum bzw. einen affinen Raum über dem Körper der reellen Zahlen. Wollen wir einen reellen Vektorraum bzw. affinen Raum mit einer Metrik
versehen, so reicht es, wenn wir jedem seiner Vektoren bzw. Richtungsvektoren
in geeigneter Weise eine „Länge“ zuordnen. Einen solchen abstrakten Längenbegriff für die Vektoren eines Vektorraums nennt man eine „Norm“. Die Details
folgen.
34
Definition 1.11.2. Sei V ein reeller Vektorraum. Eine Norm auf V ist eine Abbildung k k : V → R≥0 , v 7→ kvk derart, daß gilt:
1. kλvk = |λ| · kvk
∀v ∈ V, λ ∈ R;
2. kvk = 0 ⇔ v = 0;
3. kv + wk ≤ kvk + kwk
∀v, w ∈ V .
Unter einem normierten Vektorraum versteht man ein Paar (V, k k) bestehend
aus einem Vektorraum V und einer Norm k k auf V .
Ergänzung 1.11.3. Für Leser, die schon mit komplexen Zahlen vertraut sind, sei
noch erwähnt, daß man von einer Norm auf einem komplexen Vektorraum stärker
fordert, daß die erste Bedingung sogar für alle λ ∈ C gelten soll, wobei |λ| als die
„Norm der komplexen Zahl λ“ im Sinne von ?? zu verstehen ist.
1.11.4. Jeder normierte Vektorraum wird ein metrischer Raum vermittels der durch
die Norm induzierten Metrik
d(v, w) = kv − wk
Zum Beispiel gehört unser Betragsabstand auf dem Rn zur Maximumsnorm. Wir
dürfen damit in normierten Vektorräumen über Stetigkeit und Konvergenz von
Folgen reden. Allgemeiner verstehen wir unter einem normierten affinen Raum
einen reellen (oder komplexen) affinen Raum im Sinne von 1.10.2, dessen Richtungsraum mit einer Norm versehen ist. Auch jeder normierte affine Raum trägt
eine natürliche Metrik, die durch dieselbe Formel beschrieben wird. Reden wir
ohne nähere Spezifikation von einem normierten Raum, so meinen wir einen
normierten affinen Raum. Leser, die mit dem Begriff eines affinen Raums noch
nicht vertraut sind, mögen sich aber auch einen normierten Vektorraum denken.
Beispiel 1.11.5. Mit v 7→ kvk ist auch v 7→ αkvk eine Norm, für jedes α > 0.
Auf dem Nullraum gibt es nur eine Norm, die eben den Nullvektor auf Null wirft.
Beispiel 1.11.6. Auf dem Rn definiert man
Norm eines Vektors
p
pdie euklidische
2
v = (v1 , . . . , vn ) durch kvk = kvk2 = hv, vi = v1 + . . . + vn2 . Wie man
formal zeigt, daß das tatsächlich eine Norm ist, diskutieren wir in ??.
Beispiel 1.11.7. Auf dem Rn für n > 0 definiert man die Maximumsnorm von
v = (v1 , . . . , vn ) durch |v| = kvk∞ = max(|v1 |, . . . , |vn |). Auf dem Raum
V = Ensb (D, R) aller beschränkten reellwertigen Funktionen auf einer Menge
D haben wir die Supremumsnorm, gegeben für D 6= ∅ durch
kf k∞ = sup{|f (x)| | x ∈ D}
35
und im Fall D = ∅ als die einzig mögliche Norm auf dem Nullraum. Für eine endliche Menge D mit n Punkten erhalten wir unsere Maximumsnorm auf dem Rn als
Spezialfall der Supremumsnorm. Noch allgemeiner definieren wir für jeden normierten Vektorraum (W, | |) auf dem Raum V = Ensb (D, W ) aller beschränkten
Abbildungen von D nach W die Supremumsnorm durch kf k∞ = sup{|f (x)| |
x ∈ D} im Fall D 6= ∅ und im Fall D = ∅ als die einzig mögliche Norm auf dem
Nullraum. Die zu unserer Supremumsnorm gehörige Metrik ist in allen diesen
Fällen die Metrik der gleichmäßigen Konvergenz.
Beispiel 1.11.8. Sind V1 , . . . , Vn normierte Vektorräume, so erklären wir auf ihrem
Produkt V1 × . . . × Vn die Produktnorm durch die Vorschrift k(v1 , . . . , vn )k =
sup kvi k im Fall n > 0 und als die einzige Norm auf dem Nullraum im Fall n = 0.
Offensichtlich induziert die Produktnorm die Produktmetrik.
Satz 1.11.9 (Stetigkeit linearer Abbildungen). Eine lineare Abbildung zwischen
normierten Vektorräumen f : V → W ist stetig genau dann, wenn es eine Konstante C ≥ 0 gibt derart, daß gilt
kf (v)k ≤ Ckvk
∀v ∈ V
1.11.10. Wir werden in 1.11.13 sehen, daß daß lineare Abbildungen zwischn endlichdimensionalen normierten reellen Vektorräumen immer stetig sind. Sie werden in 1.11.26 sogar folgern, daß lineare Abbildungen von einem endlichdimensionalen normierten reellen Vektorraum in einen beliebigen weiteren normierten
reellen Vektorraum immer stetig sind.
Beweis. Ist f stetig, so gibt es δ > 0 mit kv − 0k ≤ δ ⇒ kf (v) − f (0)k ≤ 1.
Setzen wir C = 1/δ, so folgt kf (v)k ≤ Ckvk zunächst für alle Vektoren v der
Norm kvk = δ und dann durch Multiplikation mit Skalaren für alle v ∈ V . Gibt
es umgekehrt ein C > 0 mit kf (v)k ≤ Ckvk ∀v ∈ V , so finden wir für alle
ε > 0 ein δ = ε/C > 0 so daß gilt
kv − wk ≤ δ ⇒ kf (v) − f (w)k = kf (v − w)k ≤ Cδ = ε
Definition 1.11.11. Zwei Normen k k, | | auf einem reellen Vektorraum V heißen
äquivalent genau dann, wenn es positive Konstanten c, C > 0 gibt derart, daß gilt
kvk ≤ C|v| und |v| ≤ ckvk
∀v ∈ V
Satz 1.11.12 (Äquivalenz von Normen). Auf einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum sind je zwei Normen äquivalent.
36
Illustration zur Äquivalenz von Normen am Beispiel der Betragsnorm und der
euklidischen Norm auf dem R2 .
37
Beweis. Wir dürfen ohne Beschränkung der Allgemeinheit annehmen, daß V der
Rn ist mit n ≥ 1 und daß eine unserer Normen die Maximumsnorm |v| ist. Sei
k k eine zweite Norm. Bezeichnet e1 , . . . , en die Standardbasis des Rn und ist
v = v1 e1 + . . . + vn en , so haben wir
kvk = kv1 e1 + . . . + vn en k
≤ |v1 | · ke1 k + . . . + |vn | · ken k
≤ |v| · C
mit C = ke1 k + . . . + ken k. Insbesondere folgern wir, daß k k : Rn → R eine
| |-stetige Abbildung ist, also stetig für die durch die Maximumsnorm | | gegebene
Metrik auf Rn , denn aus d(x, y) = |x−y| < ε/C folgt |kxk−kyk| ≤ kx−yk < ε.
Nun ist aber die Oberfläche
F := {v ∈ Rn | |v| = 1}
des Hyperkubus | |-kompakt nach 1.9.7 und nicht leer falls gilt n ≥ 1. Nach
1.9.10 nimmt folglich die Funktion k k auf F ein Minimum a an, und da F nicht
den Nullvektor enthält, ist dies Minimum notwendig positiv, a > 0. Wir folgern
zunächst einmal a|v| ≤ kvk für alle v ∈ F . Dann gilt aber natürlich auch a|λv| ≤
kλvk für alle λ ∈ R und v ∈ F , also a|w| ≤ kwk ∀w ∈ Rn . Mit c = 1/a gilt
also |w| ≤ ckwk ∀w ∈ Rn .
Variante zum Schluß des vorhergehenden Beweises. Statt mit Kompaktheit zu argumentieren, kann man hier alternativ auch mit Induktion über n und „Vollständigkeit“ argumentieren, was uns insbesondere beim Beweis der Verallgemeinerung ?? helfen wird. Die Argumentation verläuft dann wie folgt: Wir betrachten
die affinen Hyperebenen Hi = {x | xi = 1}. Aus der Induktionsannahme können
wir durch Widerspruch folgern, daß es positive Konstanten ai > 0 gibt mit
ai ≤ kwk
∀w ∈ Hi
In der Tat gäbe es sonst in Hi eine Folge wν mit kwν k → 0 für ν → ∞. Diese
Folge wäre im Sinne von ?? eine Cauchy-Folge für die von k k auf Hi induzierte
Metrik. Dann wäre sie aber wegen der Äquivalenz der Normen nach der Induktionsannahme auch eine Cauchy-Folge für die von der Maximumsnorm | | auf Hi
induzierte Metrik und müßte nach ?? konvergieren gegen einen Punkt w ∈ Hi
mit kwk = 0. Widerspruch! Nun gibt es für v ∈ Rn \0 stets λ ∈ R mit |λ| = |v|
derart, daß λ−1 v in einer der affinen Hyperebenen Hi liegt. Mit a = inf(ai ) folgt
a ≤ kλ−1 vk und |v| ≤ ckvk für c = 1/a.
Korollar 1.11.13. Jede lineare Abbildung zwischen endlichdimensionalen normierten reellen Vektorräumen ist stetig.
38
Beweis. Jeder Vektorraumisomorphismus zwischen endlichdimensionalen normierten reellen Vektorräumen ist stetig nach dem Satz über die Äquivalenz von Normen 1.11.12 und dem Kriterium für die Stetigkeit linearer Abbildungen 1.11.9.
So können wir uns beim Beweis des Korollars auf den Fall 1.2.28 linearer Abbildungen Rn → Rm zurückziehen.
1.11.14. Wir nennen eine Teilmenge eines endlichdimensionalen reellen Raums
offen bzw. abgeschlossen genau dann, wenn sie offen ist für die von irgendeiner
Norm auf seinem Richtungsraum induzierte Metrik. Nach unserem Satz 1.11.12
über die Äquivalenz von Normen ist sie dann notwendig offen für jede von einer
Norm induzierte Metrik. Die so erklärten offenen Teilmengen bilden die sogenannte natürliche Topologie auf unserem endlichdimensionalen reellen Raum.
Definition 1.11.15. Ist f : V → W eine stetige lineare Abbildung normierter
Vektorräume, so heißt die kleinstmögliche Konstante C ≥ 0 wie in 1.11.9 auch
die Operatornorm kf k von f , in Formeln
kf k = sup{kf (v)k | kvk ≤ 1}
1.11.16. Die stetigen linearen Abbildungen zwischen normierten Vektorräumen
V, W nennt man auch beschränkte Operatoren, da sie nach 1.11.9 genau die
linearen Abbildungen sind, die den Einheitsball auf eine beschränkte Menge abbilden. Ich notiere die Menge aller stetigen linearen Abbildungen B(V, W ) oder
auch BR (V, W ), wenn ich besonders betonen will, daß reell-lineare Abbildungen
gemeint sind und nicht etwa „komplex-lineare“ Abbildungen, wie wir sie später
für gewöhnlich betrachten werden. Ich werde die Notation B benutzen, die Terminologie jedoch vermeiden und nach Möglichkeit von stetigen Operatoren reden,
da diese ja keineswegs beschränkte Abbildungen im Sinne von 1.3.3 zu sein brauchen.
Übungen
Übung 1.11.17. Für je zwei Vektoren v, w eines normierten Vektorraums gilt kv +
wk ≥ |kvk − kwk|.
Übung 1.11.18. Gegeben ein normierter Vektorraum (V, k k) sind die folgenden
Abbildungen stetig: Die Norm k k : V → R, die Addition V × V → V , und
die Multiplikation mit Skalaren R × V → V . Ist unsere Norm die euklidische
Norm zu einem Skalarprodukt V × V → R, so ist auch dies Skalarprodukt stetig.
Leser, die bereits mit komplexen Zahlen vertraut sind, zeigen Analoges auch für
komplexe Vektorräume.
39
Übung 1.11.19 (Einparameteruntergruppen normierter Vektorräume). Die
stetigen Gruppenhomomorphismen von der additive Gruppe der reellen Zahlen
in einen normierten Vektorraum sind genau die linearen Abbildungen. Hinweis:
??.
Ergänzende Übung 1.11.20. In einem normierten reellen Vektorraum ist jede nichtleere offene Teilmenge bereits ein Erzeugendensystem.
Übung 1.11.21. Man zeige: Jede stetige lineare Abbildung zwischen normierten
Vektorräumen ist gleichmäßig stetig.
Übung 1.11.22. Die Menge aller stetigen reellwertigen Funktionen auf einem
Raum X notiere ich C(X, R). Das C steht hier für englisch „continous“ und
französisch „continu“. Man zeige: Versehen wir die Menge C([a, b], R) aller stetigen reellwertigen Funktionen auf einem kompakten reellen Intervall [a, b] mit
Rb
der Supremumsnorm, so wird das Integral f 7→ a f (t) dt eine stetige Abbildung
C([a, b], R) → R.
Übung 1.11.23. Bezeichnet C 1 ([a, b], R) ⊂ C([a, b], R) den Teilraum der einmal
stetig differenzierbaren Funktionen, so ist das Ableiten f 7→ f 0 keine stetige Abbildung C 1 ([a, b], R) → C([a, b], R).
Übung 1.11.24. Seien U , V , W normierte Vektorräume. Eine bilineare Abbildung
F : U × V → W ist stetig genau dann, wenn es eine Konstante C > 0 gibt mit
kF (u, v)k ≤ Ckukkvk. Man formuliere und beweise die analoge Aussage auch
für multilineare Abbildungen.
Übung 1.11.25. Gegeben eine Menge D und ein normierter Vektorraum V erkläre man auf dem Raum Ensb (D, V ) der beschränkten Abbildungen D → V eine
Norm derart, daß die zugehörige Metrik die Metrik der gleichmäßigen Konvergenz aus 1.3.4 wird.
Übung 1.11.26. Jede lineare Abbildung von einem endlichdimensionalen Vektorraum in einen normierten Vektorraum W ist stetig. Sind allgemeiner endlichdimensionale Vektorräume V1 , . . . , Vn gegeben, so ist jede multilineare Abbildung
V1 × . . . × Vn → W stetig. Hinweis: Das Bild liegt immer in einem endlichdimensionalen Teilraum. Man erinnere 1.11.13 und 1.2.28.
Übung 1.11.27. Sind f : V → W und g : W → X stetige Abbildungen zwischen
normierten Vektorräumen, so gilt kg ◦ f k ≤ kgkkf k.
Übung 1.11.28. Man zeige: Der Raum B(V, W ) aller stetigen linearen Abbildungen zwischen normierten Vektorräumen V, W ist ein Untervektorraum im Raum
Hom(V, W ) aller linearen Abbildungen von V nach W , und die in 1.11.15 eingeführte Abbildung f 7→ kf k ist eine Norm auf B(V, W ).
Ergänzende Übung 1.11.29. Sind normierte Vektorräume V1 , . . . , Vn und W gegeben und ist f : V1 × . . . × Vn → W eine stetige multilineare Abbildung, so heißt
40
die kleinstmögliche Konstante C ≥ 0 wie in 1.11.24 die Norm von f und wird
notiert
kf k = sup{kf (v1 , . . . , vn )k | kvi k ≤ 1}
Man zeige, daß wir so eine Norm auf dem Vektorraum B(V1 , . . . , Vn ; W ) aller stetigen multilinearen Abbildungen erhalten. Weiter zeige man: Die offensichtliche
Abbildung liefert einen Isomorphismus von normierten Räumen
∼
B(V1 , B(V2 , . . . , Vn ; W )) → B(V1 , . . . , Vn ; W )
1.12
Überdeckungen kompakter metrischer Räume
Definition 1.12.1. Sei X eine Menge. Unter einer Überdeckung von X versteht
man ein System U ⊂ P(X)
S von Teilmengen von X mit Vereinigung X, in Formeln ausgedrückt X = U ∈U U . Unter einer Teilüberdeckung einer Überdeckung U versteht man ein Teilsystem V ⊂ U, das auch selbst schon eine Überdeckung ist.
Definition 1.12.2. Unter einer offenen Überdeckung eines metrischen Raums
oder allgemeiner eines topologischen Raums versteht man eine Überdeckung, die
aus offenen Teilmengen besteht.
Satz 1.12.3 (Kompaktheit und offene Mengen). Ein metrischer Raum ist folgenkompakt genau dann, wenn jede offene Überdeckung unseres Raums eine endliche
Teilüberdeckung besitzt.
1.12.4. Ich hoffe, daß Sie im weiteren Verlauf dieser Vorlesung noch sehen werden, wie wichtig diese Charakterisierung der Kompaktheit ist. Im Kontext topologischer Räume wird Satz 1.12.3 sogar die Definition der Kompaktheit. Sie ist so
wichtig, daß ich sie nicht im Fließtext verstecken will. Eine ausführlichere Diskussion des Begriffs geben wir in ?? und sehr ähnlich auch in 2.5.
Definition 1.12.5. Ein topologischer Raum heißt kompakt oder manchmal auch
ausführlicher überdeckungskompakt, wenn jede offene Überdeckung unseres
Raums eine endliche Teilüberdeckung besitzt.
1.12.6. In dieser Terminologie besagt unser Satz 1.12.3, daß ein metrischer Raum
genau dann folgenkompakt ist, wenn er überdeckungskompakt ist.
1.12.7 (Diskussion der Terminologie). Nennen wir einen topologischen Raum
kompakt, so meinen wir a priori überdeckungskompakt. Topologische Räume mit
der Eigenschaft, daß jede Folge eine konvergente Teilfolge besitzt, heißen dahingegen folgenkompakt. In der französischen Literatur ist eine abweichende Terminologie üblich: Unsere überdeckungskompakten oder kurz kompakten topologischen Räume heißen dort quasikompakt, und „kompakt“ meint dort „überdeckungskompakt und Hausdorff“.
41
Eine Überdeckung eines Quadrats durch vier Kreisscheiben
42
Ergänzung 1.12.8. Ein Beispiel für einen überdeckungskompakten aber nicht folgenkompakten topologischen Raum finden Sie in ??, ein Beispiel für einen folgenkompakten aber nicht überdeckungskompakten topologischen Raum in ?? oder
??. Besitzt ein überdeckungskompakter topologischer Raum die zusätzliche Eigenschaft, daß man für jeden seiner Punkte eine Folge von Umgebungen derart
finden kann, daß jede seiner Umgebungen mindestens eine Umgebung dieser Folge umfaßt, so ist er auch folgenkompakt mit demselben Argument, wie wir es im
Beweis des Satzes verwenden.
Beweis von Satz 1.12.3. Sei X ein metrischer Raum. Ist X nicht folgenkompakt,
so finden wir in X eine Folge ohne konvergente Teilfolge. Dann besitzt jeder
Punkt von X eine offene Umgebung, die nur endlich viele Folgenglieder enthält,
und alle diese offenen Umgebungen bilden eine offene Überdeckung von X ohne
endliche Teilüberdeckung. Das zeigt die eine Richtung. Den Beweis der anderen
Richtung beginnen wir mit einem Lemma, das auch für sich genommen oft hilfreich ist.
Lemma 1.12.9 (Überdeckungssatz von Lebesgue). Ist X ein folgenkompakter
metrischer Raum und U eine offene Überdeckung von X, so gibt es ein ε > 0
derart, daß für alle Punkte x ∈ X der ε-Ball B(x; ε) um x ganz in einer der
überdeckenden offenen Mengen U ∈ U enthalten ist.
Erster Beweis. Gäbe es kein solches ε > 0, so könnten wir für jedes n ∈ N≥1
einen Punkt xn ∈ X finden derart, daß B(xn ; 1/n) in keinem U ∈ U enthalten
wäre. Durch Übergang zu einer Teilfolge könnten wir ohne Beschränkung der
Allgemeinheit zusätzlich annehmen, daß die Folge der xn konvergiert, etwa gegen
x ∈ X. Nun finden wir jedoch ein U ∈ U mit x ∈ U und dazu ρ > 0 mit
B(x; ρ) ⊂ U und dazu N mit d(xN , x) < ρ/2 und 1/N < ρ/2, und dann gälte
B(xN ; 1/N ) ⊂ B(xN ; ρ/2) ⊂ B(x; ρ) ⊂ U im Widerspruch zur Wahl der xn .
Zweiter Beweis. Man betrachte die Funktion f : X → R gegeben durch die
Vorschrift
f (x) = sup{r ≤ 1 | Es gibt U ∈ U mit B(x; r) ⊂ U }
Die Dreiecksungleichung liefert |f (x)−f (y)| ≤ d(x, y), insbesondere ist f stetig.
Sicher dürfen wir X 6= ∅ annehmen. Dann nimmt f nach 1.9.10 sein Minimum
an, und dies Minimum ist ein mögliches ε > 0.
Um die andere Implikation im Satz zu zeigen sei nun X folgenkompakt und U
eine offene Überdeckung von X. Es gilt zu zeigen, daß sie eine endliche Teilüberdeckung besitzt. Wählen wir zu unserer Überdeckung U ein ε wie im Überdeckungssatz 1.12.9, so reicht es auch zu zeigen, daß es eine endliche Teilmenge
43
E ⊂ X gibt mit
X=
[
B(x; ε)
x∈E
In der Tat liegt ja der ε-Ball B(x; ε) um ein beliebiges x ∈ X nach Wahl von
ε schon in einem der U ∈ U. Gäbe es aber für ein ε > 0 keine endliche Überdeckung von X durch
S ε-Bälle, so könnten wir induktiv eine Folge (xn )n∈N konstruieren mit xn 6∈ 0≤ν<n B(xν ; ε) für alle n, also d(xn , xm ) ≥ ε für n 6= m,
und diese Folge könnte keine konvergente Teilfolge haben, im Widerspruch zur
Annahme.
1.12.10. Sei X eine Menge. Unter einer Überdeckung einer Teilmenge Y ⊂ X
durch
Teilmengen von X versteht man ein Mengensystem U ⊂ P(X) mit Y ⊂
S
U ∈U U . Nach unseren Definitionen ist eine Teilmenge Y eines topologischen
Raums X kompakt für die induzierte Topologie genau dann, wenn jede Überdeckung von Y durch offene Teilmengen von X eine endliche Teilüberdeckung
besitzt.
Übungen
Übung 1.12.11 (Nichtleere Schnitte in Kompakta). Ist in einem kompakten topologischen Raum
T X ein System abgeschlossener Teilmengen K ⊂ P(X) mit
leerem Schnitt K∈K K =T∅ gegeben, so gibt es bereits ein endliches Teilsystem
E ⊂ K mit leerem Schnitt K∈E K = ∅.
Ergänzende Übung 1.12.12 (Satz von Dini). Eine monoton wachsende Folge stetiger reellwertiger Funktionen auf einem kompakten Raum, die punktweise gegen eine stetige Funktion konvergiert, konvergiert sogar gleichmäßig. Hinweis:
1.12.11.
Ergänzende Übung 1.12.13. Man zeige, daß das Bild eines kompakten topologischen Raums unter einer stetigen Abbildung kompakt ist für die Spurtopologie.
Insbesondere ist jede stetige reellwertige Funktion auf einem kompakten topologischen Raum beschränkt.
Ergänzende Übung 1.12.14. Gegeben ein topologischer Raum X mit einer offenen Überdeckung U zeige man: Eine Teilmenge Y unseres Raums ist genau dann
abgeschlossen, wenn sie mit jeder Teilmenge unserer Überdeckung abgeschlossenen Schnitt hat, in Formeln
Y ⊂ X ⇔ (Y ∩ U ) ⊂ U ∀U ∈ U
V
V
Die fraglichen Schnitte sollen hierbei abgeschlossen sein in U , nicht in X.
44
1.13
Integrale mit Parametern
Satz 1.13.1 (über Integrale mit Parametern). Gegeben ein metrischer Raum X
und eine stetige Funktion f : X × [a, b] → R ist auch die Funktion X → R,
Rb
x 7→ a f (x, t) dt stetig.
1.13.2. Ich zeige diesen Satz in großer Allgemeinheit als Anwendung unserer
neuen Charakterisierung der Kompaktheit und als Illustration für die Kraft der
allgemeinen Theorie metrischer Räume. Ist X offen oder abgeschlossen in einem
Rn , so kann man auch elementarer mit der gleichmäßigen Stetigkeit argumentieren. Diesen Beweis gebe ich als Alternative auch noch an.
Beweis. Versehen wir den Raum C([a, b], R) aller stetigen reellwertigen Funktionen auf [a, b] mit der Supremumsnorm, so ist nach dem gleich folgenden Satz
1.13.4 die von f induzierte Abbildung f˜ : X → C([a,
R b], R), x 7→ f (x, ) stetig. Nach Übung 1.11.22 ist weiter das Integrieren : C([a, b], R) → R stetig.
R
Damit ist unsere Abbildung ◦f˜ : X → R stetig als eine Verknüpfung stetiger
Abbildungen.
Alternativer Beweis. Ist X offen oder abgeschlossen in einem Rn , so kann man
auch elementarer argumentieren. Zunächst reicht es ja, die Stetigkeit an jeder Stelle x ∈ X nachzuweisen. Mit dieser Überlegung können wir uns leicht auf den Fall
zurückziehen, daß X kompakt ist. Dann ist aber auch X ×[a, b] kompakt und nach
1.9.13 ist f dort gleichmäßig stetig. Für alle ε > 0 gibt es insbesondere δ > 0 mit
|x − y| < δ ⇒ |f (x, t) − f (y, t)| < ε für alle t ∈ [a, b].
Aus |x − y| < δ folgt mithin
Z b
Z b
Z b
≤
|f (x, t) − f (y, t)| dt ≤ (b − a)ε
f
(x,
t)
dt
−
f
(y,
t)
dt
a
a
a
und das zeigt die Behauptung.
1.13.3. Den Raum aller stetigen Abbildungen von einem kompakten Raum X in
einen metrischen Raum Y , versehen mit der Metrik der gleichmäßigen Konvergenz, wird C(X, Y ) notiert. Das C steht hier für englisch „continous“ und französisch „continu“.
Satz 1.13.4 (Stetige Abbildungen in Abbildungsräume). Seien X, Y und K
metrische Räume. Ist K kompakt, so ist eine Abbildung f : X × K → Y stetig
genau dann, wenn die induzierte Abbildung f˜ : X → C(K, Y ) stetig ist für die
Metrik der gleichmäßigen Konvergenz auf C(K, Y ).
45
Beweis. Daß aus der Stetigkeit von f˜ die Stetigkeit von f folgt, sieht man ohne
weitere Schwierigkeiten. Wir zeigen nun die andere Richtung und müssen die
Stetigkeit von f˜ an jeder Stelle p ∈ X nachweisen. Sei diese Stelle p ab jetzt fest
gewählt und sei ε > 0 gegeben. Aufgrund der Stetigkeit von f gibt es für jedes
s ∈ K ein δs > 0 mit
f B((p, s); δs ) ⊂ B(f (p, s); ε)
Nun gilt für unsere Metrik auf X × K ja B((p, s); δ) = B(p;Sδ) × B(s; δ) und
nach 1.12.3 gibt es eine endliche Teilmenge E ⊂ K mit K ⊂ s∈E B(s; δs ). Für
η = mins∈E δs behaupten wir dann
x ∈ B(p; η) ⇒ d(f (x, t), f (p, t)) < 2ε ∀t ∈ K
In der Tat finden wir für jedes t ∈ K ein s ∈ E mit t ∈ B(s; δs ) und für dies s
liegen (p, t) und (x, t) beide in B((p, s); δs ). Damit ist die Stetigkeit von f˜ bei p
gezeigt.
46
Illustration zum Beweis von Satz 1.13.4. Die mit gestrichelten Rändern
eingezeichneten Quadrate sind so gewählt, daß unsere Abbildung f auf jedem
Quadrat höchstens um den Abstand ε von ihrem Wert im Zentrum des jeweiligen
Quadrats abweicht. Die gepunktelten Linien begrenzen einen Streifen der Breite
2η, in dem unsere Funktion auf jeder Vertikalen höchstens um 2ε von ihrem Wert
am Schnittpunkt der besagten Vertikalen mit der fett eingezeichneten
Horizontalen abweicht.
47
2
Mengentheoretische Topologie
Unser nächstes Ziel ist es, die Methoden der Analysis auszudehnen von der Betrachtung von Teilmengen normierter Vektorräume auf die Betrachtung von abstrakten Räumen wie zum Beispiel dem Raum aller dreielementigen Teilmengen
des R2 , dem Raum aller Geraden durch den Nullpunkt des R3 , oder dem für die
Entwicklung der klassischen Mechanik besonders wichtigen Kotangentialbündel
einer Mannigfaltigkeit alias der disjunkten Vereinigung der Dualräume ihrer Tangentialräume. In diesem Abschnitt bauen wir die in 1.5 eingeführte Sprache der
Topologie zu einem diesen Anforderungen angepaßten Begriffsapparat aus. Vorausgesetzt werden nur Grundbegriffe der Mengenlehre und Kenntnisse über die
reellen Zahlen, und die eigentliche Schwierigkeit liegt darin, beim hohen Abstraktionsgrad nicht die Anschauung zu verlieren. Geometrische Aussagen, wie
zum Beispiel, daß nicht jeder geschlossene Weg im Raum aller Geraden durch
den Nullpunkt des R3 zusammenziehbar ist, zeigen wir erst in der algebraischen
Topologie.
2.1
Topologische Räume
2.1.1. Wir beginnen mit einigen Erinnerungen zur Begriffswelt der topologischen
Räume aus 1.5, wo im wesentlichen derselbe Stoff in größerer Ausführlichkeit
und unter besonderer Betonung der Motivation durch Fragen der Analysis bereits
entwickelt wurde.
2.1.2. Gegeben eine Menge X können wir die Menge P(X) aller Teilmengen
von X bilden, die sogenannte Potenzmenge von X. Weil es mich verwirrt, über
Mengen von Mengen zu reden, nenne ich wie in ?? Teilmengen von P(X) lieber
Systeme von Teilmengen von X und spreche im folgenden von Teilsystemen,
wenn ich Teilmengen solcher Mengensysteme meine.
Definition 2.1.3. Eine Topologie T auf einer Menge X ist ein System von Teilmengen T ⊂ P(X), das stabil ist unter dem Bilden von endlichen Schnitten und
beliebigen Vereinigungen. In Formeln ausgedrückt fordern wir von einer Topologie T also:
1. U1 , . . . , Un ∈ T ⇒ U1 ∩ . . . ∩ Un ∈ T für n ≥ 0 und insbesondere auch
X ∈ T als der Spezialfall n = 0. Gleichbedeutend dazu sind die beiden
Forderungen X ∈ T sowie U, V ∈ T ⇒ U ∩ V ∈ T ;
S
2. U ⊂ T ⇒ U ∈U U ∈ T und damit insbesondere auch ∅ ∈ T , da ja das
leere Mengensystem U = ∅ in jedem Mengensystem enthalten ist.
48
Ein topologischer Raum ist ein Paar (X, T ) bestehend aus einer Menge mitsamt
einer Topologie. Statt U ∈ T schreiben wir meist
U ⊂◦ X
und nennen U eine offene Teilmenge von X. Die Notation ⊂◦ ist in der Literatur
jedoch unüblich.
Beispiel 2.1.4. Für jeden metrischen Raum bildet das System seiner im Sinne
von 1.4.3 offenen Teilmengen eine Topologie, die metrische Topologie. Gegeben ein endlichdimensionaler reeller affiner Raum liefert jede Norm auf seinem
Richtungsraum erst eine Metrik auf unserem affinen Raum und diese liefert eine
Topologie. Der Satz über die Äquivalenz von Normen 1.11.12 zeigt nun, daß diese Topologie gar nicht von der gewählten Norm abhängt, vergleiche 1.11.14. Sie
heißt die natürliche Topologie auf unserem endlichdimensionalen reellen affinen
Raum.
Beispiele 2.1.5. Auf jeder Menge können wir die Klumpentopologie betrachten,
die nur aus der ganzen Menge und der leeren Menge besteht, oder die diskrete
Topologie, bei der wir alle Teilmengen als offen ansehen. Einen topologischen
Raum mit der diskreten Topologie nennen wir auch kurz einen diskreten Raum.
Definition 2.1.6. Ist X ein topologischer Raum und Y ⊂ X eine Teilmenge,
so erklärt man die induzierte Topologie oder Spurtopologie auf Y durch die
Vorschrift
U ⊂◦ Y ⇔ ∃V ⊂◦ X mit U = V ∩ Y
In Worten ist also eine Teilmenge von Y offen für die induzierte Topologie genau
dann, wenn sie der Schnitt von Y mit einer offenen Teilmenge von X ist. Ab jetzt
fassen wir stillschweigend jede Teilmenge Y eines topologischen Raums X auf
als topologischen Raum mit der induzierten Topologie.
2.1.7. Es ist klar, daß das in 2.1.6 beschriebene Mengensystem auf einer Teilmenge eines topologischen Raums in der Tat eine Topologie auf besagter Teilmenge
liefert.
2.1.8. Wenn wir eine Menge einfach nur „offen“ nennen, so in der Hoffnung, dem
Leser sei klar, in Bezug auf welchen größeren Raum X dies „offen“ gemeint ist.
Ist X ein topologischer Raum und sind M ⊂ Y ⊂ X Teilmengen, so meint M ⊂◦
Y , daß M offen ist als Teilmenge des Raums Y mit seiner induzierten Topologie.
2.1.9. Gegeben ein topologischer Raum X gilt V ⊂◦ U ⊂◦ X ⇒ V ⊂◦ X. Ist in der
Tat V offen in der Spurtopologie, so gibt es W ⊂◦ X mit V = W ∩ U und daraus
folgt V ⊂◦ X.
49
Definition 2.1.10. Eine Abbildung zwischen topologischen Räumen heißt stetig
genau dann, wenn darunter das Urbild jeder offenen Menge offen ist.
Satz 2.1.11. Die Verknüpfung stetiger Abbildungen ist stetig.
Beweis. Aus f : X → Y und g : Y → Z stetig folgt V ⊂◦ Z ⇒ g −1 (V ) ⊂◦ Y ⇒
f −1 (g −1 (V ))⊂◦ X. Da nun gilt f −1 (g −1 (V )) = (g◦f )−1 (V ), ist damit auch (g◦f )
stetig.
Beispiele 2.1.12. Jede konstante Abbildung ist stetig. Die Identität auf einem topologischen Raum ist immer stetig. Jede Abbildung in einen Raum mit der Klumpentopologie ist stetig. Jede Abbildung aus einem Raum mit der diskreten Topologie ist stetig.
Beispiel 2.1.13 (Metrische Stetigkeit als topologische Stetigkeit). Eine Abbildung zwischen metrischen Räumen ist „metrisch stetig“ im Sinne von 1.2.10 genau dann, wenn sie „topologisch stetig“ ist im Sinne unserer Definition 2.1.10.
In der Tat, sei f : X → Y unsere Abbildung zwischen metrischen Räumen. Jeder Ball B(y; ε) im metrischen Raum Y ist offen nach 1.4.5. Ist f topologisch
stetig, so ist demnach sein Urbild f −1 B(y; ε) offen in X. Für jedes x ∈ X mit
f (x) = y gibt es nach der Definition der metrischen Topologie also δ > 0 mit
B(x; δ) ⊂ f −1 B(y; ε) alias f (B(x; δ)) ⊂ B(y; ε), und das zeigt die metrische
Stetigkeit von f . Ist umgekehrt f metrisch stetig, so ist nach derselben Argumentation das Urbild jedes Balls offen, und dann natürlich auch das Urbild jeder
offenen Menge als Vereinigung von Urbildern solcher Bälle.
Lemma 2.1.14 (Universelle Eigenschaft der induzierten Topologie). Sei f :
X → Y eine Abbildung zwischen topologischen Räumen und Z ⊂ Y eine Teilmenge mit f (X) ⊂ Z. So ist f stetig genau dann, wenn die induzierte Abbildung
f : X → Z stetig ist für die auf Z induzierte Topologie.
Beweis. Die Einbettung i : Z ,→ Y ist offensichtlich stetig. Ist also f : X → Z
stetig, so auch f : X → Y als Verknüpfung stetiger Abbildungen. Sei umgekehrt
f : X → Y stetig mit f (X) ⊂ Z. Gegeben U ⊂◦ Z existiert V ⊂◦ Y mit V ∩Z = U .
Dann ist f −1 (U ) = f −1 (V ) offen in X aufgrund der Stetigkeit von f : X →
Y.
Definition 2.1.15. Eine Teilmenge M eines topologischen Raums X heißt abgeV
schlossen oder präziser abgeschlossen in X und wir schreiben in Formeln M ⊂ X
genau dann, wenn ihr Komplement X\M offen ist.
2.1.16. Wenn wir eine Menge einfach nur „abgeschlossen“ nennen, so in der Hoffnung, dem Leser sei klar, in Bezug auf welchen größeren Raum X dies „abgeschlossen“ gemeint ist. Ist X ein topologischer Raum und sind M ⊂ Y ⊂ X
V
Teilmengen, so meint M ⊂ Y , daß M abgeschlossen ist als Teilmenge des Raums
Y mit seiner induzierten Topologie 2.1.6.
50
Lemma 2.1.17. Jede endliche Vereinigung und beliebige Schnitte abgeschlossener Mengen sind abgeschlossen.
Beweis. Das folgt mit der Definition einer Topologie sofort aus der Formel
\
[
X\
M=
(X\M )
M ∈M
M ∈M
Diese Formel gilt ganz allgemein für jedes System M ⊂ P(X) von Teilmengen
einer Menge X.
2.1.18 (Stetigkeit und abgeschlossene Mengen). Eine Abbildung ist stetig genau
dann, wenn darunter das Urbild jeder abgeschlossenen Menge abgeschlossen ist:
Das folgt unmittelbar aus der Definition 2.1.10, da das Urbild des Komplements
einer Menge stets das Komplement ihres Urbilds ist.
Proposition 2.1.19. Sei f : X → Y eine Abbildung topologischer Räume.
1. Sei U eine offene S
Überdeckung von X, d.h. ein System offener Teilmengen
von X mit X = U ∈U U . So ist f stetig genau dann, wenn f |U stetig ist
für alle U ∈ U. Etwas vage gesprochen ist demnach Stetigkeit eine lokale
Eigenschaft.
2. Sei X überdeckt von endlich vielen abgeschlossenen
Teilmengen von X, in
Sn
V
Formeln A1 , . . . , An ⊂ X und X = i=1 Ai . So ist f stetig genau dann,
wenn f |Ai stetig ist für alle i = 1, . . . n.
Beweis. Ist f stetig, so sind alle f |U stetig als Verknüpfung von f mit der stetigen
Inklusion U ,→ X. Sind andererseits alle f |U stetig, so ist für alle W ⊂◦ Y und
−1
alle U ∈ U das Urbild f −1 (W ) ∩ U offen in U , nach 2.1.9 ist also
)∩U
S f (W
−1
sogar offen in X, und damit ist dann natürlich auch f (W ) = U ∈U f −1 (W ) ∩
U offen in X als Vereinigung offener Mengen. Mithin ist f stetig. Teil 2 zeigt
man ähnlich: Nach 2.1.18 muß nur gezeigt werden, daß für jede abgeschlossene
V
Teilmenge B ⊂
Y von Y ihr Urbild f −1 (B) abgeschlossen ist in X. Da aber gilt
V
f −1 (B) = f1−1 (B) ∪ . . . ∪ fn−1 (B) und fi−1 (B) ⊂
Ai nach Annahme folgt die
Proposition aus Übung 2.1.23 und den Definitionen.
Definition 2.1.20. Eine Abbildung zwischen topologischen Räumen heißt ein Homöomorphismus oder auch eine topologische Abbildung genau dann, wenn sie
stetig und bijektiv ist und zusätzlich die inverse Abbildung auch stetig ist. Zwei
topologische Räume heißen homöomorph genau dann, wenn es zwischen ihnen
einen Homöomophismus gibt. In Formeln schreiben wir dann X ∼
= Y.
51
Übungen
Übung 2.1.21. Auf jeder Menge kann man die koendliche Topologie erklären
durch die Vorschrift, daß außer der leeren Menge nur die Komplemente endlicher
Mengen offen sein sollen.
Übung 2.1.22. Auf jeder partiell geordneten Menge kann man die Ordnungstopologie, auch genannt Alexandroff-Topologie, erklären durch die Vorschrift, daß
genau die Teilmengen offen sein sollen, die mit einem Element auch jedes kleinere Element enthalten. Genau dann entsteht eine Topologie in dieser Weise aus
einer partiellen Ordnung, wenn es für jedes Element eine kleinste offene Menge
gibt, die es umfaßt.
Übung 2.1.23. Gegeben ein topologischer Raum X mit einer Teilmenge Y zeige
V
V
man: A ⊂ Y ⇔ ∃B ⊂ X mit A = B ∩ Y . Weiter zeige man für Teilmengen
V
V
V
B ⊂ A ⊂ X die Implikation (B ⊂ A ⊂ X) ⇒ B ⊂ X.
2.2
Inneres, Abschluß, Umgebungsbegriff
Definition 2.2.1. Sei X ein topologischer Raum und M ⊂ X eine Teilmenge.
1. Es gibt eine größte offene Teilmenge Of X (M ) = Of(M ) = M ◦ von X, die
in M enthalten ist, nämlich die Vereinigung über alle offenen Teilmengen
U von X, die in M enthalten sind. M ◦ heißt der offene Kern oder auch das
Innere, englisch interior von M in X.
2. Es gibt eine kleinste abgeschlossene Teilmenge ClX (M ) = Cl(M ) = M
von X, die M umfaßt, nämlich den Schnitt über alle abgeschlossenen Teilmengen A von X, die M umfassen. Diese Menge M heißt der Abschluß,
englisch closure von M in X.
3. Man definiert den Rand oder genauer den topologischen Rand von M in
X als ∂X M = ∂M := M \M ◦ . Er ist stets abgeschlossen in X.
2.2.2. Die Herkunft der Bezeichnung ∂M für den Rand von M wird in ?? diskutiert. Ich habe die englische Abkürzung Cl für den Abschluß vorgezogen, weil ich
das Kürzel Ab für die „Kategorie der abelschen Gruppen“ reservieren will.
Beispiele 2.2.3. Für eine beliebige Teilmenge M der abgeschlossenen Kreisscheibe D2 ⊂ R2 , die die offene Kreisscheibe umfaßt, ist der offene Kern von M in R2
die offene Kreisscheibe, der Abschluß M in R2 die abgeschlossene Kreisscheibe,
und der Rand M in R2 die Kreislinie. Für einen beliebigen topologischen Raum
X ist natürlich der offene Kern von X in X ebenso wie der Abschluß von X in X
schlicht X selber, und der Rand von X in X ist leer.
52
Lemma 2.2.4. Seien X ein topologischer Raum und M, N ⊂ X Teilmengen.
1. Es gilt X\M = X\M ◦ und (X\M )◦ = X\M ;
2. Es gilt M ∪ N = M ∪ N und (M ∩ N )◦ = M ◦ ∩ N ◦ .
Beweis. 1. Wir rechnen
X\M ◦ = X\
[
U offen
U ⊂M
U=
\
(X\U ) =
U offen
U ⊂M
\
A = X\M
A abgeschlossen
A⊃(X\M )
Die Gleichheit (X\M )◦ = X\M ergibt sich, wenn wir in der schon bewiesenen
Gleichheit auf beiden Seiten das Komplement nehmen und M durch X\M ersetzen.
2. M ∪ N ist abgeschlossen und umfaßt M und N , also auch M und N . Andererseits ist M ∪ N abgeschlossen und umfaßt M ∪ N , also auch M ∪ N . Die
Gleichheit (M ∩ N )◦ = M ◦ ∩ N ◦ zeigt man analog.
Definition 2.2.5. Sei X ein topologischer Raum, M ⊂ X eine Teilmenge und
p ∈ X ein Punkt. So benutzt man die Sprechweisen
p ∈ M ◦ ⇔ p ist innerer Punkt von M ;
p∈M
⇔ p ist Berührungspunkt von M ;
p ∈ ∂M ⇔ p ist Randpunkt von M .
Hier ist wieder zu beachten, daß es ganz entscheidend von X abhängt, welche
Punkte nun innere Punkte, Berührungspunkte oder Randpunkte von M sind.
Definition 2.2.6. Seien X ein topologischer Raum und A ⊂ X eine Teilmenge.
Eine Teilmenge U ⊂ X heißt eine Umgebung von A genau dann, wenn es eine offene Menge V ⊂◦ X gibt mit A ⊂ V ⊂ U . Im Fall einer einelementigen
Teilmenge A = {p} sprechen wir auch von einer Umgebung von p.
Lemma 2.2.7. Sei X ein topologischer Raum, M ⊂ X eine Teilmenge und p ∈ X
ein Punkt. So gilt:
1. p ∈ M ◦ ⇔ M ist eine Umgebung von p;
⇔ M trifft jede Umgebung von p;
2. p ∈ M
3. p ∈ ∂M ⇔ M und X\M treffen jede Umgebung von p.
Beweis. 1 ist klar nach den Definitionen. Für 2 bemerken wir, daß nach Lemma
2.2.4.1 gilt
p∈M ⇔ p∈
/ (X\M )◦
⇔ X\M ist keine Umgebung von p
⇔ jede Umgebung von p trifft M.
53
Sicher gilt weiter p ∈ ∂M ⇔ p ∈ M ∩ (X\M ). Nun folgt 3 aus der eben unter 2
bewiesenen Aussage.
2.2.8. Ein topologischer Raum X heißt Hausdorff genau dann, wenn darin je
zwei verschiedene Punkte disjunkte Umgebungen besitzen. Gleichbedeutend wird
auch die Bezeichnung separiert verwendet.
Beispiel 2.2.9. Jeder metrische Raum ist Hausdorff. Die Klumpentopologie auf
einer Menge mit mindestens zwei Elementen ist nicht Hausdorff. Die koendliche
Topologie auf einer unendlichen Menge ist nicht Hausdorff.
2.2.10. Sei X ein topologischer Raum, (xn )n∈N eine Folge in X und x ∈ X ein
Punkt. Wir sagen, die Folge (xn ) konvergiere gegen x und x sei ein Grenzwert
unserer Folge und schreiben
lim xn = x
n→∞
genau dann, wenn in jeder Umgebung von x fast alle Glieder unserer Folge liegen.
In einem Hausdorffraum kann ein-und dieselbe Folge nicht gegen zwei verschiedene Punkte konvergieren.
2.2.11. Eine Teilmenge F eines topologischen Raums X heißt folgenabgeschlossen genau dann, wenn sie mit jeder in X konvergierenden Folge auch deren
Grenzwerte enthält. In metrischen Räumen sind folgenabgeschlossene Teilmengen stets abgeschlossen. In beliebigen topologischen Räumen gilt das nicht mehr,
wie das folgend Beispiel 2.2.18 zeigt.
Übungen
Übung 2.2.12. Man zeige, daß im allgemeinen M ∩ N 6= M ∩ N . Welche Inklusion gilt stets?
Übung 2.2.13. Eine Abbildung f : X → Y von topologischen
Räumen ist stetig
genau dann, wenn für alle Teilmengen M ⊂ X gilt f M ⊂ f (M ).
Übung 2.2.14. Man zeige für jeden topologischen Raum: Der Schnitt von zwei
Umgebungen eines Punktes ist wieder eine Umgebung besagten Punktes. Jede
Umgebung eines Punktes kann verkleinert werden zu einer offenen Umgebung
desselben Punktes.
Übung 2.2.15. Eine Teilmenge eines topologischen Raums ist offen genau dann,
wenn sie für jeden ihrer Punkte eine Umgebung ist.
Übung 2.2.16. Eine Teilmenge eines topologischen Raums T ⊂ X ist abgeschlossen genau dann, wenn jeder Punkt x ∈ X eine Umgebung U besitzt derart, daß
T ∩ U abgeschlossen ist in U .
54
Übung 2.2.17. Sei f : X → Y eine Abbildung von topologischen Räumen und
p ∈ X ein Punkt. So heißt f stetig bei p genau dann, wenn es für jede Umgebung
V ⊂ Y von f (p) eine Umgebung U ⊂ X von p gibt mit f (U ) ⊂ V . Man zeige:
Unsere Abbildung ist stetig genau dann, wenn sie stetig ist bei jedem Punkt.
Ergänzende Übung 2.2.18 (Folgenabgeschlossen ist nicht abgeschlossen). Diese Übung liefert ein Beispiel für eine folgenabgeschlossene aber nicht abgeschlossene Teilmenge eines Hausdorffraums. Wir betrachten auf der Menge Ens(R, R)
aller Abbildungen f : R → R die „Topologie der punktweisen Konvergenz“ : Eine Teilmenge U ⊂ Ens(R, R) ist in Bezug auf diese Topologie offen genau dann,
wenn es für jedes f ∈ U ein ε > 0 und eine endliche Teilmenge E ⊂ R gibt mit
(|g(x) − f (x)| < ε ∀x ∈ E) ⇒ g ∈ U
Man zeige, daß das in der Tat eine Topologie ist, daß in dieser Topologie je zwei
verschiedene Funktionen disjunkte Umgebungen besitzen, und daß die meßbaren
Funktionen darin eine unter Konvergenz von Folgen abgeschlossene aber nicht
topologisch abgeschlossene Teilmenge bilden. Unsere „Topologie der punktweisen Konvergenz“ wird sich im übrigen in 2.8.1 folgende als ein Spezialfall der
sogenannten „Produkttopologie“ erweisen.
Ergänzende Übung 2.2.19. Unter einer Umgebungsbasis eines Punktes in einem
topologischen Raum versteht man wie in ?? ein System von Umgebungen besagten Punktes derart, daß jede Umgebung unseres Punktes mindestens eine Umgebung unseres Systems umfaßt. Man zeige: Besitzt in einem topologischen Raum
jeder Punkt eine abzählbare Umgebungsbasis, so ist jede unter Konvergenz von
Folgen abgeschlossene Teilmenge bereits abgeschlossen, und jede „folgenstetige“
Abbildung in einen weiteren topologischen Raum ist bereits stetig.
Ergänzung 2.2.20. Besitzt in einem topologischen Raum jeder Punkt eine abzählbare Umgebungsbasis, so sagt man auch, er „gehorche dem ersten Abzählbarkeitsaxiom“.
2.3
Zusammenhang
Definition 2.3.1. Ist X ein topologischer Raum und sind x, y ∈ X Punkte, so
nennen wir eine stetige Abbildung γ : [a, b] → X von einem mehrpunktigen
kompakten reellen Intervall [a, b] nach X mit γ(a) = x und γ(b) = y einen Weg
von x nach y. Ein topologischer Raum X heißt wegweise zusammenhängend
oder auch kurz wegzusammenhängend genau dann, wenn er nicht leer ist und es
für je zwei Punkte unseres Raums einen Weg vom einen zum anderen gibt.
2.3.2. Das Bild eines wegzusammenhängenden Raums unter einer stetigen Abbildung ist offensichtlich stets wieder wegzusammenhängend.
55
Definition 2.3.3. Ein topologischer Raum heißt zusammenhängend genau dann,
wenn er nicht leer ist und sich nicht als disjunkte Vereinigung von zwei nichtleeren
offenen Teilmengen schreiben läßt.
2.3.4. Gleichbedeutend könnten wir natürlich auch fordern, daß unser nicht leer
ist und sich nicht als disjunkte Vereinigung von zwei nichtleeren abgeschlossenen Teilmengen schreiben läßt. Eine Teilmenge eines topologischen Raumes nennen wir nach unseren allgemeinen Konventionen zusammenhängend genau dann,
wenn sie zusammenhängend ist als topologischer Raum mit der induzierten Topologie.
2.3.5 (Diskussion der Terminologie). In der Literatur wird meist auch die leere
Menge zusammenhängend genannt. Mir scheint das jedoch unnatürlich, da sich
mit dieser Konvention jeder zusammenhängende Raum in eine Vereinigung von
zwei disjunkten offenen zusammenhängenden Teilmengen zerlegen ließe.
Proposition 2.3.6. Das Bild eines zusammenhängenden Raums unter einer stetigen Abbildung ist stets zusammenhängend.
Beweis. Es reicht, wenn wir für eine stetige Surjektion f : X → Y aus Y nicht
zusammenhängend folgern, daß auch X nicht zusammenhängend ist. Ist jedoch
Y = Y0 t Y1 eine Zerlegung in zwei offene, disjunkte, nichtleere Teilmengen,
so auch X = f −1 (Y0 ) t f −1 (Y1 ). Ist weiter Y leer, so auch X. Die Proposition
folgt.
Beispiel 2.3.7. Ein diskreter topologischer Raum ist zusammenhängend genau
dann, wenn er aus genau einem Punkt besteht.
Proposition 2.3.8 (Charakterisierung zusammenhängender Räume). Gegeben ein topologischer Raum sind gleichbedeutend:
1. Unser Raum ist zusammenhängend;
2. Jede stetige Abbildung von unserem Raum in einen Raum mit der diskreten
Topologie ist einwertig;
3. Jede stetige Abbildung von unserem Raum in einen zweielementigen Raum
mit der diskreten Toplogie ist einwertig.
2.3.9. Wir verwenden hier unsere Konvention ??, nach der eine Abbildung einwertig heißt genau dann, wenn ihr Bild aus genau einem Element besteht.
Beweis. 1 ⇒ 2 folgt aus 2.3.6, da das Bild einer stetigen Abbildung unseres
zusammenhängenden Raums in einen diskreten Raum notwendig zusammenhängend und diskret ist und damit nach 2.3.7 aus einem einzigen Punkt bestehen
56
muß. 2 ⇒ 3 ist klar. 3 ⇒ 1 zeigt man durch Widerspruch: Ist unser Raum nicht
zusammenhängend, so ist er entweder leer und die einzige Abbildung in unseren zweielementigen Raum ist nicht einwertig, oder er besitzt eine Zerlegung in
zwei disjunkte nichtleeren offenen Teilmengen. Dann aber können wir eine stetige
nicht einwertige Abbildung in unsere zweielementige Menge angeben durch die
Vorschrift, daß sie auf der einen Teilmenge das eine Element als Wert annehmen
soll und auf der anderen das andere.
Lemma 2.3.10 (Zusammenhängende Teilmengen von R). Eine Teilmenge der
reellen Zahlengerade ist zusammenhängend genau dann, wenn sie ein nichtleeres
Intervall ist.
Beweis. Jedes nichtleere reelle Intervall ist zusammenhängend nach Proposition
2.3.8 und dem Zwischenwertsatz. Ist umgekehrt A ⊂ R nicht leer und kein Intervall, so gibt es p ∈ R\A mit A ∩ R<p 6= ∅ =
6 A ∩ R>p , und das ist eine Zerlegung
von A in zwei nichtleere offene Teilmengen.
2.3.11. Ich gebe noch eine zweiten Beweis, der nicht auf dem Zwischenwertsatz
aufbaut. Deshalb kann man mit seiner Hilfe den Zwischenwertsatz aus 2.3.6 folgern.
Zweiter Beweis, daß nichtleere Intervalle zusammenhängend sind. Sei sonst I ⊂
R ein nichtleeres Intervall mit einer Zerlegung I = I0 t I1 in zwei für die Spurtopologie offene nichtleere Teilmengen. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit
dürfen wir annehmen, es gebe a ∈ I0 und b ∈ I1 mit a < b. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit dürfen wir weiter annehmen, es sei sogar I = [a, b]. Nun
sind I0 , I1 auch abgeschlossen in I und damit in R. Für p = sup I0 folgt p ∈ I0
und p < b und damit (p, b] ⊂ I1 und dann auch p ∈ I1 , im Widerspruch zu
I0 ∩ I1 = ∅.
2.3.12 (Wegzusammenhängende Teilmengen von R). Eine Teilmenge A ⊂ R
ist wegzusammenhängend genau dann, wenn A ein nichtleeres Intervall ist. In der
Tat ist jedes nichtleere reelle Intervall offensichtlich wegzusammenhängend. Ist
umgekehrt A ⊂ R nicht leer und kein Intervall, so gibt es reelle Zahlen x < p < y
mit x, y ∈ A aber p 6∈ A. Dann aber kann es nach dem Zwischenwertsatz keinen
Weg von x nach y geben, der ganz in A verläuft.
2.3.13. Wir sehen insbesondere, daß die zusammenhängenden Teilmengen von
Q genau die einelementigen Teilmengen sind. Topologische Räume mit dieser
Eigenschaft heißen total unzusammenhängend.
Satz 2.3.14. Jeder wegzusammenhängende Raum ist zusammenhängend.
57
Beweis. Wir argumentieren durch Widerspruch. Sei X nicht leer und nicht zusammenhängend, also die disjunkte Vereinigung X = U t V zweier nichtleerer offener Teilmengen. Gäbe es einen Weg ϕ : [a, b] → X mit ϕ(a) ∈ U und ϕ(b) ∈ V ,
so wäre [a, b] = ϕ−1 (U ) t ϕ−1 (V ) eine disjunkte Zerlegung des Intervalls [a, b]
in zwei nichtleere offene Teilmengen, und das stünde im Widerspruch zu unserer
Erkenntnis, daß Intervalle zusammenhängend sind. Also kann es keinen solchen
Weg geben und X ist auch nicht wegzusammenhängend.
Definition 2.3.15. Auf jedem topologischen Raum X definiert man die Relation W der „Wegverbindbarkeit“ durch die Vorschrift, daß gilt xW y genau dann,
wenn es in X einen Weg von x nach y gibt. Man zeige, daß das eine Äquivalenzrelation ist. Hinweis: Die Transitivität ergibt sich durch das „Aneinanderhängen
von Wegen“ und die Stetigkeit der so entstehenden Wege folgt mit 2.1.19.2. Die
Äquivalenzklassen für die Äquivalenzrelation der Wegverbindbarkeit heißen die
Wegzusammenhangskomponenten unseres Raums.
Lemma 2.3.16. Besitzt in einem topologischen Raum jeder Punkt eine wegzusammenhängende Umgebung, so sind seine Wegzusammenhangskomponenten offen
und unser Raum zusammenhängend genau dann, wenn er wegzusammenhängend
ist.
Beweis. Besitzt jeder Punkt eine wegzusammenhängende Umgebung, so sind die
Wegzusammenhangskomponenten sicher offen. Ist unser Raum nicht leer und
nicht wegzusammenhängend, so hat er mindestens zwei Wegzusammenhangskomponenten, und nehmen wir eine dieser Komponenten und die Vereinigung
der Übrigen, so erhalten wir eine Überdeckung durch zwei nichtleere offene Teilmengen. Also ist unter diesen Voraussetzungen unser Raum auch nicht zusammenhängend. Daß umgekehrt jeder wegzusammenhängende Raum auch zusammenhängend ist, wissen wir bereits aus 2.3.14.
Definition 2.3.17. Eine maximale zusammenhängende Teilmenge eines topologischen Raums heißt eine Zusammenhangskomponente.
Proposition 2.3.18 (Zerlegung in Zusammenhangskomponenten). Gegeben ein
topologischer Raum X gilt:
1. Jeder Punkt liegt in genau einer Zusammenhangskomponente;
2. Ist eine Teilmenge unseres Raums zusammenhängend, so ist auch ihr Abschluß zusammenhängend. Insbesondere sind Zusammenhangskomponenten stets abgeschlossen;
3. Ist A ⊂ P(X) ein System
T von zusammenhängenden TeilmengenSvon X
mit nichtleerem Schnitt A∈A A 6= ∅, so ist auch die Vereinigung A∈A A
zusammenhängend.
58
Beweis. 2. Sei A unsere zusammenhängende Teilmenge. Da nach Annahme A
nicht leer ist, gilt dasselbe für Ā. Ist Ā nicht zusammenhängend, so zerfällt Ā also
in zwei nichtleere disjunkte abgeschlossene Teilmengen Ā = A1 t A2 . Nach der
Definition von Ā kann keines der Ai schon A enthalten, also ist A = (A1 ∩ A) t
(A2 ∩ A) eine disjunkte Zerlegung in zwei nichtleere abgeschlossene Teilmengen,
und damit ist auch A nicht zusammenhängend im Widerspruch zur Voraussetzung.
S
3. Wir setzen Y = A∈A A. Sei Y = U ∪ V eine Zerlegung von Y in zwei offene
disjunkte Teilmengen. Es gilt zu zeigen, daß U oder V schon ganzTY sein muß.
Ohne Beschränkung der Allgemeinheit dürfen wir annehmen U ∩ A∈A A 6= ∅.
Da die A zusammenhängend sind, folgt dann schon U ⊃ A für alle A und damit
U =Y.
1. Nach 3 ist die Vereinigung über alle zusammenhängenden Teilmengen, die
einen gegebenen Punkt enthalten, selbst zusammenhängend.
Ergänzung 2.3.19. Wir geben einen alternativen Beweis für den Satz 2.3.14, nach
dem jeder wegzusammenhängende Raum zusammenhängend ist. Sei dazu X unser Raum. Als wegzusammenhängender Raum ist X nicht leer. Ist x ∈ X ein
Punkt, so ist X die Vereinigung über die Bilder aller Wege γ in X mit Anfangspunkt x, in Formeln
[
X=
γ([0, 1])
γ(0)=x
Alle diese Bilder γ([0, 1]) sind zusammenhängend als Bilder zusammenhängender
Mengen und ihr Schnitt ist nicht leer, denn er enthält x. Nach 2.3.18.3 ist also X
zusammenhängend.
Definition 2.3.20. Eine Teilmenge eines topologischen Raums heißt wie in ??
diskret genau dann, wenn jeder ihrer Punkte eine Umgebung besitzt, in der kein
anderer Punkt besagter Teilmenge liegt. In anderen Worten nennen wir also eine Teilmenge eines topologischen Raums diskret genau dann, wenn sie mit der
Spurtopologie ein diskreter topologischer Raum wird.
Beispiel 2.3.21. Die Menge aller Brüche {1, 1/2, 1/3, . . .} mit einer Eins im Zähler ist eine diskrete Teilmenge der reellen Zahlengeraden.
2.3.22 (Diskussion der Terminologie). Andere Autoren verstehen unter einer
„diskreten Teilmenge“ eines topologischen Raums abweichend eine Teilmenge
derart, daß jeder Punkt des gesamten Raums eine Umgebung besitzt, in der höchstens ein Punkt besagter Teilmenge liegt. In unserer Terminologie sind das genau
die diskreten abgeschlossenen Teilmengen.
59
Übungen
Übung 2.3.23 (Die Sinuskurve des Topologen). Man betrachte in R2 die Vereinigung des Graphen der Funktion R× → R, x 7→ sin(1/x) mit der y-Achse. Man
zeige zur Übung, daß diese Teilmenge von R2 zusammenhängend, aber nicht wegzusammenhängend ist.
Übung 2.3.24. Besitzt jeder Punkt eines topologischen Raums eine zusammenhängende Umgebung, so sind seine Zusammenhangskomponenten offen.
Übung 2.3.25. Das Komplement einer abgeschlossenen diskreten Teilmenge in
einer wegzusammenhängenden offenen Teilmenge eines Rn ist für n > 1 wegzusammenhängend. Dasselbe gilt im Übrigen auch ohne die Bedingung „abgeschlossen“, ist dann aber schwerer zu zeigen.
Übung 2.3.26. Ist U ⊂◦ Rn offen und wegzusammenhängend und A ⊂ Rn ein affiner Teilraum einer Dimension dim A ≤ n−2 alias einer Kodimension mindestens
Zwei, so ist auch U \A wegzusammenhängend. Für Teilräume A der Kodimension
Eins alias affine Hyperebenen A gilt das natürlich nicht!
2.4
Topologische Mannigfaltigkeiten*
Definition 2.4.1. Eine stetige Abbildung topologischer Räume heißt eine topologische Einbettung oder kürzer Einbettung genau dann, wenn sie einen Homöomorphismus mit ihrem Bild induziert, für die induzierte Topologie auf besagtem
Bild.
Definition 2.4.2. Eine d-dimensionale topologische Mannigfaltigkeit ohne Rand
oder kurz d-Mannigfaltigkeit ist ein topologischer Hausdorffraum X derart, daß
gilt: Jeder Punkt p ∈ X besitzt eine offene Umgebung, die homöomorph ist zu
einer offenen Teilmenge des Rd .
2.4.3. Viele Autoren fordern von einer Mannigfaltigkeit zusätzlich, daß sie „parakompakt“ sein soll, oder sogar noch stärker, daß ihre Topologie „eine abzählbare
Basis“ haben soll. Wir werden solche Bedingungen stets explizit erwähnen, bis
jetzt sind sie für uns belanglos.
2.4.4. Bis jetzt haben wir unter „Mannigfaltigkeiten“ stets „eingebettete C 1 -Mannigfaltigkeiten
mit Rand“ im Sinne von ?? verstanden. Ich hoffe, daß der Leser aus dem Kontext
erschließen kann, welcher Begriff jeweils gemeint ist.
2.4.5. Genau dann ist ein Hausdorffraum eine d-Mannigfaltigkeit, wenn jeder
Punkt eine offene Umgebung besitzt, die homöomorph ist zu Rd .
Beispiele 2.4.6. Jede offene Teilmenge einer Mannigfaltigkeit ist eine Mannigfaltigkeit. Die Sphäre S d ist eine d-Mannigfaltigkeit.
60
Ein Teil der Sinuskurve des Topologen, die in der Nähe der y-Achse allerdings
schwer zu zeichnen ist
61
Beispiel 2.4.7. Welche Fälle die Bedingung „Hausdorff“ in der Definition einer
Mannigfaltigkeit ausschließt, erkennt man am Beispiel der Zahlengeraden mit
verdoppeltem Nullpunkt. Wir betrachten genauer die disjunkte Vereinigung R̃ =
Rt{0̃} von R mit einer einelementigen Menge {0̃} und die Abbildung π : R̃ → R
gegeben durch π(x) = x ∀x ∈ R, π(0̃) = 0. Auf R̃ erklären wir eine Topologie
durch die Vorschrift „U ist offen in R̃ genau dann, wenn π(U ) offen ist in R“. In
diesem topologischen Raum haben 0 und 0̃ in R̃ keine disjunkten Umgebungen,
aber jeder Punkt besitzt eine zu R homöomorphe offene Umgebung.
Übungen
Übung 2.4.8. Man zeige, daß die Verknüpfung von zwei Einbettungen stets wieder
eine Einbettung ist.
Übung 2.4.9. Ist ein Rn homöomorph zur reellen Geraden R, so folgt n = 1. In
Formeln gilt also Rn ∼
= R ⇒ n = 1. Hinweis: Das Komplement eines beliebigen
Punktes in R ist nicht wegzusammenhängend.
Übung 2.4.10. Man zeige: Das Achsenkreuz {(x, y) ∈ R2 | xy = 0} ist nicht
homöomorph zur Zahlengerade R.
Übung 2.4.11. Je zwei nichtleere offene konvexe Teilmengen des Rn sind homömorph. Sind unsere Mengen zusätzlich beschränkt, so gibt es sogar einen Homöomorphismus zwischen ihren Abschlüssen, der Homöomorphismen zwischen ihren
Rändern induziert.
Übung 2.4.12. Das Komplement einer abgeschlossenen diskreten Teilmenge in
einer zusammenhängenden topologischen Mannigfaltigkeit der Dimension mindestens zwei ist zusammenhängend. Dasselbe gilt im Übrigen auch ohne die Bedingung „abgeschlossen“, ist dann aber schwerer zu zeigen.
Übung 2.4.13. Jede Wegzusammenhangskomponente einer Mannigfaltigkeit ist
in unserer Mannigfaltigkeit sowohl offen als auch abgeschlossen. Eine Mannigfaltigkeit ist insbesondere wegzusammenhängend genau dann, wenn sie zusammenhängend ist.
2.5
Kompakte Räume
2.5.1. Ich erinnere Grundlegendes zum Begriff der Kompaktheit allgemeiner topologischer Räume aus ??. Ich beginne mit einer Wiederholung der Definition.
Definition 2.5.2. Ein topologischer Raum heißt kompakt, wenn jede offene Überdeckung unseres Raums eine endliche Teilüberdeckung besitzt.
62
2.5.3. Ist X unser topologischer Raum, so fordern wir also in Formeln ausgedrückt,
von X mit
S daß es für jedes System U ⊂ P(X) von offenen Teilmengen
S
X = U ∈U U ein endliches Teilsystem E ⊂ U gibt mit X = U ∈E U .
2.5.4 (Diskussion der Terminologie). Die Konventionen sind, was den Begriff
der Kompaktheit angeht, nicht einheitlich. Die hier gewählte Konvention ist im
englischen Sprachraum weit verbreitet. Bourbaki und mit ihm die meisten französischen und auch viele andere Autoren nennen die in unserem Sinne kompakten
Räume nur quasikompakt und fordern von kompakten Räumen zusätzlich die
Hausdorff-Eigenschaft. Eine Teilmenge eines topologischen Raums, deren Abschluß kompakt ist, nennt man relativ kompakt.
2.5.5 (Kompaktheit metrischer Räume). Nach 1.12.3 ist ein metrischer Raum
„folgenkompakt“, als da heißt kompakt im Sinne von 1.9.1 genau dann, wenn er
für seine metrische Topologie kompakt ist im Sinne unserer abstrakten Definition
2.5.2.
Beispiele 2.5.6. Eine Menge mit der diskreten Topologie ist kompakt genau dann,
wenn sie endlich ist. Eine Menge mit der Klumpentopologie ist stets kompakt.
2.5.7 (Ausformulierung der Kompaktheit in der Spurtopologie). Sei X ein
topologischer Raum und A ⊂ X eine Teilmenge. So sind gleichbedeutend nach
unseren Definitionen (1) A ist kompakt mit der induzierten Topologie
S und (2) für
jedes System U ⊂ P(X) von offenen Teilmengen
von
X
mit
A
⊂
U ∈U U finden
S
wir ein endliches Teilsystem E ⊂ U mit A ⊂ U ∈E U .
Lemma 2.5.8. Eine kompakte Teilmenge eines Hausdorffraums ist stets abgeschlossen.
Beweis. Durch Widerspruch. Sei X unser Hausdorffraum und A ⊂ X eine kompakte Teilmenge. Ist A nicht abgeschlossen, so gibt es x ∈ Ā\A. Für jedes a ∈ A
finden wir dann in X
S disjunkte offene Umgebungen Ua und Va von a und x.
Natürlich gilt A ⊂ a∈A Ua , also gibt es auch endlich viele a, . . . , b ∈ A mit
A ⊂ Ua ∪ . . . ∪ Ub . Als endlicher Schnitt offener Mengen ist dann jedoch auch
Va ∩. . .∩Vb offen und nach Konstruktion gilt A∩Va ∩. . .∩Vb = ∅ im Widerspruch
zu unserer Annahme x ∈ Ā.
Lemma 2.5.9. Eine abgeschlossene Teilmenge eines kompakten Raums ist stets
kompakt.
Beweis. Sei X unser kompakter Raum und A ⊂ X abgeschlossen. Ist U ein System von offenen Teilmengen von X, deren Vereinigung A umfaßt, so schließen
wir
S
S
A ⊂ U ∈U U ⇒ X = (X\A) ∪ U ∈U U
⇒ X = (X\A) ∪ U1 ∪ . . . ∪ Uk
⇒ A ⊂ U1 ∪ . . . ∪ Uk
63
für geeignete U1 , . . . , Uk ∈ U.
Satz 2.5.10. Das Bild eines kompakten Raums unter einer stetigen Abbildung ist
stets kompakt.
Beweis. Sei f : X → Y stetig und X kompakt. Es gilt zu zeigen, daß auch f (X)
kompakt ist. Sei dazu U ein System von offenen Teilmengen von Y . So gilt
S
S
f (X) ⊂ U ∈U U ⇒ X = U ∈U f −1 (U )
⇒ X = f −1 (U1 ) ∪ . . . ∪ f −1 (Uk )
⇒ f (X) ⊂ U1 ∪ . . . ∪ Uk
für geeignete U1 , . . . , Uk ∈ U.
Definition 2.5.11. Eine nicht notwendig stetige Abbildung von topologischen
Räumen heißt abgeschlossen genau dann, wenn das Bild jeder abgeschlossenen
Menge wieder abgeschlossen ist.
Satz 2.5.12. Eine stetige Abbildung von einem kompakten Raum in einen Hausdorffraum ist stets abgeschlossen. Eine stetige bijektive Abbildung von einem kompakten Raum auf einen Hausdorffraum ist stets ein Homöomorphismus.
Beweis. Sei X kompakt, Y Hausdorff und f : X → Y stetig und bijektiv. Es
reicht zu zeigen, daß f abgeschlossene Mengen auf abgeschlossene Mengen abV
V
bildet. Aber in der Tat gilt ja A⊂ X ⇒ A kompakt ⇒ f (A) kompakt ⇒ f (A)⊂ Y
nach 2.5.9 und 2.5.10 und 2.5.8.
2.5.13 (Hausdorff-Eigenschaft versus Kompaktheit). Die Hausdorff-Eigenschaft
und die Kompaktheit sind Antagonisten: Die Hausdorff-Eigenschaft verlangt nach
vielen offenen Mengen und die Kompaktheit nach wenigen. Ist beides gleichzeitig erfüllt, so kann man nach dem vorhergehenden Satz 2.5.12 keine zusätzlichen
Mengen als offen deklarieren, ohne die Kompaktheit zu verlieren, und nicht weniger Mengen als offen deklarieren, ohne die Hausdorff-Eigenschaft zu verlieren.
Satz 2.5.14 (Extrema auf Kompakta). Eine stetige reellwertige Funktion auf
einem nichtleeren kompakten Raum ist beschränkt und nimmt ihr Maximum und
ihr Minimum an.
Beweis. Ist X kompakt und f : X → R stetig, so ist f (X) ⊂ R auch kompakt, also beschränkt und abgeschlossen. Haben wir zusätzlich X 6= ∅, so folgt
sup f (X), inf f (X) ∈ f (X).
Vorschau 2.5.15. Aus der Analysis vertraute Kriterien für Abgeschlossenheit, Stetigkeit, Kompaktheit und dergleichen über Eigenschaften von Folgen übertragen
sich erst auf beliebige topologische Räume, wenn man den Begriff der Folge zu
dem des Filters verallgemeinert. Wir stellen die Diskussion dieses Begriffs zurück bis zum Beweis des Satzes von Tychonoff ??. Daß „folgenabgeschlossen“
keineswegs „abgeschlossen“ impliziert, zeigt das Beispiel 2.2.18.
64
Übungen
Übung 2.5.16. Man sagt, ein System A ⊂ P(X) von Teilmengen einer Menge X
habe nichtleere endliche
T Schnitte genau dann, wenn für jedes endliche Teilsystem E ⊂ A der Schnitt A∈E A nicht leer ist. Man zeige: Ein topologischer Raum
X ist kompakt genau dann, wenn für jedes System A ⊂ P(X) von abgeschlossenen Teilmengen von X mit nichtleeren
endlichen Schnitten auch der gesamte
T
Schnitt nicht leer ist, in Formeln A∈A A 6= ∅.
Übung 2.5.17. Sind A, B disjunkte kompakte Teilmengen eines Hausdorffraums
X, so gibt es disjunkte offene Mengen U, V ⊂◦ X mit A ⊂ U und B ⊂ V . Hinweis:
Man beginne mit dem Fall, daß A nur aus einem Punkt besteht.
Übung 2.5.18. In einem kompakten Hausdorffraum läßt sich jede Umgebung eines Punktes zu einer abgeschlossenen Umgebung desselben Punktes verkleinern.
Hinweis: 2.5.17.
Übung 2.5.19. Die Abbildung (0, 2π) → C, t 7→ exp(i t) ist ein Homöomorphismus auf ihr Bild.
Übung 2.5.20 (Ein-Punkt-Kompaktifizierung). Man zeige: Gegeben ein topologischer Raum X können wir auf X t {∞} eine Topologie T erklären durch die
Vorschrift
T := {U | U ⊂◦ X} t {U t {∞} | U ⊂◦ X mit X\U kompakt}
Man zeige weiter, daß X t{∞} mit dieser Topologie ein kompakter topologischer
Raum ist. Er heißt die Ein-Punkt-Kompaktifizierung von X.
2.6
Konstruktion topologischer Räume
2.6.1 (Vergleich verschiedener Topologien auf derselben Menge). Gegeben Topologien T , T 0 ⊂ P(X) auf derselben Menge X sagt man, T sei größergleich
oder auch feiner als T 0 und T 0 sei kleinergleich oder auch gröber als T genau
dann, wenn gilt
T ⊃T0
2.6.2. Sind Ti ⊂ P(X) Topologien auf ein- und derselben Menge
T X, für i aus
einer Indexmenge I, so ist offensichtlich auch ihr Schnitt T := i∈I Ti eine Topologie.
