Derivierte Kategorien und Funktoren
Wolfgang Soergel
29. Februar 2016
Inhaltsverzeichnis
1
Lokalisierung von Kategorien
1.1 Die Wegekategorie eines Köchers . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Lokalisierung von Kategorien . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Lokalisierung unter Ore-Bedingungen . . . . . . . . . . . . . . .
2
Derivierte Kategorien
2.1 Triangulierte Kategorien . . . . . . . . . . . . .
2.2 Homotopiekategorien als triangulierte Kategorien
2.3 Triangulierte Kategorien und dg-Moduln* . . . .
2.4 Quotienten triangulierter Kategorien . . . . . . .
2.5 Derivierte Kategorien . . . . . . . . . . . . . . .
2.6 Beschränkte derivierte Kategorien . . . . . . . .
2.7 Derivierte Kategorien durch Auflösungen . . . .
2.8 Derivierte Kategorien als dg-Modulkategorien* .
2.9 Derivierte Kategorien und dg-Ringoide* . . . . .
3
4
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Derivierte Funktoren
3.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Zahme Rechtsderivierte auf Ore-Lokalisierungen .
3.3 Approximationen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Verknüpfung derivierter Funktoren . . . . . . . . .
3.5 Derivierte Funktoren auf triangulierten Kategorien
3.6 Derivierte Funktoren auf derivierten Kategorien . .
3.7 Derivieren homologisch endlicher Funktoren . . .
3.8 Totalkomplexe und deren Exaktheit . . . . . . . .
3.9 Totale derivierte Funktoren* . . . . . . . . . . . .
3.10 Totale Derivierte von Kern und Kokern* . . . . . .
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68
71
Danksagung
75
Literaturverzeichnis
76
Index
78
2
1
1.1
Lokalisierung von Kategorien
Die Wegekategorie eines Köchers
1.1.1. Ich erinnere an die Begriffswelt der Köcher aus [LA2] 7.5. Ein Köcher ist
ein Datum K = (P, E, a, e) bestehend aus zwei Mengen P, E und zwei Abbildungen a, e : P → E. Wir nennen die Elemente von E die Ecken des Köchers und
die Elemente von P seine Pfeile. Für einen Pfeil p ∈ P nennen wir a(p) seinen
Anfangspunkt und e(p) seinen Endpunkt.
Definition 1.1.2. Gegeben ein Köcher K = (P, E, a, e) bilden wir seine Wegekategorie K̃ wie folgt: Als Objekte nehmen wir die Ecken Ob K̃ := E des
Köchers, als Menge von Morphismen von einer Ecke x in eine weitere Ecke y
die Menge aller Folgen von Pfeilen p1 , . . . , pn mit a(p1 ) = x, e(pn ) = y und
e(pi ) = a(pi+1 ) für 1 ≤ i < n, disjunkt vereinigt mit einem weiteren Element Idx
im Fall y = x. Die Verknüpfung ist das „Aneinanderhängen“, unsere Folge wäre
also die Verknüpfung pn ◦ . . . ◦ p1 ∈ K̃(x, y). Wir nennen die Morphismen in der
Wegekategorie K̃ die Wege in unserem Köcher.
Beispiel 1.1.3. Gegeben ein Köcher K mit nur einer Ecke ist seine Wegekategorie
die Ein-Objekt-Kategorie nach [LA2] 7.1.5 zum freien Monoid über der Menge P seiner Pfeile nach [TF] 2.5.1. Wir haben also in unseren Notationen einen
∼
natürlichen Isomorphismus von Kategorien [Mon↑ P ] → K̃.
1.1.4. Der offensichtliche Köchermorphismus von einem Köcher in seine Wegekategorie can : K → K̃ hat die folgende universelle Eigenschaft: Ist C eine Kategorie und ϕ : K → C ein Morphismus von Köchern, so gibt es genau
einen Funktor ϕ̃ : K̃ → C mit ϕ̃ ◦ can = ϕ. Ist K ein Köcher und C eine Kategorie, so definiert die Restriktion sogar einen Isomorphismus von Kategorien
≈
Cat(K̃, C) → Car(K, C). Hier machen wir beide Seiten dadurch zu Kategorien,
daß wir als Morphismen die Transformationen nehmen.
Definition 1.1.5. Gegeben eine Menge U verstehen wir unter einem U-Köcher
einen Köcher K derart, daß die Menge seiner Ecken eine Teilmenge von U ist und
die Menge aller Pfeile zwischen je zwei vorgegebenen Ecken ein Element von U.
1.1.6. Eine U-Kategorie im Sinne von [LA2] 7.9.1 ist damit dasselbe wie eine
Kategorie, deren zugrundeliegender Köcher ein U-Köcher ist.
Ergänzung 1.1.7. Gegeben eine Menge U und ein Universum V mit U ∈ V ist für
jeden U-Köcher seine Wegekategorie eine V-Kategorie.
3
1.2
Lokalisierung von Kategorien
1.2.1. Seien C eine Kategorie und S eine Menge von Morphismen in C. Im folgenden konstruieren wir ein Paar (CS , can) bestehend aus einer Kategorie CS mitsamt
einem Funktor can : C → CS derart, daß gilt:
1. Jeder Morphismus aus S wird unter can ein Isomorphismus in CS ;
2. Ist F : C → D irgendein Funktor, der alle Morphismen aus S zu Isomorphismen macht, so gibt es genau einen Funktor F̃ : CS → D mit
F = F̃ ◦ can.
Natürlich ist ein derartiges Paar in der üblichen Weise eindeutig bis auf eindeutigen Isomorphismus. Das im folgenden in 1.2.5 konstruierte Paar nennen wir die
Lokalisierung von C an S. Manchmal verwenden wir auch die ausführlichere
Notation CS = C|S −1 i, angeregt durch die Notation [AL] 3.5.1 für Erzeugen als
Monoid.
Ergänzung 1.2.2. Sind U ∈ V Universen, so liefert unsere Konstruktion genauer
für jede Menge von Morphismen S einer U-Kategorie C als Lokalisierung eine
V-Kategorie CS .
1.2.3 (Herkunft der Terminologie). Der Begriff der Lokalisierung kommt aus
der Ringtheorie, in der man das formale Einführen von Inversen aus geometrischen Gründen als Lokalisierung bezeichnet, vergleiche [KAG] 3.1. Mehr zur
Kategorientheorie findet man in [Bor94].
1.2.4 (Lokalisierung von Monoiden als Spezialfall). Man kann insbesondere zu
jedem Paar G ⊃ S bestehend aus einem Monoid mit einer Teilmenge ein weiteres Monoid S −1 G mit einem Monoidhomomorphismus G → S −1 G konstruieren
derart, daß alle Elemente von S unter diesem Morphismus invertierbar werden
und daß jeder Monoidhomomorphismus G → H, unter dem alle Elemente von
S invertierbar werden, auf genau eine Weise über G → S −1 G faktorisiert. Die
Ein-Objekt-Kategorie [S −1 G] ist in diesem Fall genau die Lokalisierung [G]S der
Ein-Objekt-Kategorie zu G.
1.2.5 (Konstruktion der Lokalisierung). Sei C eine Kategorie und S eine Menge von Morphismen. Wir vergrößern den unserer Kategorie C zugrundeliegenden Köcher zu einem neuen Köcher C t S −1 , indem wir für jeden Morphismus
s : X → Y aus S einen Pfeil s̄ : Y → X neu hinzunehmen. Zu dem so vergrößerten Köcher bilden wir dann die Wegekategorie. Wir notieren [p] den Morphismus
in der Wegekategorie zu einem Pfeil p aus dem Köcher C t S −1 und IdX bzw.
idX die Identität auf einem Objekt X in unserer Wegekategorie bzw. in unserer
ursprünglichen Kategorie C. Nun betrachten wir auf der Menge der Morphismen
unserer Wegekategorie die kleinste Äquivalenzrelation ∼ derart, daß gilt:
4
1. [s] ◦ [s̄] ∼ IdY und [s̄] ◦ [s] ∼ IdX für alle s : X → Y aus S;
2. IdX ∼ [idX ] und [f ] ◦ [g] ∼ [f ◦ g] für alle verknüpfbaren Morphismen f
und g aus C;
3. v ∼ w ⇒ u ◦ v ∼ u ◦ w und v ◦ x ∼ w ◦ x für beliebige entsprechend
verknüpfbare Morphismen u, v, w, x unserer Wegekategorie.
Schließlich erklären wir die Kategorie CS , indem wir als Objekte die Objekte von
C nehmen, als Morphismen jedoch Äquivalenzklassen von Wegen in der Wegekategorie des Köchers C t S −1 unter unserer Äquivalenzrelation ∼. Die letzte
Bedingung an unsere Äquivalenzrelation stellt dabei sicher, daß die Verknüpfung
solcher Äquivalenzklassen wohldefiniert ist. Man folgert leicht, daß CS mit dieser
Verknüpfung von Morphismen eine Kategorie ist. Bezeichne nun wie zuvor K̃ die
Wegekategorie eines Köchers K. Die vorletzte Bedingung in unserer Definition
der Äquivalenzrelation erzwingt, daß die Verknüpfung
C → C t S −1 → C^
t S −1 → CS
von Morphismen von Köchern sogar ein Funktor ist, und die erste Bedingung
erzwingt, daß jeder Morphismus aus S unter diesem Funktor ein Isomorphismus
der Kategorie CS wird. Wir bezeichnen unseren Funktor mit can : C → CS und
überlassen den Nachweis der universellen Eigenschaft dem Leser.
Definition 1.2.6. Ein Funktor Q : C → D heißt ein Lokalisierungsfunktor genau
dann, wenn für die Menge S aller Morphismen von C, die er zu Isomorphismen
≈
macht, der induzierte Funktor eine Äquivalenz von Kategorien Q̃ : CS → D ist.
Beispiel 1.2.7. Der Funktor Ab → Q -Mod gegeben durch M 7→ Q ⊗Z M ist ein
Lokalisierungsfunktor. Gegeben ein Köcher mit zwei Ecken und einem Pfeil von
der einen zu der anderen erhalten wir zwei Lokalisierungsfunktoren von der Kategorie der Darstellungen unseres Köchers in die Kategorie der abelschen Gruppen,
indem wir jeder Darstellung den Wert an einer festen unserer beiden Ecken zuordnen.
1.2.8. Ist F : C → D ein Lokalisierungsfunktor, so ist F surjektiv auf Isomorphieklassen von Objekten und jeder Morphismus in D(F A, F B) läßt sich schreiben
als eine Verknüpfung
F (g1 ) ◦ F (s1 )−1 ◦ F (g2 ) ◦ F (s2 )−1 ◦ . . . ◦ F (gn ) ◦ F (sn )−1
mit Morphismen gi in C und si ∈ S. Das folgt unmittelbar aus unseren Konstruktionen und Definitionen.
5
1.2.9. Wir nennen einen Funktor F : A → B volldicht genau dann, wenn für
jede weitere Kategorie C das Vorschalten von F auf den Funktorkategorien einen
∼
volltreuen Funktor C B ,→ C A liefert.
Beispiele 1.2.10. Jede Äquivalenz von Kategorien ist volldicht. Ist ein Funktor
F : A → B bijektiv auf Objekten und läßt sich jeder Morphismus in B darstellen als Verknüpfung von Bildern von Morphismen aus A und Inversen derartiger
Bilder, so ist F volldicht. Das folgt ohne größere Schwierigkeiten daraus, daß
ein quadratisches Diagramm mit Isomorphismen in den Horizontalen kommutiert
genau dann, wenn es kommutiert nach Ersetzen der Horizontalen durch ihre Inversen. Insbesondere ist nach 1.2.8 jeder Lokalisierungsfunktor volldicht.
Beispiel 1.2.11 (Fall der Ein-Objekt-Kategorien). Ein Morphismus von Monoiden G → H liefert einen volldichten Funtor auf den zugehörigen Ein-ObjektKategorien [G] → [H], wenn H erzeugt wird von den Bildern der Elemente
von G und den Inversen der Bilder der Elemente von G mit inverierbarem Bild.
Nach [LA2] 7.3.15 haben wir einen natürlichen Isomorphismus von Kategorien
∼
G -Ens → Ens[G] . Spezialisieren wir C aus 1.2.10 zu Ens, so besagt das insbesondere, daß unter den gegebenen Annahmen die Restriktion ein volltreuer Funktor
∼
H -Ens ,→ G -Ens ist. Das scheint mir auch ohne die vorhergehenden Überlegungen unmittelbar einsichtig.
1.2.12. Die für uns wesentlichen allgemeinen Aussagen zur Lokalisierung von
Kategorien faßt der folgende Satz zusammen, vergleiche auch [GZ67].
Satz 1.2.13 (Eigenschaften von Lokalisierungen). Seien C eine Kategorie und
S eine Menge von Morphismen in C und Q : C → CS der kanonische Lokalisierungsfunktor.
1. Ist A ∈ C ein Objekt derart, daß der Funktor C(A, ) : C → Ens alle
Morphismen aus S zu Bijektionen macht, so liefert unsere Lokalisierung
für alle B ∈ C Bijektionen
∼
C(A, B) → CS (QA, QB)
2. Besitzt der Lokalisierungsfunktor Q bei einem Objekt D ∈ CS einen partiellen Linksadjungierten L, so ist die kanonische Abbildung ein Isomorphis∼
mus D → QLD. Insbesondere ist nach [TF] 4.4.7 jeder Linksadjungierte
eines Lokalisierungsfunktors volltreu. Analoges gilt für partielle Rechtsadjungierte;
3. Besitzt ein Funktor einen volltreuen globalen Rechts- oder Linksadjungierten, so ist er ein Lokalisierungsfunktor.
6
1.2.14. Auch die speziell für Q : C → CS formulierten Aussagen folgen für jeden
Lokalisierungsfunktor.
Beweis. 1. Nach der universellen Eigenschaft der Lokalisierung gibt es für unser spezielles A genau einen Funktor F : CS → Ens mit F Q = C(A, ). Wir
können nun eine inverse Abbildung zur im Satz behaupteten Bijektion explizit
angeben durch die Abbildungsvorschrift g 7→ (F g)(idA ). Etwas genauer liefert
der Funktor zur Lokalisierung eine Transformation τ : C(A, ) ⇒ CS (QA, ) ◦ Q,
die wir für unser spezielles A als Isotransformation entlarven wollen. Das Element idA ∈ F (A) liefert mit dem Yonedalemma [LA2] 7.9.2 eine Transformation η : CS (QA, ) ⇒ F, und wir behaupten, daß die induzierte Transformation
ηQ : CS (QA, ) ◦ Q ⇒ F Q = C(A, ) invers ist zu τ . Das aber ist nun mit dem
bereits bewiesenen Teil 1 und dem Yonedalemma sehr einfach.
2. Nach Teil 1 induziert der Lokalisierungsfunktor Q für unser D ∈ CS und alle
∼
B ∈ C Isomorphismen C(LD, B) → CS (QLD, QB). Da jedes Objekt in CS von
einem Objekt B ∈ C herkommt, ist damit der kanonische Morphismus ein Iso∼
morphismus D → QLD in CS .
3. Wir behandeln nur den Fall eines Rechtsadjungierten. Sei F : C → D unser
Funktor und R : D → C sein volltreuer Rechtsadjungierter. Sei S die Klasse aller
Morphismen in C, die unter F Isomorphismen werden. Erklären wir eine Kategorie CS , indem wir als Objekte dieselben nehmen wie die Objekte von C, als
Morphismen jedoch setzen CS (X, Y ) := D(F X, F Y ) mit der offensichtlichen
Verknüpfung von Morphismen, so ist der offensichtliche Funktor eine Äquivalenz
≈
∼
CS → D, da ja gilt F RD → D für alle D ∈ D nach [TF] 4.4.7. Wenden wir
diesen Isomorphismus an auf F X für X ∈ C, so folgt mit [TF] 4.4.9, daß die
Sequenz von kanonischen Morphismen F X → F RF X → F X, die man mithilfe der Adjunktion erhält, aus Isomorphismen besteht. Ist nun G : C → E ein
Funktor, der Morphismen aus S zu Isomorphismen macht, so faktorisiert er über
C → CS vermittels eines Funktors G̃ : CS → E, wobei wir auf den Morphismen
G̃ : CS (X, Y ) → E(GX, GY ) für fS ∈ CS (X, Y ) erklären durch die Kommutativität des Diagramms mit Isomorphismen in den Vertikalen
GX
↓
GRF X
−→
GY
↓
GRfS
−→ GRF Y
Diese Faktorisierung ist, wie man leicht sieht, auch die einzig mögliche.
Vorschau 1.2.15. Gegeben Kategorien I, C und eine Menge von Morphismen S
von C können wir eine Menge S(I) von Morphismen in der Funktorkategorie
Cat(I, C) erklären als diejenigen Transformationen τ mit τi ∈ S für alle i ∈ I.
7
Der Funktor des konstanten Systems const : C → Cat(I, C) induziert dann einen
Funktor auf den Lokalisierungen
konst : CS → Cat(I, C)S(I)
Der linksadjungierte Funktor dazu hinwiederum heißt der Homotopiekolimes
und wird hocol notiert. In diesem Fall ist, anders als bei normalen Kolimites,
auch die Struktur von I als Kategorie und nicht nur der zugrundeliegende Köcher
relevant.
1.2.1
Übungen
Übung 1.2.16. Jeder Lokalisierungsfunktor ist auch als Funktor zwischen den
zugehörigen opponierten Kategorien ein Lokalisierungsfunktor. Gegeben zwei
Lokalisierungsfunktoren F : A → Ā und G : B → B̄ ist auch ihr Produkt
(F × G) : A × B → Ā × B̄ ein Lokalisierungsfunktor.
1.3
Lokalisierung unter Ore-Bedingungen
1.3.1. Stellen wir zusätzliche Bedingungen an das System der zu invertierenden
Morphismen, so können wir feinere Aussagen über die Lokalisierung zeigen, wie
wir im folgenden näher ausführen.
Definition 1.3.2. Eine Menge von Morphismen einer Kategorie heißt multiplikativ, wenn sie stabil ist unter Verknüpfung und alle Identitäten enthält.
Definition 1.3.3. Eine Menge S von Morphismen einer Kategorie C heißt ein
Rechts-Ore-System, wenn sie multiplikativ ist und wenn zusätzlich die beiden
folgenden Eigenschaften erfüllt sind:
g
s
t
h
1. Gegeben E → X ← D mit s ∈ S gibt es E ← W → D mit t ∈ S und
sh = gt;
2. Seien gegeben f, g ∈ C(X, Y ). Gibt es s ∈ S mit sf = sg, so gibt es auch
t ∈ S mit f t = gt.
Eine Menge S von Morphismen einer Kategorie C heißt ein Links-Ore-System,
wenn sie ein Rechts-Ore-System in der opponierten Kategorie bildet.
1.3.4. Hat unsere Kategorie nur ein Objekt und ist die Verknüpfung von Morphismen die Multiplikation einer Ringstruktur auf diesem Objekt, so sind diese
Bedingungen Varianten der bei der Lokalisierung nichtkommutativer Ringe üblichen Ore-Bedingungen.
8
Definition 1.3.5. Sei C eine Kategorie und S ein Rechts-Oresystem von Morphismen von C. Wir betrachten für X, Y ∈ C die Menge B(X, Y ) aller Diagramme
D = (s, D, f ) der Gestalt
f
s
X←D→Y
mit s ∈ S und nennen derartige Diagramme Brüche oder genauer Rechtsbrüche
von X nach Y . Wir sagen, ein Bruch (s, D, f ) gehe hervor aus einem weiteren
Bruch (s0 , D0 , f 0 ) ∈ B(X, Y ) durch Kürzen und schreiben D0 99K D genau dann,
wenn es einen Morphismus h : D0 → D gibt mit s0 = sh und f 0 = f h. Bezeichne
B̄(X, Y ) die Menge aller Äquivalenzklassen von Brüchen von X nach Y unter
der durch Kürzen erzeugten Äquivalenzrelation und bezeichne [D] = [s, D, f ] die
Äquivalenzklasse eines Bruches.
1.3.6. Ich komme mit Rechts und Links in diesem Zusammenhang leicht durcheinander. Als Eselsbrücke mag man sich einen Rechtsbruch als die Komposition
f ◦ s−1 denken, bei der der Nenner eben rechts steht. Der erste Teil der RechtsOrebedingung sagt dann, salopp gesprochen, daß man jeden Linksbruch zu einem
Rechtsbruch umschreiben kann.
Proposition 1.3.7 (Kategorien von Brüchen alias Ore-Lokalisierung). Sei C
eine Kategorie und S ein Rechts-Oresystem von Morphismen von C. So liefert die
offensichtliche Abbildung eine Bijektion
∼
B̄(X, Y ) → CS (X, Y )
zwischen Äquivalenzklassen von Brüchen und Morphismen in der lokalisierten
Kategorie.
Beweis. Gegeben Brüche mit Kürzungen D0 99K D L99 D00 gibt es einen Bruch
D000 mit Kürzungen D0 L99 D000 99K D00 . In der Tat finden wir mit der ersten Bedingung in 1.3.3 Morphismen D0 ← W → D00 mit W → D00 in S derart, daß
mit den Morphismen nach D ein kommutatives Quadrat entsteht. Es folgt insbesondere, daß für die durch Kürzen erzeugte Äquivalenzrelation auf B(X, Y ) zwei
Brüche äquivalent sind genau dann, wenn sie durch Kürzen aus ein- und demselben Bruch hervorgehen. Wir erklären nun Verknüpfungen B̄(X, Y ) × B̄(Y, Z) →
B̄(X, Z) wie folgt: Wir beginnen mit Verknüpfungen B(X, Y ) × B(Y, Z) →
B̄(X, Z) gegeben dadurch, daß ((s, D, f ), (t, E, g)) abgebildet wird auf die Äquivalenzklasse eines Bruches der Gestalt
X
~~
~~
~
~
~~ ~
D@
}} @@@
}
@@
}
@@
}}
}
~}
F@
@@
@@
@@
@
Y
9
~~
~~
~
~
~ ~
E@
@@
@@
@@
@
Z
mit F → D aus S und kommutierendem schiefen Quadrat. Die so gebildete Äquivalenzklasse unabhängig ist von der Wahl von F und den beiden von F ausgehenden Morphismen: Ist D ← F 0 → E eine zweite Wahl, so vervollständigen wir
F → D ← F 0 durch F ← F 00 → F 0 zu einem kommutativen Quadrat mit
F 00 → F 0 aus S und folgern aus F 00 → F 0 → E → Y = F 00 → F → E → Y
mit der zweiten Bedingung aus 1.3.3 die Existenz von F 000 → F 00 aus S mit
F 000 → F 00 → F 0 → E = F 000 → F 00 → F → E. Es ist klar, daß unsere Verknüpfung unter Kürzen dieselbe bleibt und somit absteigt zu einer Verknüpfung
B̄(X, Y )× B̄(Y, Z) → B̄(X, Z). Schließlich zeigen wir noch, daß die Objekte von
C mit den Morphismenmengen B̄(X, Y ) und der eben eingeführten Verknüpfung
eine Kategorie bilden. Die Identitätsmorphismen sind hier unproblematisch, und
die Assoziativität der Verknüpfung scheint mir auch recht offensichtlich. Nun ist
aus der Konstruktion jedoch klar, daß die eben konstruierte Kategorie B̄ dieselbe
universelle Eigenschaft hat wie unsere Lokalisierung CS .
Satz 1.3.8 (Ore-Lokalisierung und volltreue Einbettungen). Sei C eine Kategorie mit einem Rechts-Oresystem von Morphismen S. Ist C 0 ⊂ C eine volle Unterkategorie und S 0 ⊂ S ein Rechts-Oresystem von Morphismen von C 0 mit der
Eigenschaft, daß es für alle s ∈ S mit Ziel in C 0 einen Morphismus h gibt mit
s ◦ h ∈ S 0 , so ist der offensichtliche Funktor CS0 0 → CS volltreu.
Beweis. Das erkennt man sofort an der Realisierung 1.3.7 der lokalisierten Kategorie als Kategorie von Brüchen.
1.3.9. Je zwei Brüche (r, E, f ) ∈ B(X, Y ) und (t, F, g) ∈ B(X, Z) lassen sich
auf einen Hauptnenner bringen. In der Tat finden wir Morphismen von Objekten E ← D → F so, daß D → E zu S gehört und daß beide denselbem Pfeil
s : D → X liefern, der dann notwendig auch zu S gehört. Damit entstehen unsere
beiden Brüche durch Kürzen aus Brüchen der Gestalt (s, D, f 0 ) und (s, D, g 0 ).
Proposition 1.3.10 (Produkte in Ore-Lokalisierungen). Ist C eine Kategorie
und S ein Rechts-Oresystem von Morphismen von C, so vertauscht der Funktor
C → CS mit dem Bilden von endlichen Produkten und von Egalisatoren [TS] 6.1.7.
Beweis. Wir konzentrieren uns darauf, das Kommutieren mit dem Produkt zweier
Objekte zu prüfen. Wir dürfen und werden das nachweisen für die Kategorie von
Brüchen B̄ aus 1.3.5 statt CS . Gegeben zwei Brüche in B̄(X, A0 ) und B̄(X, A00 )
finden wir mit 1.3.9 Repräsentanten „mit demselben Nenner“, d.h. von der Form
(s, D, f ) und (s, D, g) mit f : D → A0 und g : D → A00 , und bilden dann den
Bruch (s, D, (f, g)) in das Produkt A0 × A00 . Die Verknüpfung mit den Projektionen liefert dann natürlich die beiden ursprünglichen Brüche. Ist umgekehrt ein
Morphismus [s0 , D0 , h] ∈ B̄(X, A0 × A00 ) gegeben, der bei Nachschalten der Projektionen [s, D, f ] und [s, D, g] liefert, so bringen wir zunächst alle drei Brüche
10
auf einen Hauptnenner und dürfen dann auch für unseren Bruch in das Produkt
einen Repräsentanten der Gestalt (s, D, h) annehmen. Gilt nun
[s, D, pr1 ◦h] = [s, D, f ] und [s, D, pr2 ◦h] = [s, D, g]
so können wir den Hauptnenner weiter vergrößern derart, daß gilt pr2 ◦h = g,
pr1 ◦h = f, und das zeigt dann h = (f, g). Daß finale Objekte in finale Objekte
übergehen und daß Egalisatoren zu Egalisatoren werden, zeigt man ähnlich aber
einfacher.
1.3.11. Sei C eine Kategorie und S ein Rechts-Oresystem von Morphismen. Jede
additive Struktur auf C im Sinne von ?? induziert eine additive Struktur auf CS ,
man addiert eben Brüche, indem man sie auf einen Hauptnenner bringt. Besitzt C
nur ein Objekt, so ist diese Konstruktion die sogenannte Ore-Lokalisierung von
nicht notwendig kommutativen Ringen.
Proposition 1.3.12 (Ore-Lokalisierung additiver Kategorien). Ist C eine additive Kategorie und S ein Rechts-Oresystem von Morphismen, so ist auch CS eine
additive Kategorie und der kanonische Funktor C → CS ist additiv.
Beweis. Das folgt sofort aus 1.3.11 und 1.3.10.
Definition 1.3.13. Ein Ore-System in einer Kategorie ist ein System von Morphismen, das sowohl rechts-Ore als auch links-Ore ist im Sinne von 1.3.3.
Ergänzung 1.3.14. In ?? diskutieren wir Lokalisierungen abelscher Kategorien
und zeigen insbesondere, daß die Lokalisierung einer abelschen Kategorien an
einem Ore-System stets wieder abelsch ist.
1.3.1
Übungen
Übung 1.3.15 (Liften kommutativer Diagramme). Sei C eine Kategorie und S
ein Rechts-Oresystem von Morphismen. Gegeben Morphismen f : X → Y und
g : Y → Z in der lokalisierten Kategorie CS gibt es Morphismen f 0 : X 0 → Y 0
und g 0 : Y 0 → Z in C und Morphismen s : X 0 → X, t : Y 0 → Y aus S mit f s =
tf 0 , gt = g 0 . Salopp gesprochen ist also jedes kommutative Dreiecksdiagramm in
CS isomorph zum Bild eines kommutativen Dreiecksdiagramms in C. Ist hier gf
bereits ein Morphismus in C, so können wir sogar Morphismen f 0 : X → Y 0 und
g 0 : Y 0 → Z in C und einen Morphismus t : Y 0 → Y aus S finden mit f s = tf 0
und gt = g 0 .
11
2
2.1
Derivierte Kategorien
Triangulierte Kategorien
Definition 2.1.1. Eine Z-Kategorie ist eine Kategorie A mitsamt einem Au∼
tomorphismus [1] : A → A. Mit Automorphismus meine ich wirklich einen
Isomorphismus der Kategorie auf sich selbst, nicht etwa bloß eine Äquivalenz
von Kategorien. Ein Z-Funktor F : A → B von Z-Kategorien ist definiert
als ein Paar (F, u) bestehend aus einem Funktor F nebst einer Isotransformati∼
on u : [1] ◦ F ⇒ F ◦ [1], die ich die Z-Struktur unseres Z-Funktors nennen
will.
2.1.2. Gegeben eine Z-Struktur u eines Funktors wie eben ist natürlich auch ihr
Negatives (−u) eine Z-Struktur für denselben Funktor.
Ergänzung 2.1.3. Es gibt durchaus interessante Situationen, in denen man die hier
entwickelten Begriffsbildungen auf den Fall erweitern muß, daß unsere Verschiebung [1] : A → A nur eine Äquivalenz von Kategorien ist. Das weckt jedoch
Elefanten der Notation, die ich vorerst lieber noch schlafen lassen will.
2.1.4. Die Menge aller Z-Funktoren von einer Z-Kategorie A in eine Z-Kategorie
B notieren wir CatZ (A, B). Die Verknüpfung von Z-Funktoren sei in der offensichtlichen Weise definiert durch (F, u) ◦ (G, v) = (F ◦ G, uG ◦ F v). Sie ist assoziativ. Gegeben ein Universum U wie in [LA2] 7.2.23 bezeichne UCatZ die Kategorie aller Z-Kategorien, deren zugrundeliegende Kategorie eine U-Kategorie ist,
mit Z-Funktoren als Morphismen.
Definition 2.1.5. Eine verträgliche Transformation (F, u) ⇒ (G, v) zwischen
Z-Funktoren ist eine Transformation τ : F ⇒ G, die mit den jeweiligen ZStrukturen verträglich ist in dem Sinne, daß das folgende Diagramm von Transformationen kommutiert:
[1] ◦ F
[1]τ
[1] ◦ G
+3
u
v
+3
F ◦ [1]
τ [1]
G ◦ [1]
Die Verknüpfung verträglicher Transformationen ist wieder verträglich und die
Menge CatZ (A, B) wird mit diesen Transformationen als Morphismen eine Kategorie. Wir notieren folgerichtig die Menge der verträglichen Transformation
CatZ (A, B)(F, G)
oder abkürzend TransZ (F, G). Eine Adjunktion L a R von Z-Funktoren nennen
wir verträglich genau dann, wenn die zugehörigen Transformationen Id ⇒ RL
12
und LR ⇒ Id verträglich sind. Gegeben eine Adjunktion zwischen Funktoren
zwischen zwei Z-Kategorien existiert für jede Z-Struktur auf einem der beiden
genau eine Z-Struktur auf dem anderen derart, daß die Adjunktion mit diesen ZStrukturen verträglich ist.
Definition 2.1.6. Unter einem Dreieck in einer Z-Kategorie versteht man ein Diay
u
w
gramm der Gestalt X → Y → Z → [1]X, das suggestiver aber weniger präzise
auch in der Gestalt
/Y
X `@
@@
@@
@
[1] @@
~~
~~
~
~
~ ~
Z
geschrieben werden mag. Ein Morphismus von Dreiecken wird definiert wie in
??.
Definition 2.1.7. Eine triangulierte Kategorie ist eine additive Z-Kategorie mitsamt einer Vorschrift, die unter allen Dreiecken unserer Z-Kategorie gewisse Dreiecke auszeichnet derart, daß die folgenden von ?? motivierten Axiome erfüllt
sind:
1. Jedes Dreieck, das isomorph ist zu einem ausgezeichneten Dreieck, ist auch
selbst ein ausgezeichnetes Dreieck;
id
2. Für jedes Objekt X ist das Dreieck X → X → 0 → [1]X ausgezeichnet;
3. Jeder Morphismus X → Y unserer Kategorie kann in ein ausgezeichnetes
Dreieck X → Y → Z → [1]X eingebettet werden. Es wird sich später
herausstellen, daß hier Z nur eindeutig ist bis auf nicht-eindeutigen Isomorphismus, vergleiche Axiom 5. Wir nennen Z in Erinnerung an ?? auch im
allgemeinen den Abbildungskegel über dem Morphismus X → Y ;
u
4. Ein Dreieck X → Y → Z → [1]X ist ausgezeichnet genau dann, wenn das
−u
„gedrehte“ Dreieck Y → Z → [1]X → [1]Y ausgezeichnet ist;
5. Gegeben ein Diagramm mit ausgezeichneten Dreiecken in den Horizontalen
und einem kommutativen Quadrat links
/
X
f
/
Y
g
X0
/
/
Z
[1]X
[1]f
/ Z0
Y0
/
[1]X 0
gibt es einen Morphismus h : Z → Z 0 derart, daß die beiden dadurch
in der Mitte und rechts entstehenden Quadrate kommutieren. Von diesem
Morphismus h wird nur die Existenz und nicht die Eindeutigkeit gefordert;
13
6. (Oktaederaxiom) Gegeben ausgezeichnete Dreiecke
X
Y
X
f
/Y
/
g
/
Z
/ X0
g◦f
/
Z
/Y0
/
Z0
[1]X
/ [1]Y
/
[1]X
gibt es ein ausgezeichnetes Dreieck Z 0 → Y 0 → X 0 → [1]Z 0 derart, daß im
nebenstehenden Oktaeder die beiden Quadrate im Schnitt mit senkrechten
Ebenen kommutieren und sämtliche acht Dreiecke entweder kommutieren
oder ausgezeichnete Dreiecke sind.
Die ausgezeichneten Dreiecke einer triangulierten Kategorie heißen, nun, eben
ausgezeichnete Dreiecke. Eingeführt wurden sie ursprünglich auf Französisch
als triangles distingués. Auf Englisch nennt man sie distinguished triangles.
2.1.8. Der Definition einer triangulierten Kategorie haftet etwas künstliches an,
und sie ist es auch. Ich hoffe aber, Sie im folgenden davon zu überzeugen, daß
diese Begriffsbildung für viele Argumentationen dennoch ein geschickter Rahmen
ist.
2.1.9. Jede triangulierte Kategorie liefert eine weitere triangulierte Kategorie,
wenn man statt der ausgezeichneten Dreiecken die antiausgezeichneten Dreiecke
auszeichnet.
2.1.10. Wir notieren Oktaeder oft vereinfacht in der Form
0
Z
~> AAA
~
AA
~
AA
~~
~
A
~~
0
YG A
>Y 1
AA
|| 11
AA
|
11
AA
||
11
A |||
11
11
n7 Z PPPP
n
n
PPP
11
nn
n
P
n
PPP
n
PPP 11
nnnnn
P(
nn
X
X0
In dieser Gestalt sind alle vier ausgezeichneten Dreiecke als leidlich gerade Pfeilsequenzen erkennbar, einige kommutative Dreiecke und ein kommutatives Qua-
14
Die Struktur der Pfeile soll den Aufbau eines solchen Oktaeders verdeutlichen:
Man beginnt mit zwei verknüpfbaren Morphismen und ihrer Komposition,
dargestellt durch durchgehende Pfeile zwischen X, Y und Z. Jeden dieser
Morphismen ergänzt man zu einem ausgezeichneten Dreieck, angedeutet durch
die gestrichelten Pfeile. Und dann fordert man die Existenz von gepunkteten
Pfeilen, die die drei eben konstruierten Objekte zu einem vierten
ausgezeichneten Dreieck verbinden, die drei anderen so entstehenden Dreiecke
zum Kommutieren bringen (was den horizontalen gepunkteten Pfeil im übrigen
bereits eindeutig festlegt), und die beiden in Schnitten unseres Oktaeders mit
geeigneten senkrechten Ebenen entstehenden Quadrate zum Kommutieren
bringen. Von zwei gegenüberliegenden Flächen ist also stets eine ein
kommutatives Diagramm und die andere ein ausgezeichnetes Dreieck. Unser
Oktaederdiagramm hat weitaus weniger Symmetrien als ein echter Oktaeder,
genauer ist die Symmetriegruppe eine zyklische Gruppe der Ordnung vier,
erzeugt vom Drehen um die senkrechte Achse um einen rechten Winkel gefolgt
vom Vertauschen der oberen und der unteren Ecke.
15
drat sind jedoch nicht sichtbar. Eine andere Darstellung ist
/
X
Z
/Y0
/
Z
/ X0
/Y0
/ X0
Z0
/
Z0
/
X
Y
/
Y
/
[1]X
/
[1]X
/
[1]Y
[1]Z 0
mit einigen Identitäten in den Vertikalen, kommutativen Quadraten und ausgezeichneten Dreiecken als Zeilen. In dieser Darstellung sehen wir alle Information unseres Oktaeders: Alle vier ausgezeichneten Dreiecke als Zeilen, alle vier
kommutativen Dreiecke als Quadrate mit einer ist-gleich-Seite, davon eines sogar
doppelt, und beide kommutativen Quadrate, davon eines sogar doppelt. Als letzte
Variante gebe ich
>>
>>
>>
>
5
8
D
0
=X EE
@Z ?
@ Y >>
>>
>>
>>
Q _ m z
{
{{
{{
{
{
{{
0
Y
? C
 CCCC


CC

CC
!

??
??
??
?
Z
E
0
X>
[1]X
C
EE
EE
EE
E"
[1]Y
y<
yy
y
yy
yy
@
[1]Z 0
<
xx
xx
x
x
xx
F
F
F
F"
[1]Z
@
J
U _ i t
~
Dies Diagramm soll man sich periodisch nach rechts und links fortgesetzt denken.
Alle vier ausgezeichneten Dreiecke sind hier gut als eckenlose Wege erkennbar,
und die vier kommutativen Dreiecke ebenso wie die beiden kommutativen Vierecke sind gleichfalls gut zu sehen.
2.1.11. Aus ?? folgt, daß jeder Isomorphismus zwischen additiven Kategorien
additiv ist. Insbesondere brauchen wir die Additivität des Funktors [1] einer triangulierten Kategorie nicht extra zu fordern.
2.1.12 (Komposition von Morphismen in einem Dreieck). In einem ausgezeichneten Dreieck ist die Komposition von je zwei aufeinanderfolgenden Morphismen
16
Noch eine andere Darstellung eines Oktaeders
17
Null. In der Tat gibt es für jedes ausgezeichnete Dreieck X → Y → Z → notwendig einen Morphismus von Dreiecken nach 0 → Z → Z → der Gestalt (?, v, id)
mit v : Y → Z dem zweiten Morphismus unseres Ausgangsdreiecks. Folglich ist
(0, v, id) ein Morphismus von Dreiecken, und damit gilt v ◦ u = 0 für u : X → Y
den ersten Morphismus unseres Ausgangsdreiecks.
Lemma 2.1.13. Ist T eine triangulierte Kategorie und X → Y → Z → [1]X
darin ein ausgezeichnetes Dreieck, so bilden für jedes Objekt W ∈ T die Morphismen nach W eine lange exakte Sequenz von abelschen Gruppen
. . . ← T (X, W ) ← T (Y, W ) ← T (Z, W ) ← T ([1]X, W ) ← . . .
Dasselbe gilt dual auch für die Morphismen von W in die Objekte unseres ausgezeichneten Dreiecks.
Beweis. Fast gleich zum Beweis von ?? und dem Leser überlassen.
Übungen
Übung 2.1.14. Sind bei einem Morphismus von ausgezeichneten Dreiecken zwei
der Abbildungen Isomorphismen, so auch die Dritte. Hinweis: 2.1.13 und Fünferlemma und Yoneda-Lemma.
Übung 2.1.15 (Morphismen von ausgezeichneten Dreiecken, Eindeutigkeit).
Sei T eine triangulierte Kategorie. Gegeben ein kommutatives Diagramm mit ausgezeichneten Dreiecken in den Horizontalen
X → Y → Z → [1]X
↓
↓
↓
0
0
0
X → Y → Z → [1]X 0
gibt es nach Annahme einen Morphismus Z → Z 0 , der es kommutativ vervollständigt. Man zeige, daß sowohl unter der Annahme T ([1]X, Z 0 ) = 0 als auch
unter der Annahme T (Z, Y 0 ) = 0 dieser Morphismus Z → Z 0 sogar eindeutig
bestimmt ist. Im Spezialfall von Homotopiekategorien war das ??. Hinweis: Dieser Morphismus Z → Z 0 ist sogar bereits dadurch eindeutig bestimmt, daß er
das linke bzw. das rechte durch ihn neu entstehende Quadrat zum Kommutieren
bringt.
Übung 2.1.16 (Morphismen in ausgezeichneten Dreiecken, Eindeutigkeit). Sei
T eine triangulierte Kategorie. Gibt es zu einem Morphismus aus einem ausgezeichneten Dreieck keinen von Null verschiedenen Morphismus in die Gegenrichtung, so wird der fragliche Morphismus bereits durch die beiden anderen eindeutig
r,s
u
v
festgelegt. Sind also in Formeln X → Y → Z −→ [1]X ausgezeichnete Dreiecke
für zwei Morphismen r, s : Z → [1]X und gilt T ([1]X, Z) = 0, so folgt r = s.
Im Spezialfall von Homotopiekategorien war das ??.
18
Übung 2.1.17. Wenn man in einem ausgezeichneten Dreieck bei zwei Morphismen das Vorzeichen ändert, entsteht wieder ein ausgezeichnetes Dreieck.
Übung 2.1.18. Die opponierte Kategorie einer triangulierten Kategorie ist mit der
entgegengesetzten homologischen Verschiebung und „denselben“ ausgezeichneten Dreiecken versehen auch eine triangulierte Kategorie. Sie heißt die opponierte
triangulierte Kategorie.
2.2
Homotopiekategorien als triangulierte Kategorien
Satz 2.2.1 (Homotopiekategorien als triangulierte Kategorien). Für jede additive Kategorie I ist die Homotopiekategorie Hot(I) mit ihrer durch Verschiebung
erklärten Z-Operation und den in ?? durch Abbildungskegel erklärten ausgezeichneten Dreiecken eine triangulierte Kategorie.
Beweis. Alle Axiome mit Ausnahme des Oktaederaxioms sind entweder offensichtlich erfüllt oder werden in ?? bewiesen. Um auch noch das Oktaederaxiom
f
g
zu prüfen, reicht es zu zeigen, daß für Morphismen von Komplexen X → Y → Z
die Sequenz
u
Keg(f )
/
Keg(g ◦ f )
/
v
Keg(g)
w
/ [1] Keg(f )
ein ausgezeichnetes Dreieck ist, wenn diese Komplexe und Morphismen gegeben
werden durch
X n+1 ⊕ Y n
(01 g0)
(−∂f ∂0)
/
X n+2 ⊕ Y n+1
10
0g
( )
/
(f0 10)
X n+1 ⊕ Z n
/
Y n+1 ⊕ Z
0
( −∂
g◦f ∂ )
X n+2 ⊕ Z n+1
f0
11
( )
/
(01 00)
/ X n+2
(−∂g ∂0)
Y n+2 ⊕ Z n+1
00
10
( )
/
⊕ Y n+1
0
(−f∂ −∂
)
X n+3 ⊕ y n+2
Hier und im Folgenden verwenden wir die Konvention [KAG] 1.4.17, nach der
Elemente von direkten Summen als Spaltenmatrizen aufgefaßt werden, mit den
vorne stehenden Komponenten oben, und Morphismen zwischen direkten Summen durch Matrizen von Homomorphismen zwischen den Summanden, die durch
Matrixmultiplikation von links operieren. Um zu zeigen, daß dies Dreieck ausge∼
zeichnet ist, gilt es, eine Homotopieäquivalenz h : Keg(g) → Keg(u) anzugeben
derart, daß
Keg(g ◦ f ) v / Keg(g) w / [1] Keg(f )
h
Keg(g ◦ f )
/
Keg(u)
19
/
[1] Keg(f )
in der Homotopiekategorie kommutiert. Nun haben wir ja
Keg(u)n = X n+2 ⊕ Y n+1 ⊕ X n+1 ⊕ Z n
mit Randoperator

∂ 0
0
f −∂
0

1 0
−∂
0 g g◦f

0
0

0
∂
und es reicht zu zeigen, daß die Marix


0 0
1 0 
n+1


⊕ Z n → X n+2 ⊕ Y n+1 ⊕ X n+1 ⊕ Z n
0 0  : Y
0 1
eine Homotopieäquivalenz h mit den gewünschten Eigenschaften liefert. Explizite Rechnung zeigt, daß sie eine Kettenabbildung definiert und das rechte Quadrat
unseres Diagramms der sechs Komplexe von eben zum Kommutieren bringt. Definieren wir eine Abbildung in die Gegenrichtung k : Keg(u) → Keg(g) durch
die Matrix
0 1 f 0
: X n+2 ⊕ Y n+1 ⊕ X n+1 ⊕ Z n → Y n+1 ⊕ Z n
0 0 0 1
so erhalten wir auch eine Kettenabbildung, von der klar ist, daß sie das linke
Quadrat mit umgekehrtem Mittelpfeil zum Kommutieren bringt. Weiter gilt offensichtlich k ◦ h = id, so daß nur zu zeigen bleibt, daß h ◦ k homotop ist zur
Identität auf Keg(u). Solch eine Homotopie wird jedoch gegeben durch die Matrix