Definition 2.6.3. Ist X eine Menge und E ⊂ P(X) ein System von Teilmengen
von X, so definiert man auf X die von E erzeugte Topologie hEi als den Schnitt
in P(X) über alle Topologien auf X, die E umfassen, alias die kleinste Topologie
auf X, die E umfaßt.
65
2.6.4 (Von Mengensystem erzeugte Topologie, explizite Beschreibung). Natürlich ist hEi damit die kleinste Topologie auf X, die E umfaßt. Wir können
hEi alternativ auch wie folgt beschreiben: Zunächst bilden wir das Mengensystem Ẽ = {U ⊂ X | ∃V1 , . . . , Vk ∈ E mit U = V1 ∩ . . . ∩ Vk } aller endlichen Schnitte von Mengen aus E, mitgemeint ist hier X ∈ Ẽ als der „Schnitt
über gar keine Menge aus E“, und anschließend
bilden wir das Mengensystem
S
hEi = {W ⊂ X| Es gibt U ⊂ Ẽ mit W = U ∈U U } aller beliebigen Vereinigungen von Mengen aus Ẽ, mitgemeint ist hier ∅ ∈ hEi als die „Vereinigung über gar
keine Menge aus Ẽ“. In der Tat ist auch das so konstruierte Mengensystem hEi eine Topologie auf X, und für jede Topologie T auf X mit T ⊃ E folgt umgekehrt
erst T ⊃ Ẽ und dann T ⊃ hEi.
Definition 2.6.5. Sei (X, T ) ein topologischer Raum. Ein Mengensystem E ⊂
P(X) heißt eine Subbasis der Topologie T genau dann, wenn es die Topologie
erzeugt, in Formeln hEi = T . Es heißt eine Basis der Topologie genau dann,
wenn die offenen Mengen unseres topologischen Raums X gerade alle beliebigen
Vereinigungen von Mengen aus E sind.
Beispiel 2.6.6. Die übliche Topologie aus 1.5.9 auf der Menge der erweiterten
reellen Zahlen R = R t {±∞} können wir in dieser Terminologie besonders
elegant beschreiben als die Topologie, die erzeugt wird von allen Teilmengen der
Gestalt {x | x < a} und allen Teilmengen der Gestalt {x | x > a} für beliebige
a ∈ R.
Definition 2.6.7. Seien X eine Menge, Yi topologische Räume indiziert durch
i ∈ I und fi : Yi → X Abbildungen. Die größte alias feinste Topologie auf X,
für die alle diese Abbildungen stetig werden, heißt die Finaltopologie auf X in
Bezug auf unsere Familie von Abbildungen.
2.6.8 (Explizite Beschreibung der Finaltopologie). Es gilt noch zu zeigen, daß
solch eine größte Topologie tatsächlich existiert. Dazu beachte man, daß die Vorschrift U ⊂◦ X ⇔ (fi−1 (U ) ⊂◦ Yi ∀i ∈ I) eine Topologie auf X definiert. Es
scheint mir nun klar, daß für diese Topologie alle fi stetig sind, und daß alle anderen Topologien mit besagter Eigenschaft in dieser explizit gegebenen Topologie
enthalten sein müssen. Damit haben wir sogar eine explizite Beschreibung der
Finaltopologie erhalten.
Lemma 2.6.9. Seien Y ein topologischer Raum, f : Y → X eine Abbildung und
E ⊂ P(X) ein Mengensystem. So ist f ist stetig für die von E erzeugte Topologie
auf X genau dann, wenn die Urbilder aller V ∈ E offen sind in Y .
Beweis. Sind die Urbilder aller V ∈ E offen, so ist E eintahlten in der finalen
Topologie auf X. Folglich ist die von E erzeugte Topologie kleinergleich der besagten finalen Topologie, und dann muß f offensichtlich stetig sein. Der Beweis
der anderen Richtung ist unproblematisch.
66
Satz 2.6.10 (Universelle Eigenschaft der Finaltopologie). Seien fi : Yi → X
Abbildungen topologischer Räume in eine Menge. Versehen wir X mit der Finaltopologie, so ist eine Abbildung g : X → W in einen weiteren topologischen
Raum W stetig genau dann, wenn alle g ◦ fi : Yi → W stetig sind.
Beweis. Mit g sind natürlich auch alle g◦fi stetig. Sind umgekehrt alle g◦fi stetig,
so folgt aus V ⊂◦ Z natürlich fi−1 (g −1 (V )) ⊂◦ Yi für alle i und damit g −1 (V ) ⊂◦ X
nach unserer expliziten Beschreibung der Finaltopologie.
2.6.11 (Charakterisierung der Finalität durch die universelle Eigenschaft).
Sind T und T 0 zwei Topologien auf X, für die die Aussage des vorhergehenden
Satzes gilt, so liefert die Identität stetige Abbildungen (X, T ) → (X, T 0 ) →
(X, T ), woraus wir folgern T = T 0 . Die Finaltopologie auf X kann also auch
charakterisiert werden als die einzige Topologie auf X, für die die Aussage des
vorhergehenden Satzes gilt.
2.6.12. Ist f : Y → X eine Surjektion, so heißt die Finaltopologie auf X auch die
Quotiententopologie. Eine Abbildung f : Y → X von topologischen Räumen
heißt final genau dann, wenn die Topologie auf X mit der Finaltopologie zu f
übereinstimmt. Zum Beispiel ist die Identität auf einem topologischen Raum stets
final.
Lemma 2.6.13 (Transitivität finaler Abbildungen). Seien g : Z → Y und f :
Y → X stetig. Sind f und g final, so auch ihre Verknüpfung f ◦ g. Ist f ◦ g final,
so ist auch f final.
2.6.14. Eine allgemeinere Aussage für Familien von stetigen Abbildungen sollen
Sie in Übung 2.6.35 selbst prüfen.
2.6.15. Insbesondere ist jede stetige Abbildung final, die eine stetige Rechtsinverse alias einen stetigen Schnitt besitzt, d.h. für die es eine stetige Abbildung s gibt
mit f ◦ s = id.
Beweis. Sei W ein weiterer topologischer Raum und h : X → W eine Abbildung. Ist h ◦ (f ◦ g) = (h ◦ f ) ◦ g stetig, so folgt erst h ◦ f stetig wegen der Finalität
von g und dann h stetig wegen der Finalität von f . Also hat auch f ◦ g die universelle Eigenschaft, die finale Abbildungen charakterisiert, und wir haben gezeigt,
daß jede Verknüpfung finaler Abbildungen final ist. Nun zeigen wir die letzte Aussage und nehmen an, f ◦g sei final. Ist nun h◦f stetig, so ist h◦(f ◦g) = (h◦f )◦g
stetig und dann ist wegen der Finalität von f ◦ g auch h selbst. Also hat dann f
die universelle Eigenschaft, die finale Abbildungen charakterisiert.
2.6.16. Gegeben eine
F Familie topologischer Räume (Yi ) versehen wir ihre disjunkte Vereinigung Yi mit der Finaltopologie bezüglich der Inklusionen, wenn
67
nichts anderes gesagt wird. Eine Teilmenge der disjunkten Vereinigung ist also
offen genau dann, wenn ihr Schnitt mit jedem Yi offen ist. Die so topologisierte
disjunkte Vereinigung heißt auch die topologische Summe der Yi .
2.6.17. Mit
S unserem neuen Begriff können wir 1.7.8 umformulieren wie folgt:
Ist X = Ui eine offene Überdeckung oder eine endliche abgeschlossene Überdeckung, so trägt X die Finaltopologie bezüglich der Einbettungen der Ui und
F
Ui → X ist final. Dasselbe gilt sogar allgemeiner für jede „lokal endliche“
abgeschlossene Überdeckung, was in 2.6.38 diskutiert wird.
Definition 2.6.18. Eine Abbildung von topologischen Räumen heißt offen genau
dann, wenn das Bild jeder offenen Menge offen ist.
Lemma 2.6.19. Jede stetige offene Surjektion ist final.
Beweis. Gegeben eine Surjektion f : X Y gilt für jede Teilmenge U ⊂ Y
sicher U = f (f −1 (U )). Ist f zusätzlich offen, so folgt aus f −1 (U ) ⊂◦ X also
U ⊂◦ Y und f ist in der Tat final.
Lemma 2.6.20 (Finalität ist lokal in der Basis). Sei f : Y → X eine stetige
Abbildung. Besitzt X eine offene Überdeckung U derart, daß f : f −1 (U ) → U
final ist für alle U ∈ U, so ist auch f selbst final.
2.6.21. Mit der „Basis“ ist hier im übrigen der Raum X gemeint. In Kombination
mit 2.6.13 sehen wir insbesondere, daß alle diejenigen stetigen Abbildungen final
sind, die „lokal stetige Schnitte besitzen“. Eine analoge Aussage für lokal endliche
abgeschlossene Überdeckungen formuliert Übung 2.6.39.
Beweis. Gegeben eine Teilmenge W ⊂ X finden wir
f −1 (W ) ⊂◦ Y
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
f −1 (W ) ∩ f −1 (U ) ⊂◦ f −1 (U )
f −1 (W ∩ U ) ⊂◦ f −1 (U )
(W ∩ U ) ⊂◦ U
(W ∩ U ) ⊂◦ X
W ⊂◦ X
∀U
∀U
∀U
∀U
∈U
∈U
∈U
∈U
Beispiel 2.6.22. Wir konstruieren das Möbiusband. Dazu betrachten wir auf [0, 1]×
[−1, 1] die Äquivalenzrelation ∼, die erzeugt wird von (0, y) ∼ (1, −y). Die Menge der Äquivalenzklassen versehen wir mit der Quotiententopologie, und fertig ist
das Möbiusband. Als Übung zeige man, daß unser so konstruiertes Möbiusband
kompakt ist.
68
Versuch einer graphischen Darstellung unserer Konstruktion des Möbiusbands.
Der besseren Vorstellung halber habe ich hier das Rechteck [0, 5] × [−1, 1]
gezeichnet und die Identifikationsvorschrift für die senkrechten Kanten durch mit
= bezeichnete Linien beispielhaft angedeutet.
Man erhält eine stetige Abbildung√des Möbiusbands nach R3 ∼
= C × R vermittels
der Formel (t, τ ) 7→ (τ eπ i t , 1 − τ 2 cos2 πt). Anschaulich gesprochen
verbindet man je zwei gegenüberliegende Punkte des Einheitskreises durch einen
Bogen mit variierender mittlerer Höhe. Das Bild ist eine sich selbst
durchdringende räumliche Fläche, bei der man sich die Selbstdurchdringung
leicht wegdenken kann. Man nennt sie auch die Kreuzhaube. In dieser
Anschauung für das Möbiusband bezahlt man in gewisser Weise mit der
Selbstdurchdringung für die gute Sichtbarkeit des Randkreises.
69
Beispiel 2.6.23 (Verkleben topologischer Räume). Wir zeigen, wie man mit unserem Formalismus zwei topologische Räume X und Y verkleben kann. Wir brauchen dazu als „Kleber“ eine Menge Z und Abbildungen f : Z → X, g : Z → Y .
Dann betrachten wir auf der disjunkten Vereinigung Y t X die Äquivalenzrelation ∼ erzeugt von f (z) ∼ g(z) ∀z ∈ Z und nehmen als Topologie auf der
Verklebung
Y tZ X = (Y t X)/ ∼
die Finaltopologie zu den beiden offensichtlichen Abbildungen X → Y tZ X,
Y → Y tZ X.
Satz 2.6.24 (Stetigkeitseigenschaften der Nullstellen von Polynomen). Die Vorschrift (λ1 , . . . , λn ) 7→ (T − λ1 ) . . . (T − λn ) liefert für jedes n eine finale Abbildung π : Cn Pol in den affinen Raum Pol aller normierten komplexen Polynome vom Grad n, und die davon induzierte Abbildung ist ein Homöomorphismus
∼
Cn /Sn → Pol
2.6.25. Hier meint Cn /Sn den Bahnenraum für die Operation der symmetrischen
Gruppe durch Vertauschung der Koordinaten mit der Quotiententopologie alias
den Raum der Multimengen komplexer Zahlen der Kardinalität n. Auf unserem
Raum Pol dahingegen betrachten wir die natürliche Topologie. Unser Satz ist ein
topologisches Analogon des Hauptsatzes über symmetrische Polynome ??, vergleiche ??.
Beispiel 2.6.26. Ist f : C → C stetig, so ist auch die Abbildung Pol → C gegeben
durch (T − λ1 ) . . . (T − λn ) 7→ f (λ1 ) + . . . + f (λn ) stetig.
Beweis. Links ist hier die Operation der symmetrischen Gruppe durch Vertauschung der Koordinaten gemeint. Aus der Finalität von π folgen die anderen Aussagen unmittelbar. Die Abschätzung ?? zeigt aber, daß Urbilder von Kompakta K
unter π stets wieder kompakt sind. Nach 2.6.40 ist dann π −1 (K) K final, nach
2.6.41 damit auch π −1 (K ◦ ) K ◦ , und nach der Lokalität der Finalität 2.6.20
damit auch unsere Abbildung π selbst.
Korollar 2.6.27 (Stetigkeit der einzigen reellen Nullstelle). Gegeben n ≥ 1
ungerade bilden im affinen Raum PolR aller reellen normierten Polynome vom
Grad n die Polynome mit einer einzigen reellen Nullstelle eine offene Teilmenge
Pol◦R und die Abbildung N : Pol◦R → R, die jedem Polynom mit einer einzigen
reellen Nullstelle diese einzige Nullstelle zuordnet, ist stetig.
2.6.28. Einen alternativen Beweis liefert der Satz über implizite Funktionen, vergleiche ??. Er scheint mir im ganzen schwieriger, liefert aber auch zusätzlich die
Differenzierbarkeit unserer Abbildung N .
70
Beweis. Wir erinnern unsere finale Abbildung π aus 2.6.24. Nach 2.6.41 ist auch
π : π −1 (PolR ) → PolR final. Bezeichnet Ui ⊂◦ Cn die Teilmenge der Tupel, bei
denen bestenfalls der i-te Eintrag reell sein darf, so gilt
π −1 (Pol◦R ) =
n
[
Ui ∩ π −1 (PolR )
i=1
und die rechte Seite ist folglich offen in π −1 (PolR ). Dann gilt aber wegen der Finalität auch Pol◦R ⊂◦ PolR . Nach 2.6.41 ist damit auch π : π −1 (Pol◦R ) → Pol◦R final.
Nun ist die Vereinigung von eben sogar eine disjunkte Vereinigung der Schnitte Ui ∩ π −1 (PolR ). Die Abbildung N̄ : π −1 (Pol◦R ) → R, die den Punkten aus
Ui jeweils ihre i-te Koordinate zuordnet, ist dann offensichtlich stetig. Wegen
N ◦ π = N̄ und der Finalität von π ist damit auch N selbst stetig.
Definition 2.6.29. Seien Y eine Menge, Xi topologische Räume indiziert durch
i ∈ I und fi : Y → Xi Abbildungen. Die kleinste Topologie auf Y , für die alle
die fi stetig werden, heißt die Initialtopologie oder auch die Kofinaltopologie
auf Y in Bezug auf unsere Familie von Abbildungen.
2.6.30. Der Schnitt aller Topologien auf Y , für die alle fi stetig sind, hat sicher
auch diese Eigenschaft und ist folglich die kleinste Topologie mit dieser Eigenschaft. Das zeigt, daß solch eine kleinste Topologie wirklich existiert. Etwas expliziter kann man die Initialtopologie beschreiben als die Topologie auf Y , die
von allen fi−1 (U ) mit i ∈ I und U ⊂◦ Xi erzeugt wird.
Beispiel 2.6.31. Ist X ein topologischer Raum und Y ⊂ X eine Teilmenge, so
stimmt die auf Y induzierte Topologie überein mit der Initialtopologie zur Inklusion Y ,→ X. Ganz allgemein nennen wir eine stetige Abbildung f : Y → X
initial genau dann, wenn Y die Initialtopologie trägt. Zum Beispiel ist die Identität auf einem topologischen Raum stets initial.
Satz 2.6.32 (Universelle Eigenschaft der Initialtopologie). Seien fi : Y →
Xi Abbildungen von einer Menge in topologische Räume. Versehen wir Y mit
der Initial-Topologie und ist Z ein topologischer Raum und g : Z → Y eine
Abbildung, so ist g stetig genau dann, wenn alle fi ◦ g : Z → Xi stetig sind.
Beweis. Mit g sind natürlich auch alle fi ◦ g stetig. Sind umgekehrt alle fi ◦ g
stetig, so ist die Finaltopologie zu g auch eine Topologie auf Y , für die alle fi
stetig sind. Folglich umfaßt die Finaltopologie zu g unsere Initialtopologie und g
ist stetig.
2.6.33 (Charakterisierung der Initialität). Analog wie in 2.6.11 zeigt man, daß
auch die Initialtopologie auf Y charakterisiert werden kann als die einzige Topologie, für die die Aussage des vorhergehenden Satzes 2.6.32 gilt.
71
Vorschau 2.6.34. In der Homotopietheorie arbeitet man oft mit sogenannten CWKomplexen. Darunter versteht man einen Hausdorffraum X mit einer Familie von
stetigen Abbildungen ϕα : Dn(α) → X von geschlossenen Bällen Dn := {x ∈
Rn | kxk ≤ 1} nach X derart, daß gilt:
1. Die Restriktionen unserer Abbildungen auf die offenen Bälle sind Homöo∼
morphismen auf ihr Bild ϕα : (Dn(α) \S n(α) ) → ϕα (Dn(α) \S n(α) ) und unser Raum XFist als Menge die disjunkte Vereinigung der Bilder der offenen
Bälle X = α ϕα (Dn(α) \S n(α) );
2. Für jedes α ist ϕα (S n(α) ) enthalten in einer endlichen Vereinigung von Bildern von anderen ϕβ mit n(β) < n(α);
3. Der Raum X trägt die finale Topologie in Bezug auf die Familie der ϕα :
Dn(α) → X.
Die zweite Bedingung heißt auf Englisch „closure finiteness“, die Dritte „weak
topology“, daher die Terminologie.
Übungen
Übung 2.6.35 (Transitivität finaler Familien). Seien gij : Zij → Yi und fi :
Yi → X Familien von topologischen Räumen und stetigen Abbildungen. Tragen
die Yi die finalen Topologien für die gij und trägt X die finale Topologie für die fi ,
so trägt X auch die finale Topologie für die fi gij . Trägt andererseits X die finale
Topologie bezüglich der fi gij , so trägt X auch die finale Topologie bezüglich der
fi .
Übung 2.6.36 (Transitivität initialer Familien). Seien hi : X → Yi und gji :
Yi → Zji Familien von topologischen Räumen und stetigen Abbildungen. Trägt
X die initiale Topologie für die hi und tragen die Yi die initialen Topologien für
die gji , so trägt X auch die initiale Topologie für die gji hi . Trägt andererseits X
die initiale Topologie bezüglich der gji hi , so trägt X auch die initiale Topologie
bezüglich der hi . Hinweis: Charakterisierung der Initialität durch universelle Eigenschaft 2.6.33. Diese Übung besagt unter anderem, daß die Verknüpfung von
zwei initialen Abbildungen stets initial ist, und daß Verknüpfung g ◦ h von zwei
stetigen Abbildungen nur dann initial sein kann, wenn h initial ist. Insbesondere ist jede stetige Abbildung initial, die eine stetige Linksinverse besitzt. Noch
spezieller ist die diagonale Einbettung X → X × X stets initial.
Übung 2.6.37. Operiert auf einem topologischen Raum X eine endliche Gruppe G
durch stetige Abbildungen und versehen wir den zugehörigen Bahnenraum X/G
mit der Finaltopologie, so ist die Projektion X X/G offen und abgeschlossen.
72
Übung 2.6.38. Sei X ein topologischer Raum. Ein System A ⊂ P(X) von Teilmengen von X heißt lokal endlich genau dann, wenn jeder Punkt x ∈ X eine
Umgebung besitzt, die nur endlich viele der Teilmengen unseres Systems trifft.
Man zeige: Gegeben eine lokal endliche Überdeckung eines topologischen Raums
durch abgeschlossene Teilmengen trägt unser Raum die Finaltopologie in Bezug
auf die Einbettungen der Teilmengen unserer Überdeckung.
Übung 2.6.39. Sei f : Y → X eine stetige Abbildung. Besitzt X eine lokal
endliche abgeschlossene Überdeckung Z derart, daß f : f −1 (Z) → Z final ist für
alle Z ∈ Z, so ist auch f selbst final. Hinweis: Eigenständige Beweise sind wie
immer willkommen, aber man kann die Aussage jedenfalls aus 2.6.17 und 2.6.35
ableiten.
Übung 2.6.40. Jede stetige surjektive Abbildung von einem kompakten Raum auf
einen Hausdorff-Raum ist final. Hinweis: 2.5.12.
Übung 2.6.41. Ist f : Y → X final und Z ⊂ X offen oder abgeschlossen, so ist
auch f : f −1 (Z) → Z final.
Übung 2.6.42 (Finale Abbildungen und Zusammenhang). Ist f : X → Y
final mit zusammenhängenden Fasern, so sind die Zusammenhangskomponenten
von X die Urbilder der Zusammenhangskomponenten von Y . Ist insbesondere Y
zusammenhängend, so auch X.
Ergänzende Übung 2.6.43. Sei f : Y X eine stetige Surjektion auf einen
Hausdorffraum. Man zeige: Besitzt X eine lokal endliche Überdeckung durch
Kompakta, deren Urbilder unter f auch kompakt sind, so ist f final. Hinweis:
2.6.20.
Übung 2.6.44. Man zeige, daß im Raum aller normierten reellen Polynome vom
Grad n die über R zerfallenden Polynome eine abgeschlossene Teilmenge bilden
und daß darin die offene Teilmenge der Polynome ohne Nullstelle bei Null in
(n + 1) Zusammenhangskomponenten zerfällt, die durch die Zahl der mit Vielfachheit genommenen positiven Nullstellen der in ihnen enthaltenen Polynome
charakterisiert werden können.
2.7
Kompakte topologische Eins-Mannigfaltigkeiten*
2.7.1. Dieser Abschnitt ist für das Weitere entbehrlich. Er dient im Wesentlichen
dazu, den Leser zu überzeugen, daß die bisher entwickelten abstrakten Begriffsbildungen immer noch eine enge Beziehung zur Anschauung haben.
Satz 2.7.2 (Klassifikation kompakter Eins-Mannigfaltigkeiten). Jede eindimensionale zusammenhängende kompakte topologische Mannigfaltigkeit ist homöomorph zur Kreislinie S 1 .
73
2.7.3. Weitere Resultate in dieser Richtung kann man etwa in [FR84, p. 139]
finden. Wir schicken dem eigentlichen Beweis ein Lemma voraus.
Lemma 2.7.4. Läßt sich ein zusammenhängender Hausdorffraum schreiben als
Vereinigung von zwei offenen zu R homöomorphen Teilmengen, so ist er homöomorph zur Zahlengeraden R oder zur Kreislinie S 1 .
Beweis. Sei X unser Raum und seien ϕ, ψ : R ,→ X offene stetige Einbettungen, deren Bilder X überdecken. Da X zusammenhängend ist, haben wir ϕ(R) ∩
ψ(R) 6= ∅. Sicher ist ϕ−1 (ψ(R)) offen in R, folglich ist jede Zusammenhangskomponente dieser Menge ein offenes Intervall. Wäre solch eine Zusammenhangskomponente beschränkt, sagen wir ϕ−1 (ψ(R)) = (a, b) mit a, b ∈ R, so
folgte (ψ −1 ◦ ϕ)((a, b)) = (ψ −1 ◦ ϕ)([a, b]), und da ϕ([a, b]) kompakt und damit
abgeschlossen ist, wäre (ψ −1 ◦ ϕ)((a, b)) sowohl offen als auch abgeschlossen
∼
und damit ganz R und es folgte ϕ : R → X und wir wären fertig. Wir dürfen
also annehmen, jede Zusammenhangskomponente von ϕ−1 (ψ(R)) sei ein unbeschränktes Intervall. Folglich besitzt dieser Raum und damit auch ϕ(R) ∩ ψ(R)
entweder eine oder zwei Zusammenhangskomponenten. Wir beginnen mit dem
Fall einer Komponente. Indem wir notfalls ϕ bzw. ψ durch ihre Verknüpfung mit
t 7→ −t ersetzen, dürfen wir annehmen, daß es a, b ∈ R gibt derart, daß ϕ und ψ
Homöomorphismen
∼
∼
(−∞, a) → ϕ(R) ∩ ψ(R) ← (b, ∞)
induzieren. Die Verknüpfung ist also streng monoton. Wäre sie streng monoton
fallend, so hätten wir
lim ϕ(x) = ϕ(a) = ψ(b) = lim ψ(y)
x%a
y&b
im Widerspruch zur Wahl von a und b. Also ist unsere Verknüpfung streng monoton wachsend und gegeben c, d mit ϕ(c) = ψ(d) haben wir
X = ψ((−∞, d]) ∪ ϕ([c, ∞))
wobei ϕ(c) = ψ(d) der einzige gemeinsame Punkt dieser beiden Mengen ist.
Sie sind beide abgeschlossen in X, da ihre Urbilder unter ψ und ϕ es sind, und
daraus folgt dann, daß X homöomorph ist zu R. Im Fall zweier Komponenten
argumentieren wir analog.
Beweis von Satz 2.7.2. Sei X = U1 ∪U2 ∪. . .∪Ur eine offene Überdeckung durch
zu R homöomorphe Teilmengen. Wir können die Mengen unserer Überdeckung
so anordnen, daß U1 ∪ U2 ∪ . . . ∪ Ui für jedes i ≥ 1 zusammenhängend ist. Ist i
minimal derart, daß U1 ∪ . . . ∪ Ui nicht homöomorph ist zu R, so muß nach dem
Lemma diese Vereinigung bereits homöomorph zu S 1 sein, und damit als nichtleere abgeschlossene und offene Teilmenge mit ganz X zusammenfallen.
74
Illustration zum Beweis von 2.7.4.
75
2.8
Produkttopologie
Definition 2.8.1. Ist (Yi )i∈I eine Familie topologischer
Räume, so ist die ProQ
dukttopologie auf dem kartesischen Produkt i∈I Yi definiert
als die initiale ToQ
pologie zu den Projektionen auf die Koordinaten prj : Yi → Yj .
2.8.2. Abstrakt gefaßt erhalten wir so genau das Produkt im Sinne der Kategorientheorie 7.6.1 im Spezialfall der Kategorie der topologischen Räume.
2.8.3. AusformuliertQbedeutet diese Definition: Alle prj sind stetig, und eine Abbildung g : Z →
Yi von einem topologischen Raum Z in das Produkt ist
stetig genau dann, wenn alle prj ◦g : Z → Yj es sind. Etwas expliziter
liefert
Q
die Konstruktion der Initialtopologie, daß die Produkttopologie auf Yi erzeugt
◦ Yi . Eine Basis der
wird durch alle Mengen der Form pr−1
i (Ui ) für i ∈ I und Ui ⊂
Topologie wird folglich gegeben durch alle endlichen Schnitte solcher Mengen,
d.h. durch die „offenen Quader“
Y
Ui1 × . . . × Uik ×
Yi
i6=i1 ,...,ik
mit Uiν ⊂◦ Yiν für paarweise verschiedene iν .
2.8.4. Auf einem endlichen Produkt metrischer Räume liefert die Produktmetrik stets die Produkttopologie. Speziell stimmt auf dem Rn die Produkttopologie
überein mit der natürlichen Topologie aus 1.11.14.
Lemma 2.8.5 (Initalität ist verträglich mit Produkten). Das Produkt von einer
Familie von stetigen Abbildungen zwischen topologischen Räumen ist eine stetige
Abbildung zwischen den Produkten der jeweiligen Räume. Sind hier alle Abbildungen Einbettungen, so auch ihr Produkt. Sind alle Abbildungen initial, so auch
ihr Produkt.
2.8.6. Der Beweis kann auch als eine einfache Anwendung unserer allgemeinen
Aussagen zur Transitivität initialer Familien 2.6.36 gelesen werden.
Beweis. Die erste Aussage folgt unmittelbar aus der universellen Eigenschaft der
Produkttopologie als der Initialtopologie zu den Projektionen. Die zweite Aussage folgt aus der letzten. Sei also (fi Q
: Yi → Xi )i∈I eine Familie initialer
Abbildungen.
Es
Q
Q gilt zu zeigen, daß auf Yi die Initialtopologie in Bezug auf
(fi ) : Yi → Xi übereinstimmt mit der Produkttopologie. Daß hier die Produkttopologie größergleich der Initialtopologie ist, folgt aus der bereits bewiesenen Stetigkeit des Produkts (fi ) unserer Abbildungen. Nun haben wir offensichtlich für alle j ∈ I die Gleichheit von Abbildungen
Y
Y
(prX
◦(f
))
=
f
◦
pr
:
Yi → Xj
i
j
j
j
76
und diese Abbildungen sind per definitionemQ
stetig für beide Topologien. Da die
fj initial sind, müssen dann auch die prYj :
Yi → Yj stetig sein die Initialtopologie, die damit größergleich der Produkttopologie ist. Folglich stimmen diese
beiden Topologien überein.
Proposition 2.8.7 (Abgeschlossenheit der Diagonale heißt Hausdorff). Genau dann ist ein topologischer Raum X ein Hausdorffraum, wenn die Diagonale
∆(X) ⊂ X × X eine abgeschlossene Teilmenge des Produkts X × X ist.
Beweis. Ist X Hausdorff, so gibt es für (x, y) ∈ (X × X)\∆(X) disjunkte offene
Umgebungen U, V ⊂◦ X von x beziehungsweise y. Dann ist (U × V ) ⊂◦ (X × X)
eine offene Umgebung von (x, y), die die Diagonale nicht trifft. Gibt es umgekehrt offene Umgebung von (x, y), die die Diagonale nicht trifft, so ist diese eine
Vereinigung von Quadern U × V mit U disjunkt zu V , und einer von diesen muß
(x, y) enthalten, also x ∈ U und y ∈ V .
2.8.8 (Finalität ist nicht verträglich mit Produkten). Das Produkt einer Familie
von finalen Abbildungen muß keineswegs final sein. Das Produkt einer Familie
von offenen Surjektionen ist jedoch wieder eine offene Surjektion und damit nach
2.6.19 final. Des weiteren zeigen wir in ??, daß auch das Produkt einer finalen
Surjektion mit der Identität auf einem lokal kompakten Raum wieder final ist.
2.8.9. Die Projektionen eines Produkts von topologischen Räumen auf seine Faktoren sind im allgemeinen nicht abgeschlossen. Zum Beispiel ist die sogenannte
Hyperbel {(x, y) | xy = 1} eine abgeschlossene Teilmenge der Ebene R2 , ihre
Projektion auf die x-Achse ist jedoch keine abgeschlossene Teilmenge der Zahlengerade R.
Lemma 2.8.10 (Finalität von Projektionen). Die Projektionen eines Produkts
von topologischen Räumen auf einen beliebigen Faktor sind offene Abbildungen.
Die Projektionen eines Produkts von nichtleeren topologischen Räumen auf einen
beliebigen Faktor sind final.
Beweis. Ersteres folgt unmittelbar aus der Definition der Produkttopologie. Letzteres kann man alternativ aus 2.6.19 folgern, wonach jede offene stetige Surjektion final ist, oder aus 2.6.13, wonach jede stetige Abbildung mit einem stetigen
Schnitt final ist.
Satz 2.8.11 (Zusammenhang von Produkten). Ein Produkt von topologischen
Räumen ist zusammenhängend genau dann, wenn alle Faktoren zusammenhängend sind.
2.8.12. Um diesen Satz so prägnant formulieren zu können, müssen wir unsere
Konvention zugrundelegen, nach der die leere Menge kein zusammenhängender
topologischer Raum ist.
77
Beweis. Ist das Produkt zusammenhängend, so nach 2.3.6 auch die Faktoren als
Bilder der stetigen Projektionen. Für die Rückrichtung prüfen wir unser Zusammenhangskriterium
2.3.8. Sei (Yi )i∈I unsere Familie von topologischen Räumen
Q
und f :
Yi → {0, 1} stetig. Wenn Yi zusammenhängend ist, so folgt f (x) =
f (y), wenn sich x und y nur in der i-ten Koordinate unterscheiden. Daraus folgt
induktiv f (x) = f (y), wenn sich x und y nur in endlich vielen Koordinaten
unterQ
scheiden. Gilt nun f −1 (0) 6= ∅, so folgt f −1 (0) ⊃ Ui1 × . . . × Uik × i6=i1 ,...,ik Yi
für geeignete paarweise verschiedene Indizes i1 , . . . , ik und geeignete nichtleere offene Teilmengen Ui1 ⊂◦ Yi1 , . . . , Uik ⊂◦ Yik . Mit unserer Vorüberlegung folgt
daraus sofort, daß f konstant sein muß.
Übungen
Übung 2.8.13. Ist f : Y → X stetig und X Hausdorff, so ist der Graph von f
V
eine abgeschlossene Teilmenge Γ(f ) ⊂ Y × X.
Übung 2.8.14. Stimmen zwei stetige Abbildungen von einem topologischen Raum
in einen Hausdorffraum auf einer dichten Teilmenge überein, so sind sie gleich.
Hinweis: Zusammen liefern unsere beiden stetigen Abbildungen eine Abbildung
in das kartesische Produkt, unter der das Urbild der Diagonale wegen 2.8.7 abgeschlossen sein muß.
Ergänzende Übung 2.8.15. Ein Produkt von abgeschlossenen Teilmengen ist stets
eine abgeschlossene Teilmenge des Produkts. Allgemeiner zeige man für topologische Räume X, Y und TeilmengenA ⊂ X und B ⊂ Y die Gleichheit A × B =
Ā × B̄ des Abschlusses des Produkts mit dem Produkt der Abschlüsse.
Übung 2.8.16. Für beliebige topologische Räume X, Y , Z ist die offensichtliche
Abbildung X × Y × Z → (X × Y ) × Z ein Homöomorphismus.
Übung 2.8.17. Ein beliebiges Produkt von Hausdorffräumen ist Hausdorff.
Ergänzende Übung 2.8.18. Man zeige, daß die Menge aller (x, y) ∈ R × R mit
x ≤ y abgeschlossen ist. Man folgere, daß bei Grenzwerten von Funktionen mit
Werten in R Ungleichungen erhalten bleiben. Hinweis: 2.2.13.
Ergänzende Übung 2.8.19. Sind f, g : Y → Rn stetige Abbildungen, so ist auch
die Abbildung H : Y × [0, 1] → Rn mit (y, τ ) 7→ τ f (y) + (1 − τ )g(y) stetig.
Ergänzende Übung 2.8.20. Das Produkt von zwei Mannigfaltigkeiten der Dimensionen n und m ist eine Mannigfaltigkeit der Dimension n + m.
Ergänzende Übung 2.8.21. Jede kompakte d-Mannigfaltigkeit X läßt sich stetig in
einen Rn einbetten. Hinweis: Man findet für jedes x ∈ X eine stetige Abbildung
fx : X → Rd , die injektiv ist auf einer offenen Umgebung Ux von x. Endlich viele
dieser Ux überdecken X.
78
Übung 2.8.22. Man zeige: Das Produkt von zwei kompakten Räumen ist kompakt.
Der Satz von Tychonoff ?? wird uns sagen, daß sogar ein beliebiges Produkt von
kompakten Räumen kompakt ist.
Ergänzende Übung 2.8.23. Gegeben topologische Räume X, Y und Kompakta
K ⊂ X sowie L ⊂ Y und W ⊂◦ X × Y mit K × L ⊂ W gibt es U ⊂◦ X und
V ⊂◦ Y mit K ⊂ U und L ⊂ V und U × V ⊂ W .
Ergänzende Übung 2.8.24. Man zeige, daß es keinen topologischen Raum X gibt
derart, daß X × X homöomorph ist zu R. Hinweis: Man zeige, daß für X zusammenhängend mit mehr als einem Punkt das Komplement eines Punktes in X × X
auch zusammenhängend ist. Man zeige allgemeiner, daß es keine zwei topologischen Räume X, Y mit jeweils mindestens zwei Punkten so gibt, daß X × Y
homöomorph ist zu R. Höherdimensionale Analoga zeigen wir in ??.
Ergänzende Übung 2.8.25. Man zeige, daß für jeden topologischen Raum X die
Abbildung Exp × id : [0, 1] × X → S 1 × X final ist. Hinweis: 2.6.13 und 2.6.20.
Ergänzende Übung 2.8.26. Auf dem Produkt einer abzählbaren Familie metrischer Räume existieren stets Metriken, die die Produkt-Topologie induzieren. Weiter zeige man, daß das Produkt einer abzählbaren Familie kompakter metrischer
Räume kompakt ist. Hinweis: Man mag sich an 1.9.18 orientieren. In ?? zeigen
wir allgemeiner aber auch mühsamer den Satz von Tychonoff, nach dem beliebige
Produkte kompakter Räume kompakt sind.
2.9
Topologische Gruppen
Definition 2.9.1. Eine topologische Gruppe ist eine Gruppe G mit einer Topologie derart, daß die Verknüpfung G × G → G und die Inversenabbildung G → G
stetig sind.
2.9.2 (Diskussion der Terminologie). Manche Autoren fordern von ihren topologischen Gruppen zusätzlich auch noch die Hausdorff-Eigenschaft, aber ich schließe mich dieser Konvention nicht an und nenne eine Hausdorff’sche topologische
Gruppe kurz eine Hausdorffgruppe.
Ergänzung 2.9.3. Segal und Nikolov haben gezeigt, daß eine kompakte Hausdorffgruppe keinen surjektiven Gruppenhomomorphismus auf eine unendliche
aber endlich erzeugte Gruppe besitzen kann. Gemeint sind hier Homomorphismen von abstrakten Gruppen, also nach Vergessen der Topologie.
Beispiele 2.9.4. Die Gruppen GL(n; R) sind topologische Gruppen in der von
der natürlichen Topologie auf dem endlichdimensionalen reellen Vektorraum aller
reellen (n × n)-Matrizen induzierten Topologie. Jeder normierte Vektorraum ist
mit der Addition als Verknüpfung und der metrischen Topologie eine topologische
Gruppe.
79
2.9.5. Gegeben eine topologische Gruppe ist die Linkstranslation mit x ∈ G ein
Homöomorphismus (x·) : G → G. In der Tat können wir sie beschreiben als die
Verknüpfung
(x,id)
m
G → G×G→G
wo x für die konstante Abbildung G → G mit Bild x steht, die ja stets stetig ist.
Damit ist (x·) sicher stetig. Mit demselben Argument ist aber auch ihre Inverse
(x−1 ·) stetig. In derselben Weise folgt, daß auch die Rechtstranslationen (·x) und
die Konjugationen g 7→ xgx−1 Homöomorphismen sind für alle x ∈ G.
2.9.6. Jede offene Untergruppe einer topologischen Gruppe ist auch abgeschlossen als das Komplement der Vereinigung ihrer nichttrivialen Linksnebenklassen.
Lemma 2.9.7. Eine zusammenhängende topologische Gruppe wird von jeder Umgebung ihres neutralen Elements erzeugt.
Beweis. In der Tat erzeugt in jeder topologischen Gruppe jede Umgebung des
neutralen Elements eine offene Untergruppe. Nach 2.9.6 ist diese offene Untergruppe auch abgeschlossen. Ist unsere Gruppe zusammenhängend, so muß sie
also bereits mit besagter Untergruppe übereinstimmen.
Ergänzung 2.9.8. Ein stetiger Gruppenhomomorphismus von der additiven Gruppe der reellen Zahlen in eine topologische Gruppe heißt eine Einparameteruntergruppe unserer topologischen Gruppe. Ich finde es etwas unglücklich, daß solch
eine Einparameteruntergruppe gar keine Untergruppe ist, aber so ist nun mal die
übliche Terminologie. 1.11.19 bestimmt die Einparameteruntergruppen der additiven Gruppe eines normierten reellen Vektorraums, ?? die Einparameteruntergruppen von Matrix-Liegruppen.
Ergänzung 2.9.9. Gegeben eine Umgebung U ⊂ G des neutralen Elements einer
topologischen Gruppe gibt es stets eine weitere Umgebung V ⊂ G des neutralen
Elements mit V 2 ⊂ U alias xy ∈ U ∀x, y ∈ V . In der Tat gibt es eine Umgebung
von (1, 1) in G × G, die unter der Verknüpfung in U landet, und jede solche
Umgebung umfaßt eine Umgebung der Gestalt A × B für Umgebungen A, B von
1 ∈ G. Der Schnitt A ∩ B ist dann die gesuchte Umgebung V des neutralen
Elements.
Übungen
Übung 2.9.10. Ist G eine Hausdorffgruppe und A ⊂ G eine abelsche Untergruppe,
so ist auch der Abschluß Ā unserer Untergruppe abelsch. In der Tat folgt aus
aba−1 b−1 = 1 für alle a, b ∈ A dasselbe zunächst für alle a ∈ A, b ∈ Ā und dann
für alle a, b ∈ Ā.
80
Übung 2.9.11. Man zeige, daß eine zusammenhängende topologische Gruppe mit
einer separablen Umgebung des neutralen Elements stets separabel ist, d.h. eine
abzählbare Basis der Topologie besitzt. Hinweis: Gegeben eine offene Teilmenge
U ⊂◦ G ist die Multiplikation U n → G stets offen.
Übung 2.9.12. Jede Untergruppe einer topologischen Gruppe ist mit der induzierten Topologie selbst eine topologische Gruppe. Jedes Produkt topologischer
Gruppen ist mit der Produkttopologie wieder eine topologische Gruppe.
Ergänzende Übung 2.9.13. Die Einheiten jeder Banach-Algebra bilden mit der
metrischen Topologie eine topologische Gruppe. Die unitären Automorphismen
eines Hilbertraums bilden eine abgeschlossene Untergruppe in der Einheitengruppe der Banach-Algebra der beschränkten Operatoren auf unserem Hilbertraum.
Übung 2.9.14. Ein Gruppenhomomorphismus von topologischen Gruppen ist stetig genau dann, wenn er stetig ist beim neutralen Element.
Übung 2.9.15. Gegeben eine Untergruppe einer topologischen Gruppe ist auch ihr
Abschluß eine Untergruppe.
Übung 2.9.16. In jeder topologischen Gruppe ist die Zusammenhangskomponente
des neutralen Elements eine Untergruppe, ja sogar ein Normalteiler. Man nennt
sie meist die Einszusammenhangskomponente oder kurz Einskomponente. Die
Einskomponente einer topologischen Gruppe G wird meist G◦ notiert.
Übung 2.9.17. Jeder diskrete Normalteiler einer zusammenhängenden topologischen Gruppe liegt bereits im Zentrum besagter Gruppe.
Übung 2.9.18. Sei G eine Gruppe mit einer Topologie. Sind die Translationen
(g·) : G → G und (ġ) : G → G stetig für alle g ∈ G, ist die Inversenbildung
stetig beim neutralen Element e, und ist die Verknüpfung G × G → G stetig bei
(e, e), so ist G eine topologische Gruppe.
Übung 2.9.19. Man zeige: Jede topologische Gruppe, die homöomorph ist zur additiven Gruppe R der reellen Zahlen, ist bereits als topologische Gruppe isomorph
zur Gruppe R der reellen Zahlen.
2.10
Quotienten nach Gruppenwirkungen
Definition 2.10.1. Eine Operation einer topologischen Gruppe G auf einem topologischen Raum X heißt stetig genau dann, wenn die zugehörige Abbildung
G × X → X stetig ist.
2.10.2. Operiert eine Gruppe G stetig auf einem topologischen Raum X, so versehen wir den Bahnenraum X/G stets mit der Quotiententopologie zur Projektion
X X/G. Hierbei kommt es auf die Topologie von G nicht an, wir können uns
etwa G mit der diskreten Topologie versehen denken. Die Stetigkeitsbedingung
bedeutet dann schlicht, daß G durch stetige Abbildungen operiert.
81
2.10.3. Die Bequemlichkeit, mit der man im Rahmen der Theorie der topologischen Räume Quotienten bilden kann, scheint mir ein ganz wesentlicher Grund
für die Allgegenwart der Topologie in der Mathematik.
Lemma 2.10.4. Operiert eine Gruppe G stetig auf einem topologischen Raum
X, so ist die Quotientenabbildung X X/G offen. Insbesondere ist für jeden
weiteren Raum Y das Produkt mit der Identität Y × X Y × X/G final.
Beweis. Das Urbild des Bildes einer offenen Menge ist die Vereinigung all ihrer
mit der Gruppenoperation verschobenen Kopien und damit offen. Das Produkt
unserer Abbildung mit der Identität auf einem beliebigen Raum ist damit auch
offen und nach 2.6.19 als stetige offene Surjektion final.
Beispiel 2.10.5. Die offensichtliche Operation von GL(n+1; R) auf Pn R ist stetig.
Um das zu sehen, betrachte man das kommutative Diagramm
GL(n + 1; R) × Rn+1 \0 → Rn+1 \0
↓
↓
GL(n + 1; R) × Pn R → Pn R
Die obere Horizontale ist offensichtlich stetig und die linke Vertikale ist final nach
Lemma 2.10.4. Also ist auch die untere Horizontale stetig. In derselben Weise
zeigt man allgemeiner, daß gegeben ein Raum X mit einer stetigen Linksoperation einer topologischen Gruppe G und einer damit kommutierenden stetigen
Rechtsoperation einer topologischen Gruppe H auch die G-Operation auf X/H
stetig ist.
2.10.6 (Homogene Räume). Gegeben eine topologische Gruppe G und eine Untergruppe H ⊂ G ist die Operation von G auf G/H stetig. In der Tat betrachte
man das Diagramm
G×G
→
G
↓
↓
G × G/H → G/H
und beachte, daß die linke Vertikale nach 2.10.4 auch final ist. Ist etwas allgemeiner f : X Y eine stetige offene Surjektion von topologischen Räumen, die
äquivariant ist für Operationen einer Gruppe G auf beiden Räumen, in Formeln
f (gx) = gf (x), und ist G mit einer Topologie versehen, für die die Operation auf
X stetig ist, so ist auch die Operation auf Y stetig.
2.10.7. Gegeben ein homogener Raum X einer topologischen Gruppe G gibt es
genau eine Topologie auf X derart, daß für jeden Punkt x ∈ X das Anwenden
G → X, g 7→ gx eine finale Abbildung ist. Wir nennen sie die Topologie als
homogener Raum auf X.
82
Lemma 2.10.8 (Quotienten nach abgeschlossenen Untergruppen). Eine Untergruppe einer topologischen Gruppe ist abgeschlossen genau dann, wenn der
Quotient nach unserer Untergruppe Hausdorff ist.
Beweis. Seien G ⊃ H unsere Gruppen. Ist der Quotient G/H Hausdorff, so sind
seine Punkte abgeschlossen, und damit ist auch H abgeschlossen in G als Urbild
einer abgeschlossenen Teilmenge von G/H. Für die Umkehrung gilt es zu zeigen,
daß die Diagonale ∆G/H in G/H × G/H abgeschlossen ist. Das Produkt der
Projektionen G × G → G/H × G/H ist nach 2.10.4 als Komposition finaler
Abbildungen oder alternativ als Produkt offener stetiger Surjektionen auch selbst
final. Es reicht also zu zeigen, daß das Urbild der Diagonale ∆G/H in G × G
abgeschlossen ist. Dies Urbild kann aber auch beschrieben werden als das Urbild
von H unter der Abbildung G × G → G, (x, y) 7→ xy −1 .
2.10.9 (Zusammenhangskomponenten von Bahnenräumen). Operiert eine zusammenhängende topologische Gruppe G stetig auf einem topologischen Raum
X, so ist X zusammenhängend genau dann, wenn X/G zusammenhängend ist.
Operiert allgemeiner eine zusammenhängende topologische Gruppe G stetig auf
einem topologischen Raum X, so induziert die Quotientenabbildung X X/G
eine Bijektion zwischen der Menge Zus(X) ⊂ P(X) der Zusammenhangskomponenten von X und der Menge Zus(X/G) ⊂ P(X/G) der Zusammenhangskomponenten von X/G. In der Tat folgt das sofort aus Übung 2.6.42.
Beispiel 2.10.10. Die Gruppen SO(n) sind zusammenhängend. In der Tat folgt
mit 2.6.40, daß die Operation auf der n-Sphäre S n einen Homöomorphismus
∼
SO(n + 1)/ SO(n) → S n liefert, und mit Induktion über n und 2.10.9 folgt die
Behauptung. In derselben Weise zeigt man, daß auch die Gruppen SU(n) zusammenhängend sind. Ein Beweis mit mehr Algebra und weniger Topologie wird in
?? skizziert.
Übungen
Übung 2.10.11. Gegeben eine topologische Gruppe G und eine normale Untergruppe N ⊂ G ist der Quotient G/N mit seiner Quotiententopologie und der
induzierten Verknüpfung eine topologische Gruppe.
Übung 2.10.12. Operiert eine topologische Gruppe G stetig auf einem topologischen Raum X und ist N ⊂ G ein Normalteiler, dessen Elemente X punktweise
festhalten, so ist auch die induzierte Operation von G/N auf X stetig.
Übung 2.10.13. Gegeben G ⊃ H ⊃ K eine topologische Gruppe mit zwei Normalteilern ist der Isomorphismus aus dem noetherschen Isomorphiesatz ?? ein
∼
Homöomorphismus G/H → (G/K)/(H/K).
83
Übung 2.10.14. Man zeige, daß die Einbettung U(n) ,→ GL(n; C) einen Homöo∼
morphismus U(n)/ O(n) → GL(n; C)/ GL(n; R) induziert.
Übung 2.10.15. Der Abschluß des neutralen Elements in einer topologischen Gruppe ist stets ein Normalteiler und der Quotient danach ist eine Hausdorffgruppe und
die Surjektion auf den Quotienten ist nicht nur final, sondern auch initial.
Übung 2.10.16. Seien X ein topologischer Raum und R ⊂ X × X eine Äquivalenzrelation. Ist X/R Hausdorff, so ist R ⊂ X ×X abgeschlossen. Ist R ⊂ X ×X
abgeschlossen und X X/R offen, so ist X/R Hausdorff. Hinweis: Nach 2.6.19
ist jede stetige offene Surjektion final und bleibt final beim Drankreuzen eines
weiteren Raums.
Übung 2.10.17. Ist Y → X eine initiale stetige G-äquivariante Abbildung von topologischen Räumen mit einer stetigen Operation einer Gruppe G, so ist auch die
induzierte Abbildung Y /G → X/G initial. Hinweis: Es gilt zu zeigen, daß jede
für die Quotiententopologie auf Y /G offene Menge auch für die Initialtopologie
offen ist.
Ergänzende Übung 2.10.18 (Zusammenhangskomponenten von SO(p, 1)). Gegeben p, q ∈ N betrachte man die Matrizen mit p Einsen und q Minus-Einsen
J = Jp,q := diag(1, . . . , 1, −1, . . . , −1) und die Gruppen
GO(p, q) ⊃ O(p, q) ⊃ SO(p, q)
wie folgt: O(p, q) := {A ∈ GL(p + q; R) | A> JA = J}, SO(p, q) := {A ∈
O(p, q) | det A = 1}, und GO(p, q) := R× O(p, q). Im Spezialfall q = 1 betrachten wir die Quadrik {~v ∈ Rp+q | ~v > J~v = −1}. Man zeige, daß sie genau zwei
Komponenten hat. Wir definieren weiter
SO(p, 1)+
als die Gruppe aller Elemente von SO(p, 1), die beide Komponenten stabilisieren.
Man zeige, daß SO(p, 1)+ die Einszusammenhangskomponente von O(p, 1) ist.
Hinweis: Satz von Witt ??.
Übung 2.10.19. Der Quotient G/G◦ einer Gruppe nach ihrer Einszusammenhangskomponente heißt die Komponentengruppe von G. Ist G◦ offen in G, so
ist besagte Komponentengruppe diskret.
Übung 2.10.20 (Geometrische Realisierungen für SL(2; R)/ SO(2)). Wir betrachten die Menge Y ⊂ Mat(2; R) aller positiv definiten Matrizen mit der Determinante Eins und fassen sie auf als eine Menge von Skalarprodukten. Sie trägt
eine transitive Wirkung von SL(2; R) durch die Vorschrift A · S := ASA> und die
Isotropiegruppe der Einheitsmatrix alias des Standard-Skalarprodukts ist SO(2).
∼
Also erhalten wir eine Bijektion SL(2; R)/ SO(2) → Y durch A 7→ AA> . Sie
84
besitzt eine stetige Spaltung, die wir etwa erhalten können, indem wir jedem Skalarprodukt diejenige Orthonormalbasis zuordnen, die in ihm aus der Standardbasis
durch das Gram-Schmidt-Verfahren entsteht. Folglich ist die von Mat(2; R) induzierte Topologie auf Y auch in der Tat die Topologie als homogener Raum. Diese
Realisierung ist eng verwandt zur Polarzerlegung ??. Eine andere Realisierung
liefert die Operation von SL(2; R) ⊂ GL(2; C) auf der Riemann’schen Zahlenkugel P1 C. Sie stabilisiert den Äquator P1 R und hat nach ?? außer dem Äquator nur
zwei weitere Bahnen, nämlich die nördliche und die südliche Hemisphäre. Die
Kreislinie SO(2) operiert durch Rotationen um die Polachse, aber „mit verdoppelter Geschwindigkeit“. Insbesondere operiert (−id) als die Identität. Die Isotropiegruppe jedes der beiden Pole unter SL(2; R) ist aber in der Tat die SO(2),
und wir erhalten so je eine Bijektion von SL(2; R)/ SO(2) mit jeder der beiden
∼
Hemisphären. Unter der natürlichen Identifikation C t {∞} → P1 C entsprechen
unsere beiden Hemisphären den beiden Zusammenhangskomponenten von C\R
und die Pole den Punkten ±i und die Operation erhält die Gestalt
c + dz
a b
: z 7→
c d
a + bz
wie in ??. Auch in diesem Fall findet man leicht eine stetige Spaltung, explizit hat
man etwa auf der oberen Halbebene die Spaltung
−1/2 1 0
x + yi 7→ y
x y
Sie ist auch eine unmittelbare Konsequenz der Iwasawa-Zerlegung ??. Diese Spaltungen zeigen im übrigen sehr direkt, daß das Urbild jedes Kompaktums unter
SL(2; R) SL(2; R)/ SO(2) kompakt ist, was nach ?? auch ganz allgemein für
Quotienten einer Liegruppe nach einer kompakten Untergruppe gilt. Insbesondere gilt das auch für die durch das Anwenden auf einen beliebigen Punkt gegebene
Abbildung SL(2; Z) SL(2; R)/ SO(2). Wir folgern leicht, daß jeder Punkt x
des Quotienten eine offene Umgebung U besitzt derart, daß für g ∈ SL(2; Z) gilt
gU ∩ U 6= ∅ ⇒ gx = x. Wir folgern des weiteren leicht, daß für jeden Punkt x
des Quotienten seine Isotropiegruppe SL(2; Z)x endlich ist. Nun wird jeder Punkt
der oberen Halbebene H := {z ∈ C | Im(z) > 0}, der nicht in der Einheitskreisscheibe {z ∈ C | |z| ≤ 1} liegt, durch die Transformation S : z 7→ −(1/z)
auf einen Punkt mit echt größerem Imaginärteil abgebildet, und jeder Punkt außerhalb des Streifens {z ∈ C | −1/2 ≤ Re(z) ≤ 1/2} kann durch Addieren einer
ganzen Zahl in diesen Streifen verschoben werden. Bezeichnet T die Translation
T : z 7→ (z + 1), so kann jeder Punkt sogar durch Anwenden eines Elements
der von S und T erzeugten Untergruppe auf ein Element des besagten Streifens
vom Betrag mindestens Eins abgebildet werden: Andernfalls erhielten wir nämlich in einer Bahn besagter Untergruppe eine Folge von Elementen des besagten
85
Streifens mit Betrag kleiner als Eins und streng monoton wachsendem Imaginärteil, und die müßte einen Häufungspunkt haben im Widerspruch zu bereits zuvor
gewonnenen Erkenntnissen.
2.11
Projektive Räume
Definition 2.11.1. Die projektiven Räume Pn K für n ≥ 0 und K = R, C oder
H erhält man als die Menge aller reellen bzw. komplexen bzw. quaternionalen
Geraden durch den Nullpunkt in Kn+1 . Wir versehen unsere projektiven Räume
mit der Quotiententopologie bezüglich der offensichtlichen Surjektionen
π : Kn+1 \0 Pn K
x
7→ Kx
Die natürliche Operation von GL(n + 1; K) auf Kn+1 induziert eine Operation
auf Pn K, zumindest wenn man im Fall der Quaternionen noch besser aufpaßt,
in der Definition des projektiven Raums quaternionale Geraden als von Null verschiedene zyklische Unterrechtsmoduln vom Hn erklärt, und in der Definition der
Projektion entsprechend Hx zu xH abändert.
Proposition 2.11.2 (Projektive Räume). Für K = R, C oder H ist der projektive
Raum Pn K eine kompakte topologische Mannigfaltigkeit der Dimension n dimR K
und die in 2.11.1 darauf definierte Topologie stimmt überein mit der Topologie als
homogener Raum in Bezug auf die offensichtliche Operation von GL(n + 1; K).
Beispiele 2.11.3. Die reelle projektive Gerade P1 R ist homöomorph ist zu einer
Kreislinie S 1 , die komplexe projektive Gerade P1 C zur Kugelschale S 2 , und die
quaternionale projektive Gerade P1 H homöomorph zur 4-Sphäre S 4 . Weiter ist
P2 R homöomorph ist zu einer Kugelschale, in die man ein kreisrundes Loch geschnitten hat, um dort ein Möbiusband einzukleben. All das zu zeigen ist eine gute
Übung.
Beweis. Wir beginnen mit dem Nachweis, daß auf dem Komplement des Ursprungs Kd \0 die von Kd induzierte Topologie übereinstimmt mit der Topologie, die diese Menge als homogener Raum von GL(d; K) erhält. Diese Erkenntnis
formulieren wir als eigenständiges Lemma.
Lemma 2.11.4. Versehen wir Kd \0 mit der von Kd induzierten Topologie, so liefert das Anwenden auf einen beliebigen von Null verschiedenen Vektor eine finale
Abbildung GL(d; K) → Kd \0.
86
Beweis des Lemmas. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit dürfen wir annehmen, daß unsere Abbildung das Anwenden auf den ersten Vektor der Standardbasis π : A 7→ A e1 ist. Da Finalität nach 2.6.20 lokal ist in der Basis, reicht es, für jeden Vektor v 6= 0 eine offene Umgebung U zu finden derart, daß π : π −1 (U ) → U
final ist. Nach 2.6.13 reicht es, besagte offene Umgebung U so zu finden, daß
π : π −1 (U ) → U einen stetigen Schnitt besitzt. Dazu wählen wir zu unserem
von Null verschiedenen Vektor v eine invertierbare Matrix A = (a1 |a2 | . . . |ad )
mit erster Spalte a1 = v und nehmen als U := Kd \ha2 , . . . , ad i das Komplement
des Erzeugnisses ihrer anderen Spalten und als stetigen Schnitt auf U diejenige
Abbildung w 7→ (w|a2 | . . . |ad ), die jedem w ∈ U die Matrix zuordnet, die aus A
entsteht beim Ersetzen der ersten Spalte durch w.
Ergänzung 2.11.5 (Schnitte von GL(n; R) → Rn \0). Der Beweis von Lemma 2.11.4 beruht auf der Erkenntnis, daß die Abbildung, die jeder invertierbaren Matrix ihre erste Spalte zuordnet, lokal stetige Schnitte besitzt. Im Fall von
GL(2; R) → R2 \0 ist es auch nicht schwer, einen globalen stetigen Schnitt anzugeben. Im Fall von GL(3; R) → R3 \0 hingegen gibt es keinen globalen stetigen
Schnitt: Aus solch einem Schnitt könnte man nämlich unschwer eine „Kämmung
des Igels“ konstruieren, und wir werden in 3.4.3 zeigen, daß es solch eine Kämmung nicht geben kann.
Um zu zeigen, daß unsere projektiven Räume die Topologie als homogener Raum
von GL(n + 1; K) tragen, betrachten wir die Abbildungen
GL(n + 1; K) Kn+1 \0 Pn K
Die Erste von ihnen sei gegeben durch das Anwenden auf e1 , sie ist final nach unserem Lemma 2.11.4. Die Zweite ist final nach der Definition der Topologie auf
Pn K. Also ist nach 2.6.13 auch die Verknüpfung final. Damit stimmt auf Pn K die
Topologie als homogener Raum überein mit der Topologie aus unserer Definition
2.11.1. Die Hausdorff-Eigenschaft folgt dann aus 2.10.8, da die Isotropiegruppen
unseres homogenen Raums Pn K offensichtlich abgeschlossen sind. Identifizieren
wir in R-linearer Weise Kn+1 ∼
= Rm und bezeichnen mit S = S m−1 ⊂ Kn+1
die Menge aller Vektoren der Länge Eins für das Standard-Skalarprodukt des Rm ,
eine hochdimensionale Sphäre, so erhalten wir eine stetige Surjektion S Pn K.
Als Bilder kompakter Räume sind demnach unsere projektiven Räume kompakt.
Somit müssen wir nur noch für jeden Punkt eine zu Kn homöomorphe offene
Umgebung finden. Wir betrachten dazu einen beliebigen endlichdimensionalen
K-Vektorraum W und zeigen, daß für jede affine Hyperebene H ⊂ W , die den
Ursprung vermeidet, die Injektion iH : H ,→ PW gegeben durch v 7→ hvi eine
~ ⊂ W der Untervektorraum der Richtungsoffene Einbettung ist. Ist in der Tat H
~ offen in W \0.
vektoren unserer affinen Hyperebene H, so ist π −1 (π(H)) = W \H
87
Mithin hat unsere Injektion iH : H ,→ PW offenes Bild. Nun betrachten wir das
kommutative Diagramm
~
W \H
H
{{
{{
{
{{
} }{
{
HH
HH π
HH
HH
H$ $
/ iH (H)
Der linke schräge Pfeil ordne jedem Punkt den Schnittpunkt mit H der durch ihn
verlaufenden Ursprungsgeraden zu. Er ist stetig, denn ist λH : W → k die Linearform, deren Niveaufläche zum Wert Eins gerade H ist, so wird er gegeben durch
die Formel w 7→ λH (w)−1 w oder im quaternionalen Fall besser w 7→ wλH (w)−1 .
Er ist nach 2.6.13 sogar final, da er einen Schnitt besitzt, eben die Einbettung
~ Der rechte schräge Pfeil ist final, da diese Eigenschaft nach 2.6.20
H ,→ W \H.
lokal ist in der Basis. Zusammen folgt, daß die horizontale Bijektion ein Homöo∼
morphismus H → iH (H) sein muß. Damit ist PW in der Tat eine Mannigfaltigkeit.
Beispiel 2.11.6. Unter einer vollständigen Fahne von Untervektorräumen eines
endlichdimensionalen Vektorraums V über einem Körper k versteht man eine Folge von Untervektorräumen
V = Vn ⊃ Vn−1 ⊃ . . . ⊃ V1 ⊃ V0 = 0
mit dim Vi = i. Die Menge aller derartigen Fahnen notieren wir F(V ) und nennen
sie die Fahnenmannigfaltigkeit. Auf dieser Menge operiert die Gruppe GL(V ) in
offensichtlicher Weise, und diese Operation ist auch sicher transitiv. Die Isotropiegruppe der Fahne
k n = he1 , . . . , en i ⊃ he1 , . . . , en−1 i ⊃ . . . ⊃ he1 i ⊃ 0
ist die Gruppe der oberen Dreiecksmatrizen B ⊂ GL(n; k). Wir erhalten so eine
Bijektion
∼
GL(n; k)/B → F(k n )
Arbeiten wir über dem Körper R oder C, so ist die Fahnenmannigfaltigkeit mit
ihrer Topologie als homogener Raum kompakt aufgrund der Iwasawa-Zerlegung
??, ??.
Übungen
Übung 2.11.7. Man prüfe 2.11.3.
88
Illustration zum Beweis von 2.11.2
89
Übung 2.11.8. Man zeige, daß P1 R homöomorph ist zu einer Kreislinie S 1 , P1 C
homöomorph zur Kugelschale S 2 , und P1 H homöomorph zur 4-Sphäre S 4 . Man
zeige weiter, daß P2 R homöomorph ist zu einer Kugelschale, in die man ein kreisrundes Loch geschnitten hat, um dort ein Möbiusband einzukleben.
Übung 2.11.9. Sei V ein dreidimensionaler reeller Vektorraum. Wir betrachten in
P(V )×P(V ) alle Paare bestehend aus einer Halbebene und einer Halbgeraden auf
ihrem Rand, also alle Paare (H, L), für die es v, w ∈ V gibt mit H = R≥0 w + Rv
und L = R≥0 v. Man zeige, daß die Menge aller derartigen Paare ein homogener
Raum für GL(V ) ist und daß dieser homogene Raum kompakt ist.
Übung 2.11.10. Man zeige, daß die Gruppe GL(n; R)+ aller reellen (n × n)Matrizen mit positiver Determinante zusammenhängend ist. Hinweis: Induktion
über n. Aus 2.11.4 folgert man unschwer, daß im Fall n > 1 für den homogenen Raum Rn \0 unserer Gruppe seine Topologie als homogener Raum mit der
offensichtlichen Topologie übereinstimmt, so daß dieser homogene Raum zusammenhängend ist. Damit müssen wir nach 2.10.9 nur noch zeigen, daß die Isotropiegruppe eines Punktes zusammenhängend ist.
Übung 2.11.11. Versehen wir Rd \0 mit der von Rd induzierten Topologie, so liefert für d > 1 das Anwenden auf einen beliebigen von Null verschiedenen Vektor
eine finale Abbildung SL(d; R) → Rd \0. Dasselbe gilt im Komplexen.
2.12
Kompakt-offene Topologie
Definition 2.12.1. Gegeben topologische Räume X, Y bezeichne Top(X, Y ) die
Menge aller stetigen Abbildungen von X nach Y . Gegeben Teilmengen K ⊂ X
und U ⊂ Y bezeichne
O(K, U ) ⊂ Top(X, Y )
die Menge aller stetigen Abbildungen f : X → Y mit f (K) ⊂ U . Die auf
Top(X, Y ) von den Mengen O(K, U ) für K ⊂ X kompakt und U ⊂◦ Y offen erzeugte Topologie heißt wie in ?? die kompakt-offene Topologie. Wir denken uns
Räume stetiger Abbildungen im Zweifelsfall stets mit dieser Topologie versehen
und verwenden für den so entstehenden topologischen Raum die Notation
C(X, Y )
2.12.2 (Diskussion der Notation). Manche Quellen verwenden die Notation Y X =
C(X, Y ). Ich will versuchen, diese exponentielle Schreibweise zu vermeiden. Sie
hat den Nachteil, daß in wieder anderen Quellen die Notation Y X vielmehr die
Menge aller Abbildungen Ens(X, Y ) abkürzt.
90
Lemma 2.12.3 (Funktorialitäten). Gegeben stetige Abbildungen f : X 0 → X
und g : Y → Y 0 sind auch die induzierten Abbildungen (◦f ) : C(X, Y ) →
C(X 0 , Y ) und (g◦) : C(X, Y ) → C(X, Y 0 ) stetig.
Beweis. Die erste Behauptung folgt aus (◦f )−1 O(K 0 , U ) = O(f (K), U ). Die
zweite Behauptung folgt aus (g◦)−1 O(K, U 0 ) = O(K, g −1 (U 0 )).
Lemma 2.12.4. Gegeben ein topologischer Raum X und eine Familie topologischer Räume (Yi ) liefert die offensichtliche Abbildung einen Homöomorphismus
!
Y
Y
∼
C X,
Yi →
C(X, Yi )
i
i
2.12.5. In kategorieller Sprache ausgedrückt besagt unser Lemma, daß der Funktor C(X, ) : Top → Top verträglich ist mit Produkten. Ist X lokal kompakt im
Sinne von ??, so folgt Lemma 2.12.4 auch mit der Adjunktion 2.12.7 unmittelbar
aus der allgemeinen Erkenntnis ??, daß ein rechtsadjungierter Funktor stets mit
Limites vertauscht.
Beweis. Per definitionem ist unsere Abbildung eine Bijektion von Mengen. Für
K ⊂ X kompakt und j einen beliebigen aber festen Index und Uj ⊂◦ Yj offen
induziert unsere
Q eine Bijektion zwischen den Teilmengen
Q Abbildung nun sicher
O(K, Uj × i6=j Yi ) und O(K, Uj )× i6=j C(X, Yi ). Diese Mengen erzeugen aber
die jeweiligen Topologien.
Beispiel 2.12.6. Ein topologischer Raum heißt wie in ?? lokal kompakt genau
dann, wenn sich jede Umgebung eines jeden seiner Punkte zu einer kompakten
Umgebung des besagten Punktes verkleinern läßt.
Satz 2.12.7 (Exponentialgesetz, schwache Form). Seien X, Y, Z topologische
Räume. Ist Y lokal kompakt, so induziert die Bijektion aus dem Exponentialgesetz
∼
Ens(X × Y, Z) → Ens(X, Ens(Y, Z)) eine Bijektion zwischen den entsprechenden Teilmengen von stetigen Abbildungen
∼
Top(X × Y, Z) → Top(X, C(Y, Z))
2.12.8. In der Terminologie der Kategorientheorie 6.4 bedeutet dieser Satz, daß
für lokal kompaktes Y der Funktor C(Y, ) : Top → Top rechtsadjungiert ist
zum Funktor ×Y . In Korollar 2.12.10 folgern wir, daß diese Abbildung im Satz
unter der zusätzlichen Annahme, daß auch X lokal kompakt ist, sogar einen Ho∼
möomorphismus C(X × Y, Z) → C(X, C(Y, Z)) induziert. Das heißt dann eigentlich erst das Exponentialgesetz aus Gründen, die dort erläutert werden. In ??
formulieren wir bereits das sehr schwache Exponentialgesetz, nach dem für beliebige Räume X, Y, Z und f : X × Y → Z stetig auch die induzierte Abbildung
f˜ : X → C(Y, Z) stetig ist. Der Beweis wird gleich wiederholt.
91
Illustration zum Beweis von Satz 2.12.7. Das Bild kommt von dem Beweis des
Spezialfalls 1.13.4. Das p im Bild heißt in unserem Beweis x, das η im Bild ist so
gewählt, daß der η-Ball um x alias p in V enthalten wäre.
92
Beweis. Sei f : X × Y → Z stetig und f˜ : X → C(Y, Z) die induzierte Abbildung. Wir wiederholen zunächst, noch ohne irgendwelche Bedingungen an Y ,
den Beweis aus ??, daß f˜ auch stetig ist. Es reicht, diese Stetigkeit an jeder Stelle
x ∈ X zu zeigen. Gegeben K ⊂ Y kompakt und U ⊂◦ Z offen mit f˜(x) ∈ O(K, U )
gilt es, eine offene Umgebung V von x zu finden mit f˜(V ) ⊂ O(K, U ). Nun
besagt unsere Bedingung gerade f (x × K) ⊂ U , und wir finden
S natürlich offene Quadrate Vi × Wi ⊂◦ X × Y mit x ∈ Vi und x × K ⊂ i Vi × Wi und
f (Vi × Wi ) ⊂ U für alle i. Wegen der Kompaktheit von K finden wir sogar eine endliche Familie offener Quadrate mit dieser
T Eigenschaft, indiziert sagen wir
durch 1 ≤ i ≤ n. Jetzt nehmen wir V = ni=1 Vi und haben f (V × K) ⊂ U
alias f˜(V ) ⊂ O(K, U ) wie gewünscht. Sei nun umgekehrt f˜ : X → C(Y, Z)
stetig und sei f : X × Y → Z die induzierte Abbildung. Es gilt zu zeigen, daß f
stetig ist an jeder Stelle (x, y) ∈ X × Y . Sei also U ⊂◦ Z eine offene Umgebung
von f (x, y) = (f˜(x))(y). Nach Annahme ist f˜(x) : Y → Z stetig und Y lokal
kompakt, folglich gibt es eine kompakte Umgebung K von y mit (f˜(x))(K) ⊂ U ,
also f˜(x) ∈ O(K, U ). Da nun auch die Abbildung f˜ : X → C(Y, Z) stetig ist
bei x, gibt es dann auch eine Umgebung V von x mit f˜(V ) ⊂ O(K, U ), also mit
f (V × K) ⊂ U und damit ist V × K die gesuchte Umgebung von (x, y), die unter
f nach U abgebildet wird.
Korollar 2.12.9 (Stetigkeit des Auswertens). Ist Y lokal kompakt und Z ein
beliebiger topologischer Raum, so ist das Auswerten C(Y, Z) × Y → Z stetig.
Beweis. Das Auswerten entspricht unter der Bijektion aus unserem Adjunktionssatz 2.12.7 der Identität auf C(Y, Z) = X rechts.
Korollar* 2.12.10 (Exponentialgesetz). Seien X, Y, Z topologische Räume. Sind
X und Y lokal kompakt, so induziert unsere Bijektion Ens(X×Y, Z) → Ens(X, Ens(Y, Z))
einen Homöomorphismus
∼
C(X × Y, Z) → C(X, C(Y, Z))
∼
Ergänzung 2.12.11. In der alternativen Schreibweise liest sich das Z X×Y →
(Z Y )X , daher auch die Terminologie. Ich benutze diese Aussage im Weiteren
nicht und zeige sie nur der Vollständigkeit halber.
Beweis. Die Stetigkeit dieser Abbildung ist nach 2.12.7 gleichbedeutend erst zur
Stetigkeit der induzierten Abbildung C(X × Y, Z) × X → C(Y, Z) und durch
erneutes Anwenden von 2.12.7 auch zur Stetigkeit der induzierten Abbildung
C(X × Y, Z) × X × Y → Z. Diese Stetigkeit folgt jedoch aus 2.12.9, da mit
X und Y auch X × Y lokal kompakt ist. Also ist die im Korollar betrachtete
Bijektion stetig und es bleibt nur noch, die Stetigkeit ihrer Umkehrabbildung zu
93
zeigen. Die Stetigkeit dieser Umkehrabbildung ist jedoch nach 2.12.7 gleichbedeutend zur Stetigkeit der induzierten Abbildung C(X, C(Y, Z)) × X × Y → Z,
die hinwiederum stetig sein muß als Verknüpfung von zwei nach 2.12.7 stetigen
Abbildungen C(X, C(Y, Z)) × X × Y → C(Y, Z) × Y → Z.
Ergänzung 2.12.12. Ein Raum Y heißt kompakt erzeugt
F genau dann, wenn er
Hausdorff ist und wenn die offensichtliche Abbildung K∈K K → Y final ist,
für K ⊂ P(Y ) das System aller kompakten Teilräume, vergleiche etwa [?]. Man
kann zeigen, daß es in der Kategorie der kompakt erzeugten Räume Produkte
gibt, die allerdings nicht mit den üblichen Produkten in der Kategorie aller topologischen Räume übereinstimmen, daß das Darankreuzen einen Rechtsadjungierten hat, der allerdings nicht mit dem Raum der stetigen Abbildungen und seiner
kompakt-offenen Topologie übereinstimmt, und daß in dieser Begrifflichkeit auch
eine Variante des Exponentialgesetzes gilt.
Übungen
Übung 2.12.13. Ist X kompakt, so stimmt die kompakt-offene Topologie auf
C(X, C) überein mit der von der Supremumsnorm induzierten Topologie.
Übung 2.12.14. Gegeben topologische Räume X, Y ist diejenige Abbildung Y →
C(X, Y ) stetig, die jedem Punkt y ∈ Y die entsprechende konstante Abbildung
zuordnet, die eben ganz X auf diesen einen Punkt y wirft.
Übung 2.12.15. Gegeben topologische Räume X, Y mit X lokal kompakt ist das
Auswerten eine stetige Abbildung X → C(C(X, Y ), Y ). Hinweis: Man verwende
die Stetigkeit des Auswertens 2.12.9 und das sehr schwache Exponentialgesetz
2.12.8.