0 0 1 0
0 0 0 0


0 0 0 0
0 0 0 0
Definition 2.2.2. Ein triangulierter Funktor von einer triangulierten Kategorien
in eine weitere ist ein additiver Z-Funktor, der ausgezeichnete Dreiecke zu ausgezeichneten Dreiecken macht.
Definition 2.2.3. Eine Menge von Objekten einer triangulierten Kategorie heißt
ein trianguliertes System genau dann, wenn gilt:
1. Das Nullobjekt gehört zu unserer Menge;
20
2. Mit je zwei Objekten eines ausgezeichneten Dreiecks gehört auch das Dritte
zu unserer Menge;
Ein trianguliertes System, das mit jedem Objekt auch alle seine direkten Summanden enthält, nennen wir ein Verdiersystem.
2.2.4. Nach der Definition einer triangulierten Kategorie 2.1.7 haben wir für jedes Objekt X ein ausgezeichnetes Dreieck (X, 0, [1]X) und jeder Isomorphismus
∼
X → Y paßt in ein ausgezeichnetes Dreieck (X, Y, 0). Folglich gehören zu einem
gegebenen triangulierten System mit einem Objekt X auch alle seine Shifts und
alle zu ihm isomorphen Objekte.
2.2.5 (Diskussion der Terminologie). Kashiwara und Schapira verwenden in
[KS90] die Bezeichnung Nullsystem für das, was ich ein trianguliertes System
nenne. Die Terminologie von Kashiwara und Schapira gefällt mir nicht, da ich
derartige Systeme keineswegs nur betrachten will, um sie wegzuteilen. Die Bezeichnung „Verdiersystem“ ist nicht üblich. Verdier selbst benutzt die Bezeichnung souscatégorie épaisse.
2.2.6. Verstehen wir ein trianguliertes System als volle Unterkategorie, so erbt es
in natürlicher Weise die Struktur einer triangulierten Kategorie. Alle diejenigen
Objekte, die von einem triangulierten Funktor zu Null gemacht werden, bilden offensichtlich sogar ein Verdiersystem. Das kleinste triangulierte System bzw. Verdiersystem, das eine vorgegebene Menge von Objekten umfaßt, bezeichnen wir
als das von dieser Menge erzeugte triangulierte System bzw. Verdiersystem.
Das von einer Menge von Objekten N erzeugte triangulierte System notieren wir
hN i = h! N i∆ , wobei wir einen unteren Index ∆ verwenden, wenn wir betonen
wollen, daß das triangulierte Erzeugnis gemeint ist, und in Anlehnung an unsere Vereinbarung aus [AL] 3.5.1 das untere Ausrufezeichen, wenn wir betonen
wollen, daß das Symbol in der Klammer nicht einen einzelnen Erzeuger meint,
sondern ein ganzes System von Erzeugern. Besteht N aus einem einzigen Objekt
N, so schreiben wir auch kürzer hN i oder hN i∆ . Für das von was auch immer
erzeugte Verdiersystem verwenden wir analog die Notation h i∆ .
Beispiel 2.2.7. In der Homotopiekategorie der Kategorie der Vektorräume über
einem Körper k besteht das von k 2 erzeugte Verdiersystem aus allen in beide
Richtungen beschränkten Komplexen mit endlichdimensionalen Einträgen. Das
von k 2 erzeugte triangulierte System enthält jedoch nur beschränkte Komplexe
mit endlichdimensionalen Einträgen und gerader Eulercharakteristik, wir haben
also hk 2 i∆ 6= hk 2 i∆ .
2.2.8. Ist ein triangulierter Funktor volltreu auf einer vollen Unterkategorie, so ist
er auch volltreu auf dem von dieser Unterkategorie erzeugten Verdiersystem. Das
folgt sofort aus 2.1.13 und dem Fünferlemma. Das Anwenden dieser Erkenntnis
bezeichnet man oft als dévissage, französisch für „Aufschrauben“.
21
Übungen
Übung 2.2.9. Ist ein triangulierter Funktor eine Äquivalenz von Kategorien, so ist
auch jeder dazu quasiinverse Funktor trianguliert. In anderen Worten kann man
unter keinen Umständen in einer triangulierten Kategorie noch zusätzliche Dreiecke auszeichnen derart, daß man wieder eine triangulierte Kategorie erhält.
Übung 2.2.10. Man betrachte den Funktor D, der jedem Komplex C von abelschen Gruppen seinen dualen Komplex DC := C ∗ im Sinne von [TG] ?? zuordnet, und versehe ihn mit der Z-Struktur, die durch diejenigen Morphismen
∼
[1]DC → D[1]C erklärt wird, die auf der Komponente vom Grad n beider Komplexe das (−1)n -fache der offensichtlichen Identifikation sind. Mit dieser Z-Struktur
ist D ein triangulierter Funktor
D : HotZ → Hotopp
Z
2.3
Triangulierte Kategorien und dg-Moduln*
2.3.1. Auf der Kategorie dgMod−R aller dg-Rechtsmoduln über einem dg-Ring
R liefert die Z-Operation M 7→ [1]M auf Komplexen aus [TS] 4.10.23 in offensichtlicher Weise eine Z-Operation.
2.3.2. Auf der Kategorie dgModR aller dg-Moduln über einem dg-Ring R können
wir eine Z-Operation erklären, indem wir von unserer Z-Operation M 7→ [1]M
auf Komplexen aus [TS] 4.10.23 ausgehen und die R-Operation erklären durch
die Vorschrift
r([1]m) := (−1)|r| [1](rm)
für homogene r ∈ R. Das Vorzeichen ist nötig, damit [1]M mit seinem negativ
gemachten Differential wieder ein dg-Modul ist.
2.3.3 (Homotopiekategorie eines dg-Rings als triangulierte Kategorie). Die
Homotopiekategorie dgHot−R aus [TS] 5.4.15 aller dg-Rechtsmoduln über einem
dg-Ring R wird eine triangulierte Kategorie, wenn wir sie mit der Z-Operation
durch Verschiebung versehen und die Dreiecke auszeichnen, die isomorph sind
zu Dreiecken der Gestalt
f
M → N → Keg(f ) → [1]M
mit Keg(f ) dem Abbildungskegel, den wir uns hier mit seiner offensichtlichen
Struktur als dg-Rechtsmodul versehen denken müssen. Um die Axiome einer
triangulierten Kategorie zu verifizieren, müssen wir nur den Beweis des Satzes
2.2.1 durchgehen und prüfen, daß alle Kettenabbildungen und Homotopien daraus unter unseren zusätzlichen Voraussetzungen mit der Operation von R verträglich sind. Für Linksmoduln gilt Entsprechendes, wenn wir auf dem Abbildungskegel die nicht ganz so offensichtliche R-Operation betrachten, bei der ein
22
homogenes r ∈ R in den Notationen von [TS] 5.6.5 durch die Diagonalmatrix
diag((−1)|r| r, r) operiert. Im Folgenden will ich die Bedeutung dieser Verallgemeinerungen im Rahmen der Theorie verdeutlichen.
2.3.4. Gegeben dg-Ringe A, B und ein A-B-dg-Bimodul X liefern die Konstruktionen [TS] 5.4.14 und [TS] 5.4.15, wenn wir sie in geeigneter Weise durch ZStrukturen ergänzen, triangulierte Funktoren
X⊗B : dgHotB → dgHotA
⊗A X : dgHot−A → dgHot−B
HomA (X, ) : dgHotA → dgHotB
Hom−B (X, ) : dgHot−B → dgHot−A
HomA ( , X) : dgHotA → dgHotopp
B
Hom−B ( , X) : dgHot−B → dgHotopp
−A
Der Leser kann das unschwer selbst prüfen.
Definition 2.3.5. Gegeben ein dg-Ring E nennen wir das von E in dgHotE erzeugte triangulierte System die freie triangulierte Kategorie zu E und notieren
es
hEi∆ = E -dgFrei = dgFreiE
Diese Terminologie befriedigt mich nicht vollständig, da es sich bei den Objekten
ja eher um eine Art „freie und endlich erzeugte Objekte“ handelt, aber mir ist
nichts Besseres eingefallen. Das von E in dgHotE erzeugte Verdiersystem nennen
wir dahingegen die perfekte triangulierte Kategorie zu E und notieren es
hEi∆ = E -dgPer = dgPerE
Die Objekte der perfekten triangulierten Kategorie heißen perfekte Komplexe
Analog bilden wir die freie bzw. perfekte triangulierte Kategorie zum opponierten
Ring und notieren sie alternativ hEi∆ = dgFrei- E = dgFrei−E beziehungsweise
hEi∆ = dgPer- E = dgPer−E .
Proposition 2.3.6 (Triangulierte Kategorien und dg-Moduln). Seien I eine additive Kategorie, T ∈ Ket(I) ein Komplex, E = EndI T sein Endomorphismenkomplex mit der natürlichen Struktur als dg-Ring und hT i∆ das von T in Hot(I)
erzeugte triangulierte System. So induziert der Funktor HomI (T, ) eine Äquivalenz von triangulierten Kategorien
≈
hT i∆ → dgFrei- E
23
2.3.7. Ich sehe diese Proposition als Analogon zu Übung ??, die eine ähnliche
Aussage für additive Kategorien bereitstellt. Arbeiten wir allgemeiner mit dgRingoiden im Sinne von 2.9.12, so können wir unsere Proposition ohne Schwierigkeiten zu einer Beschreibung des von einer beliebigen Menge von Komplexen
erzeugten triangulierten Systems ausbauen. In 2.8.3 folgern wir eine analoge Aussage für die sogenannten „derivierten Kategorien“.
Beweis. Der Funktor HomI (T, ) : Ket(I) → dgMod- E induziert einen triangulierten Funktor Hot(I) → dgHot- E mit T 7→ E. Besonders transparent sieht
man das in der Notation der „opponierten Hom-Räume“ aus [TS] 5.4.7 mit [TS]
5.4.13. Dieser Funktor induziert Bijektionen
∼
HotI (T, [n]T ) → dgHot−E (E, [n]E)
für alle n, da beide Seiten mit Hn E identifiziert werden können in natürlicher und
verträglicher Weise, vergleiche [TS] 5.4.17. Nach 2.2.8 induziert er folglich eine
Äquivalenz von triangulierten Kategorien wie behauptet.
Ergänzung 2.3.8. Sei A eine additive Kategorie und seien P, I ∈ Ket(A) Komplexe. Wir betrachten die dg-Ringe E = EndA I und den F -E-dg-Bimodul X =
HomA (P, I). So erhalten wir eine verträgliche Transformation τ von Z-Funktoren
wie im Diagramm als Doppelpfeil angedeutet
Ket(A)
Ket(A)
kkk
τkkkkk
k
HomA ( ,I)
HomA (P, )
kkk
qy kk
/ dgMod
dgModopp
F
−E
HomF ( ,X)
durch die Morphismen τA : HomA (P, A) → HomF (HomA (A, I), X) mit τA :
ϕ 7→ (◦ϕ). Im Fall A = I ist τI sogar ein Isomorphismus. Des weiteren steigt
unser Diagramm zu den Homotopie-Kategorien ab und unser τ liefert auch eine
verträgliche Transformation τ̃ von Z-Funktoren wie im folgenden Diagramm als
Doppelpfeil angedeutet:
Hot(A)
HomA ( ,I)
dgHotopp
F
lll
Hot(A)
τ̃llll l
ll
lll
qy ll
HomF ( ,X)
HomA (P, )
/ dgHot
−E
Diese Transformation τ̃ liefert dann sogar Isomorphismen τ̃A für alle Objekte A
im triangulierten Erzeugnis hIi∆ ⊂ Hot(A) von I und damit eine Isotransforma-
24
tion wie im folgenden Diagramm durch einen Doppelpfeil angedeutet:
hIi∆ 
/ Hot(A)
l
l
l
∼llll
HomA ( ,I) o
HomA (P, )
lll
l
l
qy l
/ dgHot
dgFreiopp
F
HomF ( ,X)
−E
Übungen
Übung 2.3.9. Ist A →
˘ B ein Quasiisomorphismus von dg-Ringen im Sinne von
[TS] ??, so induziert der durch Restriktion längs unseres Quasiisomorphismus
gegebene Funktor B -dgHot → A -dgHot eine Äquivalenz von triangulierten Ka≈
tegorien B -dgFrei → A -dgFrei.
2.4
Quotienten triangulierter Kategorien
2.4.1. Sei T eine triangulierte Kategorie und N eine Menge von Objekten von T .
Im folgenden konstruieren wir ein Paar (T /N , can) bestehend aus einer triangulierten Kategorie T /N und einem triangulierten Funktor can : T → T /N derart,
daß gilt:
1. Jedes Objekt aus N wird unter can ein Nullobjekt in T /N ;
2. Ist D eine weitere triangulierte Kategorie und F : T → D ein triangulierter Funktor, der alle Objekte aus N zu Null macht, so gibt es genau einen
triangulierten Funktor F̃ : T /N → D mit F = F̃ ◦ can.
Natürlich ist ein derartiges Paar in der üblichen Weise eindeutig bis auf eindeutigen Isomorphismus. Wir nennen es den Quotienten von T nach N .
2.4.2. Ist F : T → D ein triangulierter Funktor in eine weitere triangulierte Kategorie, der die Objekte aus N zu Null macht und für den der induzierte Funktor
≈
eine Äquivalenz von Kategorien F̃ : T /N → D ist, so nenne ich F einen Quotientenfunktor oder genauer, wenn ich Verwechslungen mit Quotientenfunktoren
im Kontext abelscher Kategorien vermeiden will, einen triangulierten Quotientenfunktor. Man erinnere hier, daß nach 2.2.9 in diesem Fall jeder Quasiinverse
zu unserer Äquivalenz auch trianguliert ist.
Satz 2.4.3 (Konstruktion triangulierter Quotienten). Ist T eine triangulierte
Kategorie und V ⊂ T ein Verdiersystem, so gilt:
1. Die Menge S(V) aller Morphismen mit Abbildungskegel in V ist ein Oresystem;
25
2. Die an S(V) lokalisierte Kategorie TS(V) wird eine triangulierte Kategorie,
wenn wir sie mit der von T induzierten Z-Operation [1] versehen und als
ausgezeichnete Dreiecke alle Dreiecke nehmen, die isomorph sind zu Bildern ausgezeichneter Dreiecke von T ;
3. Der kanonische Funktor T → TS(V) ist ein Quotient von T nach V, die
davon annullierten Objekte sind genau die Objekte von V, und die davon
zu Isomorphismen gemachten Morphismen sind genau die Morphismen mit
Abbildungskegel aus V.
2.4.4. Mit diesem Satz ist auch klar, daß für eine beliebig vorgegebene Menge
von Objekten N einer triangulierten Kategorie T der Quotient T /N existiert:
Man wendet schlicht die Konstruktion aus dem Satz an auf das von dieser Menge
erzeugte Verdiersystem und setzt also
T /N := TS(hN i∆ )
Zusätzlich zeigt unser Satz dann, daß die unter can : T → T /N zu Null gemachten Objekte genau die Objekte des von N erzeugten Verdiersystems sind.
Beweis. 1. Daß unser System S := S(V) stabil ist unter Verknüpfung, folgt sofort
aus dem Oktaederaxiom. Daß sich jeder Winkel
X
Y
f
s
/
Z
mit s ∈ S ergänzen läßt zu einem kommutativen Diagramm
W
t
Y
g
f
/
/
X
s
Z
mit t ∈ S folgt auch aus dem Oktaederaxiom, indem man nämlich erst das Dreieck X → Z → N → über s bildet und damit den Oktaeder zur Komposition
Y → Z → N : Dessen untere Ecke, also die dritte Ecke des Dreiecks über der
Komposition, ist dann das gesuchte W . Sind schließlich f, g : X → Y gegeben
und s ∈ S und sf = sg, also s ◦ (f − g) = 0, so betrachten wir das ausgezeichnete Dreieck über s und folgern mit 2.1.13 die Existenz von h : X → W mit
26
(f − g) = r ◦ h.
VX
t
[1]
W
*
X
n
~
n~
n
~
n ~
n n h ~ ~~~
~ s
wn nr /
/ Z [1]
Y
/
Bilden wir nun, wie durch die gepunkteten Pfeile angedeutet, das ausgezeichnete
Dreieck über h, so haben wir t ∈ S und (f − g) ◦ t = 0. Damit haben wir gezeigt,
daß unser System rechts-Ore ist im Sinne von 1.3.3. Daß es auch links-Ore sein
muß, folgt durch Übergang zur opponierten Kategorie.
2. Nach 1.3.12 ist unsere lokalisierte Kategorie TS additiv und der kanonische
Funktor T → TS desgleichen. Die Z-Operation geht ohne Schwierigkeiten auf
die Lokalisierung über. Daß unsere in 2.4.3 ausgezeichneten Dreiecke die Lokalisierung sogar zu einer triangulierten Kategorie machen, scheint mir klar, da sich
ja jeder Morphismus X → Y der lokalisierten Kategorie einbetten läßt in ein
kommutatives Diagramm
XO A
s
W
AA
AA
AA
A
f
/Y
mit der Eigenschaft, daß s und f von Morphismen in T herkommen und daß s in
TS ein Isomorphismus wird. Und nun muß man nur 2.4.5 anwenden und erinnern,
daß nach 1.3.15 jedes kommutative Dreieck oder Viereck in der lokalisierten Kategorie bis auf Isomorphismus von einem kommutativen Dreieck oder Viereck in
der ursprünglichen Kategorie herkommt.
3. Die universelle Eigenschaft scheint mir evident. Geht ein Objekt unter dem
Quotientenfunktor nach Null, so muß die Identität darauf zur Nullabbildung werden. Schreiben wir diese Bedingung in der Kategorie der Brüche, so impliziert
sie leicht, daß unser Objekt direkter Summand eines Objekts von N sein muß.
Aufgrund unserer Definition eines Verdiersystems gehört unser Objekt dann aber
sogar selbst bereits zu N .
Lemma 2.4.5. Sei V ⊂ T ein Verdiersystem in einer triangulierten Kategorie.
Haben bei einem Morphismus von ausgezeichneten Dreiecken zwei der Objektmorphismen Kegel in V, so auch der Dritte.
27
Beweis. Wir argumentieren anhand des folgenden Diagramms:
/Y
X BB
/Z
BB
BB
BB
! 0
/Y0
X
o
AA
AA
AA
AA
w
KA
AA
AA [1]
AA
AA
A
v
[1]
Vo
o
[1]
AA
AA
AA
AA
/ Z0
[1]
/
[1]
/
V
[1]
Es entsteht durch zweimaliges Anwenden des Oktaederaxioms auf die beiden
Kompositionen im Rechteck oben links und zeigt, daß sowohl Z → K als auch
Z 0 → K Kegel in V haben. Mit nochmaligem Anwenden des Oktaederaxioms
folgt dann, daß auch Z → Z 0 Kegel in V hat.
2.5
Derivierte Kategorien
Definition 2.5.1. Ist A eine abelsche Kategorie, so bezeichnen wir den Quotienten
im Sinne von 2.4.3 der zugehörigen Homotopiekategorie nach dem Verdiersystem
aller exakten Komplexe mit
DerA = Der(A) := Hot(A)/(exakte Komplexe)
und nennen diese triangulierte Kategorie die derivierte Kategorie von A.
2.5.2. Nach der in 2.4.3 gegebenen Konstruktion ist die derivierte Kategorie also
genau die Lokalisierung der Homotopiekategorie an den Quasiisomorphismen aus
??. Die universelle Eigenschaft der Lokalisierung liefert uns also Funktoren
Hi : Der(A) → A
mit der Eigenschaft, daß jedes ausgezeichnete Dreieck eine lange exakte Sequenz
liefert und daß ein Morphismus ein Isomorphismus ist genau dann, wenn er Isomorphismen auf allen Hi induziert. Ich werde Isomorphismen in der derivierten
Kategorie selbst dann manchmal →
˘ notieren, wenn sie nicht durch eine Kettenabbildung repräsentiert werden können und diese Notation noch nicht bereits durch
unsere Konvention ?? abgedeckt ist.
28
Definition 2.5.3. Ist A ein dg-Ring und U ein Universum mit A ∈ U, so bilden
wir die triangulierte Kategorie
A -dgDer = dgDerA = dgHotA /(exakte dg-Moduln)
und analog dgDer- A = dgDer−A für dg-Rechtsmoduln und nennen sie die derivierte Kategorie der dg-Moduln bzw. dg-Rechtsmoduln über A in U. Das
fragliche Universum notieren wir nicht mit, um die Notation nicht zu überladen.
Ist unser dg-Ring ein Ring A konzentriert im Grad Null, so haben wir mit unseren
Definitionen also
dgDerA = Der(A -Mod) = DerA -Mod
dgDer−A = Der(Mod- A) = DerMod- A
g
f
2.5.4. Gegeben eine kurze exakte Sequenz X ,→ Y Z von Komplexen in einer
abelschen Kategorie A bilden wir in Der(A) das der kurzen exakten Sequenz
zugeordnete ausgezeichnete Dreieck
X → Y → Z → [1]X
wie folgt: Wir beachten im kommutativen Diagramm
X → Y → Keg(f ) → [1]X
k
k
↓
X → Y →
Z
mit dritter Vertikale (0, g), daß diese dritte Vertikale ein Quasiisomorphismus sein
muß. Das hinwiederum erkennt man an der langen exakten Homologiesequenz der
kurzen exakten Sequenz von Kettenkomplexen
(0,g)
Keg(idX ) ,→ Keg(f ) Z
In der Tat prüft man leicht, daß die Homologie von Keg(idX ) verschwindet. Analoges gilt in der derivierten Kategorie der dg-Moduln über einem vorgegebenen
dg-Ring. Diese Konstruktion liefert sogar einen Funktor von der Kategorie der
kurzen exakten Sequenzen von Komplexen in die Kategorie der ausgezeichneten
Dreiecke der derivierten Kategorie.
Ergänzung 2.5.5. Ich sehe keinen Grund, aus dem der natürliche Funktor von der
Homotopiekategorie zur derivierten Kategorie mit unendlichen direkten Summen
oder unendlichen Produkten verträglich sein sollte.
29
Übungen
Übung 2.5.6. Für jeden dg-Ring A ist der Quotientenfunktor alias Lokalisierungsfunktor A -dgHot → A -dgDer volltreu auf A -dgPer. Wir können A -dgPer also
auch als das von A in A -dgDer erzeugte Verdiersystem auffassen. Analoges gilt
für A -dgFrei.
Übung 2.5.7 (Alternative Konstruktion der derivierten Kategorie). Sei A eine
abelsche Kategorie. Man prüfe, daß Kettenabbildungen f, g ∈ KetA (X, Y ) genau
dann homotop sind, wenn es eine Kettenabbildung h : S∆1 ⊗Z X → Y gibt mit
f = h ◦ δ0 und g = h ◦ δ1 . Andererseits sind im Diagramm
δ0
X
δ1
.
0 S∆1
p
⊗Z X → X
beide Kompositionen die Identität und p ist eine Homotopieäquivalenz. Jeder
Funktor, der Homotopieäquivalenzen zu Isomorphismen macht, muß also über
KetA → HotA faktorisieren. Andererseits werden unter diesem Funktor auch alle
Homotopieäquivalenzen Isomorphismen. Bezeichnet also H die Menge der Homotopieäquivalenzen, so liefert der offensichtliche Funktor einen Isomorphismus
von Kategorien
∼
KetA |H −1 i → HotA
Bezeichnet weiter Q die Menge aller Quasiisomorphismen in KetA und Q̄ die
Menge aller Quasiisomorphismen in HotA , so liefert demnach der offensichtliche
Funktor einen Isomorphismus von Kategorien
∼
KetA |Q−1 i → HotA |Q̄−1 i
Damit erhalten wir eine alternative Konstruktion der derivierten Kategorie DerA
als Lokalisierung der Kategorie KetA der Komplexe nach Quasiisomorphismen.
2.6
Beschränkte derivierte Kategorien
Definition 2.6.1. Gegeben eine additive Kategorie I betrachten wir in der triangulierten Kategorie Hot(I) die Verdiersysteme
+
Hot+
I = Hot (I) aller gegen die Pfeile beschränkten Komplexe;
−
Hot−
I = Hot (I) aller mit den Pfeilen beschränkten Komplexe;
HotbI = Hotb (I) aller beidseitig beschränkten Komplexe.
Im Fall einer abelschen Kategorie A schreiben wir kurz
Der]A = Der] (A)
30
mit ] ∈ {+, −, b} für die Quotienten dieser triangulierten Kategorien nach dem
Verdiersystem aller azyklischen Komplexe in der jeweiligen Kategorie von Komplexen.
Lemma 2.6.2. Für jede abelsche Kategorie A liefern die offensichtlichen Funktoren volltreue Einbettungen
Der+ (A) s

A /
o7
ooo
o
o
oo
* ooo
MMM
MMM
MMM
MM&
OOO
OOO
OOO
O'
q8
qqq
q
q
qq
+ qqq
Derb (A) Ot
Der(A)
Der− (A)
Des weiteren ist ein Komplex im Der(A) isomorph zum Bild eines Objekts unter einer unserer Einbettungen genau dann, wenn seine Kohomologie nach oben
beschränkt bzw. nach unten beschränkt bzw. beschränkt bzw. nur im Grad Null
konzentriert ist.
2.6.3. Oft bezeichnen wir später mit Der] (A) auch das essentielle Bild unserer
volltreuen Einbettungen.
Beweis. Wir verwenden die Abschneidefunktoren, wie sie in 2.6.4 eingeführt werden. Um zu zeigen, daß Der− (A) → Der(A) volltreu ist, wenden wir 1.3.8 an:
Ist s : X → Y ein Quasiisomorphismus mit Y ∈ Hot− (A), so ist für hinreichend
großes n der Morphismus h : τ ≤n X → X ein Quasiisomorphismus und leistet
das Gewünschte. Die anderen Fälle mit Ausnahme der Einbettung von A behandelt man ähnlich. Im Fall der Einbettung von A zeigt der Funktor H0 , daß sie treu
ist. Ist andererseits X ein Komplex, dessen Kohomologie nur im Grad Null lebt,
so liefern die Quasiisomorphismen X →
˘ τ ≥0 X ←
˘ τ ≤0 τ ≥0 X einen Isomorphismus
0
X→
˘ H X in der derivierten Kategorie, wo wir H0 X als im Grad Null konzentrierten Komplex auffassen. Also ist jeder Komplex mit trivialer Kohomologie
außerhalb von Null in der derivierten Kategorie isomorph zu seiner Kohomologie. Damit gilt es nur noch zu zeigen, daß die Einbettung A → Der(A) surjektiv
ist auf Morphismen. Dazu stellen wir für A, B ∈ A einen Morphismus als Bruch
A←
˘ X → B in der Homotopiekategorie dar mit A ←
˘ X einem Quasiisomorphismus. Wenden wir nun die Abschneidefunktoren in der Homotopiekategorie
auf unseren Bruch an, so erhalten wir einen Bruch A ←
˘ τ ≤0 τ ≥0 X → B, der
offensichtlich denselben Morphismus darstellt. Nun steht jedoch links ein echter
Isomorphismus und wir sind fertig.
31
2.6.4 (Abschneidefunktoren). Gegeben ein Komplex X = (X n , dn ) in einer
abelschen Kategorie erklären wir für alle n ∈ Z die Komplexe
τ ≤n X
τ <n+1 X
τ >n X
τ ≥n+1 X
. . . → X n−1
. . . → X n−1
... →
0
... →
0
→ ker dn
→ Xn
→ im dn
→
0
→
0
→ im dn
→ X n+1
→ cok dn
→
0
→
0
→ X n+2
→ X n+2
→ ...
→ ...
→ ...
→ ...
Der Buchstabe τ steht für englisch „truncated“ oder französisch „tronqué“. Wir
haben ein offensichtliches kommutatives Diagramm mit exakten Zeilen und Quasiisomorphismen in den Vertikalen
τ <n+1
O X
τ ≤n X 

/
/
X
/ / τ ≥n+1 X
O
X
/ / τ >n X
Sicher gilt Hi (τ ≤n X) = Hi (τ <n+1 X) = 0 für i > n und die offensichtlichen
Morphismen τ ≤n X → τ <n+1 X → X induzieren für i ≤ n Isomorphismen auf
den i-ten Kohomologiegruppen. Der offensichtliche Morphismus ist also stets ein
Isomorphismus τ ≤n X →
˘ τ <n+1 X in der derivierten Kategorie, und verschwinden
alle Hi X für i > n, so liefern die offensichtlichen Morphismen in der derivierten
Kategorie Isomorphismen τ ≤n X →
˘ τ <n+1 X →
˘ X. Analoges gilt für das andere
Abschneiden. Offensichtlich machen alle diese Abschneidefunktoren homotope
Abbildungen zu homotopen Abbildungen und Quasiisomorphismen zu Quasiisomorphismen und induzieren folglich Abschneidefunktoren sowohl auf der Homotopiekategorie als auch auf der derivierten Kategorie. Wir verwenden für diese
induzierten Funktoren dieselbe Notation.
2.6.5. Gegeben eine abelsche Kategorie A setzen wir
Der≤n
= {X ∈ DerA | Hi X = 0 für i > n}
A
Der≥n
= {X ∈ DerA | Hi X = 0 für i < n}
A
≤n+1
≥n+1
Offensichtlich gilt Der≤n
und Der≥n
.
A ⊂ DerA
A ⊃ DerA
Proposition 2.6.6 (über Abschneidefunktoren). Sei A eine abelsche Kategorie
und n ∈ Z. So haben wir:
≥n+1
1. Für alle X ∈ Der≤n
gilt DerA (X, Y ) = 0;
A und Y ∈ DerA
≤n
2. Die Einbettung Der≤n
:
A → DerA besitzt stets einen Rechtsadjungierten τ
≤n
DerA → DerA ;
32
≥n
3. Die Einbettung Der≥n
:
A → DerA besitzt stets einen Linksadjungierten τ
≥n
DerA → DerA ;
4. Die kanonischen Abbildungen zu diesen Adjunktionen lassen sich für jedes
X ∈ DerA auf genau eine Weise ergänzen zu einem ausgezeichneten Dreieck
τ ≤n X → X → τ ≥n+1 X → [1]τ ≤n X
Beweis. Jeder Morphismus aus DerA (X, Y ) läßt sich natürlich darstellen als ein
Bruch X ←
˘ Z → Y von Morphismen in HotA mit einem Quasiisomorphismus
Z→
˘ X. Unter der Annahme X ∈ Der≤n (A) können wir diesen Bruch erweitern
durch den Quasiisomorphismus τ ≤n Z →Z.
˘
Unter der Annahme Y ∈ Der≥n+1 (A)
dürfen wir weiter aufgrund des Quasiisomorphismus Y →
˘ τ ≤n+1 Y annehmen,
daß Y durch einen Komplex dargestellt wird, der Null ist in Graden ≤ n. Die
erste Aussage folgt nun wegen HotA (τ ≤n Z, Y ) = 0, es gibt ja noch nicht einmal
von Null verschiedene Kettenabbildungen zwischen diesen beiden Komplexen.
Wir erhalten mit den Abschneidefunktoren aus 2.6.4 nun offensichtlich eine kurze
exakte Sequenz von Kettenkomplexen τ ≤n X ,→ X X/τ ≤n X nebst einem
offensichtlichen Quasiisomorphismus X/τ ≤n X →
˘ τ ≥n+1 X und so mit 2.5.4 ein
ausgezeichnetes Dreieck
τ ≤n X → X → τ ≥n+1 X → [1]τ ≤n X
in der derivierten Kategorie Der(A). Die Eindeutigkeit des dritten Morphismus
folgt mit 2.1.16 aus Teil 1. Um nun die erste Adjunktion zu zeigen, müssen wir
∼
≤n
für X ∈ DerA und Y ∈ Der≤n
X) → DerA (Y, X). Das folgt
A zeigen DerA (Y, τ
jedoch sofort aus den bereits bewiesenen Teilen. Die andere Adjunktion zeigt man
genauso.
Übungen
Ergänzende Übung 2.6.7. Man zeige: Gegeben eine additive Kategorie I mit der
Karoubi-Eigenschaft liefert die Einbettung der mit Grad Null endenden Komplexe Hot≤0 (I) ⊂ Hot+ (I) eine Äquivalenz mit der Kategorie aller mit den Pfeilen beschränkten Komplexe T mit Hot(I[0], T [n]) = 0 für alle n > 0 und alle
I ∈ I. Ebenso liefert die Einbettung der mit Grad Null beginnenden Komplexe
Hot≥0 (I) ⊂ Hot− (I) eine Äquivalenz mit der Kategorie aller gegen die Pfeile
beschränkten Komplexe T mit Hot(T [n], I[0]) = 0 für alle n < 0 und alle I ∈ I.
Übung 2.6.8 (Ausgezeichnete Dreiecke als kurze exakte Sequenzen). Gegeben
eine abelsche Kategorie A liefert der Funktor H0 eine Äquivalenz zwischen der
Kategorie derjenigen ausgezeichneten Dreiecke X → Y → Z → in Der(A),
bei denen die Objekte zum Bild von A gehören, und der Kategorie der kurzen
33
exakten Sequenzen in A. Ein quasiinverser Funktor kann wie in 2.5.4 beschrieben
konstruiert werden.
Übung 2.6.9. Gegeben eine abelsche Kategorie A und ein ausgezeichnetes Drei∼
eck X → Y → Z → in Der(A) mit τ ≤0 Y → Y erhalten wir mit den offensichtlichen Morphismen ein ausgezeichnetes Dreieck τ ≤1 X → Y → τ ≤0 Z →. Ebenso
∼
erhalten wir unter der Annahme Y → τ ≥0 Y mit den offensichtlichen Morphismen
ein ausgezeichnetes Dreieck τ ≥0 X → Y → τ ≥−1 Z →. Hinweis: Fünferlemma.
2.7
Derivierte Kategorien durch Auflösungen
Definition 2.7.1. Gegeben eine triangulierte Kategorie T und darin eine Menge
von Objekten N setzen wir N ⊥ := {I ∈ T | T (N, I) = 0 ∀N ∈ N } und
bezeichnen die Objekte von N ⊥ als N -injektiv. Analog setzen wir ⊥N := {P ∈
T | T (P, N ) = 0 ∀N ∈ N } und bezeichnen die Objekte von ⊥N als N projektiv.
2.7.2. Offensichtlich bilden ⊥ N und N ⊥ stets ein Verdiersystem.
2.7.3. Ist N die Menge aller azyklischen Komplexe in der Homotopiekategorie
zu einer abelschen Kategorie, so bezeichnen wir die Objekte von N ⊥ als homotopieinjektiv und die Objekte von ⊥N als homotopieprojektiv. Ist N die Menge
aller azyklischen dg-Moduln in der Homotopiekategorie einem dg-Ring, so bezeichnen wir wieder die Objekte von N ⊥ als homotopieinjektiv und die Objekte
von ⊥N als homotopieprojektiv. Mehr dazu diskutieren wir in ??.
Satz 2.7.4 (Triangulierte Quotienten über Auflösungen). Gegeben eine triangulierte Kategorie T und darin eine Menge von Objekten N ⊂ T ist der restrin∼
gierte Lokalisierungsfunktor ein volltreuer Funktor N ⊥ ,→ T /N und induziert
eine Äquivalenz auf die volle Unterkategorie derjenigen Objekte des Quotienten,
auf denen der partielle Rechtsadjungierte des Lokalisierungsfunktors existiert.
2.7.5. Ist der partielle Rechtsadjungierte R von Q : T → T /N bei B definiert,
∼
so ist also die Koeinheit der Adjunktion ein Isomorphismus QRB → B, und gilt
zusätzlich B = QA, so liegt nach [TF] 4.8.10 der Kegel über der Einheit der
Adjunktion A → RQA in N .
Beweis. Aufgrund von 1.2.13.1 oder auch durch explizite Inspektion im Fall einer Lokalisierung unter Ore-Bedingungen liefert für alle I ∈ N ⊥ und Y ∈ T
∼
der Quotientenfunktor eine Bijektion T (Y, I) → (T /N )(Y, I). Also ist die Restriktion des Quotientenfunktors auf N ⊥ volltreu. Existiert umgekehrt für ein Objekt A ∈ T /N ein Objekt RA = I ∈ T nebst in Y natürlichen Bijektionen
∼
T (Y, I) → (T /N )(Y, A), so folgt unmittelbar I ∈ N ⊥ . Nach 1.2.13.2 induziert für partielle Adjungierte von Lokalisierungsfunktoren die Adjunktion einen
∼
Isomorphismus QI = QRA → A. Damit ist der Satz bewiesen.
34
2.7.6. Unter dem wesentlichen Bild eines Funktors F : A → B versteht man
die volle Unterkategorie aller Objekte von B, die isomorph sind zu Objekten der
Gestalt F (A) für A ∈ A.
Korollar 2.7.7 (Derivierte Kategorien über injektive Auflösungen). Gegeben
eine abelsche Kategorie A und iA ⊂ A die Unterkategorie aller injektiven Objekte schränkt der Quotientenfunktor ein zu einem volltreuen Funktor
∼
Q : Hot+ (iA) ,→ Der(A)
Des weiteren ist jeder Quasiinverse der von Q induzierten Äquivalenz mit seinem
wesentlichen Bild partiell rechtsadjungiert zum Quotientenfunktor Q : Hot(A) →
Der(A).
2.7.8. Besitzt A genügend Injektive, so induziert der Quotientenfunktor genauer
≈
sogar eine Äquivalenz Q : Hot+ (iA) → Der+ (A). Das wird aus 2.7.15 folgen.
Beweise. Für V ⊂ Hot(A) das Verdiersystem der azyklischen Komplexe liefert
das Hauptlemma ?? der homologischen Algebra Hot+ (iA) ⊂ V ⊥ . Damit folgt
das Korollar aus 2.7.4.
Korollar 2.7.9 (Derivierte Kategorien über projektive Auflösungen). Gegeben
eine abelsche Kategorie A und pA ⊂ A die Unterkategorie aller projektiven
Objekte schränkt dual der Quotientenfunktor ein zu einem volltreuen Funktor
∼
Q : Hot− (pA) ,→ Der(A)
und jeder Quasiinverse auf seinem wesentlichen Bild ist partiell linksadjungiert
zum Quotientenfunktor Hot(A) → Der(A).
2.7.10. Besitzt A genügend Projektive, so induziert der Quotientenfunktor sogar
≈
eine Äquivalenz Q : Hot− (pA) → Der− (A). Das folgt aus der zu 2.7.15 dualen
Aussage.
Beweis. Dual zum Beweis von 2.7.7.
Korollar 2.7.11 (Erweiterungen in A als Morphismen in DerA ). Ist A eine abelsche Kategorie mit genug Injektiven, so liefert ?? für beliebige Objekte
M, N ∈ A kanonische Isomorphismen
∼
A[r] (M, N ) → DerA (M, [r]N )
zwischen Erweiterungen und Morphismen in der derivierten Kategorie. Das Yonedaprodukt von Erweiterungen entspricht hierbei der Verknüpfung geeignet verschobener Morphismen in der derivierten Kategorie.
35
2.7.12. Dasselbe gilt für die durch projektive Auflösungen vorne erklärten Erweiterungen, die also mit den durch injektive Auflösungen hinten erklärten Erweiterungen übereinstimmen müssen.
Beweis. Das folgt unmittelbar aus Satz 2.7.7 und den Definitionen.
2.7.13 (Der Kohomologiering als Endomorphismenring). Man beachte, wie
einfach die Definition des garbentheoretischen Kohomologierings eines topologischen Raums X in dieser Sprache wird: Wir müssen nur die abelsche Kategorie
Ab/X aller abelschen Garben auf unserem Raum nehmen und dazu die derivierte Kategorie bilden. Die Homomorphismenräume in dieser derivierten Kategorie
von der konstanten Garbe ZX zu ihren im Grad verschobenen Kopien [n]ZX sind
dann kanonisch isomorph zu den Kohomologiegruppen unseres Raums, in Formeln
Hn (X; Z)garb = DerAb/X (ZX , [n]ZX )
Die Verknüpfung von Morphismen entspricht weiter, wie in ?? erklärt, auf lokal
singulär-azyklischen Räumen dem Cup-Produkt der singulären Kohomologie. So
einfach unsere Definition aber ist, so wenig anschaulich ist sie auch. Es wird noch
eine Weile brauchen, bis wir die Theorie so weit entwickelt haben, daß wir etwa
die Antikommutativität des Cup-Produkts auch für die Garbenkhomologie zeigen
können.
Definition 2.7.14. Sei A∗ ∈ Hot+ (A) ein gegen die Pfeile beschränkter Komplex in einer abelschen Kategorie A. Eine injektive Auflösung von A∗ ist ein
Quasiisomorphismus A∗ →
˘ I ∗ in einen gegen die Pfeile beschränkten Komplex
I ∗ ∈ Hot+ (iA) aus injektiven Objekten.
Proposition 2.7.15 (Existenz injektiver Auflösungen). Ist A eine abelsche Kategorie mit genug Injektiven, so existiert für jeden Komplex A∗ ∈ Hot+ (A) eine
injektive Auflösung A∗ →
˘ I ∗.
Beweis. Wir konstruieren I ∗ induktiv mit der Zusatzeigenschaft, daß jeweils Monomorphismen zwischen den Kokernen der Randoperatoren induziert werden.
Sind wir schon bei
d
. . . → Ap → Ap+1 → . . .
↓
d
. . . → Ip
∼
angekommen in einer Weise, daß Isomorphismen Hq A → Hq I induziert werden
für q < p und ein Monomorphismus zwischen den Kokernen der explizit mit d
36
notierten Ränder, so bilden wir den Pushout von
cok d → Ap+1
↓
cok d
und wählen eine Einbettung dieses Pushout in ein injektives Objekt I p+1 . Mit
2.7.16 dualisiert folgt, daß wir so im Grad p einen Epimorphismus auf der Homologie erhalten, und da unser vertikaler Morphismus zwischen den Kokernen
nach Induktionsannahme ein Monomorphismus ist, erhalten wir hier sogar einen
Isomorphismus. Um unsere Induktion am Laufen zu halten müssen wir nur noch
zeigen, daß nun wieder ein Monomorphismus auf den Kokernen der Ränder im
∼
Grad eins höher induziert wird. Das folgt jedoch aus cok(Ap → Ap+1 ) →
cok(I p → Pushout) ,→ cok(I p → I p+1 ).
Proposition 2.7.16. Jedes kartesische Diagramm in einer abelschen Kategorie
induziert Isomorphismen zwischen den Kernen paralleler Pfeile und Monomorphismen zwischen den Kokernen paralleler Pfeile.
2.7.17. Die erste Aussage ist ein Spezialfall von Übung ??. Wir beweisen die
zweite Aussage zu Ende dieses Abschnitts im Anschluß an die Behandlung von
zwei Spezialfällen. Im Fall von abelschen Gruppen prüft man die zweite Aussage
auch leicht explizit. Die Proposition selbst wird benötigt bei der Konstruktion
injektiver Auflösungen von Komplexen in 2.7.15.
Lemma 2.7.18. Ist in einem kartesischen Diagramm in einer abelschen Kategorie
ein Ursprungspfeil epi, so auch der gegenüberliegende Pfeil aus dem Faserprodukt.
Beweis. Wir notieren unser kartesisches Diagramm
/
P
N
g
//
M
f
Q
Ersetzen wir M durch M0 := im(P → M ), so bleibt unser Diagramm kartesisch.
Jetzt betrachten wir das kommutative Diagramm
M0 × N Q