Übung 2.12.16. Die stetigen Abbildungen von einem topologischen Raum in eine topologische Gruppe bilden unter der punktweisen Verknüpfung und mit der
kompakt-offenen Topologie selbst eine topologische Gruppe. Die stetigen Abbildungen von einem topologischen Raum in einen topologischen Vektorraum bilden unter der punktweisen Verknüpfung und mit der kompakt-offenen Topologie
selbst einen topologischen Vektorraum. Hinweis: 2.12.4.
Übung 2.12.17. Ist Y → Y 0 initial und X ein beliebiger topologischer Raum, so
ist auch C(X, Y ) → C(X, Y 0 ) initial.
Ergänzende Übung 2.12.18. Man zeige, daß für jeden lokal kompakten Raum Y
die Verknüpfung C(X, Y )×C(Y, Z) → C(X, Z) stetig ist. Hinweis: Gegeben Q ⊂
V ⊂◦ Y eine kompakte Teilmenge in einer offenen Teilmenge gibt es unter unseren
Annahmen stets eine kompakte Teilmenge R ⊂ Y und eine offene Teilmenge
W ⊂◦ Y mit Q ⊂ W ⊂ R ⊂ V . Sind X und Y lokal kompakt, folgt das auch leicht
94
aus dem schwachen Exponentialgesetz 2.12.7 und der Stetigkeit des Auswertens
2.12.9.
Übung 2.12.19. Ich erinnere unsere Abkürzung C(X, C) = C(X). Man zeige:
Ist X ein lokal kompakter Raum und F : R × X → C differenzierbar nach der
ersten Variablen mit stetiger partieller Ableitung ∂F : R × X → C, so gilt für die
Abbildung g : R → C(X), t 7→ F (t, ) im topologischen Vektorraum C(X) die
Identität
g(t) − g(0)
= (∂F )(0, )
lim
t→0
t
Analoges gilt für Abbildungen F : R × X → V in einen beliebigen normierten
reellen Vektorraum.
2.13
Eigentliche Abbildungen**
Definition 2.13.1. Eine Abbildung von topologischen Räumen f : X → Y heißt
eigentlich, wenn sie stetig ist und wenn darüber hinaus für jeden weiteren Raum
Z die Abbildung f ×id : X ×Z → Y ×Z abgeschlossen ist. Auf Französisch verwendet man den Begriff propre, auf Deutsch sagt man alternativ auch universell
abgeschlossen.
2.13.2. Wir zeigen in 2.14.5, daß eine stetige Abbildung zwischen lokal kompakten Hausdorffräumen eigentlich ist genau dann, wenn das Urbild jedes Kompaktums kompakt ist.
Lemma 2.13.3 (Eigentliche Abbildungen auf einen Punkt). Ein topologischer
Raum ist kompakt genau dann, wenn die konstante Abbildung von besagtem Raum
auf den einpunktigen Raum eigentlich ist.
Beweis. Sei X kompakt und Z beliebig. Ich denke mir X vertikal und Z horizonV
tal. Sei A ⊂
X × Z abgeschlossen und z ∈ Z gegeben derart, daß A die vertikale
Faser bei z nicht trifft, in Formeln A ∩ (X × {z}) = ∅. So gibt es für jedes x ∈ X
offene Umgebungen Ux ⊂◦ X von x und Vx ⊂◦ Z von z mit A ∩ (Ux × Vx ) = ∅.
Endlich viele Ux überdecken nun aber X und der Schnitt der zugehörigen Vx ist
eine offene Umgebung von z, die die Projektion von A nicht trifft. Also ist die
konstante Abbildung von einem Kompaktum auf einen einpunktigen Raum eigentlich. Die Umkehrung ist für uns weniger wichtig. Um sie zu zeigen, betrachten irgendein System abgeschlossener Teilmengen A ⊂ P(X) mit nichtleeren
endlichen Schnitten und müssen nach 2.5.16 nur zeigen, daß auch sein gesamter
Schnitt nicht leer ist. Dazu bilden wir den Raum
Z = X t {∞}
95
mit der Topologie, für die die offenen Teilmengen gerade alle Teilmengen sind, die
entweder ∞ vermeiden oder ein A ∈ A umfassen. Aufgrund unserer Annahme an
A liegt ∞ im Abschluss von X ⊂ Z. Betrachten wir die Diagonale ∆ ⊂ X×Z, so
¯ unter der Projektion auf die zweite Koordinate
muß das Bild ihres Abschlusses ∆
¯ und daraus folgt sofort
ganzTZ sein. Es gibt also ein x ∈ X mit (x, ∞) ∈ ∆
x ∈ A∈A A.
Proposition 2.13.4. Operiert eine kompakte topologische Gruppe G auf einem
Hausdorff-Raum X, so ist auch der Bahnenraum X/G Hausdorff.
Ergänzung 2.13.5. Ich hätte einen Beweis vorgezogen, der das Konzept eigentlicher Abbildungen vermeidet, aber mir ist keiner eingefallen.
Beweis. Wegen der Kompaktheit von G ist die Projektion G×X → X eigentlich.
Damit ist auch die Wirkung eigentlich als Komposition der Projektion mit dem
∼
Homöomorphismus G × X → G × X, (g, x) 7→ (g, gx). Damit ist auch das
Produkt der Wirkung G×X ×X → X ×X mit der Identität auf X eine eigentliche
Abbildung, und schalten wir id ×∆ davor, so erkennen wir mit 2.8.7 und 2.13.9,
daß die Abbildung
G×X → X ×X
(g , x) 7→ (gx, x)
eigentlich ist. Insbesondere ist ihr Bild Γ ⊂ X × X abgeschlossen und das Komplement offen. Dann ist aber nach 2.10.2 und 2.10.4 auch das Bild dieses Komplements in X/G × X/G offen und die Diagonale in X/G × X/G folglich abgeschlossen.
Ergänzung 2.13.6. Ganz allgemein heißt die Operation einer topologischen Gruppe G auf einem topologischen Raum X eigentlich genau dann, wenn die Abbildung G × X → X × X, (g, x) 7→ (gx, x) aus dem Beweis von 2.13.4 eigentlich
ist. Die zweite Hälfte dieses Beweises zeigt, daß bei einer eigentlichen Operation
der Bahnenraum stets Hausdorff ist.
Ergänzung 2.13.7. Man kann zeigen, daß eine stetige Abbildung eigentlich ist genau dann, wenn sie abgeschlossen ist und alle ihre Fasern kompakt sind. Bei Bourbaki kann man nachlesen, warum ein beliebiges Produkt von eigentlichen Abbildungen wieder eigentlich ist. Diese Aussage heißt der Satz von Frolik-Tychonov.
Übungen
Übung 2.13.8 (Eigentlichkeit ist lokal in der Basis). Seien f : X → Y stetig
und U ⊂ P(Y ) eine offene Überdeckung von Y . Genau dann ist f eigentlich,
wenn die induzierten Abbildungen f −1 (U ) → U eigentlich sind für alle U ∈ U.
96
Übung 2.13.9 (Permanenzeigenschaften eigentlicher Abbildungen). Jede Verknüpfung eigentlicher Abbildungen ist eigentlich. Eine Einbettung ist eigentlich
genau dann, wenn sie abgeschlossen ist. Ist g ◦ f eigentlich und f surjektiv, so ist
auch g eigentlich. Landet g in einem Punkt, so spezialisiert die letzte Behauptung
zur Aussage, daß stetige Bilder von Kompakta stets kompakt sind.
Ergänzende Übung 2.13.10. Leser, die bereits mit Faserprodukten 4.2.7 vertraut
sind, werden leicht zeigen können, daß gegeben eine eigentliche Abbildung X →
Y und eine beliebige stetige Abbildung Z → Y auch die erweiterte Abbildung
X ×Y Z → Z eigentlich ist. Insbesondere bedeutet das im Fall von einpunktigem
Z, daß alle Fasern einer eigentlichen Abbildung kompakt sind, und im Fall einer
kompakten Teilmenge K ⊂ Y ergibt sich mit 2.13.9 und 2.13.3, daß die Urbilder
von Kompakta unter eigentlichen Abbildungen kompakt sind.
Übung 2.13.11. Sind X → Y und X 0 → Y eigentlich, so auch (X t X 0 ) → Y .
Ist insbesondere Z → Y stetig und sind Teilräume X, X 0 ⊂ Z gegeben mit
X → Y und X 0 → Y eigentlich, so ist auch (X ∪ X 0 ) → Y eigentlich mit der
vorhergehenden Übung 2.13.9.
Übung 2.13.12. Gegeben eine kompakte Hausdorff’sche Gruppe enthält jede Umgebung des neutralen Elements eine unter Konjugation stabile offene Umgebung
des neutralen Elements.
2.14
Separierte Abbildungen**
Definition 2.14.1. Eine stetige Abbildung f : X → Y heißt separiert genau
V
dann, wenn die Diagonale eine abgeschlossene Teilmenge X ⊂ X ×Y X ist.
Beispiele 2.14.2. Die konstante Abbildung von einem topologischen Raum auf
einen Punkt ist nach 2.8.7 separiert genau dann, wenn der fragliche Raum Hausdorff alias separiert ist. Jede topologische Einbettung ist separiert. Ist in einem kartesischen Diagramm topologischer Räume ein Ursprungspfeil separiert, so auch
der gegenüberliegende Pfeil aus dem Faserprodukt.
Lemma 2.14.3. Ist g ◦ f eigentlich und g separiert, so ist auch f eigentlich.
2.14.4. Landet g in einem Punkt, so liefert dieses Lemma insbesondere die bereits aus 2.5 bekannte Aussage, daß das Bild einer stetigen Abbildung von einem
Kompaktum in einen Hausdorffraum stets abgeschlossen ist. Bei Bourbaki findet
sich unser Lemma zumindest schon einmal für g injektiv.
Beweis. Seien f : X → Y und g : Y → Z. Wir betrachten zum Morphismus f
97
das in TopZ kartesische Diagramm
/
X
/
X ×Z Y
Y
Y ×Z Y
aus 4.2.11 und sehen, daß mit der Diagonale Y ,→ Y ×Z Y auch die Abbildung
(id, f ) : X → X ×Z Y eine abgeschlossene Einbettung ist. Der Morphismus f
ergibt sich als deren Verknüpfung mit dem eigentlichen da durch Basiswechsel
aus X → Z entstehenden Morphismus X ×Z Y → Y .
Lemma 2.14.5. Eine stetige Abbildung zwischen lokal kompakten Hausdorffräumen ist eigentlich genau dann, wenn das Urbild jedes Kompaktums kompakt
ist.
Beweis. Daß Urbilder von Kompakta unter eigentlichen Abbildungen stets kompakt sind, haben wir bereits in 2.13.10 gesehen. Daß eine stetige Abbildung von
kompakten Hausdorffräumen eigentlich ist, folgt aus 2.14.3 und aus der Erkenntnis 2.13.3, daß die konstante Abbildung eines Kompaktums auf einen Punkt eigentlich ist. Das Lemma folgt damit aus der Lokalität der Eigentlichkeit in der
Basis 2.13.8.
Definition 2.14.6. Eine Teilmenge eines topologischen Raums heißt relativ Hausdorff genau dann, wenn je zwei verschiedene Punkte unserer Teilmenge disjunkte
Umgebungen im ursprünglichen Raum besitzen.
Übungen
Übung 2.14.7. Eine stetige Abbildung ist separiert genau dann, wenn alle ihre
Fasern relativ Hausdorff sind im Sinne von 2.14.6. Jede Verknüpfung separierter
Abbildungen ist separiert.
Übung 2.14.8. Ist f : X → Y eigentlich und separiert und i : A ,→ X eine
Einbettung derart, daß f ◦i eigentlich ist, so muß i eine abgeschlossene Einbettung
sein. Hinweis: 2.14.3 und 2.13.9.
98
3
Homotopie und Fundamentalgruppe
3.1
Einführung in die algebraische Topologie
3.1.1. Ich erinnere an den vertrauten Begriff der Stetigkeit von Funktionen mehren
rer reellen
p Veränderlichen. Weiter bezeichne k k : R → R die euklidische Norm,
kxk := x21 + . . . + x2n für x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn , und
S n := {x ∈ Rn+1 | kxk = 1}
die n-dimensionale Kugelschale oder n-Sphäre. Es ist also S −1 = ∅, S 0 =
{+1, −1}, S 1 die Kreislinie, S 2 die Kugelschale und so weiter. Zur Motivation
liste ich nun einige typische Probleme der Topologie auf.
1. Man zeige, daß es für n ≥ 0 keine stetige Injektion S n ,→ Rn der ndimensionalen Kugelschale in die n-dimensionale Ebene gibt. Als Übung
empfehlen sich die Fälle n = 0, 1. Der Fall n = 2 wird in 3.9.6 erledigt, der
allgemeine Fall ergibt sich als Konsequenz aus ??.
2. „Ein Igel läßt sich nicht kämmen ohne Wirbel“. In Formeln zeige man: Es
gibt keine stetige Abbildung κ : S 2 → S 2 derart, daß κ(x) senkrecht steht
auf x für alle x ∈ S 2 . Wir zeigen das in 3.4.3.
3. Es bezeichne stets Dn = {x ∈ Rn | kxk ≤ 1} die n-dimensionale Vollkugel. Es ist also D0 ein Punkt, D1 = [−1, +1] ein kompaktes Intervall,
D2 die abgeschlossene Kreisscheibe und so weiter. Man zeige, daß jede
stetige Abbildung f : Dn → Dn von einer abgeschlossenen Vollkugel in
sich selber einen Fixpunkt hat. Diese Aussage heißt der Brouwer’sche Fixpunktsatz. Als Übung empfehlen sich wieder die Fälle n = 0, 1. Der Fall
n = 2 wird in 3.4.2 behandelt, der allgemeine Fall in ??.
3.1.2. Gegeben Teilmengen A ⊂ Rn und B ⊂ Rm heißt eine Abbildung f : A →
B heißt ein Homöomorphismus genau dann, wenn sie stetig und bijektiv ist und
ihre Inverse f −1 : B → A auch stetig ist. Des weiteren heißen A und B homöomorph genau dann, wenn es einen Homöomorphismus von A nach B gibt. Wir
schreiben kurz A ∼
= B für die Aussage „A ist homöomorph zu B“. Anschaulich
∼
bedeutet A = B, daß sich A durch „Verbeulen und Verbiegen“ aus B erhalten
läßt. Zum Beispiel sind je zwei offene Intervalle in R homöomorph, und „Die
Oberfläche einer Kaffeetasse mit einem Henkel ist homöomorph zur Oberfläche
eines Rettungsrings“. Man bezeichnet die Topologie deshalb auch scherzhaft als
„Gummigeometrie“. Zur weiteren Motivation liste ich auch noch einige typische
Probleme im Zusammenhang mit dem Homöomorphiebegriff auf.
99
1. Invarianz der Dimension: Man zeige, daß für natürliche Zahlen n, m ≥
0 gilt Rn ∼
= Rm ⇒ n = m. In Worten sind also endlichdimensionale
reelle Räume verschiedener Dimension, wenn man sie mit ihrer natürlichen
Topologie versieht, auch nicht homöomorph.
2. Man zeige, daß der Rettungsring, auch genannt der zweidimensionale Torus S 1 × S 1 , nicht homöomorph ist zur 2-Sphäre S 2 .
3. Sei S ⊂ R2 eine Teilmenge der Ebene, die homöomorph ist zur Kreislinie, S ∼
= S 1 . Man zeige, daß auch das Komplement von S homöomorph
ist zum Komplement der Kreislinie, R2 \S ∼
= R2 \S 1 . Der Beweis dieser
Aussage gelingt erst unter Zuhilfenahme von Methoden der Analysis. Man
kann sie etwa aus ?? zusammen mit ?? und dem „kleinen“ Riemann’schen
Abbildungssatz ?? der Funktionentheorie recht leicht folgern.
Ergänzung 3.1.3. Man kann für S ⊂ R2 homöomorph zur Kreislinie sogar zei∼
gen, daß es einen Homöomorphismus f : R2 → R2 gibt mit f (S 1 ) = S, aber
den Beweis dieses Satzes von Schönflies werden wir nicht behandeln. Im übrigen erweisen sich die höherdimensionalen Analoga der Aussagen des letzten
Punktes der vorangehenden Aufzählung sämtlich als falsch: Zum Beispiel ist die
sogenannte gehörnte Sphäre von Alexander eine zur Kugelschale S 2 homöomorphe Teilmenge des Raums R3 , bei der eine Zusammenhangskomponente des
Komplements noch nicht einmal einfach zusammenhängend ist.
3.1.4. In mathematisch nicht ganz so präziser Formulierung will ich auch noch die
Klassifikation zusammenhängender geschlossener Flächen besprechen. Ich gebe
zunächst eine Definition, die etwas unbeholfen ist, da sie die Sprache der Topologie noch weitgehend vermeidet.
Definition 3.1.5. Eine Teilmenge F ⊂ Rn heißt eine geschlossene topologische
in Rn eingebettete d-Mannigfaltigkeit genau dann, wenn F kompakt ist und
es für jeden Punkt p ∈ F eine offene Teilmenge U ⊂◦ Rn gibt mit p ∈ U und
U ∩F ∼
= Rd .
3.1.6. Beispiele für geschlossene d-Mannigfaltigkeiten sind die Sphären S d . Wir
zeigen in 2.7.2, daß jede geschlossene 1-Mannigfaltigkeit homöomorph ist zu
einer endlichen disjunkten Vereinigung von Kopien von S 1 . Eine geschlossene
2-Mannigfaltigkeit nennen wir auch eine geschlossene Fläche. Beipiele für geschlossene Flächen sind die Kugelschale S 2 , der Torus S 1 × S 1 , oder auch die
Oberfläche einer massiven Acht, die homöomorph ist zur Oberfläche einer dickwandigen Suppentasse mit zwei Henkeln. Ein etwas komplizierteres Beispiel für
eine geschlossene Fläche ist die sogenannte Klein’sche Flasche, die man erhält,
indem man bei einer Flasche den Flaschenhals langzieht, umbiegt, ihn von aussen
100
Die Klein’sche Flasche
101
unter Durchdringung der Flaschenwand ins Innere der Flasche schiebt, dann ein
kreisrundes Loch in den Boden der Flasche schneidet, und schließlich die Flaschenöffnung in das Loch unten am Boden einklebt. Genauer erhält man so in der
Anschauung noch keine geschlossene Fläche in unserem Sinne, da sich unsere
Fläche selbst überschneidet an der Stelle, an der der Flaschenhals in die Flasche
eindringt. In der vierten Dimension jedoch kann man diese Selbstüberschneidung
vermeiden. Stellen wir uns dazu die vierte Koordinate als Farbe vor und malen unsere Flasche changierend so an, daß der Flaschenhals und der Flaschenboden rot,
der Flaschenkörper aber blau sind. Dann ist klar, daß unsere Fläche ohne Selbstüberschneidung im vierdimensionalen Raum liegt, und das ist dann wirklich unsere Klein’sche Flasche. Die Klein’sche Flasche ist nicht homöomorph zu einer
Teilmenge des R3 , wie wir in ?? beweisen werden. Im folgenden Satz brauchen
wir noch das berühmte Möbiusband, das man erhält, wenn man einen Papierstreifen einmal verdrillt zu einem Ring verklebt. Der Rand des Möbiusbandes ist eine
einzige geschlossene Kreislinie.
Satz 3.1.7 (Klassifikation der geschlossenen Flächen). Jede zusammenhängende geschlossene Fläche ist homöomorph zu genau einer der im folgenden beschriebenen Flächen:
• Man nehme die Kugelschale S 2 , schneide in diese 2g kreisrunde Löcher
hinein und verbinde diese Löcher paarweise durch g hohle Henkel. Für
g = 0, 1, 2, . . . liefert das jeweils eine Fläche, die orientierbare Fläche
vom Geschlecht g;
• Man nehme die Kugelschale S 2 , schneide in diese g kreisrunde Löcher hinein und klebe Möbiusbänder in diese Löcher ein. Für g = 1, 2, . . . liefert
das jeweils eine Fläche, die nichtorientierbare Fläche vom Geschlecht g.
3.1.8. Die orientierbaren Flächen vom Geschlecht g = 0, 1, 2 sind die Kugelschale, den Torus und die Oberfläche einer Kaffeetasse mit zwei Henkeln oder auch
eines Abseilachters, wie ihn Bergsteiger verwenden. Die nichtorientierbaren Flächen vom Geschlecht g = 1, 2 sind die reelle projektive Ebene P2 R aus 2.11 und
die Klein’sche Flasche. Die nicht orientierbaren Flächen zeichnen sich dadurch
aus, daß man bei einem Rundweg als Spaziergänger auf der Fläche unter Umständen „mit dem Kopf nach unten“ wieder am Ausgangspunkt ankommt. Statt
des Einklebens von Möbiusbändern mag man sich gleichbedeutend auch das Ankleben sogenannter „Kreuzhauben“ vorstellen, wie sie auf Seite 169 vorgestellt
werden. Zum Nachdenken hier noch eine Frage: Welche Fläche unserer Liste erhält man, wenn man an die Klein’sche Flasche einen Henkel anklebt? Die Antwort liefert die „Henkelelimination“ im Beweis des Klassifikationssatzes 4.8.11:
Wir erhalten die nichtorientierbare Fläche vom Geschlecht 4. Jetzt gilt es aber
102
zunächst, einen präzisen und effektiven Begriffsapparat für die Behandlung derartiger Fragestellungen aufzubauen.
Übungen
Übung 3.1.9. Läßt man aus der Kugelschale S n für n ≥ 0 einen Punkt weg, so
entsteht ein zu Rn homöomorpher Raum. Hinweis: Stereographische Projektion.
3.2
Die Definition der Fundamentalgruppe
Definition 3.2.1. Seien X ein topologischer Raum und x, y ∈ X Punkte. Die
Menge aller normierten Wege von x nach y bezeichnen wir mit
Ω(X, y, x) := {α : [0, 1] → X | α ist stetig, α(0) = x, α(1) = y}
Für zwei Wege γ ∈ Ω(X, z, y) und α ∈ Ω(X, y, x) definieren wir ihre Verknüpfung oder auch Aneinanderhängung γ ∗ α ∈ Ω(X, z, x) durch
α(2t)
0 ≤ t ≤ 1/2;
(γ ∗ α)(t) :=
γ(2t − 1) 1/2 ≤ t ≤ 1.
3.2.2. Die Abbildung γ ∗ α ist stetig nach 1.7.8, da es eine endliche Überdeckung
ihres Definitionsbereichs durch abgeschlossene Mengen gibt derart, daß ihre Restriktion jeweils stetig ist.
3.2.3. Anschaulich gesprochen entsteht der Weg γ ∗ α dadurch, daß wir erst den
Weg α und dann den Weg γ jeweils mit doppelter Geschwindigkeit durchlaufen,
so daß wir insgesamt wieder einen normierten alias durch das Einheitsintervall
parametrisierten Weg erhalten. Weiter definieren wir für x ∈ X den konstanten
Weg εx durch εx (t) = x ∀t und bilden zu jedem Weg α ∈ Ω(X, y, x) den inversen Weg ᾱ ∈ Ω(X, x, y) durch die Vorschrift ᾱ(t) = α(1 − t). Ein Weg, bei dem
Anfangs- und Endpunkt zusammenfallen, heißt geschlossen.
Definition 3.2.4. Seien x, y Punkte eines topologischen Raums X. Zwei Wege
α, β von x nach y heißen homotop oder präziser homotop mit festen Randpunkten und wir schreiben α ' β genau dann, wenn es eine stetige Abbildung
h : [0, 1]2 → X
des Einheitsquadrats in unseren Raum gibt, die auf der Unter- bzw. Oberkante
unseres Quadrats mit α bzw. β übereinstimmt und die auf der Vorder- und der
Hinterkante konstant ist. In Formeln ausgedrückt fordern wir also h(t, 0) = α(t)
und h(t, 1) = β(t) für alle t ∈ [0, 1] sowie h(0, τ ) = x und h(1, τ ) = y für alle
τ ∈ [0, 1]. Wir schreiben unter diesen Umständen auch kurz
h:α'β
103
3.2.5. Vielleicht anschaulicher kann man diese Bedingung dahingehend interpretieren, daß es eine durch τ ∈ [0, 1] parametrisierte Familie hτ von normierten
Wegen von x nach y geben soll derart, daß gilt h0 = α, h1 = β und daß unsere Familie stetig von τ abhängt in dem Sinne, daß die Abbildung [0, 1]2 → X,
(t, τ ) 7→ hτ (t) stetig ist. Ein geschlossener Weg heißt zusammenziehbar genau
dann, wenn er homotop ist zu einem konstanten Weg.
Beispiel 3.2.6. Gegeben X ⊂ Rn konvex und x, y ∈ X sind je zwei Wege α, β ∈
Ω(X, y, x) homotop vermittels h(t, τ ) = (1 − τ )α(t) + τ β(t).
Beispiel 3.2.7. Bilder homotoper Wege sind homotop. Ist genauer eine Abbildung
f : X → Y stetig, so folgt aus h : α ' β schon f ◦ h : f ◦ α ' f ◦ β.
Beispiel 3.2.8. Ein Weg ist homotop zu jeder seiner Umparametrisierungen. Ist
genauer v : [0, 1] → [0, 1] stetig mit v(0) = 0 und v(1) = 1 und ist γ : [0, 1] → X
ein Weg, so folgt γ ' γ ◦ v. In der Tat finden wir erst id ' v mit 3.2.6 und dann
γ ◦ id ' γ ◦ v mit 3.2.7.
Lemma 3.2.9 (Homotopie ist eine Äquivalenzrelation). Für jeden topologischen Raum X und beliebige Punkte x, y ∈ X ist Homotopie eine Äquivalenzrelation auf der Menge Ω(X, y, x) aller Wege von x nach y.
Beweis. Wir müssen zeigen, daß gilt (1) α ' α, (2) α ' β ⇒ β ' α, und daß
(3) aus α ' β und β ' γ folgt α ' γ. Wir überlassen dem Leser den Beweis der
beiden ersten Aussagen und zeigen nur die letzte Aussage. Seien also h : α ' β
und g : β ' γ Homotopien. Wir definieren f : [0, 1]2 → X durch
h(t, 2τ )
0 ≤ τ ≤ 1/2;
f (t, τ ) =
g(t, 2τ − 1) 1/2 ≤ τ ≤ 1.
Dann ist in der Tat die Abbildung f stetig, denn ihre Restriktionen auf die abgeschlossenen Teilmengen [0, 1] × [0, 1/2] und [0, 1] × [1/2, 1] des Einheitsquadrats
sind es und wir können 1.7.8 anwenden. Nach Konstruktion ist aber nun f eine
Homotopie f : α ' γ.
Definition 3.2.10. Äquivalenzklassen von Wegen unter der Äquivalenzrelation
der Homotopie nennen wir Homotopieklassen von Wegen. Die Menge aller Homotopieklassen von Wegen von einem Punkt x zu einem Punkt y in einem Raum
X notieren wir π1 (X, y, x), in Formeln setzen wir also
π1 (X, y, x) := Ω(X, y, x)/ '
Die Homotopieklasse eines Weges α notieren wir [α].
104
Definition 3.2.11. Ein bepunkteter Raum (X, x) ist ein topologischer Raum
X mit einem ausgezeichneten Punkt x ∈ X, seinem Basispunkt. Für einen bepunkteten Raum (X, x) vereinbaren wir die Abkürzungen Ω(X, x) := Ω(X, x, x)
für die Menge aller Wege mit Anfangs- und Endpunkt x sowie π1 (X, x) :=
π1 (X, x, x) für die Menge aller Homotopieklassen derartiger Wege.
3.2.12 (Diskussion der Terminologie). In der Literatur nennt man dieses Konzept
auch häufig einen „punktierten Raum“. Ich ziehe es vor, von einem bepunkteten
Raum zu reden, da man wieder an anderer Stelle unter einer „punktierten Ebene“ oder einer „punktierten Kreisscheibe“ für gewöhnlich das Komplement eines
Punktes in der Ebene oder das Komplement des Ursprungs in der Kreisscheibe
versteht. Auf Englisch wird unterschieden zwischen „pointed space“ und „punctured plane“ oder auch „punctured disc“. Ich vermute als Ursprung für die unklare
Terminologie im Deutschen sorglose Übersetzung.
Ergänzung 3.2.13. Versehen wir die Menge Ω(X, y, x) mit der kompakt-offenen
Topologie 2.12.1 und setzen h(t, τ ) = hτ (t), so ist h nach dem Exponentialgesetz
2.12.7 stetig genau dann, wenn die Abbildung [0, 1] → Ω(X, y, x), τ 7→ hτ stetig ist. Mit dieser Topologie heißt Ω(X, y, x) ein Wegeraum und zwei Wege sind
homotop genau dann, wenn sie zur selben Wegzusammenhangskomponente des
Wegeraums gehören. Speziell heißt Ω(X, x) ein Schleifenraum und π1 (X, x) ist
die Menge der Wegzusammenhangskomponenten des Schleifenraums. Notieren
wir π0 (Y ) die Menge der Wegzusammenhangskomponenten eines topologischen
Raums Y , so haben wir demnach in Formeln π1 (X, x) = π0 (Ω(X, x)) und Lemma ?? erweist sich als Spezialfall der allgemeinen Erkenntnis ??, daß auf jedem
topologischen Raum die Wegverbindbarkeit eine Äquivalenzrelation ist.
Satz 3.2.14 (Fundamentalgruppe). Gegeben ein bepunkteter Raum (X, x) induziert das Aneinanderhängen von Wegen eine Verknüpfung auf der Menge π1 (X, x)
aller Homotopieklassen von Wegen mit Anfangs- und Endpunkt x, und mit dieser
Verknüpfung wird
π1 (X, x)
eine Gruppe, die Fundamentalgruppe des bepunkteten Raums (X, x).
Beispiel 3.2.15. Ist X ⊂ Rn eine konvexe Teilmenge, so ist die Fundamentalgruppe von X nach 3.2.6 für jeden Basispunkt x ∈ X trivial.
Beweis. Die beiden ersten Aussagen des anschließenden Lemmas 3.2.16 sagen
uns, daß die Homotopieklasse der Verknüpfung von zwei Wegen nur von den
Homotopieklassen der verknüpften Wege abhängt. Die weiteren Aussagen liefern
das neutrale Element, die Inversen und das Assoziativgesetz.
Lemma 3.2.16. Wann immer die folgenden Verknüpfungen von Wegen sinnvoll
sind, gilt:
105
1. α ' α0 ⇒ α ∗ β ' α0 ∗ β
2. β ' β 0 ⇒ α ∗ β ' α ∗ β 0
3. ε ∗ α ' α ' α ∗ ε
4. α ∗ ᾱ ' ε, ᾱ ∗ α ' ε
5. (α ∗ β) = β̄ ∗ ᾱ
6. (α ∗ β) ∗ γ ' α ∗ (β ∗ γ)
Beweis. Wir zeigen nur beispielhaft die letzte Behauptung. Sicher gilt
α ∗ (β ∗ γ) = ((α ∗ β) ∗ γ) ◦ v
für eine stetige „Reparametrisierung“ v : [0, 1] → [0, 1] mit v(0) = v(1). Da
nach 3.2.8 ein Weg homotop ist zu allen seinen Reparametrisierungen, folgt die
Behauptung.
3.2.17. Wir erinnern daran, daß nach ?? ein topologischer Raum wegweise einfach zusammenhängend heißt genau dann, wenn er wegzusammenhängend ist
und wenn darüber hinaus jeder geschlossene Weg in unserem Raum zusammenziehbar ist.
Satz 3.2.18 (Van Kampen für wegweise einfachen Zusammenhang). Kann ein
topologischer Raum durch zwei wegweise einfach zusammenhängende offene Teilmengen mit wegzusammenhängendem Schnitt überdeckt werden, so ist er bereits
selbst wegweise einfach zusammenhängend.
3.2.19. Das Resultat wird sich später als ein Spezialfall des Satzes von Seifert-van
Kampen 4.4.1 erweisen.
Beweis. Sei X = U ∪ V unser Raum mit seiner Überdeckung und x ∈ U ∩ V fest
gewählt. Nach Übung 3.2.24 reicht es zu zeigen, daß π1 (X, x) trivial ist. Sei dazu
γ ∈ Ω(X, x) ein geschlossener Weg. Nach dem Überdeckungssatz von Lebesgue
1.12.9 gibt es eine Unterteilung des Einheitsintervalls 0 = a0 < a1 < . . . < an =
1 derart, daß [ai−1 , ai ] unter γ stets ganz in U oder ganz in V landet. Insbesondere
gilt γ(ai ) ∈ U ∩ V und wir finden für 0 ≤ i ≤ n Wege βi , die in U ∩ V von x
nach γ(ai ) laufen. Bezeichne nun γi : [0, 1] → X den „auf dem Intervall [ai−1 , ai ]
∼
reparametrisierten“ Weg γi := γ ◦ vi für vi : [0, 1] → [ai−1 , ai ] die Restriktion der
affinen Abbildung mit vi (0) = ai−1 und vi (1) = ai . Nach 3.2.8 ist γ homotop zu
γn ∗γn−1 ∗. . .∗γ2 ∗γ1 , wobei wir iterierte Hintereinanderhängungen als „von hinten
106
beginnend zusammengeklammert“ verstehen wollen, und nach Lemma 3.2.16 ist
das weiter homotop zu
β̄n ∗ γn ∗ βn−1 ∗ β̄n−1 ∗ γn−1 ∗ βn−2 ∗ β̄n−2 ∗ . . . ∗ γ2 ∗ β1 ∗ β̄1 ∗ γ1 ∗ β0
Da aber nach Annahme β̄i ∗γi ∗βi−1 jeweils ganz in U oder ganz in V verläuft und
somit homotop ist zum konstanten Weg εx , muß dann auch die ganze Verknüpfung
homotop sein zum konstanten Weg εx .
Korollar 3.2.20. Die Sphären S n sind für n ≥ 2 wegweise einfach zusammenhängend.
Beweis. Entfernen wir für n ≥ 0 aus S n einen Punkt, so erhalten wir einen topologischen Raum, der homöomorph ist zu Rn vermittels einer stereographischen
Projektion, und der insbesondere wegweise einfach zusammenhängend ist. Nehmen wir U das Komplement eines Punktes und V das Komplement eines anderen
Punktes, so ist S n = U ∪ V eine offene Überdeckung. Ab n ≥ 2 ist außerdem
U ∩ V wegzusammenhängend, und dann greift unser Spezialfall 3.2.18 des Satzes
von van Kampen.
3.2.21. Daß jeder Weg in einer n-Sphäre für n ≥ 2, der nicht surjektiv ist, bereits
zusammenziehbar sein muß, zeigt man leicht mit einer geeigneten stereographischen Projektion. Es gibt jedoch auch in höherdimensionalen Sphären surjektive
Wege, vergleiche etwa die Hilbertkurve ??.
Vorschau 3.2.22. Die Poincaré-Vermutung besagt, daß jede wegweise einfach
zusammenhängende topologische kompakte 3-Mannigfaltigkeit ohne Rand homöomorph ist zur dreidimensionalen Sphäre S 3 . Sie wurde 2002 mit analytischen
Methoden von G. Perelman bewiesen.
3.2.23 (Funktorialität der Fundamentalgruppe). Sei f : (X, x) → (Y, y) ein
Morphismus bepunkteter Räume, als da heißt eine stetige Abbildung f : X →
Y mit f (x) = y. So definiert man einen Homomorphismus der Fundamentalgruppen π1 (f ) = f] durch die Vorschrift
π1 (f ) = f] : π1 (X, x) → π1 (Y, y)
[α]
7→ [f ◦ α]
Diese Abbildung ist wohldefiniert, da nach 3.2.7 Bilder homotoper Wege homotop
sind. Sie ist ein Gruppenhomomorphismus, da stets gilt f ◦ (α ∗ β) = (f ◦ α) ∗
(f ◦ β). Offensichtlich haben wir id] = id und (g ◦ f )] = g] ◦ f] wann immer
f : (X, x) → (Y, y) und g : (Y, y) → (Z, z) Morphismen bepunkteter Räume
sind. In der Terminologie, die in 7.2.1 eingeführt wird, ist die Fundamentalgruppe
demnach ein „Funktor von der Kategorie der bepunkteten topologischen Räume
in die Kategorie der Gruppen“.
107
Übungen
Übung 3.2.24. Ein topologischer Raum ist wegweise einfach zusammenhängend
genau dann, wenn er wegzusammenhängend ist und seine Fundamentalgruppe in
Bezug auf einen und gleichbedeutend jeden Basispunkt trivial ist.
Übung 3.2.25 (Komplemente von Geradenstücken im Raum). Sei I ⊂ Rn abgeschlossen und eine echte Teilmenge eines Untervektorraums der Kodimension 2. So ist die Fundamentalgruppe des Komplements von I trivial, in Formeln
π1 (Rn \I, p) = 1 für jeden Punkt p des Komplements. Hinweis: Ohne Beschränkung der Allgemeinheit gelte ∅ 6= I ( 0 × Rn−2 . Jetzt lasse man die Sonne aus
der Richtung der positiven ersten Koordinatenachse leuchten und betrachte die
Menge U+ aller Punkte, die nicht auf A oder im Schatten von A liegen, also
V
U+ := {(x1 , . . . , xn ) | x1 ≤ 0 ⇒ (0, x2 , x3 , . . . , xn ) 6∈ A}
Ähnlich erkläre man U− durch Beleuchtung aus der Richtung der negativen ersten Koordinatenachse. So erhalten wir eine Überdeckung unseres Komplements
durch zwei zusammenziehbare offene Teilmengen mit wegzusammenhängendem
Schnitt. Ein Argument, das ohne die Bedingung I abgeschlossen auskommt, findet man in 3.7.10.
Übung 3.2.26. Sei X ein topologischer Raum mit einer Verknüpfung X ×X → X
und sei e ∈ X ein neutrales Element. Man zeige, daß unter diesen Annahmen die
Fundamentalgruppe π1 (X, e) kommutativ ist.
Ergänzende Übung 3.2.27 (Endlich erzeugte Fundamentalgruppen). Man zeige: Die Fundamentalgruppe einer bepunkteten kompakten Mannigfaltigkeit ist
stets endlich erzeugt. Hinweis: Bezeichne B = {v ∈ Rn | kvk < 1} den 1Ball um den Ursprung und B̄ = {v ∈ Rn | kvk ≤ 1} seinen Abschluß. Für unsere
Mannigfaltigkeit X wähle man stetige Karten ϕ1 , . . . , ϕr : Rn → X derart, daß
die ϕi (B) schon X überdecken. Für jedes Paar von Indizes i, j mit i 6= j wähle
man eine endliche Überdeckung des Schnitts ϕi (B̄)∩ϕj (B̄) durch zusammenhängende offene Teilmengen Uijν von ϕi (Rn ) ∩ ϕj (Rn ). Für jedes ν wähle man einen
Weg γijν von ϕj (0) nach ϕi (0), der erst innerhalb von ϕj (Rn ) nach Uijν läuft und
dann innerhalb von ϕi (Rn ) nach ϕi (0). Seien βi Wege von p := ϕ1 (0) nach ϕi (0)
mit der einzigen Einschränkung, daß β1 der konstante Weg sein soll. So erzeugen
die Verknüpfungen β̄i ∗ γijν ∗ βj die Fundamentalgruppe π1 (X, p).
Ergänzende Übung 3.2.28 (Abzählbare Fundamentalgruppen). Man zeige: Die
Fundamentalgruppe einer bepunkteten separablen Mannigfaltigkeit ist stets abzählbar. Hinweis: Man orientiere sich an den Hinweisen zur vorhergehenden Übung
3.2.27.
108
3.3
Die Fundamentalgruppe der Kreislinie
Satz 3.3.1 (Fundamentalgruppe der Kreislinie). Die Fundamentalgruppe der
Kreislinie S 1 := {z ∈ C | |z| = 1} ist isomorph zur additiven Gruppe der ganzen
Zahlen. Genauer ist die Abbildung, die jeder ganzen Zahl n ∈ Z die Homotopieklasse des Weges [0, 1] → S 1 , t 7→ exp(2πint) zuordnet, ein Isomorphismus
∼
Z → π1 (S 1 , 1)
n 7→ [t 7→ exp(2πint)]
3.3.2. Unter der Umlaufzahl eines Weges γ ∈ Ω(S 1 , 1) versteht man das Urbild
seiner Homotopieklasse [γ] unter diesem Isomorphismus. In anderen Worten ist
also die Umlaufzahl von γ diejenige ganze Zahl n ∈ Z, für die γ homotop ist zum
Weg t 7→ exp(2πint).
3.3.3 (Umlaufzahl und Orientierung). Ist allgemeiner V ein zweidimensionaler
reeller euklidischer Vektorraum und S ⊂ V die Menge aller Vektoren der Länge
Eins und v ∈ S ein beliebiger Basispunkt, so können wir jeder Orientierung ε von
V einen Isomorphismus
∼
iε : Z → π1 (S, v)
zuordnen durch die Vorschrift, daß n ∈ Z die Homotopieklasse des Weges t 7→
cos(2πnt)v + sin(2πnt)w zugeordnet wird, für (v, w) die Ergänzung des Vektors
v zu einer orientierten angeordneten Orthonormalbasis von V . Für die entgegengesetzte Orientierung gilt dann i−ε (n) = iε (−n).
Ergänzung 3.3.4. Arbeiten wir mit einem Körper C von vergesslichen komplexen Zahlen im Sinne von [LA1] ??, so liefert uns die obige Konstruktion genau
∼
genommen nur einen kanonischen Isomorphismus 2π i Z → π1 (S 1 , 1), der jedem
a ∈ ker(exp) = 2π i Z eben den normierten Weg t 7→ exp(ta) zuordnet. Man notiert diese Gruppe auch Z(1) = ZC (1) := ker(exp) und nennt sie den Tate-Twist
von Z.
Beweis. Zur Vereinfachung betrachten wir die Abbildung
Exp : R → S 1
t 7→ cos(2πt) + i sin(2πt)
Mit der Euler’schen Formel können wir auch schreiben Exp(t) = exp(2πit). Das
erklärt erstens unsere Notation und zweitens sieht man so leichter, daß Exp ein
Gruppenhomomorphismus ist von der additiven Gruppe der reellen Zahlen in die
multiplikative Gruppe der komplexen Zahlen der Länge 1. Anschaulich wickelt
Exp die reelle Gerade auf die Kreislinie auf und aufgrund des Faktors 2π haben
109
wir Exp−1 (1) = Z. In dieser Notation erhält die Abbildungsvorschrift aus unserem Satz die Gestalt
n 7→ [t 7→ Exp(nt)]
Als erstes zeigen wir nun, daß sie einen Gruppenhomomorphismus definiert. Gegeben m, n ∈ Z bezeichnen wir mit (m + n·) den normierten Weg t 7→ m + nt
aus Ω(R, m + n, m). Da je zwei Wege in R mit denselben Endpunkten homotop
sind, haben wir
(n + m·) ∗ (n·) ' ((m + n)·)
Diese Homotopie bleibt bestehen, wenn wir beide Seiten mit Exp verknüpfen.
Dies Exp dürfen wir dann auf die beiden Faktoren des ∗-Produkts verteilen, und
wegen Exp ◦(n + m·) = Exp ◦(m·) erkennen wir, daß unsere Abbildungsvorschrift n 7→ [Exp ◦(n·)] in der Tat einen Gruppenhomomorphismus definiert. Um
zu zeigen, daß er ein Isomorphismus ist, konstruieren wir eine inverse Abbildung.
Der erste Schritt dazu ist die folgende Definition.
Definition 3.3.5. Ist Y ein topologischer Raum und f : Y → S 1 eine stetige
Abbildung, so heißt eine stetige Abbildung f˜ : Y → R mit Exp ◦f˜ = f auch ein
Lift oder eine Hochhebung von f .
Lemma 3.3.6. Seien Y zusammenhängend, f : Y → S 1 eine stetige Abbildung
und f˜, fˆ : Y → R zwei Lifts von f . So gibt es k ∈ Z mit fˆ(y) = f˜(y) + k für alle
y ∈Y.
Beweis. Sicher gilt Exp(f˜(y) − fˆ(y)) = 1, also f˜(y) − fˆ(y) ∈ Z für alle y ∈ Y .
Ist nun Y zusammenhängend, so muß f˜(y) − fˆ(y) nach 2.3.8 konstant sein.
Lemma 3.3.7. Jede stetige Abbildung f : [0, 1] → S 1 besitzt einen Lift.
∼
Beweis. Unser Exp liefert Homöomorphismen Expx : (x, x+1) → S 1 \{Exp(x)}
für alle x ∈ R, siehe Übung 2.5.19. Ist also f nicht surjektiv, liegt sagen wir
˜
Exp(x) nicht in seinem Bild, so ist Exp−1
x ◦f = f ein Lift und wir sind fertig.
Weil nun f gleichmäßig stetig ist, finden wir 0 = a0 < a1 < a2 < . . . < ak = 1
derart, daß f auf allen Teilintervallen [ai−1 , ai ] nicht surjektiv ist. Wir wählen nun
Lifts f˜i von f |[ai−1 , ai ] für i = 1, . . . , k und können diese Lifts durch Addition
von Elementen von Z so abändern, daß stets gilt f˜i (ai ) = f˜i+1 (ai ). Dann definieren wir f˜ durch f˜|[ai , ai+1 ] = f˜i und sind fertig.
Lemma 3.3.8. Jede stetige Abbildung f : [0, 1]2 → S 1 besitzt einen Lift.
Beweis. Wir zerlegen zunächst unser Quadrat [0, 1]2 in so kleine Schachfelder,
daß das Bild keines unserer Felder ganz S 1 ist. Die Einschränkung von f auf jedes
dieser Felder läßt sich wie im Beweis zuvor leicht liften. Als nächstes konzentrieren wir uns auf eine Zeile von Schachfeldern und ändern in dieser Zeile unsere
110
Lifts so um Konstanten aus Z ab, daß sie auf dem Schnitt benachbarter Felder
zusammenpassen. So erhalten wir einen Lift auf der ganzen Zeile. Das machen
wir für jede Zeile, passen dann diese Lifts wieder aneinander an, und erhalten so
schließlich einen Lift auf unserem ganzen Quadrat.
3.3.9. Sei x ∈ S 1 ein beliebiger Basispunkt. Für jeden geschlossenen Weg α ∈
Ω(S 1 , x) definieren wir seine Lift-Umlaufzahl Um(α) ∈ Z durch
Um(α) := α̃(1) − α̃(0)
für einen und jeden Lift α̃ von α. Am Ende des Beweises werden wir sehen, daß
diese Lift-Umlaufzahl mit der in 3.3.2 definierten Umlaufzahl übereinstimmt, aber
bis dahin brauchen wir für dieses Konzept noch eine eigene Bezeichnung.
Proposition 3.3.10. Geschlossene Wege in der Kreislinie sind homotop genau
dann, wenn sie dieselbe Lift-Umlaufzahl haben. In Formeln gilt für Wege α, β ∈
Ω(S 1 , 1) also
α ' β ⇔ Um(α) = Um(β)
Beweis. ⇒) Zu jeder Homotopie h : α ' β finden wir mit Lemma 3.3.8 einen
Lift h̃. Sicher ist h̃ auf der Unterkante des Einheitsquadrats ein Lift α̃ von α, auf
der Oberkante ein Lift β̃ von β, und auf der Vorder- und Hinterkante muß h̃ wie h
konstant sein. Insbesondere haben wir α̃(0) = β̃(0) und α̃(1) = β̃(1) und damit
folgt Um(α) = Um(β).
⇐) Die Gleichheit der Umlaufzahlen Um(α) = Um(β) bedeutet, daß je zwei
Lifts α̃ und β̃ von α und β mit demselben Anfangspunkt auch denselben Endpunkt
haben. Als Wege in R mit demselben Anfangs- und demselben Endpunkt sind
dann aber besagte Lifts α̃ und β̃ homotop nach 3.2.6, und da Bilder homotoper
Wege homotop sind nach 3.2.7 folgt α ' β.
Unsere Abbildung Um : Ω(S 1 , 1) → Z induziert nach 3.3.10 eine Injektion
Um : π1 (S 1 , 1) ,→ Z
Es reicht zu zeigen, daß sie linksinvers ist zur Abbildung aus unserem Satz. In der
Tat prüft man ohne Schwierigkeiten Um[Exp ◦(n·)] = n.
3.3.11 (Fundamentalgruppe der punktierten Ebene). Geht man alle Argumente dieses Abschnitts nocheinmal durch, so sieht man, daß wir überall statt S 1 genausogut C× schreiben können, wenn wir statt Exp : R → S 1 eben Exp : C →
C× betrachten. Wieder besitzt jeder Weg γ : [0, 1] → C× einen Lift, der bis auf
111
eine additive Konstante k ∈ Z eindeutig bestimmt ist, und wieder erhalten wir
einen Isomorphismus
∼
Z → π1 (C× , 1)
n 7→ [t 7→ exp(2πint)]
und dessen Inverses durch die Lift-Umlaufzahl beschrieben. In 5.1.1 folgende
werden wir sogenannte Überlagerungen betrachten, der sich diese beiden Situationen als Spezialfälle unterordnen.
Übungen
Übung 3.3.12. Sei (X, x) ein bepunkteter Raum. Ist α ∈ Ω(X, x) ein geschlossener Weg, so gibt es genau eine stetige Abbildung α̂ : S 1 → X mit α = α̂ ◦ Exp,
und die Verknüpfung von α̂] : π1 (S 1 , 1) → π1 (X, x) mit dem Isomorphismus
∼
Z → π1 (S 1 , 1) aus unserem Satz 3.3.1 wird gegeben durch n 7→ [α]n .
Übung 3.3.13. Die Abbildung [n] : S 1 → S 1 , z 7→ z n induziert auf der Fundamentalgruppe π1 (S 1 , 1) die Abbildung c 7→ cn in multiplikativer Schreibweise,
also [n]] : c 7→ nc in additiver Schreibweise.
Übung 3.3.14. Ist Y ein kartesisches Produkt von endlich vielen reellen Intervallen, so besitzt jede stetige Abbildung Y → S 1 einen Lift.
Übung 3.3.15. Man zeige: Ein geschlossener Weg γ : [0, 1] → C× mit γ(0) =
γ(1) in R>0 und der Eigenschaft, daß es a ∈ (0, 1) gibt mit γ(a) ∈ R<0 und
Im(γ(t)) ≥ 0 ∀t ∈ [0, a] und Im(γ(t)) ≤ 0 ∀t ∈ [a, 1], hat die Umlaufzahl Eins
um den Ursprung.
3.4
Anwendungen und Beispiele
Satz 3.4.1 (Retraktionen einer Kreisscheibe auf ihren Rand). Es gibt keine
stetige Abbildung von einer abgeschlossenen Kreisscheibe auf ihren Randkreis,
deren Einschränkung auf besagten Randkreis die Identität ist.
Beweis. Bezeichne D = {z ∈ R2 | kzk ≤ 1} die abgeschlossene Einheitskreisscheibe und S 1 = {z ∈ R2 | kzk = 1} ihren Randkreis. Wir führen den
Beweis durch Widerspruch und nehmen an, es gäbe solch eine stetige Abbildung
r : D → S 1 mit r(z) = z für alle z ∈ S 1 . Bezeichne i : S 1 ,→ D die Einbettung.
Wir hätten also ein kommutatives Diagramm von topologischen Räumen
i /
D
AA
AA
A
r
id AA S1A
S1
112
und erhielten nach 3.2.23 mit π1 ein kommutatives Diagramm von Gruppen
i
]
/ π1 (D, 1)
MMM
MMM
r]
MMM
id
M&
π1 (S 1 , 1)
π1 (S 1 , 1)
Das ist aber unmöglich, da ja gilt π1 (D, 1) ∼
= 1 nach 3.2.6 und π1 (S 1 , 1) ∼
= Z
nach 3.3.1.
Satz 3.4.2 (Fixpunktsatz von Brouwer für die Kreisscheibe). Jede stetige Abbildung von der abgeschlossenen Einheitskreisscheibe in sich selbst hat einen Fixpunkt.
Beweis. Sei f : D → D unsere stetige Selbstabbildung der Einheitskreisscheibe
D. Wäre f : D → D stetig mit f (x) 6= x für alle x ∈ D, so könnten wir eine
Abbildung r : D → S 1 der Einheitskreisscheibe auf ihren Rand S 1 definieren
durch die Vorschrift, daß sie jedem x ∈ D denjenigen Punkt r(x) ∈ S 1 zuordnet, „in dem der Strahl, der in f (x) beginnt und durch x läuft, die Kreislinie S 1
trifft“. Offensichtlich wäre r stetig und r(z) = z für alle z ∈ S 1 , als da heißt,
r wäre eine Rektraktion der Kreisscheibe auf ihren Rand, im Widerspruch zum
vorhergehenden Satz 3.4.1.
Satz 3.4.3 (vom Igel). Es gibt keine stetige Selbstabbbildung der Kugelschale
κ : S 2 → S 2 derart, daß κ(x) senkrecht steht auf x für alle x ∈ S 2 .
3.4.4. Man stelle sich vor, die Abbildung κ ordne jedem Punkt x auf der Außenfläche eines kugelförmig zusammengerollten Igels die Richtung κ(x) des dort
entspringenden Stachels zu. Die Bedingung „κ(x) steht senkrecht auf x“ bedeutet, daß die Stacheln flach anliegen müssen, und unser Satz sagt, daß sich ein Igel
nicht „wirbelfrei kämmen läßt“. Man beachte jedoch, daß sich ein „Igel von der
Form eines Rettungsrings“ durchaus wirbelfrei kämmen läßt. Einen eleganteren
Beweis einer allgemeineren Aussage werden wir mit singulärer Homologie in ??
geben können.
Beweis. Wir zeigen das durch Widerspruch und nehmen also an, es gäbe so eine
Kämmung κ. Bezeichne S+2 bzw. S−2 die nördliche bzw. südliche abgeschlossene
Hemisphäre und S 1 = S+2 ∩ S−2 den Äquator. Für p ∈ S+2 bezeichne Rp+ die
Rotation mit Rotationsachse in der Äquatorebene, die p auf den Nordpol (0, 0, 1)
dreht. Dann ist p 7→ Rp+ (κ(p)) eine stetige Abbildung κ+ : S+2 → S 1 . Analog
definieren wir κ− : S−2 → S 1 . Offensichtlich gilt für alle p auf dem Äquator
p ∈ S 1 die Beziehung
κ+ (p) = sp (κ− (p)),
113
Die Retraktion r aus dem Beweis des Fixpunktsatzes von Brouwer
114
wo sp : S 1 → S 1 die Spiegelung an der zu p senkrechten Geraden in der Äquatorebene bezeichnet, die also p auf −p abbildet. Fassen wir S 1 ⊂ C auf als die
komplexen Zahlen der Länge 1, so wird die Abbildung s : S 1 × S 1 → S 1 ,
(p, x) 7→ sp (x) beschrieben durch die Formel (p, x) 7→ −p2 x−1 . Wir erhalten
also
−κ+ (p)κ− (p) = p2 ∀p ∈ S 1
Das ist aber unmöglich, denn p 7→ p2 induziert auf π1 (S 1 , 1) nach 3.3.13 die
Multiplikation mit 2, wohingegen die linke Seite auf π1 (S 1 , 1) eine konstante
Abbildung liefert: In der Tat läßt sich die stetige Abbildung S 1 → S 1 , p 7→
−κ+ (p)κ− (p) ja faktorisieren in
∆
κ+ ×κ−
mult
(−1)
S 1 −→ (S+2 × S−2 ) −→ (S 1 × S 1 ) −→ S 1 −→ S 1
mit ∆(z) = (z, z), und die Fundamentalgruppe von (S+2 ×S−2 ) ist trivial, da dieser
Raum homöomorph ist zur konvexen Teilmenge D×D ⊂ R4 . Dieser Widerspruch
beendet den Beweis.
Übungen
Übung 3.4.5 (Jeder Mensch hat einen Haarwirbel). Wir gehen dabei davon aus,
daß die Haare am Rand des Haarwuchses alle nach unten wachsen. Man zeige:
Es gibt keine stetige Abbildung κ : S+2 → S 2 von der oberen Hemisphäre in
die Sphäre, die den Äquator in die untere Hemisphäre abbildet und so, daß κ(x)
senkrecht steht auf x für alle x ∈ S+2 .
Übung 3.4.6 (Unmöglichkeit komplexer Wurzelfunktionen). Sie haben in ??
bereits gezeigt, daß es nicht möglich ist, in stetiger Weise zu jeder komplexen
Zahl eine Wurzel zu wählen, daß es also keine stetige Abbildung w : C → C
gibt mit w(z)2 = z ∀z ∈ C. Man gebe einen alternativen Beweis mit den im
Vorgehenden entwickelten Hilfsmitteln.
Übung 3.4.7 (Die Fundamentalgruppe von einem Produkt). Man zeige: Für
zwei bepunktete Räume (X, x) und (Y, y) induzieren die beiden Projektionen pr1
und pr2 von X × Y auf X und Y einen Isomorphismus
∼
(π1 (pr1 ), π1 (pr2 ))> : π1 (X × Y, (x, y)) → π1 (X, x) × π1 (Y, y)
und dessen Inverses wird gegeben durch (π1 (idX , y), π1 (x, idY )) mit der Notation
(idX , y) für die Abbildung X → X × Y gegeben durch x 7→ (x, y). Der Rettungsring S 1 × S 1 hat also für jeden Basispunkt die Fundamentalgruppe Z × Z.
Anschaulich liefert ja auch jeder geschlossene Weg auf dem Rettungsring zwei
Umlaufzahlen: „Wie oft der Weg um die Luftkammer läuft“ und „Wie oft er um
den hypothetischen Matrosen im Ring läuft“.
115
3.5
Homotopie
Definition 3.5.1. Seien f, g : Y → X stetige Abbildungen. Eine Homotopie von
f nach g ist eine stetige Abbildung
H : Y × [0, 1] → X
derart, daß gilt H(y, 0) = f (y) und H(y, 1) = g(y) für alle y ∈ Y . Man sagt, f
ist homotop zu g und schreibt f ' g genau dann, wenn es eine Homotopie von f
nach g gibt.
3.5.2. Dieser Begriff von Homotopie deckt sich für Wege nicht mit unserem Begriff aus 3.2.4, der genauer Homotopie mit festen Randpunkten heißt. Es gibt
jedoch eine gemeinsame Verallgemeinerung, bei der man zusätzlich eine Teilmenge Z ⊂ Y festlegt und fordert, daß H(z, τ ) für z ∈ Z von τ unabhängig
sein soll. Zwei Abbildungen f, g : Y → X, die in dieser Weise homotop sind
und damit natürlich auf Z übereinstimmen müssen, heißen homotop relativ zu
Z. Für Y = [0, 1] und Z = {0, 1} erhält man dann unsere Homotopie mit festen
Randpunkten als Spezialfall.
Proposition 3.5.3. Gegeben topologische Räume X, Y ist die Relation ' eine
Äquivalenzrelation auf der Menge Top(X, Y ) aller stetigen Abbildungen von X
nach Y .
Beweis. Wir überlassen den Nachweis der Symmetrie und Reflexivität dem Leser
und zeigen nur die Transitivität (f ' g und g ' h) ⇒ f ' h. Seien F, G
Homotopien von f nach g bzw. von g nach h. So definiert man eine Homotopie
H von f nach h durch
F (x, 2τ )
0 ≤ τ ≤ 1/2;
H(x, τ ) =
G(x, 2τ − 1) 1/2 ≤ τ ≤ 1.
Definition 3.5.4. Die Äquivalenzklasse einer stetigen Abbildung f bezeichnen
wir mit [f ] und nennen sie die Homotopieklasse von f . Gegeben topologische
Räume X, Y bezeichnen wir mit Hot(X, Y ) die Menge der Homotopieklassen
von stetigen Abbildungen von X nach Y . In der Literatur ist hierfür auch die
Notation [X, Y ] gebräuchlich.
3.5.5. Hier ist Vorsicht geboten, denn für Wege α hat nun das Symbol [α] zwei
verschiedene Bedeutungen. Im Zweifelsfall ist bei Wegen immer die Homotopieklasse von α unter Homotopie mit festen Randpunkten gemeint.
Beispiel 3.5.6. Sei D ⊂ Rn eine konvexe Teilmenge und Y ein beliebiger topologischer Raum. So sind je zwei stetige Abbildungen f, g : Y → D homotop. In
der Tat ist H(y, τ ) = τ f (y) + (1 − τ )g(y) eine Homotopie.
116
Proposition 3.5.7. Seien f, g : Y → X stetige homotope Abbildungen, in Formeln f ' g. So gilt auch h ◦ f ' h ◦ g für jede stetige Abbildung h : X → Z und
f ◦ h ' g ◦ h für jede stetige Abbildung h : Z → Y .
Beweis. Ist H : Y × [0, 1] → X eine Homotopie von f nach g, so ist die Abbildung h ◦ H : Y × [0, 1] → Z eine Homotopie von h ◦ f nach h ◦ g und die
Abbildung H ◦(h×id) : Z ×[0, 1] → X eine Homotopie von f ◦h nach g ◦h.
3.5.8. Da nach Proposition 3.5.7 die Homotopieklasse einer Verknüpfung von stetigen Abbildungen nur von den Homotopieklassen der verknüpften Abbildungen
abhängt, können wir eine Verknüpfung von Homotopieklassen definieren durch
die Vorschrift [f ] ◦ [g] = [f ◦ g].
3.6
Kategorien und Funktoren
3.6.1. An dieser Stelle möchte ich damit beginnen, in die Sprache der Kategorien
und Funktoren einzuführen, die auch in 7 in größerer Ausführlichkeit und vor
einem anderen Hintergrund besprochen wird.
Definition 3.6.2. Eine Kategorie C ist ein Datum bestehend aus:
a. einer Menge von Objekten Ob C;
b. einer Menge C(X, Y ) von Morphismen für je zwei Objekte X, Y ∈ Ob C;
c. einer Abbildung C(X, Y ) × C(Y, Z) → C(X, Z), (f, g) 7→ g ◦ f für je drei
Objekte X, Y, Z ∈ C, genannt die Verknüpfung von Morphismen,
derart, daß folgende Axiome erfüllt sind:
1. Die Morphismenmengen sind paarweise disjunkt;
2. Die Verknüpfung ist assoziativ, d.h. es gilt (f ◦ g) ◦ h = f ◦ (g ◦ h) für
Morphismen f, g und h, wann immer diese Verknüpfungen sinnvoll sind;
3. Für jedes Objekt X ∈ Ob C gibt es einen Morphismus idX ∈ C(X, X), die
Identität auf X, so daß gilt idX ◦f = f und g ◦ idX = g für Morphismen f
und g wann immer diese Verknüpfungen sinnvoll sind. Die üblichen Argumente zeigen, daß es für jedes X höchstens einen derartigen Morphismus
geben kann, womit auch die Verwendung des bestimmten Artikels gerechtfertigt wäre.
117
3.6.3. Seien C eine Kategorie und X, Y ∈ Ob C Objekte. Statt f ∈ C(X, Y ) sagen
wir auch, f sei ein Morphismus von X nach Y und schreiben kurz
f :X→Y
Statt idX schreiben wir oft nur id. Statt X ∈ Ob C schreiben wir oft kürzer X ∈ C.
Statt C(X, X) schreibe ich gerne kürzer C(X) und nenne diese Menge mit ihrer
Verknüpfung das Monoid der Endomorphismen von X.
Beispiel 3.6.4 (Die Kategorie der topologischen Räume). Als erstes Beispiel
hätte ich gerne die Kategorie C = Top aller topologischen Räume eingeführt,
mit topologischen Räumen als Objekten und stetigen Abbildungen als Morphismen. Das ist jedoch nicht ohne weiteres möglich, da einerseits die „Gesamtheit
aller Mengen“ nach ?? nicht als Menge angesehen werden darf, und da wir andererseits von unseren Kategorien stets annehmen, daß ihre Objekte eine Menge
bilden sollen. Um diese Untiefen der Logik zu umschiffen, betrachten wir feiner
ein Mengensystem U alias eine Menge U von Mengen und die Kategorie
UTop
aller topologischen Räume X, die als Menge betrachtet Elemente unseres Mengensystems U sind, in Formeln X ∈ U. Meist wird das Mengensystem U in der
Notation dann aber doch weggelassen und nur insgeheim dazugedacht. So wollen
wir es im folgenden meist auch halten.
3.6.5. In vielen Quellen fordert man stattdessen, daß die Objekte einer Kategorie
eine „Klasse“ bilden sollen. Mir gefällt die hier gegebene Formulierung besser,
da sie im Rahmen der Terminologie der Mengenlehre bleibt. Statt mit „Klassen“
werden wir zu gegebener Zeit mit „Universen“ arbeiten.
Beispiel 3.6.6 (Die Homotopiekategorie der topologischen Räume). Wir betrachten die Kategorie Hot aller topologischen Räume mit Homotopieklassen stetiger Abbildungen als Morphismen, also
Hot(X, Y ) := Top(X, Y )/ '
Die Verknüpfung von Abbildungen kommt dabei von 3.5.8 her. Die Axiome einer
Kategorie sind offensichtlich erfüllt. Für die Menge der Homotopieklassen von
Abbildungen zwischen zwei Räumen ist auch die Notation Hot(X, Y ) = [X, Y ]
gebräuchlich.
Beispiel 3.6.7 (Die Kategorie der Mengen). Wir betrachten die Kategorie aller
Mengen Ens oder genauer die Kategorie
UEns
118
aller Mengen X ∈ U für ein vorgegebenes Mengensystem U. Ihre Objekte sind
beliebige Mengen X ∈ U. Für zwei Mengen X, Y ∈ U ist die Morphismenmenge
Ens(X, Y ) die Menge aller Abbildungen von X nach Y . Die Verknüpfung ordnet
jedem Paar (f, g) von Abbildungen ihre Komposition g ◦f zu, und idX ∈ Ens(X)
ist schlicht die identische Abbildung idX (x) = x ∀x ∈ X.
Beispiel 3.6.8 (Die Kategorie der Gruppen). Wir betrachten die Kategorie Grp
aller Gruppen mit Gruppenhomomorphismen als Morphismen.
Definition 3.6.9.
1. Ein Morphismus f ∈ C(X, Y ) in einer Kategorie heißt
ein Isomorphismus oder Iso und als Adjektiv iso genau dann, wenn es
einen Morphismus g ∈ C(Y, X) gibt mit f ◦ g = idY und g ◦ f = idX . Wir
∼
notieren Isomorphismen oft f : X → Y .
2. Zwei Objekte X und Y einer Kategorie heißen isomorph genau dann, wenn
∼
es einen Iso f : X → Y gibt. Man schreibt dann auch kurz X ∼
= Y.
Beispiele 3.6.10. Isomorphismen in der Kategorie der Mengen nennt man Bijektionen, Isomorphismen in der Kategorie der topologischen Räume Homöomorphismen, Isomorphismen in der Kategorie der Gruppen Isomorphismen von
Gruppen. Stetige Abbildungen, die Isomorphismen in der Homotopiekategorie
der topologischen Räume repräsentieren, heißen Homotopieäquivalenzen. Zwei
topologische Räume heißen homotopieäquivalent genau dann, wenn es eine Homotopieäquivalenz vom einen zum anderen gibt. Ein Raum X heißt zusammenziehbar genau dann, wenn er homotopieäquivalent ist zu einem Punkt.
3.6.11. Ausgeschrieben bedeutet „zusammenziehbar“ also: Es gibt einen Punkt
x0 ∈ X und eine stetige Abbildung H : X × [0, 1] → X mit H(x, 0) = x0 ,
H(x, 1) = x für alle x ∈ X. Zum Beispiel ist jede konvexe Menge D ⊂ Rn
zusammenziehbar.
3.6.12. Eine Kategorie, in der jeder Morphismus ein Isomorphismus ist, heißt
ein Gruppoid. Man erklärt zu jedem topologischen Raum X eine Kategorie, das
fundamentale Gruppoid W = WX = W(X) unseres Raums X, wie folgt:
Seine Objekte sind die Punkte von X und die Morphismenmenge W(x, y) besteht
aus allen Homotopieklassen von Wegen mit Anfangspunkt x und Endpunkt y, in
Formeln
W(x, y) := π1 (X, y, x)
Die Verknüpfung von Morphismen ist das Hintereinanderhängen von Wegen. Man
benutzt Lemma 3.2.16, um die Axiome einer Kategorie zu prüfen. Unsere Fundamentalgruppe π1 (X, x) ist genau das Monoid der Endomorphismen des Punktes
x im fundamentalen Gruppoid, in Formeln π1 (X, x) = WX (x).
Definition 3.6.13. Ein Funktor F : A → B von einer Kategorie A in eine Kategorie B ist ein Datum bestehend aus:
119
a. einer Abbildung F : Ob A → Ob B, X 7→ F X;
b. einer Abbildung F : A(X, Y ) → B(F X, F Y ), f 7→ F f für je zwei Objekte X, Y ∈ Ob A,
derart, daß gilt:
1. F (f ◦ g) = (F f ) ◦ (F g) für beliebige verknüpfbare Morphismen f und g
aus der Kategorie A;
2. F (idX ) = idF X für jedes Objekt X ∈ A.
Ich nenne in diesem Zusammenhang A die Ausgangskategorie und B die Zielkategorie des Funktors F .
3.6.14. Man gibt bei einem Funktor F meist nur die Abbildung X 7→ F X auf
den Objekten an in der Hoffnung, daß dadurch vom Leser erraten werden kann,
welche Abbildung f 7→ F f auf den Morphismen gemeint ist.
Beispiel 3.6.15 (Die Fundamentalgruppe als Funktor). Man betrachte die Kategorie Top∗ der bepunkteten topologischen Räume alias topologischen Räume mit
einem ausgezeichnetem Punkt, dem Basispunkt. Morphismen sind stetige Abbildungen, die den ausgezeichnetem Punkt in den ausgezeichnetem Punkt überführen. Das Bilden der Fundamentalgruppe ist dann ein Funktor
π1 : Top∗ → Grp
in folgendem Sinne: Jedem bepunkteten Raum (X, x) ∈ Top∗ wird ja darunter
eine Gruppe π1 (X, x) ∈ Grp zugeordnet, und jeder stetigen basispunkterhaltenden Abbildung f : (X, x) → (Y, y) ein Gruppenhomomorphismus f] = π1 (f ) :
π1 (X, x) → π1 (Y, y). Daß diese Konstruktion die Eigenschaften eines Funktors
hat, steht in 3.2.23. Jetzt haben wir allerdings den Ärger, daß für ein beliebig vorgegebenes Mengensystem U die Fundamentalgruppe keineswegs einen Funktor
π1 : UTop∗ → UGrp zu induzieren braucht. Diesem Ärger kann man jedoch entgehen, indem man annimmt, daß das zugrundeliegende Mengensystem ein „Universum“ im Sinne von 7.10.3 sein soll, vergleiche auch 7.10.6. Im weiteren will
ich dergleichen Feinheiten schlicht ignorieren.
Beispiel 3.6.16. Jede stetige Abbildung f : X → Y liefert einen Funktor zwischen den zugehörigen fundamentalen Gruppoiden f] : W(X) → W(Y ), der ein
Objekt x ∈ X auf das Objekt f (x) ∈ Y abbildet und einen Morphismus [γ] auf
den Morphismus [f ◦ γ].
Beispiel 3.6.17 (Wegzusammenhangskomponenten als Funktor). Das Bilden
der Menge der Wegzusammenhangskomponenten eines topologischen Raums ist
ein Funktor π0 : Top → Ens.
120
Übungen
Übung 3.6.18. Ein Morphismus f ∈ C(X, Y ) in einer Kategorie ist ein Isomorphismus genau dann, wenn es Morphismen g, h ∈ C(Y, X) gibt mit f ◦ g = idY
und h ◦ f = idX , und unter diesen Voraussetzungen gilt bereits g = h. Wir nennen
diesen Morphismus dann den inversen Morphismus zu f und notieren ihn f −1 .
Übung 3.6.19. Gegeben Morphismen f ∈ C(X, Y ) und g ∈ C(Y, X) in einer
Kategorie derart, daß f ◦ g und g ◦ f Isomorphismen sind, müssen f und g bereits
selbst Isomorphismen sein.
Übung 3.6.20. Sei C eine Kategorie und f : X → Y ein Morphismus. Man
zeige, daß f genau dann ein Isomorphismus ist, wenn das Vorschalten von f für
∼
jedes weitere Objekt Z eine Bijektion C(Y, Z) → C(X, Z) induziert. Man zeige
dual, daß f genau dann ein Isomorphismus ist, wenn das Nachsschalten von f für
∼
jedes weitere Objekt Z eine Bijektion C(Z, X) → C(Z, Y ) induziert. Genauere
Aussagen in dieser Richtung macht das sogenannte Yoneda-Lemma 7.9.2.
Übung 3.6.21. Man zeige, daß eine stetige Abbildung S n → X von einer Sphäre
in einen topologischen Raum X genau dann nullhomotop ist, wenn sie sich stetig
auf das Innere der Sphäre fortsetzen läßt.
Übung 3.6.22. Man zeige, daß eine stetige Abbildung f : S 1 → C× genau dann
eine Homotopieäquivalenz ist, wenn sie einen Isomorphismus auf den Fundamen∼
talgruppen π1 (S 1 , 1) → π1 (C× , f (1)) induziert.
Übung 3.6.23. Ist Y beliebig und X zusammenziehbar, so sind je zwei Abbildungen f, g : Y → X homotop. Ist zusätzlich Y wegzusammenhängend, so sind auch
je zwei Abbildungen X → Y homotop.
Übung 3.6.24. Jeder zusammenziehbare Raum ist wegzusammenhängend.
Übung 3.6.25. Die Einbettung S n ,→ Rn+1 \0 ist eine Homotopieäquivalenz.
Allgemeiner zeige man, daß für jeden Punkt y ∈ Rn+1 und jedes r ≥ 0 mit
r + kyk < 1 die Einbettung S n ,→ Rn+1 \A(y; r) eine Homotopieäquivalenz ist,
für A(y; r) = {x | kx − yk ≤ r} der abgeschlossene Ball. Ebenso zeige man,
daß für jeden Punkt y ∈ Rn+1 und jedes r > 0 mit r + kyk ≤ 1 die Einbettung
S n ,→ Rn+1 \B(y; r) eine Homotopieäquivalenz ist.
Übung 3.6.26 (Funktoren erhalten Isomorphie). Ein Funktor bildet stets Isomorphismen auf Isomorphismen ab. Insbesondere haben isomorphe Objekte unter
einem Funktor stets isomorphe Bilder.
Ergänzende Übung 3.6.27. Man betrachte die Homotopiekategorie bepunkteter Räume Hot∗ mit bepunkteten Räumen als Objekten und Homotopieklassen
für basispunkterhaltende Homotopie als Morphismen. So wird die Fundamentalgruppe, aufgefaßt als Funktor π1 : Hot∗ → Ens, dargestellt durch die bepunktete
121
Kreislinie. Die bepunktete Kreislinie kann im Übrigen versehen werden mit der
Struktur eines Gruppenobjekts in (Hot∗ )opp , und das liefert in diesem Kontext die
Gruppenstruktur auf π1 (X, x).
3.7
Homotopie und Fundamentalgruppe
3.7.1. Wir untersuchen nun den Zusammenhang zwischen Fundamentalgruppe
und Homotopie. Zunächst interessieren wir uns dafür, wie die Fundamentalgruppe
vom Basispunkt abhängt. Falls es keinen Weg von x nach y gibt, haben π1 (X, x)
und π1 (X, y) nichts miteinander zu tun. Gibt es aber einen Weg, so erhalten wir
isomorphe Gruppen. Genauer gilt:
Satz 3.7.2 (Wechsel des Basispunkts). Gegeben Punkte x, y eines topologischen
Raums X liefert jeder stetige Weg γ von x nach y einen Isomorphismus
∼
iγ : π1 (X, x) → π1 (X, y)
[α]
7→ [γ ∗ α ∗ γ̄]
3.7.3. Hier und im folgenden kürzen wir α∗(β∗γ) mit α∗β∗γ ab, für verknüpfbare
Wege α, β und γ. Wann immer wir diese Notation verwenden, wird es eh nicht
auf die Klammern ankommen, da wir Wege nur bis auf Homotopie betrachten.
Beweis. α ' α0 ⇒ γ ∗ α ∗ γ̄ ' γ ∗ α0 ∗ γ̄ nach Lemma 3.2.16, also ist iγ
wohldefiniert. Wegen γ̄ ∗γ ' εx und γ ∗γ̄ ' εy ist iγ̄ invers zu iγ und insbesondere
iγ eine Bijektion. Um zu prüfen, daß iγ auch ein Gruppenhomomorphismus ist,
rechnen wir
iγ ([α] ∗ [β])
=
[γ ∗ (α ∗ β) ∗ γ̄]
iγ ([α]) ∗ iγ ([β]) = [(γ ∗ α ∗ γ̄) ∗ (γ ∗ β ∗ γ̄)]
und sehen, daß auf der rechten Seite in der oberen und unteren Zeile dieselbe
Homotopieklasse steht.