/
M ×N
Q
37
//
cok ×N
/
0
wo die nichttrivialen Vertikalen durch die Zeilenmatrix (f, −g) erklärt seien. Die
Kerne der beiden linken Vertikalen sind dann gerade die beiden Faserprodukte
M0 ×Q N bzw. M ×Q N und wir folgern aus der langen exakten Homologiesequenz
cok ×N = 0, also cok = 0 und M = M0 .
Lemma 2.7.19. Ein kartesisches Diagramm in einer präabelschen Kategorie, in
dem zwei gegenüberliegende Pfeile Monomorphismen sind, induziert Monomorphismen zwischen den Kokernen dieser Pfeile.
Beweis. Wir betrachten das Diagramm
M ,→ P cok
↓
↓
↓
N ,→ Q cok
In diesem Diagramm sieht man leicht, daß M ,→ P der Kern der Verknüpfung
P ,→ Q cok ist. Damit ist aber P cok in der oberen Horizontalen das Bild
dieser Verknüpfung und damit ist die rechte Vertikale ein Monomorphismus.
Beweis von 2.7.16. Nun zeigen wir die Proposition. Faktorisieren wir einen Ursprungspfeil in mono ◦ epi, so ist die induzierte Faktorisierung des gegenüberliegenden Pfeils auch eine Faktorisierung in mono ◦ epi wegen der ersten Aussage
der Proposition und 2.7.18. Wir dürfen also annehmen, daß wir die Kokerne von
zwei gegenüberliegenden Monomorphismen zu vergleichen haben, und das erledigt 2.7.19.
2.8
Derivierte Kategorien als dg-Modulkategorien*
2.8.1. Sei A eine abelsche Kategorie. Ein Komplex T ∈ Ket(A) heiße endazyklisch genau dann, wenn für alle n ∈ Z die offensichtliche Abbildung einen
Isomorphismus
∼
HotA (T, [n]T ) → DerA (T, [n]T )
zwischen Morphismen in der Homotopiekategorie und Morphismen in der derivierten Kategorie liefert. Dévissage 2.2.8 zeigt dann, daß die Lokalisierung eine
≈
Äquivalenz hT iHot
→ hT iDer
∆
∆ zwischen dem von T in der Homotopiekategorie
und in der derivierten Kategorie jeweils erzeugten triangulierten System liefert.
Beispiele 2.8.2. Jeder gegen die Pfeile beschränkte Komplex injektiver Objekte ist
endazyklisch. Jeder mit den Pfeilen beschränkten Komplexe projektiver Objekte
ist endazyklisch.
Satz 2.8.3 (Derivierte Kategorien als dg-Modulkategorien). Seien A eine abelsche Kategorie, T ∈ Ket(A) ein endazyklischer Komplex und E = EndA T sein
38
Endomorphismenkomplex mit der natürlichen Struktur als dg-Ring. So induzieren
die Lokalisierung und der Funktor HomA (T, ) Äquivalenzen von triangulierten
Kategorien
≈
Hot ≈
hT iDer
∆ ← hT i∆ → dgFrei- E
Beweis. Man wende zweimal dévissage 2.3.6 an.
2.8.4 (Kippen mit Kippobjekten). Sei A eine abelsche Kategorie. Ein Objekt
K ∈ A heißt ein Kippobjekt, englisch tilting object, französisch objet basculant, wenn alle seine höheren Selbsterweiterungen verschwinden, wenn also in
Formeln gilt
A[n] (K, K) = 0 für n > 0.
Jedes Kippobjekt liefert unter der üblichen Einbettung A ,→ Ket(A) offensichtlich einen endazyklischen Komplex. Bezeichnet also E := EndA K den Endomorphismenring unseres Kippobjekts, der in diesem Fall ein ganz gewöhnlicher
Ring ist, so induziert unser Satz Äquivalenzen von triangulierten Kategorien
≈
hKi∆ → hEi∆ ⊂ Der(Mod- E)
Hierbei meint hKi∆ ⊂ Der(A) die von K erzeugte triangulierte Unterkategorie.
Definition 2.8.5. Sei A eine abelsche Kategorie. Ein Komplex T ∈ Ket(A) heißt
ein Kippkomplex, wenn er endazyklisch ist und wenn zusätzlich gilt
DerA (T, [n]T ) = 0
für n 6= 0.
Definition 2.8.6. Gegeben eine additive Kategorie I und ein Objekt T ∈ I bezeichne add(T ) ⊂ I die von T erzeugte additive Unterkategorie, deren Objekte
also alle endlichen direkten Summen von Kopien von T sind.
Satz 2.8.7 (Kippen mit Kippkomplexen). Seien A eine abelsche Kategorie und
T ∈ Ket(A) ein Kippkomplex. So läßt sich die Einbettung add(T ) ⊂ Der(A)
fortsetzen zu einem volltreuen triangulierten Funktor
∼
Hotb (add(T )) ,→ Der(A)
2.8.8. Ist A eine abelsche Kategorie und sind T1 , . . . , Tr ∈ Ket(A) gegeben derart, daß T1 ⊕ . . . ⊕ Tr ein Kippkomplex ist, so erhält man ähnlich einen volltreuen
triangulierten Funktor
∼
Hotb (add(T1 , . . . , Tr )) ,→ Der(A)
Analoges gilt unter den entsprechenden Annahmen auch für unendliche Familien
von Komplexen und wird im nächsten Abschnitt ausgeführt.
39
Beweis. Bezeichnet E := EndA T den Endomorphismenring unseres Kippkomplexes mit seiner natürlichen Struktur als dg-Ring, so induziert unser Satz 2.8.3
eine Äquivalenz von triangulierten Kategorien
≈
hT i∆ → dgFrei- E
mit T 7→ E. In diesem Fall ist jedoch zusätzlich die Kohomologie von E =
EndA T im Grad Null konzentriert. Die Einbettung Z ,→ E des dg-Teilrings
mit Zykeln im Grad Null, Null in positiven Graden, und allen Elementen von E
in negativen Graden ist also ein Quasiisomorphismus, und dasselbe gilt für die
Projektion Z H auf die Homologie. Mithilfe von 2.3.9 erhalten wir dann die
nächsten drei Äquivalenzen einer Kette von triangulierten Äquivalenzen
≈
≈
≈
≈
hT i∆ → dgFrei- E → dgFrei- Z ← dgFrei- H = hHi∆ ← Hotb (add(H))
Da nun H nur im Grad Null konzentiert ist, kann hier hHi∆ als das triangulierte Erzeugnis des Objekts H in der derivierten Kategorie Der(Mod- H) aufgefaßt werden. Der Funktor Hot(Mod- H) → Der(Mod- H) induziert dann eine
≈
→ hHiDer
Äquivalenz hHiHot
∆ , da H konzentriert im Grad Null ja ein endazy∆
klischer Komplex von H-Rechtsmoduln ist. Und nun bleibt nur zu bemerken,
daß HotA (T, ) : Hot(A) → Mod- H eine Äquivalenz von additiven Kategori∼
en add(T ) → add(H) induziert.
2.9
Derivierte Kategorien und dg-Ringoide*
Definition 2.9.1. Eine Kategorie mit einer additiven Struktur im Sinne von ??
nennen wir auch ein Ringoid. Ist I die Menge der Objekte besagter Kategorie, so
sprechen wir auch von einem Ringoid über I. Ein Homomorphismus von Ringoiden ist ein Funktor, der verträglich ist mit den jeweiligen additiven Strukturen.
2.9.2. Die opponierte Kategorie zu einem Ringoid A ist auch ein Ringoid in natürlicher Weise. Wir bezeichnen es mit oder Aopp und nennen es das opponierte
Ringoid.
2.9.3 (Diskussion der Terminologie). Es mag merkwürdig scheinen, die neue
Terminologie der Ringoide einzuführen, wo man doch schlicht von Kategorien
mit additiver Struktur sprechen könnte. Der Grund ist rein didaktischer Natur: Es
scheint mir übersichtlicher, mit der Kategorie aller Moduln über einem Ringoid
zu arbeiten statt mit der Kategorie aller Moduln über einer kleinen Kategorie mit
additiver Struktur, ähnlich wie es mir übersichtlicher scheint, mit Systemen von
Teilmengen zu arbeiten statt mit Mengen von Teilmengen. Ich habe in der Literatur noch andere Verwendungen des Begriffs Ringoid gesehen: Manche Autoren
verwenden ihn als Synonym für „kleine additive Kategorie“, andere als „Menge
mit zwei assoziativen und in geeigneter Weise distributiven Verknüpfungen“.
40
Beispiel 2.9.4 (Ringoide mit endlich vielen Objekten). Ein Ringoid mit nur einem Objekt ist im Wesentlichen dasselbe wie ein Ring. Gegeben ein Ring R mit
einer Zerlegung 1 = e1 + . . . + en der Eins in eine Summe von paarweise orthogonalen Idempotenten ei ej = δij ei erhalten wir allgemeiner ein Ringoid R̃ mit
Objekten 1, . . . , n durch die Vorschrift R̃(i, j) = ej Rei . So ergibt sich eine im
wesentlichen eineindeutige Entsprechung zwischen Ringoiden mit endlich vielen
Objekten und Ringen mit einer Zerlegung der Eins in eine Summe von paarweise
orthogonalen Idempotenten.
2.9.5. Motiviert durch dieses Beispiel verwenden wir auch bei einem beliebigen
Ringoid R mit Objekten i, j die Notation
R(i, j) = jRi
für den Raum der Morphismen von i nach j, bezeichnen die Verknüpfung von
Morphismen als Multiplikation und bezeichnen die Objekte des Ringoids als seine ausgezeichneten Idempotenten.
Beispiel 2.9.6. Ein Ringoid mit einer Operation einer Gruppe G, die frei und transitiv ist auf den Objekten, ist im Wesentlichen dasselbe wie ein G-graduierter
Ring. Der Leser mag das selbst genauer ausführen.
Definition 2.9.7. Ein Modul über einem Ringoid ist ein Ringoidhomomorphismus von unserem Ringoid in die Kategorie der abelschen Gruppen. Gegeben ein
Modul M über einem Ringoid R und ein Objekt alias ausgezeichnetes Idempotentes i von R setzen wir M (i) = iM, so daß die Operation die Gestalt Z-bilinearer
Abbildungen jRi × iM → jM annimmt. Ein Homomorphismus von Moduln
ist eine Transformation von Funktoren. Die Kategorie aller Moduln über einem
Ringoid R notieren wir R -Mod. Sie ist eine abelsche Kategorie.
Beispiel 2.9.8. Gegeben ein Ringoid R und darin ein Objekt i können wir den
R-Modul Ri betrachten, der durch die Vorschrift (Ri)(j) := jRi erklärt wird.
2.9.9. Gegeben ein Ringoidhomomorphismus A → B liefert das Vorschalten desselben zwischen den Modulkategorien einen exakten Funktor, die Restriktion
∼
resA
B : B -Mod → A -Mod
Lemma 2.9.10. Ist A → B ein Ringoidhomomorphismus, der volltreu ist als
Funktor und der die Eigenschaft hat, daß jedes Objekt von B isomorph ist zu
einem endlichen Produkt von direkten Summanden von Bildern von Objekten von
A, so induziert die Restriktion eine Äquivalenz von Kategorien
∼
resA
B : B -Mod → A -Mod
41
Beweis. Man muß sich im wesentlichen nur überlegen, daß solch ein Modul als
Funktor verträglich sein muß mit endlichen Produkten, wann immer diese denn
für vorgegebene Objekte unserer Ringoide existieren.
Beispiel 2.9.11. Jede Kategorie von endlich erzeugten freien Moduln über einem
Ring R, die nicht nur aus Nullobjekten besteht, hat eine zu R -Mod äquivalente
Modulkategorie. Diese Erkenntnis verallgemeinert unsere Äquivalenz von Kate≈
gorien R -Mod → Mat(n; R) -Mod aus [KAG] 1.5.15.
Definition 2.9.12. Ein differentielles graduiertes Ringoid oder dg-Ringoid ist
ein Ringoid A zusammen mit einer Erweiterung der Gruppenstruktur auf allen
iAj zur Struktur einer dg-Gruppe derart, daß die Multiplikationen
iAj ⊗Z jAk → iAk
Morphismen von dg-Gruppen sind. Ein differentieller graduierter Modul über
einem dg-Ringoid A ist ein A-Modul M mit einer Erweiterung der Gruppenstruktur auf allen iM zur Struktur einer dg-Gruppe derart, daß die Multiplikationen
jAi ⊗Z iM → jM
Morphismen von dg-Gruppen sind. Analog zum Fall von dg-Ringen erklären wir
auch für jedes dg-Ringoid A die Kategorie dgModA aller dg-Moduln und die vier
davon abgeleiteten triangulierten Kategorien
dgHotA , dgDerA , dgFreiA , dgPerA .
Hier erklären wir dgFreiA als das triangulierte Erzeugnis der dg-Moduln Ai und
beachten, daß es nicht darauf ankommt, ob das in dgDerA oder in dgHotA gebildet wird. Unser dgPerA schließlich meint das Erzeugnis derselben Objekte als
Verdiersystem, also unter Hinzunahme direkter Summanden. Lemma 2.9.10 gilt
entsprechend für dgMod und die vier davon abgeleiteten triangulierten Kategorien.
2.9.13. Gegeben eine abelsche Kategorie A und eine Familie von Komplexen
T : I → Ket(A), i 7→ Ti erhalten wir ein dg-Ringoid E = EndA T über I
mit Morphismen iEj = HomA (j, i) und hoffentlich offensichtlicher Verknüpfung
und dg-Struktur.
Definition 2.9.14. Sei A eine abelsche Kategorie. Eine Menge von Komplexen
T ⊂ Ket(A) heiße endazyklisch genau dann, wenn für alle T, T 0 ∈ T und alle
n ∈ Z die offensichtliche Abbildung einen Isomorphismus
∼
HotA (T, [n]T 0 ) → DerA (T, [n]T 0 )
zwischen Morphismen in der Homotopiekategorie und Morphismen in der derivierten Kategorie liefert.
42
Beispiele 2.9.15. Das von einer endazyklischen Menge von Komplexen erzeugte Verdiersystem ist nach dévissage auch selbst wieder endazyklisch. Die Mengen
aller gegen die Pfeile beschränkten Komplexe injektiver Objekte und aller mit den
Pfeilen beschränkten Komplexe projektiver Objekte sind endazyklisch. Allgemeiner sind die Mengen aller homotopieinjektiven Komplexe und aller homotopieprojektiven Komplexe, die wir bald kennenlernen werden, beide endazyklisch.
Satz 2.9.16 (Derivierte Kategorien und dg-Ringoide). Seien A eine abelsche
Kategorie, T = (Ti )i∈I eine endazyklische Familie in Ket(A) und E = EndA (T )
das zugehörige dg-Ringoid über I. So liefert die Gesamtheit der HomA (Ti , ) eine
Äquivalenz von triangulierten Kategorien
≈
hTi |i ∈ Ii∆ → dgFrei- E
Hierbei wird Ti auf iE abgebildet und das Erzeugnis hTi |i ∈ Ii∆ darf gleichbedeutend entweder in Der(A) oder in Hot(A) verstanden werden.
Beweis. Analog zum Beweis von 2.8.3 und dem Leser überlassen.
2.9.17 (Kippen mit Kippfamilie). Sei A eine abelsche Kategorie. Eine Familie
(Ki )i∈I von Objekten von A heißt eine Kippfamilie, wenn alle höheren Erweiterungen zwischen Objekten unserer Familie verschwinden, wenn also in Formeln
gilt
A[n] (Ki , Kj ) = 0 für n > 0 und alle i, j ∈ I.
Bezeichne nun E das Ringoid über I der Homomorphismen zwischen unseren
Kippmoduln. Ich meine hier wirklich das Ringoid, nicht etwa ein dg-Ringoid.
Unser Satz liefert dann Äquivalenzen von triangulierten Kategorien
≈
hKi |i ∈ Ii∆ → hiE|i ∈ Ii∆ ⊂ Der(Mod- E)
Hierbei meint hKi |i ∈ Ii∆ ⊂ Der(A) die von den Ki erzeugte triangulierte Unterkategorie und hiE|i ∈ Ii∆ ⊂ Der(Mod- E) die von den iE erzeugte triangulierte
Unterkategorie.
2.9.18. Seien A eine abelsche Kategorie. Eine Menge von Komplexen T ⊂ Ket(A)
heißt eine Kippkategorie, wenn sie eine endazyklische Teilmenge ist, eine volle
additive Unterkategorie bildet, und es zwischen ihren Objekten keine Homomorphismen in von Null verschiedenen Graden gibt, in Formeln
DerA (T, [n]T 0 ) = 0
für n 6= 0 und T, T 0 ∈ T .
Satz 2.9.19 (Kippen mit Kippkategorie). Seien A eine abelsche Kategorie und
T ⊂ Ket(A) ein Kippkategorie. So läßt sich die Einbettung T ⊂ Der(A) fortsetzen zu einem volltreuen triangulierten Funktor
∼
Hotb (T ) ,→ Der(A)
43
Beweis. Bezeichnet E := EndA T den Endomorphismenring der Familie aller
Objekte unserer Kippkategorie mit seiner natürlichen Struktur als dg-Ringoid, so
induziert unser Satz 2.9.16 eine Äquivalenz von triangulierten Kategorien
≈
hT i∆ → dgFrei- E
In diesem Fall ist jedoch zusätzlich die Kohomologie von E = EndA T im Grad
Null konzentriert. Jetzt können wir argumentieren wie im Fall eines einzigen
Kippkomplexes.
44
3
Derivierte Funktoren
3.1
Motivation
Wir haben höhere derivierte Funktoren Ri F und Li F bereits in ?? über injektive
und projektive Auflösungen eingeführt. Es erweist sich jedoch als wichtig, diese
Konstruktion auf Situationen zu verallgemeinern, in denen nicht genug injektive
oder projektive Objekte zur Verfügung stehen. Ein erstes offensichtliches Beispiel
ist der Fall exakter Funktoren. Als besonders relevantes Beispiel betrachte man
die Konstruktion des Linksderivierten zum Tensorprodukt von abelschen Garben,
das in der Garbenkohomologie eine zentrale Rolle spielt: Dessen Konstruktion gelingt, obwohl keineswegs jede abelsche Garbe eine projektive Auflösung besitzt.
3.2
Zahme Rechtsderivierte auf Ore-Lokalisierungen
3.2.1. Ich beginne mit einigen Erinnerungen. Nach 1.3.2 heißt eine Menge von
Morphismen einer Kategorie multiplikativ genau dann, wenn sie stabil ist unter Verknüpfung und alle Identitäten enthält. Nach 1.3.3 heißt eine Menge S von
Morphismen einer Kategorie C ein Links-Oresystem genau dann, wenn sie multiplikativ ist und wenn zusätzlich die beiden folgenden Eigenschaften erfüllt sind:
t
g
h
s
1. Gegeben E ← W → D mit t ∈ S gibt es E → X ← D mit s ∈ S und
sh = gt;
2. Seien gegeben f, g ∈ C(X, Y ). Gibt es t ∈ S mit f t = gt, so gibt es auch
s ∈ S mit sf = sg.
Die Elemente einer ausgezeichneten Menge S von Morphismen einer Kategorie
nennen wir im folgenden oft S-Morphismen.
Definition 3.2.2. Seien F : A → D ein Funktor und S ein Links-Oresystem von
Morphismen von A.
1. Ein Objekt X ∈ A heißt entfaltet oder genauer zahm F -S-rechtsentfaltet,
wenn sich jeder S-Morphismus X → B so durch einen weiteren S-Morphismus B → Y verlängern läßt, daß die Komposition einen Isomorphis∼
mus F X → F Y induziert. Die volle Unterkategorie der entfalteten Objekte
notieren wir A(F ) .
2. Einen S-Morphismus in ein zahm entfaltetes Objekt nennen wir eine Entfaltung oder genauer eine zahme F -S-Rechtsentfaltung. Ein Objekt, das
eine Entfaltung besitzt, nennen wir entfaltbar. Die volle Unterkategorie der
45
entfaltbaren Objekte notieren wir AF und nennen sie die Entfaltbarkeitskategorie. Ihr wesentliches Bild in der Lokalisierung notieren wir A|S −1 iF
und nennen es das Lokalisierungsbild der Entfaltbarkeitskategorie. Dieses Lokalisierungsbild verstehen wir als volle Unterkategorie der Lokalisierung A|S −1 i.
Beispiel 3.2.3. Gegeben eine abelsche Kategorien B mit genug Injektiven und
ihre Homotopiekategorie Hot B mit der Menge S aller Quasiisomorphismen als
Oresystem ist ein gegen die Pfeile beschränkter Komplex von Injektiven X ∈
Hot+ iB für jeden Funktor F : Hot B → D in eine weitere Kategorie F -Sentfaltet. In der Tat ist jeder exakte Komplex in Hot+ iB homotopieäquivalent zum
Nullkomplex und damit jeder Quasiisomorphismus von Objekten von Hot+ iB
bereits eine Homotopieäquivalenz alias ein Isomorphismus.
3.2.4. Seien F : A → D ein Funktor und S ein Links-Oresystem von Morphis∼
men von A. Sei X → Y ein S-Morphismus, der einen Isomorphismus F X →
F Y induziert. Ist X entfaltet, so ist auch Y entfaltet. Die Umkehrung gilt nur unter
zusätzlichen Bedingungen an S, etwa wenn es die „Zwei-aus-Drei-Eigenschaft“
hat, wenn also für verknüpfbare Morphismen s, t unter der Annahme, daß zwei
der drei Morphismen s, t, st zu S gehören, auch der Dritte von ihnen zu S gehören muß.
Satz 3.2.5 (Zahmes Derivieren). Seien F : A → D ein Funktor und S ein LinksOresystem von Morphismen von A und Q : A → A|S −1 i die Lokalisierung. So
gibt es ein Paar (R, τ ) bestehend aus einem Funktor
R : A|S −1 iF → D
vom Lokalisierungsbild der Entfaltbarkeitskategorie nach D und einer Transformation τ : F ⇒ RQ von Funktoren AF → D, die für alle entfalteten Objekte X
∼
einen Isomorphismus τX : F X → RQX liefert.
3.2.6 (Diskussion der Terminologie). Man sieht leicht, daß es für jedes weitere derartige Paar (R̂, τ̂ ) genau eine Transformation ζ : R̂ ⇒ R geben muß mit
(ζQ) ◦ τ̂ = τ . Unser Paar ist mithin eindeutig bis auf eindeutigen Isomorphismus. Wir gönnen ihm deshalb den bestimmten Artikel und nennen es den zahmen
Rechtsderivierten oder auch einfach nur den rechtsderivierten Funktor von F .
Wir gönnen unserem Paar auch eine Notation und notieren es (RF, τ ). Die Frage,
inwieweit AF → A|S −1 iF ein Lokalisierungsfunktor ist, lassen wir unberührt.
Die F -entfaltbaren Objekte sprechen wir auch an als Objekte, auf denen der
zahme rechtsderivierte Funktor definiert ist.
3.2.7 (Bezug zu Definitionsvarianten in der Literatur). Die hier gegebene Forderung habe ich bei Spaltenstein [] gelernt. Sie ist schärfer, als was in [Gro72,
46
Aufsatz von P. Deligne: Cohomologie à supports propres, 1.2.] von Objekten, auf
denen der derivierte Funktor definiert ist, gefordert wird. Auch der hier erklärte
Begriff „zahm entfaltet“ ist restriktiver als der dort eingeführte Begriff déployé.
Er scheint mir aber besser zugänglich und ich kenne keine Beispiele, in denen die
Allgemeinheit der Definition von Deligne benötigt würde. Man vergleiche auch
Keller’s Fassung 3.4.11, die gleichbedeutend ist zur Definition von Deligne. Deligne macht es eigentlich besonders elegant, arbeitet nur mit gesättigten Oresystemen und definiert
(RF )(A) := −
côl
→FX
mit dem Kolimes über die filtrierende Kategorie aller S-Morphismen A → X in
C. Ist dies System essentiell konstant im Sinne von [TS] 6.2.10, so nennt er A
derivierbar und den Kolimes den Wert des derivierten Funktors. Unsere zahme
Definition hier ist ein Spezialfall, vergleiche [TS] 6.2.15. Allerdings kenne ich
kein Beispiel, in dem dieser Spezialfall nicht ausreichend wäre. Vielfach werden
in der Literatur auch „totale derivierte Funktoren“ betrachtet, wie wir sie in 3.9
diskutieren. Totale und zahme Derivierte stimmen in den üblichen Anwendungen
meist überein, aber in der allgemeinen Theorie ist ihre Beziehung zumindest mir
alles andere als klar. Wenn ein totaler Rechtsderivierter im Sinne von 3.9.1 existiert, muß er zum Beispiel noch lange nicht zahm sein und muß auch nicht zum
zahmen Rechtsderivierten einschränken.
Beweis. Bezeichne wie zuvor A(F ) ⊂ A die volle Unterkategorie der entfalteten
Objekte. Das System S(F ) aller derjenigen Morphismen aus S zwischen Objekten
von A(F ) , die unter F zu Isomorphismen werden, ist offensichlich auch linksOre. Nach dem allgemeinen Resultat 1.3.8 über Ore-Lokalisierung und volltreue
Einbettungen induziert die Einbettung einen volltreuen Funktor
∼
−1
−1
A(F ) |S(F
i
) i ,→ A|S
In der Tat ist die Definition einer Entfaltung genau auf die für dieses Resultat
benötigte Bedingung abgestimmt. Unser Funktor liefert folglich eine Äquivalenz
≈
−1
−1
E : A(F ) |S(F
iF
) i → A|S
Die Einschränkung von F auf A(F ) faktorisiert nun über einen wohlbestimmten
−1
Funktor F̄ : A(F ) |S(F
) i → D. Jede Wahl eines Quasiinversen U der Äquivalenz
E liefert so einen Funktor
R := F̄ U : A|S −1 iF → D
Für diesen Funktor konstruieren wir nun unsere Transformation τ : F ⇒ RQ.
Nach der Konstruktion von Ore-Lokalisierungen 1.3.7 lassen sich Morphismen
47
QA → QB für A, B ∈ A stets als Bruch A → Y ← B eines Morphismus in
A durch einen Morphismus B → Y aus S schreiben, ja mit Äquivalenzklassen
solcher Brüche unter der durch Erweiterung von Brüchen gegebenen Äquivalenzrelation identifizieren. Durch Erweitern von Brüchen lassen sich nun Morphismen
QA → QB für A ∈ A und B ∈ A(F ) sogar stets als Bruch A → Y ← B
eines Morphismus in A durch einen Morphismus B → Y aus S(F ) schreiben,
ja mit Äquivalenzklassen solcher Brüche unter der durch Erweiterung von Brüchen gegebenen Äquivalenzrelation identifizieren. Wir erhalten also für A ∈ AF
wohlbestimmte Morphismen τA : F A → F̄ U QA, indem wir den kanonischen
∼
Isomorphismus QA → EU QA als Bruch A → Y ← U QA eines Morphismus
in A durch einen Morphismus aus S(F ) schreiben und τA definieren als die Ver∼
knüpfung F A → F Y ← F U A. Bleibt der Nachweis, daß diese Morphismen eine
Transformation definieren. Das Kommutieren des Diagramms
/ EU QA
QA
/
QB
EU QB
in der lokalisierten Kategorie A|S −1 i bedeutet nun aber genau, daß unter einer
Darstellung seiner Morphismen als Brüche das so in A entstehende Diagramm zu
einem kommutativen Diagramm
/Y o
A
JO o
B
Io
S
S
/
S
U QA
S
WO
S
Zo
S
U QB
ergänzt werden kann, wobei alle mit S bezeichneten Pfeile in S gewählt werden.
Hierbei können nach 3.2.4 durch geeignete Erweiterung unserer Brüche aber sogar
alle mit S bezeichneten Pfeile in S(F ) gewählt werden. Anwenden von F zeigt
dann die Behauptung.
Beispiel 3.2.8 (Deriviertes Tensorprodukt). Gegeben ein Ring k betrachten wir
den Funktor
⊗k : Hot(Mod- k) × Hot(k -Mod) → Der(Ab)
und interessieren uns für die Lokalisierung nach Quasiisomorphismen. Das Hauptlemma der homologischen Algebra zeigt, daß alle Paare von Komplexen (C, D),
48
von denen einer ein in Richtung der Pfeile beschränkter Komplex von Projektiven
ist, entfaltet sind. Insbesondere existiert der derivierte Funktor auf allen Paaren
von Komplexen, von denen einer in Richtung der Pfeile beschränkt ist, und wir
erhalten so einen Funktor
⊗Lk : Der− (Mod- k) × Der− (k -Mod) → Der− (Ab)
Insbesondere kommt es hier nicht darauf an, welche Seite wir auflösen. Eine etwas
allgemeinere Variante diskutieren wir in 3.8.6.
3.3
Approximationen
Definition 3.3.1. Seien Q : A → B und F : A → C Funktoren. Unter einer
Rechtsapproximation an F durch Q verstehen wir ein Paar (G, σ) bestehend
aus einem Funktor G : B → C nebst einer Transformation σ : F ⇒ GQ, im
Diagramm
F
/C
?
@@