Alternativer Beweis in der Sprache der Kategorien. Ist C eine Kategorie und γ :
∼
A → B ein Isomorphismus zwischen zwei Objekten, so erhalten wir offensichtlich einen Isomorphismus zwischen den zugehörigen Endomorphismenmonoiden
∼
iγ : C(A) → C(B)
durch die Vorschrift iγ : α 7→ γαγ −1 . Unser Satz 3.7.2 und sein Beweis spezialisieren nur diese a priori recht banale Erkenntnis zum Fall des fundamentalen
Gruppoids eines topologischen Raums.
122
Satz 3.7.4 (Homotopie und Fundamentalgruppe). Seien stetige Abbildungen
f, g : X → Y gegeben und sei H eine Homotopie von f nach g. Sei x ∈ X ein
fest gewählter Basispunkt und bezeichne γ den Weg γ(t) = H(x, t) von f (x) nach
g(x). So gilt g] = iγ ◦ f] , als da heißt, es kommutiert das Diagramm
f]
π1 (X, x) −→ π1 (Y, f (x))
k
o ↓ iγ
g]
π1 (X, x) −→ π1 (Y, g(x))
Beweis. Es gilt zu zeigen γ̄ ∗ (g ◦ α) ∗ γ ' (f ◦ α) für alle α ∈ Ω(X, x). Es reicht
dazu, eine Homotopie γ̄ ∗ (g ◦ α) ∗ γ ' ε ∗ (f ◦ α) ∗ ε anzugeben. Für τ ∈ [0, 1]
bezeichne Hτ : X → Y die Abbildung x 7→ H(x, τ ) und γτ ∈ Ω(Y, γ(τ ), γ(0))
das Anfangsstück γτ (t) = γ(tτ ) von γ. Die gewünschte Homotopie wird dann
geliefert von der Abbildung τ 7→ hτ = γ̄τ ∗ (Hτ ◦ α) ∗ γτ . Unsere Zwischenwege
bestehen also darin, daß wir erst γ ein Stück weit gehen, dann das mit der Homotopie deformierte f ◦ α herumgehen und anschließend wieder mit γ zurückgehen.
Wir überlassen dem Leser den Nachweis, daß diese Familie von Zwischenwegen
die von einer Homotopie geforderte Stetigkeitseigenschaft hat.
Definition 3.7.5. Eine Abbildung heißt nullhomotop genau dann, wenn sie homotop ist zu einer konstanten Abbildung.
Korollar 3.7.6 (Fundamentalgruppen homotopieäquivalenter Räume). Jede
Homotopieäquivalenz induziert einen Isomorphismus auf den Fundamentalgruppen. Jede nullhomotope Abbildung induziert die triviale Abbildung auf den Fundamentalgruppen. Die Fundamentalgruppe eines zusammenziehbaren Raums ist
trivial.
Beweis. Ist u eine Homotopieäquivalenz, so gibt es nach Definition eine Abbildung v in die andere Richtung mit u ◦ v ' id und v ◦ u ' id. Aus dem Satz
3.7.4 über Homotopie und Fundamentalgruppe folgt, daß dann (u ◦ v)] = u] ◦ v]
und (v ◦ u)] = v] ◦ u] Isomorphismen sind. Daraus folgt aber sofort, daß auch
u] und v] Isomorphismen sein müssen. Die anderen Aussagen des Korollars sind
offensichtlich.
Beispiel 3.7.7 (Fundamentalgruppe der punktierten Ebene). Wir können nun
ein weiteres Mal beweisen, daß die Fundamentalgruppe des Komplements eines
Punktes in der Ebene zu Z isomorph ist: Die Einbettung S 1 ,→ C× ist nämlich
nach 3.6.25 eine Homotopieäquivalenz und induziert folglich einen Isomorphismus auf den Fundamentalgruppen. In derselben Weise folgt, daß für x 6= y zwei
Punkte der komplexen Zahlenebene C der Weg t 7→ y + x exp(2πit) einen Erzeuger von π1 (C\y, x) repräsentiert. Ist allgemein γ : [0, 1] → C ein geschlossener
123
In jede Zusammenhangskomponente aus dem Komplement des hier gezeichneten
Weges habe ich hier die Umlaufzahl des besagten Weges um einen und jeden
Punkt aus besagter Zusammenhangskomponente geschrieben.
124
Weg in der komplexen Zahlenebene und y ∈ C\γ([0, 1]) ein Punkt, der nicht auf
besagtem Weg liegt, so erklären wir die Umlaufzahl
Um(γ, y)
von unserem Weg γ um unseren Punkt y als diejenige ganze Zahl n ∈ Z, für die
γ als Weg in C\y homotop ist zum Weg t 7→ y + (γ(0) − y) exp(2πint).
Proposition 3.7.8 (Stetigkeit der Umlaufzahl). Gegeben ein geschlossener Weg
γ : [0, 1] → C in der komplexen Zahlenebene liefert die Umlaufzahl eine stetige
Abbildung C\γ([0, 1]) → Z, y 7→ Um(γ, y), die auf der unbeschränkten Zusammenhangskomponente von C\γ([0, 1]) verschwindet.
Beweis. Gegeben eine offene Kreischeibe von endlichem Radius D ⊂◦ C und
y ∈ D ist C\D ,→ C\y eine Homotopieäquivalenz und induziert folglich einen
Isomorphismus auf den Fundamentalgruppen. Das zeigt, daß die Umlaufzahl von
γ um alle Punkte von D dieselbe sein muß, wenn D das Bild von γ nicht trifft
und die Kreisscheibe mit doppeltem Radius γ(0) nicht enthält, so daß auch die
Wege t 7→ y + (γ(0) − y) exp(2πint) unser D nicht treffen. Liegt schließlich y
außerhalb einer Kreisscheibe K, die das Bild unseres Weges umfaßt, so ist unser
Weg in K und erst recht in C\y zusammenziehbar und muß um y die Umlaufzahl
Null haben.
Satz* 3.7.9 (Umlaufzahlen kreuzungsfreier Wege). Ein geschlossener Weg in
der punktierten Ebene γ : [0, 1] → C× , der in der Fundamentalgruppe der punktierten Ebene π1 (C× , 1) weder das neutrale Element noch einen Erzeuger repräsentiert, kann nicht auf (0, 1] injektiv sein.
Beweis. Repräsentiert ein Weg γ : [0, 1] → C× das n-fache eines Erzeugers
der Fundamentalgruppe und gilt n 6= 0, so können wir nach 3.3.11 einen Lift
γ̃ : [0, 1] → C finden alias eine stetige Abbildung mit Exp ◦γ̃ = γ, und dann ist
α : [0, 1] → C× mit α(t) = Exp ◦γ̃(t/n) ein geschlossener Weg mit γ(t) = α(t)n
für alle t. Induzierte nun γ eine Einbettung γ̂ : S 1 ,→ C× , so hätte die von α
induzierte Abbildung α̂ : S 1 ,→ C× die Eigenschaft z 6= w ⇒ α̂(z) 6= ζ α̂(w) für
jede n-te Einheitswurzel ζ 6= 1. Wir erhielten mithin eine stetige Abbildung
ϕ = ϕζ : S 1 × S 1 → C×
durch die Vorschrift ϕ(z, w) = α̂(z) − ζ α̂(w). Nun betrachten wir das Diagramm
S 1 HH
HH(id,1)
HH
HH
H$
(id,id)
1
/
S 1:
S
v
vv
vv
v
vv
vv (1,id)
× S1
S1
125
ϕ
/ C×
Ein geschlossener Weg in der punktierten Ebene mit Umlaufzahl Drei um den als
Kreuz eingezeichneten Punkt, der „so injektiv ist wie irgend möglich“.
126
Ich behaupte, daß darin alle drei Kompositionen Homotopieäquivalenzen sind alias, nach 3.6.22 gleichbedeutend, daß sie Isomorphismen auf den Fundamentalgruppen induzieren. Zunächst induziert nach Konstruktion α̂ : S 1 → C× Isomorphismen auf den Fundamentalgruppen und ist also eine Homotopieäquivalenz.
Dasselbe gilt für die mittlere Komposition z 7→ (1 − ζ)α̂(z), denn sie ist zu α̂ homotop. Die obere Komposition hinwiederum ist homotop zu z 7→ α̂(z) − ζ α̂(w)
für alle w ∈ S 1 . Wählen wir w0 mit |α̂(w0 )| kleinstmöglich, so liegt ζ α̂(w0 ) in
derselben Komponente von C\α̂(S 1 ) wie der Ursprung. Aus der Stetigkeit der
Umlaufzahl 3.7.8 folgt Um(α, ζ α̂(w0 )) = Um(α, 0) = 1 und damit ist z 7→
α̂(z) − ζ α̂(w) eine Homotopieäquivalenz erst für w = w0 und dann für alle w,
insbesondere auch für w = 1. Für die untere Komposition argumentiert man genauso, also haben wir in der Tat drei Homotopieäquivalenzen vor uns. Das aber
widerspricht der Tatsache, daß nach 3.4.7 ja für c ∈ π1 (S 1 , 1) gilt
(id, 1)] c + (1, id)] c = (id, id)] c
und damit ϕ] (id, 1)] c + ϕ] (1, id)] c = ϕ] (id, id)] c in π1 (C× , 1) im Widerspruch
dazu, dass für c ∈ π1 (S 1 , 1) ein Erzeuger alle diese drei Elemente nach dem
bereits Bewiesenen alle drei Erzeuger von π1 (C× , 1) sein müssen.
Proposition* 3.7.10 (Einfacher Zusammenhang von Komplementen). Sei V
ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum und W ⊂ V ein Teilraum der Kodimension zwei. So ist für I ( W eine echte Teilmenge das Komplement V \I
wegweise einfach zusammenhängend, für alle Punkte ∗ unseres Komplements gilt
also in Formeln
π1 (V \I, ∗) = 1
Beweis. Den Fall I ⊂ W haben Sie bereits in 3.2.25 behandelt. Um das im allgemeinen zu sehen, dürfen wir V = C×Y annehmen mit einem endlichdimensionalen Vektorraum Y und W = 0×Y . Es gilt für irgendeinen Basispunkt ∗ zu zeigen,
daß gilt π1 (V \I, ∗) = 1, etwa für den Basispunkt ∗ := (1, 0). Es reicht zu zeigen,
daß jeder geschlossene Weg von ∗ nach ∗ homotop ist in V \W , denn die Abbildung π1 (V \W, ∗) → π1 (V \I, ∗) ist sicher konstant. Es reicht also zu zeigen, daß
jeder Weg γ ∈ Ω(V \I, ∗), der W trifft, homotop ist zum konstanten Weg. Wir
schreiben dazu γ(t) = (z(t), y(t)). Auf U := {t ∈ [0, 1] | z(t) 6= 0} können
wir dann ϕ : U → S 1 erklären durch ϕ(t) = z(t)/|z(t)|. Nun gilt U ⊂◦ [0, 1]
und 0, 1 ∈ U , aber nach Annahme U 6= [0, 1]. Mithin existiert ein stetiger Lift
ϕ̃ : U → iR mit ϕ̃(0) = ϕ̃(1) = 0 und ϕ(t) = exp(ϕ̃(t)) für alle t ∈ U . Es gilt
also z(t) = exp(ϕ̃(t))|z(t)| für alle t ∈ U . Jetzt erklären wir h : [0, 1]2 → V \I
durch die Vorschrift
(exp(ϕ̃(τ t))|z(t)|, y(t)) falls t ∈ U,
h(t, τ ) =
(0, y(t))
sonst.
V
127
Diese Abbildung ist sicher stetig an allen Stellen (t, τ ) mit t ∈ U . An Stellen
(t, τ ) mit t 6∈ U kann man die Stetigkeit aber auch zeigen, da in einer Umgebung
von t 6∈ U unser |z(t)| sehr klein sein muß. Damit ist h(t, τ ) eine Homotopie in
V \I zwischen unserem Weg γ und dem Weg t 7→ (|z(t)|, y(t)), der seinerseits
offensichtlich in V \I zusammenziehbar ist.
Übungen
Ergänzende Übung 3.7.11. Feiner liefert der Beweis von 3.7.9 bei Betrachtung
aller n-ten Einheitwurzeln ζ 6= 1, daßP
der in gewisser Weise die Zahl der Selbstüberkreuzungen messende Ausdruck p∈γ[0,1] (|γ −1 (p)| − 1) mindestens so groß
sein muß wie der Betrag der Umlaufzahl. Das mag der Leser zur Übung ausarbeiten.
Übung 3.7.12. Für die Basispunktwechselisomorphismen iγ aus 3.7.2 zeige man:
Homotope Wege liefern denselben Isomorphismus, in Formeln γ ' δ ⇒ iγ = iδ .
Außerdem gilt iγ∗δ = iγ ◦ iδ für verknüpfbare Wege γ, δ, für γ ein Weg von x
zu sich selbst ist iγ = int γ die Konjugation mit γ, und für den konstanten Weg
ε = εx ist speziell iε die Identität auf π1 (X, x).
Übung 3.7.13 (Fundamentalsatz der Algebra). Man zeige den Fundamentalsatz
der Algebra mit den hier entwickelten Methoden. Man zeige also in anderen Worten, daß jedes nichtkonstante Polynom mit komplexen Koeffizienten eine Nullstelle hat. Hinweis: Hat unsere Polynomfunktion P : C → C keine Nullstelle, so
sind die Abbildungen Pτ : S 1 → C× , z 7→ P (τ z) alle homotop zur konstanten
Abbildung P0 .
Übung 3.7.14. Man zeige, daß die Fundamentalgruppe des Komplements einer
Gerade im R3 isomorph ist zu Z. Man zeige, daß die Fundamentalgruppe des
Raums, der entsteht, wenn man aus dem R3 die z-Achse sowie den Einheitskreis
in der xy-Ebene herausnimmt, isomorph ist zu Z × Z. Hinweis: 3.4.7. Eventuell
benötigte Homotopien sollen anschaulich plausibel gemacht werden, eine formelhafte Ausarbeitung ist nicht gefordert.
3.8
Die abelisierte Fundamentalgruppe*
Definition 3.8.1. Gegeben eine Gruppe G definiert man ihren maximalen kommutativen Quotienten, auch genannt ihre Abelisierung, als den Quotienten
Gab := G/(G, G)
nach dem Normalteiler (G, G) ⊂ G, der von allen Kommutatoren ghg −1 h−1 mit
g, h ∈ G erzeugt wird. Die Untergruppe (G, G) heißt im übrigen die derivierte
Gruppe von G.
128
3.8.2 (Diskussion der Notation). Die Notation (G, G) geht zurück auf die in
der Gruppentheorie übliche Notation ghg −1 h−1 = : (g, h) für den Kommutator.
Im Sinne unserer allgemeinen Konvention ??.?? sollte natürlich (G, G) eigentlich
nur die Menge aller Kommutatoren aus G bezeichnen und der davon erzeugte Normalteiler sollte hh(G, G)ii notiert werden. Da aber letzteres Konzept soviel häufiger vorkommt, ist es üblich, hier eine Ausnahme zu machen und mit (G, G) kurzerhand den von den Kommutatoren erzeugten Normalteiler zu bezeichnen, der
nebenbei bemerkt mit der von den Kommutatoren erzeugten Untergruppe übereinstimmt.
Lemma 3.8.3 (Universelle Eigenschaft der Abelisierung). Für jede Gruppe G
ist ihre Abelisierung Gab eine abelsche Gruppe, und jeder Morphismus von G
in eine abelsche Gruppe faktorisiert über Gab . In Formeln liefert also für jede
abelsche Gruppe A das Verknüpfen mit der Projektion G Gab eine Bijektion
∼
Grp(Gab , A) → Grp(G, A)
Beweis. Dem Leser überlassen.
3.8.4. Ist X ein wegzusammenhängender Raum und sind x, y ∈ X Punkte, so
∼
liefern je zwei Wege γ von x nach y denselben Isomorphismus iγ : π1 (X, x)ab →
π1 (X, y)ab , den wir dann auch iyx nennen dürfen, und für je drei Punkte x, y, z
gilt izx = izy iyx . Folglich können wir für jeden wegzusammenhängenden Raum
X die basispunktfreie abelisierte Fundamentalgruppe π1 (X)ab definieren als
die Untergruppe
Y
π1 (X)ab ⊂
π1 (X, x)ab
x∈X
aller Tupel (αx )x∈X mit iyx (αx ) = (αy ) für alle x, y ∈ X. Die Projektion auf
den entsprechenden Faktor liefert dann für jeden Punkt einen kanonischen Iso∼
morphismus π1 (X)ab → π1 (X, x)ab . Sind alle Fundamentalgruppen eh abelsch,
so schreiben wir statt π1 (X)ab auch kürzer π1 (X). Ist weiter f : X → Y eine
stetige Abbildung von wegzusammenhängenden Räumen, so gibt es genau einen
Gruppenhomomorphismus f] : π1 (X)ab → π1 (Y )ab , der für alle x ∈ X mit
unseren f] : π1 (X, x) → π1 (Y, f (x)) verträglich ist in der hoffentlich offensichtlichen Weise. Wir erhalten so einen Funktor X 7→ π1 (X)ab von der Kategorie der
wegzusammenhängenden topologischen Räume in die Kategorie der abelschen
Gruppen.
3.9
Selbstabbildungen der Kreislinie
Satz 3.9.1 (Selbstabbildungen der Kreislinie bis auf Homotopie). Man erhält
eine Bijektion zwischen der Menge aller ganzen Zahlen und der Menge aller Homotopieklassen von Selbstabbildungen der Kreislinie, indem man jeder ganzen
129
Zahl n ∈ Z die Homotopieklasse des n-fachen Potenzierens S 1 → S 1 , z 7→ z n
zuordnet. In Formeln haben wir also eine Bijektion
∼
Z → Hot(S 1 , S 1 )
n 7→
[z 7→ z n ]
3.9.2. Mit dem Abbildungsgrad einer stetigen Selbstabbildung der Kreislinie
meint man das Urbild ihrer Homotopieklasse unter dieser Bijektion. In anderen
Worten ist also der Abbildungsgrad einer stetigen Selbstabbildung f : S 1 → S 1
diejenige ganze Zahl n ∈ Z, für die f homotop ist zur Abbildung z 7→ z n . In
?? führen wir allgemeiner den Abbildungsgrad stetiger Abbildungen zwischen
„kompakten orientierten zusammenhängenden Mannigfaltigkeiten derselben Dimension“ ein.
Beweis. Wir konstruieren explizit eine Inverse zur Zuordnung aus unserem Satz.
Dazu erinnern wir an unsere Abbildung Exp : R → S 1 , t 7→ exp(2πit). Sei
f : S 1 → S 1 stetig. Da wir den Begriff des Abbildungsgrads eben schon vergeben
haben, erklären wir nur für diesen Beweis den Liftungsgrad oder kurz (grad f ) ∈
Z von f durch die Formel grad f = f˜(1) − f˜(0), wo f˜ : [0, 1] → R ein beliebiger
Lift von f ◦ Exp : [0, 1] → S 1 ist, d.h. eine Abbildung derart, daß das folgende
Diagramm kommutiert:
f˜
[0, 1] −→ R
Exp ↓
↓ Exp
f
S 1 −→ S 1
Nach 3.3.7 gibt es stets solch ein f˜, und es ist sogar eindeutig bis auf eine additive
Konstante aus Z. Folglich ist grad f wohldefiniert.
Lemma 3.9.3. Genau dann sind zwei Selbstabbildungen der Kreislinie homotop,
wenn sie denselben Liftungsgrad haben.
Beweis. Seien f, g : S 1 → S 1 gegeben und sei H : S 1 × [0, 1] → S 1 eine
Homotopie von f nach g. Nach unseren Erkenntnissen 3.3.8 zum Liften von auf
dem Einheitsquadrat definierten Abbildungen finden wir H̃ : [0, 1] × [0, 1] → R
derart, daß folgendes Diagramm kommutiert:
[0, 1] × [0, 1]
Exp × id ↓
S 1 × [0, 1]
H̃
−→ R
↓ Exp
H
−→ S 1
Es folgt H̃(0, τ ) − H̃(1, τ ) ∈ Z ∀τ , mithin ist diese Abbildung konstant und wir
erhalten grad f = grad g. Also haben homotope Selbstabbildungen der Kreislinie
130
Eine Selbstabbildung der Kreislinie vom Abbildungsgrad (−3).
131
denselben Liftungsgrad. Seien umgekehrt f, g : S 1 → S 1 zwei stetige Selbstabbildungen der Kreislinie mit demselben Liftungsgrad. Es gilt zu zeigen, daß sie
homotop sind. Seien dazu f˜, g̃ : [0, 1] → R gewählt wie in der Definition des
Liftungsgrads. Wir definieren H̃ : [0, 1] × [0, 1] → R durch die Vorschrift
H̃(t, τ ) = (1 − τ )f˜(t) + τ g̃(t)
Aus grad f = grad g folgt nun H̃(0, τ )+grad f = H̃(1, τ ), also (Exp ◦H̃)(0, τ ) =
(Exp ◦H̃)(1, τ ) für alle τ . Folglich gibt es eine Abbildung von Mengen H wie in
der unteren Zeile des obigen Diagramms derart, daß das Diagramm kommutiert.
Da Exp × id : [0, 1] × [0, 1] → S 1 × [0, 1] nach 2.6.40 final ist, ist H sogar stetig.
Das ist dann die gesuchte Homotopie von f nach g.
Nach Lemma 3.9.3 liefert unser Liftungsgrad eine Injektion
grad : Hot(S 1 , S 1 ) ,→ Z
und aus den Definitionen folgt mühelos, daß z 7→ z n den Liftungsgrad n hat. Der
Satz ist bewiesen.
Proposition 3.9.4. Jede stetige schiefsymmetrische Abbildung der Kreislinie auf
sich selbst hat ungeraden Abbildungsgrad und ist mithin surjektiv.
Beweis. In Formeln gilt es zu zeigen, daß für f : S 1 → S 1 stetig mit f (−x) =
−f (x) ∀x der Abbildungsgrad grad f notwendig ungerade ist. Nach 3.3.7 finden wir stets f˜ : R → R stetig derart, daß folgendes Diagramm kommutiert:
f˜
R
Exp ↓
−→
S1
−→
f
R
↓ Exp
S1
Aus f (−x) = −f (x) folgt f˜(t + 21 ) ∈ f˜(t) + 12 + Z für alle t, es gibt also ein
k ∈ Z mit f˜(t + 12 ) = f˜(t) + 21 + k ∀t ∈ R. Wir erhalten insbesondere
f˜(1) = f˜( 12 ) + 12 + k
= f˜(0) + 1 + 2k
und folglich grad f = 1 + 2k.
Satz 3.9.5 (Borsuk-Ulam). Jede stetige schiefsymmetrische Abbildung von der
Kugelschale in die Ebene hat eine Nullstelle.
132
Beweis. Gegeben f : S 2 → R2 stetig mit f (−x) = −f (x) ∀x ∈ S 2 gilt
es zu zeigen, daß ein x ∈ S 2 existiert mit f (x) = 0. Sonst wäre jedoch x 7→
f (x)/kf (x)k eine stetige schiefsymmetrische Abbildung g : S 2 → S 1 . Die Einschränkung von g auf den Äquator S 1 ⊂ S 2 wäre also nicht nullhomotop nach
Proposition 3.9.4, aber sie faktorisiert über die zusammenziehbare nördliche Hemisphäre S+2 ⊂ S 2 . Widerspruch!
Korollar 3.9.6 (Das Plattdrücken einer Kugelschale ist nie injektiv). Für jede stetige Abbildung von der Kugelschale in die Ebene gibt es ein Paar von gegenüberliegenden Punkten der Kugelschale, die auf denselben Punkt der Ebene
abgebildet werden.
3.9.7. Daß eine stetige Abbildung von der Kugelschale in die Ebene nie injektiv
sein kann, ist Ihnen hoffentlich anschaulich sofort klar. Ich kenne jedoch keinen
einfacheren Beweis.
Beweis. Sei h : S 2 → R2 unsere stetige Abbildung. Gäbe es kein x ∈ S 2 mit
h(x) = h(−x), so wäre f : S 2 → R2 , f (x) = h(x) − h(−x) stetig und schiefsymmetrisch ohne Nullstelle, im Widerspruch zum Satz 3.9.5 Borsuk-Ulam.
Korollar 3.9.8 (Satz vom Butterbrot mit Schinken). Gegeben drei kompakte
Teilmengen des Raums gibt es stets eine Ebene, die sie alle drei in jeweils zwei
volumengleiche Teile teilt.
3.9.9. Ist also ein Butterbrot mit Schinken gegeben und betrachtet man die Mengen der Punkte des Raums, an denen sich Schinken bzw. Butter bzw. Brot befindet, so kann man mit einem Schnitt das Brot so teilen, daß zwei Hungrige jeweils
gleichviel sowohl vom Schinken, als auch von der Butter als auch vom Brot erhalten.
Beweis. Um dieses Korollar zu beweisen, formulieren wir es zunächst einmal um.
Seien A, B, C ⊂ R3 unsere drei Kompakta. Sicher finden wir eine stetige Abbildung α : S 2 → R derart, daß für alle x ∈ S 2 die Ebene durch den Punkt α(x)x
mit Normalenvektor x die Menge A halbiert: Hat A nicht Volumen Null, so ordnen wir zum Beispiel jedem x das maximal mögliche α(x) zu, sonst dürfen wir
α(x) eh beliebig wählen. Sicher dürfen wir weiter sogar α schiefsymmetrisch annehmen, indem wir sonst α durch (α(x) − α(−x))/2 ersetzen. Ebenso finden wir
stetige schiefsymmetrische β, γ : S 2 → R für B und C, und es gilt zu zeigen, daß
wir x ∈ S 2 finden mit α(x) = β(x) = γ(x). Nach dem Satz 3.9.5 von BorsukUlam hat aber jede stetige schiefsymmetrische Abbildung von der Kugelschale in
die Ebene eine Nullstelle, insbesondere also auch die Abbildung
f : S 2 → R2
x 7→ (α(x) − β(x), β(x) − γ(x))
133
Korollar* 3.9.10 (Lusternik-Schnirelmann). Gegeben eine Überdeckung der
Kugelschale durch drei abgeschlossene Teilmengen enthält mindestens eine unserer drei Mengen ein Paar von gegenüberliegenden Punkten.
Beweis. Wäre S 2 = A1 ∪ A2 ∪ A3 ein Gegenbeispiel, so könnten wir stetige
schiefsymmetrische Funktionen fi : S 2 → R finden mit fi (x) = 1 für x ∈ Ai ,
zum Beispiel indem wir mit den Funktionen d(Ai , ) spielen, oder indem wir nach
Tietze’s Erweiterungslemma ?? eine stetige Funktion gi finden mit gi (±x) = ±1
für x ∈ Ai und dann fi (y) = (gi (y) − gi (−y))/2 setzen für alle y. Dann könnten
wir den Satz von Borsuk-Ulam 3.9.5 anwenden auf f = (f1 , f2 ) : S 2 → R2 und
fänden x ∈ S 2 mit ±x 6∈ A1 , ±x 6∈ A2 , also notwendig x, −x ∈ A3 .
Übungen
Übung 3.9.11. Sei f : S 1 → S 1 stetig. Für alle z ∈ S 1 enthält f −1 (z) mindestens
| grad f | Punkte.
Übung 3.9.12. Sei f : S 1 → S 1 stetig, z ∈ S 1 . So kommutiert das Diagramm
π1 (S 1 , z)
f]
−→
Um ↓
π1 (S 1 , f (z))
↓ Um
(grad f )·
Z
−→
Z
wo in der unteren Horizontale die Multiplikation mit (grad f ) gemeint ist. Hinweis: Man ziehe sich auf den Fall f (z) = z n zurück.
134
4
4.1
Beschreibung einiger Fundamentalgruppen
Produkte und Koprodukte in Kategorien
Definition 4.1.1. Seien C eine Kategorie und X, Y Objekte von C. Ein Produkt
von X und Y ist ein Datum (P, p, q) bestehend aus (1) einem Objekt P ∈ C und
(2) Morphismen p : P → X und q : P → Y , den sogenannten Projektionen,
derart daß gilt: Ist Z ∈ C ein Objekt und sind a : Z → X, b : Z → Y Morphismen, so gibt es genau einen Morphismus c : Z → P mit p ◦ c = a und q ◦ c = b.
Wir notieren diesen Morphismus dann c = (a, b) oder, ganz pedantisch und wenn
wir ihn von den Morphismen aus einem Koprodukt absetzen wollen, als Spalte
c = (a, b)> .
Beispiele 4.1.2. In der Kategorie der Mengen ist P = X ×Y mit p, q den üblichen
Projektionsabbildungen ein Produkt von X und Y . Dasselbe gilt in der Kategorie
der topologischen Räume, wenn wir X × Y mit der Produkttopologie versehen.
4.1.3 (Eindeutigkeit von Produkten). Produkte in Kategorien sind im wesentlichen eindeutig, falls sie existieren. Sind genauer (P, p, q) und (P̃ , p̃, q̃) zwei
mögliche Produkte der Objekte X und Y , so gibt es aufgrund der universellen
Eigenschaft von P genau ein c : P̃ → P mit p ◦ c = p̃ und q ◦ c = q̃ und ebenso
genau ein d : P → P̃ mit p̃ ◦ d = p und q̃ ◦ d = q. Weiter gibt es auch genau ein
f : P → P mit p ◦ f = p und q ◦ f = q, und da sowohl f = id als auch f = c ◦ d
diese Bedingung erfüllen, folgt c ◦ d = id. Ebenso erhalten wir d ◦ c = id, mithin
sind c und d zueinander inverse Isomorphismen. Aufgrund dieser Eindeutigkeit
sprechen wir ab jetzt meist von dem Produkt und notieren es
(X × Y, prX , prY )
Morphismen in das Produkt schreiben wir auch (a, b). Sind schließlich Morphismen f : X → X 0 , g : Y → Y 0 gegeben und existieren die Produkte X × Y und
X 0 × Y 0 , so benutzen wir die Abkürzung (f ◦ prX , g ◦ prY ) = f × g und nennen
diesen Morphismus den Produktmorphismus
f × g : X × Y → X0 × Y 0
4.1.4. Analoge Definitionen sind auch für größere Familien von Objekten einund derselben Kategorie sinnvoll, vergleiche 7.6.6.
Beispiel 4.1.5. Für jede Kategorie C bildet man die opponierte Kategorie C opp ,
auch notiert als C ◦ , wie folgt: Man setzt
Ob C opp := Ob C
und
C opp (X, Y ) := C(Y, X)
und erklärt die Verknüpfung von Morphismen in C opp wie folgt: Man notiert einen
Morphismus f als f ◦ , wenn er in der opponierten Kategorie aufgefaßt werden soll,
und setzt g ◦ ◦ f ◦ := (f ◦ g)◦ .
135
4.1.6. Produkte in der opponierten Kategorie heißen „Koprodukte“. Im folgenden
sprechen wir diese Definition gleich für Familien explizit aus.
Definition 4.1.7. Sei C eine Kategorie und (Xi )i∈I eine Familie von Objekten
aus C. Ein Koprodukt der Xi ist ein Datum (K, (ini )i∈I ) bestehend aus einem
Objekt K ∈ C und Morphismen ini : Xi → K derart, daß gilt: Ist Z ∈ C ein
Objekt und sind fi : Xi → Z Morphismen, so gibt es genau einen Morphismus
f : K → Z mit f ◦ ini = fi ∀i ∈ I. Wir notieren diesen Morphismus dann auch
(fi )i∈I und hoffen, daß der Leser aus dem Kontext erschließen kann, wann damit
ein Morphismus aus einem Koprodukt und wann ein Morphismus in ein Produkt
gemeint ist. Wenn es drauf ankommt, mag ein Morphismus in ein Produkt eben
als Spalte mit einem hochgestellten > notiert werdenFund ein Morphismus aus
einem Koprodukt als Zeile. Wir notieren Koprodukte i∈I Xi , bei endlich vielen
Faktoren auch X1 t . . . t Xn .
Beispiele F
4.1.8. In der Kategorie der Mengen ist das Koprodukt die disjunkte Vereinigung i∈I Xi , vergleiche 7.6.12. In der Kategorie der topologischen Räume
gilt dasselbe. Kategorie derWbepunkteten
F topologischen Räume ist das Koprodukt
die Einpunktverbindung i∈I Xi = Xi / ∼, wo die Äquivalenzrelation ∼ dadurch erklärt sei, daß alle Basispunkte der verschiedenen Xi unter ∼ eine Äquivalenzklasse bilden und die anderen Äquivalenzklassen einelementig sind.
Definition 4.1.9. Ein Funktor F : A → B heißt verträglich mit beliebigen Produkten genau dann, wenn für jedes Produkt (P, (pi )i∈I ) einer Familie (Xi )i∈I
von Objekten von A das Datum (F (P ), (F (pi ))i∈I ) ein Produkt in B der Familie
(F (Xi ))i∈I ist. Gilt das nur für Produkte endlicher Familien, so sagen wir, unser
Funktor sei verträglich mit endlichen Produkten. Dual erklären wir die Verträglichkeit mit beliebigen bzw. endlichen Koprodukten.
Beispiel 4.1.10. Der vergeßliche Funktor Grp → Ens ist verträglich mit beliebigen Produkten, aber nicht mit beliebigen, ja noch nicht einmal mit endlichen Koprodukten. Der Funktor der Fundamentalgruppe π1 : Top∗ → Grp ist verträglich
mit endlichen Produkten nach 3.4.7, ja er ist sogar mit derselben Argumentation
verträglich mit beliebigen Produkten.
Übungen
Übung 4.1.11. Man präzisiere und zeige die „Assoziativität“ von Produkten, die
die Formel (X × Y ) × Z ∼
= X × (Y × Z) andeutet.
4.2
Kartesische Diagramme
Definition 4.2.1. Gegeben eine Kategorie C und ein Objekt X ∈ C definieren wir
ganz allgemein die Kategorie CX der Objekte von C über X wie folgt: Objekte
136
von CX sind Paare (Y, p) mit Y ∈ C und p ∈ C(Y, X), Morphismen in CX von
einem Objekt (Y, p) in ein weiteres Objekt (Z, q) sind Morphismen f : Y → Z in
C mit q ◦ f = p. Wir nennen sie auch die Morphismen über X.
Definition 4.2.2. Dual definieren wir die Kategorie C X der Objekte von C unter
X wie folgt: Objekte von C X sind Morphismen p : X → Y von X zu einem
Objekt von C und Morphismen sind was der Leser sich denkt, so daß wir haben
(C opp )X = (C X )opp .
Beispiele 4.2.3. Zum Beispiel ist die Kategorie der bepunkteten topologischen
Räume Top∗ die „Kategorie der topologischen Räume unter dem einpunktigen
Raum“, und die Kategorie der Erweiterungen eines Körpers K ist die „Kategorie
aller Körper unter K.“
4.2.4. Wir werden Kategorien auch für andere Bedeutungen mit oberen und unteren Indizes versehen und können nur hoffen, daß aus dem Kontext klar wird,
welche Bedeutung jeweils gemeint ist. Zum Beispiel bezeichnet Modk stets die
Kategorie aller k-Vektorräume und nie die Kategorie aller Objekte einer Kategorie Mod über ihrem Objekt k.
Definition 4.2.5. Ein Diagramm der Gestalt
cy
W −→ Y
cz ↓
↓a
b
Z −→ X
in einer Kategorie C heißt kartesisch oder ein pull-back-Diagramm genau dann,
wenn es kommutativ ist und (W, cy , cz ) ein Produkt ist in der Kategorie CX der
Objekte von C über X, wobei wir W vermittels b ◦ cz = a ◦ cy als Objekt von CX
aufzufassen haben. Ausformuliert bedeutet das: Für jedes weitere kommutative
Diagramm in C der Gestalt
f
T −→ Y
g ↓
↓a
b
Z −→ X
gibt es genau einen Morphismus u : T → W mit f = cy ◦ u und g = cz ◦ u. Man
mag diese verschiedenen Daten auch zusammenfassen im Diagramm
T 0 APPP
00 A PPP
00 A PPPP
PPP
00 A
PP(
00
/Y
00 W
00
00
/X
Z
137
4.2.6. Daß ein Diagramm kartesisch ist, mag man auch durch das Symbol
seiner Mitte notieren, etwa in der Form
/
W
/
Z
in
Y
X
Dies Symbol deutet an, aus welchen Winkel unser Diagramm durch pullback entsteht.
4.2.7. Ein Diagramm der Gestalt
Y
↓a
b
Z −→ X
nennen wir ein Winkeldiagramm oder kurz einen Winkel. In einer beliebigen
Kategorie läßt sich nicht jeder Winkel zu einem kartesischen Diagramm vervollständigen, aber wenn er sich vervollständigen läßt, dann ist diese Vervollständigung als ein Produkt in CX im wesentlichen eindeutig. Wir erlauben uns deshalb
den bestimmten Artikel, schreiben
W = Y ×X Z
und nennen dieses Objekt den Rückzug oder den pull-back oder das Faserprodukt von Y mit Z über X. Diese Terminologie hat den folgenden Hintergrund:
Ist f : Y → X eine Abbildung und x ∈ X ein Punkt, so nennt man ja sein Urbild Yx = f −1 (x) auch die Faser von f über x. Den pull-back in der Kategorie der
Mengen können wir nun verstehen als ein „faserweises Produkt“, in der Kategorie
der Mengen ist nämlich
Y ×X Z := {(y, z) ∈ Y × Z | a(y) = b(z)}
mit den offensichtlichen Projektionen ein Rückzug und insbesondere haben wir
(Y ×X Z)x = Yx × Zx für alle x ∈ X. Ähnlich erhalten wir auch das Faserprodukt in der Kategorie der topologischen Räume, hierzu müssen wir nur die
Menge Y ×X Z versehen mit der von der Produkttopologie auf Y × Z induzierten
Topologie.
Übungen
Übung 4.2.8 (Transitivität des Rückzugs). Sei in einer Kategorie ein kommutatives Diagramm der Gestalt
X0 → Y 0 → Z0
↓
↓
↓
X → Y → Z
138
gegeben mit einem kartesischen Quadrat rechts. Man zeige, daß dann das linke
Quadrat genau dann kartesisch ist, wenn das einhüllende Rechteck kartesisch ist,
mit den horizontalen Verknüpfungen als horizontalen Pfeilen.
Übung 4.2.9. Man zeige: Ist i : Z ,→ X die Einbettung eines Teilraums und
f : Y → X eine stetige Abbildung, so ist das folgende Diagramm kartesisch in
der Kategorie der topologischen Räume:
f −1 (Z) ,→ Y
f ↓
↓f
Z
,→ X
Übung 4.2.10. Gegeben zwei kartesische Quadrate ist auch das „Produktquadrat“,
bei dem an jeder Ecke das Produkt der zugehörigen Objekte aus unseren beiden
Ausgangsquadraten steht, ein kartesisches Quadrat, wenn diese vier Produkte alle
existieren.
Übung 4.2.11. Seien X, Z Objekte einer Kategorie derart, daß die Produkte Z ×X
und X × X existieren. Man zeige: Für jeden Morphismus g : Z → X ist dann
das folgende Diagramm mit den Morphismen g, g × id in den Horizontalen und
(id, g), ∆ = (id, id) in den Vertikalen kartesisch:
Z
(id,g)
Z ×X
4.3
g
g×id
/
/
X
∆
X ×X
Kokartesische Diagramme
Definition 4.3.1. Kartesische Diagramme in der opponierten Kategorie heißen
kokartesische Diagramme oder auch push-out-Diagramme. Ausgeschrieben ist
ein Diagramm der Gestalt
a
X −→ Y
b ↓
↓cy
cz
Z −→ W
also kokartesisch genau dann, wenn es kommutiert und wenn es für jedes andere
kommutative Diagramm
a
X −→ Y
b ↓
↓f
g
Z −→ G
139
genau einen Morphismus u : W → G gibt mit f = u ◦ cy und g = u ◦ cz . Man
mag diese verschiedenen Daten auch zusammenfassen im Diagramm
/
X
Y0
00
00
000
Z PPP / W A 00
0
PPP
PPP A A 00
PPP 00
PPPA (
G
Unsere Eindeutigkeitsaussagen 4.2.7 für kartesische Diagramme gelten entsprechend auch für kokartesische Diagramme. Winkeldiagramme in der opponierten
Kategorie nennen wir Kowinkeldiagramme oder kurz Kowinkel.
4.3.2. Daß ein Diagramm kokartesisch ist, notiert man auch durch das Symbol
in seiner Mitte, etwa in der Form
/
X
Y
/W
Z
Dies Symbol deutet an, aus welchen Kowinkel unser Diagramm durch pushout
entsteht.
Übungen
Übung 4.3.3. Der push-out in der Kategorie der Mengen bzw. der topologischen
Räume ist genau die Verklebung aus 2.6.23.
Übung 4.3.4. Ist in einem kartesischen oder kokartesischen Diagramm ein Ursprungspfeil ein Isomorphismus, so auch der gegenüberliegende Pfeil aus dem
pull-back bzw. in den push-out.
Übung 4.3.5. In der Kategorie der abelschen Gruppen läßt sich jeder Winkel bzw.
Kowinkel zu einem kartesischen bzw. kokartesischen Diagramm vervollständigen.
Ist in einem kokartesischen Diagramm von abelschen Gruppen von zwei parallelen Pfeilen einer eine Surjektion, so auch der andere. Ist in einem kokartesischen
Diagramm von abelschen Gruppen ein Ursprungspfeil eine Injektion, so auch der
gegenüberliegende Pfeil in den push-out. Hinweis: Man argumentiere mit einer
expliziten Konstruktion des push-out. Wer spickeln will, vergleiche ??. Ein allgemeines Argument wird in ?? gegeben.
140
Übung 4.3.6. In einem kartesischen Diagramm von Mengen
q
X −→ Y
g ↓
↓f
p
Z −→ W
gilt für jede Teilmenge A ⊂ Y die Gleichheit p−1 (f (A)) = g(q −1 (A)) von Teilmengen von Z.
Ergänzende Übung 4.3.7 (Pushout von Kringen). Die algebraisch Gebildeten
unter Ihnen mögen sich überlegen, daß in der Kategorie Kring der kommutativen
Ringe alle Diagramme der Gestalt
q
C −→
B
g ↓
↓f
p
A −→ A ⊗C B
kokartesisch sind, mit beliebigen Ringhomomorphismen C → A und C → B,
der hoffentlich offensichtlichen Multiplikation auf dem Tensorprodukt, und den
hoffentlich offensichtlichen Ringhomomorphismen in das Tensorprodukt.
4.4
Der Satz von Seifert und van Kampen
Satz 4.4.1 (Seifert-van Kampen). Sei ein topologischer Raum X die Vereinigung
zweier offener Teilmengen U, V ⊂◦ X. Ist der Schnitt U ∩V wegzusammenhängend,
so ist für jeden Basispunkt x ∈ U ∩ V das folgende Diagramm von Gruppen
kokartesisch:
/ π1 (V, x)
π1 (U ∩ V, x)
/ π1 (X, x)
π1 (U, x)
4.4.2. Der Beweis dieses Satzes wird uns bis zum Ende dieses Abschnitts beschäftigen. In 4.6.4 diskutieren wir ganz allgemein, daß und wie sich jeder Kowinkel
von Gruppen zu einem kokartesischen Diagramm ergänzen läßt. Wir beginnen mit
einigen Vorbereitungen.
4.4.3 (Die Kategorie der Kategorien). Die Gesamtheit aller Kategorien bildet
mit Funktoren als Morphismen selbst eine Kategorie
Cat
Etwas sorgfältiger sollte man wohl ein Universum U festhalten und dann die Kategorie U Cat aller U-Kategorien im Sinne von 7.2.23 betrachten, aber wie üblich
ignorieren wir diese Feinheiten auch hier.
141
Berechnung der Fundamentalgruppe der Figur 8 mit Seifert-van Kampen. Das
Symbol in der Mitte soll andeuten, daß wir ein push-out-Diagramm vor uns
haben. Die Formel Z ∗ Z meint das Koprodukt von Gruppen, wie es in 4.6.2 noch
ausführlicher besprochen werden wird.
142
4.4.4. Wir erinnern aus 3.6.12 das fundamentale Gruppoid WX = W(X) eines
topologischen Raums X. Jede stetige Abbildung f : X → Y ist die Objektabbildung eines Funktors f : W(X) → W(Y ), dessen Effekt auf Morphismen
durch [α] 7→ [f ◦ α] gegeben wird.
Satz 4.4.5 (Seifert-van Kampen für das fundamentale Gruppoid). Sei ein topologischer Raum X die Vereinigung zweier offener Teilmengen U, V ⊂◦ X. So ist
das folgende Diagramm von Kategorien kokartesisch:
/
W(U ∩ V )
/
W(U )
W(V )
W(X)
Beweis. Für den Beweis verwenden wir eine andere Schreibweise und setzen
U = U+ und V = U− und U∩ = U+ ∩ U− . Jeder Morphismus in W(X) läst sich
als Verknüpfung von Morphismen schreiben, die von W(U+ ) oder von W(U− )
herkommen. In der Tat gibt es für jeden Weg γ : [0, 1] → X eine Unterteilung
0 = a0 < a1 < a2 < . . . < ar = 1 des Einheitsintervalls derart, daß für 1 ≤ ρ ≤ r
gilt γ[aρ−1 , aρ ] ⊂ U+ oder γ[aρ−1 , aρ ] ⊂ U− . Das folgt etwa aus dem Überdeckungssatz von Lebesgue 1.12.9 angewandt auf die offene Überdeckung des
Kompaktums [0, 1] durch γ −1 (U+ ) und γ −1 (U− ). Ein Funktor F : W(X) → C
in eine weitere Kategorie C wird also bereits eindeutig festgelegt durch die Funktoren F ◦ i+ : W(U+ ) → C und F ◦ i− : W(U− ) → C, wobei i± : U± ,→ X
ebenso die Einbettungen wie die zugehörigen Funktoren auf den fundamentalen
Gruppoiden bezeichnen. Es bleibt zu zeigen, daß es für eine weitere Kategorie C
und Funktoren I± : W(U± ) → C derart, daß das Diagramm
/
W(U∩ )
W(U+ )
I+
W(U− )
I−
/C
kommutiert, auch in der Tat einen Funktor F : W(X) → C gibt mit F ◦ i± = I± .
Konstruieren wir also einen derartigen Funktor F . Auf Objekten ist klar, welche
Abbildungsvorschrift wir nehmen können und müssen. Es ist auch klar, daß der
Funktor F , wenn es ihn denn gibt, auf einem Morphismus g ∈ WX (x, y) wie folgt
berechnet werden kann: Man wählt einen Weg γ : [0, 1] → X von x nach y mit
g = [γ], wählt dazu eine Unterteilung 0 = a0 < a1 < a2 < . . . < ar = 1 wie
oben, wählt für jedes ρ ein Vorzeichen ε(ρ) mit γ[aρ−1 , aρ ] ⊂ Uε(ρ) , bezeichnet mit
γρ : [0, 1] → Uε(ρ) den zugehörigen auf das Einheitsintervall umparametrisierten
143
Weg, bezeichnet mit [γρ ]ε(ρ) den zugehörigen Morphismus in W(Uε(ρ) ), und hat
dann
F (g) = (Iε(r) [γr ]ε(r) ) ◦ . . . ◦ (Iε(2) [γ2 ]ε(2) ) ◦ (Iε(1) [γ1 ]ε(1) )
Es ist schließlich klar, daß wir einen Funktor F mit den gesuchten Eigenschaften
durch diese Vorschrift konstruieren können, wenn es gelingt zu zeigen, daß F (g)
unabhängig ist von allen diesen Wahlen. Daß es auf die Wahl der jeweiligen Vorzeichen ε(ρ) nicht ankommt, folgt aus unserer Annahme der Kommutativität des
letzten Diagramms. Daß es auf die Wahl der Unterteilung von γ nicht ankommt,
erkennt man, indem man bei zwei Wahlen zu einer gemeinsamen Verfeinerung
übergeht und die Annahme ausnutzt, daß unsere I± Funktoren sind. Damit liefert jeder Repräsentant γ von g schon mal ein wohldefiniertes Fγ (g). Bleibt zu
zeigen, daß es auch auf die Wahl des Repräsentanten γ der Homotopieklasse g
nicht ankommt. Aber sei sonst ψ ein weiterer Repräsentant und h : γ ' ψ eine Homotopie mit festen Endpunkten. Wieder nach dem Überdeckungssatz von
Lebesgue gibt es Unterteilungen 0 = a0 < a1 < a2 < . . . < ar = 1 und
0 = b0 < b1 < b2 < . . . < bs = 1 derart, daß jedes Feld [aρ−1 , aρ ]×[bσ−1 , bσ ] unter
unserer Homotopie h ganz nach U+ oder ganz nach U− abgebildet wird. Sind p, q
benachbarte Ecken eines Feldes, so bezeichnen wir mit dp,q : [0, 1] → [0, 1]×[0, 1]
die affine Abbildung mit dp,q (0) = q, dp,q (1) = p und setzen γp,q = h ◦ dp,q . Für
ein von h ganz nach Uε abgebildetes Feld mit Ecken
y z
x w
sind die Wege γz,w ∗ γw,x und γz,y ∗ γy,x dann in Uε homotop. In der Tat folgt aus
3.2.6 sofort die Homotopie dz,w ∗ dw,x ' dz,y ∗ dy,x in Ω(Feld, z, x). Betrachten
wir nun irgendeinen Weg φ im Einheitsquadrat, der mit konstanter absoluter Geschwindigkeit auf den Kanten unserer Felder von (0, 0) nach (1, 1) läuft und dabei
immer nach rechts oder nach oben läuft. Nach dem Vorhergehenden ist Fh◦φ (g)
unabhängig von φ. Andererseits gilt, jetzt mit der Notation ε für konstante Wege,
offensichtlich ∗ γ = h ◦ φ1 für φ1 das φ, das erst die Unterkante entlangläuft und
dann die rechte Seite hoch, und ψ ∗ = h ◦ φ2 für φ2 das φ, das erst die limke
Seite hochläuft und dann die Oberkante entlang. So aber folgt
Fγ (g) = F∗γ (g) = Fh◦φ1 (g) = Fh◦φ2 (g) = Fψ∗ (g) = Fψ (g)
Beweis von Seifert-van Kampen. Gegeben ein Monoid M bezeichne [M ] die zugehörige Ein-Objekt-Kategorie mit einem einzigen Objekt, dessen Monoid von
Endomorphismen gerade M ist. Gegeben eine Kategorie C und ein Objekt A ∈ C
haben wir stets einen mehr oder weniger tautologischen Funktor [C(A)] → C,
der das einzige Objekt auf das Objekt A abbildet. Ein Gruppoid heißt zusammenhängend genau dann, wenn es zwischen je zwei seiner Objekte mindestens
144
einen Morphismus gibt. Ist W ein zusammenhängendes Gruppoid und wählen
wir ein Objekt x ∈ W und für jedes y ∈ W einen ausgezeichneten Morphismus
gy : x → y, so erhalten wir umgekehrt einen Funktor W → [W(x)] durch die
Vorschrift f 7→ gz−1 ◦ f ◦ gy für alle Morphismen f : y → z. Ist dabei speziell
gx = idx , so ist die Verknüpfung
[W(x)] → W → [W(x)]
unserer beiden eben diskutierten Funktoren der Identitätsfunktor. Beim Beweis
des Satzes von Seifert-van Kampen dürfen wir nun ohne Beschränkung der Allgemeinheit außer U ∩ V auch U und V und damit auch X wegzusammenhängend annehmen, indem wir andernfalls jeweils zur Wegzusammenhangskomponente unseres Basispunkts x übergehen. Dann können wir für jeden Punkt y ∈ X
einen Weg von x nach y wählen so, daß unser Weg der konstante Weg ist im Fall
y = x und ganz in U beziehungsweise V verläuft, falls y in U beziehungsweise V
liegt. Mit diesen Wahlen erhalten wir nach dem Vorhergehenden Funktoren von
allen vier Ecken des linken in alle vier Ecken des rechten Diagramms in folgendem Schaubild:
/
W(U ∩ V )
W(U )
/
W(V )
/ [π1 (V, x)]
[π1 (U ∩ V, x)]
W(X)
[π1 (U, x)]
/
[π1 (X, x)]
Sie lassen sogar einen kommutativen Würfel entstehen und sind halbinvers zu den
offensichtlichen Einbettungen. Da das linke Diagramm kokartesisch ist, folgt dasselbe für das rechte Diagramm. Ist genauer G eine Gruppe, so liefert jede Ergänzung des Kowinkels im rechten Diagramm zu einem kommutativen Quadrat mit
[G] als rechter unterer Ecke eine Ergänzung des Kowinkels im linken Diagramm
zu einem kommutativen Quadrat mit [G] als rechter unterer Ecke. Diese Ergänzung muß von einem Funktor W(X) → [G] herkommen, der dann hinwiederum
einen möglichen Funktor [π1 (X, x)] → [G] liefert, der zu dem ursprünglichen
kommutativen Quadrat führt. Jeder derartige Funktor hinwiederum kommt von
einem eindeutig bestimmten Funktor W(X) → [G] her und ist damit auch selbst
eindeutig bestimmt.
Übungen
Übung 4.4.6. Ist M eine zusammenhängende d-Mannigfaltigkeit der Dimension
d ≥ 3 und E ⊂ M eine endliche Teilmenge, so induziert die Einbettung M \E ,→
M einen Isomorphismus auf den Fundamentalgruppen.
145
Übung 4.4.7. Man zeige, daß die Fundamentalgruppe des Komplements einer
Kreislinie im R3 isomorph ist zu Z. Hinweis: Die Fundamentalgruppe ändert sich
nach 4.4.6 nicht, wenn wir den R3 durch Hinzufügen eines Punktes zur S 3 machen. Dann kann man 3.7.14 anwenden.
4.5
Freie Gruppen
4.5.1 (Freie Monoide). Gegeben eine Menge X definieren wir ein Monoid WX,
das freie Monoid über X, wie folgt: Für n = 0, 1, 2, . . . betrachten wir zunächst
die Mengen Wn X := Ens({1, . . . , n}, X). Wir notieren unsere Abbildungen a :
{1, . . . , n} → X als a : i 7→ ai und interpretieren Elemente a ∈ Wn X als
endliche Wörter a1 a2 . . . an aus Elementen von X. Wir haben also:
W0 X besteht nur aus einem Wort, dem „leeren“ Wort, notiert e;
W1 X = {x | x ∈ X};
W2 X = {xy | x, y ∈ X} und so weiter.
F
Wir betrachten dann die „Menge aller Wörter“ WX = n Wn X und erklären
darauf eine Verknüpfung, das „Hintereinanderschreiben von Wörtern“
WX × WX → WX
(a, b)
7→ ab
Diese Verknüpfung ist offensichtlich assoziativ, die Längen von Wörtern addieren sich beim Verknüpfen, und das leere Wort ist ein neutrales Element. Dieses Monoid zusammen mit der offensichtlichen Einbettung can : X → WX
nennen wir das freie Monoid über X. In der Linie unserer Konventionen ??
verwenden wir für das freie Monoid über X auch die alternativen Notationen
WX = |Xi = |0! Xi = Mon↑ X.
Lemma 4.5.2 (Universelle Eigenschaft freier Monoide). Sei X eine Menge und
bezeichne can : X → WX, x 7→ x die kanonische Abbildung von X in das
freie Monoid über X. Ist M ein Monoid und ϕ : X → M eine Abbildung, so gibt
es genau einen Monoidhomomorphismus ϕ̃ : WX → M mit ϕ̃ ◦ can = ϕ, im
Diagramm
can /
WX
XE
EE
EE
ϕ EE ϕ̃
E" M
4.5.3. In nochmal anderer Notation induziert für jedes Monoid M das Vorschalten
∼
von can eine Bijektion Mon(WX, M ) → Ens(X, M ).
Beweis. Dem Leser überlassen.
146
Beispiel 4.5.4. Gegeben eine einelementige Menge X = {x} und das additive Monoid N liefert die Abbildung x 7→ 1 einen Isomorphismus von Monoiden
∼
W{x} → N.
4.5.5 (Charakterisierung durch universelle Eigenschaft). Gegeben eine Abbildung c : X → F von einer Menge in ein Monoid mit der Eigenschaft, daß für
∼
jedes Monoid M das Vorschalten von c eine Bijektion Mon(F, M ) → Ens(X, M )
∼
induziert, ist das Urbild von can : X → WX ein Isomorphismus F → WX. Die
Argumentation ist sehr ähnlich wie beim Nachweis der Eindeutigkeit von Produkten bis auf eindeutigen Isomorphismus 4.1.3 und bleibe dem Leser überlassen. Formal sind alle diese Aussagen Spezialfälle der Eindeutigkeit darstellender
Objekte 7.9.13.
Definition 4.5.6. Gegeben eine Menge X definieren wir eine Gruppe Grp↑ X, die
freie Gruppe über X, wie folgt: Wir beginnen mit dem freien Monoid
W ± X := W(X × {+1, −1})
über dem kartesischen Produkt X × {+1, −1}. Wir interpretieren Elemente a dieses Monoids als endliche Wörter aε11 aε22 . . . aεnn mit ai ∈ X und εi ∈ {+1, −1}.
Ein typisches Element unseres Monoids wäre etwa das Wort xyx−1 xy −1 mit x, y ∈
X. Sei nun ∼ die kleinste Äquivalenzrelation auf W ± X derart, daß mit unserer
Notation e für das leere Wort aus 4.5.1 gilt:
1. xx−1 ∼ e ∼ x−1 x ∀x ∈ X;
2. a ∼ b ⇒ ca ∼ cb und ac ∼ bc ∀a, b, c ∈ W ± X.
Bezeichne Grp↑ X := W ± X/ ∼ die Menge der Äquivalenzklassen. Die Klasse
von a ∈ W ± X heiße [a]. Offensichtlich definiert die Verknüpfung auf W ± X eine
Verknüpfung auf Grp↑ X.
Satz 4.5.7. Mit dieser Verknüpfung ist Grp↑ X eine Gruppe, die sogenannte freie
Gruppe über der Menge X.
Beweis. Das Assoziativgesetz gilt schon in W ± X, also erst recht in Grp↑ X. Das
leere Wort e ist schon neutral in W ± X, also ist erst recht [e] neutral in Grp↑ X. Um
die Existenz von Inversen nachzuweisen, betrachte man zu a = aε11 aε22 . . . aεnn das
2 −ε1
Wort b = an−εn . . . a−ε
oder in Formeln zu a : {1, . . . , n} → (X ×{+1, −1})
2 a1
das Wort b gegeben durch b(i) = (an−i , −εn−i ). Ist zum Beispiel a = xyx−1 yxx,
so nehmen wir b = x−1 x−1 y −1 xy −1 x−1 . Dann gilt offensichtlich [b][a] = [a][b] =
[e].
147
Lemma 4.5.8 (Universelle Eigenschaft freier Gruppen). Sei X eine Menge und
bezeichne can : X → Grp↑ X, x 7→ [x] die kanonische Abbildung von X in die
freie Gruppe über X. Ist G eine Gruppe und ϕ : X → G eine Abbildung, so gibt
es genau einen Gruppenhomomorphismus ϕ̃ : Grp↑ X → G mit ϕ̃ ◦ can = ϕ, im
Diagramm
can
X GG / Grp ↑ X
GG
GG
ϕ GGGG #
ϕ̃
G
4.5.9. In nochmal anderer Notation induziert für jede Gruppe G das Vorschalten
∼
von can eine Bijektion Grp(Grp↑ X, G) → Ens(X, G). Ähnlich wie wir es im
Fall freier Monoide in 4.5.5 ausbuchstabiert hatten, werden auch freie Gruppen
durch ihre universelle Eigenschaft bereits charakterisiert bis auf Isomorphismus.
Beweis. Man definiere ϕ̂ : W ± X → G durch
ϕ̂(aε11 . . . aεnn ) = ϕ(a1 )ε1 . . . ϕ(an )εn
Betrachten wir auf W ± X die Äquivalenz-Relation a ∼ϕ b ⇔ ϕ̂(a) = ϕ̂(b), so
erfüllt ∼ϕ sicher die Bedingungen 1 und 2 an unsere Äquivalenzrelation auf W ± X
aus 4.5.6. Also ist ϕ̂ konstant auf den Äquivalenzklassen zu ∼ und definiert eine
Abbildung ϕ̃ : Grp↑ X → G mit ϕ̃([a]) = ϕ̂(a). Damit ist die Existenz von ϕ̃
gezeigt. Die Eindeutigkeit ist klar.
Vorschau 4.5.10. Die Notationen Mon↑ X und Grp↑ X werden in 6.8.4 verallgemeinert auf beliebige Kategorien C mit einem ausgezeichneten Funktor in die
Kategorie der Mengen.
Beispiel 4.5.11. Die freie Gruppe über der leeren Menge besteht nur aus dem neutralen Element. Die freie Gruppe über einer einelementigen Menge ist isomorph
zur additiven Gruppe der ganzen Zahlen. Ist genauer X = {x} eine einelementige Menge, so ist der Gruppenhomomorphismus Grp↑ X → Z mit [x] 7→ 1 ein
Isomorphismus.
Proposition 4.5.12. Ist I ⊂ C eine endliche Teilmenge, so gibt es für jeden Basispunkt ∗ einen (unkanonischen) Isomorphismus zwischen der Fundamentalgruppe
des Komplements von I und der freien Gruppe über I, in Formeln
π1 (C\I, ∗) ∼
= Grp↑ I
Beweis. Nach Korollar 3.7.6 induziert eine Homotopieäquivalenz Isomorphismen
auf den Fundamentalgruppen. Wir dürfen deshalb ohne Beschränkung der Allgemeinheit annehmen, es sei I = {1, 2, . . . , n}. Wir wenden nun den Satz von
148
Ein geschlossener nicht zusammenziehbarer Weg im Komplement einer
zweielementigen Teilmenge der komplexen Zahlenebene. Denken wir uns das
Mittelkreuz als Basispunkt und bezeichnet α bzw. β in der Fundamentalgruppe
das Umrunden gegen den Uhrzeigersinn von a bzw. b, so ist unser
Fundamentalgruppe nach 4.5.12 frei erzeugt von α und β und unser Weg
repräsentiert das Element α−1 β −1 αβ in der Fundamentalgruppe. Denken wir uns
an den beiden Kreuzen je einen Nagel in die Wand geschlagen, bleibt unsere
Schnur hängen, weil sie eben ein nichttriviales Element der Fundamentalgruppe
repräsentiert. Sobald wir einen der beiden Nägel herausziehen, wird jedoch die
Fundamentalgruppe des Komplements des verbleibenden Nagels kommutativ
und die Schnur fällt herunter.
149
Seifert-van Kampen an mit U = {z ∈ C\I | Re z < n} und V = {z ∈ C\I |
Re z > n − 1} und erhalten den Satz mit vollständiger Induktion aus Übung
4.5.16.
Ergänzung 4.5.13. Gegeben eine Menge X kann man die abelsche Gruppe ZX
aller Abbildungen X → Z betrachten, die an höchstens endlich vielen Stellen
von Null verschiedene Werte annehmen. Die Abbildung can : X → ZX, die
jedem Element von X seine charakteristische Funktion δx zuordnet, hat dann die
universelle Eigenschaft, daß das Vorschalten dieser Abbildung für jede abelsche
Gruppe A eine Bijektion
∼
(◦ can) : Ab(ZX, A) → Ens(X, A)
zwischen Gruppenhomomorphismen von abelschen Gruppen ZX → A und Abbildungen X → A induziert. Aufgrund dieser universellen Eigenschaft heißt ZX
die freie abelsche Gruppe über X und wir notieren sie auch Ab↑ X. Wieder
legt diese universelle Eigenschaft unser Paar (can, ZX) bereits bis auf eindeutigen Isomorphismus eindeutig fest. So erkennen wir, daß die durch can induzierte
universelle Abbildung Grp↑ X → Ab↑ X einen Isomorphismus
∼
(Grp↑ X)ab → Ab↑ X
von der Abelisierung im Sinne von 3.8.1 der freien Gruppe über X in die freie
abelsche Gruppe über X induzieren muß. Das hinwiederum zeigt, daß die freien Gruppen über zwei Mengen X, Y nur dann isomorph sein können, wenn gilt
|X| = |Y |, denn für freie abelsche Gruppen A können wir das leicht aus der Wohldefiniertheit der Dimension ?? bzw. ?? folgern, angewandt auf den F2 -Vektorraum
A/2A. Wir nennen die Kardinalität von X den Rang der freien Gruppe Grp↑ X.
Ergänzung 4.5.14 (Schottky-Gruppen). Man kann sich anschaulich leicht klar
machen, daß die Gruppe PGL(2; C) freie Untergruppen von beliebigem endlichem Rang besitzt. Dazu betrachtet man ihre Operation auf der Zahlenkugel P1 C.
Für jedes Paar von disjunkten abgeschlossenen Kreisscheiben K, L ⊂ P1 C findet
man γ ∈ PGL(2; C) mit γ(P1 C\K) = L◦ . Wählt man nun endlich viele solche
Paare Ki , Li von abgeschlossenen Kreisscheiben, die auch untereinander paarweise disjunkt sind, und betrachtet das Untergruppenerzeugnis Γ := hγ1 , . . . , γr i der
zugehörigen γi , so erhält man eine freie Gruppe vom Rang r. In der Tat, betrachtet
man die Menge A aller Translate der Randkreise A := Γ(∂K1 ∪ ∂L1 ∪ . . . ∪ ∂Lr ),
so ist ihr Komplement offen. Betrachtet man dann die Menge Z := Zus(P1 C\A)
aller Zusammenhangskomponenten des Komplements und verbindet zwei Komponenten z, t ∈ Z durch eine Kante, wenn ihre Abschlüsse nichtleeren Schnitt
haben, so erhält man einen zykelfreien eindimensionalen Simplizialkomplex alias
Baum, bei dem von jeder Ecke 2r Kanten ausgehen. Die induzierte Operation von
150
Γ auf diesem Simplizialkomplex geschieht in der Weise, daß unsere Erzeuger und
ihre Inversen jede Ecke allen ihren 2r Nachbarn schieben. So kann man zumindest
anschaulich gut einsehen, daß Γ eine freie Gruppe vom Rang r sein muß.
Übungen
Übung 4.5.15. Sei X eine Menge. Man zeige, daß jedes Element der freien Gruppe Grp↑ X über X genau einen Repräsentanten kürzester Länge in W ± X hat, und
daß diese Repräsentanten genau die „unkürzbaren Worte“ aus W ± X sind. Hinweis: Man konstruiere eine Operation der Gruppe Grp↑ X auf der Menge aller
unkürzbaren Worte.
Übung 4.5.16. Jede Abbildung von Mengen ϕ : X → Y setzt sich auf genau eine
Weise fort zu einer Abbildung von Gruppen Grp↑ X → Grp↑ Y , und unser Grp↑ ist
so in natürlicher Weise ein Funktor von den Mengen in die Gruppen. Man zeige,
daß dieser Funktor Grp↑ kokartesische Diagramme von Mengen zu kokartesischen
Diagrammen von Gruppen macht. Das wird später zu 6.8.21 verallgemeinert. Sind
insbesondere X und Y zwei Mengen, so ist das folgende Diagramm kokartesisch
in der Kategorie der Gruppen:
Grp↑(X ∩ Y ) →
Grp↑ X
↓
↓
↑
↑
Grp Y
→ Grp (X ∪ Y )
Übung 4.5.17. Man zeige, daß wir einen Isomorphismus zwischen der freien
Gruppe überWeiner endlichen Menge I und der Fundamentalgruppe der Einpunktverbindung i∈I S 1 von Kopien der bepunkteten Räume (S 1 , 1) erhalten, wenn
wir jedem i ∈ I das „einfache Durchlaufen der i-ten Kreislinie“ zuordnen.
Übung 4.5.18 (Verschlungene und nicht verschlungene Kreislinien). Die Fundamentalgruppe des Komplements zweier „nicht ineinander verschlungener“ Kreislinien in R3 ist isomorph zur freien Gruppe in zwei Erzeugern. Hinweis: 4.4.7.
Die Fundamentalgruppe des Komplements von zwei „ineinander verschlungenen“
Kreislinien in R3 ist isomorph zur freien abelschen Gruppe in zwei Erzeugern.
Hinweis: R3 mithilfe von 4.4.6 zu S 3 ergänzen, 3.7.14 anwenden.
Übung 4.5.19. Man bestimme die Fundamentalgruppe des Komplements einer
Acht im R3 .
4.6
Push-out von Gruppen
4.6.1. Schon beim Satz von Seifert und van Kampen wird sich der Leser gefragt
haben, ob sich eigentlich jedes Kowinkeldiagramm von Gruppen zu einem kokartesischen Diagramm vervollständigen läßt. Das ist in der Tat der Fall und soll nun
bewiesen werden. Wir beginnen mit einem besonders einfachen Fall.
151
Satz 4.6.2 (Koprodukte von Gruppen). In der Kategorie der Gruppen existiert
zu je zwei Gruppen ein Koprodukt.
Ergänzung 4.6.3. Man zeigt ähnlich, daß für eine beliebige Familie von Gruppen
ein Koprodukt in der Kategorie der Gruppen existiert.
Beweis. Das Koprodukt von zwei Gruppen G1 und G2 heißt auch das freie Produkt der Gruppen G1 und G2 und wird notiert als
G1 ∗ G2
Nach der universellen Eigenschaft der freien Gruppe Grp↑ G über der Menge G
haben wir ja für jede Gruppe G genau einen Gruppenhomomorphismus Grp↑ G G, dessen Verknüpfung mit can : G → Grp↑ G die Identität auf G ist. Den Kern
RG ⊂ Grp↑ G von diesem Gruppenhomomorphismus nennen wir die „Relationen
von G“. Wir definieren die Gruppe G1 ∗ G2 als den Quotienten der freien Gruppe über der disjunkten Vereinigung unserer beiden Gruppen nach dem von den
Relationen in beiden Gruppen erzeugten Normalteiler, in Formeln
G1 ∗ G2 := Grp↑(G1 t G2 )/hhRG1 ∪ RG2 ii
Hier haben wir der Einfachheit halber das Bild von RGi unter der von der Inklusion induzierten Abbildung Grp↑ Gi → Grp↑(G1 t G2 ) auch mit RGi bezeichnet.
Wir behaupten nun, daß diese Gruppe G1 ∗ G2 mit den offensichtlichen Abbildungen cani : Gi → G1 ∗ G2 ein Koprodukt ist. In der Tat, ist irgendeine Gruppe
H gegeben mitsamt Abbildungen f1 : G1 → H und f2 : G2 → H, so erhalten wir einen Gruppenhomomorphismus f : Grp↑(G1 t G2 ) → H. Ist zusätzlich fi ein Gruppenhomomorphismus, so liegt RGi im Kern von f . Sind f1 , f2
Gruppenhomomorphismen, so definiert f mithin einen Gruppenhomomorphismus
f¯ : G1 ∗ G2 → H.
Korollar 4.6.4. Jedes Kowinkeldiagramm von Gruppen läßt sich zu einem pushout-Diagramm vervollständigen.
4.6.5. Man nennt so einen push-out auch ein amalgamiertes Produkt und bezeichnet ihn mit G1 ∗G G2 .
Beweis. Sei
G
ϕ1 ↓
G1
ϕ2
→ G2
unser Kowinkeldiagramm. Wir konstruieren dann unseren Pushout als den Quotienten G1 ∗ G2 /hhϕ1 (x)−1 ϕ2 (x) | x ∈ Gii und überlassen es dem Leser, die
universelle Eigenschaft zu prüfen.
152
Übungen
Übung 4.6.6. Ist in einem kokartesischen Diagramm von Gruppen einer der Ausgangspfeile eine Surjektion, so auch der parallele Pfeil in den Push-out. Hinweis:
Sein Bild hat die universelle Eigenschaft.
Übung 4.6.7 (Explizite Beschreibung des freien Produkts). Seien G1 , G2 Gruppen. Man zeige, daß sich jedes Element des freien Produkts G1 ∗ G2 in eindeutiger
Weise als ein Produkt g1 g2 . . . gn schreiben läßt mit n ≥ 0 und gk ∈ Gε(k) nicht
das neutrale Element und ε(k) 6= ε(k + 1) für 1 ≤ k < n. Wie üblich soll hier das
leere Produkt mit n = 0 das neutrale Element von G1 ∗ G2 darstellen. Hinweis:
Man orientiere sich am Beweis von Übung 4.5.15.
4.7
Simplizialkomplexe und triangulierbare Flächen
4.7.1 (Konvexe Hülle). Ist V ein reeller Raum und M ⊂ V eine Teilmenge, so
definiert man die konvexe Hülle von M wie in ?? als als den Schnitt aller konvexen
Teilmengen von V , die M umfassen. Die konvexe Hülle der leeren Menge ist die
leere Menge. Explizit wird die konvexe Hülle einer nichtleeren Menge im Fall
eines Vektorraums gegeben durch die Vorschrift
Pn
P
konv(M ) = { ni=0 ti pi | n ≥ 0, pi ∈ M, ti ≥ 0,
i=0 ti = 1}
Im Fall eines P
affinen Raums gilt dieselbe Formel, wenn man die Summe interpretiert als p0 + ni=1 ti (pi − p0 ).
Definition 4.7.2. Punkte p0 , . . . , pn in einem reellen affinen Raum heißen affin
unabhängig genau dann, wenn es keinen (n − 1)-dimensionalen affinen Teilraum
gibt, der sie alle enthält. Dann nennt man ihre konvexe Hülle konv(p0 , . . . , pn )
auch den vollen Simplex mit Ecken p0 , . . . , pn .
Beispiele 4.7.3. Wir haben konv(∅) = ∅. Es gilt konv(p) = {p}. Zwei Punkte
p, q sind affin unabhängig genau dann, wenn sie verschieden sind, und in diesem
Fall ist konv(p, q) das „abgeschlossene Streckenstück zwischen p und q“, das wir
manchmal auch [p, q] notieren. Drei Punkte p, q, r sind affin unabhängig genau
dann, wenn sie nicht auf einer Geraden liegen, und in diesem Fall ist konv(p, q, r)
die „abgeschlossene Fläche des Dreiecks mit Ecken p, q und r“.
4.7.4 (Diskussion der Terminologie). Die Bezeichnung „Simplex“ kann wohl
zurückgeführt werden auf denselben Wortstamm wie „simpel“. In jedem Fall werden volle Simplizes verwendet als einfachste Grundbausteine bei der Konstruktion
komplizierterer Räume. Die Konstruktionsvorschrift ist dabei ein rein kombinatorisches Datum, das wir gleich definieren und einen „Simplizialkomplex“ nennen
werden. Den zugehörigen topologischen Raum nennen wir dann den zugehörigen
„Polyeder“.
153
Eine endliche Teilmenge der Ebene, dargestellt durch fette Punkte, und ihre
konvexe Hülle, dargestellt als schraffierter Bereich.
154
Definition 4.7.5. Ein Simplizialkomplex K = (E, K) ist eine Menge E mitsamt einem System K ⊂ P(E) von endlichen Teilmengen von E, das unter dem
Bilden von Teilmengen stabil ist und die leere Menge sowie alle einelementigen
Teilmengen von E enthält. In Formeln ausgedrückt fordern wir von unserem Mengensystem K ⊂ P(E) also:
1. |K| < ∞ ∀K ∈ K;
2. (K ∈ K und L ⊂ K) ⇒ L ∈ K;
3. {e} ∈ K ∀e ∈ E;
4. ∅ ∈ K.
Ich gebe zu, daß die letzte Bedingung nur im Fall E = ∅ nicht aus den anderen
Bedingungen folgt. Wir nennen die Elemente von E die Ecken und die Elemente
von K die Simplizes unseres Simplizialkomplexes. Die Simplizes der Kardinalität
(n+1) nennen wir n-Simplizes und die Menge aller n-Simplizes notieren wir Kn .
Wir identifizieren oft stillschweigend die Menge E der Ecken mit der Menge K0
der 0-Simplizes. Wenn in der Literatur von einem Simplizialkomplex die Rede ist,
ist allerdings auch oft ein „abstrakter“ Simplizialkomplex im Sinne von Übung
4.7.17 gemeint.
Beispiel 4.7.6. Für jede Menge E ist das System all ihrer endlichen Teilmengen ein Simplizialkomplex. Ich nenne ihn den maximalen Simplizialkomplex
mit Eckenmenge E. Insbesondere gilt das auch für E = ∅. In diesem Fall besitzt unser Simplizialkomplex als einzigen Simplex die leere Menge, einen (−1)Simplex. Auch im allgemeinen besitzt jeder Simplizialkomplex genau einen (−1)Simplex, eben die leere Menge.
Definition 4.7.7. Wir ordnen jedem Simplizialkomplex (E, K) einen topologischen Raum ∆(K) zu, den wir seinen Polyeder nennen. Als zugrundeliegende
Menge nehmen wir
Es gibt einen Simplex σ ∈ K mit (supp f ) = σ
P
∆(K) := f : E → R≥0 und es gilt e∈E f (e) = 1
mit der üblichen Notation supp f := {e ∈ E | f (e) 6= 0} für den Träger oder
englisch und französisch „support“ von f . Diese Menge ist enthalten im freien
Vektorraum RE über E aller Abbildungen E → R mit endlichem Träger. Für alle
σ ∈ K betrachten wir nun die Teilmenge ∆(σ) ⊂ ∆(K) aller f mit Träger in σ.
Bezeichnen wir für e ∈ E mit e ∈ RE das zugehörige Element der Standardbasis
155
Versuch der graphischen Darstellung des Polyeders eines Simplizialkomplexes
mit acht Ecken E = {a, b, . . . , h}, einem 3-Simplex {a, b, c, d}, sechs
2-Simplizes {a, b, c}, {a, b, d}, {a, c, d}, {b, c, d}, {b, d, e}, {f, g, h}, und
dreizehn 1-Simplizes.
156
und besteht σ aus den n + 1 Ecken e0 , . . . , en ∈ E, so ist ∆(σ) gerade die konvexe
Hülle der ei , in Formeln
∆(σ) = konv(e0 , . . . , en )
Unser Polyeder ist die Vereinigung aller dieser vollen Simplizes. Ist E endlich,
so nehmen wir als Topologie auf ∆(K) schlicht die Topologie, die induziert wird
von der natürlichen Topologie auf dem endlichdimensionalen reellen Vektorraum
RE aus 1.11.14. Im allgemeinen versehen wir ∆(K) mit der Finaltopologie bezüglich aller Inklusionen ∆(L) ⊂ ∆(K) von Polyedern endlicher Unterkomplexe L ⊂ K oder gleichbedeutend der Finaltopologie bezüglich aller Inklusionen
∆(σ) ⊂ ∆(K) der vollen Simplizes zu σ ∈ K. In Übung 4.7.15 wird erklärt,
warum wir unsere Menge nicht mit der Kofinaltopologie zur Familie der Auswertungen an allen Ecken E unseres Komplexes versehen wollen. Den Polyeder des
maximalen Simplizialkomplexes zu einer Menge E von Ecken nennen wir den
vollen Simplex mit Eckenmenge E.
Ergänzung 4.7.8. Ein grundlegendes und weitgehend ungelöstes Problem der Topologie ist die Klassifikation aller endlichen Polyeder bis auf Homotopie, siehe
zum Beispiel den Artikel von Baues in [Jam95].
4.7.9 (Sparsame Realisierungen von Polyedern). Wir können den Polyeder ∆(K)
eines Simplizialkomplexes (E, K) oft auch in Vektorräumen V einer Dimension
dim V < |E| realisieren. Ist genauer E → V , e 7→ ē irgendeine Abbildung der
Ecken unseres Simplizialkomplexes in einen reellen Vektorraum V , so gibt es genau eine lineare Abbildung RE → V mit e 7→ ē. Ist diese Abbildung darüber
hinaus injektiv auf ∆(K) und ist unser Vektorraum endlichdimensional und unser
Simplizialkomplex endlich, so induziert unsere Abbildung nach 2.5.12 einen Homöomorphismus von unserem Polyeder mit seinem Bild. Notwendig und hinreichend für die Injektivität ist hier, daß (1) für jeden Simplex σ ∈ K seine Bildmenge σ̄ ⊂ V affin unabhängig ist in V und daß (2) für je zwei Simplizes σ, τ ∈ K für
die vollen Simplizes konv(σ̄) ⊂ V gilt konv(σ̄) ∩ konv(τ̄ ) = konv(σ ∩ τ ). Unter
diesen Voraussetzungen (1) und (2) liefert unsere Abbildung also einen Homöomorphismus zwischen dem Polyeder ∆(K)Seines endlichen Simplizialkomplexes
und der Vereinigung von vollen Simplizes σ∈K konv(σ̄) im endlichdimensionalen Vektorraum V .
Definition 4.7.10. Eine simpliziale Abbildung ϕ von einem Simplizialkomplex
(E, K) in einen Simplizialkomplex (E 0 , K0 ) ist eine Abbildung auf den Ecken
ϕ : E → E 0 derart, daß gilt σ ∈ K ⇒ ϕ(σ) ∈ K0 . So eine simpliziale Abbildung
definiert eine stetige Abbildung ϕ : ∆(K) → ∆(K0 ) zwischen den zugehörigen
topologischen Räumen durch „affine Fortsetzung auf das Innere der Simplizes“,
157
in Formeln f 7→ ϕf mit
(ϕf )(e0 ) =
X
f (e) ∀e0 ∈ E 0
ϕ(e)=e0
Definition 4.7.11. Eine kombinatorische Fläche ist ein endlicher Simplizialkomplex F derart, daß gilt:
1. Jeder Simplex liegt in einem 2-Simplex;
2. Jeder 1-Simplex liegt in höchstens zwei 2-Simplizes;
3. Alle 2-Simplizes, die einen gegebenen 0-Simplex enthalten, lassen sich so
durchnummerieren als σ1 , σ2 , . . . , σr , daß jeweils σi und σi+1 eine Kante
gemeinsam haben, in Formeln |σi ∩ σi+1 | = 2 für 1 ≤ i < r.
Diejenigen 1-Simplizes, die nur zu einem einzigen 2-Simplex gehören, nennen wir
die Randkanten unserer kombinatorischen Fläche. Gehört sogar jeder 1-Simplex
zu genau zwei 2-Simplizes, so nennen wir unseren Simplizialkomplex eine geschlossene kombinatorische Fläche oder auch eine kombinatorische Fläche
ohne Rand.
4.7.12. Es ist leicht zu sehen und auch nicht schwer zu beweisen, daß der zu einer geschlossenen kombinatorischen Fläche F gehörige Polyeder ∆(F) eine geschlossene Fläche alias eine kompakte 2-Mannigfaltigkeit im Sinne unserer Definition 3.1.5 ist.
Definition 4.7.13. Eine Triangulierung einer geschlossenen Fläche X ist ein
Paar bestehend aus einer geschlossenen kombinatorischen Fläche F und einem
∼
Homöomorphismus ∆(F) → X.
Ergänzung 4.7.14. Rado [?, ?] hat gezeigt, daß jede geschlossene Fläche eine Triangulierung besitzt. Der Beweis ist nicht ganz einfach. In höheren Dimensionen
gibt es übrigens auch durchaus kompakte topologische Mannigfaltigkeiten, die
nicht homöomorph sind zu Polyedern, die also „nicht triangulierbar“ sind.
Übungen
Übung 4.7.15. Der Polyeder ∆(K) zu einem Simplizialkomplex (E, K) ist stets
Hausdorff und jede kompakte Teilmenge A ⊂ ∆(K) ist schon enthalten in einer
Vereinigung von endlich vielen Simplizes. Hinweis: Eine Teilmenge von ∆(K),
die jeden Simplex in höchstens endlich vielen Punkten trifft, ist stets abgeschlossen und diskret. Besteht unser Simplizialkomplex aus abzählbar vielen Kanten,
die in einen zentralen Punkt hereinlaufen, so gälte diese Aussage nicht für die von
den Auswertungen an allen Ecken induzierte Initialtopologie!
158
Dieser Simplizialkomplex ist keine kombinatorische Fläche, da im „mittleren
Punkt“ die dritte Bedingung unserer Definition 4.7.11 verletzt ist.
159
Übung 4.7.16. Ein Simplizialkomplex heißt lokal endlich genau dann, wenn jede
seiner Ecken nur zu endlich vielen Simplizes gehört. Man zeige, ein Simplizialkomplex genau dann lokal endlich ist, wenn sein Polyeder lokal kompakt ist.
Hinweis: 4.7.15.
Übung 4.7.17. Ein abstrakter Simplizialkomplex ist eine partiell geordnete Menge derart, daß (1) jede zweielementige Teilmenge eine größte untere Schranke besitzt und (2) die Menge aller Elemente kleinergleich einem beliebig vorgegebenen
Element als partiell geordnete Menge isomorph ist zum System aller Teilmengen
einer endlichen Menge. Natürlich ist für jeden Simplizialkomplex im Sinne von
4.7.5 die Menge seiner Simplizes mit der durch die Inklusion gegebenen Ordnung
ein abstrakter Simplizialkomplex. Man zeige, daß umgekehrt auch jeder abstrakte
Simplizialkomplex isomorph ist zur partiell geordneten Menge der Simplizes eines bis auf Isomorphismus eindeutig bestimmten Simplizialkomplexes im Sinne
von 4.7.5.
Ergänzende Übung 4.7.18. Für eine beliebige Menge E ist die Menge K aller
endlichen Teilmengen von E ein Simplizialkomplex. Den zugehörigen Polyeder
schreiben wir ∆(E) und nennen ihn den vollen Simplex mit Ecken E. Man zeige,
daß für E 6= ∅ der volle Simplex ∆(E) zusammenziehbar ist.
4.8
Klassifikation der geschlossenen Flächen
4.8.1. Wir werden im folgenden den in 3.1.7 formulierten Satz unter der Zusatzannahme der „Triangulierbarkeit“ beweisen, d.h. wir klassifizieren die triangulierbaren geschlossenen Flächen bis auf Homöomorphie. Dieser Abschnitt nimmt
insofern eine Sonderstellung ein, als die Argumentation nicht so weit in die formalen Details getrieben wird wie in den anderen Abschnitten.
Definition 4.8.2. Sei F eine kombinatorische Fläche. Eine Zerschneidung von F
ist eine kombinatorische Fläche Z mit einer simplizialen Abbildung ϕ : Z → F,
∼
die auf den 2-Simplizes eine Bijektion ϕ : Z2 → F2 induziert. Umgekehrt sagen
wir in dieser Situation auch, F entstehe durch Verklebung von Z.
Definition 4.8.3. Eine kombinatorische Fläche Z heißt ein Vieleck genau dann,
wenn der zugehörige Polyeder ∆(Z) homöomorph ist zur abgeschlossenen Kreisscheibe D2 = {z ∈ C | |z| ≤ 1}.
∼
Lemma 4.8.4. Ist eine kombinatorische Fläche Z ein Vieleck und ϕ : D2 →
∆(Z) ein Homöomorphismus, so ist das Bild der Kreislinie ϕ(S 1 ) die Vereinigung
der Randkanten von Z im Sinne von 4.7.11.
160
Dieses Bild zeigt eine Zerschneidung des Schwimmrings alias Torus zu einem
Viereck. In der demnächst eingeführten Terminologie wird es auch die Definition
der Fläche F (aba−1 b−1 ) anschaulich machen. Verkleben wir nur längs der
b-Kanten, so entsteht eine Klopapierrolle. Verkleben weiter längs der b-Kanten,
so entsteht ein Schwimmring alias Torus.
161
Beweis. Das Komplement von S 1 kann man in der Kreisscheibe D2 charakterisieren als die Menge aller Punkte z, die eine zusammenziehbare Umgebung U besitzen derart, daß U \z eine nichttriviale Fundamentalgruppe hat. Das Komplement
der Vereinigung der Randkanten in ∆(Z) kann man genauso charakterisieren.
Lemma 4.8.5. Jede zusammenhängende kombinatorische Fläche besitzt eine Zerschneidung zu einem Vieleck.
Beweis. Sei F unsere kombinatorische Fläche. Sicher gibt es eine Zerschneidung
von F in eine disjunkte Vereinigung endlich vieler Vielecke. Sei Z → F eine
solche Zerschneidung mit der kleinstmöglichen Zahl von Zusammenhangskomponenten. Nehmen wir einmal an, es gäbe hier mehr als eine Komponente. Dann
könnten wir also 2-Simplizes σ, τ ∈ F2 finden, die von verschiedenen Zusammenhangskomponenten von Z herkommen. Da F zusammenhängend ist, könnten wir
σ, τ in F durch eine Kette von 2-Simplizes σ = σ0 , σ1 , . . . , σr = τ verbinden derart, daß gilt σi ∩ σi+1 6= ∅. Aufgrund unserer Annahmen an eine kombinatorische
Fläche können wir sogar annehmen, daß σi ∩ σi+1 jeweils ein 1-Simplex ist. Dann
finden wir aber notwendig ein i derart, daß σi und σi+1 von verschiedenen Zusammenhangskomponenten von Z herkommen. Verkleben wir nun diese beiden
Zusammenhangskomponenten entlang der Randkante σi ∩ σi+1 , so erhalten wir
eine Zerschneidung von F in weniger Vielecke, im Widerspruch zur angenommenen Minimalität.
4.8.6. Sei nun F eine geschlossene kombinatorische Fläche und ϕ : Z → F eine Zerschneidung zu einem Vieleck. Sicher werden unter ϕ die Randkanten von
Z paarweise identifiziert. Insbesondere ist also die Zahl der Randkanten unseres
Vielecks gerade. Die Identifizierungsvorschrift können wir formal so aufschreiben:
Definition 4.8.7. Sei A eine endliche Menge, die wir in diesem Zusammenhang
unser „Alphabet“ nennen, mit |A| = r ≥ 0 Elementen, den „Buchstaben“. Ein
Flächenwort im Alphabet A ist eine Abbildung
{1, 2, 3, . . . , 2r} → A × {1, −1}
i
7→ (a(i), ε(i))
derart, daß jeder Buchstabe genau zweimal als ein a(i) vorkommt.
4.8.8. Wir schreiben Flächenworte in der Form a(1)ε(1) . . . a(2r)ε(2r) und nennen
2r die „Länge“ so eines Flächenworts. Beispiele für Flächenworte im Alphabet
A = {a, b} sind etwa die Ausdrücke aabb−1 und aba−1 b.
162
Dieses Bild soll die Definition der Fläche F (aabb) anschaulich machen. Statt die
zu jeweils zu verklebenden Randkanten mit denselben Buchstaben zu benennen,
habe ich sie jeweils mit demselben Typ von Pfeilen, hier Doppelpfeilen bzw.
einfachen Pfeilen, gekennzeichnet. Verklebt wird eigentlich nur das fett
eingezeichnete Viereck. Ich finde, man erkennt in der Mitte recht gut, wie das
Verkleben eine Fläche liefert, in der alle vier Eckpunkte unseres Quadrats
dasselbe Bild haben. Es ist jedoch nicht so leicht zu sehen, daß diese Fläche
homöomorph ist zur Klein’schen Flasche. Um sich das zu überlegen, sollte man
wohl am besten die Klein’sche Flasche zerschneiden: Einmal rund um den
Flachenhals, ein zweites Mal in Längsrichtung Flasche und Hals.
163
Definition 4.8.9. Gegeben ein Flächenwort w in r ≥ 2 Buchstaben konstruieren
wir eine geschlossene Fläche F (w) wie folgt: Wir betrachten ein regelmäßiges
2r-Eck, mit 2r der Länge unseres Flächenworts, schreiben die Buchstaben unseres
Flächenworts der Reihe nach an seine Kanten, und versehen jede Kante mit einem
Pfeil im Gegenuhrzeigersinn bzw. Uhrzeigersinn, je nachdem ob der Exponent
ihres Buchstabens 1 bzw. −1 ist. Dann verkleben wir jeweils die Kanten mit den
gleichen Buchstaben so, daß die Spitzen der Pfeile identifiziert werden. Im Fall
r = 1 erlauben wir dem 2-Eck krumme Kanten und erhalten so zum Beispiel
F (aa) ∼
= P2 R und F (aa−1 ) ∼
= S 2 . Im Fall r = 0 definieren wir F ( ) = S 2 .
Lemma 4.8.10. Der auf diese Weise zu einem Flächenwort w konstruierte topologische Raum F (w) ist stets eine geschlossene Fläche.
Beweis. Die größte Schwierigkeit scheint mir hierbei der Nachweis, daß auch die
Bilder der Ecken unseres Vielecks im verklebten Raum F (w) eine zu einer offenen Kreisscheibe homöomorphe offene Umgebung besitzen. Um das zu sehen,
muß man sich überlegen, daß lokal um das Bild einer Ecke schlicht „mehrere Winkelsegmente zu einer Kreisscheibe verklebt werden“. Wir überlassen die Details
dem Leser.
Satz 4.8.11 (Klassifikation der geschlossenen Flächen). Jede zusammenhängende triangulierbare geschlossene Fläche ist homöomorph zur Fläche F (w) für
genau ein Flächenwort w aus der folgenden Liste:
−1
−1 −1
−1 −1
1. a1 b1 a−1
1 b1 a2 b2 a2 b2 . . . ag bg ag bg mit g ≥ 0;
2. a1 a1 a2 a2 . . . ag ag mit g ≥ 1.
4.8.12. Dieser Satz präzisiert die in der Einleitung besprochene Klassifikation der
geschlossenen Flächen 3.1.7. Wenn wir den Satz von Rado glauben, können wir
hier sogar auf die Annahme der Triangulierbarkeit verzichten, da nach diesem
Satz jede zusammenhängende geschlossene Fläche triangulierbar ist.
Beweis. Zunächst einmal listen wir einige fundamentale Operationen auf der Menge aller Flächenwörter auf, die offensichtlich den Homöomorphietyp der zugehörigen Fläche nicht ändern. In den folgenden Formeln bedeuten a, b, c, d mit und
ohne Hut stets Buchstaben unseres Alphabets A, dahingegen bedeuten u, v, w, z
beliebige Abschnitte von Flächenwörtern.
1. „Zyklisches Vertauschen“ und „von hinten nach vorne Lesen“, in Formeln
F (vw) ∼
= F (wv) und F (w) ∼
= F (w−1 );
2. „Substituieren“ von a−1 für a, in Formeln F (vaε waη z) ∼
= F (va−ε wa−η z);
164
Dieses Bild soll die zweite Regel F (uavzaw) ∼
= F (uz −1 bw−1 vb) zum
Aufschneiden und Verkleben anschaulich machen. Kleben wir das darin
enthaltene achteckige „Stoppschild“ zu einer Fläche zusammen, so entsteht
dieselbe Fläche wie beim Zusammenkleben des mit gestricheltem Rand
gezeichneten „Schmetterlings“. Hierbei könnten wir etwa konkret an ein
Flächenwort in vier Buchstaben a, c, d, e denken und etwa u = c, v = c−1 e,
z = d−1 und w = ed setzen, dieser
165Fall ist als Beispiel eingezeichnet.
3. „Aufschneiden des Vielecks längs der Gerade zwischen zwei Ecken und
Zusammenkleben längs einer äußeren Kante“ wie im nebenstehenden Bild
dargestellt, in Formeln
F (uavza−1 w)
F (uavzaw)
∼
= F (uwb−1 zvb)
∼
= F (uz −1 bw−1 vb)
Zu jedem Flächenwort w definieren wir seine Eckenzahl als die Zahl der Punkte in der zugehörigen Fläche F (w), die Bilder von Ecken unseres Vielecks sind.
Kombinatorisch betrachtet man auf der Menge der Ecken die kleinste Äquivalenzrelation, unter der je zwei Ecken mit einer Ausgangskante zum selben Buchstaben
oder einer Eingangskante zum selben Buchstaben äquivalent sind, und kann dann
die Eckenzahl verstehen als die Kardinalität der Äquivalenzklassen. Mit dieser
Terminologie haben wir eine letzte fundamentale Operation:
4. „Kürzen“, in Formeln F (uava−1 ) ∼
= F (uv) unter der Annahme, daß die
Enden der a-Kanten verschiedene Bilder in der verklebten Fläche haben.
Sind hier u oder v leer, so haben die Enden der a-Kanten automatisch verschiedene Bilder und die Formel scheint mir offensichtlich. Sind u und v
nicht leer, so betrachten wir in unserem Vieleck das Viereck mit den beiden
a-Kanten als gegenüberliegenden Seiten. Sein Bild in der verklebten Fläche
ist ein Zylinder, den wir zu einer Kreislinie identifizieren können, ohne den
Homöomorphietyp der verklebten Fläche zu ändern.
Lemma 4.8.13 (Eckenreduktion). Für jedes vorgegebene Flächenwort w ist entweder F (w) eine Sphäre, oder es gibt ein Flächenwort v mit Eckenzahl Eins und
F (w) ∼
= F (v).
Beweis. Sei w ein Flächenwort mit Eckenzahl ≥ 2 und mehr als einem Buchstaben. Wir wählen einen Punkt P in F (w), der das Bild einer Ecke unseres Vielecks
ist, und nennen diejenigen Ecken unseres Vielecks „gut“, die nach P gehen. Die
übrigen Ecken nennen wir „schlecht“ und geben im Verfahren an, das entweder
die Zahl der Ecken überhaupt oder die Zahl der schlechten Ecken unseres Eckenworts verringert ohne die zugehörige Fläche zu ändern. Sei in der Tat a eine Kante
von einer guten Ecke zu einer schlechten Ecke. Zwei Fälle sind möglich:
1. Die beiden a-Kanten unseres Vielecks erscheinen mit demselben Exponenten. In diesem Fall können sich nach unserer Annahme die a-Kanten
nicht berühren. Wir schneiden dann zwischen den Anfangspunkten der aKanten auf und verkleben längs der a-Kanten. So verringert sich die Zahl
der schlechten Ecken um 1.
166
Dieses Bild soll die vierte Regel zum „Kürzen“ anschaulich machen.
167
2. Die beiden a-Kanten unseres Vielecks erscheinen mit verschiedenen Exponenten. In diesem Fall können wir sie kürzen und so die Zahl der Ecken
verringern.
Das zeigt das Lemma.
Jede (triangulierbare) Fläche ist also homöomorph zur Sphäre oder zu einer Fläche F (w) für ein Flächenwort w mit Eckenzahl 1. Wir bemerken für das folgende,
daß sich die Eckenzahl beim Aufschneiden und Verkleben nicht ändert. Wir können uns also im Weiteren auf Worte der Eckenzahl 1 beschränken, und werden
von nun an nur solche Worte betrachten. Man beachte nun als Spezialfälle des
Aufschneidens und Verklebens die beiden folgenden Regeln:
Kreuzhaubennormierung: F (ubvbw) ∼
= F (uv −1 b̂b̂w): Durch Aufschneiden zwischen den Enden von b und Verkleben längs b. Die Bezeichnung rührt daher,
daß wir wie auf Seite 169 erklärt ein Möbiusband auch als eine sogenannte
Kreuzhaube realisieren können.
Henkelnormierung: F (ubvdwb−1 zd−1 x) ∼
= F (uzwb̂dˆb̂−1 dˆ−1 vx): Durch Aufschneiden zwischen den Enden von b und Verkleben längs d kommt man
ˆ −1 zwdˆ−1 vx, mit erneutem Aufschneiden zwischen den Enden von
zu ubdb
dˆ und Verkleben längs b ergibt sich dann das gewünschte Resultat.
Unter Verwendung der ersten Regel normieren wir zunächst Kreuzhauben, bis wir
ein Wort erreicht haben, bei dem jeder Buchstabe entweder als normierte Kreuzhaube aa bzw. a−1 a−1 oder in der Form . . . a . . . a−1 . . . vorkommt. Im letzteren
Fall finden wir ein b derart, daß unser Wort feiner sogar die Form
. . . a . . . b . . . a−1 . . . b−1 . . .
hat, denn sonst müßten alle Buchstaben entweder doppelt oder gar nicht zwischen
a und a−1 vorkommen, und dann hätten Anfangs- und Endpunkt der a-Kanten
verschiedene Bilder in der Fläche, im Widerspruch zu unserer Annahme, daß die
Eckenzahl 1 ist. Mit sukzessiven Henkelnormierungen landen wir also bei einem
Wort, das eine Verkettung von Kreuzhauben cc und Henkeln aba−1 b−1 ist. Henkelnormierung rückwärts und dann mehrfaches Anwenden der Kreuzhaubennormierung liefert aber auch die sogenannte Henkelelimination, in Formeln
F (uccaba−1 b−1 v) ∼
= F (uabca−1 cb−1 v)
∼
= F (uabaĉĉb−1 v)
∼
= F (ub−1 ââĉĉb−1 v)
∼
= F (uĉ−1 ĉ−1 â−1 â−1 b̂−1 b̂−1 v)
168
Man erhält eine stetige Abbildung√des Möbiusbands nach R3 ∼
= C × R vermittels
πit
2
2
der Formel (t, τ ) 7→ (τ e , 1 − τ cos πt). Anschaulich gesprochen
verbindet man je zwei gegenüberliegende Punkte des Einheitskreises durch einen
Bogen mit variierender mittlerer Höhe. Das Bild ist eine sich selbst
durchdringende räumliche Fläche, bei der man sich die Selbstdurchdringung
leicht wegdenken kann. Man nennt sie auch die Kreuzhaube. In dieser
Anschauung für das Möbiusband bezahlt man in gewisser Weise mit der
Selbstdurchdringung für die gute Sichtbarkeit des Randkreises.
169
Folglich liefert jede Verkettung von Kreuzhauben und Henkeln, in der mindestens eine Kreuzhaube auftritt, dieselbe Fläche wie ein reines Produkt von Kreuzhauben. Damit ist gezeigt, daß jede triangulierbare Fläche homöomorph ist zu
mindestens einer Fläche, die durch ein Flächenwort aus unserer Liste beschrieben
wird. Wir zeigen in 4.10, daß diese Flächen paarweise nichtisomorphe Fundamentalgruppen haben. Daraus folgt, daß sie paarweise nicht homöomorph sind,
und das beendet dann den Beweis des Klassifikationssatzes.
4.9
Gruppen durch Erzeugende und Relationen
4.9.1. Ist G eine Gruppe und T ⊂ G eine Teilmenge, so hatten wir in ?? den
Schnitt über alle Untergruppen von G, die T umfassen, die von T erzeugte Untergruppe genannt und mit hT i bezeichnet.
Definition 4.9.2. Sei G eine Gruppe und T ⊂ G eine Teilmenge. Der Schnitt
über alle Normalteiler von G, die T umfassen, heißt der von T in G erzeugte
Normalteiler hhT iiG = hhT ii. Er kann auch beschrieben werden als die Untergruppe hhT ii = hgtg −1 | g ∈ G, t ∈ T i, die von der Elementen t ∈ T und allen
ihren Konjugierten erzeugt wird.
4.9.3 (Schwierigkeiten der Terminologie). Hier trifft man auf die semantische
Schwierigkeit, daß „der von T erzeugte Normalteiler“ ja auch bedeuten könnte,
daß wir die von T erzeugte Untergruppe nehmen und daß diese zusätzlich ein
Normalteiler ist. In Formelsprache sollte jedoch klar werden, was jeweils gemeint
ist.
Lemma 4.9.4. Sei ϕ : G → G0 ein Gruppenhomomorphismus und T ⊂ G eine
Teilmenge mit ϕ(T ) ⊂ {e}. So gibt es genau einen Gruppenhomomorphismus
ϕ̃ : G/hhT ii → G0 mit ϕ̃ ◦ π = ϕ, im Diagramm
/ G/hhT ii
GG
GG
GG
GG #
G GG
G0
Beweis. Nach Annahme gilt T ⊂ ker ϕ. Da ker ϕ stets ein Normalteiler ist, folgt
hhT ii ⊂ ker ϕ. Jetzt folgt die Aussage aus der universellen Eigenschaft der Restklassengruppe ??.
Definition 4.9.5. Sei X eine Menge und R ⊂ Grp↑ X eine Teilmenge der freien
Gruppe über X. Der Quotient Grp↑ X/hhRii der freien Gruppe über X nach dem
von R erzeugten Normalteiler heißt die von der Menge X mit den Relationen R
erzeugte Gruppe. Meist werden die Relationen in der Form ai = bi mit Wörtern
ai , bi ∈ WX angegeben. Gemeint ist dann R = {[ai ][bi ]−1 }.
170
Beispiel 4.9.6. Die von zwei Elementen x und y mit der Relation xy = yx erzeugte Gruppe ist isomorph zu Z × Z.
4.9.7. Die Darstellung einer Gruppe durch Erzeugende und Relationen ist nicht
„effektiv“ : Es gibt nachweislich keinen Algorithmus, der bestimmt, ob so eine
Gruppe endlich oder gar trivial ist.
Übungen
Übung 4.9.8. Sei eine Menge X die Vereinigung zweier Teilmengen X = X1 ∪X2
mit Schnitt X0 = X1 ∩ X2 . Seien Ri ⊂ Grp↑ Xi Relationen, i = 0, 1, 2. Gilt
zusätzlich R0 ⊂ hhRi ii für i = 1, 2, so ist das folgende Diagramm ein Pushout:
Grp↑ X0 /hhR0 ii →
Grp↑ X1 /hhR1 ii
↓
↓
↑
↑
Grp X2 /hhR2 ii → Grp X/hhR1 ∪ R2 ii
Übung 4.9.9. Die symmetrische Gruppe Sn kann beschrieben werden als die Gruppe mit Erzeugern s1 , . . . , sn−1 und den Relationen s2i = 1, si sj = sj si für |i−j| >
1, (si si+1 )3 = 1. Die Tetraedergruppe alias die alternierende Gruppe A4 kann beschrieben werden als die Gruppe erzeugt von zwei Elementen s, t mit Relationen
s2 = t3 = (st)3 = 1. Die Ikosaedergruppe alias die die alternierende Gruppe
A5 kann beschrieben werden als die Gruppe erzeugt von zwei Elementen u, v mit
Relationen u2 = v 3 = (uv)5 = 1.
Übung 4.9.10. Die Abelisierung der freien Gruppe über einer Menge ist kanonisch
isomorph zur freien abelschen Gruppe über besagter Menge.
4.10
Die Fundamentalgruppen geschlossener Flächen
Satz 4.10.1 (Fundamentalgruppen geschlossener Flächen). Gegeben ein Flächenwort w im Alphabet A mit Eckenzahl Eins wird die Fundamentalgruppe der
zugehörigen Fläche F (w) erzeugt von der Menge A mit dem Flächenwort w als
einziger Relation. Bezeichnet genauer ∗ ∈ F (w) das Bild der Ecken unseres Vielecks, so erhalten wir einen Isomorphismus
∼
(Grp↑ A)/hhwii → π1 (F (w), ∗)
indem wir jedem Buchstaben das Bild der entsprechenden Kante mit der durch
den Exponenten unseres Buchstabens gegebenen Durchlaufrichtung zuordnen.
Beweis. Sei p : Z → F die Projektion unseres Vielecks Z ⊂ R2 auf unsere Fläche F = F (w). Das Bild p(∂Z) vom Rand unseres Vielecks in unserer Fläche F
171
besteht aus |A| Kreislinien, die alle in einem Punkt zusammengeklebt sind. Solch
einen Raum nennt man auch ein Bouquet von Kreislinien. Bezeichne nun Z ◦
das Innere unseres Vielecks und sei z ∈ Z sein Mittelpunkt. Unter p geht Z ◦ homöomorph auf eine offene Teilmenge unserer Fläche F und wir vereinfachen die
Notation und tun so, als ob Z ◦ schlicht eine Teilmenge von F wäre. Wir betrachten
dann für unser Vieleck Z die offene Überdeckung Z = (Z\z) ∪ Z ◦ und wenden
den Satz von Seifert und van Kampen 4.4.1 an auf die offene Überdeckung
F = (F \z) ∪ Z ◦
unserer Fläche durch die Bilder dieser Mengen. Nehmen wir nun als Basispunkt
das Bild eines Punktes aus e ∈ Z ◦ , der auf dem offenen Geradensegment von z zur
„Ausgangsecke a unseres Flächenworts w“ liegt, so liefert Seifert-van-Kampen
4.4.1 ein kokartesisches Diagramm von Gruppen
π1 (Z ◦ \z, e) → π1 (Z ◦ , e)
↓
↓
π1 (F \z, e) → π1 (F, e)
Nun benutzen wir den Weg, der radial von e nach a läuft, oder genauer sein Bild
in F , um die Fundamentalgruppen in der unteren Zeile mit den entsprechenden
Fundamentalgruppen zum Basispunkt ∗ zu identifizieren. Weiter zeigt das „radial
nach außen schieben“ von Punkten aus Z\z, daß die Einbettung unseres Bouquets von Kreislinien p(∂Z) ,→ F \z eine Homotopieäquivalenz ist und folglich
einen Isomorphismus auf den Fundamentalgruppen zum Basispunkt ∗ induziert.
Die Fundamentalgruppe solch eines Bouquets haben Sie bereits in 4.5.17 mit der
freien Gruppe über A identifiziert. Nun muß man sich überzeugen, daß unter den
beschriebenen Identifikationen
∼
∼
∼
π1 (F \z, e) → π1 (F \z, ∗) ← π1 (p(∂Z), ∗) ← Grp↑ A
das Bild eines der beiden Erzeuger von π1 (Z ◦ \z, e) gerade auf das Wort w geht,
aufgefaßt als Element der freien Gruppe Grp↑ A. So ergibt sich ein kokartesisches
Diagramm von Gruppen
Z
→
1
↓
↓
Grp↑ A → π1 (F, ∗)
wobei die Abbildung Z → Grp↑ A die 1 ∈ Z auf das Flächenwort w unserer Fläche in Grp↑ A abbildet, und wir erhalten den gesuchten Isomorphismus π1 (F, ∗) =
Grp↑ A/hhwii. Nun wird offensichtlich ein push-out-Diagramm in der Kategorie
172
der Gruppen unter der Abelisierung 3.8.1 ein push-out-Diagramm in der Kategorie der abelschen Gruppen, und die Abelisierung einer freien Gruppe Grp↑ A ist
die freie abelsche Gruppe Ab↑ A = ZA aller endlichen formalen Linearkombinationen von Elementen von A mit ganzzahligen Koeffizienten. Für den maximalen
kommutativen Quotienten π1ab erhalten wir damit π1ab (F (w)) = ZA ∼
= Z2g im
Fall von g Henkeln und
π1ab (F (w)) = ZA/2Z(c1 + . . . + cg ) ∼
= Z/2Z × Zg−1
im Fall von g Kreuzhauben. Da diese Gruppen paarweise nicht isomorph sind,
nach ?? oder auch elementar mit Zählen der Elemente endlicher Ordung und
Berechnung der Dimensionen der Vektorräume aller Gruppenhomomorphismen
nach Q, sind auch die zugehörigen Flächen paarweise nicht homöomorph. Das
beendet den Beweis des Klassifikationssatzes.
Übungen
Übung 4.10.2. Ist X eine zusammenhängende geschlossene Fläche vom Geschlecht
g und E ⊂ X eine endliche nichtleere Teilmenge, so ist π1 (X\E, ∗) frei in
2g + |E| − 1 Erzeugern.
173
5
5.1
Überlagerungstheorie
Überlagerungen
Definition 5.1.1. Eine stetige Abbildung p : Ũ → U heißt eine triviale Überlagerung genau dann, wenn es einen diskreten Raum F mitsamt einem Homöo∼
morphismus ϕ : F × U → Ũ gibt derart, daß das Diagramm
F ×U
pr2
ϕ
∼
/ Ũ
U
p
U
kommutiert. Solch ein Homöomorphismus heißt dann eine Trivialisierung unserer trivialen Überlagerung.
Definition 5.1.2. Eine stetige Abbildung p : X̃ → X heißt eine Überlagerung
genau dann, wenn jeder Punkt x ∈ X eine Umgebung U besitzt derart, daß die
induzierte Abbildung p : p−1 (U ) → U eine triviale Überlagerung ist. Wir nennen
U dann eine trivial überlagerte Umgebung von x. Der Definitionsbereich X̃ von
p heißt der Totalraum unserer Überlagerung.
5.1.3 (Diskussion der Terminologie). Wir fordern von einer Überlagerung nicht,
daß sie surjektiv sein soll. Insbesondere ist für uns ∅ → X stets eine Überlagerung. Wir fordern auch nicht, daß die Fasern konstante Kardinalität haben sollen.
Eine Überlagerung mit dieser Eigenschaft nennen wir eine Faserung mit diskreter Faser. In der Funktionentheorie arbeitet man manchmal mit einem etwas
allgemeineren Überlagerungsbegriff, in dem etwa die Abbildung C → C, z 7→ z 2
auch noch als Überlagerung, genauer als „im Ursprung verzweigte Überlagerung“
durchgehen würde. Die Überlagerungen im Sinne der obigen Definition würden
in der in der Funktionentheorie üblichen Terminologie unverzweigte Überlagerungen heißen.
Beispiele 5.1.4. Die Abbildung Exp : R → S 1 , t 7→ exp(2πit) = cos(2πt) +
i sin(2πt) aus dem Beweis von 3.3.1, die die Zahlengerade auf den Einheitskreis
aufwickelt, ist eine Überlagerung. Ebenso sind exp : C → C× und die Projektion
S n → Pn R Überlagerungen, und für jeden diskreten Raum F ist die Projektion pr2 : F × X → X eine Überlagerung. Als weiteres Beispiel betrachte man
Exp × Exp : R2 → S 1 × S 1 . Sind allgemeiner f : X̃ → X und g : Ỹ → Y
Überlagerungen, so auch f × g : X̃ × Ỹ → X × Y .
5.1.5 (Kardinalität der Fasern einer Überlagerung). Ist p : X̃ → X eine
Überlagerung, so ist die Kardinalität der Fasern p−1 (x) konstant auf den Zusammenhangskomponenten von X. Genauer sind für jede Menge E die Mengen
174
Eine zweifache Überlagerung der Kreislinie.
175
{x ∈ X | |p−1 (x)| = |E|} bzw. {x ∈ X | |p−1 (x)| =
6 |E|} aller Punkte x ∈ X,
deren Fasern p−1 (x) dieselbe bzw. nicht dieselbe Kardinalität wie E haben, offen
in X, da sie mit jedem Punkt auch jede trivial überlagerte Umgebung des besagten
Punktes umfassen. Ist X zusammenhängend, so nennt man die Zahl der Elemente
einer und gleichbedeutend jeder Faser auch die Blätterzahl der Überlagerung.
Definition 5.1.6. Eine stetige Abbildung p : E → X heißt étale genau dann,
wenn jeder Punkt e ∈ E eine offene Umgebung U ⊂◦ E besitzt, die von p homöomorph auf eine offene Teilmenge p(U ) ⊂◦ X abgebildet wird. Das Wort „étale“
kommt übrigens aus dem Französischen und bedeutet „ausgebreitet“.
Beispiele 5.1.7. Jede Überlagerungsabbildung ist étale. Die Projektion unserer
Gerade mit verdoppeltem Nullpunkt R t {0̃} aus 2.4.7 auf die Gerade R ist étale.
Jede Einbettung einer offenen Teilmenge ist étale. Jede Verknüpfung étaler Abbildungen ist étale. Eine Abbildung auf einen Punkt ist genau dann étale, wenn sie
von einem Raum mit diskreter Topologie ausgeht.
Übungen
Übung 5.1.8 (Eigenschaften étaler Abbildungen). Jede étale Abbildung ist offen, jede surjektive étale Abbildung ist nach 2.6.19 also final. Sind f und g verknüpfbare stetige Abbildungen und sind f und f g étale, so ist auch g étale.
Ergänzende Übung 5.1.9. Ist X̃ → X étale und Y → X eine stetige Abbildung,
so ist auch der pullback X̃ ×X Y → Y étale.
Übung 5.1.10. Sind X̃ → X und X̂ → X Überlagerungen, so auch ihr Faserprodukt X̃ ×X X̂ → X.
Übung 5.1.11. Sind p : X → Y und q : Y → Z Überlagerungen und sind die
Fasern von q endlich, so ist auch q ◦ p eine Überlagerung.
Übung 5.1.12. Ist ein Raum lokal zusammenhängend, so ist jede Zusammenhangskomponente einer Überlagerung dieses Raums auch selbst eine Überlagerung des besagten Raums. Diese Aussage wird bei Beweis des Liftbarkeitskriteriums 6.2.4 benötigt werden.
Ergänzende Übung 5.1.13. Jede étale Abbildung von einem kompakten Hausdorffraum in einen Hausdorffraum ist eine Überlagerung. Besonders Mutige zeigen: Eine eigentliche separierte étale Abbildung ist dasselbe wie eine Überlagerung mit endlichen Fasern.
5.2
Kategorien von Mengen mit Gruppenwirkung
5.2.1. Wir gehen nun davon aus, daß der Leser mit den grundlegenden Begriffsbildungen zu Gruppenwirkungen vertraut ist, wie sie zum Beispiel in ?? entwickelt
werden.
176
Definition 5.2.2. Sei G eine Gruppe oder allgemeiner auch ein Monoid. Eine
Abbildung φ : X → Y von einer G-Menge X in eine G-Menge Y heißt ein GMorphismus oder auch G-äquivariant genau dann, wenn gilt φ(gx) = gφ(x) ∀g ∈
G, x ∈ X. Mit den äquivarianten Abbildungen als Morphismen bilden die GMengen eine Kategorie, die wir mit G -Ens oder EnsG bezeichnen. In derselben
Weise bilden auch die G-Rechtsmengen eine Kategorie, die wir mit Ens- G bezeichnen, oder auch EnsG , wenn wir vom Leser erwarten, daß er aus dem Kontext
erschließt, ob Linksoperationen oder Rechtsoperationen gemeint sind.
Ergänzung 5.2.3. Im Rahmen der Kategorientheorie könnten wir diese Kategorie
auch beschreiben als die Kategorie
G -Ens = Cat([G], Ens)
aller Funktoren von der Ein-Objekt-Kategorie [G] nach 7.1.5 in die Kategorie der
Mengen.
Übungen
Ergänzende Übung 5.2.4. Ich erinnere daran, daß wir unter einem „homogenen
Raum“ für eine vorgegebene Gruppe eine Menge mit einer transitiven Wirkung
unserer Gruppe verstehen. Man zeige: Genau dann stimmen für einen gegebenen homogenen Raum alle Isotropiegruppen überein, wenn er isomorph ist zum
Quotienten der Gruppe nach einem Normalteiler. Wir sagen dann auch, der homogene Raum sei normal. Hinweis: ??. Ich finde diese Begriffsbildung ungeschickt:
Normal zu sein ist für homogene Räume etwas ganz Besonderes, ebenso wie es
für eine Untergruppe auch etwas ganz Besonderes ist, ein Normalteiler zu sein.
Aber gut, vielleicht ist es ja bei Menschen auch so, daß normal zu sein etwas ganz
Besonderes ist.
Übung 5.2.5. Jede Gruppe operiert auf der Menge aller ihrer Untergruppen durch
Konjugation. Die Bahnen dieser Operation nennt man Konjugationsklassen von
Untergruppen. Man zeige, daß für jede Gruppe G das Bilden der Gesamtheit
aller Isotropiegruppen eine Bijektion liefert
Transitive G-Mengen,
Konjugationsklassen von
∼
→
bis auf Isomorphismus
Untergruppen von G
X
7→
{Gx | x ∈ X}
Übung 5.2.6. Man zeige, daß die Linksoperation eines Monoids G auf sich selbst
einen Isomorphismus induziert zwischen dem Monoid G und dem Monoid der
Endomorphismen der G-Rechtsmenge G, in Formeln also einen Isomorphismus
∼
∼
G → (Ens- G)(G), g 7→ (g·). Ebenso haben wir Gopp → (G -Ens)(G), g ◦ 7→
(·g).
177
Übung 5.2.7. Der Normalisator einer Untergruppe H in einer Gruppe G ist definiert als die Untergruppe NG (H) := {g ∈ G | gHg −1 = H} von G. Man zeige,
daß die Zuordnung g 7→ (·g −1 ), die also jedem g ∈ G die Multiplikation von
rechts mit g −1 zuordnet, einen Isomorphismus
∼
NG (H)/H → (G -Ens)× (G/H)
induziert zwischen der Quotientengruppe NG (H)/H und der Automorphismengruppe der G-Menge G/H. In derselben Weise erhält man durch die Abbildung
g 7→ (·g), immer noch für G ⊃ H eine Gruppe mit einer Untergruppe einen
Isomorphismus
∼
({g ∈ G | Hg ⊂ gH}/H)opp → (G -Ens)(G/H)
von Monoiden. Betrachtet man in G = SL(2; Q) die Untergruppe H aller oberen
Dreiecksmatrizen mit Einsen auf der Diagonale und einem ganzzahligen Eintrag
in der oberen rechten Ecke, und nimmt als g eine geeignete Diagonalmatrix, so
erhält man ein Beispiel mit Hg ( gH.
Ergänzende Übung 5.2.8 (Die Untergruppenkategorie). Sei G eine Gruppe. Wir
machen die Menge UGrG aller Untergruppen von G zu einer Kategorie durch die
Vorschrift
UGrG (H, K) := {gK ∈ G/K | HgK = gK}
mit der Verknüpfung UGrG (H, K) × UGrG (K, M ) → UGrG (H, M ) gegeben
durch (gK, f M ) 7→ gKf M = gf M . Man zeige, daß wir eine Äquivalenz von
Kategorien
≈
UGrG → {Transitive G-Mengen}opp
erhalten, indem wir jeder Untergruppe H ⊂ G den homogenen Raum G/H zuordnen und jedem Morphismus gK ∈ UGrG (H, K) die G-äquivariante Abbildung
G/H → G/K, aH 7→ aHgK = agK.
Ergänzende Übung 5.2.9. Gegeben Gruppen H, G bezeichne H -Ens- G die Kategorie aller Mengen X mit einer Linksoperation von H und einer Rechtsoperation
von G derart, daß gilt (hx)g = h(xg) für alle h ∈ H, x ∈ X und g ∈ G.
Man erkläre, in welcher Weise diejenigen Objekte dieser Kategorie, auf denen
die Rechtsoperation von G frei und transitiv ist, klassifiziert werden durch GKonjugationsklassen von Gruppenhomomorphismen H → G.
Übung 5.2.10. Ist C eine Kategorie, A ∈ C ein Objekt und G = C(A) das Monoid seiner Endomorphismen, so erhalten wir stets einen Funktor C(A, ) : C →
Ens- G, indem wir setzen f g = f ◦ g für B ∈ C, f ∈ C(A, B) und g ∈ C(A).
178
5.3
Quotientenabbildungen als Überlagerungen
Definition 5.3.1. Unter einer Operation einer Gruppe auf einem Objekt einer Kategorie versteht man einen Homomorphismus von besagter Gruppe in die
Automorphismengruppe von besagtem Objekt.
5.3.2. Reden wir zum Beispiel von einer Operation einer Gruppe G auf einem
topologischen Raum X, so fordern wir implizit, daß für alle g ∈ G die Abbildung
X → X, x 7→ gx stetig sein soll. Gemeint ist hier die Operation einer abstrakten
Gruppe.
5.3.3. Ich erinnere daran, daß eine Operation einer Gruppe auf einer Menge frei
heißt genau dann, wenn außer dem neutralen Element kein Element unserer Gruppe irgendeinen Punkt unserer Menge festhält.
Definition 5.3.4. Eine Operation einer Gruppe G auf einem topologischen Raum
X heißt topologisch frei genau dann, wenn jeder Punkt x ∈ X eine Umgebung
U besitzt, für die die Operation eine Injektion G × U ,→ X liefert.
5.3.5. In der Literatur werden unsere topologisch freien Operationen meist als
eigentlich diskontinuierliche Operationen bezeichnet.
Beispiele 5.3.6. Die Gruppe Zn operiert topologisch frei durch Addition auf Rn .
Die Gruppe {+1, −1} operiert topologisch frei durch Multiplikation auf S n und
Rn \0. Für festes k operiert die Gruppe der k-ten Einheitswurzeln {z ∈ C | z k =
1} topologisch frei auf Cn \0. Die Operation von Q auf R durch Addition ist frei,
aber nicht topologisch frei.
5.3.7. Ist X ein topologischer Raum mit einer Operation einer Gruppe G, so
geben wir dem Bahnenraum X/G die Quotiententopologie bezüglich der Surjektion X X/G. Wie wir in 2.10.4 gesehen haben, ist in diesem Fall sogar
für einen beliebigen weiteren Raum Y die Abbildung Y × X Y × (X/G)
final und die offensichtliche Abbildung liefert mithin einen Homöomorphismus
∼
(Y × X)/G → Y × (X/G).
Satz 5.3.8 (Quotientenabbildungen als Überlagerungen). Ist X ein topologischer Raum mit einer topologisch freien Operation einer Gruppe G, so ist die
Surjektion auf den Bahnenraum p : X X/G, x 7→ Gx eine Überlagerung.
Beweis. Gegeben x ∈ X und U eine offene Umgebung von x mit G × U ,→ X
sind sowohl p : U → p(U ) als auch G × U → p−1 (p(U )) Homöomorphismen,
da diese Abbildungen beide bijektiv, offen und stetig sind. Folglich ist p(U ) eine
trivial überlagerte Umgebung von Gx.
Beispiel 5.3.9. Die Klein’sche Flasche kann realisiert werden als der Quotient der
Ebene nach einer topologisch frei operierenden Gruppe, wie nebenstehendes Bild
illustriert.
179
Dieses Bild der Fläche F (aabb) von Seite 163 kann gelesen werden als eine
Darstellung der Klein’schen Flasche als der Quotient der Ebene nach einer
topologisch frei operierenden Gruppe, die von zwei Gleitspiegelungen mit
parallelen Achsen und demselben Verschiebungsvektor erzeugt wird. Die
Gleitspiegelachsen zweier erzeugender Gleitspiegelungen sind hier gestrichelt
eingezeichnet.
180
Übungen
Übung 5.3.10. Jede freie Operation einer endlichen Gruppe auf einem HausdorffRaum ist topologisch frei.
Übung 5.3.11. Allgemeiner als in 5.3.8 formuliert zeige man: Ist X ein topologischer Raum mit einer topologisch freien Operation einer Gruppe G und ist H ⊂ G
eine Untergruppe, so ist auch X/H X/G eine Überlagerung.
5.4
Lifts und Decktransformationen
Definition 5.4.1. Seien p : X̃ → X und f : Y → X stetige Abbildungen. Eine
stetige Abbildung f˜ : Y → X̃ mit p ◦ f˜ = f heißt ein Lift oder eine Liftung oder
eine Hochhebung von f . In der Kategorientheorie hatten wir so einen Lift einen
„Morphismus über X“ genannt. Der Begriff Lift ist insbesondere dann gebräuchlich, wenn p : X̃ → X eine Überlagerung ist. Man mag sich einen Lift durch
das folgende kommutative Diagramm veranschaulichen, das gleichzeitig auch die
Terminologie erklärt:
? X̃




 f
/X
f˜
Y
Satz 5.4.2 (Eindeutigkeit von Lifts). Seien p : X̃ → X eine Überlagerung und
f : Y → X stetig und f˜, fˆ : Y → X̃ zwei Lifts von f . Ist Y zusammenhängend
und gibt es z ∈ Y mit f˜(z) = fˆ(z), so gilt f˜ = fˆ.
Beweis. Wir zeigen: Die Mengen Yg := {y ∈ Y | f˜(y) = fˆ(y)} und Yu :=
{y ∈ Y | f˜(y) 6= fˆ(y)} sind beide offen. Aus z ∈ Yg und Y zusammenhängend
folgt dann Yu = ∅. Sei also y ∈ Y ein Punkt. Man wähle eine trivial überlagerte
∼
Umgebung U von f (y) und eine Trivialisierung τ : p−1 (U ) → F × U von p auf
U . Gegeben i ∈ F kürzen wir {i} × U als i × U ab. Seien nun ı̃, ı̂ ∈ F gegeben
durch τ f˜(y) ∈ ı̃ × U und τ fˆ(y) ∈ ı̂ × U . Dann ist
W := f˜−1 τ −1 (ı̃ × U ) ∩ fˆ−1 τ −1 (ı̂ × U )
eine Umgebung von y, und es gilt W ⊂ Yg falls y ∈ Yg und W ⊂ Yu falls y ∈ Yu .
Mithin sind Yg und Yu beide offen.
Definition 5.4.3. Sind p : X̃ → X und q : X̂ → X Überlagerungen eines topologischen Raums X, so heißt ein Lift von p alias eine stetige Abbildung d : X̃ → X̂
mit q ◦ d = p auch eine Decktransformation zwischen unseren Überlagerungen.
Wir erhalten so die Kategorie
ÜbX
181
aller Überlagerungen von X, mit Überlagerungen als Objekten und Decktransformationen als Morphismen. Wir bezeichnen die Menge aller Decktransformationen
zwischen zwei Überlagerungen X̃ und X̂ eines Raums X nach unseren Konventionen mit TopX (X̃, X̂). Die Automorphismen einer Überlagerung heißen auch
ihre Deckbewegungen. Wir schreiben nach unseren Konventionen Top×
X (X̃) für
die Gruppe der Deckbewegungen von X̃ über X.
Beispiele 5.4.4. Die Deckbewegungen unserer Überlagerung Exp : R → S 1 sind
genau die Abbildungen R → R, x 7→ x + n für n ∈ Z. Ist allgemeiner X zusammenhängend und operiert die Gruppe G topologisch frei auf X, so sind die
Abbildungen x 7→ gx für g ∈ G genau die Deckbewegungen der Überlagerung
X → G\X. Das folgt unmittelbar aus der Eindeutigkeit von Lifts auf zusammenhängenden Räumen 5.4.2.
5.4.5. Eine Decktransformation einer Überlagerung auf sich selber muß keine
Deckbewegung sein, vergleiche etwa 6.3.9 für ein Gegenbeispiel. Etwas allgemeiner nenne ich Morphismen in TopX auch dann Decktransformationen, wenn
die beteiligten Räume über X keine Überlagerungen sind.
5.4.6. Da jede Überlagerungsabbildung étale ist, muß nach 5.1.8 auch jede Decktransformation étale sein. Insbesondere ist also jede Decktransformation offen und
jede bijektive Decktransformation ein Isomorphismus von Überlagerungen.
Ergänzung 5.4.7. Mir ist nicht klar, ob jede Decktransformation bereits selbst eine
Überlagerungsabbildung sein muß. Das gilt jedoch für lokal zusammenhängende
Räume.
Definition 5.4.8. Eine zusammenhängende Überlagerung p : X̃ → X derart, daß
die Gruppe der Deckbewegungen transitiv auf der Faser p−1 (x) über jedem Punkt
x ∈ X operiert, nennt man auch normal oder Galois oder regulär.
5.4.9. Ich finde diese der Galoistheorie ?? nachempfundene Begriffsbildung hier
ebenso ungeschickt wie in der Algebra: Normalerweise ist eine Überlagerung
nämlich keineswegs normal im mathematischen Sinne, oder um es anders auszudrücken: Normal zu sein ist für Überlagerungen etwas ganz Besonderes.
Übungen
Übung 5.4.10. Sei X̃ → X eine Überlagerung mit zusammenhängendem Totalraum X̃ und G = Top×
X (X̃) ihre Deckbewegungsgruppe. Man zeige, daß G
topologisch frei auf X̃ operiert. Nach 5.3.8 ist also X̃ (G\X̃) eine Überlagerung.
182
Versuch der bildlichen Darstellung einer dreiblättrigen Überlagerung der Acht,
die keine nichttrivialen Decktransformationen zuläßt. Diese Überlagerung ist
also nicht normal.
183
Übung 5.4.11 (Normale Hülle). Man zeige, daß jede endliche zusammenhängende
lokal zusammenhängende surjektive Überlagerung selbst eine endliche Überlagerung besitzt derart, daß die Verknüpfung der beiden Überlagerungsabbildungen
eine normale Überlagerung ist. Hinweis: Man bilde über der Basis das Faserprodukt einiger Kopien unserer Überlagerung mit sich selbst und nehme darin eine
geeignete Zusammenhangskomponente. Man zeige auch, daß es zu je zwei endlichen zusammenhängenden lokal zusammenhängenden surjektiven Überlagerungen eine weitere endlichen zusammenhängende Überlagerung gibt, die über beide
als Überlagerungsabbildung faktorisiert.
5.5
Universelle Überlagerungen
Definition 5.5.1. Eine Überlagerungsabbildung (X̃, x̃) → (X, x) von bepunkteten Räumen heißt eine universelle Überlagerung genau dann, wenn es für jede
weitere Überlagerung (X̂, x̂) → (X, x) des besagten bepunkteten Raums genau
eine basispunkterhaltende Decktransformation (X̃, x̃) → (X̂, x̂) gibt.
5.5.2. In kategorientheoretischer Terminologie ist eine universelle Überlagerung
eines bepunkteten Raums also ein initiales Objekt in der Kategorie aller seiner bepunkteten Überlagerungen. Insbesondere ist eine universelle Überlagerung eines
bepunkteten Raums eindeutig bis auf eindeutigen Isomorphismus, weshalb sie
den bestimmten Artikel verdient und wir guten Gewissens von der universellen
Überlagerung reden dürfen. Universelle Überlagerungen in der basispunktfreien
Situation, wie wir sie gleich im Anschluß definieren werden, haben meines Wissens keine vernünftige universelle Eigenschaft und sind auch nur eindeutig bis
auf nicht-eindeutigen Isomorphismus. Wir erlauben uns dennoch auch in dieser
Situation den bestimmten Artikel.
Definition 5.5.3. Eine Überlagerung p : X̃ → X eines topologischen Raums X
heißt universell genau dann, wenn sie (1) surjektiv ist, wenn (2) beide Räume
nicht leer sind, und wenn (3) für alle x̃ ∈ X̃ die Überlagerung von bepunkteten
Räumen (X̃, x̃) → (X, p(x̃)) universell ist im Sinne der vorhergehenden Definition 5.5.1.
Beispiel 5.5.4. Die Überlagerung Exp : R → S 1 ist universell, wie 5.5.9 und
5.5.13 zeigen werden. Allgemeiner wird aus 6.2.4 folgen, daß eine surjektive
Überlagerung durch einen zusammenhängenden lokal wegzusammenhängenden
Raum mit trivialer Fundamentalgruppe stets universell ist.
Definition 5.5.5. Ein topologischer Raum heißt einfach zusammenhängend, wenn
er nicht leer ist und jede Überlagerung unseres Raums trivial ist.
184
Versuch der graphischen Darstellung einer universellen Überlagerung einer
bepunkteten Kreislinie. Gemeint ist eine nach oben und unten unendliche
Spirale, die vertikal auf die Kreislinie projeziert wird.
185
5.5.6. Jeder einfach zusammenhängende Raum ist notwendig zusammenhängend,
da eine disjunkte Vereinigung zweier nichtleerer offener Teilmengen stets nichttriviale Überlagerungen besitzt.
5.5.7 (Einfach versus wegweise einfach zusammenhängend). Der Begriff „einfach zusammenhängend“ darf nicht mit dem Begriff „wegweise einfach zusammenhängend“ aus ?? verwechselt werden, der in der Terminologie dieser Vorlesung dasselbe bedeutet wie „wegweise zusammenhängend mit trivialer Fundamentalgruppe“. Die Beziehung zwischen diesen beiden Begriffen ist vielmehr ein
zentraler Gegenstand des nächsten Kapitels.
Lemma 5.5.8. Ein Raum ist einfach zusammenhängend genau dann, wenn die
Identität auf unserem Raum eine universelle Überlagerung ist.
Beweis. Daß die Identität auf jedem einfach zusammenhängenden Raum eine universelle Überlagerung ist, folgt aus dem Eindeutigkeitssatz für Lifts auf zusammenhängenden Räumen 5.4.2, da ja jeder einfach zusammenhängende Raum nach
5.5.6 zusammenhängend ist. Ist umgekehrt die Identität auf einem Raum Y eine
universelle Überlagerung, so ist nach unseren Definitionen Y nicht leer. Ist dann
p : Ŷ → Y eine Überlagerung und wählen wir y ∈ Y , so können wir unter
unseren Annahmen eine Abbildung
p−1 (y) × Y → Ŷ
definieren, indem wir jedem Paar (ŷ, z) das Bild von z unter dem eindeutig bestimmten Lift (Y, y) → (Ŷ , ŷ) der Identität zuordnen. Sicher ist unsere Abbildung
stetig und als Decktransformation nach 5.4.6 auch offen, ja sogar étale. Wenden
wir die Annahme des Lemmas auch auf die anderen Punkte von Y an, so erkennen wir unschwer, daß unsere Abbildung zusätzlich injektiv und surjektiv ist und
damit die Überlagerung Ŷ → Y trivial.
Lemma 5.5.9. Nichtleere reelle Intervalle sind einfach zusammenhängend.
Beweis. Wir zeigen das nur für kompakte Intervalle, der allgemeine Fall bleibt
dem Leser zur Übung. Wir benutzen das Kriterium aus Lemma 5.5.8. Sei also
p : U → [a, b] eine Überlagerung. Aus Kompaktheitsgründen finden wir eine
Unterteilung a = a0 ≤ a1 ≤ . . . ≤ an = b derart, daß jedes der Teilintervalle
[ai−1 , ai ] trivial überlagert ist. Gegeben ein Punkt u ∈ U finden wir zunächst
ein i mit p(u) ∈ [ai−1 , ai ], dann einen Lift l : [ai−1 , ai ] → U der Einbettung
[ai−1 , ai ] ,→ [a, b], dessen Bild unseren Punkt u enthält, und diesen Lift können
wir schließlich induktiv auf ganz [a, b] erweitern.
186
Graphische Darstellung eines Teils einer universellen Überlagerung der Figur 8.
Jede vertikale Kante dieses Bildes geht unter der Überlagerungsabbildung
homöomorph auf die obere Schlaufe der 8, jede horizontale Kante auf die untere
Schlaufe der 8, und zwar soll das Durlaufen von unten nach oben bzw. von rechts
nach links dabei jeweils dem Durchlaufen im Uhrzeigersinn entsprechen. Es gilt
also salopp gesagt, „sich alle Kanten dieses Bildes gleich lang zu denken“. Die
Kreuzungspunkte sind nach 6.3.3 in Bijektion zu den Elementen der freien
Gruppe in zwei Erzeugern x und y, indem man etwa von der Mitte ausgehend
jedes x interpretiert als „gehe nach rechts zum nächsten Kreuzungspunkt“, jedes
x−1 als „gehe nach links“, jedes y als „gehe nach oben“ und y −1 als „gehe nach
unten“.
187
Satz 5.5.10 (Liften bei einfachem Zusammenhang des Ausgangsraums). Sei
f : (Y, y) → (X, x) eine stetige Abbildung und (X̂, x̂) → (X, x) eine Überlagerung. Ist Y einfach zusammenhängend, so besitzt f genau einen Lift fˆ :
(Y, y) → (X̂, x̂).
Beispiel 5.5.11. Ist U ⊂ C einfach zusammenhängend und f : U → C stetig
ohne Nullstelle, so gibt es für jedes n ∈ Z\0 eine stetige Funktion g : U → C×
mit g(z)n = f (z) für alle z ∈ U . Weiter gibt es g : U → C stetig mit exp(g(z)) =
f (z) für alle z ∈ U . Sind wir in der Funktionentheorie und ist U offen und f
holomorph, so zeigt der Umkehrsatz für holomorphe Funktionen ??, daß auch g
holomorph sein muß.
Beweis. Die Eindeutigkeit folgt aus dem Satz 5.4.2 über die Eindeutigkeit von
Lifts, da ja Y zusammenhängend ist nach 5.5.6. Die wesentliche neue Aussage
betrifft die Existenz. Wir betrachten dazu das pull-back-Diagramm
Y ×X X̂ → X̂
↓
↓
Y
→ X
Nach 5.5.12 ist auch die linke Vertikale eine Überlagerung. Da Y einfach zusammenhängend ist, muß die linke Vertikale eine triviale Überlagerung sein. Wir
finden also eine stetige Abbildung Y → Y ×X X̂ mit y 7→ (y, x̂). Verknüpfen wir
diese stetige Abbildung mit der oberen Horizontale, so ergibt sich der gesuchte
Lift.
5.5.12 (Pullback von Überlagerungen). Ist X̂ → X eine Überlagerung und
Y → X eine stetige Abbildung, so ist auch der pullback X̂ ×X Y → Y eine
Überlagerung. In der Tat folgt das für triviale Überlagerungen daraus, daß Diagramme der Gestalt
/F ×X
F ×Y
/X
Y
in jeder Kategorie kartesisch sind. Im allgemeinen folgt es dann aus der Transitivität des pullback 4.2.8.
Korollar 5.5.13. Jede surjektive Überlagerung durch einen einfach zusammenhängenden Raum ist universell.
Ergänzung 5.5.14. Ich weiß nicht, ob umgekehrt jede universelle Überlagerung
durch einen einfach zusammenhängenden Raum geschehen muß. Sind unsere
Räume jedoch lokal einfach zusammenhängend, so folgt das aus der Erkenntnis,
daß die Verknüpfung von zwei Überlagerungsabbildungen zwischen lokal einfach
zusammenhängenden Räumen wieder eine Überlagerungsabbildung sein muß.
188
Beispiel 5.5.15. Die Klein’sche Flasche hat nach 5.3.9 als universelle Überlagerung die Ebene. Dasselbe gilt im Übrigen für alle unsere kompakten zusammenhängenden Flächen mit Ausnahme der Kugelschale S 2 und des zweidimensionalen reell-projektiven Raums P2 R.
5.5.16. Sei u : X̃ → X eine universelle Überlagerung mit Deckbewegungsgruppe G = Top×
X (X̃). Nach 5.4.10 operiert G und allgemeiner die Deckbewegungsgruppe jeder zusammenhängenden Überlagerung topologisch frei auf X̃. Dann
∼
aber muß u einen Homöomorphismus G\X̃ → X induzieren, denn u ist bijektiv
und nach 5.3.8 wie jeder Quotient nach einer topologisch freien Operation eine
Überlagerungsabbildung.
Übungen
Übung 5.5.17. Das Quadrat [0, 1]2 und allgemeiner alle Hyperkuben [0, 1]n sind
einfach zusammenhängend. Hinweis: Man orientiere sich am Beweis von 5.5.9.
Vorschau 5.5.18. Später wird uns 6.2.5 ein Kriterium für einfachen Zusammenhang liefern, dessen Beweis aber bereits verwendet, daß das Quadrat [0, 1]2 einfach zusammenhängend ist. In ?? zeigen wir, daß ganz allgemein das Produkt
zweier einfach zusammenhängender Räume einfach zusammenhängend ist, falls
einer der Faktoren zusätzlich lokal zusammenhängend ist.
Übung 5.5.19. Für n ≥ 1 betrachte man den Kreis Kn ⊂ R2 mit Radius 1/n, der
rechts von der
S y-Achse liegt und diese im Ursprung berührt. Man zeige, daß der
Raum X = n≥1 Kn keine universelle Überlagerung besitzt. Dieser sogenannte
Kreisraum dient oft als Gegenbeispiel.
5.6
Eigenschaften von Funktoren
Definition 5.6.1.
1. Ein Funktor F : A → B heißt treu genau dann, wenn er
Injektionen F : A(A, A0 ) ,→ B(F A, F A0 ) auf den Morphismen induziert,
für alle A, A0 ∈ A.
2. Ein Funktor F : A → B heißt volltreu genau dann, wenn er Bijektionen
∼
F : A(A, A0 ) → B(F A, F A0 ) auf den Morphismen induziert. Ich notiere
∼
volltreue Funktoren ,→.
3. Ein Funktor F : A → B heißt eine Äquivalenz von Kategorien genau
dann, wenn er volltreu ist und zusätzlich eine Surjektion auf Isomorphieklassen von Objekten induziert, wenn es also in Formeln für alle B ∈ B ein
≈
A ∈ A gibt mit F A ∼
= B. Ich notiere Äquivalenzen von Kategorien →. Die
189
Versuch der graphischen Darstellung des Kreisraums. Man muß sich dabei
allerdings noch unendlich viele immer kleinere Kreise hinzudenken.
190
doppelte Schlange soll andeuten, daß äquivalente Kategorien „in schwächerer Weise gleich sind“ als isomorphe Kategorien, wie sie im Anschluß
eingeführt werden.
4. Ein Funktor F : A → B heißt ein Isomorphismus von Kategorien genau
dann, wenn er bijektiv ist auf Objekten und auf Morphismen, wenn er also
ein Isomorphismus ist in der Kategorie der Kategorien aus 6.7.1. Ich notiere
∼
Isomorphismen von Kategorien →.
Beispiel 5.6.2. Sei k ein Körper. Wir betrachten die Kategorie Modf k aller endlichdimensionalen alias endlich erzeugten k-Vektorräume mit linearen Abbildungen als Morphismen. Das Kürzel steht für „finitely generated k-Module“, eine
andere Bezeichnung für dasselbe Objekt. Weiter betrachten wir, und zwar sogar
für einen beliebigen Ring k, die Matrixkategorie Mat = Matk mit Objekten
Ob(Mat) := N und Matrizen mit Einträgen in k des entsprechenden Formats
als Morphismen, in Formeln Mat(m, n) := Mat(n × m; k). Die Verknüpfung
von Morphismen in Mat schließlich sei die Matrixmultiplikation. Im Fall eines
Körpers k ist dann der offensichtliche Funktor n 7→ k n eine Äquivalenz von Kategorien
≈
Matk → Modf k
zwischen unserer Matrixkategorie Matk und der Kategorie der endlich erzeugten k-Vektorräume, aber ist natürlich kein Isomorphismus von Kategorien. Diese
Aussage faßt eine Vielzahl von Aussagen der linearen Algebra zusammen und
illustriert meines Erachtens recht gut die Kraft und Eleganz der Sprache der Kategorientheorie. Wenn unser Ring k selbst durch einen größeren Ausdruck gegeben
ist, schreiben wir für unsere Matrixkategorie statt Matk auch manchmal Mat(k).
Übungen
Übung 5.6.3. Jede Äquivalenz von Kategorien induziert eine Bijektion zwischen
den zugehörigen Isomorphieklassen von Objekten. Zum Beispiel werden die endlichdimensionalen k-Vektorräume klassifiziert durch ihre Dimension, alias durch
Elemente von N, alias durch Isomorphieklassen der Matrixkategorie.
5.7
Transformationen
5.7.1. Ich erinnere nun an das Konzept der Transformationen von Funktoren, wie
es in 7.3 ausführlicher besprochen wird.
Definition 5.7.2. Seien A, B Kategorien und F, G : A → B Funktoren. Eine
Transformation τ : F ⇒ G ist eine Vorschrift, die jedem Objekt X ∈ A einen
191
Morphismus τX ∈ B(F X, GX) zuordnet derart, daß für jeden Morphismus f :
X → Y in A das folgende Diagramm in B kommutiert:
FX
Ff ↓
FY
τX
−→
τY
−→
GX
↓ Gf
GY
In Formeln meint dies „Kommutieren“ die Gleichheit (Gf ) ◦ τX = τY ◦ (F f ) in
der Morphismenmenge B(F X, GY ). Ob ein Doppelpfeil eine Transformation von
Funktoren oder vielmehr eine Implikation meint, muß der Leser aus dem Kontext
erschließen. Sind alle τX Isomorphismen, so nenne ich τ eine Isotransformation
∼
und notiere sie ⇒. Gibt es zwischen zwei Funktoren eine Isotransformation, so
heißen sie isomorph.
5.7.3 (Diskussion der Terminologie). In der Literatur heißen unsere Transformationen meist „natürliche Transformationen“. Diese Terminologie schien mir
jedoch unnötig umständlich und entspricht auch nicht meinem Sprachempfinden:
Ich möchte zum Beispiel unter der „natürlichen“ Transformation des Identitätsfunktors auf der Kategorie aller R-Vektorräume in den Bidualraumfunktor gerne
die in 5.7.4 gegebene Transformation verstehen, die zwar keineswegs die einzige Transformation zwischen diesen Funktoren ist, aber wohl schon die „natürlichste“. In der Literatur heißen unsere Isotransformationen auch und sogar meist
Isomorphismen von Funktoren oder Äquivalenzen von Funktoren.
Beispiel 5.7.4 (Bidualraum und Identitätsfunktor). Sei k ein Körper und B :
Modk → Modk der Funktor, der jedem k-Vektorraum V seinen Bidualraum
BV := V >> zuordnet. So liefern die Evaluationen evV : V → V >> , v 7→ (f 7→
f (v)) eine Transformation ev : Id ⇒ B und eine Isotransformation zwischen
den Restriktionen dieser Funktoren auf die Kategorie der endlichdimensionalen
k-Vektorräume, vergleiche ??. Oft formalisiert man Situationen dieser Art nicht
bis ins Letzte aus und spricht etwa von kanonischen Abbildungen bzw. kanonischen Isomorphismen, wenn bei formaler Betrachtung Abbildungen oder Isomorphismen τX : F X → GX gemeint sind, die in ihrer Gesamtheit eine Trans∼
formation bzw. Isotransformation von Funktoren τ : F ⇒ G bilden.
Beispiel 5.7.5 (Dualraum und Transponieren). Sei k ein Körper und D : Modk →
Modopp
der Funktor, der jedem Raum seinen Dualraum zuordnet. Sei weiter Matk
k
der Funktor, der die Obdie Matrizenkategorie aus 5.6.2 und T : Matk → Matopp
k
jekte festhält und Matrizen transponiert. Sei schließlich R : Matk → Modk unser
„Realisierungsfunktor“ n 7→ k n aus 5.6.2 und bezeichne R auch den entsprechenden Funktor zwischen den jeweils opponierten Kategorien. So erhalten wir eine
Isotransformation
∼
τ : RT ⇒ DR
192
indem wir jeder natürlichen Zahl alias jedem Objekt n ∈ Matk den offensicht∼
lichen Isomorphismus τn : k n → (k n )> zuordnen. Es kann hilfreich sein, durch
Doppelpfeile in Diagrammen von Kategorien und Funktoren klarzumachen, zwischen welchen Funktoren eine Transformation gemeint ist. So wäre etwa in diesem Beispiel unser τ ein möglicher Doppelpfeil im Diagramm
/ Matopp
k
uuu
τuuuuuu
R
R
uuuuu
v~ uuuu
Modk D / Modopp
Matk
T
k
Beispiel 5.7.6. Sind τ : F ⇒ G und σ : G ⇒ H Transformationen, so ist auch
σ ◦ τ : F ⇒ H gegeben durch (σ ◦ τ )X := σF X ◦ τX für jedes Objekt X der Ausgangskategorie von F eine Transformation. Des weiteren gibt es für jeden Funktor
F die identische Transformation id = idF von besagtem Funktor zu sich selber,
gegeben durch (idF )X := idF X für jedes Objekt X der Ausgangskategorie unseres Funktors. Sind A, B Kategorien, so bilden die Funktoren A → B selbst eine
Kategorie, mit Funktoren als Objekten und Transformationen als Morphismen.
Ich verwende für diese Funktorkategorie die Notation Cat(A, B) und alternativ
die exponentielle Notation B A , so daß etwa für Funktoren F, G : A → B die
Menge der Transformationen
Cat(A, B)(F, G) = B A (F, G)
notiert werden kann. Wenn die Kategorien selber durch größere Ausdrücke gegeben werden, sind für die Menge der Transformationen auch abkürzende Notationen wie etwa Trans(F, G) sinnvoll und üblich. Unsere Isotransformationen sind
genau die Isomorphismen der Funktorkategorie.
Beispiel 5.7.7. Seien F, G : A → B Funktoren und τ : F ⇒ G eine Transformation. Gegeben ein weiterer Funktor H : B → C erhalten wir in offensichtlicher Weise eine Transformation Hτ : HF ⇒ HG. Gegeben ein weiterer
Funktor K : D → A erhalten wir in offensichtlicher Weise eine Transformation
τ K : F K ⇒ GK. Offensichtlich liefern diese Konstruktionen ihrerseits Funktoren Cat(A, B) → Cat(A, C) und Cat(A, B) → Cat(D, B) zwischen den entsprechenden Funktorkategorien, die wir als das Nachschalten von H bzw. Vorschalten von K bezeichnen.
5.7.8 (Schwierigkeiten der Notation). Die Notationen τ K und Hτ führen leicht
zu Verwirrung, sobald nicht aus der Art der Symbole klar ist, welche Symbole Funktoren und welche Transformationen darstellen. Ich kenne keine generelle
Lösung für diese Schwierigkeiten der Notation. Hier versuche ich, eine gewisse
Übersichtlichkeit dadurch zu erreichen, daß ich systematisch lateinische Großbuchstaben für Funktoren und kleine griechische Buchstaben für Transformationen verwende.