@@


@σ

Q @@  G
A@
B
Unter einer initialen Rechtsapproximation verstehen wir eine Rechtsapproximation (F̄ , τ ) derart, daß für alle Funktoren G : B → C die Abbildung α 7→ (αQ) ◦ τ
eine Bijektion
∼
C B (F̄ , G) → C A (F, GQ)
zwischen den entsprechenden Räumen von Transformationen induziert.
Beispiel 3.3.2. Ist Q volldicht, so ist jedes (F̄ , τ ) mit τ einer Isotransformation
∼
τ : F ⇒ F̄ Q eine initiale Rechtsapproximation.
3.3.3 (Eindeutigkeit initialer Rechtsapproximationen). Verstehen wir die Gesamtheit aller Rechtsapproximationen an F durch Q in geeigneter Weise als eine
Kategorie, so ist eine initiale Rechtsapproximation ein initiales Objekt dieser Kategorie. So weit will ich jedoch nicht gehen, da es mir auch so schon klar scheint,
daß eine initiale Rechtsapproximation eindeutig ist bis auf eindeutigen Isomorphismus, falls sie denn existiert.
Beispiel 3.3.4 (Initiale Rechtsapproximation durch Rechtsadjungierte). Gegeben Funktoren Q : A → B und F : A → C mag man die Definition einer
Rechtsapproximation an F durch Q umformulieren als die Aussage, daß ein partieller Linksadjungierter des durch Vorschalten von Q erklärten Funktors
(◦Q) : C B → C A
49
bei F existiert und dort den Wert F̄ annimmt. Besitzt nun Q selber einen Rechtsadjungierten R, so bilden nach [TF] 4.4.11 auch die auf den Funktorkategorien induzierten Funktoren ein adjungiertes Paar ((◦R), (◦Q)) und überhaupt jeder
Funktor F besitzt eine initiale Rechtsapproximation durch Q, nämlich den Funktor F R.
3.3.5. Die entsprechenden Konzepte nach Übergang zu den opponierten Kategorien heißen Linksapproximation und finale Linksapproximation.
3.4
Verknüpfung derivierter Funktoren
Definition 3.4.1. Seien F : A → B ein Funktor und S ein Links-Oresystem von
Morphismen der Kategorie A. Eine volle Unterkategorie A\ ⊂ A heiße eine Entfaltungskategorie für S und F in A genau dann, wenn sich jeder S-Morphismus
I → A von einem Objekt I ∈ A\ in ein beliebiges Objekt A ∈ A so durch einen
S-Morphismus A → J in ein Objekt J ∈ A\ verlängern läßt, daß die Kom∼
position einen Isomorphismus F I → F J induziert. Unter einem Entfaltungspaar für F und S verstehen wir ein Paar A\ ⊂ A] ⊂ A voller Unterkategorien derart, daß A\ eine Entfaltungskategorie ist und es von jedem Objekt von
A] einen S-Morphismus zu einem Objekt von A\ gibt. Wir bezeichnen dann mit
A|S −1 i] ⊂ A|S −1 i das wesentliche Bild von A] in der Lokalisierung. Nach dem
allgemeinen Resultat 1.3.8 über Ore-Lokalisierung und volltreue Einbettungen induziert unter diesen Annahmen die Einbettung eine Äquivalenz
≈
E : A\ |S\−1 i → A|S −1 i]
mit der Notation S\ für das links-Oresystem der S-Morphismen zwischen Objekten von A\ . In der Tat ist die Definition einer Entfaltungskategorie genau auf die
für dieses Resultat benötigte Bedingung aus 1.3.8 abgestimmt.
Beispiel 3.4.2. Seien F : A → B ein Funktor und S ein Links-Oresystem von
Morphismen der Kategorie A. So ist A(F ) ⊂ AF ⊂ A ein Entfaltungspaar, für
A(F ) die Kategorie der entfalteten Objekte aus dem Beweis von 3.2.5 und AF
der Kategorie der entfaltbaren Objekte aus 3.2.5. Genauer ist es das maximale
Entfaltungspaar für F .
Beispiel 3.4.3 (Derivieren durch injektive Auflösungen). Gegeben eine abelsche Kategorie A mit genug Injektiven ist das Paar von Unterkategorien
Hot+ (iA) ⊂ Hot+ (A) ⊂ Hot(A)
ein Entfaltungspaar für jeden Funktor F : Hot(A) → D und das Oresystem der
Quasiisimorphismen in Hot(A). Das folgt etwa aus 2.7.7 und 2.7.8.
50
Lemma 3.4.4 (Eingeschränkter Derivierter als initiale Approximation). Gegeben ein Funktor F : A → D und ein Links-Oresystem S von Morphismen
von A und ein Entfaltungspaar A\ ⊂ A] ⊂ A ist die Einschränkung RF :
A|S −1 i] → D unseres zahmen Rechtsderivierten eine initiale Rechtsapproximation an F : A] → D durch Q : A] → A|S −1 i] .
3.4.5. Insbesondere ist unser zahmer Rechtsderivierter RF : A|S −1 iF → D stets
eine initiale Rechtsapproximation an F : AF → D durch Q : AF → A|S −1 iF .
Die Flexibilität verschiedener Entfaltungspaare wird sich jedoch bei der Diskussion der Grothendieck-Spektralsequenz noch als nützlich erweisen. Sind überhaupt
alle Objekte von A entfaltbar, so ist (R, τ ) eine initiale Rechtsapproximation an
F : A → D durch Q : A → A|S −1 i. Das kann man auch direkt aus 1.2.10
folgern: Mengen von Transformationen bleiben danach nämlich unverändert bei
Vorschalten eines Lokalisierungsfunktors.
Beweis. Wir argumentieren im Diagramm
A\
I
A]
Q\
Q]
/ A\ |S −1 i
O \ FF
FFF̄
FF
E oo U
FF
F"
−1
/ A|S i]
:D
F]
Nach unserer Erkenntnis 1.2.10, daß Lokalisierungsfunktoren volldicht sind, ist
F̄ : A\ |S\−1 i → D eine initiale Rechtsapproximation an den eingeschränkten
Funktor F\ : A\ → D durch den Lokalisierungsfunktor Q\ : A\ → A\ |S\−1 i.
≈
Für I : A\ → A] den Einbettungsfunktor und E : A\ |S\−1 i → A|S −1 i] unsere
Äquivalenz haben wir Q] I = EQ\ : A\ → A|S −1 i] . Ist nun T : A|S −1 i] →
D ein Funktor und α : F] ⇒ T Q] eine Transformation, so erhalten wir durch
Vorschalten von I eine Transformation
αI : F̄ Q\ = F\ = F] I ⇒ T Q] I = T EQ\
Nach unserer Vorüberlegung gibt es genau eine Transformation ᾱ : F̄ ⇒ T E, die
unter Vorschalten von Q\ die vorhergehende Transformation αI induziert. Wählen wir einen Adjungierten alias Quasiinversen Funktor U zu E, so induziert unsere Transformation ᾱ nun eine Transformation β als Komposition R = F̄ U ⇒
∼
∼
T EU ⇒ T von ᾱU mit der Koeinheit der Adjunktion EU ⇒ Id, nachbehandelt
mit T . Diese Transformation β : R ⇒ T hat nach Konstruktion die Eigenschaft,
51
daß nach Vorschalten von QI ein kommutatives Diagramm
RQI
x 8@
τ I xxxxx
xxx
xxxxx
F IFFF
FFFF
FFFF
FF
αI FFF
&
βQI
T QI
entsteht. Ich behaupte, daß sogar ohne das Vorschalten von I bereits die Identität
(βQ)◦τ = α von Transformationen F ⇒ T Q gilt. In der Tat besitzt jedes X ∈ A]
eine Entfaltung X → A durch A ∈ A\ . Damit erhalten wir ein Diagramm mit drei
kommutierenden Quadraten und kommutierendem rechten Dreieck
∼
RQXcH
HH τ
HHX
HH
H
/
FX
βQX
v
vv
vαv
v
v
v
{v X
T QX
∼
/ RQA
w;
τA ww
w
w
w
ww
F AGG
βQA
GG
GG
αA GGG
# / T QA
Das aber zeigt mit den verschiedenen Isomorphismen, daß auch das linke Dreieck
kommutieren muß. Somit ist die Existenz von β gezeigt. Seine Eindeutigkeit folgt
aus der Approximationseigenschaft von F̄ ohne weitere Schwierigkeiten.
3.4.6 (Derivieren von Morphismenfunktoren). Sei A eine abelsche Kategorie.
Wir wenden die vorhergehenden Überlegungen an auf den Morphismenfunktor
der Homotopiekategorie
MorHot : Hotopp
Ab
A × HotA →
(A, D)
7→ HotA (A, D)
und die Lokalisierung nach Quasiisomorphismen in unseren Homotopiekategorien. Für das weitere verwenden wir die Abkürzung T := Hotopp
A × HotA . Die
Unterkategorie aller Paare (A, D) mit A ∈ Hot− (pA) oder D ∈ Hot+ (iA) notieren wir T\ . Sie ist entfaltet im Sinne von 3.4.1 für den Funktor MorHot . Auf der
vollen Unterkategorie der in T\ entfaltbaren Objekte von Deropp
A × DerA , die wir
×
Der
)
notieren,
is
also
der
zahme
derivierte
Funktor
R MorHot defi(Deropp
A ]
A
niert und bildet eine initiale Rechtsapproximation. Die zugehörige universelle Eigenschaft liefert dann eine Transformation zur Restriktion auf (Deropp
A × DerA )]
des Morphismenfunktors. Diese Transformation ist sogar eine Isotransformation
∼
R MorHot ⇒ MorDer
52
In der Tat zeigt 2.7.7, daß auch der Homomorphismenraum in der derivierten Kategorie für Objekte aus T\ bereits in der Homotopiekategorie berechnet werden
kann.
Satz 3.4.7 (Grothendieck’s Spektralsequenz im zahmen Fall). Seien (A, S)
und (B, T ) Kategorien mit Links-Oresystemen von Morphismen und bezeichne
Q : B → B|T −1 i den Lokalisierungsfunktor. Seien F : A → B und G : B → D
Funktoren und sei A\ ⊂ A] ⊂ A sowohl für QF als auch für GF ein Entfaltungspaar. Unter der zusätzlichen Annahme F (A\ ) ⊂ B(G) gibt es dann genau
eine Isotransformation
∼
R(GF ) ⇒ RG ◦ R(QF )
von Funktoren A|S −1 i] → D, die für A ∈ A\ die offensichtliche Identifikation
∼
∼
∼
R(GF )(A) ← GF (A) → G(R(QF ))(A) → RG(R(QF )(A)) induziert.
3.4.8. Es ist klar, daß im Fall zweier Entfaltungspaare, von denen das Eine im
Anderen enthalten ist, unsere Transformation für das größere Paar auf die Transformation für das kleinere Paar einschränkt.
Beweis. Nach 3.4.4 ist die Einschränkung auf A|S −1 i] des zahmen Rechtsderivierten an GF eine initiale Rechtsapproximation
R(GF ) : A|S −1 i] → D
an GF : A] → D durch Q : A] → A|S −1 i] . Die universelle Eigenschaft einer initialen Rechtsapproximation zeigt nun, daß es für die so eingeschränkten
Rechtsderivierten genau eine Transformation
R(GF ) ⇒ RG ◦ R(QF )
gibt mit der Eigenschaft, daß unter dem Vorschalten der eingeschränkten Lokalisierung Q : A] → A|S −1 i] ein kommutatives Diagramm
+3
GF
GF
+3
R(GF ) ◦ Q
RG ◦ R(QF ) ◦ Q
entsteht mit einer unteren Horizontale, deren Definition der geneigte Leser aus
dem folgenden Diagramm ablesen mag, zu dem der krumme Pfeil formal betrach-
53
tet gar nicht gehören sollte:
Q
/ A|S −1 i]
v 7?
vvvvv
v
v
R(QF )
v
F
vvvv
vvvvvQ
/ B|T −1 iG
BG
6>
uuuu
u
u
u
G
RG
uuuu
uuuuuuu
w
A]
D
R(GF )
D
Gilt zusätzlich F (A\ ) ⊂ B(G) , haben also alle Objekte unserer Entfaltungskategorie A\ ein für G entfaltetes Bild unter F , so ist unsere Transformation von oben
offensichtlich sogar eine Isotransformation
∼
R(GF ) ⇒ RG ◦ R(QF )
Man schreibt in diesem und ähnlichen Zusammenhängen statt R(QF ) meist abkürzend RF . Die obige Isotransformation ist Grothendieck’s Spektralsequenz
in einer unwesentlich verallgemeinerten Form.
Beispiel 3.4.9 (Derivieren von Homorphismenfunktoren). Man beachte im folgenden den Unterschied zwischen dem Homomorphismenfunktor und dem Morphismenfunktor, dessen Derivierten wir bereits in 3.4.6 untersucht haben. Sei A
eine abelsche Kategorie. Wir wenden die vorhergehenden Überlegungen an auf
den Homorphismenfunktor der Homotopiekategorie
HomA : Hotopp
Hot(Ab)
A × HotA →
(A, D)
7→ HomA (A, D)
gefolgt vom Kohomologiefunktor H0 : Hot(Ab) → Ab und Lokalisierung nach
Quasiisomorphismen in unseren Homotopiekategorien. Für das weitere verwenden wir die Abkürzung T := Hotopp
A × HotA . Die Unterkategorie aller Paare
(A, D) mit A ∈ Hot− (pA) oder D ∈ Hot+ (iA) notieren wir T\ . Sie ist nach
der anschließenden Bemerkung 3.4.10 entfaltet im Sinne von 3.4.1 für den Funktor MorHot = HotA = H0 HomA und den Funktor
Q HomA : Hotopp
A × HotA → Der(Ab)
Auf der vollen Unterkategorie (Deropp
A × DerA )] der in T\ entfaltbaren Objekte
opp
von DerA × DerA ist die Bedingung für Grothendieck’s Spektralsequenz 3.4.7
erfüllt, denn H0 faktorisiert schon über die Lokalisierung und muß gar nicht mehr
∼
deriviert werden. Wir erhalten so eine Isotransformation RHotA ⇒ H0 RHomA
und zusammen mit 3.4.6 sogar eine Isotransformation
∼
MorDer(A) ⇒ H0 RHomA
von Funktoren (Deropp
A × DerA )] → Ab.
54
3.4.10 (Entfaltungen für den Homomorphismenfunktor). Nach dem Hauptlemma der homologischen Algebra ?? haben wir HotA (C, I) = 0 für C ∈ KetA
exakt und I ∈ Ket+
iA beliebig. Nach [TS] 1.4.10 ist unter diesen Voraussetzungen also HomA (C, I) exakt. Jeder Quasiisomorphismus A →
˘ B in KetA induziert mithin einen Quasiisomorphismus HomA (B, I) →
˘ HomA (A, I) in KetA .
∼
Ist speziell I →
˘ X ein Quasiisomorphismus, so erhalten wir H0 HomA (X, I) →
∼
H0 HomA (I, I) alias HotA (X, I) → HotA (I, I) und es gibt folglich X → I mit
I → X → I homotopieäquivalent zur Identität auf I. Zusammen folgt, daß jedes
Paar (A, I) mit I ∈ Ket+
iA entfaltet ist für unseren Funktor. Im projektiven Fall
argumentiert man analog.
Ergänzung 3.4.11 (Alternativer Zugang zu derivierten Funktoren). Seien F :
A → D ein Funktor und S ein Links-Oresystem von Morphismen von A. Ich erkläre die Definition des rechtsderivierten Funktors aus [Gro72, SGA4-3, Deligne:
Cohomologie à supports propres, 1.2.] auch noch in der Darstellung von Keller
[Kel07, 3.1]. Sei U ein für die folgenden Konstruktionen hinreichend großes Universum. Gegeben D ∈ D und A ∈ A betrachten wir die Menge BF (D, A) aller
Tripel (f, X, s) mit X ∈ A und f : D → F X beliebig und s : A → X ein
Morphismus aus S. Wir nennen solche Tripel F -Brüche und sagen, ein Bruch
(f, X, s) gehe hervor aus einem weiteren Bruch (f 0 , X 0 , s0 ) ∈ BF (D, A) durch
Kürzen genau dann, wenn es einen Morphismus g : X → X 0 gibt mit f 0 = F g◦f
und s0 = g ◦ s. Bezeichne B̄F (D, A) die Menge aller Äquivalenzklassen von Brüchen von D nach A unter der durch Kürzen erzeugten Äquivalenzrelation und
bezeichne [f, X, s] die Äquivalenzklasse eines Bruches. Genau wie beim Beweis
von 1.3.7 zeigt man, daß zwei F -Brüche genau dann äquivalent sind, wenn sie
eine gemeinsame Erweiterung besitzen. Genau wie beim Beweis von 1.3.7 führt
man auch eine Verknüpfung
B̄F (D, A) × B̄(A, A0 ) → B̄F (D, A0 )
ein und zeigt, daß B̄F (D, ) so ein Funktor A|S −1 i → UEns und dann B̄F ( , ) in
offensichtlicher Weise sogar ein Funktor
B̄F ( , ) : Dopp × A|S −1 i → UEns
wird. Gegeben A ∈ A|S −1 i existiert nun der rechtsderivierte Funktor RF bei A
im Sinne von Deligne genau dann, wenn B̄F ( , A) : Dopp → UEns ein darstellbarer Funktor ist, und das darstellende Objekt heißt dann (RF )(A). Die offensichtliche Transformation τA : D( , F A) ⇒ B̄F ( , A) induziert für jedes Objekt A ∈ A
einen Morphismus τA : F A → (RF )(A), und es ist klar, daß diese Morphismen
zusammen eine Transformation τ : F ⇒ (RF ) ◦ Q bilden. Für F -entfaltbare
Objekte A erhalten wir so genau unsere zahmen Rechtsderivierten.
55
3.5
Derivierte Funktoren auf triangulierten Kategorien
3.5.1. Ist T eine triangulierte Kategorie und V ⊂ T ein Verdiersystem, so ist das
System S = SV aller Morphismen mit Kegel in V ein Oresystem und wir haben
per definitionem T |S −1 i = T /V. Ist zusätzlich F : T → D ein Funktor in eine
weitere Kategorie, so spezialisieren wir unsere Begriffe aus 3.2.2 entsprechend
und verwenden folgende Sprechweisen:
1. Eine Auflösung oder genauer V-Rechtsauflösung eines Objekts A ∈ T ist
ein Morphismus A → X mit Kegel in V alias ein Morphismus in S;
2. Ein Objekt X ∈ T heißt entfaltet oder genauer F -V-rechtsentfaltet genau dann, wenn es S-entfaltet ist, wenn es also für jede V-Rechtsauflösung
X → B von X eine V-Rechtsauflösung B → Y von B gibt derart, daß die
∼
Komposition einen Isomorphismus F X → F Y induziert;
3. Eine Auflösung durch ein entfaltetes Objekt nennen wir eine Entfaltung
oder genauer eine F -V-Rechtsentfaltung. Ein Objekt, das eine Entfaltung
besitzt, nennen wir entfaltbar.
3.5.2. Seien F : T → D ein Funktor in eine weitere Kategorie und V ⊂ T ein
Verdiersystem. Besitzt A eine Entfaltung und ist A → B eine V-Auflösung, so
besitzt auch B eine Entfaltung.
Satz 3.5.3 (Rechtsderivierter eines triangulierten Funktors). Seien F : T →
D ein triangulierter Funktor von triangulierten Kategorien und V ⊂ T ein Verdiersystem. So gilt:
1. Die F -V-entfalteten Objekte von T bilden eine volle triangulierte Unterkategorie T(F ) ⊂ T ;
2. Die F -V-entfaltbaren Objekte von T bilden volle triangulierte Unterkategorien TF ⊂ T und (T /V)F ⊂ T /V;
3. Der zahme rechtsderivierte Funktor R = (R, τ ) von F im Sinne von 3.2.5
besitzt genau eine Z-Struktur, für die τ : F ⇒ RQ eine verträgliche Transformation von Z-Funktoren ist, und versehen mit dieser Z-Struktur ist R ein
triangulierter Funktor
R : (T /V)F → D
3.5.4. Per definitionem liefert τ für alle entfalteten Objekte X einen Isomorphis∼
mus τX : F X → RQX.
56
Ergänzung 3.5.5. Eine noch allgemeinere Definition findet man in [Gro72, XVII].
Das Argument für die stärkere Aussage zu Teil 1 in [Gro72, XVII,1.2.2(ii)] schien
mir jedoch implizit auch die Entfaltbarkeit der beteiligten Objekte vorauszusetzen,
da dort die Existenz von Spaltungen a00 , a0 angenommen wird. Die Definition hier
ist so umformuliert, daß das Konzept eines Ind-Objekts mit seinen in den Grundlagen der Mengenlehre wurzelnden Schwierigkeiten vermieden wird.
Beweis. Zunächst zeigen wir, daß die entfalteten Objekte eine volle triangulierte
Unterkategorie T(F ) ⊂ T bilden. Dazu argumentieren wir anhand des folgenden
kommutativen Diagramms:
A
V
X
X
1
/B
/
V 1
V 2
/
/
Y
2
V 4
/Y0
/
4
V 6
Z0
[1]
/
[1]
/
2
[1]
4
/
V 5
X 00
Z
V 3
3
C
6
/Y0
5
/
Z 00
[1]
6
/
Wir gehen aus von einem ausgezeichneten Dreieck in der obersten Horizontale, in
dem wir B und C als entfaltet annehmen, und von einer beliebigen V-Auflösung
A → X. Sicher können wir in einem ersten Schritt (1) den Kowinkel oben links
durch die Morphismen so kommutativ ergänzen, daß wie angedeutet auch B → Y
eine V-Auflösung ist. Dann vervollständigen wir in Schritt (2) die zweite Horizontale zu einem ausgezeichneten Dreieck und ergänzen die beiden linken Vertikalen
zu einem Morphismus von ausgezeichneten Dreiecken durch einen Morphismus
C → Z, dessen Kegel nach 2.4.5 wie angedeutet in V liegen muß. In Schritt (3)
wählen wir Y → Y 0 mit Kegel in V so, daß die Komposition F B → F Y → F Y 0
ein Isomorphismus ist. In Schritt (4) ergänzen wir wieder zu einem Morphismus
von ausgezeichneten Dreiecken. In Schritt (5) wählen wir Z 0 → Z 00 mit Kegel
in V so, daß die Komposition F C → F Z → F Z 0 → F Z 00 ein Isomorphismus
ist. In Schritt (6) ergänzen wir ein letztes Mal zu einem Morphismus von ausgezeichneten Dreiecken. Lassen wir nun F auf das ganze Diagramm los, so werden
beide Kompositionen der mittleren und rechten Vertikalen Isomorphismen, also
auch die Komposition in der linken Vertikale. Nun zeigen wir, daß auch die entfaltbaren Objekte eine volle triangulierte Unterkategorie TF ⊂ T bilden. Diesmal
57
argumentieren wir anhand des folgenden kommutativen Diagramms:
/
A
A
/
B
V 1
V 2
/
/
1
X
2
Y
[1]
[1]
/
/
2
V 3
V 4
Z
C
4
/
X
/
3
Y0
[1]
4
/
Hier wählen wir im Schritt (1) eine Entfaltung von B, bilden im Schritt (2) das
ausgezeichnete Dreieck, wählen in Schritt (3) mithilfe von 3.5.2 eine Entfaltung
von Y und bilden in Schritt (4) wieder das Dreieck. Nach dem bereits bewiesenen
besteht dann das unterste Dreieck aus entfalteten Objekten. Für V(F ) := T(F ) ∩ V
ist nun der offensichtliche Funktor T(F ) /V(F ) → T /V volltreu nach dem allgemeinen Resultat 1.3.8 über Lokalisierung und volltreue Einbettungen. In der Tat
ist die Definition einer Entfaltung genau auf die für dieses Resultat benötigte Bedingung abgestimmt. Unser Funktor liefert folglich eine Äquivalenz
≈
E : T(F ) /V(F ) → (T /V)F
mit der vollen Unterkategorie aller derjenigen Objekte von T /V, die in T entfaltbar sind, und insbesondere ist diese volle Unterkategorie von T /V auch trianguliert. Nun zeigen zeigen wir, daß gilt F (X) = 0 für alle X ∈ V(F ) . Per
definitionem ist für X ∈ V ja der Nullmorphismus X → 0 eine Auflösung, und
ist X zusätzlich entfaltet, so muß sie sich verlängern lassen durch eine Auflösung
∼
0 → Y derart, daß die Komposition einen Isomorphismus F X → F Y liefert.
Das ist aber offensichtlich nur möglich, wenn bereits gilt F X = 0. In der Terminologie des Beweises von 3.2.5 besteht also in dieser Situation S(F ) aus allen
Morphismen aus S zwischen Objekten von T(F ) , und das vereinfacht die Argumentation dieses Beweises ein wenig. Die Einschränkung von F auf T(F ) ⊂ T
faktorisiert also über einen triangulierten Funktor F̄ : T(F ) /V(F ) → D. Jede Wahl
eines Quasiinversen U der Äquivalenz E liefert so einen triangulierten Funktor
R := F̄ U : (T /V)F → D
Die Transformation τ : F ⇒ RQ aus 3.2.5 muß nun verträglich sein aufgrund
ihrer Eindeutigkeit und die Eindeutigkeit des Paares (R, τ ) bis auf eindeutigen
Isomorphismus zeigt auch, daß die Z-Struktur auf R durch die Bedingungen im
Satz bereits eindeutig festgelegt wird.
Beispiel 3.5.6 (Entfaltung durch Rechtsadjungierte). Seien T eine triangulierte Kategorie und V ⊂ T ein Verdiersystem und A ∈ T ein Objekt. Besitzt der
58
Quotientenfunktor Q : T → T /V bei QA einen partiellen Rechtsadjungierten
R, so ist die natürliche Abbildung A → RQA eine F -Entfaltung für jeden triangulierten Funktor F : T → D in eine weitere triangulierte Kategorie. In der Tat
ist A → RQA nach 2.7.4 eine V-Auflösung, und ist RQA → B eine beliebige
∼
V-Auflösung, so kommt sie her von einem Isomorphismus QA → QB, und der
Inverse dazu liefert einen Morphismus B → RQA mit der Eigenschaft, daß die
Verknüpfung die Identität auf RQA ist. Es ist mir nicht gelunen, Analoges für
Lokalisierungen nach allgemeinen Links-Oresystemen zu zeigen.
Beispiel 3.5.7 (Derivieren mit injektiven Auflösungen). Ist B eine abelsche Kategorie, so ist nach 2.7.7 der partielle Rechtsadjungierte von Q : Hot(B) →
Der(B) definiert auf dem Bild der Kategorie Hot+ (iB) aller gegen die Pfeile beschränkten Komplexe von injektiven Objekten von B und ist dort schlicht der
∼
Quasiinverse des Lokalisierungsfunktors Hot+ (iB) ,→ Der(B). Nach 3.5.6 sind
die Objekte von Hot+ (iB) also entfaltet für jeden Funktor F : Hot(B) → D und
∼
für diese Komplexe gilt folglich τI : F I → (RF )(I). Diese Aussage ist etwas
stärker als 3.4.3, da wir hier nicht die Existenz von genug Injektiven voraussetzen.
3.6
Derivierte Funktoren auf derivierten Kategorien
Definition 3.6.1. Sei F : A → B ein additiver Funktor zwischen abelschen
Kategorien. Den rechtsderivierten Funktor an die Verknüpfung Q ◦ Hot(F ) :
Hot(A) → Hot(B) → Der(B) in Bezug auf das Ore-System S der Quasiisomorphismen alias das Verdiersystem der azyklischen Komplexe von Hot(A) im
Sinne von 3.5.3 nennen wir kurz den rechtsderivierten Funktor zu F und notieren ihn vereinfachend RF statt R(Q ◦ Hot(F )). Weiter sagen wir in diesem
Zusammenhang F -derivierbar statt „Q ◦ Hot(F )-entfaltbar“ und bezeichen die
Kategorie aller F -derivierbaren Objekte mit Der(A)F := Der(A)Q◦Hot(F ) . Unser
derivierter Funktor RF ist in diesen Notationen also ein triangulierter Funktor
RF : Der(A)F → Der(B)
von der vollen triangulierten Unterkategorie der F -derivierbaren Komplexe in die
derivierte Kategorie von B. Die volle Unterkategorie der F -derivierbaren im Grad
Null konzentrierten Komplexe alias Objekte A ∈ A notieren wir AF . Die höheren
derivierten Funktoren von F erklären wir dann als die Funktoren
Ri F := Hi RF : AF → B
Schließlich nennen wir ein Objekt A ∈ A ein F -azyklisches Objekt genau dann,
wenn es derivierbar ist, wenn der von (Q ◦ Hot F ) ⇒ RF ◦ Q induzierte Mor∼
phismus ein Isomorphismus F A → R0 F (A) ist, und wenn darüberhinaus gilt
Ri F (A) = 0 für i 6= 0.
59
3.6.2. Nach 3.5.7 sind gegen die Pfeile beschränkte Komplexe von injektiven Objekten stets entfaltet. Folglich verallgemeinern die hier definierten höheren derivierten Funktoren unsere durch injektive Auflösungen definierten höheren derivierten Funktoren.
3.6.3. Analoge Definitionen macht man auch für linksderivierte Funktoren und
setzt zur Vermeidung von Vorzeichen Li F := H−i LF .
Lemma 3.6.4 (Rechtsderivieren erhält Positivität). Seien F : A → B ein additiver Funktor zwischen abelschen Kategorien und X ∈ Der(A)F ein derivierbarer Komplex. So gilt
X ∈ Der≥n (A)
RF (X) ∈ Der≥n (B)
⇒
Beweis. Nach Annahme gibt es einen Quasiisomorphismus X →
˘ Y zu einem entfalteten Komplex Y ∈ Hot(A). Der Quasiisomorphismus Y →
˘ τ ≥0 Y muß sich
dann so durch einen Quasiisomorphismus τ ≥0 Y →
˘ Z fortsetzen lassen, daß die
Komposition einen Quasiisomorphismus F Y →
˘ F Z induziert. Es folgt unmittelbar Hi RF (X) = Hi F Y = 0 für i < 0.
Proposition 3.6.5 (Der nullte Derivierte eines linksexakten Funktors). Ist F :
A → B ein linksexakter Funktor zwischen abelschen Kategorien, so liefert die
kanonische Transformation F ⇒ RF für jedes derivierbare Objekt A ∈ A einen
Isomorphismus
∼
F A → R0 F (A)
Beweis. Wir betrachten die Sequenz
F A → H0 F X → H0 F τ ≥0 X → H0 F Y
Die linksexakte Sequenz A ,→ X 0 /(im d) → X 1 zeigt nach Anwenden von F ,
daß die Komposition der beiden linken Morphismen dieser Sequenz ein Isomorphismus ist. Die Komposition der beiden rechten Morphismen ist ein Isomorphismus nach Konstruktion. Dann aber muß der mittlere Morphismus mono und epi
sein, also ein Isomorphismus. Damit müssen dann alle drei Morphismen Isomorphismen sein.
Lemma 3.6.6 (Derivieren mit azyklischen Auflösungen). Ist F : A → B ein
additiver Funktor zwischen abelschen Kategorien und A ∈ A derivierbar und
A ,→ X 0 → X 1 → . . . eine Auflösung durch einen Komplex azyklischer Objekte
X i ∈ A, so ist der Komplex X ∗ bereits selbst entfaltet und der Quasiisomorphismus A →
˘ X ∗ induziert Isomorphismen
∼
RF (A) → F X ∗
und
60
∼
Ri F (A) → Hi F X ∗ .
Beweis. Jeder Komplex von entfalteten Objekten von A mit nur endlich vielen
von Null verschiedenen Einträgen ist entfaltet, da die entfalteten Komplexe nach
3.5.3 eine volle triangulierte Unterkategorie bilden. Ist A entfaltbar, so kann der
Quasiisomorphismus A →
˘ X schon mal durch eine Entfaltung X →
˘ Y fortgesetzt
werden. Für n ≥ 0 betrachten wir nun den ab der (n + 1)-ten Stelle durch Null
fortgesetzten Komplex X ≤n und das ausgezeichnete Dreieck A → X ≤n → I. Da
X ≤n entfaltet ist, liefert es ein ausgezeichnetes Dreieck
[1]
RF (A) → F X ≤n → RF (I) →
Aus I ∈ Der≤n (A) folgt mit 3.6.4 unmittelbar RF (I) ∈ Der≤n (B) und somit
induziert RF (A) → F X ≤n Isomorphismen auf der Kohomologie in allen Graden
unter n. Andererseits induziert RF (A) → F Y Isomorphismen auf der Kohomologie in allen Graden und folglich induziert F X → F Y Isomorphismen auf der
Kohomologie in allen Graden und X ist auch entfaltet.
3.6.7 (Lange exakte Sequenz der höheren Derivierten). Sei F : A → B ein
additiver Funktor zwischen abelschen Kategorien. Nach 3.6.4 verschwinden auf
jedem derivierbaren Objekt von A alle negativen Rechtsderivierten. Nach 2.5.4
gehört jede kurze exakte Sequenz A0 ,→ A A00 zu einem wohlbestimmten ausgezeichneten Dreieck und führt folglich, wenn denn alle drei Objekten derivierbar
sind, auch in dieser Allgemeinheit zu einer langen exakten Sequenz
R0 F (A0 ) ,→ R0 F (A) → R0 F (A00 ) → R1 F (A0 ) → R1 F (A) → R1 F (A00 ) → . . .
Es reicht im übrigen auch schon zu fordern, daß zwei Objekte unserer kurzen
exakten Sequenz derivierbar sind: Dann ist das Dritte nach 3.5.3 notwendig auch
derivierbar. Ist F linksexakt, so zeigt 3.6.5, daß wir in unserer langen exakten
Sequenz sogar R0 F durch F ersetzen dürfen.
Lemma 3.6.8 (Adjunktionen derivierter Funktoren). Seien A, B abelsche Kategorien und (F, G) ein Paar von adjungierten Funktoren
F
A B
G
Ist F exakt und besitzt B ∈ Hot B eine homotopieinjektive Auflösung, so ist RG
bei B ein partieller Rechtsadjungierter von LF .
Beweis. Gegeben Komplexe A ∈ Hot A und I ∈ Hot B liefert unsere Adjunktion
(F, G) natürliche Isomorphismen
∼
HotA (A, GI) → HotB (F A, I)
61
Nehmen wir hier I homotopieinjektiv an, so folgt GI homotopieinjektiv aus der
Exaktheit von F . Ist F exakt, so ist weiter jeder Quasiisomorphismus in HotA
und insbesondere auch jede Identität bereits eine F -Linksentfaltung. Aus diesen
Erkenntnissen folgt die Behauptung unmittelbar.
Beispiel 3.6.9 (Spezialfall der Garbenkohomologie). Gegeben ein topologischer
Raum X und der linksexakte Funktor der globalen Schnitte Γ : Ab/X → Ab
liefert uns unsere Theorie einen rechtsderivierten Funktor RΓ : Der+ (Ab/X ) →
Der+ (Ab). Gegeben ein gegen die Pfeile beschränkter Komplex F von abelschen
Garben setzt man
Hi (RΓ)F = : Hi (X; F)
und nennt diese Gruppe die i-te Hyperkohomologiegruppe von X mit Koeffizienten in F. Besteht der Komplex F aus einer Garbe F 0 im Grad Null und Nullen
in allen anderen Graden, so erhalten wir unsere Garbenkohomologie zurück, in
Formeln Hi (X; F) = Hi (X; F 0 ).
3.6.10 (Grothendieck’s Spektralsequenz im Fall derivierter Kategorien). Seien abelsche Kategorien B, C, D gegeben und additive Funktoren F : B → C und
G : C → D. Haben B und C genug Injektive, so sind nach 3.5.7 auf den gegen die Pfeile beschränkten derivierten Kategorien jeweils die rechtsderivierten
Funktoren definiert. Diese Daten fassen wir zusammen im Diagramm
/ Hot+ (C) G / Hot+ (D)
rrrrrr
rrrrrr
rrrrrr
rrrrrr
r
r
r
r
r
r
t| rrrrr
t| rrrrr
+
+
/ Der+ (D)
/ Der (C)
Der (B)
Hot+ (B)
F
RG
RF
Andererseits können wir auch den derivierten Funktor der Verknüpfung R(G ◦ F )
betrachten, und da er nach 3.4.4 eine initiale Rechtsapproximation ist, erhalten
wir eine durch die zu unseren Derivierten RG und RF gehörigen Transformationen wohldefinierte Transformation R(G ◦ F ) ⇒ RG ◦ RF . Macht hier unser
Funktor F injektive Objekte zu G-azyklischen Objekten, so ist diese Transformation nach unserer allgemeinen Grothendieck’schen Spektralsequenz aus 3.4.7
sogar eine Isotransformation
∼
R(G ◦ F ) ⇒ RG ◦ RF
3.7
Derivieren homologisch endlicher Funktoren
Definition 3.7.1. Ein additiver Funktor F : A → B zwischen abelschen Kategorien heißt homologisch rechtsendlich, wenn alle A ∈ A unter F rechtsderivierbar
sind und es eine Schranke N gibt mit Ri F (A) = 0 für alle A ∈ A und alle
62
i > N . Das Infimum über alle möglichen derartigen Schranken N heißt dann die
homologische Rechtsdimension unseres Funktors.
3.7.2. Analog definieren wir über den linksderivierten Funktor die Begriffe homologisch linksendlich und homologische Linksdimension. Meist spricht man
kürzer von homologisch endlichen Funktoren und ihrer homologischen Dimension und überläßt es dem Leser, aus dem Kontext zu erschließen, ob das nun von
Links oder von Rechts gemeint sein soll.
Beispiel 3.7.3. Der Nullfunktor hat die homologische Rechtsdimension −∞. Ein
linksexakter Funktor ist homologisch rechtsendlich von der homologischen Dimension Null genau dann, wenn er exakt aber nicht der Nullfunktor ist.
Satz 3.7.4 (Unbeschränktes Derivieren). Sei F : A → B ein linksexakter homologisch rechtsendlicher Funktor zwischen abelschen Kategorien derart, daß sich
jedes Objekt A ∈ A in ein F -azyklisches Objekt einbetten läßt. So gilt:
1. Es gibt von jedem Komplex einen Quasiisomorphismus zu einem Komplex
von F -azyklischen Objekten;
2. Jeder Komplex von F -azyklischen Objekten ist F -entfaltet;
3. Jedes Objekt von Der(A) ist derivierbar;
4. Ist d die homologische Dimension von F , so bildet der derivierte Funktor
RF die Unterkategorie Der≤n (A) in die Unterkategorie Der≤n+d (B) ab.
Beweis. Sei X = (X n , d) ein Komplex. Wir wählen Injektionen in azyklische Objekte in : X n ,→ Z n . Die Injektionen (in , in+1 d)> : X n ,→ Z n ⊕ Z n+1 bilden eine Kettenabbildung, wenn wir als Differential rechts die Abbildung (z n , z n+1 ) 7→
(z n+1 , 0) nehmen. Indem wir den Kokern unserer Kettenabbildung bilden, erhalten wir eine kurze exakte Sequenz von Kettenkomplexen
X ,→ T Q
mit T n = Z n ⊕ Z n+1 . Betrachten wir nun in der Homotopiekategorie das ausgezeichnete Dreieck Keg(T → Q) → [1]T → [1]Q, so ist klar, daß der offensichtliche Morphismus [1]X → [1]T über einen Morphismus [1]X → Keg(T → Q)
faktorisiert, dessen Kegel in der derivierten Kategorie Null wird, da er nach dem
Oktaederaxiom und 2.5.4 der Kegel über der Identität auf [1]Q ist. Ist nun r > 0
fest und verschwinden alle Ri F (X n ) für alle i > r und alle n, so verschwinden für Y := Keg(T → Q) nach der langen exakten Sequenz unsere Ri F (Y n )
für alle i ≥ r und alle n. Induktiv folgt so die erste Aussage. Um die zweite
Aussage zu zeigen, sei Z ein Komplex von azyklischen Objekten und Z →
˘ X
63
ein Quasiisomorphismus. Nach der ersten Aussage können wir ihn verlängern
durch einen Quasiisomorphismus X →
˘ Y in einen weiteren Komplex von azyklischen Objekten. Es gilt zu zeigen, daß der induzierte Morphismus ein Quasiisomorphismus F Z →
˘ F Y ist. Es gilt durch Übergang zum Kegel in der Homotopiekategorie K := Keg(Z → Y ) gleichbedeutend zu zeigen, daß für jeden
exakten Komplex K von azyklischen Objekten auch F K azyklisch ist. Nun ist
ker dn ,→ K n → K n+1 → . . . für jedes n eine azyklische Auflösung von ker dn
und mit 3.6.6 folgt für i > 0 sofort Hn+i F K = Ri F (ker(dn )). Diese Objekte
verschwinden jedoch für i oberhalb der homologischen Dimension von F , und da
das für alle n gilt, muß F K ein exakter Komplex sein. Die dritte Aussage ergibt
sich sofort aus den beiden anderen Aussagen. Der Beweis der letzten Aussage sei
dem Leser überlassen.
3.8
Totalkomplexe und deren Exaktheit
Definition 3.8.1. Gegeben ein Doppelkomplex A = (Ap,q ) von abelschen Gruppen mit Differentialen ∂ : Ap,q → Ap+1,q und δ : Ap,q → Ap,q+1 derart, daß an
jeder Stelle gilt δ∂ = ∂δ, bilden wir vier Komplexe, deren homogene Komponenten gegeben werden durch
L
für das Summentotal,
(tot⊕⊕ A)n = p+q=n Ap,q
Q
p,q
ππ
n
für das Produkttotal sowie
(tot A)
= p+q=n A
L
Q
(tot⊕π A)n = p+q=n Ap,q ⊕ p+q=n Ap,q für das Summenprodukttotal,
Q p<0
L p≥0
(totπ⊕ A)n = p+q=n Ap,q ⊕ p+q=n Ap,q für das Produktsummentotal.
p<0
p≥0
Das Symbol totπ⊕ soll zum Beispiel andeuten, daß auf den Diagonalen p + q = n
„in Richtung fallender erster Indizes das Produkt zu nehmen ist, in Richtung
wachsender erster Indizes jedoch die direkte Summe“. Die Differentiale werden
alle gegeben durch da = ∂a + (−1)p δa für a ∈ Ap,q und die offensichtlichen
Erweiterungen dieser Regel. In der Literatur wird meist nur das Summentotal betrachtet und heißt der Totalkomplex. Wir denken uns im folgenden den ersten
Index p nach rechts und den zweiten Index q nach oben aufgetragen.
Lemma 3.8.2 (Exaktheitskriterien für Totalkomplexe). Wir denken uns in der
Formulierung dieses Lemmas Doppelkomplexe mit Differentialen nach oben und
rechts, und zwar soll der erste Index nach rechts wachsen und der zweite Index
nach oben.
1. Gegeben ein Doppelkomplex von abelschen Gruppen mit exakten Zeilen ist
das Produktsummentotal exakt;
64
2. Sind zusätzlich die Zeilen aus der Kohomologie der Spaltenkomplexe alle
exakt, so ist auch das Summenprodukttotal exakt.
3. Sind zusätzlich sogar die Kerne oder gleichbedeutend die Bilder der Morphismen zwischen den Zeilenkomplexen alle exakt, so sind auch das Summentotal und das Produkttotal exakt;
3.8.3. Dies Lemma verallgemeinert ?? und ??. In Teil 3 folgt die Aussage über
das Summentotal leicht aus Teil 1, wohingegen die Aussage über das Produkttotal
Teil 2 benötigt.
3.8.4. Dieses Lemma gilt im allgemeinen nicht mehr für Doppelkomplexe von
Objekten aus beliebigen abelschen Kategorien anstelle von abelschen Gruppen.
Ich wüßte gerne genauer, inwieweit seine Aussagen aus allgemeinen Sätzen über
Spektralsequenzen folgen. Die Forderungen in 1 und 3 implizieren übrigends die
Forderung in 2, denn mit den Kernen der Morphismen der Zeilenkomplexe und
den Zeilenkomplexen selber sind auch die Bilder der Morphismen der Zeilenkomplexe exakt und dann auch Zeilen von Kokernen.
Beweis. Es reicht jeweils zu zeigen, daß jeder Nullzykel ein Rand ist. So ein
Nullzykel ist eine Folge von Elementen . . . , a−1 , a0 , a1 . . . mit ai ∈ Ai,−i und
∂ai + (−1)i+1 δai+1 = 0 für alle i, von der je nach dem behandelten Fall noch
die eine oder andere Art von Verschwinden gefordert wird. Gesucht ist eine Folge
. . . , b−1 , b0 , b1 , . . . von Elementen bi ∈ Ai,−i−1 mit derselben Art des Verschwindens und mit ai = ∂bi−1 + (−1)i δbi für alle i. Zunächst einmal säubern wir dies
Problem von Vorzeichen. Ändern wir genauer unsere Folge ab zu
. . . , a0 , a1 , −a2 , −a3 , a4 , a5 , −a6 , −a7 , . . .
so lautet die Bedingung an unsere neue Folge . . . , c0 , c1 , c2 , . . . einfacher ∂ci =
δci+1 und gesucht ist eine Folge . . . , d0 , d1 , d2 , . . . mit ci = ∂di−1 + δdi für alle i,
aus der wir dann die ursprünglich gesuchte Folge der bi durch geeignete Vorzeichenänderungen erhalten als . . . , d0 , −d1 , −d2 , d3 , d4 , −d5 , −d6 , . . . Jetzt behandeln wir die verschiedenen Fälle der Reihe nach. Ist (A, ∂, δ) unser Doppelkomplex, so behauptet Teil 1 in Formeln
H(A, ∂) = 0 ⇒ H(totπ⊕ A) = 0
Wie oben erklärt können wir ausgehen von einer Familie . . . , c−1 , c0 , c1 , c2 , . . .
mit ci ∈ Ai,−i und ci = 0 für i 0 sowie ∂ci = δci+1 für alle i. Der Einfachkeit
halber nehmen wir für die weitere Argumentation an, es gälte bereits ci = 0 für
i > 0. Dann folgt ∂c0 = 0 und nach Annahme finden wir d0 ∈ A−1,0 mit ∂d0 = c0 .
Es folgt
∂c−1 = δc0 = δ∂d0 = ∂δd0 ,
65
also ∂(δd0 − c−1 ) = 0. Also gibt es d−1 ∈ A−2,1 mit ∂d−1 = δd0 − c−1 oder
c−1 = δd0 − ∂d−1 . Indem wir so „die Treppe heraufgehen“ finden wir eine Folge (. . . , d−1 , d0 , 0, 0, . . .) wie gewünscht und Teil 1 ist erledigt. Jetzt folgern wir
erst einmal die Aussage von Teil 3 für das Summentotal. Sind die Kerne der Morphismen zwischen den Zeilenkomplexen exakt, so können wir die Erkenntnis aus
Teil 1 ja anwenden auf die Doppelkomplexe, die entstehen durch Ersetzen einer
Zeile durch den Kernkomplex zum Morphismus in die darüberliegende Zeile und
Ersetzen der höheren Zeilen durch Null. Das Summentotal ist dann exakt als der
filtrierende Kolimes der Summentotale dieser Teilkomplexe, die in dem von uns
bereits behandelten Rahmen liegen. Jetzt diskutieren wir Teil 2. Er behauptet in
Formeln
H(A, ∂) = 0 ⇒ H(tot⊕π A) = 0
unter der zusätzlichen Annahme, daß die aus der Spaltenkohomologie gebildeten Zeilen exakt sind. Wie oben erklärt, können wir auch hier wieder ausgehen
von einer Familie . . . , c−1 , c0 , c1 , c2 , . . . mit ci ∈ Ai,−i und ci = 0 für i 0
sowie ∂ci = δci+1 für alle i. Der Einfachkeit halber nehmen wir für die weitere
Argumentation an, es gälte bereits ci = 0 für i < 0. Wir beginnen unsere Argumentation mit der Erkenntnis δc0 = 0. Wegen ∂c0 = δc1 geht der δ-Zykel c0
unter ∂ auf die Null der δ-Kohomologie, also gibt es einen δ-Zykel z−1 ∈ A−1,0
und e0 ∈ A0,−1 mit ∂z−1 + δe0 = c0 . Dann haben wir δ(c1 − ∂e0 ) = 0 und
∂(c1 − ∂e0 ) = δc2 , also ist c1 − ∂e0 ein δ-Zykel, dessen δ-Kohomologieklasse
unter ∂ nach Null geht, also ist er bis auf einen δ-Rand das ∂-Bild eines δ-Zykels,
d.h. es gilt
c1 − ∂e0 = ∂z0 + δe1
für einen δ-Zykel z0 ∈ A0,−1 und e1 ∈ A1,−2 . Wir haben also
δ(z−1 + 0) = 0
∂(z−1 + 0)+ δ(z0 + e0 ) = c0
∂(z0 + e0 )
= c1 − δe1
Nun folgt δ(c2 −∂e1 ) = ∂(c1 −δe1 ) = ∂ 2 (z0 +e0 ) = 0, womit c2 −∂e1 ein δ-Zykel
ist, der wegen ∂(c2 − ∂e1 ) = δc3 bis auf δ-Rand von einem δ-Zykel z1 ∈ A1,−2
herkommt, also c2 − ∂e1 = ∂z1 + δe2 . Wir haben also
∂(z0 + e0 ) + δ(z1 + e1 ) = c1
∂(z1 + e1 )
= c2 − δe2
und indem wir so „die Treppe heruntergehen“ finden wir auch hier wieder eine
Folge (. . . , 0, z−1 , z0 + e0 , z1 + e1 , . . .) wie gewünscht. Schließlich besprechen
wir noch Teil 3 für das Produkttotal. Dazu betrachten wir die Doppelkomplexe,
die entstehen durch Ersetzen einer Zeile durch den Bildkomplex zum Morphismus
66
in die nächsthöhere Zeile und Ersetzen aller Zeilen darunter durch Null. Das Produkttotal ist dann exakt nach ?? als der inverse Limes über das surjektive inverse
System der Produkttotale dieser Quotientenkomplexe, die in dem von uns in Teil
2 bereits behandelten Rahmen liegen.
Definition 3.8.5. Wir sagen, ein Ring k habe endliche homologische Dimension
genau dann, wenn sowohl die Kategorie der k-Linksmoduln als auch die Kategorie
der k-Rechtsmoduln eine homologische Dimension < ∞ hat.
Lemma 3.8.6 (Deriviertes Tensorprodukt). Gegeben ein Ring k von endlicher
homologischer Dimension besitzt der Funktor
⊗k : Hot(Mod- k) × Hot(k -Mod) → Der(Ab)
einen zahmen Linksderivierten
⊗Lk : Der(Mod- k) × Der(k -Mod) → Der(Ab)
Des weiteren sind für Ringe von endlicher homologischer Dimension alle Paare
von Komplexen aus flachen Moduln bereits entfaltet.
3.8.7. Die Existenz eines zahmen globalen Derivierten gilt ganz allgemein für
beliebige Ringe k, vergleiche [Spa88]. Allerdings kenne ich in dieser Allgemeinheit keinen so einfachen Beweis. Daß alle Paare unbeschränkter Komplexe flacher
Moduln für ⊗ entfaltet sind, ist jedoch für allgemeine Ringe nicht mehr richtig.
So gilt es etwa nicht für den Ring Z/4Z.
3.8.8. Meines Erachtens ist dieses Lemma eine ganz wesentliche Motivation für
den Aufbau des Formalismus der derivierten Kategorien. In der Tat zeigt es einen
Weg, auf dem das derivierte Tensorprodukt von Garben unter geeigneten Annahmen sinnvoll definiert werden kann, obwohl es in Kategorien von Garben im allgemeinen nicht genug projektive Objekte gibt.
Beweis. Nach 3.7.4 gibt es für jeden Komplex C von k-Moduln einen Quasiisomorphismus F →
˘ C, der von einem Komplex von flachen Moduln ausgeht. Es gilt
nun zu zeigen, daß gegeben ein Quasiisomorphismus G0 →
˘ G von Komplexen fla0
cher Rechtsmoduln und ein Quasiisomorphismus F →
˘ F von Komplexen flacher
˘ G ⊗k F ist.
Linksmoduln das Tensorprodukt ein Quasiisomorphismus G0 ⊗k F 0 →
Wir können uns auf die beiden Fälle beschränken, daß einer von unseren beiden
Quasiisomorphismen die Identität ist. Indem wir dann vom anderen Quasiisomorphismus den Kegel bilden, reicht es zu zeigen, daß das Tensorprodukt eines Komplexes C mit einem exakten Komplex flacher Moduln E exakt ist. Der Tensorkomplex ist per definitionem der Totalkomplex eines Doppelkomplexes C p ⊗k E q . Nun
sind nach 3.7.4 die Spaltenkomplexe dieses Doppelkomplexes für jedes p exakt,
und dasselbe gilt für die Bilder der Kettenabbildungen zwischen den Spaltenkomplexen. Also ist nach 3.8.2.3 das Summentotal alias der Tensorproduktkomplex
exakt.
67
3.9
Totale derivierte Funktoren*
3.9.1 (Rechtsapproximation bei Lokalisierungen). Seien A eine Kategorie, S
eine Menge von Morphismen von A und F : A → C ein Funktor. Eine initiale
Rechtsapproximation (F̄ , τ ) an den Funktor F durch den Lokalisierungsfunktor
Q : A → A|S −1 i heißt auch ein totaler Rechtsderivierter oder kurz Rechtsderivierter von F . Ich notiere ihn F̄ = RF oder auch F̄ = Rt F , wenn besonders
betont werden soll, daß der totale Rechtsderivierte gemeint ist. Analog erklärt man
den totalen Linksderivierten LF = Lt F .
Beispiel 3.9.2. Fakorisiert F bereits selbst durch die Lokalisierung, gibt es also ein
Paar (F̄ , τ ) mit τ einer Isotransformation, so ist nach 3.3.2 sowohl dies Paar ein
totaler Rechtsderivierter als auch das Paar (F̄ , τ −1 ) ein totaler Linksderivierter.
3.9.3. Im folgenden verwenden wir für die Lokalisierung einer Kategorie A nach
einer Menge S von Morphismen oft auch die alternative und etwas kürzere Notation A|S −1 i = AS .
Lemma 3.9.4 (Totaler Rechtsderivierter eines Yoneda-Funktors). Seien A eine Kategorie, S eine Menge von Morphismen in A und Q : A → AS der Lokalisierungsfunktor. Sei U ein Mengensystem derart, daß A und AS beide UKategorien sind. Für X ∈ A ist dann der Yoneda-Funktor X̌S := AS (X, ) mit
der offensichtlichen Transformation τ : A(X, ) ⇒ AS (X, ) der totale Rechtsderivierte des Yoneda-Funktors X̌ := A(X, ) : A → UEns, im Diagramm
X̌
AB
BB
BB
B τ
Q BB AS
/ UEns
;
ww
w
w
w
ww
ww X̌S
Beweis. Gegeben ein Funktor G : AS → UEns und eine Transformation α : X̌ ⇒
GQ konstruieren eine Transformation αS : X̌S ⇒ G wie folgt: Morphismen in
AS sind ja nach 1.2.5 Äquivalenzklassen von Wegen in der Wegekategorie des
Köchers. So ein Weg ist eine Folge
X = Z0 ↔ Z1 ↔ . . . ↔ Zn = Y
mit jedem Doppelpfeil entweder einem Morphismus Zi−1 → Zi oder einem Morphismus Zi → Zi−1 aus S. Unserer Transformation α führt dann zu kommutativen
Diagrammen
A(X, Z0 ) o
G(Z0 ) o
/
/
... o
/
... o
A(X, Z1 ) o
/
G(Z1 ) o
68
/
A(X, Zn )
/
G(Zn )
Da GQ Morphismen aus S zu Isomorphismen macht, sind in der unteren Horizontale alle Morphismen von rechts nach links Bijektionen. Jeder Weg liefert so
eine Abbildung G(X) → G(Y ). Man prüft leicht, daß äquivalente Wege dieselbe
Abbildung liefern, so daß unser α uns wohlbestimmte Abbildungen
AS (X, Y ) → Ens(G(X), G(Y ))
liefert, die bei festem X sogar eine Transformation der entsprechenden Funktoren
AS → Ens bilden. Betrachten wir schließlich in G(X) das Element α(idX ), so
liefert das Anwenden auf dies Element für unser festes X natürliche Abbildungen
Ens(G(X), G(Y )) → G(Y ) und wir erhalten insgesamt eine Transformation αS :
X̌S ⇒ G. Man prüft leicht, daß die Abbildung α 7→ αS invers ist zur Abbildung
Cat(AS , UEns)(X̌S , G) → Cat(A, UEns)(X̌, GQ)
gegeben durch die Abbildungsvorschrift β 7→ (βQ) ◦ τ .
3.9.5. Sei U ein Mengensystem. Für jede U-Kategorie A betrachten wir den Morphismenfunktor gegeben durch MorA : (X, Y ) 7→ A(X, Y ). Das ist also ein
Funktor
MorA : Aopp × A → UEns
Lemma 3.9.6 (Totaler Rechtsderivierter des Morphismenfunktors). Seien A
eine Kategorie und S eine Menge von Morphismen in A. Sei U ein Mengensystem
derart, daß A und AS beide U-Kategorien sind. So besitzt der Morphismenfunktor
MorA : (X, Y ) 7→ A(X, Y ) als totalen Rechtsderivierten den Morphismenfunktor MorAS : (X, Y ) 7→ AS (X, Y ) mit der offensichtlichen Transformation, im
Diagramm
Aopp × OA
MorA
OOO
OOO
τ
O
Q OOO'
/ UEns
r8
r
rr
r
r
rr
rrr MorAS
Aopp
S × AS
Beweis. Gegeben ein Funktor G : Aopp
S × AS → UEns und eine Transformation
α : MorA ⇒ GQ konstruieren wir wie beim Beweis von 3.9.4 eine Transformation αS : MorAS ⇒ G und zeigen, daß sie invers ist zur zur Abbildung
opp
Cat(Aopp
× A, UEns)(MorA , GQ)
S × AS , UEns)(MorAS , G) → Cat(A
gegeben durch die Abbildungsvorschrift β 7→ (βQ) ◦ τ .
69
3.9.7 (Totaler Rechtsderivierter des Morphismenfunktors, Variante). Sei A
eine abelsche Kategorie. Wir wenden die vorhergehenden Überlegungen an auf
den Morphismenfunktor der Homotopiekategorie
MorHot : Hotopp
Ab
A × HotA →
(A, D)
7→ HotA (A, D)
und die Lokalisierung nach Quasiisomorphismen in unseren Homotopiekategorien. Der totale Rechtsderivierte unseres Morphismenfunktors ist nach 3.9.6, genauer einer offensichtlichen Variante für Kategorien mit additiver Struktur, der
Morphismenfunktor der derivierten Kategorie DerA , in Formeln
Rt MorHot = MorDer : Deropp
A × DerA → Ab
3.9.8 (Komposition von totalen Rechtsderivierten). Seien (A, S) und (B, T )
Kategorien mit Mengen von Morphismen und bezeichne Q : B → B|T −1 i die
Lokalisierung. Seien F : A → B und G : B → D Funktoren. Wir nehmen an, daß
GF einen totalen Rechtsderivierten R(GF ) : A|S −1 i → D besitzt, daß QF einen
totalen Rechtsderivierten R(QF ) : A|S −1 i → B|T −1 i besitzt, und daß G einen
totalen Rechtsderivierten RG : B|T −1 i → D besitzt. Die universelle Eigenschaft
zeigt dann, daß es für diese Rechtsderivierten genau eine Transformation
R(G ◦ F ) ⇒ RG ◦ R(QF )
gibt derart, daß unter dem Vorschalten der Lokalisierung P : A → A|S −1 i ein
kommutatives Diagramm
+3
G◦F
G◦F
+3
R(G ◦ F ) ◦ P
RG ◦ R(QF ) ◦ P
entsteht mit einer unteren Horizontale, deren Definition der Leser aus dem folgenden Diagramm ablesen mag, dessen gekrümmter Pfeil formal betrachtet eigentlich
irrelevant ist:
P/
−1
A
A|S
i
8@
y
yyyyy R(QF )
y
y
y
yyy
yyyyyyQ
/
B
B|T −1 i
7?
wwww
w
w
w
G
RG
www
wwwwww
w
F
D
D
70
R(G◦F )
3.9.9 (Konstruktion von totalen Rechtsderivierten). Seien A eine Kategorie,
S eine Menge von Morphismen von A und F : A → C ein Funktor. Manchmal
erhält man einen totalen Rechtsderivierten wie folgt: Man sucht ein Paar (E, τ )
bestehend aus einem Funktor E : A → A nebst einer Transformation τ : Id ⇒ E
mit folgenden Eigenschaften:
∼
1. Für alle X ∈ A ist QτX ein Isomorphismus QτX : QX → QEX;
2. Jeder Morphismus s : X → Y in S liefert unter F E einen Isomorphismus
∼
F Es : F EX → F EY .
So ein Paar (E, τ ) heißt eine an F angepaßte Ersetzung. Es gibt dafür nach der
universellen Eigenschaft der Lokalisierung genau einen Funktor F̄ : A|S −1 i → C
mit F̄ Q = F E. Ich behaupte, daß dieser Funktor F̄ zusammen mit der durch τ
induzierten Transformation F ⇒ F E = F̄ Q eine initiale Rechtsapproximation
an F durch Q ist. Wir verwenden im folgenden die exponentielle Schreibweise
Cat(A, C) = C A für Funktorkategorien. Nun erhalten wir für jeden Funktor G :
A|S −1 i → C Abbildungen
C A|S
−1 i
(F̄ , G) → C A (F̄ Q, GQ) = C A (F E, GQ) → C A (F, GQ)
Die Erste ist eine Bijektion nach unserer Erkenntnis 1.2.10, daß jeder Lokalisierungsfunktor volldicht ist. Wir müssen also nur noch zeigen, daß auch die Letzte
eine Bijektion ist. Das aber folgt daraus, daß jede Transformation η : F ⇒ GQ
ein kommutatives Diagramm
FX
ηX
GQX
F τX
/
F EX
ηEX
GQτX
/ GQEX
∼
liefert, in dem die untere Horizontale nach unseren Annahmen, wie im Diagramm
bereits angedeutet, ein Isomorphismus ist.
3.10
Totale Derivierte von Kern und Kokern*
Beispiel 3.10.1 (Totaler Linksderivierter des Kokern-Funktors). Sei A eine
abelsche Kategorie. Bezeichne A→ die Kategorie aller Darstellungen des Köchers
→ mit zwei Ecken und einem sie verbindenden Pfeil in A. Wir bestimmen die finale Linksapproximation des Funktors cok : A→ → A oder genauer des induzierten Funktors cok : Ket(A→ ) → Der(A). Hier ist implizit zu verstehen, daß wir
an Quasiisomorphismen lokalisieren wollen, der Derivierte wird also die Gestalt
L cok : Der(A→ ) → Der(A)
71
haben. Nun finden wir von jedem Objekt α : X → Y aus Ket(A→ ) einen Quasiisomorphismus zu einem Objekt α0 : X 0 → Y 0 mit α0 injektiv. Betrachten wir in
der Tat den Simplex ∆1 mit zwei Ecken und die Einbettungen k0 , k1 : ∆0 → ∆1
der beiden Ecken alias die Kantenabbildungen aus ??, indiziert durch die jeweils
nicht erwischte Ecke, so erhalten wir auf den zugehörigen Simplizialketten Homotopieäquivalenzen
k
k
S∆0 →0 S∆1 ←1 S∆0
Ausgeschrieben sind diese Homotopieäquivalenzen die Morphismen
(01)
ZO
(10)
/ Z2 o
O
ZO
1
)
(−1
/
0
Zo
0
von senkrecht zu lesenden Komplexen, bei denen alle nicht ausgeschriebenen
Gruppen verschwinden und die obere Horizontale in Grad Null sitzt und wir oben
indizieren, so daß die untere Horizontale im Grad (−1) sitzt. Nun bilden wir durch
sukzessive Pushouts in Ket(A) das Diagramm
k1
X
k0
/
/
α
X
S∆1 ⊗Z X
c
α
X
/
Y
ι
Zyl(α)
/
p
Y
Sicher gilt pι = idY . Der erste Pushout heißt der Zylinder von α, da er in der analogen topologischen Situation tatsächlich durch Aufkleben des Zylinders ∆1 × X
auf die Bodenplatte Y vermittels der Abbildung α entstünde. In der topologischen
Situation ist auch anschaulich klar, daß p und ι zueinander homotopieinvers sind.
In der algebraischen Situation prüfen wir das explizit. Wir schreiben dazu den
Zylinder aus als Zyl(α) = Y ⊕ X ⊕ [1]X mit Differential