193
Übungen
Übung 5.7.9. Sind zwei Funktoren isomorph und ist der Eine eine Äquivalenz von
Kategorien, so auch der Andere.
Übung 5.7.10. Sei G ein Monoid. Die G-Mengen mit den äquivarianten Abbildungen als Morphismen bilden dann eine Kategorie G -Ens. Bilden wir zu unserem
Monoid G die Ein-Objekt-Kategorie [G], so liefert der hoffentlich offensichtliche
Funktor einen Isomorphismus von Kategorien
∼
G -Ens → Cat([G], Ens)
Übung 5.7.11. Man zeige: Ein Funktor F : A → B ist genau dann eine Äquivalenz von Kategorien, wenn es eine Äquivalenz von Kategorien in die Gegen∼
richtung G : B → A gibt nebst einer Isotransformation τ : IdA ⇒ GF . Die
Äquivalenz G oder genauer das Paar (G, τ ) heißt dann ein quasiinverser Funktor zu F . Man zeige weiter: Zu jedem Paar (G, τ ) wie eben gibt es genau eine
∼
Isotransformation η : F G ⇒ IdA mit (ηF ) ◦ (F τ ) = idF .
Übung 5.7.12. Man zeige: Genau dann ist ein Funktor F : A → B eine Äquivalenz von Kategorien, wenn es einen Funktor G : B → A gibt derart, daß F G
isomorph ist zum Identitätsfunktor auf B und GF isomorph zum Identitätsfunktor
auf A.
≈
Übung 5.7.13. Man zeige: Gegeben eine Äquivalenz von Kategorien F : A → B
∼
und ein Funktor G : B → A nebst einer Isotransformation τ : F G ⇒ IdA ist
auch G eine Äquivalenz von Kategorien und (G, τ ) quasiinvers zu F .
Übung 5.7.14 (Äquivalenzen von Funktorkategorien). Sind A, B Kategorien
≈
und ist K : A0 → A eine Äquivalenz von Kategorien, so liefert das Vorschalten
von K eine Äquivalenz von Funktorkategorien
≈
Cat(A, B) → Cat(A0 , B)
≈
Ist ähnlich H : B → B 0 eine Äquivalenz von Kategorien, so liefert das Nachschalten von H eine Äquivalenz von Funktorkategorien
≈
Cat(A, B) → Cat(A, B 0 )
Ergänzende Übung 5.7.15 (Exponentialgesetz für Kategorien). Man zeige, daß
man für je drei Kategorien A, B, C einen Isomorphismus von Kategorien
∼
Cat(A, Cat(B, C)) → Cat(A × B, C)
erhält durch die Vorschrift F 7→ F̃ mit F̃ (A, B) = (F (A))(B) auf Objekten und
eine vom Leser zu spezifizierende Vorschrift auf Morphismen.
194
6
Überlagerungen und Fundamentalgruppe
6.1
Transport durch Wegeliften
Definition 6.1.1. Seien p : X̃ → X eine Überlagerung, x, y ∈ X Punkte und
γ ∈ Ω(X, y, x) ein Weg von x nach y. So definieren wir eine Abbildung von der
Faser bei x in die Faser bei y, den Transport durch Wegeliften
hγi : p−1 (x) → p−1 (y)
wie folgt: Da nach 5.5.9 das Intervall [0, 1] einfach zusammenhängend ist, gibt es
nach 5.5.10 für jeden Punkt x̃ ∈ p−1 (x) genau einen Lift γ̃x̃ unseres Weges γ mit
Anfangspunkt γ̃x̃ (0) = x̃. Wir definieren hγi(x̃) als seinen Endpunkt, in Formeln
hγi(x̃) := γ̃x̃ (1).
Lemma 6.1.2 (Eigenschaften des Transports durch Wegeliften). Sei p : X̃ →
X eine Überlagerung.
1. Homotope Wege in der Basis liefern dieselbe Abbildung auf den Fasern, in
Formeln folgt aus γ ' β also hγi = hβi. Insbesondere ist also auch für
jede Homotopieklasse γ von Wegen die Abbildung hγi wohldefiniert;
2. Der konstante Weg ε bei x ∈ X definiert auf der Faser p−1 (x) die identische
Abbildung hεi = id;
3. Sind β und γ verknüpfbare Wege in X, so gilt hβi ◦ hγi = hβ ∗ γi;
4. Ist q : Ỹ → Y eine weitere Überlagerung und sind f : X → Y und
f˜ : X̃ → Ỹ stetige Abbildungen mit q ◦ f˜ = f ◦ p und ist γ ein Weg in X,
so gilt f˜ ◦ hγi = hf γi ◦ f˜.
Ergänzung 6.1.3. Man mag die beiden mittleren Punkte dahingehend zusammenfassen, daß jede Überlagerung p : X̃ → X einen Funktor [X̃] : WX → Ens des
fundamentalen Gruppoids von X in die Kategorie der Mengen liefert vermittels
der Vorschrift x 7→ p−1 (x) auf Objekten und γ 7→ hγi auf Morphismen. Der letzte
Punkt sagt in dieser Sprache, daß die von f˜ auf den Fasern induzierte Abbildung
eine Transformation unseres Funktors [Ỹ ] : WY → Ens zur Verknüpfung des
Funktors Funktor f] : WY → WX mit dem Funktor [X̃] : WX → Ens ist, in
Formeln also eine Transformation [Ỹ ] ⇒ [X̃] ◦ f] .
Beweis. Wir zeigen nur die erste Aussage, die anderen sind klar nach den Definitionen. Sei h : [0, 1]2 → X eine Homotopie (mit festen Endpunkten) zwischen
unseren Wegen. Auf der vorderen bzw. hinteren Kante unseres Quadrats haben
195
Eine dreiblättrige Überlagerung der Acht, ein Punkt unten und die drei Punkte
der Faser darüber, ein geschlossener Weg unten und die zugehörige Operation
auf der Faser am Beispiel des „untersten“ Punktes der Faser, der in diesem Fall
auf den „obersten“ Punkt der Faser geschoben wird.
196
wir also h(0, t) = γ(t) bzw. h(1, t) = β(t), und auf der oberen und der unteren
Kante ist H konstant. Da unser Quadrat nach 5.5.17 einfach zusammenhängend
ist, gibt es für alle x̃ ∈ p−1 (x) einen Lift h̃ : [0, 1]2 → X̃ von h mit h̃(0, 0) = x̃.
Nach dem Satz über die Eindeutigkeit von Lifts ist dieser Lift konstant x̃ auf der
unteren Kante, folglich ist er auf der vorderen bzw. hinteren Kante der Lift mit
Anfangspunkt x̃ von γ bzw. β. Da aber unser Lift auch konstant sein muß auf der
oberen Kante, folgt hγi(x̃) = hβi(x̃).
6.1.4. Gegeben eine Menge F notieren wir die Gruppe aller Permutationen von
F als Ens× (F ). In der Tat ist das die Menge aller invertierbaren Elemente des
Monoids Ens(F ) aller Abbildungen von F in sich selber.
Satz 6.1.5 (Faserfunktor).
1. Ist p : X̃ → X eine Überlagerung und x ∈ X
ein Punkt, so liefert der Transport durch Wegeliften γ 7→ hγi einen Gruppenhomomorphismus π1 (X, x) → Ens× (p−1 (x)) alias eine Operation der
Fundamentalgruppe π1 (X, x) auf der Faser p−1 (x) über dem Basispunkt,
die Wegeliftungsoperation;
2. Ist q : X̂ → X eine weitere Überlagerung und d : X̃ → X̂ eine Decktransformation, so ist die Einschränkung d : p−1 (x) → q −1 (x) auf die Fasern
über x eine π1 (X, x)-äquivariante Abbildung.
6.1.6. Für einen bepunkteten topologischen Raum (X, x) erhalten wir also einen
Funktor von der Kategorie seiner Überlagerungen in die Kategorie der Mengen
mit Operation der Fundamentalgruppe, indem wir jeder Überlagerung von X ihre
Faser bei x zuordnen. Dieser sogenannte Faserfunktor F = Fx wird in Formeln
gegeben durch die Vorschrift
F : ÜbX → π1 (X, x) -Ens
p
7→
p−1 (x)
Beweis. Das folgt alles sofort aus dem vorhergehenden Lemma 6.1.2.
Satz 6.1.7 (Fundamentalgruppe einer Überlagerung).
1. Jede Überlagerung
bepunkteter Räume p : (X̃, x̃) → (X, x) induziert eine Injektion p] :
π1 (X̃, x̃) ,→ π1 (X, x) auf den Fundamentalgruppen, und das Bild dieser
Injektion ist die Isotropiegruppe von x̃ unter der Wegeliftungsoperation, in
Formeln
im p] = {γ ∈ π1 (X, x) | hγi(x̃) = x̃}
2. Ist zusätzlich unsere Überlagerung X̃ wegzusammenhängend, so operiert
die Fundamentalgruppe π1 (X, x) transitiv auf der Faser über dem Basispunkt p−1 (x).
197
Beweis. Seien x̃, ỹ ∈ X̃ beliebig und x, y ∈ X ihre Bilder. So liefert nach unseren
Definitionen und wegen der Eindeutigkeit von Lifts 5.4.2 das Nachschalten von p
eine Bijektion
∼
Ω(X̃, ỹ, x̃) → {γ ∈ Ω(X, y, x) | hγi(x̃) = ỹ}
Diese Bijektion induziert dann eine Bijektion auf Homotopieklassen. Setzen wir
ỹ = x̃, so ergibt sich Teil 1. Läßt sich jeder Punkt ỹ aus der Faser p−1 (x) in X̃
durch einen Weg α mit x̃ verbinden, so liegt die Homotopieklasse von γ = p ◦ α
in π1 (X, x) und wir haben ỹ = hγi(x̃).
6.1.8. Ich erinnere an den Begriff eines wegweise einfach zusammenhängenden
Raums aus 3.2.17. In der mittlerweile entwickelten Begrifflichkeit ist das dasselbe
wie ein wegzusammenhängender Raum mit trivialer Fundamentalgruppe in Bezug
auf einen und gleichbedeutend jeden seiner Punkte.
Proposition 6.1.9. Sei X ein Raum mit einer topologisch freien Operation einer
Gruppe G. So erhalten wir für jeden Punkt x ∈ X mit der Notation x̄ für sein Bild
im Bahnenraum einen Gruppenhomomorphismus
cx : π1 (X/G, x̄) → G
durch die Vorschrift cx (γ)−1 x = hγix. Wir nennen cx den durch x gegebenen
Faserwirkungsvergleich.
Beweis. Bezeichne p : X → X/G die Quotientenabbildung. Nach 5.3.8 ist sie
eine Überlagerung. Per definitionem operiert G frei und transitiv auf der Faser p−1 (x̄) und nach 6.1.5 kommutiert diese Operation mit der Operation von
π1 (X/G, x̄) durch Wegeliften. Das anschließende algebraische Lemma 6.1.10 beendet den Beweis.
Lemma 6.1.10 (Homomorphismen durch Torsoren). Sei F eine Menge mit einer Linksoperation einer Gruppe H und einer freien transitiven Rechtsoperation
einer Gruppe G, die in dem Sinne kommutieren, daß gilt (hf )g = h(f g) ∀h ∈ H,
f ∈ F , g ∈ G. So liefert jedes Element f ∈ F einen Gruppenhomomorphismus
cf : H → G
durch die Vorschrift hf = f cf (h). Ist die Operation von H frei, so ist cf injektiv.
Ist die Operation von H transitiv, so ist cf surjektiv.
6.1.11. Analoges gilt für Monoide, wenn wir zusätzlich f so wählen, daß die
∼
Operation von G eine Bijektion G → X, g 7→ f g liefert.
198
Beweis. Wir überlassen die formale Rechnung dem Leser und versuchen stattdessen eher informell, die Aussage transparent zu machen. Da G frei und transitiv
operiert, ist die Abbildung
G → F
g 7→ f g
eine G-äquivariante Bijektion. Die G-äquivarianten Abbildungen φ : G → G,
also die Abbildungen φ mit φ(xg) = φ(x)g ∀x, g ∈ G, sind nun genau die Linksmultiplikationen mit Elementen c ∈ G und entsprechen unter unserer Bijektion
∼
G → F den Abbildungen f g 7→ f cg. Insbesondere gilt das für die Abbildungen φ = (h·). Das ist der strukturelle Grund für unser Lemma, das sich so als
unmittelbare Konsequenz von Übung 5.2.6 erweist.
Korollar 6.1.12 (Fundamentalgruppe eines Bahnenraums). Operiert eine Gruppe topologisch frei auf einem wegweise einfach zusammenhängenden Raum, so
hat der zugehörige Bahnenraum besagte Gruppe als Fundamentalgruppe.
Beispiele 6.1.13. Aus unserem Korollar 6.1.12 folgt insbesondere π1 (Pn R) =
π1 (S n /{±1}) = {±1} für n ≥ 2 und π1 (S 1 ) ∼
= π1 (R/Z) = Z.
6.1.14. Eine Variante für nicht notwendig wegweise einfach zusammenhängende
Räume wird in Übung 6.1.18 besprochen.
Beweis. Sei X unser Raum und G unsere Gruppe. Nach 6.1.7 operiert für jeden
Basispunkt x̄ ∈ X/G die Fundamentalgruppe π1 (X/G, x̄) frei und transitiv auf
der Faser über x̄. Nach 6.1.10 ist also der Faserwirkungsvergleich aus 6.1.9 für
∼
jedes Element x der Faser ein Isomorphismus cx : π1 (X/G, x̄) → G.
Ergänzung 6.1.15 (Tate-Twist). Ist ganz allgemein K irgendein algebraischer
Abschluß von R mit seiner natürlichen Topologie als endlichdimensionaler RVektorraum, so erklären wir ZK (−1) := ker(exp : K → K × ) als die Faser bei
1 ∈ K der durch die Exponentialabbildung gegebenen Überlagerung. Diese Faser
ist selbst eine additive Untergruppe von K und operiert durch Addition als die
Gruppe von Deckbewegungen unserer Überlagerung. Unsere Konstruktionen liefern so einen von der Wahl eines Punktes der Faser unabhängigen Isomorphismus
∼
π1 (K × ) → ZK (−1)
Für unseren üblichen Abschluß K = C schreiben wir 2πiZ = ZC (−1) = Z(−1)
und unser allgemeiner Isomorphismus spezialisiert zu einem kanonischen Isomor∼
phismus π1 (C× ) → Z(−1), der insofern „kanonischer“ ist als die schlichte Identifikation besagter Fundamentalgruppe mit Z, als er zum Ausdruck bringt, daß die
∼
komplexe Konjugation C → C auf der Fundamentalgruppe von C× die Multiplikation mit −1 induziert.
199
Anschaulich gesprochen kann es passieren, daß man bei einem Rundweg auf
P2 R „mit dem Kopf nach unten wieder am Ausgangspunkt ankommt“. Diese
Rundwege sind genau die nichtzusammenziehbaren Rundwege auf P2 R. Um
wieder in sein Auto einsteigen zu können, muß man sie noch ein zweites Mal
gehen. Um das zu sehen, mag man sich P2 R vorstellen als Kugelschale, in die
ein Kreisrundes Loch geschnitten wurde, um dort ein Möbiusband alias eine
Kreuzhabe einzukleben, wie ich sie hier gezeichnet habe.
200
Beispiel 6.1.16. Das nebenstehende Bild zeigt eine Überlagerung der Figur 8.
Die Fundamentalgruppe dieser Überlagerung ist offensichtlich eine nicht endlich
erzeugte Untergruppe der Fundamentalgruppe der Figur 8, die ihrerseits durchaus
endlich erzeugt ist.
Übungen
Übung 6.1.17. Man erkläre die Operation der Fundamentalgruppe auf den Fasern
im Fall der auf Seite 183 dargestellten Überlagerung der Acht.
Übung 6.1.18 (Fundamentalgruppe eines Bahnenraums, Variante). Operiert
eine Gruppe G topologisch frei auf einem Raum X, so erhalten wir eine linksexakte Sequenz
π1 (X, x) ,→ π1 (X/G, x̄) → G
mit dem Faserwirkungsvergleich 6.1.9 als zweiter Abbildung. Ist y ∈ X ein weiterer Punkt derselben Faser und ist β ∈ π1 (X/G, x̄) ein Weg mit hβi(x) = y, so
gilt cx = cy ◦ int(β) alias cx (γ) = cy (βγβ −1 ). Ist X wegzusammenhängend, so
ist der Faserwirkungsvergleich sogar surjektiv und unsere Sequenz ist damit eine
kurze exakte Sequenz.
Übung 6.1.19 (Funktorialität des Faserwirkungvergleichs). Sei X ein Raum
mit einer topologisch freien Operation einer Gruppe G und Y ein weiterer Raum
mit einer topologisch freien Operation einer Gruppe H und (f, ϕ) ein Paar bestehend aus einer stetigen Abbildung f : X → Y und einem Gruppenhomomorphismus ϕ : G → H mit f (gx) = ϕ(g)f (x) für alle x ∈ X und g ∈ G. So
kommutiert für jedes x ∈ X mit Bild y ∈ Y das Diagramm
π1 (X/G, x̄)
cx
G
f]
/ π1 (Y /H, ȳ)
ϕ
/
cy
H
für die durch Faserwirkungvergleich erklärten Gruppenhomomorphismen in den
Vertikalen.
Ergänzende Übung 6.1.20. (Noch nicht ausgearbeitet.) Nach ungefähr 2.10.20 ist
für die Operation von PSL(2; Z) auf der offenen oberen Halbebene die Menge aller Punkte mit nichttrivialer Isotropiegruppe diskret und abgeschlossen, PSL(2; Z)
operiert topologisch frei auf dem Komplement, und der Quotientenraum ist das
Komplement von zwei Punkten in der Ebene. Wenden wir auf diese Situation
Übung 6.1.18 an, so erhalten wir einen Gruppenisomorphismus
∼
(Z/2Z) ∗ (Z/3Z) → PSL(2; Z)
201
Eine Überlagerung der Figur 8 mit nicht endlich erzeugter Fundamentalgruppe.
202
6.2
Klassifikation von Überlagerungen
6.2.1. Gemäß unserer allgemeinen Konventionen ?? heißt ein topologischer Raum
X lokal zusammenziehbar beziehungsweise lokal wegzusammenhängend genau dann, wenn sich jede Umgebung eines beliebigen Punkts von X verkleinern läßt zu einer zusammenziehbaren beziehungsweise wegzusammenhängenden Umgebung desselben Punktes. Letzteres impliziert insbesondere, daß jede
Wegzusammenhangskomponente jeder offenen Teilmenge unseres Raums auch
selbst offen ist, und daß jede Umgebung jedes Punktes zu einer offenen wegzusammenhängenden Umgebung verkleinert werden kann, nämlich der Wegzusammenhangskomponente des besagten Punktes.
Satz 6.2.2 (Klassifikation von Überlagerungen). Sei (X, x) ein zusammenhängender lokal zusammenziehbarer bepunkteter Raum. So gilt:
1. Wir erhalten eine Bijektion zwischen der Menge der Isomorphieklassen zusammenhängender bepunkteter Überlagerungen p : (X̃, x̃) → (X, x) unseres bepunkteten Raums (X, x) und der Menge der Untergruppen seiner
Fundamentalgruppe π1 (X, x) vermittels der Zuordnung
p 7→ im(p] : π1 (X̃, x̃) → π1 (X, x))
2. Die Bijektion aus Teil 1 induziert eine Bijektion zwischen der Menge der Isomorphieklassen von zusammenhängenden Überlagerungen unseres Raums
und der Menge der Konjugationsklassen von Untergruppen seiner Fundamentalgruppe.
Ergänzung 6.2.3. In der Literatur wird obiger Satz oft allgemeiner für „semilokal
einfach zusammenhängende“ Räume bewiesen. Der hier gegebene Beweis funktioniert ohne Änderungen auch in diesem allgemeineren Kontext. Ich habe es dennoch vorgezogen, mich auf lokal zusammenziehbare Räume zu beschränken, da
mir diese Bedingung weniger technisch scheint und da sie alle mir bekannten Anwendungen abdeckt. Im weiteren Verlauf der Vorlesung werden wir sehen, wie
man die in obigem Satz enthaltenen Klassifikationen auch als direktes Korollar
des Satzes über den Faserfunktor 6.3.7 erhalten kann. Ich selber ziehe diesen Zugang vor.
Beweis. Der Beweis des ersten Teils wird eine Weile brauchen. Der Zweite folgt
dann aus der Erkenntnis, daß unter unseren Voraussetzungen die Fundamentalgruppe π1 (X, x) nach 6.1.7 transitiv auf der Faser über x operiert und das Bild
der Fundamentalgruppe der Überlagerung zu einem Basispunkt x̃ in der Faser gerade die Isotropiegruppe von x̃ unter der Wegeliftungsoperation ist. Wann immer
203
aber eine Gruppe G transitiv auf einer Menge F operiert, bilden die Isotropiegruppen Gf für f ∈ F eine Konjugationsklasse von Untergruppen von G nach Übung
5.2.5. Für Teil 1 müssen wir zeigen, daß unsere Zuordnung sowohl injektiv als
auch surjektiv ist. Wir beginnen mit der Injektivität und unterbrechen an dieser
Stelle den Beweis, um einige Ingredienzen bereitzustellen.
Satz 6.2.4 (Liftbarkeitskriterium). Sei p : (X̃, x̃) → (X, x) eine Überlagerung,
(Y, y) ein zusammenhängender und lokal wegzusammenhängender bepunkteter
Raum und f : (Y, y) → (X, x) stetig. Genau dann existiert ein Lift f˜ von f , wenn
in π1 (X, x) die Inklusion im f] ⊂ im p] gilt.
6.2.5. Insbesondere ist jeder wegweise einfach zusammenhängende und lokal
wegzusammenhängende Raum einfach zusammenhängend, denn in diesem Fall
lassen sich alle Abbildungen liften.
Beweis. Wir veranschaulichen uns die Situation mit dem Diagramm
(X̃, x̃)
:
v
f˜ vvv
v
vv
vv f
(Y, y)
p
/
(X, x)
Existiert ein Lift f˜, so folgt p] ◦ f˜] = f] und damit im f] ⊂ im p] . Um die andere
Richtung zu zeigen, bilden wir das kartesische Diagramm
(Ỹ , ỹ)
f˜
/
(X̃, x̃)
q
p
(Y, y)
f
/
(X, x)
und behaupten, daß unter unseren Annahmen q] : π1 (Ỹ , ỹ) → π1 (Y, y) surjektiv
ist. Sonst gäbe es nämlich nach unserer Beschreibung 6.1.7 der Fundamentalgruppe einer Überlagerung als Isotropiegruppe einen geschlossenen Weg γ ∈ Ω(Y, y)
mit hγi(ỹ) 6= ỹ. Es folgte hf ◦ γi(x̃) 6= x̃, da ja die obere Horizontale in unse∼
rem Quadrat eine Bijektion q −1 (y) → p−1 (x) induziert, nochmal nach 6.1.7 also
[f ◦ γ] 6∈ im p] im Widerspruch zur Annahme. Da wir Y lokal wegzusammenhängend angenommen hatten, folgt andererseits mit 5.1.12, daß die Zusammenhangskomponenten von Ỹ selbst schon Überlagerungen von Y und darüberhinaus
wegzusammenhängend sind. Nach 6.1.7 bildet dann die Zusammenhangskomponente von ỹ in Ỹ eine einblättrige Überlagerung von Y , und die schenkt uns dann
schließlich den gesuchten Lift.
204
Beweis der Injektivität im Klassifikationssatz 6.2.2. Sind (X̃, x̃) und (X̂, x̂) zusammenhängende bepunktete Überlagerungen derart, daß die Bilder ihrer Fundamentalgruppen in π1 (X, x) zusammenfallen, so liefert uns unser Liftbarkeitskriterium 6.2.4 Decktransformationen hin und zurück, deren Komposition aufgrund
der Eindeutigkeit von Lifts jeweils die Identität sein muß. Das zeigt die Injektivität im Klassifikationssatz. Die Surjektivität wird nach einigen Vorbereitungen im
nächsten Abschnitt als 6.3.5 bewiesen.
6.3
Existenz universeller Überlagerungen
Satz 6.3.1 (Existenz universeller Überlagerungen). Jeder zusammenhängende
lokal zusammenziehbare Raum besitzt eine universelle Überlagerung, und diese
ist auch seine einzige wegweise einfach zusammenhängende Überlagerung.
Bemerkung 6.3.2. Insbesondere ist ein zusammenhängender lokal zusammenziehbarer Raum einfach zusammenhängend genau dann, wenn er wegweise einfach
zusammenhängend ist.
Beweis. Wir brauchen nur zu zeigen, daß unser Raum eine wegweise einfach zusammenhängende Überlagerung besitzt, denn diese ist dann nach 6.2.5 automatisch einfach zusammenhängend und dann nach 5.5.13 auch universell. Um das
also zu zeigen, wählen wir x ∈ X fest und betrachten die Menge X̃ aller Homotopieklassen von Wegen mit Anfangspunkt x unter Homotopie mit festen Randpunkten, in Formeln,
X̃ := {γ : [0, 1] → X | γ ist stetig, γ(0) = x}/ '
Äquivalent und vielleicht suggestiver aber auch wieder etwas komplizierter könnten wir X̃ auch definieren als die Menge aller Paare (g, y) bestehend aus einem
Punkt y ∈ X und einer Homotopieklasse von Wegen g ∈ W(x, y). Die Homotopieklasse von γ heiße wieder [γ]. Insbesondere haben wir also eine Abbildung
u : X̃ → X, [γ] 7→ γ(1), die jeder Homotopieklasse von Wegen ihren gemeinsamen Endpunkt zuordnet. Sie ist surjektiv, da X wegzusammenhängend ist. Wir
erklären nun auf X̃ eine Topologie. Für jeden stetigen Weg γ mit Anfangspunkt x
und jede offene Umgebung V seines Endpunktes γ(1) setzen wir dazu
U (γ, V ) := {[β ∗ γ] | β : [0, 1] → V ist stetig mit β(0) = γ(1)}
und betrachten auf X̃ die von allen U (γ, V ) erzeugte Topologie. Offensichtlich
ist u : X̃ → X stetig, das Urbild von V ist ja gerade die Vereinigung der U (γ, V )
über alle Wege γ mit Endpunkt in V . Wir müssen zeigen, daß u eine Überlagerung
ist. Für z ∈ X wählen wir dazu eine offene wegzusammenhängende Umgebung
205
V von z, die ganz in einer zusammenziehbaren Umgebung enthalten ist. Natürlich
wäre es auch in Ordnung, hier schlicht eine offene zusammenziehbare Umgebung
von z zu nehmen, aber die Existenz einer Umgebung mit diesen beiden Eigenschaften wird von unseren Bedingungen nicht sichergestellt. Betrachten wir nun
die Abbildung
Φ : u−1 (z) × V → X̃,
([γ], v) 7→ [β ∗ γ]
Hier meint β : [0, 1] → V irgendeinen stetigen Weg von z nach v, der ganz in
V verläuft. Aufgrund unserer Voraussetzungen an V ist Φ wohldefiniert und eine
Injektion mit Bild u−1 (V ). Wir zeigen, daß Φ ein Homöomorphismus auf sein
Bild ist.
1. Φ ist stetig. In der Tat, liegt Φ([γ], v) in U (α, W ), so auch Φ({[γ]} × V1 )
für jede offene wegzusammenhängende Umgebung V1 von v in V ∩ W ;
2. Φ ist offen. In der Tat, für wegzusammenhängendes offenes V1 ⊂ V gilt
Φ({[γ]} × V1 ) = U (β ∗ γ, V1 ) für jeden Weg β : [0, 1] → V mit β(0) = z,
β(1) ∈ V1 .
Also ist u : X̃ → X eine Überlagerung und wir müssen nur noch zeigen, daß
X̃ wegweise einfach zusammenhängend ist. Bezeichne x̃ ∈ X̃ die Klasse des
konstanten Weges x. Jeder Weg ω : ([0, 1], 0) → (X, x) mit Anfangspunkt x hat
als Lift zum Anfangspunkt x̃ den Weg ω̃ : ([0, 1], 0) → (X̃, x̃) gegeben durch
ω̃(s) = [ωs ] mit ωs (t) = ω(st). Die Wege ωs : [0, 1] → X sind also Anfangsstücke von ω, die so langsam durchlaufen werden, daß gilt ωs (1) = ω(s). Offensichtlich hat ω̃ den Endpunkt [ω]. Mit X ist also auch X̃ wegzusammenhängend,
und für die Wegeliftungsoperation gilt hωi(x̃) = [ω]. Die Isotropiegruppe von x̃
alias nach 6.1.7 die Fundamentalgruppe von π1 (X̃, x̃) ist folglich trivial.
Satz 6.3.3 (Deckbewegungsgruppe der universellen Überlagerung). Die Fundamentalgruppe eines zusammenhängenden lokal zusammenziehbaren Raums ist
isomorph zur Deckbewegungsgruppe seiner universellen Überlagerung.
6.3.4. Ist (X̃, x̃) → (X, x) unsere universelle Überlagerung und G ihre Deckbewegungsgruppe, so erhalten wir genauer und in Formeln einen Isomorphismus
∼
c = cx̃ : π1 (X, x) → G vermittels der Regel c(γ)−1 x̃ = hγix̃.
Beweis. Nach 5.5.16 operiert die Deckbewegungsgruppe auf dem Totalraum jeder universellen Überlagerung topologisch frei mit dem ursprünglichem Raum als
Quotienten. Nach 6.3.1 ist unter unseren Voraussetzungen die universelle Überlagerung wegweise einfach zusammenhängend. Der Satz folgt nun aus Korollar
6.1.12 über die Fundamentalgruppe von Quotienten wegweise einfach zusammenhängender Räume nach topologisch freien Gruppenoperationen.
206
Proposition 6.3.5 (Konstruktion von Überlagerungen). Seien (X, x) ein zusammenhängender lokal zusammenziehbarer Raum, p : (X̃, x̃) → (X, x) seine
∼
universelle Überlagerung und c = cx̃ : π1 (X, x) → Top×
X (X̃) der natürliche Isomorphismus aus 6.3.4. Gegeben eine Untergruppe H ⊂ π1 (X, x) und der Quotient X̂ := X̃/c(H) ist dann q : X̂ → X eine zusammenhängende Überlagerung
und für x̂ ∈ X̂ das Bild von x̃ gilt
H = im(q] : π1 (X̂, x̂) → π1 (X, x))
6.3.6. Diese Proposition zeigt im Klassifikationssatz 6.2.2 die Surjektivität. Die
Injektivität hatten wir bereits gezeigt, der Klassifikationssatz ist damit also vollständig bewiesen. Mich verwirren allerdings diese Identifikationen zwischen der
Deckbewegungsgruppe der universellen Überlagerung und der Fundamentalgruppe immer wieder auf’s neue. Ich ziehe deshalb die Fassung 6.5.3 vor, in der die
Fundamentalgruppe nicht mehr explizit vorkommt.
Beweis. Nach 5.5.16 operiert die Deckbewegungsgruppe auf dem Totalraum jeder universellen Überlagerung topologisch frei mit dem ursprünglichen Raum als
Quotienten. Nach Übung 5.3.11 ist also auch unser q eine Überlagerung, und offensichtlich ist X̂ zusammenhängend. Dann ist im(q] ) nach 6.1.7 die Isotropiegruppe von x̂ unter der Wegeliftungsoperation zu X̂ → X und besteht demnach
aus allen g ∈ π1 (X, x) mit hgi(x̃) ∈ c(H)x̃ alias allen g ∈ H.
Satz 6.3.7 (über den Faserfunktor). Ist X ein zusammenhängender lokal zusammenziehbarer topologischer Raum und x ∈ X ein Punkt, so liefert der Faserfunktor p 7→ p−1 (x) eine Äquivalenz zwischen der Kategorie der Überlagerungen
von X und der Kategorie der π1 (X, x)-Mengen
≈
ÜbX → π1 (X, x) -Ens
6.3.8. Unter diesem Funktor entsprechen die zusammenhängenden Überlagerungen von X nach 6.1.7 genau den transitiven π1 (X, x)-Mengen. Unsere Klassifikation von Überlagerungen 6.2.2 wird in Anbetracht der Klassifikation von homogenen Räumen 5.2.5 durch Konjugationsklassen von Untergruppen damit ein
Korollar zum vorhergehenden Satz.
Beweis. Wir werden im übernächsten Abschnitt sogar die noch allgemeinere Aussage 6.5.2 beweisen. Zunächst müssen wir jedoch weitere Hilfsmittel aus der Kategorientheorie bereitstellen. Den direkten Beweis hier überlassen wir dem Leser
zur Übung.
Ergänzung 6.3.9. Eine Decktransformation einer zusammenhängenden Überlagerung auf sich selber muß keine Deckbewegung sein. Um ein Gegenbeispiel zu
207
konstruieren, sucht man zunächst Gruppen G ⊃ H derart, daß die G-Menge G/H
nicht-bijektive G-äquivariante Selbstabbildungen besitzt, d.h. daß es a ∈ G gibt
mit H ( aHa−1 . Hier kann man zum Beispiel in G = SL(2; Q) die Untergruppe H aller oberen Dreiecksmatrizen betrachten mit Einsen auf der Diagonale und
einem ganzzahligen Eintrag in der oberen rechten Ecke, und als a eine geeignete
Diagonalmatrix nehmen. Nun kann man zu jeder Gruppe einen zusammenhängenden lokal zusammenziehbaren Raum konstruieren, der besagte Gruppe als Fundamentalgruppe hat. Diese Konstruktion will ich hier nicht vorführen, aber mit ihrer
Hilfe liefert der vorhergehende Satz dann das gesuchte Gegenbeispiel.
6.4
Adjungierte Funktoren
6.4.1. Das Konzept adjungierter Funktoren gehört zu den Grundbegriffen der Kategorientheorie. Die Terminologie kommt vermutlich vom Fall der Restriktionsund Induktionsfunktoren aus der Darstellungstheorie endlicher Gruppen her, deren Effekte auf Charakteren nach ?? adjungierte lineare Abbildungen im Sinne
der linearen Algebra sind.
Definition 6.4.2. Seien A, B Kategorien und L : A → B sowie R : B → A
Funktoren. Eine Adjunktion α von L mit R oder in Kurzschreibweise α : L a R
ist eine Isotransformation
∼
α : B(L−, −) ⇒ A(−, R−)
von Funktoren Aopp × B → Ens, d.h. eine Sammlung von „natürlichen“ Isomor∼
phismen αX,Y : B(LX, Y ) → A(X, RY ) für X ∈ A, Y ∈ B.
Beispiel 6.4.3 (Freie Gruppen als adjungierter Funktor). Der Vergißfunktor
von den Gruppen in die Mengen hat als Linksadjungierten den Funktor, der jeder
Menge die freie Gruppe über besagter Menge zuordnet, wie sie in 4.5 eingeführt
wird. Mit der Notation v : Grp → Ens für den vergesslichen Funktor haben wir
für jede Gruppe G und jede Menge X eine natürliche Bijektion
∼
Grp(Grp↑ X, G) → Ens(X, vG)
Der Vergißfunktor von den abelschen Gruppen in die Mengen hat ähnlich als
Linksadjungierten den Funktor, der jeder Menge die freie abelsche Gruppe über
besagter Menge zuordnet. Für diese Gruppe verwenden wir die Notation Ab↑ X =
ZX.
Beispiel 6.4.4 (Das Exponentialgesetz als Adjunktion). Gegeben eine Menge
Z ist der Funktor (Z×) : Ens → Ens linksadjungiert zum Funktor Ens(Z, ) :
Ens → Ens vermittels der kanonischen Bijektionen
∼
Ens(Z × X, Y ) → Ens(X, Ens(Z, Y ))
208
aus ??. Weiter ist der Funktor Ens( , Z) : Ens → Ensopp linksadjungiert zum
Funktor Ens( , Z) : Ensopp → Ens vermittels der in derselben Weise konstruierten kanonischen Bijektionen
∼
Ensopp (Ens(X, Z), Y ) = Ens(Y, Ens(X, Z)) → Ens(X, Ens(Y, Z))
6.4.5 (Einheit und Koeinheit einer Adjunktion). Seien A, B Kategorien und
L : A → B sowie R : B → A Funktoren. Gegeben eine beliebige Transformation
α : B(L−, −) ⇒ A(−, R−) von Funktoren Aopp × B → Ens erhalten wir für
jedes Objekt X ∈ A einen Morphismus
α̂X := αX,LX (idLX ) : X → RLX
als das Bild der Identität unter der durch αX,LX : B(LX, LX) → A(X, RLX).
Diese Morphismen bilden sogar in ihrer Gesamtheit eine Transformation α̂ :
IdA ⇒ RL vom Identitätsfunktor auf A zum Funktor RL. Genauer behaupten
wir für alle Morphismen f : X → Y in A die Identitäten
α̂Y ◦ f = αX,LY (Lf ) = RLf ◦ α̂X
In der Tat kommutiert für B ∈ B beliebig nach Annahme das Diagramm
B(LY, B)
αY,B
A(Y, RB)
◦Lf
◦f
/ B(LX, B)
αX,B
/ A(X, RB)
Spezialisieren wir diese Erkenntnis zu B = LY und vergleichen das Bild der
Identität auf LY unter unseren Abbildungen, so folgt α̂Y ◦f = αX,LY (Lf ). Andererseits kommutiert nach Annahme für einen beliebigen Morphismus g : B → C
in B das Diagramm
g◦
/ B(LX, C)
B(LX, B)
αX,B
A(X, RB)
Rg◦
/
αX,C
A(X, RC)
Spezialisieren wir diese Erkenntnis zum Morphismus Lf : LX → LY und
vergleichen das Bild der Identität auf LX unter unseren Abbildungen, so folgt
RLf ◦ α̂X = αX,LY (Lf ) wie behauptet. Ist α sogar eine Isotransformation alias
eine Adjunktion von Funktoren, so heißt α̂ die Einheit der Adjunktion und wir
erhalten in derselben Weise für jedes Objekt Y ∈ B auch einen Morphismus
−1
α̌Y := αRY,Y
(idRY ) : LRY → Y
Man zeigt analog, daß die α̌Y eine Transformation α̌ : LR ⇒ IdB zum Identitätsfunktor auf B bilden. Sie heißt die Koeinheit der Adjunktion.
209
Beispiel 6.4.6 (Einheit und Koeinheit im Fall freier Gruppen). Unsere Adjunk∼
tion Grp(Grp↑ X, G) → Ens(X, vG) hat als Einheit die kanonischen Abbildungen X → v Grp↑ X aus 4.5.8 und als Koeinheit die kanonischen Gruppenhomomorphismen Grp↑ (vG) → G aus dem Beweis von 4.6.2.
Lemma 6.4.7 (Äquivalenz durch Adjunktion). Seien L : A → B und R : B →
A Funktoren und α : L a R eine Adjunktion.
1. Genau dann besteht die Einheit α̂ der Adjunktion aus Isomorphismen α̂X :
∼
X → RLX, wenn der Funktor L volltreu ist;
2. Genau dann besteht die Koeinheit α̌ der Adjunktion aus Isomorphismen
∼
α̌Y : LRY → Y , wenn der Funktor R volltreu ist;
3. Genau dann bestehen α̂ und α̌ beide aus Isomorphismen, wenn L und R
Äquivalenzen von Kategorien sind. Man nennt L und R dann zueinander
quasiinverse Funktoren und versteht dabei die Adjunktion als Teil des Datums.
Beweis. Aus unseren Erkenntnissen zu Einheiten und Koeinheiten von Adjunktionen 6.4.5 folgt die Kommutativität des Diagramms
A(X, Y )
α̂Y ◦
L
/
B(LX, LY )
o αX,LY
A(X, RLY )
A(X, RLY )
Das zeigt die erste Aussage. Die zweite Aussage zeigt man genauso. Für die dritte
∼
Aussage bemerkt man, daß unter der Annahme α̌B : LRB → B jedes B ∈ B
isomorph ist zu einem Objekt der Gestalt LX.
Übungen
Übung 6.4.8 (Bestimmung einer Adjunktion aus ihrer Einheit). Seien A, B
Kategorien und L : A → B sowie R : B → A Funktoren. Jede Transformation α : B(L−, −) ⇒ A(−, R−) von Funktoren Aopp × B → Ens liefert eine
Transformation α̂ : Id ⇒ RL durch die Vorschrift α̂X = αX,LX (idLX ), d.h.
α̂X : X → RLX ist das Bild der Identität unter der durch α gegebenen Ab∼
bildung B(LX, LX) → A(X, RLX). Jede Transformation τ : Id ⇒ RL liefert umgekehrt eine Transformation τ̃ : B(L−, −) ⇒ A(−, R−) von Funktoren
Aopp × B → Ens als die Komposition von hoffentlich offensichtlichen Abbildungen
τ̃X,Y : B(LX, Y ) → A(RLX, RY ) → A(X, RY )
210
für X ∈ A, Y ∈ B. Man zeige, daß wir auf diese Weise zueinander inverse
Bijektionen zwischen den fraglichen Räumen von Transformationen erhalten.
Übung 6.4.9 (Beziehungen zwischen Einheit und Koeinheit). Gegeben eine Adjunktion von Funktoren α : L a R mit Einheit α̂ und Koeinheit α̌ zeige man, daß
die Verknüpfung (α̌L) ◦ (Lα̂) : L ⇒ LRL ⇒ L die identische Transformation
des Funktors L zu sich selber ist. Ebenso ist (Rα̌) ◦ (α̂R) die Identität auf R. Diese Beziehungen werden manchmal als die Dreiecksidentitäten bezeichnet. Sind
umgekehrt Funktoren L : A → B und R : B → A gegeben und Transformationen ε : Id ⇒ RL und η : LR ⇒ Id mit der Eigenschaft (Rη) ◦ (εR) = id und
(ηL) ◦ (Lε) = id, so gibt es genau eine Adjunktion von Funktoren α : L a R mit
α̂ = ε und α̌ = η. Hinweis: Man betrachte das kommutative Diagramm
∼
B(LX, Y ) → A(X, RY )
◦Lf ↓
↓ ◦f
∼
B(LZ, Y ) → A(Z, RY )
mit Y = LA und Z = A und X = RLA und verfolge das Bild der Identität auf
RLA für f : A → RLA die Koeinheit.
Beispiel 6.4.10 (Der Dualraumfunktor als sein eigener Adjungierter). Der
Rechtsadjungierte des Dualraumfunktors D : k -Mod → k -Modopp ist der Funktor D◦ : k -Modopp → k -Mod, der durch dieselbe Abbildungsvorschrift gegeben
wird, vermittels der durch die kanonischen Identifikationen
∼
(2)
∼
Homk (V, DW ) ← Homk (V, W ; k) → Homk (DW, V )
gegebenen Adjunktion.
Ergänzende Übung 6.4.11 (Adjunktionen auf Funktorkategorien). Seien Kategorien A, B, C gegeben. Man zeige mithilfe von 6.4.9, daß jedes Paar (L, R) von
adjungierten Funktoren L : A → B und R : B → A auch ein adjungiertes Paar
von Funktoren (L◦, R◦) zwischen den Funktorkategorien (L◦) : AC → B C und
(R◦) : B C → AC liefert.
Übung 6.4.12 (Opponierte Adjunktionen). Seien A, B Kategorien und L : A →
B sowie R : B → A Funktoren. Jede Adjunktion α : L a R kann auch als
Adjunktion α◦ : R◦ a L◦ der zugehörigen Funktoren L◦ : Aopp → B opp und
R◦ : B opp → Aopp zwischen den jeweiligen opponierten Kategorien aufgefaßt
werden. Ich nenne α◦ die opponierte Adjunktion.
6.5
Der abstrakte Faserfunktor
6.5.1. Wir wollen nun unsere Überlagerungstheorie unter einem noch abstrakteren
Blickwinkel verstehen, einerseits als Modellfall und Anwendungsbeispiel für kategorientheoretische Methoden, andererseits um die Verwandschaft zur Galoistheorie herauszuarbeiten. Ist C eine Kategorie, A ∈ C ein Objekt und G = C(A)
211
das Monoid seiner Endomorphismen, so erhalten wir stets einen Funktor in die
Kategorie der G-Rechtsmengen
C(A, ) : C → Ens- G
Wir setzen dazu schlicht f g = f ◦ g für alle B ∈ C, f ∈ C(A, B) und g ∈
C(A). Unser Satz 6.3.7 über den Faserfunktor läßt sich in dieser Sprache noch
allgemeiner und konzeptioneller fassen. Man beachte für das Folgende, daß das
Monoid der Endomorphismen einer universellen Überlagerung stets eine Gruppe
ist.
Satz 6.5.2 (über den abstrakten Faserfunktor). Ist u : X̃ → X eine universelle Überlagerung und G = Top×
X (X̃) ihre Deckbewegungsgruppe, so liefert der
Funktor TopX (X̃, ) eine Äquivalenz zwischen der Kategorie der Überlagerungen
von X und der Kategorie der G-Rechtsmengen
≈
T = TopX (X̃, ) : ÜbX → Ens- G
6.5.3. Der abstrakte Faserfunktor schränkt ein zu einer Äquivalenz zwischen der
Kategorie der zusammenhängenden Überlagerungen von X und der Kategorie der
transitiven G-Rechtsmengen, und der im Beweis konstruiert quasiinverse Funktor
wird der G-Rechtsmenge H\G die Überlagerung X̃/H X zuordnen, wo wir
vielleicht statt X̃/H auch besser H\X̃ schreiben sollten, da der Bahnenraum ja
zu einer Linksoperation von H auf X̃ gebildet wird.
6.5.4 (Beziehung zwischen abstraktem und konkretem Faserfunktor). Unser
bisheriger Faserfunktor F = Fx : ÜbX → Ens ist isomorph zu T gefolgt vom
vergeßlichen Funktor. Genauer liefert jeder Punkt x̃ aus der Faser über x eine
∼
∼
Isotransformation τ = τx̃ : T ⇒ F bestehend aus den Morphismen τX̂ : T X̂ →
F X̂, d 7→ d(x̃). Aufgrund dieser Isotransformationen nenne ich T den abstrakten
Faserfunktor. Ist X zusammenhängend und lokal zusammenziehbar, so liefert
∼
6.3.3 zusammen mit 6.1.10 einen Isomorphismus cx̃ : π1 (X, x) → G. Fassen wir
dann T als Funktor nach Ens- G auf und F als Funktor nach π1 (X, x) -Ens und
betrachten darüber hinaus den Funktor C = Cx̃ , der die G-Rechtsoperation durch
Inversenbildung in eine Linksoperation verwandelt und diese G-Linksoperation
dann mithilfe von cx̃ in eine Linksoperation von π1 (X, x), so liefert τ sogar eine
∼
Isotransformation C ◦ T ⇒ F von Funktoren ÜbX → π1 (X, x) -Ens. In Formeln
ausgedrückt haben wir also unter diesen Umständen ein wie durch den Doppelpfeil angedeutet „bis auf eine Isotransformation kommutierendes“ Diagramm von
Funktoren
T
/ Ens- G
ÜbX
q
q
qqq
C
q
q
qq
t| qq
F /
ÜbX
π1 (X, x) -Ens
∼qqqq
212
Da C offensichtlich eine Äquivalenz von Kategorien ist, wird T hier eine Äquivalenz von Kategorien sein genau dann, wenn dasselbe gilt für F . Mithin folgt der
Satz 6.3.7 über den Faserfunktor aus dem Satz 6.5.2 über den abstrakten Faserfunktor und ist dazu äquivalent im Fall eines zusammenhängenden lokal zusammenziehbaren Basisraums X.
Beweis von 6.5.2. Wir konstruieren zunächst einen Funktor in die Rückrichtung.
Ist F eine Menge mit einer Rechtsoperation von G, so bilden wir eine Überlagerung
F ×G X̃ → X
von X wie folgt: Wir betrachten auf F × X̃ die Operation von G gegeben durch
g(m, x̃) = (mg −1 , gx̃) und bezeichnen mit F ×G X̃ den Bahnenraum F ×G X̃ :=
G\(F × X̃), also unser balanciertes Produkt im Sinne von Übung 6.8.15. Bezeichne [m, x̃] ∈ F ×G X̃ die Bahn von (m, x̃). Da G topologisch frei operiert
auf X̃ nach 5.4.10, erkennt man ähnlich wie beim Beweis von 5.3.8 leicht, daß
F ×G X̃ → X, [m, x̃] 7→ u(x̃) eine Überlagerungsabbildung sein muß. Den in
dieser Weise konstruierten Funktor in die Rückrichtung bezeichnen wir mit A, in
Formeln
A = ×G X̃ : Ens- G → ÜbX
Als nächstes erklären wir eine Adjunktion A a T . Gegeben eine G-Rechtsmenge
F und eine Überlagerung p̂ : X̂ → X gilt es, eine natürliche Bijektion
∼
EnsG (F, TopX (X̃, X̂)) → TopX (F ×G X̃, X̂)
zwischen der Menge der G-äquivarianten Abbildungen links und der Menge der
stetigen Abbildungen über X rechts anzugeben. Man erhält sie durch Einschränken der offensichtlichen Bijektion
∼
Ens(F, Top(X̃, X̂)) → Top(F × X̃, X̂)
auf die Fixpunkte einer geeigneten G-Operation auf beiden Seiten. Jetzt müssen wir nach 6.4.7 nur noch zeigen, daß die durch unsere Adjunktion definierten Transformationen Id ⇒ T A und AT ⇒ Id Isotransformationen sind. Die
erste Transformation spezialisiert auf einer G-Menge F zur Abbildung F →
TopX (X̃, F ×G X̃) gegeben durch f 7→ (z 7→ [f, z]) und ist eine Bijektion
aufgrund der universellen Eigenschaft der universellen Überlagerung. Die Zweite
spezialisiert auf einer Überlagerung X̂ zur Abbildung TopX (X̃, X̂) ×G X̃ → X̂
gegeben durch [d, z] 7→ d(z) und ist bijektiv aufgrund der universellen Eigenschaft der universellen Überlagerung. Als bijektive Decktransformation muß sie
aber dann sogar ein Homöomorphismus sein, denn jede Decktransformation ist
offen.
213
Ergänzung 6.5.5 (Beziehung zur Galoistheorie). Die hier vorgestellte Theorie ist
strukturell eng verwandt mit der Galoistheorie. Ist K̃/K eine endliche Galoiserweiterung, so kann man den Hauptsatz der Galoistheorie ?? nämlich dahingehend
interpretieren, daß der Funktor KringK ( , K̃) der K-linearen Körperhomomorphismen nach K̃ eine Äquivalenz von Kategorien
opp
Körpererweiterungen von K,
≈
→ {transitive Gal(K̃/K)-Mengen}
die sich in K̃ einbetten lassen
liefert, für Gal(K̃/K) = (KringK )× (K̃) die Galoisgruppe. Die Kategorie der zusammenhängenden Überlagerungen kann im Licht von 6.5.2 also aufgefaßt werden als ein geometrisches Analogon zur opponierten Kategorie unserer Kategorie von Körpererweiterungen. Noch besser würde die Analogie, wenn wir auch
nur alle zusammenhängenden Überlagerungen betrachten würden, die eine Decktransformation von einer fest gewählten Galois-Überlagerung empfangen können.
Ergänzung 6.5.6 (Die Kategorie der G-Mengen bestimmt die Gruppe G). Gegeben eine Gruppe G kennt die Kategorie der G-Mengen bereits die Gruppe G bis
auf Isomorphismus. Wir betrachten genauer eine Menge C von G-Mengen, die die
Gruppe G selbst enthält und mindestens je eine einelementige und eine zweielementige Menge mit der trivialen G-Operation, und fassen sie als eine Kategorie
auf. Darin gibt es nach unseren Annahmen ein finales Objekt pt und ein Koprodukt pt t pt dieses finalen Objekts mit sich selbst. Sicher ist unsere Kategorie C
eine V-Kategorie für ein geeignetes Mengensystem V. Man überzeugt sich leicht,
daß ein Objekt X ∈ C genau dann ein homogener Raum ist, wenn für den dadurch
dargestellten Funktor F := C(X, ) : C → VEns die kanonische Abbildung eine
Bijektion
∼
F (pt) t F (pt) → F (pt t pt)
liefert. Weiter ist die G-Operation auf X genau dann frei, wenn besagter Funktor
treu ist. Die G-Torsoren können somit als Objekte der Kategorie C unter alleiniger
Verwendung der Struktur dieser Kategorie charakterisiert werden. Die Gruppe G
erhält man dann bis auf Isomorphismus als die Opponierte der Automorphismengruppe eines jeden solchen Torsors.
Übungen
Übung 6.5.7. Ist X ein zusammenhängender und lokal zusammenziehbarer topologischer Raum und (X̂, x̂) → (X, x) eine zusammenhängende Überlagerung,
so ist die Gruppe der Deckbewegungen Top×
X (X̂) isomorph zu N/π1 (X̂, x̂) mit
N ⊂ π1 (X, x) dem Normalisator von π1 (X̂, x̂). Hinweis: 5.2.7.
214
6.6
Die Zopfgruppe
Definition 6.6.1. Sei Xn die Menge aller Teilmengen von C mit genau n Elementen. Wir geben Xn die Finaltopologie für die die Reihenfolge vergessende
Abbildung Cn \∆ Xn mit ∆ ⊂ Cn der großen Diagonale alias der Menge aller n-Tupel komplexer Zahlen, in denen mindestens eine Zahl doppelt vorkommt.
Die Fundamentalgruppe von Xn heißt die Zopfgruppe in n Strängen, englisch
braid group, französisch groupe de tresses. Als Basispunkt nehmen wir meist
∗ = {1, 2, . . . , n}.
6.6.2. Die Elemente der Zopfgruppe kann man durch Bilder darstellen wie etwa
das nebenstehende Bild für ein Element γ ∈ π1 (X3 ). Dies Bild stellt im Raum C×
∼
R → R3 die Menge {(z, t) | z ∈ γ(t)} dar, mit t als senkrechter Koordinate und
mit der Konvention, daß Punkte mit größerem Imaginärteil weiter hinten liegen
mögen. Die Verknüpfung in unserer Zopfgruppe bedeutet in dieser Anschauung
das „Aneinanderhängen“ solcher „Zöpfe“.
Notation 6.6.3. Bezeichne sν ∈ π1 (Xn , ∗) für 1 ≤ ν ≤ n − 1 die Klasse des
Weges, unter dem der Punkt ν durch die untere Halbebene nach ν + 1 wandert
und gleichzeitig der Punkt ν + 1 durch die obere Halbebene nach ν. Alle anderen
Punkte sollen unter sν auf ihren Plätzen bleiben. Ein Repräsentant dieser Klasse
wäre etwa der Weg
sν (t) = {1, . . . , ν − 1, (ν + 1/2 − eπ i t /2), (ν + 1/2 + eπ i t /2), ν + 2, . . . , n}
Satz 6.6.4 (Erzeuger und Relationen der Zopfgruppe). Die Zopfgruppe in n
Strängen wird dargestellt durch die Erzeuger s1 , . . . , sn−1 mit den sogenannten
Zopfrelationen
si sj = sj si
falls |i − j| > 1;
si sj si = sj si sj falls |i − j| = 1.
6.6.5. In der Anschauung überzeugt man sich leicht, daß die si die Zopfgruppe
erzeugen und die Zopfrelationen erfüllen. Hier verstellt das formale Argument
eher den Blick. Das eigentliche Problem besteht darin, zu zeigen, daß nicht noch
weitere Relationen benötigt werden.
Beweis des Satzes. Wir beginnen mit dem Fall n = 3 und berechnen zunächst
die Fundamentalgruppe π1 (C3 \∆) einer Überlagerung von X3 . Wir interpretieren
Elemente von C3 \∆ als die Angabe von drei paarweise verschiedenen Punkten
in der Ebene C, wobei wir jedoch im Unterschied zu X3 noch wissen, welcher
Punkt hier der Erste bzw. der Zweite bzw. der Dritte ist. Wir ändern die Fundamentalgruppe von C3 \∆ nicht, wenn wir den zweiten Punkt festhalten, formal ist
215
Illustration der Zopfrelation s1 s2 s1 = s2 s1 s2 . In der Tat geht bei beiden Bildern
der Faden von links oben nach rechts unten „auf der obersten Ebene“, der Faden
von rechts oben nach links unten „auf der untersten Ebene“, und der Faden von
der Mitte zur Mitte auf einer „mittleren Ebene“.
216
genauer die Einbettung
{(x, y) ∈ (C× )2 | x 6= y} ,→ C3 \∆
(x, y) 7→ (x, 0, y)
eine Homotopieäquivalenz. Wir geben der linken Seite den Namen M und betrachten die Überdeckung M = M+ ∪ M− durch die offenen Teilmengen
M+ := M \{(x, λx) | 0 < λ < 1}
M− := M \{(λy, y) | 0 < λ < 1}
mit Schnitt M+ ∩ M− = {(x, y) ∈ M | R>0 x 6= R>0 y}. Stellen wir uns den
festen Punkt als die Sonne vor und x bzw. y als die Erde bzw. den Mond, die sich
jedoch in einer Ebene völlig unabhängig voneinander bewegen dürfen, so ist M+
die Menge aller Konstellationen „ohne Sonnenfinsternis“ und M− die Menge aller
Konstellationen „ohne Mondfinsternis“. Jetzt haben wir Homotopieäquivalenzen
S1 × S1 →
M+ ,
S1 × S1 →
M− ,
1
S
→ M+ ∩ M− ,
(z, w) →
7
(z, 2w)
(z, w) →
7
(2z, w)
z
7
→
(−z, z)
Wenn wir Basispunkte 1 ∈ S 1 , (1, 1) ∈ S 1 × S 1 und (−1, 1) ∈ M wählen, erhalten wir mit etwas komplizierteren Ausdrücken auch basispunkterhaltende Homotopieäquivalenzen, indem „wir Erde un Mond um geeignete Punkte p auf der
reellen Achse kreisen lassen“, in Formeln
S 1 × S 1 → M+ ,
S 1 × S 1 → M− ,
(z, w) →
7
(−p − z(1 − p), −p + w(1 + p))
(z, w) →
7
( p − z(1 + p),
p + w(1 − p))
für beliebig fest gewähltes p mit 0 < p < 1/2. Unsere dritte Homotopieäquivalenz
S 1 → M+ ∩ M− von oben erhält schon die Basispunkte. Wie man anschaulich
schnell einsieht und unschwer formalisiert, kommutieren mit unserer Wahl von
Basispunkten nun die beiden nur durch ein Vorzeichen unterschiedenen Diagramme
diag
π1 (S 1 ) × π1 (S 1 ) o
/ π1 (M+
∼
π1 (S 1 )
∼
∼
π1 (S 1 × S 1 )
∩ M− )
/ π1 (M± )
und wir erhalten isomorphe pushout-Diagramme
π1 (M+ ∩ M− )
/ π1 (M+ )
diag
Z
diag
π1 (M− )
/ π1 (M )
217
Z⊕Z
/
Z⊕Z
/ π1 (C3 \∆)
Man sieht so, daß π1 (C3 \∆) erzeugt wird von den Klassen g, u+ , u− der drei
Wege
g̃ : t 7→ (
−e2πit
, 0,
e2πit
)
2πit
ũ+ : t 7→ (
−1
, 0, p + (1 − p)e
)
ũ− : t 7→ ( −p − (1 − p)e2πit , 0,
1
)
für beliebiges festes p mit 0 < p < 1/2, wo wir nur die beiden Kommutationsrelationen gu+ = u+ g und gu− = u− g fordern müssen. Wir behaupten, daß die
Bilder unserer drei Wege in der Zopfgruppe π1 (X3 ) gegeben werden durch
u+ →
7
s21
u− →
7
s22
g
7
→
(s1 s2 )3 = (s2 s1 )3
Das scheint mir anschaulich evident. Formal kann man zum Beispiel in C3 \∆ den
Weg g̃1/2 von (−1, 0, 1) nach (1, 0, −1) betrachten mit g̃1/2 (t) = g̃(2t) sowie die
Wege s̃1 und s̃2 gegeben durch
s̃1 : t →
7
( −1/2 − eπit /2 , −1/2 + eπit /2 ,
1
)
s̃2 : t →
7
(
−1
,
1/2 − eπit /2 , 1/2 + eπit /2 )
und linear interpolieren zwischen den Wegen g̃1/2 und (τ ◦ s̃1 ) ∗ (σ ◦ s̃2 ) ∗ s̃1
für Permutationen σ, τ ∈ S3 der drei Koordinaten derart, daß die Wege verknüpfbar sind. Dasselbe gilt symmetrisch, wenn wir die Indizes 1 und 2 vertauschen. Drücken wir diese linearen Homotopien dann herunter auf X3 und verknüpfen, so ergibt sich die Dritte und komplizierteste der obigen Behauptungen,
d.h. g 7→ (s1 s2 )3 = (s2 s1 )3 . Jetzt betrachten wir formal die Gruppe B3 , die erzeugt wird von zwei Elementen s und t mit den Relationen sts = tst, und nenne
sie für die Dauer dieses Beweises die abstrakte Zopfgruppe. Es tut mir leid,
den Buchstaben t erst als Parameter eines Weges und nun gleich darauf in dieser
völlig anderen Bedeutung zu verwenden. Beide Notationen sind jedoch derart gebräuchlich, daß diese Kollision mir ein kleineres Übel scheint, als es eine gänzlich
unübliche Wahl der Bezeichnungen wäre. Mit unseren Erkenntnissen zur Fundamentalgruppe von Bahnenräumen 6.1.18 und den Formeln t2 (st)3 = (st)3 t2 und
s2 (st)3 = (st)3 s2 in der abstrakten Zopfgruppe B3 erhalten wir ein kommutatives
Diagramm von Gruppen
π1 (C3 \∆) →
B3
S3
k
↓
k
3
π1 (C \∆) ,→ π1 (X3 ) S3
mit s 7→ s1 und t 7→ s2 in der mittleren Vertikale und hoffentlich sonst offensichtlichen Morphismen. Als erstes folgt, daß die Horizontale oben links eine Injektion
218
ist. Weiter ist klar, daß die Verknüpfung in der oberen Horizontale trivial ist. Als
nächstes überlegt man sich explizit, daß in der oberen Horizontale das Bild des
linken Pfeils genau der Kern von B3 S3 ist. Um zu erkennen, ob die Klasse
eines Gruppenworts in ker(B3 S3 ) liegt, müssen wir nur alle Potenzen sm für
m ∈ Z reduzieren zu s bzw. e falls m ∈ 2Z bzw. m 6∈ 2Z und analog für t, bis
wir bei einem Wort ankommen, bei dem keine negativen Potenzen auftreten und
bei dem die Buchstaben s und t alternieren. Unser ursprüngliches Wort war im
Kern genau dann, wenn dieses alternierende Wort eine durch 6 teilbare Länge hat.
Nun zeigen wir erst einmal, daß unser Bild normal ist. Dazu reicht es zu zeigen,
daß die Konjugierten von Erzeugers des Bildes unter Erzeugern der abstrakten
Zopfgruppe wieder im Bild liegen. Das hinwiederum zeigen die Identitäten
ts2 t−1 = (st)3 s−2 t−2
und t(st)3 t−1 = (ts)3 = (st)3
und ihre Varianten mit s und t vertauscht. Also ist das Bild normal. Jetzt beachten
wir, daß für einen Normalteiler N einer Gruppe G und a, b ∈ G, x ∈ N gilt
axb ∈ N ⇔ axa−1 ab ∈ N ⇔ ab ∈ N
Unsere Beschreibung des Kerns zeigt dann, da eben das Bild normal ist, die
schwierige Inklusion ⊃ und damit die Gleichheit
π1 (C3 \∆) = ker(B3 → S3 )
∼
So folgt durch Diagrammjagd in der Tat B3 → π1 (X3 ) und der Fall n = 3 ist erledigt. Jetzt unterbrechen wir den Beweis durch einige allgemeine Überlegungen
zu Fundamentalgruppen von Mannigfaltigkeiten, die im Fall von allgemeinem n
benötigt werden.
Definition 6.6.6. Seien n ≤ d natürliche Zahlen. Eine Teilmenge N einer dMannigfaltigkeit M heißt eine n-dimensionale Untermannigfaltigkeit genau
dann, wenn es für jeden Punkt y ∈ N eine offene Umgebung U ⊂◦ M gibt und
∼
∼
einen Homöomorphismus U → Rd mit U ∩ N → Rn × 0. Ein derartige offene
Menge U nennen wir eine plättbare Ball-Umgebung von y ∈ N . Die Differenz
d − n heißt die Kodimension der Untermannigfaltigkeit N in M .
Satz 6.6.7 (Fundamentalgruppe von Mannigfaltigkeitskomplement). Seien M ⊃
N ⊃ A eine Mannigfaltigkeit mit einer abgeschlossenen Untermannigfaltigkeit
einer Kodimension ≥ 3 und einer abgeschlossenen Teilmenge derselben. So induziert für beliebiges p ∈ M \A die Einbettung einen Isomorphismus
∼
π1 (M \A, p) → π1 (M, p)
Im Fall einer abgeschlossenen Untermannigfaltigkeit N ⊂ M der Kodimension 2
ist diese Abbildung zumindest noch eine Surjektion π1 (M \A, p) π1 (M, p).
V
219
Ergänzung 6.6.8. Stützt man sich beim Beweis statt auf 3.2.25 auf die etwas allgemeinere aber mühsamer zu beweisende Aussage 3.7.10, so zeigt der hier gegebene
Beweis die Behauptung des Satzes sogar für A ⊂ N eine beliebige Teilmenge unserer abgeschlossenen Untermannigfaltigkeit.
Beweis. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit können wir unsere Mannigfaltigkeit M zusammenhängend annehmen. Wir beginnen mit einer Vorüberlegung.
V
Seien A ⊂ N eine abgeschlossene Teilmenge, U ⊂◦ M eine plättbare Ball-Umgebung eines Punktes von N , und p ∈ U \A. So haben wir nach Seifert-van-Kampen
4.4.1 ein kokartesisches Diagramm
π1 (U \A, p) →
π1 (U, p)
↓
↓
π1 (M \A, p) → π1 ((M \A) ∪ U, p)
Da nach 3.2.25 die obere Horizontale ein Isomorphismus beziehungsweise im Fall
der Kodimension 2 eine Surjektion ist, muß dasselbe nach 4.3.4 beziehungsweise
4.6.6 auch für die untere Horizontale gelten. Da unsere Räume wegzusammenhängend sind, gilt das dann auch für einen beliebigen Basispunkt p aus M \A. Man
V
beachte für das folgende auch, daß gilt (M \A) ∪ U = M \B für B ⊂ N die Teilmenge B = N \U . Jetzt zeigen wir die Surjektivität von π1 (M \A, p) → π1 (M, p)
im allgemeinen. Ist in der Tat γ ∈ Ω(M, p) ein Weg, so wird γ[0, 1] ∩ N überdeckt von endlich vielen plättbaren Ball-Umgebungen U1 , . . . , Ur . Nach unserer
Vorüberlegung haben wir dann für p ∈ M \A eine Surjektion
π1 (M \A, p) π1 ((M \A) ∪ U1 ∪ . . . ∪ Ur , p)
Unser [γ] ∈ π1 (M, p) liegt aber sicher im Bild der rechten Seite unter der von
der Inklusion induzierten Abbildung der Fundamentalgruppen. Also liegt [γ] auch
im Bild von π1 (M \A, p). Ähnlich zeigen wir die Injektivität im Fall einer Kodimension ≥ 3. Dann ist ja unsere Surjektion sogar ein Isomorphismus. Ist nun
γ ∈ Ω(M \A, p) nullhomotop in M , sagen wir vermittels h : [0, 1] × [0, 1] → M ,
so läßt sich eine Homotopie mit dem konstanten Weg sicher in einem geeigneten (M \A) ∪ U1 ∪ . . . ∪ Ur realisieren, mit plättbaren Ball-Umgebungen Ui von
Punkten von N , und dann ist γ nach unserem Isomorphismus sogar nullhomotop
in M \A.
Beweis des Satzes über Zopfgruppen 6.6.4. Wir halten nun n fest, schreiben kurz
Xn = X, und betrachten die Abbildung
k: X → N
E 7→ n − | Re(E)|
220
für | Re(E)| die Kardinalität der Projektion von E auf die reelle Achse. In X
betrachten wir die Teilmengen Zν = k −1 (ν) sowie Z≤ν = k −1 ({0, 1, . . . , ν}).
Zum Beispiel besteht Z0 aus allen n-elementigen Teilmengen von C derart, daß
die Realteile ihrer Elemente paarweise verschieden sind, und Z1 besteht aus allen
n-elementigen Teilmengen, in denen es genau zwei Punkte gibt mit demselben
Realteil. Offensichtlich ist Z0 zusammenziehbar, alle Z≤ν sind offen, und Zν ist
eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit der Kodimension ν in Z≤ν . Proposition 6.6.7 liefert uns damit für einen beliebigen Basispunkt in Z0 eine Surjektion
und viele Isomorphismen
∼
∼
π1 (Z≤1 ) π1 (Z≤2 ) → . . . → π1 (Z≤n−1 ) = π1 (X)
Wir untersuchen nun zunächst π1 (Z≤1 ). Sicher zerfällt Z1 in Zusammenhangskomponenten
Z1 = Z11 t Z12 t . . . t Z1n−1
mit Z1i dem System aller n-elementigen Teilmengen E ∈ Z1 derart, daß bei einer
Aufzählung x1 , . . . , xn von E mit wachsenden Realteilen gilt Re(xi ) = Re(xi+1 ).
[a,b]
Bezeichnen wir ganz allgemein mit Xn den Raum aller n-elementigen Teilmengen von {z ∈ C | a ≤ Re(z) ≤ b}, so haben wir offensichtlich Homotopieäquivalenzen
[i,i+1]
X2 ←- X2
{x, y}
,→ Z0 ∪ Z1i
7→ {1, . . . , i − 1, x, y, i + 2, . . . , n}
Folglich ist π1 (Z0 ∪ Z1i ) frei erzeugt von si . Mit Induktion und dem Satz von
Seifert-van-Kampen folgt,
S daßi für jede Teilmenge T ⊂ {1, . . . , n − 1} die Fundamentalgruppe π1 (Z0 ∪ i∈T Z1 ) frei erzeugt ist von den si mit i ∈ T . Insbesondere
erzeugen die si schon mal unsere Zopfgruppe, und wir müssen uns nur noch um
die Relationen kümmern. Sicher zerfällt auch Z2 in Zusammenhangskomponenten
G
Z2 =
Z2i,j
1≤i<j<n
mit Z2i,j dem System aller n-elementigen Teilmengen E ∈ Z2 derart, daß bei einer
Aufzählung x1 , . . . , xn von E mit wachsenden Realteilen gilt Re(xi ) = Re(xi+1 )
i,j
und Re(xj ) = Re(xj+1 ). Wir setzen Z≤2
= Z0 ∪ Z1i ∪ Z1j ∪ Z2i,j und bemerken,
daß diese Menge offen ist in Xn . Im Fall i < j − 1 haben wir eine Homotopieäquivalenz
[i,i+1]
X2
[j,j+1]
× X2
({x, y}, {z, w})
i,j
,→ Z≤2
7→ {1, 2, . . . , i − 1, x, y, . . . , j − 1, z, w, . . . , n}
221
i,j
Sie zeigt, daß π1 (Z≤2
) erzeugt wird von si und sj mit der einzigen Relation si sj =
sj si . Im Fall i = j − 1 haben wir Homotopieäquivalenzen
X3 ←-
[i,i+2]
X3
i,i+1
,→ Z≤2
{x, y, z} 7→ {1, . . . , i − 1, x, y, z, i + 3, . . . , n}
i,i+1
Mit dem bereits behandelten Fall n = 3 zeigen sie, daß π1 (Z≤2
) erzeugt wird
von si und si+1 mit der einzigen Relation si si+1 si = si+1 si si+1 . Sei nun eine beliebige Teilmenge
R ⊂ {(i, j) | 1 ≤ i < j < n} gegeben. Wir behaupten, daß
S
π1 (Z≤1 ∪ (i,j)∈R Z2i,j ) erzeugt ist von s1 , . . . , sn−1 mit den Zopfrelationen für
alle (i, j) ∈ R. In der Tat folgt das nun mit Seifert-van-Kampen 4.4.1 und vollständiger Induktion über |R|. Der Satz ergibt sich, wenn wir R maximal möglich
wählen.
Ergänzung 6.6.9. Ähnlich überlegt man sich, wie die Fundamentalgruppe des
Raums aller n-elementigen Teilmengen von C× durch Erzeuger und Relationen
dargestellt werden kann. Hier ist der Trick, zunächst die stetige Abbildung nach
C× zu betrachten, die durch Aufmultiplizieren unserer Punkte gegeben wird, und
den Kern der von ihr auf der Fundamentalgruppe induzierten Abbildung. Die Fundamentalgruppe selber stellt man dann als semidirektes Produkt dieses Kerns mit
Z dar.
6.7
Das Yoneda-Lemma*
6.7.1. Gegeben ein Mengensystem U verstehen wir unter einer U-Kategorie wie
in 7.2.23 eine Kategorie C, bei der für alle Objekte X, Y ∈ C die Morphismenmenge zu unserem Mengensystem U gehört, in Formeln C(X, Y ) ∈ U, und bei der
die Menge der Objekte unserer Kategorie eine Teilmenge von U ist, in Formeln
C ⊂ U. Die letzte Forderung ist nicht wesentlich, da wir ja andernfalls schlicht
unsere Objekte mit ihren Identitätsmorphismen identifizieren können.
6.7.2. Ich wiederhole 7.9.1 folgende. Einen Funktor von einer Kategorie C in eine Kategorie von Mengen nennen wir kurz einen Mengenfunktor auf C. Jedes
Objekt X ∈ C definiert einen derartigen Mengenfunktor X̌ : Y 7→ C(X, Y ).
Gegeben ein Mengensystem U und eine U-Kategorie C bildet die Menge aller
Funktoren C → UEns mit den Transformationen als Morphismen wieder eine
Kategorie Cat(C, UEns).
Proposition 6.7.3 (Yoneda-Lemma). Seien U ein Mengensystem, C eine U-Kategorie, X ∈ C ein Objekt und F : C → UEns ein Mengenfunktor auf C. So liefert
die Abbildungsvorschrift τ 7→ τX (idX ) eine Bijektion
∼
Cat(C, UEns)(X̌, F ) → F (X)
222
zwischen der Menge aller Transformationen X̌ ⇒ F und der Menge F (X).
6.7.4. Die zur Kategorie dieser Mengenfunktoren auf C opponierte Kategorie
C ∨ = CU∨ := Cat(C, UEns)opp
kann man als eine Art „Vervollständigung“ von C interpretieren. In der Tat liest
sich unser Yoneda-Lemma in dieser geschickt abgekürzten Notation als eine Bi∼
jektion C ∨ (F, X̌) → F (X). Spezialisieren wir zu F = Y̌ , so erhalten wir eine
∼
Bijektion C ∨ (Y̌ , X̌) → C(Y, X), von der man leicht zeigt, daß sie die Inverse zur
offensichtlichen Abbildung C(Y, X) → C ∨ (Y̌ , X̌) ist. So folgt, daß die Vorschrift
∼
X 7→ X̌ einen volltreuen Funktor C ,→ C ∨ induziert.
Ergänzung 6.7.5. Die hier verwendeten Notationen C ∨ und das später eingeführte
C ∧ sind genau umgekehrt wie in [KS90]. Dafür stimmt die Notation C ∧ dann mit
der in [Gro72] verwendeten Notation überein.
6.7.6 (Das Yoneda-Lema im Fall einer Ein-Objekt-Kategorie). Im Spezialfall
einer Ein-Objekt-Kategorie C = [G] mit einzigem Objekt X ist diese Aussage besonders leicht einzusehen: Sie besagt dann im Lichte von 5.7.10, daß die äquivarianten Abbildungen von einem Monoid G in eine beliebige G-Menge F festgelegt
und festlegbar sind durch das Bild des neutralen Elements. Im weiteren lassen wir
das Mengensystem U wieder in den Hintergrund treten und ignorieren es meist in
unserer Notation.
Beweis. Wir konstruieren zunächst eine Abbildung in die andere Richtung. Für
beliebiges a ∈ F (X) betrachten wir dazu die Abbildungen
τY : C(X, Y ) → F (Y )
f
7→ (F f )(a)
Man prüft ohne Schwierigkeiten, daß sie eine Transformation τ : X̌ ⇒ F bilden,
die wir mit τ̂ (a) bezeichnen. Jetzt gilt es nur noch zu zeigen, daß die Abbildung
a 7→ τ̂ (a) invers ist zu unserer Abbildung τ 7→ â(τ ) := τX (idX ) aus der Proposition. Dafür müssen wir also prüfen, daß gilt a = â(τ̂ (a)) für alle a ∈ F (X)
und τ = τ̂ (â(τ )) für alle Transformationen τ : X̌ ⇒ F . Das überlassen wir dem
Leser.
Definition 6.7.7. Diejenigen Mengenfunktoren auf C, die isomorph sind zu Mengenfunktoren im Bild von C → C ∨ , heißen darstellbare Funktoren. Ist ein Mengenfunktor F : C → Ens isomorph zu X̌ = C(X, ) für ein X ∈ C, so sagen
wir, der Funktor F werde dargestellt durch das Objekt X. Ist noch genauer
F : C → Ens ein Mengenfunktor und X ∈ C ein Objekt und a ∈ F (X) ein
223
Element, das unter der Bijektion aus dem Yoneda-Lemma einer Isotransformati∼
on C(X, ) ⇒ F entspricht, so sagen wir, der Funktor F werde strikt dargestellt durch das Paar (X, a). Ausgeschrieben bedeutet das, daß die Vorschrift
∼
f 7→ (F f )(a) für alle Y ∈ C eine Bijektion C(X, Y ) → F (Y ) liefert. Oft lassen
wir das „strikt“ aber auch weg.
Beispiel 6.7.8. Der Vergißfunktor Modk → Ens von den k-Vektorräumen in die
Mengen wird dargestellt durch das Paar (k, 1) oder auch durch jeden anderen eindimensionalen Vektorraum zusammen mit einem beliebigen von Null verschiedenen Element.
Beispiel 6.7.9. Der Vergißfunktor Grp → Ens von den Gruppen in die Mengen
wird dargestellt durch das Paar (Z, 1) oder auch durch jedes andere Paar (Z, e)
bestehend aus einer unendlich zyklischen Gruppe und einem Erzeuger.
6.7.10. In derselben Weise kann man für jede U-Kategorie C auch die Kategorie
C ∧ = CU∧ := Cat(C opp , UEns)
aller kontravarianten Funktoren C → UEns betrachten und erhält mit X 7→ X̂ :=
∼
C( , X) eine volltreue Einbettung C ,→ C ∧ . Wieder heißen die Funktoren im
Bild dieser Einbettung darstellbare Funktoren. Die Objekte von C ∧ werden Ihnen sehr viel später vielleicht einmal unter der Bezeichnung als „mengenwertige
Prägarben auf C“ wieder begegnen. Diesmal liefert das Auswerten auf idX eine
∼
Bijektion C ∧ (X̂, F ) → F (X).
Ergänzung 6.7.11. Gegeben eine Kategorie C kann man leicht Isomorphismen
∼
∼
von Kategorien (C ∨ )opp → (C opp )∧ und (C ∧ )opp → (C opp )∨ angeben. In diesem
Sinne sind unsere beiden Konzepte zueinander dual.
6.8
Mehr zu adjungierten Funktoren*
6.8.1 (Eindeutigkeit der Adjungierten). Gegeben Funktoren L und R kann es
durchaus verschiedene Adjunktionen α von L mit R im Sinne unserer Definition
6.4.2 geben. Gegeben zwei Adjunktionen α : L a R und α0 : L a R0 wie oben
mit demselben L gibt es jedoch nach dem Yoneda-Lemma 6.7.3 stets genau eine
∼
Isotransformation R ⇒ R0 derart, daß das Diagramm
α
B(LX, Y ) → A(X, RY )
k
↓
α0
B(LX, Y ) → A(X, R0 Y )
mit der durch diese Isotransformation induzierten rechten Vertikale kommutiert.
In der Tat, fassen wir für festes Y unser Diagramm auf als Diagramm von Funktoren in X, so sagt uns das Yoneda-Lemma 6.7.3 gerade, daß die a priori durch
224
die Kommutativität des Diagramms erklärte Transformation von Mengenfunktoren in der rechten Vertikale bereits von einem eindeutig bestimmten Morphismus
∼
RY → R0 Y herkommen muß, und daß diese eindeutig bestimmten Morphismen
∼
eine Isotransformation R ⇒ R0 liefern, ist dann nicht mehr schwer zu sehen. Das
Paar (α, R) ist also, wenn es denn existiert, durch den Funktor L im wesentlichen eindeutig bestimmt. Man benutzt deshalb meist den bestimmten Artikel und
nennt R „den“ rechtsadjungierten Funktor zu L, wobei eigentlich nicht nur der
Funktor R gemeint ist, sondern das Paar (α, R). Ebenso wird auch das Paar (α, L)
durch R im wesentlichen eindeutig festgelegt und man nennt L „den“ linksadjungierten Funktor zu R. Spricht man von einem adjungierten Paar L a R, so ist
der Leser gefordert, die vom Autor gemeinte Adjunktion α von L und R aus dem
Kontext zu erschließen.
6.8.2. Zu jedem Funktor F : A → B können wir den maximalen partiellen
linksadjungierten Funktor oder auch kurz partiellen linksadjungierten Funktor bilden, der eben nur auf der vollen Unterkategorie derjenigen Objekte B ∈ B
erklärt ist, für die der Mengenfunktor A → Ens, X 7→ B(B, F X) darstellbar ist
im Sinne von 6.7.7. Wir sagen dann auch, der „linksadjungierte Funktor sei bei
B definiert“ und lassen das Wörtchen „partiell“ weg. Wollen wir speziell betonen, daß ein linksadjungierter Funktor überall definiert ist, so sprechen wir von
einem globalen Linksadjungierten. Jede Restriktion eines maximalen partiellen
Linksadjungierten nennen wir einen partiellen Linksadjungierten. Analog Begriffsbildungen vereinbaren wir für Rechtsadjungierte.
∼
Vorschau 6.8.3. Betrachten wir wie in 6.7.10 die Yoneda-Einbettung C ,→ C ∧ :=
Cat(C opp , Ens). Ein Funktor im Bild heißt ein „darstellbarer Funktor“. Auch wenn
ein Funktor F ∈ C ∧ nicht darstellbar ist, kann immerhin der Rechtsadjungierte
der Einbettung C ,→ C ∧ bei F definiert sein. Das entsprechende Objekt R(F ) ∈ C
mag man dann als eine „bestmögliche Approximation an ein darstellendes Objekt“ verstehen. Ein Beispiel für solche Konstruktionen sind die sogenannten groben Modulräume.
Definition 6.8.4. Ist allgemein C eine Kategorie mit einem Funktor in die Kategorie der Mengen, d.h. eine Kategorie über Ens, so nennen wir den Wert des möglicherweise partiellen Linksadjungierten auf einer Menge X das freie Objekt von
C über X und notieren dies freie Objekt im allgemeinen
C ↑X
Beispiel 6.8.5 (Freie Gruppen). Der Vergißfunktor von den Gruppen in die Mengen hat als Linksadjungierten den Funktor, der jeder Menge die freie Gruppe über
besagter Menge zuordnet, wie sie in 4.5 eingeführt wird. Der Vergißfunktor von
den abelschen Gruppen in die Mengen hat als Linksadjungierten den Funktor, der
225
jeder Menge die freie abelsche Gruppe über besagter Menge zuordnet. Für diese
Gruppe verwenden wir die Notation Ab↑ X = ZX.
Beispiel 6.8.6 (Es gibt keine freien Körper). Der Vergißfunktor von den Körpern
in die Mengen hat keinen Linksadjungierten, es gibt also salopp gesprochen keine
sinnvolle Definition eines „freien Körpers über einer gegebenen Menge“.
Beispiel 6.8.7. Der Vergißfunktor von den k-Vektorräumen in die Mengen hat als
Linksadjungierten den Funktor, der jeder Menge X den freien k-Vektorraum über
der Menge X zuordnet, d.h. den Vektorraum aller Abbildungen X → k, die nur
an endlich vielen Stellen x ∈ X verschieden sind von Null. Wir verwenden für
diesen Vektorraum die abkürzende Notation
k -Mod↑ X = khXi
Ist allgemeiner k ein Ring, so verwenden wir dieselbe Notation auch für den freien k-Modul über X. Gegeben ein kommutativer Ring k ist der freie k-Kring über
einer Menge von Veränderlichen schlicht der Polynomring in diesen Veränderlichen, in Formeln gilt also zum Beispiel
Kringk↑ {T1 , . . . , Tn } = k[T1 , . . . , Tn ]
→ Top aus ?? ist rechtsadjungiert
Beispiele 6.8.8. Der Funktor Spek : Ralgopp
C
.
Diese
Aussage
ist der Kern der Argumentation
zum Funktor C : Top → Ralgopp
C
in ??, wie wir gleich näher ausführen werden.
Beispiele 6.8.9 (Adjunktionen mit Hom und ⊗). Gegeben ein Körper k und
ein k-Vektorraum E ist der Funktor E⊗k : Modk → Modk linksadjungiert zu
Homk (E, ) : Modk → Modk und der Funktor Homk ( , E) : Modk → Modopp
k
hat als Rechtsadjungierten den Funktor Homk ( , E)◦ : Modopp
→ Modk . Genauer
k
werden solche Adjunktionen im wesentlichen in ?? und ?? angegeben.
Übungen
Ergänzende Übung 6.8.10 (Partielle Dreiecksidentitäten). Sei L : A → B ein
Funktor. Man zeige: Gegeben ein Objekt A ∈ A derart, daß der partielle Rechtsadjungierte R bei LA definiert ist, ist die Verknüpfung LA → LRLA → LA der
von der Einheit A → RLA und der Identität RLA → RLA herrührenden Morphismen die Identität auf LA. Gegeben ein Objekt B ∈ B derart, daß der partielle
Rechtsadjungierte R bei B und LRB definiert ist, ist weiter die entsprechende
Verknüpfung RB → RLRB → RB die Identität auf RB.
Übung 6.8.11. Sei L : A → B ein Funktor und R sein Rechtsadjungierter. So ist
die Restriktion von R auf die volle Unterkategorie L(A) ⊂ B der Rechtsadjungierte von L : A → L(A). Analoges gilt für Linksadjungierte.
226
Ergänzende Übung 6.8.12 (Äquivalenzen durch Adjunktionen). Gegeben ein
Funktor L : A → B betrachte man seinen partiellen Rechtsadjungierten R und
die vollen Unterkategorien
∼
A0 := {A ∈ A | RLA ist definiert und die Einheit ist ein Iso A → RLA}
∼
B0 := {B ∈ B | RB ist definiert und die Koeinheit ist ein Iso LRB → B}
≈
Man zeige, daß L eine Äquivalenz von Kategorien A0 → B0 mit Quasiinversem
R induziert. Hinweis: 6.8.10.
Ergänzende Übung 6.8.13 (Volltreuheit von Adjungierten). Besitzt ein Funktor F einen volltreuen Linksadjungierten L, so ist für jedes Objekt Y , auf dem
der partielle Rechtsadjungierte von F definiert ist, der Adjunktionsmorphismus
∼
ein Isomorphismus F RY → Y und der partielle Rechtsadjungierte ist volltreu.
Hinweis: Für F : A → B beachte man die kanonischen Isomorphismen
∼
∼
∼
B(X, F RY ) → A(LX, RY ) → B(F LX, Y ) → B(X, Y )
In ?? werden wir diese Aussage als Konsequenz einer größeren Theorie verstehen
können: Jeder Funktor mit einem volltreuen Linksadjungierten oder volltreuen
Rechtsadjungierten ist ein „Lokalisierungsfunktor“, und die beiden partiellen Adjungierten eines Lokalisierungsfunktors sind stets volltreu.
Übung 6.8.14 (Adjungierte zur Restriktion von Gruppenwirkungen). Ist ϕ :
H → G ein Gruppenhomomorphismus, so besitzt der offensichtliche Funktor
G
resH
G : G -Ens → H -Ens einen Linksadjungierten, den wir prodH notieren und
der einer H-Menge X die G-Menge
G ×H X
aller H-Bahnen in G × X unter der Operation h(g, x) = (gh−1 , hx) zuordnet.
H
Ebenso besitzt er einen Rechtsadjungierten indG
H : X 7→ Ens (G, X).
6.8.15 (Diskussion der Terminologie). In der Literatur heißt G ×H X meist
die „von X induzierte G-Menge“. Wir werden jedoch von der von X koinduzierten G-Menge reden, um mit anderen Begriffsbildungen kompatibel zu bleiben. Ist etwas allgemeiner H eine Gruppe und X eine H-Menge und Y eine HRechtsmenge, so erklärt man analog ihr balanciertes Produkt Y ×H X als die
Menge aller H-Bahnen in Y × X unter der Operation h(y, x) = (yh−1 , hx). Ein
Ausdruck der Gestalt G ×H X kann leider auch ein Faserprodukt bedeuten. Der
Leser muß aus dem Kontext erschließen, welche Bedeutung jeweils gemeint ist.
Übung 6.8.16. Ist G eine Gruppe mit Untergruppen H, K und ist S = H ∩ K ihr
∼
Schnitt, so induziert die Multiplikation eine Bijektion H ×S K → HK.
227
Ergänzende Übung 6.8.17. Ist G eine Gruppe und H ⊂ G eine Untergruppe und
y ∈ G ein Element und S = H ∩ yHy −1 , so erhalten wir einen Isomorphismus
∼
H ×S H → HyH von (H × H)-Mengen mit der Rechtsoperation von s ∈ S
auf H durch Rechtsmultiplikation und der Linksoperation von s ∈ S auf H durch
Linksmultiplikation mit y −1 sy vermittels der Abbildung [h, k] 7→ hyk. Hinweis:
Man wende 6.8.16 an mit K = yHy −1 .
Ergänzende Übung 6.8.18. Sei ϕ : H → G ein Homomorphismus topologischer
Gruppen. Bezeichnet TopG die Kategorie der topologischen Räume mit einer stetigen G-Operation, so besitzt der offensichtliche Funktor TopG → TopH einen
Linksadjungierten, den wir prodG
H notieren und der einem H-Raum X den GRaum G ×H X mit seiner Quotiententopologie zuordnet. Die Stetigkeit der Operation von G folgt hier zum Beispiel mit 5.3.7.
Übung 6.8.19 (Adjungierter einer Verknüpfung). Der Adjungierte einer Verknüpfung ist die Verknüpfung der Adjungierten, als da heißt: Gegeben Funktoren
R∗ : A → B und S∗ : B → C mit Linksadjungierten R∗ und S ∗ erhalten wir eine
Adjunktion (R∗ ◦ S ∗ ) a (S∗ ◦ R∗ ) in kanonischer Weise.
Ergänzende Übung 6.8.20 (Transformationen zwischen Adjungierten). Jede
Transformation von einem Funktor zu einem anderen induziert ein natürlicher
Weise eine Transformation in der Gegenrichtung zwischen ihren Links- bzw. ihren Rechtsadjungierten, soweit diese existieren.
Ergänzende Übung 6.8.21. Besitzt ein Funktor einen Rechtsadjungierten, so macht
er kokartesische Diagramme zu kokartesischen Diagrammen. Besitzt ein Funktor
einen Linksadjungierten, so macht er kartesische Diagramme zu kartesischen Diagrammen.
Ergänzung 6.8.22 (Adjunktionen einiger Funktoren von G-Mengen). Gegeben
H ⊂ G eine Untergruppe und X eine H-Menge bezeichne [g, x] ∈ G ×H X die
Bahn von (g, x). Ist X die Restriktion einer G-Menge, so definiert die Abbildung
[g, x] 7→ (gH, gx) eine G-äquivariante Bijektion
∼
G ×H X → (G/H) × X
Hier ist auf der rechten Seite das Produkt des G-Mengen (G/H) und X in der
Kategorie der G-Mengen gemeint, also mit der „diagonalen“ G-Operation. Allgemeiner ist für jede G-Menge E der Funktor (E×) : G -Ens → G -Ens linksadjungiert zum Funktor Ens(E, ) : G -Ens → G -Ens vermittels der kanonischen
Bijektionen aus ??, wenn wir die G-Operation auf einem Raum von Abbildungen Ens(E, M ) erklären durch die Konjugation, so daß in Formeln gf erklärt sei
durch (gf )(x) = g(f (g −1 x). Gegeben M ∈ H -Ens und E ∈ G -Ens haben wir
228
kanonische Isomorphismen von G-Mengen
prodG
H (E × M )
→
∼
E × (prodG
H M)
∼
Ens(E, indG
H M)
indG
H Ens(E, M ) →
∼
G
indG
H Ens(M, E) → Ens(prodH M, E)
Ganz allgemein ist nach 6.8.19 der Adjungierte einer Verknüpfung von Funktoren
die Verknüpfung der Adjungierten, wenn sie existieren. Diese Erkenntnis gilt es
nun anzuwenden auf die kommutativen Diagramme von Funktoren
E×
G -Ens −→ G -Ens
↓
↓
E×
H -Ens −→ H -Ens
G -Ens
↓
H -Ens
G -Ens
↓
H -Ens
Ens(E, )
−→
Ens(E, )
−→
Ens( ,E)
−→
G -Ensopp
↓
Ens( ,E)
H -Ensopp
−→
G -Ens
↓
H -Ens
mit den Restriktionen als Vertikalen und der Adjunktion (E×, Ens(E, )) bzw.
der Tatsache, daß der Rechtsadjungierte der Horizontalen Ens( , E) im Diagramm
ganz rechts wieder Ens( , E) ist, nur diesmal aufgefaßt als Funktor in der Gegenrichtung, also präziser der Funktor Ens( , E)◦ .
6.9
Überlagerungen topologischer Gruppen*
Satz 6.9.1 (Überlagerungen topologischer Gruppen). Sei p : G̃ → G eine
zusammenhängende Überlagerung einer lokal zusammenziehbaren topologischen
Gruppe G. So gilt:
1. Es gibt für jeden Punkt ẽ ∈ p−1 (e) über dem neutralen Element von G
genau eine stetige Verknüpfung auf G̃, die mit p verträglich ist und die Eigenschaft (ẽ, ẽ) 7→ ẽ hat;
2. Diese Verknüpfung macht G̃ zu einer topologischen Gruppe mit neutralem
Element ẽ, der Kern p−1 (e) = ker p ist darin eine zentrale Untergruppe,
und wir erhalten eine kurze exakte Sequenz von abelschen Gruppen
π1 (G̃, ẽ) ,→ π1 (G, e) ker p
mit der von p induzierten Abbildung links und der durch die Operation auf
der Faser γ 7→ hγiẽ gegebenen Abbildung rechts.
229
6.9.2. Mir ist nicht klar, ob es sinnvoller ist, für den zweiten Pfeil die angegebene
Abbildung zu wählen oder vielmehr ihr Negatives. Letzteres wäre der Faserwirkungsvergleich 6.1.9 für die Linksoperation von ker p. Ersteres wäre der Faserwirkungsvergleich für die Rechtsoperation.
Beweis. Die Eindeutigkeit der Verknüpfung folgt aus Satz 5.4.2 über die Eindeutigkeit von Lifts, angewandt auf das Diagramm
G̃ × G̃ → G̃
↓
↓
G×G → G
Für das weitere dürfen wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit G zusammenhängend annehmen. Da wir G lokal zusammenziehbar angenommen hatten, besitzt G nach 6.3.1 eine wegweise einfach zusammenhängende Überlagerung
q : (U, 1) → (G, e)
Auch U × U ist dann wegweise einfach zusammenhängend. Auf G̃ = U folgt die
Existenz eines Lifts der Verknüpfung auf G mit (1, 1) 7→ 1 dann aus demselben
Diagramm mit dem Satz über die Existenz von Lifts 6.2.4. Die Assoziativität der
Verknüpfung folgt mit dem Satz über die Eindeutigkeit von Lifts, desgleichen die
Aussage, daß 1 dafür ein neutrales Element ist. Die Existenz des Inversen folgt
wieder mit dem Satz über die Existenz von Lifts. Also ist U mit der gelifteten
Verknüpfung in der Tat eine topologische Gruppe mit 1 als neutralem Element.
Nun ist der Kern K := ker q diskret und damit nach 2.9.17 zentral, und die Abbildung k 7→ (k·) bettet K als Untergruppe in die Deckbewegungsgruppe unserer
universellen Überlagerung ein. Da aber K bereits transitiv auf sich selber alias der
Faser über e operiert, muß diese Einbettung bereits ein Gruppenisomorphismus
∼
K → Top×
GU
mit der Deckbewegungsgruppe sein. Weiter operiert K topologisch frei auf U und
die kanonische Abbildung ist ein Isomorphismus von topologischen Gruppen
∼
U/K → G
Die Klassifikation zusammenhängender Überlagerungen nach 6.5.3 oder alternativ nach 6.2.2 und 6.3.5 sagt uns dann, daß jede bepunktete zusammenhängende
Überlagerung (G̃, ẽ) (G, e) isomorph ist zu (U/H, 1̄) (G, e) für genau eine
Untergruppe H ⊂ K, und das zeigt die Existenz eines stetigen Lifts der Verknüpfung zu einer Gruppenstruktur auf G̃ mit neutralem Element ẽ. Übung 6.1.18
liefert dann unsere exakte Sequenz. Daß dabei der rechte Pfeil auch ein Gruppenhomomorphismus ist, folgt aus der am Ende von 6.1.2 diskutierten Funktorialität
oder kann vielleicht einfacher vom Leser zur Übung direkt gezeigt werden.
230
Satz 6.9.3 (Überlagerungen topologischer Gruppen, Klassifikation). Sei G eine eine lokal zusammenziehbare topologische Gruppe. So liefert die Vorschrift
(p : G̃ → G) 7→ im(p] : π1 (G̃, ẽ) → π1 (G, e)) eine Äquivalenz von Kategorien
opp
Zusammenhängende topologische
≈
→ {Untergruppen von π1 (G, e)}
Gruppen über G, die G überlagern
mit der Maßgabe, daß rechts die Kategorie der partiell geordneten Menge der
Untergruppen mit den Inklusionen als Morphismen gemeint sei.
Beweis. Daß jede Untergruppe der Fundamentalgruppe von einer zusammenhängenden Überlagerung herkommt, wissen wir bereits. Der Rest des Satzes folgt aus
der Bescheibung dieser Überlagerungen als Quotienten der universellen Überlagerung von G◦ .
Übungen
Übung 6.9.4. Man zeige: Jede topologische Gruppe, die homöomorph ist zur
Kreislinie S 1 , ist bereits als topologische Gruppe isomorph zur multiplikativen
Gruppe S 1 aller komplexen Zahlen vom Betrag Eins. Hinweis: 2.9.19.
231
7
Kategorien und Funktoren
Viele Konstruktionen der linearen und insbesondere der multilinearen Algebra,
wie etwa Dualräume, Tensorpotenzen oder äußere Potenzen, zeigen erst in der
Sprache der Kategorientheorie ihre wahre Natur. Es geht bei diesen Konstruktionen nämlich keineswegs darum, irgendwelche neuen Vektorräume zu konstruieren: Wir wissen ja bereits aus ??, daß wir hier zumindest im Fall endlicher Dimension nichts wesentlich Neues finden können. Vielmehr geht es darum, zusammen mit diesen neuen Vektorräumen auch neue lineare Abbildungen zu konstruieren, wie etwa bei Dualräumen die transponierten Abbildungen. Erst zusammen
mit diesen zusätzlichen Konstruktionen erhält man nützliche und anwendbare Begriffsbildungen.
Die Sprache der Kategorien und Funktoren liefert für derartige Konstruktionen einen formalen Rahmen. Sie ist ähnlich ausdrucksstark, grundlegend und elegant wie die Sprache der Mengenlehre, auf der sie aufbaut, und gehört meines
Erachtens in den Rucksack jeder Mathematikerin und jedes Mathematikers. Ich
bin sogar der Ansicht, daß die „naive Mengenlehre“ aus den Grundvorlesungen
am besten durch eine axiomatische Beschreibung der „Kategorie aller Mengen“
wie etwa in [LR03] formalisiert wird. So formal will ich bei der hier gegebenen
Darstellung jedoch nicht werden und arbeite deshalb weiter auf der Grundlage
der naiven Mengenlehre. Eine ausführlichere Behandlung der Kategorientheorie
findet man zum Beispiel in [Mac98].
7.1
Kategorien
Definition 7.1.1. Eine Kategorie C ist ein Datum bestehend aus
a. einer Menge Ob C von Objekten;
b. einer Menge C(X, Y ) von Morphismen für je zwei Objekte X, Y ∈ Ob C;
c. einer Abbildung C(X, Y ) × C(Y, Z) → C(X, Z), (f, g) 7→ g ◦ f für je drei
Objekte X, Y, Z ∈ C, genannt die Verknüpfung von Morphismen,
derart, daß folgende Axiome erfüllt sind:
1. Die Morphismenmengen sind paarweise disjunkt;
2. Die Verknüpfung ist assoziativ, d.h. es gilt (f ◦ g) ◦ h = f ◦ (g ◦ h) für
Morphismen f, g und h, wann immer diese Verknüpfungen sinnvoll sind;
3. Für jedes Objekt X ∈ Ob C gibt es einen Morphismus idX ∈ C(X, X), die
Identität auf X, so daß gilt idX ◦f = f und g ◦ idX = g für Morphismen f
232
und g wann immer diese Verknüpfungen sinnvoll sind. Die üblichen Argumente zeigen, daß es für jedes X höchstens einen derartigen Morphismus
geben kann, womit auch die Verwendung des bestimmten Artikels gerechtfertigt wäre.
7.1.2. Seien C eine Kategorie und X, Y ∈ Ob C Objekte. Statt f ∈ C(X, Y ) sagen
wir auch, f sei ein Morphismus von X nach Y und schreiben kurz
f :X→Y
Statt idX schreiben wir oft nur id. Statt X ∈ Ob C schreiben wir oft kürzer X ∈ C.
Beispiel 7.1.3 (Kategorie der Mengen). Als erstes Beispiel hätte ich gerne die
Kategorie C := Ens aller Mengen eingeführt. Das ist jedoch nicht ohne weiteres
möglich, da die „Gesamtheit aller Mengen“ nach ?? nicht als Menge angesehen
werden darf. Um diese Untiefen der Logik zu umschiffen, betrachten wir feiner
ein Mengensystem U alias eine Menge U von Mengen und erklären die Kategorie
UEns aller Mengen X ∈ U. Ihre Objekte sind beliebige Mengen X ∈ U, in
Formeln
Ob(UEns) := U
Für je zwei Objekte alias je zwei Mengen X, Y ∈ U erklären wir die Morphismenmenge als die Menge aller Abbildungen von X nach Y , in Formeln
UEns(X, Y ) := Ens(X, Y )
Die Verknüpfung ordnet jedem Paar (f, g) von Abbildungen ihre Komposition
g ◦ f zu. Daß diese Daten unsere Axiome erfüllen, scheint mir offensichtlich.
Unser idX ∈ UEns(X, X) ist dabei schlicht die identische Abbildung idX (x) =
x ∀x ∈ X.
7.1.4 (Mengen, Klassen, Universen). In vielen Quellen umschifft man besagte
Untiefen der Logik, indem man nicht fordert, daß die Objekte einer Kategorie eine
Menge bilden, sondern nur, daß die Objekte einer Kategorie eine „Klasse“ bilden
sollen. Das hat den Vorteil, daß man die Kategorie aller Mengen bilden kann, und
den Nachteil, daß man den Begriff einer Klasse einführen muß und erklären muß,
wie man damit umgeht. Statt mit „Klassen“ werden wir zu gegebener Zeit mit
„Universen“ arbeiten. Für unsere Bedürfnisse läuft das auf dasselbe hinaus und
erspart uns die Vertreibung aus dem Paradies der Mengenlehre. Ich werde aber
oft kategorientheoretische Sprache auch in einem weiteren Sinn als Metasprache
verwenden.
Beispiel 7.1.5. Zu jedem Monoid M können wir die Kategorie [M ] mit einem
einzigen Objekt ∗ bilden, deren Morphismen eben genau die Elemente von besagtem Monoid sind, mit der Verknüpfung in unserem Monoid als Verknüpfung
233
Kategorie
Morphismen
Kürzel
{Mengen}
{Monoide}
{Gruppen}
{abelsche Gruppen}
{topologische Räume}
{bepunktete Mengen}
alle Abbildungen
Morphismen von Monoiden
Gruppenhomomorphismen
Gruppenhomomorphismen
stetige Abbildungen
Abbildungen,
die den Basispunkt erhalten
stetige Abbildungen,
die den Basispunkt erhalten
K-lineare Abbildungen
affine Abbildungen
Rng-Homomorphismen
Ringhomomorphismen
Ringhomomorphismen
K-Algebren-Homomorphismen
K-Ringalgebren-Homomorphismen
Ens
Mon
Grp
Ab
Top
Ens∗
{bepunktete Räume}
{K-Vektorräume}
{Affine Räume über K}
{nicht unitäre Ringe}
{Ringe}
{kommutative Ringe}
{K-Algebren}
{K-Ringalgebren}
Top∗
K -Mod, ModK
K -Aff, Aff K
Rng
Ring
Kring
K -Alg, AlgK
K -Ralg, RalgK
Hier einige Beispiele von Kategorien. Als Verknüpfung von Morphismen ist für
die Kategorien dieser Liste stets die Komposition von Abbildungen gemeint. Um
logische Abstürze zu vermeiden, müssen wir uns genauer stets ein
Mengensystem U dazudenken, aus dem die zugrundeliegende Menge der
jeweiligen Struktur kommen muß und das wir in der Notation meist
unterschlagen. Wenn wir es doch notieren wollen, schreiben wir
UModK
und dergleichen. Wir denken uns das Mengensystem U meist als ziemlich riesig
und fordern zumindest implizit für gewöhnlich, daß es unter dem Bilden von
Teilmengen stabil sein möge und die reellen Zahlen enthält. Etwas genauer
werden wir zu gegebener Zeit fordern, daß es ein „Universum“ sein soll.
234
von Morphismen. Wir nennen [M ] die Ein-Objekt-Kategorie des Monoids M .
Umgekehrt ist für jedes Objekt X einer Kategorie C die Menge C(X, X) mit der
von der Kategorienstruktur herkommenden Verknüpfung ein Monoid. In diesem
Sinne ist also eine Kategorie mit einem einzigen Objekt nichts anderes als ein Monoid. Das Monoid der Morphismen von einem Objekt X zu sich selber in einer
Kategorie C nennen wir das Monoid der Endomorphismen von X und kürzen es
in Zukunft oft ab mit
C(X) := C(X, X)
Beispiel 7.1.6. Sei K ein Körper oder allgemeiner ein Ring. Wir erklären die
Matrixkategorie Mat = MatK über K durch die Vorschriften
Ob(MatK ) := N
und
MatK (m, n) := Mat(n × m; K)
mit der Matrixmultiplikation als Verknüpfung von Morphismen. Die Axiome sind
offensichtlich erfüllt.
Beispiel 7.1.7. Jede partiell geordnete Menge (A, ≤) kann als Kategorie aufgefaßt werden wie folgt: Objekte sind die Elemente von A, Morphismen gibt es
jeweils einen von einem Element zu jedem kleineren und zu sich selber, und die
Verknüpfung von Morphismen ist die einzig mögliche.
Beispiel 7.1.8 (Kategorie der Vektorräume). Als nächstes Beispiel hätte ich gerne die Kategorie C = ModK aller Vektorräume über einem Körper K eingeführt.
Die Notation ModK für Vektorräume über K steht dabei für ihre alternative Bezeichnung als K-Moduln. Wieder gerät man dabei in Untiefen der Logik, und um
diese zu umschiffen, betrachten wir ein Mengensystem U und erklären nur eine
Kategorie
UModK
Als Objekte dieser Kategorie nehmen wir alle K-Vektorräume, deren Grundmenge zu unserem Mengensystem U gehört. Für je zwei Vektorräume V, W ∈ UModK
erklären wir die Morphismenmenge als die Menge aller linearen Abbildungen, in
Formeln
UModK (V, W ) := HomK (V, W )
Die Verknüpfung ordnet wieder jedem Paar (f, g) von Abbildungen ihre Komposition g ◦ f zu. Die Axiome sind offensichtlich erfüllt.
7.1.9 (Verwendung des Symbols Hom). Das Symbol „Hom“ für Morphismenräume versuche ich im allgemeinen zu vermeiden: Ich will es reservieren für die
sogenannten „internen Hom-Räume“, unter denen man Vorschriften versteht, die
in sehr speziellen Situationen zwei Objekten einer Kategorie ein Drittes zuordnen,
235
im Fall der Vektorräume etwa die Morphismenmenge mit ihrer natürlichen Vektorraumstruktur. Wenn die Morphismenmenge als Menge gemeint ist, sollte ich
ModK (V, W ) schreiben, aber das halte ich nicht durch. Das Kürzel „Mod“ mit
etwelchen oberen und unteren Indizes wird stets für abelsche Gruppen mit Zusatzstrukturen stehen, meist Operationen von Ringen oder Gruppen. Gehen diese
Zusatzstrukturen aus dem Kontext hervor, so lasse ich die entsprechenden Indizes
auch manchmal weg. Für abelsche Gruppen ohne Zusatzstrukturen benutze ich
stets das Kürzel „Ab“.
Definition 7.1.10.
1. Ein Morphismus f ∈ C(X, Y ) in einer Kategorie heißt
ein Isomorphismus oder Iso und als Adjektiv iso genau dann, wenn es
einen Morphismus g ∈ C(Y, X) gibt mit f ◦ g = idY und g ◦ f = idX . Wir
∼
notieren Isomorphismen oft f : X → Y .
2. Zwei Objekte X und Y einer Kategorie heißen isomorph genau dann, wenn
∼
es einen Iso f : X → Y gibt. Man schreibt dann auch kurz X ∼
= Y.
Beispiele 7.1.11. Isomorphismen in der Kategorie der Mengen nennt man Bijektionen, Isomorphismen in der Kategorie der topologischen Räume Homöomorphismen. Kategorien, in denen alle Morphismen Isomorphismen sind, heißen Gruppoide. Kategorien, in denen es außer den Identitäten keine Morphismen
gibt, heißen diskret. Natürlich ist jede diskrete Kategorie ein Gruppoid.
7.1.12 (Diskussion des Begriffs eines Isomorphismus). Bisher hatten wir verschiedentlich Isomorphismen abweichend erklärt als bijektive Homomorphismen,
zum Beispiel bei Gruppen, Vektorräumen, affinen Räumen etc. In allen diesen Fällen sollte es jedoch klar sein, daß die Umkehrabbildung im Sinne der Mengenlehre
auch selbst wieder ein Homomorphismus ist, so daß wir in der Tat auch Isomorphismen im Sinne der Kategorientheorie vor uns haben. Ein typisches Beispiel
für eine Kategorie von gewissen „Mengen mit Zusatzstrukturen“, in der bijektive
Homomorphismen keine Isomorphismen zu sein brauchen, ist die Kategorie der
topologischen Räume.
7.1.13. Viele mathematische Fragestellungen lassen sich in der Sprache der Kategorien dahingehend formulieren, daß man einen Überblick über alle Objekte einer
Kategorie gewinnen will, wobei man zwischen isomorphen Objekten nicht unterscheidet. Formal will man also für eine gegebene Kategorie C die Menge aller
Äquivalenzklassen
C/ ∼
=
unter der Äquivalenzrelation der Isomorphie beschreiben. Man spricht dann auch
von Isomorphieklassen von Objekten und nennt Fragestellungen dieser Art Klassifikationsprobleme. Zum Beispiel werden die endlich erzeugten k-Vektorräume
klassifiziert durch ihre Dimension, die endlich erzeugten abelschen Gruppen durch
236
?? und ??, die endlichen Mengen durch ihre Kardinalität ??, beliebige Mengen,
vorsichtshalber aus einem vorgegebenen Mengensystem, ebenfalls durch ihre Kardinalität ??, und die Liste ließe sich noch lange fortsetzen.
7.1.14. Unter einer Unterkategorie einer Kategorie versteht man ein Paar bestehend aus einer Teilmenge der Objektmenge nebst Teilmengen der Morphismenmengen für je zwei Objekte unserer Teilmenge der Objektmenge derart, daß die
offensichtlichen Bedingungen erfüllt sind. Eine Unterkategorie heißt voll genau
dann, wenn die fraglichen Teilmengen der Morphismenmengen jeweils aus allen
Morphismen in der ursprünglichen Kategorie bestehen.
7.1.15. Zu jeder Kategorie C erklären wir eine Unterkategorie, die Isomorphismenkategorie C × von C, durch die Vorschrift, daß sie dieselben Objekte haben
soll, aber nur die Isomorphismen von C als Morphismen. Die Menge aller Isomorphismen von einem Objekt X einer Kategorie C in ein Objekt Y notieren
wir folgerichtig C × (X, Y ). Die Isomorphismen von einem Objekt X einer Kategorie C auf sich selber heißen die Automorphismen von X. Sie bilden stets eine
Gruppe, die Automorphismengruppe C × (X) von X. Die Automorphismengruppe Mod×
k (V ) eines k-Vektorraums V hatten wir meist GL(V ) notiert, die Automorphismengruppe Ens× (X) einer Menge X hatten wir die Gruppe der Permutationen von X genannt.
Definition 7.1.16. Ein Objekt F einer Kategorie C heißt final genau dann, wenn
es für alle Y ∈ C genau einen Morphismus von Y nach F gibt, in Formeln
|C(Y, F )| = 1 ∀Y ∈ C
Definition 7.1.17. Ein Objekt K einer Kategorie C heißt kofinal oder gleichbedeutend initial genau dann, wenn es für alle Y ∈ C genau einen Morphismus von
K nach Y gibt, in Formeln
|C(K, Y )| = 1 ∀Y ∈ C
Beispiele 7.1.18 (Finale und kofinale Objekte in Kategorien von Mengen). Ist
U ein Mengensystem, das nicht nur aus der leeren Menge besteht, so sind die finalen Objekte von UEns genau die einpunktigen Mengen aus U. Ist U ein Mengensystem, das nicht nur aus einelementigen Mengen besteht, so ist die leere Menge
ist das einzige kofinale Objekt von UEns, wenn sie denn zu unserem Mengensystem U dazugehört.
7.1.19. Zwischen je zwei finalen bzw. kofinalen Objekten gibt es offensichtlich
genau einen Isomorphismus. Wir erlauben uns deshalb, etwas lax von dem finalen
bzw. dem kofinalen Objekt zu reden, und bezeichnen „das“ finale Objekt gerne
mit pt = pt(C) für „Punkt“ und Morphismen dahin mit fin für „final“. Manchmal
237
verwenden wir als Bezeichnung des finalen Objekts auch die kleingeschriebene
Bezeichnung der Kategorie, etwa top für den einelementigen topologischen Raum
oder ens für die einelementige Menge.
Übungen
Übung 7.1.20. Ein Morphismus f ∈ C(X, Y ) in einer Kategorie ist ein Isomorphismus genau dann, wenn es Morphismen g, h ∈ C(Y, X) gibt mit f ◦ g = idY
und h ◦ f = idX , und unter diesen Voraussetzungen gilt bereits g = h. Wir nennen
diesen Morphismus dann den inversen Morphismus zu f und notieren ihn f −1 .
Übung 7.1.21. Gegeben Morphismen f ∈ C(X, Y ) und g ∈ C(Y, X) in einer
Kategorie derart, daß f ◦ g und g ◦ f Isomorphismen sind, müssen f und g bereits
selbst Isomorphismen sein.
Übung 7.1.22. Sei C eine Kategorie und f : X → Y ein Morphismus. Man
zeige, daß f genau dann ein Isomorphismus ist, wenn das Vorschalten von f für
∼
jedes weitere Objekt Z eine Bijektion C(Y, Z) → C(X, Z) induziert. Man zeige
dual, daß f genau dann ein Isomorphismus ist, wenn das Nachsschalten von f für
∼
jedes weitere Objekt Z eine Bijektion C(Z, X) → C(Z, Y ) induziert. Genauere
Aussagen in dieser Richtung macht das sogenannte Yoneda-Lemma 7.9.2.
Übung 7.1.23. Man finde finale und kofinale Objekte in den Kategorien der Gruppen, Ringe, topologischen Räume, Vektorräume aus einem vorgegebenen Mengensystem U.
7.2
Funktoren
Definition 7.2.1. Ein Funktor F : A → B von einer Kategorie A in eine Kategorie B ist ein Datum bestehend aus
a. einer Abbildung F = FOb : Ob A → Ob B, X 7→ F X;
b. einer Abbildung F = FX,Y : A(X, Y ) → B(F X, F Y ), f 7→ F f für je
zwei Objekte X, Y ∈ Ob A,
derart, daß gilt:
1. F (f ◦ g) = (F f ) ◦ (F g) für beliebige verknüpfbare Morphismen f und g
aus der Kategorie A;
2. F (idX ) = idF X für jedes Objekt X ∈ A.
Ich nenne in diesem Zusammenhang A die Ausgangskategorie und B die Zielkategorie des Funktors F .
238
Beispiel 7.2.2. Gegeben ein Körper K erhalten wir einen Funktor
MatK →
n
A↓
m
ModK
7→
Kn
7→ (A◦) ↓
7
→
Km
von der Matrixkategorie über K in die Kategorie der K-Vektorräume, indem wir
wie angedeutet jedem Objekt n der Matrixkategorie den Vektorraum K n zuordnen
und jeder Matrix die durch diese Matrix gegebene lineare Abbildung. Wir nennen
ihn den Realisierungsfunktor.
Beispiel 7.2.3 (Der Richtungsraum als Funktor). Wir erklären die Kategorie
Aff = Aff K aller affinen Räume über einem gegebenen Körper K. Als Objekte
nehmen wir unsere affine Räume E, als Morphismen affine Abbildungen. Das
~ ist dann zusammen mit der Vorschrift
Bilden des Richtungsraums Richt : E 7→ E
auf Morphismen, daß Richt jeder affinen Abbildung ϕ : E → F ihren linearen
~ → F~ zuordnen soll, in kategorientheoretischer Sprache ein Funktor
Anteil ϕ
~:E
Richt : Aff K → ModK
Beispiel 7.2.4 (Die Längengerade als Funktor). Wir erklären die Kategorie KongEb
aller Kongruenzebenen. Als Objekte nehmen wir unsere Kongruenzebenen (E, K),
als Morphismen unsere Isomorphismen von Kongruenzebenen aus ??, als Verknüpfung die Verknüpfung von Abbildungen. Offensichtlich ist diese Kategorie
ein Gruppoid. Unsere Konstruktion ?? einer Längengerade L(E) zu einer vorgegebenen Kongruenzebene zusammen mit unserer Konstruktion einer linearen
Abbildung von Längengeraden L(ϕ) : L(E) → L(F ) für jeden Morphismus
ϕ : E → F von Kongruenzebenen ist dann in kategorientheoretischer Sprache
ein Funktor
L : KongEb → R -Mod
7.2.5. Man gibt bei einem Funktor F meist nur die Abbildung X 7→ F X auf
den Objekten an in der Hoffnung, daß vom Leser erraten werden kann, welche
Abbildung f 7→ F f auf den Morphismen gemeint ist.
7.2.6. Für jede Kategorie C haben wir den Identitätsfunktor Id = IdC von besagter Kategorie in sich selber. Sind F : A → B und G : B → C Funktoren, so ist
auch G ◦ F : A → C ein Funktor.
Lemma 7.2.7 (Funktoren erhalten Isomorphie). Ein Funktor bildet stets Isomorphismen auf Isomorphismen ab. Insbesondere haben isomorphe Objekte unter
einem Funktor stets isomorphe Bilder.
239
Beweis. Sei F unser Funktor. Mithilfe unserer Bedingung F (id) = id schließen
wir:
⇒ Es gibt g mit f ◦ g = id und g ◦ f = id
⇒ (F f ) ◦ (F g) = id und (F g) ◦ (F f ) = id
⇒ F f ist Isomorphismus.
f ist Isomorphismus
Beispiel 7.2.8. Für jede Kategorie C bildet man die opponierte Kategorie C opp ,
auch notiert als C ◦ , wie folgt: Man setzt
Ob C opp := Ob C
und
C opp (X, Y ) := C(Y, X)
und erklärt die Verknüpfung von Morphismen in C opp wie folgt: Man notiert einen
Morphismus f als f ◦ , wenn er in der opponierten Kategorie aufgefaßt werden soll,
und setzt g ◦ ◦ f ◦ := (f ◦ g)◦ .
Beispiel 7.2.9. Sei K ein Körper. Das Bilden des Dualraums mit dem Bilden
der transponierten Abbildung auf dem Niveau der Homomorphismen ist dann ein
Funktor
ModK → Modopp
K
V
f↓
W
7
→
7→
7→
V>
↑ f>
W>
von der Kategorie der K-Vektorräume in ihre eigene opponierte Kategorie, vergleiche ??. Wenn wir es hier allerdings genau nehmen und ein Mengensystem U
festhalten, so werden wir im allgemeinen nur einen Funktor
UModK → VModopp
K
für ein eventuell größeres Mengensystem V erhalten. Als konkretes Beispiel beachte man, daß über einem endlichen Körper der Dualraum eines abzählbaren
Vektorraums im allgemeinen nicht mehr abzählbar ist.
Definition 7.2.10. Ein Funktor F : A → B opp heißt auch ein kontravarianter
Funktor F : A → B.
7.2.11. Ausgeschrieben besteht ein kontravarianter Funktor von A nach B demnach aus einer Abbildung F : Ob A → Ob B sowie für je zwei Objekte X, Y ∈ A
einer Abbildung F : A(X, Y ) → B(F Y, F X) derart, daß gilt F (id) = id und
F (f ◦ g) = F g ◦ F f für alle verknüpfbaren Morphismen f, g.
Beispiel 7.2.12. Gegeben Kategorien A, B bildet man ihr Produkt, eine weitere Kategorie A × B, wie folgt: Man setzt Ob(A × B) := Ob A × Ob B, erklärt
Morphismen in der Produktkategorie als Paare von Morphismen in den Ausgangskategorien, und erklärt die Verknüpfung von Morphismen in der Produktkategorie
in der offensichtlichen Weise.
240
Beispiel 7.2.13. Das Bilden des Homomorphismenraums ist ein Funktor
Modopp
K × ModK →
(V, W )
(f , g) ↓
(V 0 , W 0 )
◦
ModK
7→ HomK (V, W ) 3
h
7→
↓
↓
0
0
7
→
HomK (V , W ) 3 g ◦ h ◦ f
wo der ganz rechte vertikale Pfeil eigentlich ein 7→ sein sollte, was ich aber mit
meinem Schreibprogramm nicht hingekriegt habe. Die Notation HomK (V, K) betont hier, daß wir besagte Menge von Morphismen mit ihrer Vektorraumstruktur
betrachten wollen.
Ergänzendes Beispiel 7.2.14. Das Bilden des Tensorprodukts ist ein Funktor
ModK × ModK →
(V, W )
(f, g) ↓
(V 0 , W 0 )
ModK
7
→
V ⊗W
7→ f ⊗ g ↓
7→
V 0 ⊗ W0
Ergänzendes Beispiel 7.2.15. Das Bilden der r-ten Tensorpotenz nach ?? ist ein
Funktor ModK → ModK , V 7→ V ⊗r , f 7→ f ⊗r . Das V
Bilden der r-ten
V äußeren
Potenz nach ?? ist ein Funktor ModK → ModK , V 7→ r V mit f 7→ r f nach
??.
Beispiel 7.2.16. Das „Vergessen der Gruppenstruktur“ definiert einen Funktor
Grp → Ens von den Gruppen in die Mengen. Natürlich gibt es noch viele andere solche Vergiss-Funktoren.
Beispiel 7.2.17. Jeder Funktor F : A → B liefert in offensichtlicher Weise einen
Funktor F ◦ : Aopp → B opp zwischen den zugehörigen opponierten Kategorien.
Oft notiert man ihn auch einfach F .
Beispiel 7.2.18. Gegeben ein Körper K bezeichne ModfgK mit fg für „finitely
generated“ die Kategorie der endlich erzeugten K-Vektorräume und Modfg×
K die
zugehörige Isomorphismenkategorie. Gegeben ein angeordneter Körper K ist das
Bilden der Orientierungsmenge nach ?? ein Funktor
×
or : Modfg×
K → Ens
Definition 7.2.19.
1. Ein Funktor F : A → B heißt treu genau dann, wenn er
Injektionen F : A(A, A0 ) ,→ B(F A, F A0 ) auf den Morphismen induziert,
für alle A, A0 ∈ A.
2. Ein Funktor F : A → B heißt volltreu genau dann, wenn er Bijektionen
∼
F : A(A, A0 ) → B(F A, F A0 ) auf den Morphismen induziert. Ich notiere
∼
volltreue Funktoren gerne ,→.
241
3. Ein Funktor F : A → B heißt eine Äquivalenz von Kategorien genau
dann, wenn er volltreu ist und zusätzlich eine Surjektion auf Isomorphieklassen von Objekten induziert, wenn es also in Formeln für alle B ∈ B ein
≈
A ∈ A gibt mit F A ∼
= B. Ich notiere Äquivalenzen von Kategorien →. Die
doppelte Schlange soll andeuten, daß äquivalente Kategorien „in schwächerer Weise gleich sind“ als isomorphe Kategorien, wie sie im Anschluß
eingeführt werden.
4. Ein Funktor F : A → B heißt ein Isomorphismus von Kategorien genau dann, wenn er bijektiv ist auf Objekten und auf Morphismen, wenn er
also ein Isomorphismus ist in der Kategorie der Kategorien aus 7.2.23. Ich
∼
notiere Isomorphismen von Kategorien →.
Beispiel 7.2.20. Gegeben eine Kategorie C und ein Objekt X ∈ C erhalten wir
∼
einen Isomorphismus von Kategorien [C(X)] → {X} zwischen der Ein-ObjektKategorie des Monoids der Endomorphismen von X und der vollen Unterkategorie von C mit dem einzigen Objekt X, indem wir die Identität auf den Morphismenmengen und die einzig mögliche Abbildung auf den Objektmengen nehmen.
Beispiel 7.2.21. Sei K ein Körper. Wir betrachten die Kategorie ModfgK aller endlichdimensionalen K-Vektorräume mit linearen Abbildungen als Morphismen. Dann ist unser Funktor n 7→ K n eine Äquivalenz von Kategorien
≈
MatK → ModfgK
zwischen unserer Matrixkategorie MatK und der Kategorie der endlich erzeugten K-Vektorräume, aber ist natürlich kein Isomorphismus von Kategorien. Diese
Aussage faßt eine Vielzahl von Aussagen der linearen Algebra zusammen und
illustriert meines Erachtens recht gut die Kraft und Eleganz der Sprache der Kategorientheorie. Wenn unser Ring K selbst durch einen größeren Ausdruck gegeben
ist, schreiben wir für unsere Matrixkategorie statt MatK auch manchmal Mat(K).
Ergänzendes Beispiel 7.2.22 (Die Matrixkategorie eines Mengensystems). Sei
K ein Körper und U ein Mengensystem. Wir bilden dann die abstrakte Matrixkategorie UMatK wie folgt: Objekte sind alle Mengen aus U, in Formeln
Ob(UMat) := U. Die Morphismenmengen erklären wir durch die Vorschrift
Für
jedes
m
∈
M
gilt
UMatK (M, N ) := T : M × N → K T (m, n) = 0 für fast alle n ∈ N
Zumindest im Fall, daß U keine überabzählbaren Mengen enthält, mag man sich
als Elemente dieser Morphismenmengen Matrizen mit möglicherweise unendlich
vielen Zeilen und Spalten aber höchstens endlich vielen von Null verschiedenen
Einträgen in jeder Spalte denken. Die Verknüpfungen werden in der hoffentlich
242
offensichtlichen Weise durch Summation über gleiche Indizes erklärt. Wir erhalten dann einen Funktor UMatK → ModK , der auf Objekten durch die Konstruktion freier Vektorräume N 7→ KhN i über den entsprechenden Mengen gegeben
wird und auf Morphismen leicht vom Leser erraten werden kann. Ist U ein „Universum“ im Sinne von 7.10.3, das den Körper K enthält, so erweist sich dieser
Funktor sogar als eine Äquivalenz von Kategorien
≈
UMatK → UModK
7.2.23. Gegeben ein Mengensystem U verstehen wir unter einer U-Kategorie eine
Kategorie C, bei der für alle Objekte X, Y ∈ C die Morphismenmenge zu unserem
Mengensystem U gehört, in Formeln C(X, Y ) ∈ U, und bei der die Menge der
Objekte unserer Kategorie eine Teilmenge von U ist, in Formeln C ⊂ U. Die letzte
Forderung ist nicht wesentlich, da wir ja andernfalls schlicht unsere Objekte mit
ihren Identitätsmorphismen identifizieren können. Gegeben ein Mengensystem U
bildet die Gesamtheit aller U-Kategorien selbst eine Kategorie
UCat
mit den U-Kategorien als Objekten und Funktoren als Morphismen. Die Menge
aller Funktoren von einer Kategorie A in eine Kategorie B notieren wir dementsprechend
Cat(A, B)
F
Formal verwenden wir die Notation Mor C := X,Y C(X, Y ) für die Menge aller
Morphismen einer Kategorie C, und die Menge der Funktoren ist für uns eine Teilmenge Cat(A, B) ⊂ Ens(Ob A, Ob B) × Ens(Mor A, Mor B). In 7.3.8 werden
wir sogar eine Kategorie erklären, deren Objekte gerade die Funktoren A → B
alias die Elemente von Cat(A, B) sind, aber alles zu seiner Zeit.
Beispiel 7.2.24. Gegeben ein Mengensystem U und eine U-Kategorie C und ein
Objekt X ∈ C ist die Zuordnung Y 7→ C(X, Y ) ein Funktor C(X, ) : C → UEns
und die Zuordnung Y 7→ C(Y, X) ein Funktor C( , X) : C → UEnsopp .
Beispiel 7.2.25 (Funktoren zwischen Ein-Objekt-Kategorien). Gegeben Monoide G, H und die zugehörigen Ein-Objekt-Kategorien [G], [H] nach 7.1.5 erhalten wir in der offensichtlichen Weise eine Bijektion zwischen der Menge aller
Monoidhomomorphismen G → H und der Menge aller Funktoren [G] → [H], in
Formeln also eine Bijektion
∼
Mon(G, H) → Cat([G], [H])
243
Übungen
Übung 7.2.26. Jede Äquivalenz von Kategorien induziert eine Bijektion zwischen
den zugehörigen Isomorphieklassen von Objekten. Zum Beispiel werden die endlichdimensionalen k-Vektorräume klassifiziert durch ihre Dimension, alias durch
Elemente von N, alias durch Isomorphieklassen der Matrixkategorie.
Übung 7.2.27 (Zwei aus Drei). Seien F : A → B und G : B → C Funktoren.
Sind zwei der drei Funktoren F, G, GF Äquivalenzen von Kategorien, so auch
der Dritte.
Übung 7.2.28. Bilden wir zu einer Kategorie eine volle Unterkategorie, indem wir
aus jeder Isomorphieklasse von Objekten ein Objekt willkürlich auswählen, so ist
der Einbettungsfunktor eine Äquivalenz von Kategorien.
Übung 7.2.29. Ein Gruppoid G heißt zusammenhängend genau dann, wenn sie
mindestens ein Objekt besitzt und es zwischen je zweien seiner Objekte mindestens einen Morphismus gibt. Gegeben ein Objekt X eines zusammenhängenden
Gruppoids G ist der offensichtliche Funktor eine Äquivalenz von Kategorien
≈
[G(X)] → G
zwischen der Ein-Objekt-Kategorie der Automorphismengruppe G(X) von X und
unserem Gruppoid.
Übung 7.2.30. Gegeben Kategorien A, B, C liefert jedes Paar (F, G) von Funktoren F : A → B und G : A → C einen wohlbestimmten Funktor in die Produktkategorie (F, G) : A → B × C.
7.3
Transformationen
7.3.1. Bis hierher hat sich unsere Theorie noch in leidlich vertrauten Bahnen
bewegt: Wir haben eben eine neue Art von Strukturen erklärt, die Kategorien,
und dazwischen strukturerhaltende Abbildungen alias Morphismen betrachtet, die
Funktoren. Insoweit paßt alles noch in den strukturellen Rahmen, an den man seit
der linaren Algebra durch das Studium von Vektorräumen und linearen Abbildungen oder Gruppen und Gruppenhomomorphismen gewöhnt worden ist. Das Neue
bei der Kategorientheorie ist nun, daß es auch „Morphismen zwischen Morphismen“ gibt. Sie heißen „Transformationen von Funktoren“ und sind das Thema
dieses Abschnitts.
Definition 7.3.2. Seien A, B Kategorien und F, G : A → B Funktoren. Eine
Transformation τ : F ⇒ G ist eine Vorschrift, die jedem Objekt X ∈ A einen
244
Morphismus τX ∈ B(F X, GX) zuordnet derart, daß für jeden Morphismus f :
X → Y in A das Rechteck
FX
Ff
FY
τX
τY
/ GX
Gf
/ GY
in B kommutiert. In Formeln meint das die Gleichheit (Gf ) ◦ τX = τY ◦ (F f )
in der Morphismenmenge B(F X, GY ). Ob ein Doppelpfeil eine Transformation von Funktoren oder vielmehr eine Implikation meint, muß der Leser aus dem
Kontext erschließen. Sind alle τX Isomorphismen, so nenne ich τ eine Isotrans∼
formation und notiere sie ⇒, aber diese Terminologie ist nicht gebräuchlich. In
der Literatur spricht man eher von einem Isomorphismus von Funktoren oder
auch von einer Äquivalenz von Funktoren. Gibt es zwischen zwei Funktoren
eine Isotransformation, so heißen sie isomorph.
7.3.3 (Diskussion der Terminologie). In der Literatur heißen unsere Transformationen meist „natürliche Transformationen“. Diese Terminologie schien mir
jedoch unnötig umständlich und entspricht auch nicht meinem Sprachempfinden:
Ich möchte zum Beispiel unter der „natürlichen“ Transformation des Identitätsfunktors auf der Kategorie aller R-Vektorräume in den Bidualraumfunktor gerne
die in 7.3.6 gegebene Transformation verstehen, die zwar keineswegs die einzige
Transformation zwischen diesen Funktoren ist, aber wohl schon die „natürlichste“.
Beispiel 7.3.4 (Die Länge als Transformation). Unsere in ?? erklärten Län~ → L(E) für Kongruenzebenen E bilden in ihrer Gegenabbildungen k kE : E
samtheit und unter Unterschlagung einiger Vergißfunktoren eine Transformation
Richt ⇒ L
zwischen Funktoren KongEb → Ens von der Kategorie der Kongruenzebenen in
die Kategorie der Mengen.
Beispiel 7.3.5 (Das kanonische Skalarprodukt als Transformation). Unsere
~ ×E
~ → L(E)⊗2 für Kongruenzebenen
kanonischen Skalarprodukte h , iE : E
?? bilden in ihrer Gesamtheit und unter Unterschlagung einiger Vergißfunktoren
eine Transformation
Richt×2 ⇒ L⊗2
zwischen Funktoren KongEb → Ens von der Kategorie der Kongruenzebenen in
die Kategorie der Mengen oder liefern feiner sogar eine Transformation
Richt⊗2 ⇒ L⊗2
245
zwischen Funktoren KongEb → ModR von der Kategorie der Kongruenzebenen
in die Kategorie der R-Vektorräume.
Beispiel 7.3.6 (Bidualraum und Identitätsfunktor). Sei K ein Körper und B :
ModK → ModK der sogenannte Bidualraumfunktor, der eben jedem K-Vektorraum
V seinen Bidualraum BV := V >> zuordnet. So liefern die Evaluationen evV :
V → V >> , v 7→ (f 7→ f (v)) eine Transformation
ev : Id ⇒ B
und eine Isotransformation zwischen den Restriktionen dieser Funktoren auf die
Kategorie der endlichdimensionalen K-Vektorräume, vergleiche ??. Oft formalisiert man Situationen dieser Art nicht bis ins Letzte aus und spricht etwa von kanonischen Abbildungen bzw. kanonischen Isomorphismen, wenn bei formaler
Betrachtung Abbildungen oder Isomorphismen τX : F X → GX gemeint sind,
die in ihrer Gesamtheit eine Transformation bzw. Isotransformation von Funkto∼
ren τ : F ⇒ G bilden.
Beispiel 7.3.7 (Dualraum und Transponieren). Sei K ein Körper und D : ModK →
Modopp
K der Funktor, der jedem Raum seinen Dualraum zuordnet. Sei weiter MatK
die Matrizenkategorie aus 7.1.6 und T : MatK → Matopp
K der Funktor, der die
Objekte festhält und Matrizen transponiert. Sei schließlich R : MatK → ModK
unser Realisierungsfunktor n 7→ K n aus 7.2.2 und bezeichne R auch den entsprechenden Funktor zwischen den jeweils opponierten Kategorien. So erhalten wir
eine Isotransformation
∼
τ : RT ⇒ DR
durch die Vorschrift, die jeder natürlichen Zahl alias jedem Objekt n ∈ MatK den
∼
offensichtlichen Isomorphismus τn : K n → (K n )> zuordnet. Es kann hilfreich
sein, durch Doppelpfeile in Diagrammen von Kategorien und Funktoren klarzumachen, zwischen welchen Funktoren eine Transformation gemeint ist. So wäre
etwa in diesem Beispiel unser τ ein möglicher Doppelpfeil im Diagramm
/ Matopp
K
ttt
τtttttt
R
R
ttttt
u} tttt
D /
ModK
Modopp
MatK
T
K
Beispiel 7.3.8. Sind τ : F ⇒ G und σ : G ⇒ H Transformationen, so ist auch
σ ◦ τ : F ⇒ H gegeben durch (σ ◦ τ )X := σF X ◦ τX für jedes Objekt X der Ausgangskategorie von F eine Transformation. Des weiteren gibt es für jeden Funktor
F die identische Transformation id = idF von besagtem Funktor zu sich selber,
gegeben durch (idF )X := idF X für jedes Objekt X der Ausgangskategorie unseres Funktors. Sind A, B Kategorien, so bilden die Funktoren A → B selbst eine
246
Kategorie, mit Funktoren als Objekten und Transformationen als Morphismen.
Ich verwende für diese Funktorkategorie die Notation Cat(A, B) und alternativ
die exponentielle Notation B A , so daß etwa für Funktoren F, G : A → B die
Menge der Transformationen
Cat(A, B)(F, G) = B A (F, G)
notiert werden kann. Wenn die Kategorien selber durch größere Ausdrücke gegeben werden, sind für die Menge der Transformationen auch abkürzende Notationen wie etwa Trans(F, G) sinnvoll und üblich. Unsere Isotransformationen sind
genau die Isomorphismen der Funktorkategorie.
Beispiel 7.3.9 (Tensor und Hom). Die natürlichen Abbildungen
can : V > ⊗K W → HomK (V, W )
aus ?? für K-Vektorräume V, W liefern eine Transformation zwischen den durch
diese Vorschriften gegebenen Funktoren
Modopp
K × ModK → ModK
Sie liefern sogar eine Isotransformation, wenn wir uns im ersten Faktor auf endlichdimensionale Räume beschränken.
Beispiel 7.3.10. Seien F, G : A → B Funktoren und τ : F ⇒ G eine Transformation. Gegeben ein weiterer Funktor H : B → C erhalten wir in offensichtlicher Weise eine Transformation Hτ : HF ⇒ HG. Gegeben ein weiterer
Funktor K : D → A erhalten wir in offensichtlicher Weise eine Transformation
τ K : F K ⇒ GK. Offensichtlich liefern diese Konstruktionen ihrerseits Funktoren Cat(A, B) → Cat(A, C) und Cat(A, B) → Cat(D, B) zwischen den entsprechenden Funktorkategorien, die wir als das Nachschalten von H bzw. Vorschalten von K bezeichnen. Das Nachschalten liefert offensichtlich einen Funktor
Cat(A, B) → Cat(Cat(C, A), Cat(C, B))
7.3.11 (Schwierigkeiten der Notation). Die Notationen τ K und Hτ führen leicht
zu Verwirrung, sobald nicht aus der Art der Symbole klar ist, welche Symbole Funktoren und welche Transformationen darstellen. Ich kenne keine generelle
Lösung für diese Schwierigkeiten der Notation. Hier versuche ich, eine gewisse
Übersichtlichkeit dadurch zu erreichen, daß ich systematisch lateinische Großbuchstaben für Funktoren und kleine griechische Buchstaben für Transformationen verwende.
247
Übungen
Übung 7.3.12. Sei K ein Körper und Id : ModK → ModK der Identitätsfunktor.
Man bestimme alle Transformationen von diesem Funktor zu sich selber. Ebenso
bestimme man alle Transformationen von diesem Funktor zum Bidualraumfunktor.
Übung 7.3.13. Sind zwei Funktoren isomorph und ist der Eine eine Äquivalenz
von Kategorien, so auch der Andere.
Übung 7.3.14. Man diskutiere, inwiefernVdie in ?? für jeden Vektorraum V kon∼
struierten kanonischen Isomorphismen ( r V )> → Altr (V ) eine Isotransformation bilden. Idem für die in ?? für jeden V
endlichdimensionalen Vektorraum V
∼
konstruierten kanonischen Isomorphismen r (V > ) → Altr (V ).
Übung 7.3.15. Gegeben ein Monoid G heißt eine Abbildung φ : X → Y von
G-Mengen äquivariant genau dann, wenn gilt φ(gx) = gφ(x) für alle g ∈ G
und x ∈ X. Die G-Mengen mit den äquivarianten Abbildungen als Morphismen bilden dann eine Kategorie G -Ens. Bilden wir zu unserem Monoid G die
Ein-Objekt-Kategorie [G], so liefert der hoffentlich offensichtliche Funktor einen
Isomorphismus von Kategorien
∼
G -Ens → Cat([G], Ens)
Ergänzende Übung 7.3.16 (Komplexifizierung einer Reellifizierung). Wir erhalten eine Isotransformation zwischen Funktoren C -Mod → C -Mod vermittels
∼
der Abbildungen C ⊗R V → V ⊕ V gegeben durch α ⊗ v 7→ (αv, αv̄) in den
Notationen ??. Die inverse Isotransformation wird beschrieben durch die Abbildungsvorschrift
(v, w̄) 7→ (1/2) ⊗ (v + w) − (i/2) ⊗ (iv − iw)
Im übrigen bildet unser Isomorphismus oben den Eigenraum Eig(1 ⊗ i|C ⊗R V ; i)
isomorph auf V ab und den Eigenraum Eig(1 ⊗ i|C ⊗R V ; −i) isomorph auf
V . Der schieflineare Automorphismus α ⊗ v 7→ ᾱ ⊗ v von C ⊗R V schließlich entspricht unter unserem Isomorphismus dem schieflinearen Automorphismus (v, w̄) 7→ (w, v̄) von V ⊕ V .
Ergänzende Übung 7.3.17. Wir erhalten eine Isotransformation zwischen Funkto>
∼
ren C -Mod → C -Modopp vermittels der Abbildungen V > → V gegeben durch
ϕ̄ 7→ c ◦ ϕ in den Notationen ??, mit c : C → C der komplexen Konjugation. Diese Identifikation scheint mir so kanonisch, daß ich auch oft ϕ̄ statt c ◦ ϕ schreiben
werde.
248
Ergänzung 7.3.18 (Dualraum und Restriktion der Skalare). Gegeben ein komplexer Vektorraum V erklären wir einen natürlichen Isomorphismus
∼
resRC (V > ) → (resRC V )>
zwischen der Reellifizierung seines Dualraums und dem Dualraum seiner Reellifizierung durch die Vorschrift λ 7→ 2 Re λ. Es kommutiert dann das Diagramm
C ⊗R resRC (V > )
∼
/
C ⊗R (resRC V )>
∼
/
(C ⊗R resRC V )>
O
o
o
/
∼
V>⊕V>
V>⊕V
>
Hier kommen die Vertikalen von 7.3.16 her, unten ist die von 7.3.17 gelieferte
Abbildung (λ, µ̄) 7→ (λ, c ◦ µ) gemeint mit c : C → C der komplexen Konjugation, und in der oberen Horizontale die Abbildung, die aus obiger Identifikation
∼
resRC (V > ) → (resRC V )> unter der Komplexifikation entsteht, gefolgt von der Iden∼
tifikation (W > )C → (WC )> aus ??. Der Faktor 2 zu Beginn scheint mir nicht nur
angemessen, da er obiges Diagramm zum Kommutieren bringt, sondern auch, da
man allgemeiner für jede „endliche separable Körpererweiterung“ vernünftiger∼
weise einen natürlichen Isomorphismus reskK (V > ) → (reskK V )> erklärt durch
die Vorschrift λ 7→ SkK ◦ λ mit SkK : K → k der Spur aus ??.
Ergänzende Übung 7.3.19. Gegeben ein Körper K erhalten wir eine Isotransformation von Funktoren ModK × ModK → ModK vermittels der durch das Dachprodukt gegebenen Abbildungen
i
M ^
V ⊗
j
^
∼
W →
k
^
(V ⊕ W )
i+j=k
Zusammen mit Übung 7.3.16 erhalten wir insbesondere Isotransformationen von
Funktoren C -Mod
alias für V
komplexe Vektorräume V kanonische
L → C
V-Mod V
∼
Isomorphismen i+j=k i V ⊗ j V → k (C ⊗R V ).
Ergänzende Übung 7.3.20. Gegeben Funktoren F, F 0 : A → B und G, G0 : B →
C sowie Transformationen α : F ⇒ F 0 und β : G ⇒ G0 gilt die Gleichheit
βF 0 ◦ Gα = G0 α ◦ βF von Transformationen GF ⇒ G0 F 0 . Wir notieren diese
Transformation auch α ∗ β : GF ⇒ G0 F 0 und nennen sie die Juxtaposition
unserer beiden Transformationen. Unsere Identität ist auch gleichbedeutend zu
der Aussage, daß das Nachschalten einen Funktor Cat(B, C) → Cat(B A , C A )
liefert, oder auch in ausführlicherer Notation das Vorschalten einen Funktor
Cat(A, B) → Cat(Cat(B, C), Cat(A, C))
249
Übung 7.3.21. Man zeige: Ein Funktor F : A → B ist genau dann eine Äquivalenz von Kategorien, wenn es eine Äquivalenz von Kategorien in die Gegen∼
richtung G : B → A gibt nebst einer Isotransformation τ : IdA ⇒ GF . Die
Äquivalenz G oder genauer das Paar (G, τ ) heißt dann ein quasiinverser Funktor zu F . Man zeige weiter: Zu jedem Paar (G, τ ) wie eben gibt es genau eine
∼
Isotransformation η : F G ⇒ IdA mit (ηF ) ◦ (F τ ) = idF .
Übung 7.3.22. Man zeige: Genau dann ist ein Funktor F : A → B eine Äquivalenz von Kategorien, wenn es einen Funktor G : B → A gibt derart, daß F G
isomorph ist zum Identitätsfunktor auf B und GF isomorph zum Identitätsfunktor
auf A.
≈
Übung 7.3.23. Man zeige: Gegeben eine Äquivalenz von Kategorien F : A → B
∼
und ein Funktor G : B → A nebst einer Isotransformation τ : F G ⇒ IdA ist
auch G eine Äquivalenz von Kategorien und (G, τ ) quasiinvers zu F .
Übung 7.3.24 (Äquivalenzen von Funktorkategorien). Sind A, B Kategorien
≈
und ist K : A0 → A eine Äquivalenz von Kategorien, so liefert das Vorschalten
von K eine Äquivalenz von Funktorkategorien
≈
Cat(A, B) → Cat(A0 , B)
≈
Ist ähnlich H : B → B 0 eine Äquivalenz von Kategorien, so liefert das Nachschalten von H eine Äquivalenz von Funktorkategorien
≈
Cat(A, B) → Cat(A, B 0 )
Ergänzende Übung 7.3.25 (Exponentialgesetz für Kategorien). Man zeige, daß
man für je drei Kategorien A, B, C einen Isomorphismus von Kategorien
∼
Cat(A, Cat(B, C)) → Cat(A × B, C)
erhält durch die Vorschrift F 7→ F̃ mit F̃ (A, B) = (F (A))(B) auf Objekten und
eine vom Leser zu spezifizierende Vorschrift auf Morphismen.
7.4
Natürliche Konstruktionen in der Geometrie*
7.4.1 (Natürliche Konstruktionen als Funktoren). Wir interessieren uns nun
für reelle Vektorräume, die „Bewegungsräumen in natürlicher Weise zugeordnet
werden können“. Ich denke hier etwa an die Längengerade, aber erst einmal gilt
es, die Fragestellung genau zu fassen. Dazu betrachten wir die Kategorie
BRäume
250
aller Bewegungsräume. Objekte dieser Kategorie seien unsere Bewegungsräume
(R, B). Morphismen (R, B) → (R0 , B 0 ) seien alle Isomorphismen von affinen
∼
Räumen φ : R → R0 mit B 0 = φBφ−1 . In dieser Sprache interessieren wir uns
nun präziser gesagt für Funktoren
BRäume → ModR
Des weiteren kommt es uns nur auf Funktoren bis auf Isotransformation an, wir
interessieren uns also ganz präzise gesagt für die Isomorphieklassen von Objekten
der Funktorkategorie
Cat(BRäume, ModR )
Nun bilden die Bewegungsräume ein Gruppoid. Weiter gibt es auch zwischen je
zwei Bewegungsräumen einen Isomorphismus, unser Gruppoid ist also zusammenhängend im Sinne von 7.2.29. Gegeben ein fester Bewegungsraum wie etwa
unser Anschauungsraum E ∈ BRäume aus ?? ist nach 7.2.29 folglich die Einbettung der entsprechenden Ein-Objekt-Kategorie eine Äquivalenz von Kategorien
≈
{E} → BRäume. Deren Vorschalten liefert dann eine Äquivalenz von Kategorien
≈
Cat(BRäume, ModR ) → Cat([Aut E], ModR )
Die Automorphismen eines Bewegungsraums E sind dabei nach ?? genau seine
Ähnlichkeitsabbildungen, also alle Abbildungen, die für einen Punkt p ∈ E in der
Gestalt (p+~v ) 7→ b(p+λ~v ) geschrieben werden können mit einer Bewegung b und
einem festen Faktor λ ∈ R× . Die orientierungsumkehrenden Automorphismen
werden dabei durch negative Streckfaktoren λ dargestellt.
7.4.2. Gegeben ein Monoid G und ein Körper K ist ein Objekt der Funktorkategorie Cat([G], ModK ) per definitionem ein Paar (V, ρV ) bestehend aus einem
K-Vektorraum V , dem Bild des einzigen Objekts unserer Ein-Objekt-Kategorie,
und einem Monoidhomomorphismus ρV : G → End(V ), dem Effekt unseres
Funktors auf Morphismen. Man nennt solch ein Datum auch eine Darstellung
des Monoids G. Des weiteren ist ein Morphismus in ein weiteres Objekt (W, ρW )
ausgeschrieben eine K-lineare Abbildung φ : V → W mit φ ◦ ρV (g) = ρW (g) ◦ φ
für alle g ∈ G. Eine derartige Abbildung heißt auch ein Verflechtungsoperator zwischen den beteiligten Darstellungen. Ich verwende für die Kategorie aller
Darstellungen von G auch die Notation
ModG
K := Cat([G], ModK )
7.4.3. Zusammenfassend und salopp gesprochen entsprechen mithin Zuordnungen, die Bewegungsräumen in natürlicher Weise reelle Vektorräume zuordnen,
den Darstellungen der Automorphismengruppe eines festen Bewegungsraums.
Präzise gesagt liefern unsere Konstruktionen eine Äquivalenz von Kategorien
≈
E
Cat(BRäume, ModR ) → ModAut
R
251
7.4.4. Für die Automorphismengruppe eines Bewegungsraums E liefert der Übergang zum linearen Anteil einen Homomorphismus
~
Aut E → GL(E)
~ aller Automorphismen, die ein und jedes
Er landet in der Untergruppe GO(E)
~ bis auf einen skalaren Faktor invaribewegungsinvariante Skalarprodukts auf E
ant lassen, also im Gruppenerzeugnis der orthogonalen und invertierbaren skala~ := R× O(E).
~ Endlichdimensionale reelle Darstellungen von
ren Matrizen GO(E)
~ und damit auch Darstellungen von Aut E sind insbesondere:
GO(E)
~ selbst, mit ρ(g) = g, genannt die Standarddarstellung.
1. Der Vektorraum E
Sie entspricht dem Funktor, der jedem Bewegungsraum seinen Richtungsraum zuordnet und jedem Isomorphismus von Bewegungsräumen die davon
auf den Richtungsräumen induzierte Abbildung.