dY 0
α
d =  0 dX − id 
0 0 −dX
Dann ist ι schlicht die Einbettung von Y als erster Summand, also die Spaltenmatrix ι = (id, 0, 0)> . Dahingegen ist p die Zeilenmatrix p = (idY , α, 0). Es gilt nun,
72
die Differenz


0
α
0
0 
ιp − id = 0 − idX
0
0
− id[1]X
in der Form dδ + δd zu schreiben. Um das zu leisten, betrachten wir zunächst die
k
Komposition S∆1 → S∆0 →1 S∆1 alias
(10 10)
2
ZO
/
ZO 2
1
)
(−1
1
)
(−1
/
0
Z
Z
wieder mit senkrecht gedachten und nur zum Teil ausgeschriebenen Komplexen.
In diesem Fall sollten wir ja eine Homotopie zur Identität erhalten durch den Prismenoperator δ : Z2 → Z gegeben durch die Zeilenmatrix (0, 1), und in der Tat
prüft man mühelos die Identitäten
1
0 1
11
10
1
(0, 1) =
=
−
und (0, 1)
= (−1) = (0)−(1).
−1
0 −1
00
01
−1
Das Tensorieren dieser Homotopie mit der Identität auf X liefert eine Lösung
unseres Problems im Fall α = idX der Form


0 0 0
δ = 0 0 0
0 idX 0
Wir prüfen nun leicht, daß dieselbe Formel auch für allgemeines α die gesuchte
Homotopie liefert. Also ist p : Zyl(α) → Y in der Tat eine Homotopieäquivalenz.
So erhalten wir ein kommutatives Quadrat
X
X

/
Zyl(α)
α
/
p
Y
in Ket(A) mit Homotopieäquivalenzen in den Vertikalen. Das ist in Ket(A→ )
ein Morphismus der oberen Horizontale zur unteren Horizontale und ist sogar
ein Quasiisomorphismus, wenn auch keine Homotopieäquivalenz. Jedoch ist diese Konstruktion funktoriell und liefert uns einen an cok angepaßten Ersetzungsfunktor im Sinne von 3.9.1, denn in der Tat induziert jeder Quasiisomorphismus
73
in Ket(A→ ) zwischen durch injektive Kettenabbildungen beschriebenen Objekten
einen Quasiisomorphismus zwischen ihren Kokernkomplexen nach der langen exakten Homologiesequenz und dem Fünferlemma. So folgt
dY
α
α
L cok(X → Y ) = cok(X → Zyl(α)) = Y ⊕ [1]X,
0 −dX
Salopp gesprochen ist also der Linksderivierte des Kokernfunktors der Abbildungskegelfunktor.
74
4
Danksagung
Für Korrekturen und Verbesserungen danke ich vielen, insbesondere Olaf Schnürer und Bernhard Link. Der Inhalt geht im wesentlichen zurück auf Grothendieck
und Deligne, [Gro72]. Sehr nützlich waren mir die Darstellungen von Godement
[] und Kashiwara-Shapira [] und Skripten von Milicic und Hörmann zu derivierten
Kategorien.
75
Literatur
[AL]
Skriptum Algebra und Zahlentheorie; lädt man die pdf-Datei in denselben
Ordner, dann sollten auch die externen Querverweise funktionieren. Am
besten funktionieren sie aber immer noch in der Gesamtdatei Öffentliche
Werkbank.
[Bor94] Francis Borceux, Handbook of categorical algebra 1-3, Encyclopaedia
of Mathematics, Cambridge University Press, 1994.
[Gro72] Alexander Grothendieck, SGA 4, Lecture Notes in Mathematics, vol.
269, 270, 305, Springer, 1972.
[GZ67] Peter Gabriel and Michel Zisman, Calculus of fractions and homotopy
theory, Springer, 1967.
[KAG] Skriptum Kommutative Algebra und Geometrie; lädt man die pdf-Datei in
denselben Ordner, dann sollten auch die externen Querverweise funktionieren. Am besten funktionieren sie aber immer noch in der Gesamtdatei
Öffentliche Werkbank.
[Kel07] Bernhard Keller, Derived categories and tilting, Handbook of tilting
theory (L. Angeleri Hügel, D. Happel, and H. Krause, eds.), LMS, 2007,
pp. 49–104.
[KS90] Masaki Kashiwara and Pierre Schapira, Sheaves on manifolds, Grundlehren, vol. 292, Springer, 1990.
[LA2] Skriptum Lineare Algebra 2; lädt man die pdf-Datei in denselben Ordner,
dann sollten auch die externen Querverweise funktionieren. Am besten
funktionieren sie aber immer noch in der Gesamtdatei Öffentliche Werkbank.
[Spa88] N. Spaltenstein, Resolutions of unbounded complexes, Compositio Math.
65 (1988), no. 2, 121–154.
[TF]
Skriptum Fundamentalgruppe und Überlagerungstheorie; lädt man die
pdf-Datei in denselben Ordner, dann sollten auch die externen Querverweise funktionieren. Am besten funktionieren sie aber immer noch in der
Gesamtdatei Öffentliche Werkbank.
[TG]
Skriptum Garbenkohomologie; lädt man die pdf-Datei in denselben Ordner, dann sollten auch die externen Querverweise funktionieren. Am besten funktionieren sie aber immer noch in der Gesamtdatei Öffentliche
Werkbank.
76
[TS]
Skriptum Singuläre Homologie; lädt man die pdf-Datei in denselben Ordner, dann sollten auch die externen Querverweise funktionieren. Am besten funktionieren sie aber immer noch in der Gesamtdatei Öffentliche
Werkbank.
77
Index
h i = h i∆ trianguliertes Erzeugnis, 21
h i = h i∆ Verdier-Erzeugnis, 21
→
˘
Isomorphismus in Der, 28
C | S −1 i Lokalisierung einer Kategorie,
4
N ⊥ relativ Injektive, 34
K̃ Wegekategorie von K, 3
⊥
N relativ Projektive, 34
Abbildungskegel
in triangulierter Kategorie, 13
Abschneidefunktoren, 32
Anfangspunkt, 3
auf einen Hauptnenner bringen, 10
Auflösung
V-Rechtsauflösung, 56
ausgezeichnet
Dreieck, 14
azyklisch
Objekt, 59
dgPer, 23
differentiell
graduierter Modul, über Ringoid, 42
graduiertes Ringoid, 42
distingué
triangle, 14
distinguished
triangle, 14
Dreieck, 13
ausgezeichnetes, 14
Ecken, 3
endazyklisch, 38, 42
endlich
homologische Dimension
bei Ring, 67
Endpunkt, 3
entfaltbar, 45, 56
Entfaltbarkeitskategorie, 46
entfaltet
F -V-rechtsentfaltet, 56
zahm, 45
Bild
Entfaltung
wesentliches, 35
F -S-Rechtsentfaltung, 45
Brüche, 9
F -V-Rechtsentfaltung, 56
Entfaltungskategorie, 50
déployé, 47
Entfaltungspaar, 50
Der, 28
épaisse
Der] für ] ∈ {+, −, b}, 31
souscatégorie, 21
derivierbar
Ersetzung,
71
Objekt, 59
erzeugt
derivierte Kategorie, 28
Verdiersystem, 21
derivierte Kategorie der dg-Moduln, 29
derivierter Funktor Ri F , 59
freie triangulierte Kategorie, 23
derivierter Funktor RF , 59
dévissage, 21
Grothendieck
dg-Ringoid, 42
Spektralsequenz, 54
dgDer, 29
Hi Hyperkohomologie, 62
dgFrei, 23
78
hocol Homotopiekolimes, 8
Homomorphismus
von Ringoiden, 40
homotopieinjektiv, 34
Homotopiekolimes, 8
homotopieprojektiv, 34
Hot+ , 30
Hot− , 30
Hotb , 30
Hyperkohomologie, 62
iA Injektive von A, 35
Idempotente
ausgezeichnete, 41
injektiv
N -injektiv, 34
injektive Auflösung, 36
Kategorie
triangulierte, 13
Kippfamilie, 43
Kippkomplex, 39
Kippobjekt, 39
Köcher, 3
U-Köcher, 3
Kürzen, 9
Links-Ore-System, 8
Links-Oresystem, 45
Linksapproximation, 50
finale, 50
Linksderivierter
totaler, 68
Lokalisierung
einer Kategorie, 4
Lokalisierungsfunktor, 5
Modul
eines Ringoids, 41
Morphismenfunktor, 69
Morphismus von Dreiecken, 13
Multiplikation
bei Ringoiden, 41
multiplikativ
in Kategorie, 8, 45
Nullsystem, 21
objet basculant, 39
Oktaederaxiom, 14
opponiert
triangulierte Kategorie, 19
Ore-Bedingung, 8
Ore-Lokalisierung, 11
Ore-System, 11
pA Projektive von A, 35
perfekt
Komplex, 23
triangulierte Kategorie, 23
Pfeile, 3
Produktsummentotal, 64
Produkttotal, 64
projektiv
N -projektiv, 34
Quotient
von triangulierter Kategorie, 25
Quotientenfunktor
triangulierter, 25
LF = Lt F totaler Linksderivierter, 68
RF = Rt F totaler Rechtsderivierter, 68
Rechts-Ore-System, 8
Rechtsapproximation, 49
Rechtsbrüche, 9
Rechtsderivierter
totaler, 68
rechtsderivierter Funktor
triangulierter, 56
zahmer, 46
Rechtsdimension
homologische, 63
rechtsendlich
79
homologisch, 62
RF Rechtsderivierter Funktor von F , 46
Ringoid, 40
differentielles graduiertes, 42
opponiertes, 40
über Menge, 40
wesentlich
Bild, 35
Z-Funktor, 12
Z-Kategorie, 12
Z-Struktur, 12
Zylinder, 72
Spektralsequenz
ausgeartete unbeschränkte, 64
nach Grothendieck, 54
Summenprodukttotal, 64
Summentotal, 64
System
trianguliertes, 20
τ ≤n , τ <n , τ ≥n , τ >n Abschneidefunktoren,
32
tilting object, 39
Totalkomplex, 64
TransZ verträgliche Transformationen,
12
Transformation
verträgliche
von Z-Funktoren, 12
triangle
distingué, 14
distinguished, 14
trianguliert
Funktor, 20
Kategorie, 13
Kategorie, opponierte, 19
System, 20
Verdiersystem, 21
verträglich, 12
Transformation von Z-Funktoren, 12
volldicht
Funktor, 6
Weg
in Köcher, 3
Wegekategorie, 3
80

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