2. Die eindimensionale Darstellung L, auf der ein Produkt (tA) mit t ∈ R×
~ als Multiplikation mit |t| operiert, also mit ρ(tA) = |t|.
und A ∈ O(E)
Sie entspricht dem Funktor, der jedem Bewegungsraum seine Längengerade
zuordnet und jedem Isomorphismus von Bewegungsräumen die davon auf
den Längengeraden induzierte Abbildung.
~ auf der g durch die Multi3. Die eindimensionale Darstellung orR = orR (E),
plikation mit dem Vorzeichen von det(g) operiert. Sie entspricht dem Funktor, der jedem Bewegungsraum die Orientierungsgerade seines Richtungsraums zuordnet und jedem Isomorphismus von Bewegungsräumen die davon auf den Orientierungsgeraden induzierte Abbildung.
4. Die eindimensionale Darstellung R, auch genannt die triviale Darstellung,
auf der jedes Gruppenelement g durch die Identität operiert. Sie entspricht
dem Funktor, der jedem Bewegungsraum schlicht den immergleichen Vektorraum R zuordnet und jedem Isomorphismus von Bewegungsräumen die
Identität auf diesem immergleichen Vektorraum R.
7.4.5 (Produkte als Verflechtungsoperatoren). Sei K ein Körper. Gegeben zwei
Darstellungen V, W ∈ ModG
K eines Monoids G können wir eine Darstellung
(V ⊗K W, ρ) bilden durch die Vorschrift ρ(g) := ρV (g) ⊗ ρW (g) für alle g ∈ G.
Unser Skalarprodukt, Kreuzprodukt und Spatprodukt sind dann Verflechtungsoperatoren
~ ⊗E
~
h, i: E
→ L⊗2
~ ⊗E
~
~ ⊗ L ⊗ orR
× : E
→ E
~ ⊗E
~ ⊗E
~ → L⊗3 ⊗ orR
h, , i: E
252
von Darstellungen von Aut E. Man kann auch leicht zeigen, daß es bis auf Skalare
die einzigen von Null verschiedenen Verflechtungsoperatoren zwischen besagten
Darstellungen sind. Sie mögen als Übung zeigen, daß der einzige Verflechtungs~ ⊗E
~ → R die Nullabbildung ist, ja daß L⊗2 bis auf Isomorphismus
operator E
~ ist, in der ein von Null verdie einzige eindimensionale Darstellung von GO(E)
~ ⊗E
~ landen kann. Salopp
schiedener Homomorphismus von Darstellungen aus E
gesprochen gibt es also in unserem Fall „kein von Einheiten freies natürliches
Skalarprodukt und im wesentlichen auch kein natürliches Skalarprodukt in anderen Einheiten als der Einheit Fläche“.
7.4.6 (Der ebene Fall). Analoges gilt für reelle Vektorräume, die Kongruenzebenen in natürlicher Weise zugeordnet werden können: Sie entsprechen Darstellungen der Automorphismengruppe Aut E einer festen Kongruenzebene E =
(E, K). Wieder liefert der Übergang zum linearen Anteil einen Homomorphismus
~
Aut E → GL(E)
~ aller Automorphismen, die ein und jedes beEr landet in der Untergruppe GO(E)
~ bis auf einen skalaren Faktor invariant
wegungsinvariante Skalarprodukts auf E
lassen, also im Gruppenerzeugnis der orthogonalen Matrizen und der invertierba~ := R× O(E).
~ Endlichdimensionale reelle Darstelren skalaren Matrizen GO(E)
~ und damit auch Darstellungen von Aut E sind insbesondere:
lungen von GO(E)
~ selbst, mit ρ(g) = g, genannt die Standarddarstellung.
1. Der Vektorraum E
Sie entspricht dem Funktor, der jeder Kongruenzebene ihren Richtungsraum
zuordnet.
2. Die eindimensionale Darstellung L, auf der ein Produkt (tA) mit t ∈ R×
~ als Multiplikation mit |t| operiert, also mit ρ(tA) = |t|.
und A ∈ O(E)
Sie entspricht dem Funktor, der jeder Kongruenzebene ihre Längengerade
zuordnet.
~ auf der g durch die Multi3. Die eindimensionale Darstellung orR = orR (E),
plikation mit dem Vorzeichen von det(g) operiert. Sie entspricht dem Funktor, der jeder Kongruenzebene die Orientierungsgerade ihres Richtungsraums zuordnet.
4. Die eindimensionale Darstellung R, auch genannt die triviale Darstellung,
auf der jedes Gruppenelement g durch die Identität operiert. Sie entspricht
dem Funktor, der jeder Kongruenzebene schlicht den immergleichen Vektorraum R zuordnet.
253
In diesem Fall haben wir zwischen den entsprechenden Darstellungen von Aut E
etwa die Verflechtungsoperatoren
~ ⊗E
~ → L⊗2
E
~ ⊗E
~ → L⊗2 ⊗ orR
E
gegeben durch das Skalarprodukt und das „orientierte Flächenelement des von
einem Paar von Vektoren aufgespannten Parallelogramms“. In diesem Fall kann
man etwa zeigen, daß das bis auf Skalare die beiden einzigen von Null verschie~ ⊗E
~ in eindimensionale Darstellungen von
denen Verflechtungsoperatoren von E
~
GO(E) sind.
7.4.7. Die Frage, welche Darstellungen die Automorphismengruppe eines Bewegungsraums oder auch einer Kongruenzebene überhaupt hat, ja wie man einen
Überblick über alle Darstellungen eines beliebig vorgegebenen Monoids über einem beliebig vorgegebenen Körper gewinnen kann, steht im Zentrum der Darstellungstheorie. Im Spezialfall der stetigen endlichdimensionalen Darstellungen der Automorphismengruppe eines Bewegungsraums wird diese Frage in ??
im Wesentlichen beantwortet. Für allgemeine Monoide und Körper kann sie sehr
schwierig sein und ist im allgemeinen noch nicht verstanden. Auf diesem Gebiet
wird seit etwa hundert Jahren intensiv geforscht. Besonders hervorheben möchte
ich eine Arbeit von Eugene Wigner, in der er die „unitären“ Darstellungen der Automorphismengruppe der Raumzeit der speziellen Relativitätstheorie untersucht
und eine enge Beziehung zu den quantenmechanischen Wellengleichungen der
Elementarteilchen herausarbeitet.
7.5
Köcher*
7.5.1. Für den Begriff einer Transformation ist eine noch größere Allgemeinheit
natürlich und sinnvoll, wie hier kurz skizziert werden soll.
Definition 7.5.2. Ein Köcher (englisch quiver, französisch carquois) ist ein Datum Q = (P, E, a, e) bestehend aus zwei Mengen P, E und zwei Abbildungen
a, e : P → E. Wir nennen die Elemente von E die Ecken oder auch Punkte des
Köchers und die Elemente von P seine Pfeile. Für einen Pfeil p~ ∈ P nennen wir
a(~p) seinen Anfangspunkt und e(~p) seinen Endpunkt. Ein Morphismus F von
unserem Köcher in einen weiteren Köcher (P 0 , E 0 , a0 , e0 ) ist ein Paar bestehend
aus einer Abbildung F : P → P 0 und einer Abbildung F : E → E 0 derart, daß
gilt F a = a0 F und F e = e0 F . Wir erhalten so die Kategorie aller Köcher
Car
Ähnlich wie bei Kategorien schreiben wir auch gerne abkürzend Q für die Eckenmenge eines Köchers Q = (P, E, a, e) und Q(x, y) für die Menge der Pfeile mit
254
Anfangspunkt x und Endpunkt y. Auf Englisch heißen die Ecken vertices und die
Pfeile arrows.
7.5.3. Jede Kategorie liefert einen Köcher, mit den Objekten als Ecken und den
Morphismen als Pfeilen. Ein Köcher heißt endlich genau dann, wenn er nur endlich viele Punkte und Pfeile hat. Manche Autoren nennen einen Köcher auch ein
Diagrammschema. Ein Köchermorphismus von einem Köcher in eine Kategorie heißt eine Darstellung unseres Köchers in besagter Kategorie oder auch eine
Realisierung unseres Diagrammschemas in besagter Kategorie.
Ergänzung 7.5.4. Bezeichne ⇒ die Kategorie mit zwei Objekten Pf, Ec und vier
Morphismen, von denen zwei die Identitäten sind und zwei von Pf nach Ec gehen.
Dann kann die Kategorie der Köcher verstanden werden als die Funktorkategorie
Cat(⇒, Ens).
Ergänzung 7.5.5. Eine Verknüpfung auf einem Köcher Q ist eine Sammlung
von Abbildungen Q(x, y) × Q(y, z) → Q(x, z) für alle x, y, z ∈ Q. Eine Kategorie ist in dieser Terminologie ein Köcher mit Verknüpfung, die noch zusätzliche
Eigenschaften hat, die man „Assoziativität“ und „Existenz neutraler Elemente“
nennen mag. Das soll aber hier nicht weiter ausformuliert werden.
Definition 7.5.6. Seien Q ein Köcher, B eine Kategorie und F, G : Q → B
Köchermorphismen. Eine Transformation τ : F ⇒ G ist eine Vorschrift, die
jeder Ecke x ∈ Q einen Morphismus τx ∈ B(F (x), G(x)) zuordnet derart, daß
für jeden Pfeil p~ : x → y in unserem Köcher Q das Diagramm
τx
F (x) −→
G(x)
F (~
p) ↓
↓ G(~p)
τy
F (y) −→ G(y)
in unserer Kategorie B kommutiert. Sind alle τx Isomorphismen, so heißt τ eine Isotransformation. Die Menge aller Transformationen bezeichnen wir mit
Car(Q, B)(F, G) oder TransQ→B (F, G) oder abkürzend mit TransQ (F, G) oder
auch nur mit Trans(F, G).
7.5.7. Wie in 7.3.8 die Funktoren bilden für jeden Köcher Q und jede Kategorie
C die Köchermorphismen Q → C die Objekte einer Kategorie Car(Q, C) mit
Transformationen als Morphismen.
Beispiel 7.5.8. Seien K ein Körper und ↓ der Köcher mit zwei Punkten und
einem Pfeil vom einen zum anderen. Die Isomorphieklassen in der Kategorie
von Köchermorphismen Car(↓, Modf K ) werden durch die Theorie der SmithNormalform ?? bestimmt: Die Dimensionen der beiden beteiligten Vektorräume
sowie der Rang der linearen Abbildung legen eine Darstellung dieses Köchers in
endlichdimensionalen Vektorräumen bereits bis auf Isomorphie eindeutig fest.
255
Graphische Darstellung eines endlichen Köchers mit 5 Ecken und 6 Pfeilen.
256
Beispiel 7.5.9. Seien K ein Körper und der Köcher mit einem Punkt und einem Pfeil von diesem Punkt zu sich selber. Die Isomorphieklassen in der Kategorie Car(, Modf K ) werden zumindest im Fall eines algebraisch abgeschlossenen
Körpers K bestimmt durch die Theorie der Jordan’schen Normalform ??.
Übungen
∼
Übung 7.5.10. Seien A, A0 Köcher und B, B 0 Kategorien. Ist K : A0 → A ein Isomorphismus von Köchern, so liefert das Vorschalten von K einen Isomorphismus
von Kategorien
≈
Car(A, B) → Car(A0 , B)
≈
Ist ähnlich H : B → B 0 eine Äquivalenz von Kategorien, so liefert das Nachschalten von H eine Äquivalenz von Kategorien
≈
Car(A, B) → Car(A, B 0 )
7.6
Produkte und Koprodukte in Kategorien
Definition 7.6.1. Seien C eine Kategorie und X, Y Objekte von C. Ein Produkt
von X und Y ist ein Datum (P, p, q) bestehend aus (1) einem Objekt P ∈ C und
(2) Morphismen p : P → X und q : P → Y , den sogenannten Projektionen,
derart daß gilt: Ist Z ∈ C ein Objekt und sind a : Z → X, b : Z → Y Morphismen, so gibt es genau einen Morphismus c : Z → P mit p ◦ c = a und q ◦ c = b.
Wir notieren diesen Morphismus dann c = (a, b) oder, ganz pedantisch und wenn
wir ihn von den Morphismen aus einem Koprodukt absetzen wollen, als Spalte
c = (a, b)> .
Beispiele 7.6.2. In der Kategorie der Mengen ist P = X ×Y mit p, q den üblichen
Projektionsabbildungen ein Produkt von X und Y . Dasselbe gilt in der Kategorie
der Vektorräume.
7.6.3 (Eindeutigkeit von Produkten). Produkte in Kategorien sind im wesentlichen eindeutig, falls sie existieren. Sind genauer (P, p, q) und (P̃ , p̃, q̃) zwei
mögliche Produkte der Objekte X und Y , so gibt es aufgrund der universellen
Eigenschaft von P genau ein c : P̃ → P mit p ◦ c = p̃ und q ◦ c = q̃ und ebenso
genau ein d : P → P̃ mit p̃ ◦ d = p und q̃ ◦ d = q. Weiter gibt es auch genau ein
f : P → P mit p ◦ f = p und q ◦ f = q, und da sowohl f = id als auch f = c ◦ d
diese Bedingung erfüllen, folgt c ◦ d = id. Ebenso erhalten wir d ◦ c = id, mithin
sind c und d zueinander inverse Isomorphismen. Aufgrund dieser Eindeutigkeit
sprechen wir ab jetzt meist von dem Produkt und notieren es
(X × Y, prX , prY )
257
Morphismen in das Produkt schreiben wir auch (a, b). Sind schließlich Morphismen f : X → X 0 , g : Y → Y 0 gegeben und existieren die Produkte X × Y und
X 0 × Y 0 , so benutzen wir die Abkürzung (f ◦ prX , g ◦ prY ) = f × g und nennen
diesen Morphismus den Produktmorphismus
f × g : X × Y → X0 × Y 0
7.6.4. Analoge Definitionen sind auch für größere Familien von Objekten einund derselben Kategorie sinnvoll, wie im folgenden ausgeführt werden soll. Wir
besprechen dies Konzept zunächst im Fall der Kategorie der Mengen.
7.6.5 (Produkte von Mengen). Allgemeiner als in ?? diskutiert kann man auch
für eine beliebige Familie von Mengen (Xi )i∈I eine neue Menge bilden als die
Menge aller Tupel (xi )i∈I mit xi ∈ Xi für alle i ∈ I. Diese Produktmenge
notiert man
l
Xi
i∈I
d
und die Projektionsabbildungen werden mit prj : i∈I Xi → Xj oder ähnlich bezeichnet. Wieder können wir fürdbeliebige Abbildungen fi : Z → Xi
eine Abbildung f = (fi )i∈I : Z → i∈I Xi definieren durch die Vorschrift
f (z) = (fi (z))i∈I und jede Abbildung von einer Menge Z in ein Produkt ist von
dieser Form mit fi = pri ◦f . In Formeln ausgedrückt liefert das Nachschalten der
Projektionen also für jede Menge Z eine Bijektion
∼ d
d
Ens Z, i∈I Xi →
i∈I Ens(Z, Xi )
f
7→
(pri ◦f )
Definition 7.6.6. Sei C eine Kategorie und (Xi )i∈I eine Familie von Objekten von
C. Ein Produkt der Xi ist ein Datum (P, (pi )i∈I ) bestehend aus (1) einem Objekt
P ∈ C und (2) Morphismen pi : P → Xi , den sogenannten Projektionen, derart
daß gilt: Ist Y ∈ C ein Objekt und sind qi : Y → Xi Morphismen, so gibt es
genau einen Morphismus q : Y → P mit pi ◦ q = qi ∀i ∈ I. Wir notieren diesen
Morphismus dann q = (qi )i∈I oder ganz pedantisch auch schon mal q = (qi )>
i∈I .
d
Beispiele 7.6.7. In der Kategorie der Mengen ist P = i∈I Xi mit pi den üblichen Projektionsabbildungen ein Produkt der Xi . Produkte in der Kategorie der
Vektorräume diskutieren wir in 7.7.4.
7.6.8 (Eindeutigkeit von Produkten). Produkte in Kategorien sind im wesentlichen eindeutig, falls sie existieren. Sind genauer (P, (pi )) und (P̃ , (p̃i )) zwei mögliche Produkte der Objekte Xi , so gibt es aufgrund der universellen Eigenschaft
von P genau ein p̃ : P̃ → P mit pi ◦ p̃ = p̃i und ebenso genau ein p : P → P̃ mit
p̃i ◦ p = pi . Weiter gibt es auch genau ein f : P → P mit pi ◦ f = pi , und da sowohl f = id als auch f = p̃ ◦ p diese Bedingung erfüllen, folgt p̃ ◦ p = id. Ebenso
258
erhalten wir p ◦ p̃ = id, mithin sind p und p̃ zueinander inverse Isomorphismen.
Aufgrund dieser Eindeutigkeit sprechen wir ab jetzt meist von dem Produkt und
notieren es
!
l
Xi , (pri )i∈I
i∈I
oder im Fall endlicher Familien X1 × . . . × Xn und benutzen für die Projektionen manchmal auch die Notation prXi . Morphismen in das Produkt schreiben
wir im Fall endlicher Familien auch (q1 , . . . , qn ) oder ganz pedantisch als Spalte
(q1 , . . . , qn )> .
7.6.9 (Produkte über leere Familien). Das Produkt über eine leere Familie von
Mengen erklärt man als „die“ einpunktige Menge, damit das Bilden von Produkten von Mengen „assoziativ“ wird in der Weise, daß wir
F bei einer Familie (Ij )j∈J
von Indexmengen mit disjunkter Vereinigung I = j Ij stets eine kanonische
Bijektion


l l
l
∼

Xi 
Xi →
i∈I
j∈J
i∈Ij
haben. Das Produkt über eine leere Familie in einer beliebigen Kategorie C verstehen wir analog als „das“ finale Objekt,
die offensichtliche Abbildung
d da dann
∼ d
auch in diesem Fall Bijektionen C(Y, i∈I Xi ) → i∈I C(Y, Xi ) liefert. Wenn wir
sagen, eine Kategorie habe Produkte oder auch nur habe endliche Produkte, so
fordern wir insbesondere implizit die Existenz eines finalen Objekts.
7.6.10. Produkte in der opponierten Kategorie heißen „Koprodukte“. Im folgenden sprechen wir diese Definition explizit aus.
Definition 7.6.11. Sei C eine Kategorie und (Xi )i∈I eine Familie von Objekten
aus C. Ein Koprodukt der Xi ist ein Datum (K, (ini )i∈I ) bestehend aus einem
Objekt K ∈ C und Morphismen ini : Xi → K derart, daß gilt: Ist Z ∈ C ein
Objekt und sind fi : Xi → Z Morphismen, so gibt es genau einen Morphismus
f : K → Z mit f ◦ ini = fi ∀i ∈ I. Wir notieren diesen Morphismus dann auch
(fi )i∈I und hoffen, daß der Leser aus dem Kontext erschließen kann, wann damit
ein Morphismus aus einem Koprodukt und wann ein Morphismus in ein Produkt
gemeint ist. Wenn es drauf ankommt, mag ein Morphismus in ein Produkt eben
als Spalte mit einem hochgestellten > notiert werdenFund ein Morphismus aus
einem Koprodukt als Zeile. Wir notieren Koprodukte i∈I Xi , bei endlich vielen
Faktoren auch X1 t . . . t Xn .
Beispiel 7.6.12 (Disjunkte Vereinigungen von Mengen). Das Koprodukt in der
Kategorie der Mengen über eine beliebige Familie (Xi )i∈I von Mengen heißt ihre
259
disjunkte Vereinigung
G
i∈I
Xi :=
[
(Xi × {i})
i∈I
Das Anhängen der Indizes auf der rechten Seite ist hier nur eine Vorsichtsmaßnahme für den Fall, daß unsere Mengen nicht disjunkt gewesen sein sollten. Jede derartige
disjunkte Vereinigung ist versehen mit Inklusionsabbildungen inj : Xj →
F
i∈I Xi . Weiter können wir
F für beliebige Abbildungen fi : Xi → Z in eine Menge Z die Abbildung f : i∈I Xi → Z bilden durch die Vorschrift f (x) = fi (x)
für x ∈ Xi , und jede Abbildung der disjunkten Vereinigung in eine Menge Z ist
von dieser Form mit fi = f ◦ ini . In Formeln ausgedrückt liefert das Vorschalten
der Injektionen also für jede Menge Z eine Bijektion
∼ d
F
Ens i∈I Xi , Z →
i∈I Ens(Xi , Z)
f
7→
(f ◦ ini )
Die disjunkte Vereinigung von endlich vielen Mengen X1 , . . . , Xn notieren wir
auch X1 t . . . t Xn .
7.6.13 (Notation disjunkter Vereinigungen). Gegeben
eine Familie
(Xi )i∈I von
S
F
Teilmengen einer Menge X schreiben wir statt i∈I Xi auch i∈I Xi , wenn wir
zusätzlich andeuten wollen, daß unsere Teilmengen paarweise disjunkt sind. In
der Tat ist die Eigenschaft, paarweise Fdisjunkt zu sein, ja gleichbedeutend
daF
∼
X
X
→
X
eine
Bijektion
zu,
daß
die
offensichtliche
Abbildung
i →
i
i∈I
i∈I
S
i∈I Xi liefert. In derselben Weise verwenden wir bei endlich vielen Teilmengen
X1 , . . . , Xn einer gegebenen Menge die Notation X1 t . . . t Xn . In der Literatur
werden statt t alternativ auch die Symbole ∪· und ] verwendet.
Vorschau 7.6.14. Das Koprodukt in der Kategorie der Vektorräume über einem
vorgegebenen Körper heißt auch die „direkte Summe“ und wird in 7.7.4 besprochen.
Definition 7.6.15. Ein Funktor F : A → B heißt verträglich mit beliebigen
Produkten genau dann, wenn für jedes Produkt (P, (pi )i∈I ) einer Familie (Xi )i∈I
von Objekten von A das Datum (F (P ), (F (pi ))i∈I ) ein Produkt in B der Familie
(F (Xi ))i∈I ist. Gilt das nur für Produkte endlicher Familien, so sagen wir, unser
Funktor sei verträglich mit endlichen Produkten. Dual erklären wir die Verträglichkeit mit beliebigen bzw. endlichen Koprodukten.
Beispiel 7.6.16. Sei K ein Körper. Der vergeßliche Funktor ModK → Ens ist verträglich mit beliebigen Produkten, aber nicht mit beliebigen, ja noch nicht einmal
mit endlichen Koprodukten.
260
Vorschau 7.6.17. Für die algebraisch Gebildeten unter Ihnen sei bemerkt, daß in
der Kategorie Kring der kommutativen Ringe das Tensorprodukt über Z im Sinne
von ?? ein Koprodukt ist, sofern die Multiplikation auf A ⊗ B durch (a ⊗ b)(a0 ⊗
b0 ) = aa0 ⊗ bb0 erklärt wird und die kanonischen Morphismen durch a 7→ a ⊗ 1
und b 7→ 1 ⊗ b.
Übungen
Übung 7.6.18. Man präzisiere und zeige die „Assoziativität“ von Produkten, die
die Formel (X × Y ) × Z ∼
= X × (Y × Z) andeutet.
Ergänzende Übung 7.6.19. Sei K ein Körper. Man zeige, daß in der Kategorie der
K-Kringalgebren das Tensorprodukt ein Koprodukt ist, sofern die Multiplikation
auf A ⊗ B durch (a ⊗ b)(a0 ⊗ b0 ) = aa0 ⊗ bb0 erklärt wird und die kanonischen
Morphismen durch a 7→ a ⊗ 1 und b 7→ 1 ⊗ b. Man zeige weiter, daß die analoge
Aussage in der Kategorie der K-Ringalgebren nicht richtig ist.
Ergänzende Übung 7.6.20. Sei K ein Körper. Man zeige, daß der auf Objekten
durch X 7→ Ens(X, K) gegebene Funktor
{Endliche Mengen} → {K-Kringalgebren}opp
verträglich ist mit endlichen Produkten.
Übung 7.6.21. Man zeige, daß in der Kategorie der kommutativen Monoide das
Produkt M × N zusammen mit in1 : M → M × N , m 7→ (m, 0) und in2 : N →
M × N , m 7→ (0, n) ein Koprodukt ist.
7.7
Summen und Produkte von Vektorräumen*
Definition 7.7.1. Gegeben eine Familie (Vi )i∈I von Vektorräumen
über einem
d
Körper K bilden wir zwei neue K-Vektorräume,
ihr Produkt Vi und ihre diL
rekte Summe oder kurz Summe
Vi durch die Regeln
d
:= {(vi )i∈I | vi ∈ Vi }
i∈I Vi
L
i∈I Vi := {(vi )i∈I | vi ∈ Vi und nur endlich viele vi sind nicht null}
Die Vektorraumstruktur ist dabei komponentenweise zu verstehen. Dieselben Konstruktionen sind auch im Fall von Gruppen sinnvoll, wenn wir „null“ als das jeweilige neutrale Element verstehen, und wir werden beide Konstruktionen auch
in diesem Kontext verwenden.
7.7.2. Für eine endliche Familie von Gruppen oder Vektorräumen V1 , . . . , Vs stimmen die direkte Summe und das Produkt überein. Wir benutzen dann alternativ die
beiden Notationen
V1 ⊕ . . . ⊕ Vs = V1 × . . . × Vs
261
Beispiel 7.7.3 (Summe und Produkt konstanter Familien). Im Fall der konstanten Familie (K)x∈X erhalten wir einen Isomorphismus des freien Vektorraums
über X im Sinne von ?? mit unserer direkten Summe
M
∼
KhXi →
K
x∈X
P
vermittels der Abbildungsvorschrift x∈X ax x 7→ (ax )x∈X . Auch im Fall einer
allgemeineren konstanten Familie (V )x∈X erhalten wir einen Vektorraumisomorphismus
l
∼
Ens(X, V ) →
V
x∈X
vermittels der Abbildungsvorschrift f 7→ (f (x))x∈X .
7.7.4 (Universelle Eigenschaften von Summe und Produkt). Das Produkt bzw.
die Summe haben im Fall von Vektorräumen oder allgemeiner von abelschen
Gruppen die folgenden Eigenschaften: Die offensichtlichen Einbettungen und Projektionen sind Homomorphismen
M
l
ini : Vi ,→
Vi
bzw.
pri :
Vi Vi
i∈I
i∈I
und ist V ein weiterer K-Vektorraum, so induzieren die durch Vorschalten der ini
bzw. Nachschalten der pri gegebenen Abbildungen Bijektionen, ja sogar Isomorphismen
∼ d
L
→
HomK
i∈I HomK (Vi , V )
i∈I Vi , V
f
7→
(f ◦ ini )i∈I
∼ d
d
HomK V, i∈I Vi →
i∈I HomK (V, Vi )
f
7→
(pri ◦f )i∈I
Im Fall nichtabelscher Gruppen ist nur die Zweite dieser Abbildungen eine Bijektion. Ich gebe zu, daß das Symbol ini nun in zweierlei Bedeutung verwendet
wird: Einmal bei Mengen für die Einbettung in eine disjunkte Vereinigung und
ein andermal bei Vektorräumen für die Einbettung in eine direkte Summe. Was
jeweils gemeint ist, muß aus dem Kontext erschlossen werden. Betrachten wir im
Fall des ersten Isomorphismus speziell den Fall V = K, so erhalten wir einen
Isomorphismus zwischen dem Dualraum einer direkten Summe und dem Produkt
der Dualräume der Summanden.
7.7.5. Gegeben eine Familie (Vi )i∈I von Untervektorräumen eines Vektorraums
V bezeichnet man den von ihrerP
Vereinigung erzeugten Untervektorraum auch
als ihre Summe und notiert ihn i∈I Vi . Diese Summe L
kann auch interpretiert
werden als das Bild des natürlichen Homomorphismus i∈I Vi → V von der
262
direkten Summe nach V . Ist dieser Homomorphismus injektiv, so sagen wir, die
Summe der Untervektorräume Vi sei direkt.
7.7.6. Untervektorräume V1 , V2 eines Vektorraums V sind komplementär als Untervektorräume genau dann, wenn die durch die Einbettungen gegebene lineare
Abbildung aus ihrem Koprodukt in der Kategorie der Vektorräume alias ihrer di∼
rekten Summe ein Isomorphismus V1 t V2 = V1 ⊕ V2 → V ist. Da Koprodukte eh
nur wohlbestimmt sind bis auf eindeutigen Isomorphismus, schreiben wir im Fall
komplementärer Untervektorräume auch abkürzend V1 ⊕ V2 = V .
Übungen
Ergänzende Übung 7.7.7 (Basis einer direkten Summe). Ist (Vi )i∈I eine Familie von Vektorräumen und Bi ⊂ Vi jeweils eine Basis, so ist die
S
LVereinigung
i∈I ini (Bi ) der Bilder ihrer Basen eine Basis der direkten Summe
i∈I Vi . Diese
Basis
ist
auch
in
offensichtlicher
Bijektion
zur
disjunkten
Vereinigung
von Basen
F
i∈I Bi .
Ergänzende Übung 7.7.8. Man zeige, daß für jeden Endomorphismus f eines Vektorraums V über einem Körper K die Einbettungen der Haupträume eine Injektion
M
Hau(f ; λ) ,→ V
λ∈K
liefern. Der Hauptraum Hau(f ; λ) ist hier im Fall, daß λ kein Eigenwert von f ist,
als der Nullraum zu verstehen.
Ergänzende Übung 7.7.9. Ich erinnere daran, daß ein Endomorphismus eines Vektorraums nach ?? diagonalisierbar heißt, wenn unser Vektorraum von den Eigenvektoren des besagten Endomorphismus erzeugt wird. Man zeige, daß ein Endomorphismus f eines Vektorraums V über einem Körper K genau dann diagonalisierbar ist, wenn V in die Summe seiner Eigenräume zerfällt, in Formeln
M
∼
Eig(f ; λ) → V
λ∈K
wobei der Eigenraum Eig(f ; λ) in dem Fall, daß λ kein Eigenwert ist, als der
Nullraum zu verstehen ist.
Ergänzende Übung 7.7.10 (Simultane Eigenraumzerlegung). Seien V ein Vektorraum und T ⊂ End V ein endlichdimensionaler Untervektorraum seines Endomorphismenraums, der aus diagonalisierbaren und paarweise kommutierenden
Endomorphismen besteht. So besitzt V unter T eine „simultane Eigenraumzerlegung“
M
V =
Vλ
λ∈T ∗
263
in die „simultanen Eigenräume“ Vλ := {v ∈ V | xv = λ(x)v ∀x ∈ T }. Hinweis:
Sei x0 , . . . , xn eine Basis von T . Da x0 diagonalisierbar ist, zerfällt V in Eigenräume unter x0 . Da die xi für i ≥ 1 mit x0 kommutieren, stabilisieren sie dessen
Eigenräume. Nach ?? sind die xi auch auf diesen Eigenräumen diagonalisierbar.
Eine Induktion beendet den Beweis.
Ergänzende Übung 7.7.11. Gegeben ein Vektorraum V und eine Familie von Vektorräumen (Wi )i∈I liefert die kanonische Abbildung stets einen Isomorphismus
M M
∼
V ⊗
Wi →
(V ⊗ Wi )
Analoges gilt für den anderen Tensorfaktor. Für jeden K-Vektorraum V ist in
anderen Worten der Funktor V ⊗ : ModK → ModK verträglich mit beliebigen
Koprodukten.
Ergänzende Übung 7.7.12. Gegeben ein Vektorraum V und eine Familie von Vektorräumen (Wi )i∈I liefert die kanonische Abbildung stets eine Injektion
l l
V ⊗
Wi ,→ (V ⊗ Wi )
Sie ist jedoch im allgemeinen kein Isomorphismus. Genauer ist sie nur dann ein
Isomorphismus, wenn entweder V endlichdimensional ist oder wenn nur für endlich viele i der zugehörige Vektorraum Wi von Null verschieden ist. Diese Übung
sagt insbesondere, daß für jeden K-Vektorraum V der Funktor V ⊗ : ModK →
ModK mit endlichen Produkten verträglich ist, und daß für jeden endlichdimensionalen K-Vektorraum V der Funktor V ⊗ : ModK → ModK mit beliebigen
Produkten verträglich ist. Hinweis: Man folgere aus ?? die Injektivität der Kom>
position
V >> ⊗W → Hom(V
, W ) und bette beide Seiten verträglich
d V ⊗W →
d
∼
>
>
ein in Hom(V , Wi ) → Hom(V , Wi ).
7.8
Algebren*
7.8.1. Sei K ein Körper. Ganz allgemein bezeichnet man einen K-Vektorraum A
mit einer bilinearen Verknüpfung A×A → A als eine K-Algebra und versteht unter einem Algebrenhomomorphismus in eine weitere K-Algebra eine K-lineare
Abbildung, die mit den jeweiligen Verknüpfungen verträglich ist. Gegeben zwei
K-Algebren A, B bezeichnen wir mit AlgK (A, B) die Menge der Algebrenhomomorphismen von A nach B. Ist die Verknüpfung einer Algebra assoziativ, so
spricht man von einer assoziativen Algebra. Üblich ist in diesem Zusammenhang
die Konvention, daß man eine Algebra stets als assoziativ versteht, wenn aus dem
Kontext nichts anderes hervorgeht. Gibt es für diese Verknüpfung ein neutrales
Element, so spricht man von einer unitären Algebra und nennt das fragliche Element das Eins-Element. Eine Algebra ist also genau dann assoziativ und unitär,
264
wenn die zugrundeliegende Menge mit der Vektorraum-Addition als Addition und
der bilinearen Verknüpfung als Multiplikation ein Ring ist. Ich schlage deshalb
vor, derartige Algebren Ringalgebren und im Fall, daß sie auch noch kommutativ sind, Kringalgebren zu nennen. Unter einem Homomorphismus von Ringalgebren verstehen wir einen Algebrenhomomorphismus, der auch ein Ringhomomorphismus ist. Wir können diese Abbildungen sowohl charakterisieren als Algebrenhomomorphismen, die das Einselement auf das Einselement werfen, als auch
als Ringhomomorphismen, die über dem Grundkörper linear sind. Wir vereinbaren für die Menge der Ringalgebrenhomomorphismen von einer K-Ringalgebra
A in eine K-Ringalgebra B die Notation RalgK (A, B).
Beispiel 7.8.2. Sei K ein Körper. Der Polynomring K[X] ist eine K-Ringalgebra, ja eine K-Kringalgebra. Dasselbe gilt für Polynomringe in mehreren Variablen. Gegeben ein K-Vektorraum V ist der Endomorphismenring End V eine K-Ringalgebra. Dasselbe gilt für die Matrizenringe Mat(n; K). Eine weder
assoziative noch unitäre Algebra wäre etwa Mat(n; K) mit der bilinearen Verknüpfung (A, B) 7→ [A, B] := AB − BA. Der Vektorraum Mat(n; K) mit dieser Verknüpfung gehört zu einem speziellen Typ von Algebren, den sogenannten
„Lie-Algebren“. Mit dieser Struktur heißt er auf englisch die „general linear Liealgebra“ und wird gl(n; K) notiert. Die Lie-Algebren spielen eine zentrale Rolle
beim Studium von abgeschlossenen Untergruppen der GL(n; R) und ganz allgemein beim Studium von „kontinuierlicher Symmetrie“.
7.8.3 (Diskussion der Terminologie). Für den Begriff einer Algebra sind in der
Literatur leider auch viele andere Konventionen gebräuchlich, bei denen mehr
oder weniger der oben explizit aufgeführten zusätzlichen Eigenschaften bereits
für eine Algebra mit gefordert werden.
7.8.4. Eine Unteralgebra einer Algebra ist ein unter der Verknüpfung stabiler
Untervektorraum. Eine Unterringalgebra einer Ringalgebra ist ein unter der Verknüpfung stabiler Untervektorraum, der das Eins-Element enthält. Beide Begriffsbildungen ordnen sich der allgemeinen wenn auch etwas vagen Begriffsbildung ??
eines „Unterdings“ unter.
7.8.5. Sei V ein Vektorraum. Die direkte Summe
^
V =
r
M^
V
r≥0
der äußeren Potenzen von V wird mit dem „bilinear erweiterten“ Dachprodukt
aufgrund der
V0Assoziativität des Dachprodukts eine Ringalgebra mit Eins-Element
1 ∈ K =
V . Sie heißt die äußere Algebra oder auch Graßmann-Algebra
∼ V
des Vektorraums V . Die offensichtliche Identifikation V → 1 V notieren wir
kurzerhand v 7→ v und behandeln sie auch sprachlich als Gleichheit. Gegeben
265
V
v ∈ V gilt in 2 V wegen v ⊗ v ∈ J2 natürlich v ∧ v = 0. Mit ?? folgt daraus in
der Graßmann-Algebra die Identität
v ∧ w = −w ∧ v ∀v, w ∈ V
V
V
V
Unsere Abbildungen r f : r V → r W liefern in ihrer Gesamtheit einen
Ringhomomorphismus
^
^
^
f:
V →
W
V
V
V
V
Natürlich gilt auch (f ◦ g) = ( f ) ◦ ( g) und (id) = id.
Ergänzung 7.8.6. Sei V ein Vektorraum über einem Körper K. Eine weitere
Ringalgebra, die man jedem K-Vektorraum in natürlicher Weise zuordnen kann,
ist die sogenannte Tensoralgebra TK V über V . Sie ist definiert als
M
T(V ) = TK V = TenK V :=
V ⊗r = K ⊕ V ⊕ (V ⊗ V ) ⊕ (V ⊗ V ⊗ V ) ⊕ . . .
r≥0
mit der K-bilinearen Multiplikation „Zusammentensorieren“, die festgelegt wird
durch die Vorschrift (v1 ⊗. . .⊗vr )·(w1 ⊗. . .⊗wt ) = (v1 ⊗. . . vr ⊗w1 ⊗. . .⊗wt ).
Für die K-lineare Einbettung can : V ,→ TK V des zweiten Summanden gilt
dabei die folgende universelle Eigenschaft: Ist A eine K-Ringalgebra und ϕ :
V → A eine K-lineare Abbildung, so gibt es genau einen Homomorphismus von
K-Ringalgebren ϕ̂ : TK V → A mit ϕ = ϕ̂ ◦ can, im Diagramm
V EE / TK V
EE
EE
ϕ̂
ϕ EEE
" A
can
In der Tat sieht man leicht, daß die Vorschrift ϕ̂(v1 ⊗ . . . ⊗ vr ) := ϕ(v1 ) . . . ϕ(vr )
das einzig mögliche ϕ̂ liefert. In wieder anderen Worten liefert also das Vorschalten der kanonischen Einbettung für jede K-Ringalgebra A eine Bijektion
◦ can
∼
RalgK (TV, A) → HomK (V, A)
Ist (xλ )λ∈Λ eine Basis von V , so bilden nach ?? die „nichtkommutierenden Monome in den xλ “ alias die Tensoren xλ(1) ⊗ . . . ⊗ xλ(r) für beliebige r ∈ N und
beliebige Abbildungen λ : {1, 2, . . . , r} → Λ eine K-Basis der Tensoralgebra
TV . Das „leere Monom“ mit r = 0 steht dabei für das Einselement. In diesem
Sinne kann man die Tensoralgebra also salopp gesprochen auch als einen „Polynomring in nichtkommutierenden Variablen“ auffassen. Mehr dazu wird in ??
erklärt.
266
Vorschau 7.8.7. Es gibt noch eine dritte Ringalgebra, die man jedem Vektorraum
V in natürlicher Weise zuordnen kann. Diese sogenannte „symmetrische Algebra“ SV diskutieren wir in ??. In ?? diskutieren wir auch die Beschreibung der
Graßmann-Algebra vom höheren Standpunkt als „Quotient der Tensoralgebra TV
nach dem von allen v ⊗ v mit v ∈ V erzeugten Ideal“.
7.9
Yoneda-Lemma*
7.9.1. Einen Funktor von einer Kategorie C in eine Kategorie von Mengen nennen
wir kurz einen Mengenfunktor auf C. Gegeben ein Mengensystem U und eine UKategorie bildet die Menge aller Funktoren C → UEns mit den Transformationen
als Morphismen eine Kategorie Cat(C, UEns). Jedes Objekt X ∈ C liefert einen
derartigen Mengenfunktor X̌ = X ∨ gegeben durch X̌ : A 7→ C(X, A).
Proposition 7.9.2 (Yoneda-Lemma). Seien U ein Mengensystem, C eine U-Kategorie, X ∈ C ein Objekt und F : C → UEns ein Mengenfunktor auf C. So liefert
die Abbildungsvorschrift τ 7→ τX (idX ) eine Bijektion
∼
Cat(C, UEns)(X̌, F ) → F (X)
zwischen der Menge aller Transformationen X̌ ⇒ F und der Menge F (X).
7.9.3. Die zur Kategorie dieser Mengenfunktoren auf C opponierte Kategorie
C ∨ = CU∨ := Cat(C, UEns)opp
kann man als eine „Vervollständigung“ von C interpretieren. In der Tat liest sich
∼
unser Yoneda-Lemma in dieser Notation als eine Bijektion C ∨ (F, X̌) → F (X).
∼
Spezialisieren wir zu F = Y̌ , so erhalten wir eine Bijektion C ∨ (Y̌ , X̌) → C(Y, X),
von der man leicht zeigt, daß sie zur offensichtlichen Abbildung C(Y, X) →
C ∨ (Y̌ , X̌) invers ist. So folgt, daß die Vorschrift X 7→ X̌ einen volltreuen Funk∼
tor C ,→ C ∨ induziert. Im weiteren lassen wir das Mengensystem U wieder in den
Hintergrund treten und ignorieren es meist in unserer Notation.
Ergänzung 7.9.4. Die hier verwendeten Notationen C ∨ und das später eingeführte
C ∧ sind genau umgekehrt wie in [KS90]. Dafür stimmt die Notation C ∧ dann mit
der in [Gro72] verwendeten Notation überein.
7.9.5 (Das Yoneda-Lemma im Fall einer Ein-Objekt-Kategorie). Im Spezialfall einer Ein-Objekt-Kategorie C = [G] mit einzigem Objekt X ist das YonedaLemma besonders leicht einzusehen: Es besagt dann im Lichte von 7.3.15, daß
die äquivarianten Abbildungen von einem Monoid G in eine beliebige G-Menge
F festgelegt und festlegbar sind durch das Bild des neutralen Elements.
267
Beweis. Wir konstruieren zunächst eine Abbildung in die andere Richtung. Für
beliebiges a ∈ F (X) betrachten wir dazu die Abbildungen
τY : C(X, Y ) → F (Y )
f
7→ (F f )(a)
Man prüft ohne Schwierigkeiten, daß sie eine Transformation τ : X̌ ⇒ F bilden,
die wir mit τ̂ (a) bezeichnen. Jetzt gilt es nur noch zu zeigen, daß die Abbildung
a 7→ τ̂ (a) invers ist zu unserer Abbildung τ 7→ â(τ ) := τX (idX ) aus der Proposition. Dafür müssen wir also prüfen, daß gilt a = â(τ̂ (a)) für alle a ∈ F (X)
und τ = τ̂ (â(τ )) für alle Transformationen τ : X̌ ⇒ F . Das überlassen wir dem
Leser.
Definition 7.9.6. Diejenigen Mengenfunktoren auf C, die isomorph sind zu Mengenfunktoren im Bild von C → C ∨ , heißen darstellbare Funktoren. Ist ein Mengenfunktor F : C → Ens isomorph zu X̌ = C(X, ) für ein X ∈ C, so sagen
wir, der Funktor F werde dargestellt durch das Objekt X. Ist noch genauer
F : C → Ens ein Mengenfunktor und X ∈ C ein Objekt und a ∈ F (X) ein
Element, das unter der Bijektion aus dem Yoneda-Lemma einer Isotransformati∼
on C(X, ) ⇒ F entspricht, so sagen wir, der Funktor F werde strikt dargestellt durch das Paar (X, a). Ausgeschrieben bedeutet das, daß die Vorschrift
∼
f 7→ (F f )(a) für alle Y ∈ C eine Bijektion C(X, Y ) → F (Y ) liefert. Oft lassen
wir das „strikt“ aber auch weg.
Beispiel 7.9.7. Der Vergißfunktor ModK → Ens von den K-Vektorräumen in
die Mengen wird dargestellt durch das Paar (K, 1) oder auch durch jeden anderen
eindimensionalen Vektorraum zusammen mit einem beliebigen von Null verschiedenen Element.
Beispiel 7.9.8. Der Vergißfunktor Grp → Ens von den Gruppen in die Mengen
wird dargestellt durch das Paar (Z, 1) oder auch durch jedes andere Paar (Z, e)
bestehend aus einer unendlich zyklischen Gruppe und einem Erzeuger.
Beispiel 7.9.9 (Das Tensorprodukt als Darstellung eines Funktors). Seien K
ein Körper und V, W zwei K-Vektorräume. Der Funktor der bilinearen Abbildun(2)
gen ModK → Ens, L 7→ HomK (V × W, L) wird dargestellt durch das Paar
(V ⊗ W, τ ) mit τ : V × W → V ⊗ W der kanonischen bilinearen Abbildung aus
??. Diese Aussage ist nur eine Umformulierung der universellen Eigenschaft des
Tensorprodukts aus ??.
7.9.10. In derselben Weise kann man für jede U-Kategorie C auch die Kategorie
C ∧ = CU∧ := Cat(C opp , UEns)
268
aller kontravarianten Funktoren C → UEns betrachten und erhält mit X 7→
∼
C( , X) eine volltreue Einbettung C ,→ C ∧ . Wieder heißen die Funktoren im
Bild dieser Einbettung darstellbare Funktoren. Die Objekte von C ∧ werden Ihnen sehr viel später vielleicht einmal unter der Bezeichnung als „mengenwertige
Prägarben auf C“ wieder begegnen. Notieren wir wieder zu X ∈ C mit X̂ ∈ C ∧
den zugehörigen Funktor X̂ : A 7→ C(A, X), so liefert diesmal das Auswerten
∼
auf idX eine Bijektion C ∧ (X̂, F ) → F (X).
Ergänzung 7.9.11. Gegeben eine Kategorie C kann man leicht Isomorphismen
∼
∼
von Kategorien (C ∨ )opp → (C opp )∧ und (C ∧ )opp → (C opp )∨ angeben. In diesem
Sinne sind unsere beiden Konzepte zueinander dual.
Vorschau 7.9.12. Ein Zugang zu der von Grothendieck konstruierten Kategorie
der Schemata ist es, diese Kategorie zu realisieren als volle Unterkategorie der
Kategorie Kring∨ , die wir erhalten, wenn wir die Kategorie der kommutativen
Ringe mit der nötigen Sorgfalt bei Fragen der Mengenlehre in der oben erklärten Weise vervollständigen. Der affine Raum der Dimension n wird dann zum
Beispiel definiert als der Funktor, der jedem kommutativen Ring R die Menge
Rn zuordnet, und der projektive Raum der Dimension n als der Funktor, der jedem kommutativen Ring R die Menge derjenigen direkten Summanden D des
R-Moduls Rn+1 zuordnet, die „vom Rang Eins“ sind in dem Sinne, daß „bei jedem Primideal p ⊂ R ihre Lokalisierung Dp ein freier Rp -Modul vom Rang Eins
ist“. Man kann mit Schemata so effizient und geometrisch arbeiten, daß sie mittlerweile zum eigentlichen Arbeitspferd der sogenannten „algebraischen Geometrie“
geworden sind.
Übungen
Übung 7.9.13 (Eindeutigkeit darstellender Objekte). Wird ein Mengenfunktor
F : C → Ens strikt dargestellt durch das Paar (X, a) und durch das Paar (Y, b), so
∼
gibt es genau einen Isomorphismus i : X → Y mit der Eigenschaft F (i) : a 7→ b.
Übung 7.9.14. Seien K ein Körper, V ein K-Vektorraum, und U ⊂ V ein Teilraum. Welchen Mengenfunktor stellt der Quotient V /U dar?
Ergänzende Übung 7.9.15. Welchen Mengenfunktor stellt das Produkt im Sinne
von 7.9.6 dar?
Ergänzende Übung 7.9.16. Seien K ein endlicher Körper und MatK die Matrixkategorie aus 7.1.6 und U eine Menge derart, daß MatK eine U-Kategorie ist. Gilt
X ∈ U ⇒ |X| < ∞, so liefert der offensichtliche Funktor
MatK → Mat∧K = Cat(Matopp
K , UEns)
269
eine Äquivalenz von MatK mit der vollen Unterkategorie aller mit endlichen Produkten verträglichen Funktoren. Gibt es zwar unendliche, aber keine überabzählbaren Mengen X ∈ U, so ist die volle Unterkategorie aller mit endlichen Produkten verträglichen Funktoren aus Mat∧K äquivalent zur Kategorie aller abzählbaren
K-Vektorräume. Analoge Aussagen gelten für andere Kardinalitäten und mutatis
mutandis auch für unendliche Körper.
7.10
Universen*
7.10.1. Um diese Leitplanken zur Vermeidung logischer Abstürze zu beschreiben,
erfinde ich das Wort Mengel als zusammenfassende Bezeichnung für Mengen
und Elemente von Mengen, die ja in unserer Terminologie selbst wieder Mengen
sein dürfen, aber eben nicht sein müssen. Diese Terminologie ist allerdings nicht
gebräuchlich.
7.10.2. Baut man die Mengenlehre im Rahmen der Logik systematisch auf, vergleiche etwa [Ebb94], so verwendet man statt unserem „Mengel“ schlicht das
Wort Menge. Weil man aber dennoch nicht auf die Annahme verzichten will,
daß zwei Mengen gleich sind genau dann, wenn sie dieselben Elemente haben,
kann es dann nur eine einzige Menge geben, die kein Element hat, man notiert sie
wieder ∅.
Definition 7.10.3. Ein Universum ist eine Menge U mit den folgenden Eigenschaften:
1. x ∈ M und M ∈ U implizieren x ∈ U;
2. x ∈ U ⇒ {x} ∈ U;
3. A ∈ U ⇒ P(A) ∈ U;
4. Gegeben I ∈ U und eine Abbildung f : I → U gilt
S
f
(i)
∈ U.
i∈I
Ergänzung 7.10.4 (Diskussion der Terminologie). Diese Definition steht fast genauso bei Grothendieck [Gro72, Exposé I]. Abweichend will Grothendieck nur
die leere Menge nicht als Universum zulassen und fordert statt unserer zweiten
Bedingung scheinbar stärker x, y ∈ U ⇒ {x, y} ∈ U. Da jedoch für jedes nichtleere Universum gilt ∅ ∈ U, und folglich {∅} ∈ U und {∅, {∅}} ∈ U, ergibt
sich das wegen {x, y} = {x} ∪ {y} aus dem letzten Axiom, angewandt auf die
Abbildung f : {∅, {∅}} → U mit f (∅) = {x} und f ({∅}) = {y}.
7.10.5 (Elemente eines Universums versus Teilmengen eines Universums).
Gegeben ein Universum U gilt es genau zu unterscheiden zwischen Mengeln
x ∈ U, die also Elemente des Universums sind, und Mengeln M ⊂ U, die nur
270
Teilmengen des Universums sind. Nach Axiom 1 ist jedes Element eines Universums, wenn es denn eine Menge ist, auch eine Teilmenge besagten Universums,
aber das Umgekehrte gilt nicht. Die Formel M := {x ∈ U | x 6∈ x} definiert dann
eine Teilmenge M ⊂ U, die kein Element von U zu sein braucht, und die Formel
A := {M ⊂ U | M 6∈ M } definiert eine Menge A, die nicht Teilmenge von U
zu sein braucht, so daß keine dieser beiden Formeln auf den in ?? beschriebenen
Widerspruch führt.
7.10.6 (Stabilitäten eines Universums). Wenn wir mit Kuratowski (x, y) :=
{x, {y}} setzen, erhalten wir sofort x, y ∈ U ⇒ (x, y) ∈ U. Das Produkt von
je zwei Mengen, die Elemente unseres Universums sind, ist auch selbst Element
unseres Universums, zum Beispiel indem wir die Vereinigung erst über alle x ∈ X
und dann über alle y ∈ Y der Mengen {(x, y)} bilden. Weiter ist mit je zwei Mengen X, Y ∈ U auch die Menge d
der Abbildungen Ens(X, Y ) Element von U und
dasselbe gilt für jedes Produkt i∈I Xi mit I ∈ U und Xi ∈ U für alle i ∈ I.
Ebenso folgt, daß jede Teilmenge eines Elements unseres Universums wieder ein
Element unseres Universums ist.
7.10.7 (Existenz von Universen). Die Annahme, daß jede Menge Element eines
Universums ist, müssen wir der Mengenlehre als zusätzliches Axiom hinzufügen.
Es scheint nicht auf Widersprüche zu führen, hat aber die bemerkenswerte Konsequenz, daß es zu jeder Menge ein kleinstes Universum gibt, zu dem sie als Element
gehört, eben den Schnitt aller Universen, zu dem sie als Element gehört. Insbesondere ist natürlich auch jedes Universum Element eines Universums. Gegeben ein
Körper k und ein Universum U mit k ∈ U können wir dann auf der Kategorie
k - UMod der k-Vektorräume, deren zugrundeliegende Menge zu U gehört, in der
Tat den Dualraumfunktor erklären.
271
8
Danksagung
Für Korrekturen zu vorläufigen Versionen danke ich vielen Freiburger Hörern und
Mitarbeitern, insbesondere Gregor Fritz, Gerald Höhn, Stephan Wehrheim, Isolde
Adler, Olaf Schnürer, Matthias Ansorge, David Stotz, Balthasar Burgenmeister,
272
Literatur
[Ebb94] Heinz-Dieter Ebbinghaus, Einführung in die Mengenlehre, third ed., Bibliographisches Institut, Mannheim, 1994.
[FR84] D. B. Fuks and V. A. Rokhlin, Beginner’s course in topology, Universitext, Springer-Verlag, Berlin, 1984, Geometric chapters, Translated from
the Russian by A. Iacob, Springer Series in Soviet Mathematics.
[Gro72] Alexander Grothendieck, SGA 4, Lecture Notes in Mathematics, vol.
269, 270, 305, Springer, 1972.
[Jam95] I. M. James (ed.), Handbook of algebraic topology, North-Holland,
Amsterdam, 1995.
[KS90] Masaki Kashiwara and Pierre Schapira, Sheaves on manifolds, Grundlehren, vol. 292, Springer, 1990.
[LA1] Skriptum Lineare Algebra 1; lädt man die pdf-Datei in denselben Ordner, dann sollten auch die externen Querverweise funktionieren. Am besten
funktionieren sie aber immer noch in der Gesamtdatei Öffentliche Werkbank.
[LR03] William F. Lawvere and Robert Rosebrugh, Sets for mathematics, Cambridge University Press, 2003.
[Mac98] Saunders MacLane, Categories for the working mathematician, GTM,
vol. 5, Springer, 1998.
273
Index
[M ] Ein-Objekt-Kategorie von M , 233
V
⊂ abgeschlossen in, 17, 25, 50
α ∗ β Juxtaposition von Transformationen, 249
t disjunkte Vereinigung, 260
M̄
T Abschluß von M , 25
LSchnitt, 20
→
Morphismus in Kategorie, 118, 233
→ Isomorphismus von Kategorien, 191,
242
≈
→ Äquivalenz von Kategorien, 191, 242
∼
⇒ Isotransformation, 192, 245
∼
,→ volltreuer Funktor, 241
hh ii Erzeugnis als Normalteiler, 170
Summe
von
Vektorräumen,
261
X ∨ Funktor C(X, ), 267
d
X̌ Funktor C(X, ), 267
Produkt in Kategorie, 259
B A Funktorkategorie, 193, 247
Produkt von Mengen, 258
C ↑ X freies Objekt von C über X, 225
Produkt von Vektorräumen, 261
f ◦ Morphismus in opponierter KategoC(X) := C(X, X), 235
rie, 135, 240
×
∼
C Isomorphismen in C, 237
=
∨
C , 223, 267
homöomorph, 99
C ∧ , 224, 268
YX
◦
statt C(X, Y ), 90
kartesisches Diagramm, 138
Verknüpfung von Morphismen, 117,
kokartesisches Diagramm, 140
232
⊂◦
G◦ Einskomponente
offen in metrischem Raum, 17
einer topologischen Gruppe, 81
offen in topologischem Raum, 21,
ab
G
Abelisierung, 128
49
F
Ab Kategorie der abelschen Gruppen,
F Koprodukt, 136, 259
234
disjunkte Vereinigung, 260
Abbildungsgrad
a Adjunktion, 225
bei Kreislinie, 130
π0 (Y ) Menge der WegzusammenhangsAbelisierung, 128
komponenten, 105
abgeschlossen
π1 (X, x) Fundamentalgruppe, 105
Abbildung, 64
] disjunkte Vereinigung, 260
in metrischem Raum, 17
~v + p, 33
in reellem Vektorraum, 39
f −1
in topologischem Raum, 25, 50
für inversen Morphismus, 121, 238
universell,
für stetige Abbildung, 95
f] = π1 (f ), 107
Abschluß
∪· disjunkte Vereinigung, 260
in metrischem Raum, 19
⇐ Transformation, 191, 244
in topologischem Raum, 25, 52
⇒ Transformation, 191, 244
∼
274
abstrakter Faserfunktor, 212
Abzählbarkeitsaxiom
erstes, 55
adjungiert
Funktor, 225
Adjunktion
opponierte, 211
von Funktoren, 208
äquivalent
Normen, 36
Äquivalenz
von Funktoren, 192, 245
von Kategorien, 189, 242
äquivariant, 248
Abbildung, 177
äußere Algebra, 265
Aff Kategorie der affinen Räume, 239
affin
Abbildung, 34
Raum, 33
Raum, normierter, 35
Raum, über Vektorraum, 34
unabhängig, 153
Alexander
gehörnte Sphäre, 100
Alexandroff-Topologie, 52
Alg
Kategorie der Algebren, 234
Alg Algebrenhomomorphismen, 264
Algebra, 264
Algebren-Homomorphismus, 264
amalgamiertes Produkt, 152
Aneinanderhängung
von Wegen, 103
Anfangspunkt, von Pfeil in Köcher, 254
arrow
of quiver, 255
Ausgangskategorie, 120, 238
Automorphismus
in Kategorie, 237
B(V, W ) beschränkte Operatoren, 39
BR (V, W ) beschränkte Operatoren, 39
B(x; ε) Ball in metrischem Raum, 10
Bahnenraum
topologischer, 81
balanciertes Produkt, 227
Ball, 10
Basis einer Topologie, 66
Basispunkt, 105, 120
bepunkteter Raum, 105
Berührungspunkt, 17, 53
beschränkt
Abbildung, 14
metrischer Raum, 14
Operator, 39
Betragsabstand, 8
Blätterzahl, 176
Borsuk-Ulam, 132
Bouquet von Kreislinien, 172
braid group, 215
Brouwer, Fixpunktsatz
für die Kreisscheibe, 113
Butterbrot mit Schinken
Satz vom, 133
⊂
V
abgeschlossen in
metrischem Raum, 17
topologischem Raum, 25
V
⊂ abgeschlossen in, 50
⊂◦
offen in metrischem Raum, 17
offen in topologischem Raum, 21,
49
C(X, Y ) Raum stetiger Abbildungen, 45,
90
C(X, R) stetige reellwertige Funktionen
auf X, 40
Car Kategorie der Köcher, 254
Car(Q, C), 255
carquois, 254
275
Cat, 141
Cat Kategorienkategorie, 243
Cat(A, B), 193, 247
ClX (M ) Abschluß von M , 19, 25, 52
closure, 52
CW-Komplex, 72
eigentlich diskontinuierlich, 179
Ein-Objekt-Kategorie, 235
Ein-Punkt-Kompaktifizierung, 65
Einbettung
topologische, 60
einfach
zusammenhängend, 184
∂M = ∂X M
zusammenhängend, wegweise, 106
topologischer Rand von M ⊂ X, Einheit
52
einer Adjunktion, 209
darstellbarer Funktor, 223, 224, 268, 269 Einparameteruntergruppe
Darstellung, 251
von normiertem Vektorraum, 40
eines Köchers, 255
von topologischer Gruppe, 80
de Morgan’sche Regeln, 22
Einpunktkompaktifizierung, 65
Deckbewegung, 182
Einpunktverbindung, 136
Decktransformation, 181, 182
Eins-Element
derivierte Gruppe, 128
einer Algebra, 264
Diagrammschema, 255
Einskomponente
Dimension
einer topologischen Gruppe, 81
eines affinen Raums, 33
Einszusammenhangskomponente
Dini, Satz von, 44
einer topologischen Gruppe, 81
direkte Summe
endlich
von Vektorräumen, 261
Köcher, 255
disjunkte Vereinigung, 260
Endomorphismen
diskret
in Kategorie, 235
Kategorie, 236
Endpunkt, von Pfeil in Köcher, 254
Teilmenge von topologischem Raum, ens einelementige Menge, 238
59
Ens Kategorie der Mengen, 118, 234
Topologie, 22, 49
Ens(X, Y ) Abbildungen X → Y , 119
Dreiecksidentität, 211
Ens∗ bepunktete Mengen, 234
∼
Dreiecksungleichung
Ens× (Z) Bijektionen Z → Z, 197
bei metrischen Räumen, 8
Ensb beschränkte Abbildungen, 16
erzeugt
Ecke
Topologie, 65
von Köcher, 254
étale
Ecken, 155
stetige Abbildung, 176
Eckenreduktion, 166
euklidisch
Eckenzahl, 166
Abstand auf Rn , 8
eigentlich
Norm auf Rn , 35
Gruppenwirkung, 96
Exp(t) := exp(2πit), 109
stetige Abbildung, 95
Exponentialgesetz, 93
276
Fahne
vollständige, 88
Fahnenmannigfaltigkeit, 88
Faserfunktor
abstrakter, 212
bei Überlagerung, 197
Faserprodukt
in Kategorie, 138
Faserwirkungsvergleich, 198
feinergleich
Topologie, 65
fin final, 237
final, 67, 237
Finaltopologie, 66
Fixpunktsatz von Brouwer
für die Kreisscheibe, 113
Flächenwort, 162
Fläche
nichtorientierbare, 102
orientierbare, 102
folgenabgeschlossen, 54
folgenkompakt, 41
frei
Gruppe, 147
Monoid, 146
Objekt über Menge, 225
Produkt von Gruppen, 152
topologische Gruppenwirkung, 179
Frolik-Tychonov, 96
Fundamentalgruppe, 105
basispunktfreie, 129
Fundamentalgruppe der Kreislinie, 109
Funktor, 119, 238
darstellbarer, 223, 224, 268, 269
linksadjungierter, 225
quasiinverser, 194, 250
rechtsadjungierter, 225
Funktorkategorie, 193, 247
Galois, 182
gehörnte Sphäre, 100
Geschlecht, 102
geschlossen
Weg, 103
geschlossene Fläche, 100
geschlossene kombinatorische Fläche, 158
geschlossene Mannigfaltigkeit, 100
gleichmäßig stetig
Abbildung metrischer Räume, 32
~ lineare Ähnlichkeiten, 253
GO(E)
~ lineare Ähnlichkeiten, 252
GO(E)
GO(p, q), 84
Graßmann-Algebra, 265
Grenzwert
von Abbildung, 29
von Folge
in metrischem Raum, 14
grober Modulraum, 225
gröber
Topologie, 65
größergleich
Topologie, 65
großen Diagonale, 215
groupe de tresses, 215
Grp Kategorie der Gruppen, 234
Gruppe
Erzeugende und Relationen, 170
Gruppoid, 119, 236
fundamentales, 119
Häufungspunkt
externer, 29
interner, 29
von topologischem Raum, 27
Hausdorff, 54
Hausdorff, relativ, 98
Hausdorff-Raum, 27
Hausdorffgruppe, 79
Heine-Borel, 31
Henkelelimination, 168
Hochhebung, 110, 181
homöomorph, 51
277
für Teilmengen des Rn , 99
in Kategorie, 119, 236
Homöomorphismus, 51
Isomorphieklasse, 236
für Teilmengen des Rn , 99
Isomorphismenkategorie, 237
Homomorphismus
Isomorphismus
von Ringalgebren, 265
in Kategorie, 119, 236
von Funktoren, 192, 245
homotop, 116
mit festen Randpunkten, 103, 116
von Kategorien, 191, 242
Homotopie
Isotransformation, 192, 245, 255
relative, 116
Juxtaposition, 249
von Abbildungen, 116
Homotopieäquivalenz
kanonisch
topologische, 119
Abbildung, 192, 246
Homotopiekategorie
Isomorphismus, 192, 246
topologische bepunktete, 121
kanonische Abbildung, 146, 148
Homotopieklasse, 116
kartesisch
Hot∗
Diagramm, 137
Homotopiekategorie, topologische be- Produkt
punktete, 121
von beliebig vielen Mengen, 258
Id Identitätsfunktor, 239
identische Transformation, 193, 246
Identität auf X, 117, 232
Identitätsfunktor, 239
Igel, Satz vom, 113
in, Morphismus in Koprodukt, 262
induzierte Metrik, 10
induzierte Topologie, 23, 49
initial, 237
stetige Abbildung, 71
Initialtopologie, 71
innerer Punkt einer Teilmenge
eines topologischen Raums, 53
Inneres, in topologischem Raum, 52
interior, 52
invers
Morphismus, 121, 238
Weg, 103
Iso
in Kategorie, 119, 236
isomorph
Funktoren, 192, 245
Kategorie, 117, 232
U-Kategorie, 222, 243
diskrete, 236
Klassifikationsprobleme, 236
Klein’sche Flasche, 100
kleinergleich
Topologie, 65
Klumpentopologie, 22, 49
Kodimension
einer Untermannigfaltigkeit, 219
Köcher, 254
Koeinheit
einer Adjunktion, 209
koendliche Topologie, 52
kofinal, 237
Kofinaltopologie, 71
koinduziert
G-Menge, 227
kokartesisch
Diagramm, 139
kombinatorische Fläche, 158
kombinatorische Fläche ohne Rand, 158
278
Kommutator
in metrischem Raum, 14
in Gruppe, 128
in topologischem Raum, 27
kompakt
limx→p Grenzwert von Abbildung
erzeugt, 94
von topologischen Räumen, 29
metrischer Raum, 30
lineare Anteil, 34
linksadjungiert
relativ, 63
topologischer Raum, 41, 62
global, 225
kompakt-offene Topologie, 90
partiell, 225
Kompaktum, 30
linksadjungierter Funktor, 225
Komponente
lokal endlich
Wegzusammenhangskomponente, 58
Mengensystem, 73
Simplizialkomplex, 160
Komponentengruppe, 84
KongEb Kategorie der Kongruenzebe- lokal kompakt, 91
nen, 239
lokal wegzusammenhängend, 203
Konjugationsklassen
lokal zusammenziehbar, 203
von Untergruppen, 177
Lusternik-Schnirelmann, 134
konstant
Mannigfaltigkeit
Weg, 103
topologische, 60
kontravarianter Funktor, 240
Mat
Matrixkategorie, 191, 235
Konvergenz
Matrixkategorie, 191, 235
gleichmäßige
Maximumsnorm, 35
von Abbildungen in metrischen Raum,
Menge
16
im Sinne der Logik, 270
punktweise
Mengel,
270
von Abbildungen in metrischen Raum,
Mengenfunktor, 222, 267
16
von Folge in metrischem Raum, 14 Metrik, 8
der gleichmäßigen Konvergenz, 16
Koprodukt, 136, 259
zu Norm, 35
Kowinkel, 140
metrische
Topologie, 22, 49
Kowinkeldiagramm, 140
metrischer Raum, 8
Kreisraum, 189
ModK Vektorräume über K, 234
Kreuzhaube, 69, 169
Modf k Vektorräume, endlich erzeugte,
Kring Kategorie der Kringe, 234
191
Kringalgebra, 265
Modfg
K Vektorräume, endlich erzeugKugel, 10
te, 242
Kugelschale, 99
Modul
Lift, 110, 181
über Körper, 235
Liftbarkeitskriterium, 204
Modulraum
Liftung, 181
grober, 225
limn→∞ Grenzwert von Folge
Möbiusband, 68
279
Mon Kategorie der Monoide, 234
MorC Morphismen in C, 243
Morphismen über X, 137
Morphismus
G-Morphismus, 177
in Kategorie, 117, 232
natürlich
Topologie, 49
natürliche Topologie
auf reellen Raum, 39
nichtleere endliche Schnitte, 65
Niveauflächen, 6
Niveaulinien, 6
Norm
auf reellem Vektorraum, 35
von multilinearer Abbildung, 41
normal
homogener Raum, 177
Überlagerung, 182
Normalisator
von Untergruppe, 178
Normalteiler erzeugt von, 170
normiert
Raum, 35
Vektorraum, 35
nullhomotop, 123
in topologischem Raum, 21, 49
Kern, 52
metrisch, 17
offene Überdeckung, 26, 41, 51
Operation
stetige, 81
Operator
beschränkter, 39
stetiger, 39
Operatornorm, 39
opponiert
Adjunktion, 211
Kategorie, 135, 240
Ordnungstopologie, 52
orientierbar
Fläche, 102
Ω(X, y, x) Menge von Wegen, 103
π1 (X, y, x) Homotopieklassen von Wegen, 104
ab
π1 (X) basispunktfreie Fundamentalgruppe, 129
π0 (X) Menge der Wegzusammenhangskomponenten von X, 120
π
(f
)
=
f] , 107
d1
Produkt in Kategorie, 259
Produkt von Mengen, 258
M ◦ Inneres von M , 52
Produkt von Vektorräumen, 261
⊕ für komplementäre Untervektorräu- Pfeile, 254
me, 263
Poincaré-Vermutung, 107
L
Polyeder
Summe von Vektorräumen, 261
eines Simplizialkomplexes, 155
O(p, q), 84
pr Projektion aus Produkt, 259
Objekt einer Kategorie, 117, 232
pr, Projektion aus Produkt, 262
Objekte über, 136
Produkt
Objekte unter, 137
balanciertes, 227
Of X (M ) Inneres von M , 52
in Kategorie
offen
von Familie, 258
Abbildung, 68
von zwei Objekten, 135, 257
in reellem Vektorraum, 39
von Kategorien, 240
280
von Mengen, 258
von Vektorräumen, 261
Produktmetrik, 12
Produktmorphismus, 135, 258
Produktnorm, 36
Produkttopologie, 76
Projektion
in Kategorie, 135, 257, 258
projektiver Raum
topologisch, 86
propre, 95
pt = pt(C) finales Objekt von C, 237
pull-back, 138
pull-back-Diagramm, 137
Punkt
von Köcher, 254
punktierter Raum, 105
push-out-Diagramm, 139
quasiinverser Funktor, 194, 210, 250
quasikompakt, 41, 63
Quetschlemma, 30
quiver, 254
Quotiententopologie, 67
rechtsadjungierter Funktor, 225
reell
Raum, 34
Vektorraum, 34
regulär
Überlagerung, 182
relativ
kompakt, 63
relativ Hausdorff, 98
Reskalierung
von Translationen, 33
Richtungsraum, 33
Richtungsvektor, 33
Ring Kategorie der Ringe, 234
Ringalgebra, 265
Rng Kategorie der nicht unitären Ringe, 234
Rückzug
von Morphismus, 138
S n n-Sphäre, 99
Schema, 269
Schleifenraum, 105
Schnitt
stetiger, 67
Ralg
von Mengenfamilie, 20
Kategorie der Ringalgebren, 234
Schönflies
Ringalgebrenhomomorphismen, 265
Satz von, 100
Rand
Schottky-Gruppe, 150
topologischer, 52
Seifert-van Kampen, 141
Randkante, 158
Seifert-van Kampen für das fundamenRandpunkt, 53
tale Gruppoid, 143
Rang
separiert
von freier Gruppe, 150
stetige Abbildung, 97
Raum
topologischer Raum, 54
affiner, 33
Simplex
normierter, 35
voller, 153, 157
reeller, 34
von Simplizialkomplex, 155
Realisierung
simplizial
eines Diagrammschemas, 255
Abbildung, 157
Realisierungsfunktor, 239
Simplizialkomplex, 155
281
abstrakter, 160
maximaler, 155
Sinuskurve des Topologen, 60
SO(p, q), 84
Sphäre, 99
Spurtopologie, 23, 49
Standarddarstellung, 252, 253
stetig
Abbildung bei Punkt, 55
bei topologischen Räumen, 50
für metrische Räume, 10
für topologische Räume, 21
Operation einer topologischen Gruppe, 81
Subbasis, 66
Summe
von Untervektorräumen, 262
von Vektorräumen, 261
Supremumsnorm, 35
System von Teilmengen, 20, 48
TK V Tensoralgebra, 266
Tate-Twist von Z, 109
Teilsystem, 20, 48
Teilüberdeckung, 41
TenK V Tensoralgebra, 266
Tensoralgebra, 266
top einelementiger Raum, 238
Top topologische Räume, 234
Top(X, Y ) stetige Abbildungen, 90
Top∗ bepunktete topologische Räume,
234
Topologie, 21, 48
als homogener Raum, 82
feiner, 65
gröber, 65
größergleich, 65
induzierte, 23, 49
kleinergleich, 65
natürliche, 39, 49
topologisch
Abbildung, 51
frei, Gruppenwirkung, 179
Gruppe, 79
Mannigfaltigkeit, 60
topologische Summe, 68
topologischer Raum, 21, 49
Torus
Fläche, 100
total unzusammenhängend, 57
Totalraum
von Überlagerung, 174
trans, 34
Trans Transformationen, 193, 247, 255
Transformation
von Funktoren, 191, 244
von Köchermorphismen, 255
Translation
von affinem Raum, 33
Transport durch Wegeliften, 195
treu
Funktor, 189, 241
Triangulierung, 158
trivial
Überlagerung, 174
Trivialisierung
von Überlagerung, 174
t
S für komplementäre Teilmengen, 260
Vereinigung, 20
Überdeckung, 41
einer Teilmenge, 44
überdeckungskompakt, 41
Überlagerung, 174
triviale, 174
universelle bepunktete, 184
unverzweigte, 174
UEns Mengen X ∈ U, 118, 233
U-Kategorie, 222, 243
Umgebung
ε-Umgebung, 10
in metrischem Raum, 10
282
in topologischem Raum, 21, 53
Umgebungsbasis
in topologischem Raum, 55
Umlaufzahl
eines Weges
auf der Kreislinie, 109
in der Zahlenebene, 125
UModK , 234
UModK Vektorräume V ∈ U, 235
universell
bepunktete Überlagerung, 184
universelle Eigenschaft
freier Gruppen, 148
freier Monoide, 146
Universum, 270
Unteralgebra, 265
Unterkategorie, 237
Unterringalgebra, 265
UTop topologische Räume X ∈ U, 118
Vektorraum
reeller, 34
Vereinigung
von Mengenfamilie, 20
Verflechtungsoperator, 251
Vergiss-Funktor, 241
Verklebung
von topologischer Fläche, 160
Verknüpfung
auf Köcher, 255
von Morphismen, 117, 232
von Wegen, 103
vertex
of quiver, 255
verträglich mit Produkten
Funktor, 136, 260
Vieleck, 160
voll
Simplex, 160
Unterkategorie, 237
Vollkugel, 99
volltreu, Funktor, 189, 241
Weg
inverser, 103
konstanter, 103
Wegeliftungsoperation, 197
Wegeraum, 105
Wegzusammenhang, 55
Wegzusammenhangskomponente, 58
Winkel
spezielles Diagramm, 138
Winkeldiagramm, 138
×
Produkt in Kategorie, 259
Produkt von Kategorien, 240
×B Faserprodukt, 138
×H balanciertes Produkt, 227
C × Isomorphismenkategorie, 237
Z(1) Tate-Twist von Z, 109
Zerschneidung, 160
Zielkategorie, 120, 238
Zopfgruppe, 215
abstrakte, 218
Zopfrelation, 215
Zus(X) Menge der Zusammenhangskomponenten von X, 83
zusammenhängend
einfach, 184
Gruppoid, 144, 244
topologischer Raum, 56
wegweise, 55
wegweise einfach, 106
Zusammenhangskomponente
eines topologischen Raums, 58
von GL(n; R), 90
zusammenziehbar
topologischer Raum, 119
Weg, 104
283

Serie 9

Blatt6

Satz 1 (Löwenheim Skolem aufwärts) Sei L eine Sprache und T eine

Topologie (10480-01) Universität Basel im FS 2015 Blatt 5 Prof. Dr

Serie 5

Seminar: Einführung in Mannigfaltigkeiten

08. Mai 2015 → Die Grundstruktur des deutschen Satzes

Flug Sanicole Airshow Twylight 2015

Topologie (10480-01) Universität Basel im FS 2015 Blatt 4 Prof. Dr

Blatt 5 - Mathematische Physik - Technische Universität München

Derivierte Kategorien und Funktoren