約数探しの旅ふたたび九九表へ

〈数学の目で見るシリーズ⑧〉
×9 を考えると，
9×9＝81 で必ず末位が 1 となる。
素朴な疑問―小・中の橋渡しの巻
約数探しの旅
ふたたび九九表へ
これしかないか ?　いや，81 に，9 の倍数
に 10 をかけた数をたしても，
90＋81＝171＝9×19，
180＋81＝261＝9×29，
…
のように多くできる。
では，2 桁の数は，81 だけか ?
そこで，9 には，約数 3 があることがわか
埼玉大学名誉教授・元文教大学教授
るので，「9 でわりきれるときは，3 でもわり
町田彰一郎
きれる。」を使い，3 の倍数で末位が 1 にな
る数を探すと，3×7＝21 にたどり着く。た
1．約数を探す旅
して 10 になる数（10 の補数）をとっても，
15
小学校で，たとえば，が約分できるか
27
10－3＝7，10－7＝3 で，7×3＝21 となる。
しかしこれが出れば，21 に，3 の倍数に 10
どうか探すときに，15 と 27 が共通にもって
をかけた数をたした，30＋21＝51＝3×17，
いる約数（公約数）を探した。
60＋21＝81＝3×27，90＋21＝111＝3×
37，…　も，3 を約数にもつ数，（3 の倍数）
15 は，必ず 5 でわりきれるから，
となる。
15＝5×3
27 は，5 ではわりきれない，3 ではどうか。
27＝3×9 となり，15 と 27 の共通の約数 3（公
さらに，70＋21＝91＝7×13，140＋21＝
161＝7×23，… は 7 の倍数となる。
それならということで，30＋81＝111＝3×
約数，最大公約数）が見つかり，
15 5
＝と約分できた。
27 9
37，60＋81＝141＝3×47，90＋81＝171＝3×
57＝9×19，… と，どんどん 3 や 7 や 9 でわ
ぐうすう
末位の数が偶数（2 の倍数）や 5 で終わる
ひかくてき
りきれる数ができてくる。
数の約数を求めるのは比較的簡単だ。しか
し，1，3，7 などで終わる数の約数を探すと
きは，すこし，工夫が必要となる。
とりあえず 2 桁の数に絞ると，上記から
21，51，81，91 が 3，7，9 などを約数としても
う
21 などは，九九を思い浮かべれば，　3×7＝21 となり，3 と 7 が約数とわかる。
つ数となって見えてくる。すると，必然的
に，素数（1 と自分自身以外に約数をもたな
では，81 はどうか ?，これも九九表を頭に
い数）も見えてくる。
浮かべて 9×9＝81 となる。しかし，もし，
11，31，41，61，71
約数がすぐには出てこなかったときは，どう
したらよいだろうか ?
今までのことを整理すると，ある数の約数
けた
＊1 という形をした 2 桁の数で考えてみよう。
を見つけるきまりには，
末位の数 1 の約数のうち，誰でも気づくの
A　末位の数に着目して，＊1 ならば 1＝1×
だれ
は，1×1＝1 だ。
1，＊3 ならば 3＝1×3，…　を考え，その補
なんだ ! と思うかも知れない。しかし，こ
ひみつ
かく
こに秘密が隠れている。
ほ
1 に対して「たして 10 になる数（10 の補
すう
数という）」9 を考えるとよい。1×1 では，9
数 10－1＝9，10－3＝7 を作ると，9×9＝81，
9×7＝63 で，1 の補数 9，3 の補数 7 もまた約
数となる。（＊：十の位の数）
B　（3 の倍数）
×10＋
（3 の倍数）を考えると，
14
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別紙
町田先生九九表
この数もまた 3 の倍数になる。もちろん，3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
2
3
4
5
6
7
8
9
2
4
6
8
10
12
14
16
18
3
6
9
12
15
18
21
24
27
16
20
24
28
32
36
25
30
35
40
45
36
42
48
54
49
56
63
56
64
72
以外の数でも成り立つ。
＊3 は読者のために残しておいて，＊7 の
ような 2 桁の数はどんな約数をもつだろうか。
まず，7＝1×7 だから，約数は 1 と 7。
きまり A を適用して，1 と 7 の補数をとる
と，10－1＝9，10－7＝3 だから，9×3＝27
と，末位の数 7 の約数が見つかり 3 と 9。
他にないだろうか。
1
4
5
きまり B を適用してみる。7＝1×7 では，
6
6
7
十の位の数が 7 のとき，
7×10＋7＝77＝7×11 で，約数 7
27＝3×9 のときは，約数が 3 と 9
8
16
9
だから，30＋27＝57＝3×19，
36
81
60＋27＝87＝3×29 となり，57，87 はいず
れも 3 でわりきれることがわかる。
② 4×4＝16 なら，4×
（4＋5）
＝4×9＝36
③ 6×1＝6 なら，6×
（1＋5）
＝6×6＝36
もちろん，約数 9 を使い
90＋27＝117＝9×13 とできるが，3 桁の数に
④ 8×2＝16 なら，8×
（2＋5）
＝8×7＝56
なるので，ここではやめておこう。
⑤ 9×4＝36 なら，
（9－5）
×4＝4×4＝16
これで，27，57，77，87 などの末位の数が 7
の 2 桁の数は，1 と自分以外の約数をもつこ
縦に見ても同じことがいえる。
次に A のきまりを適用すると，
⑥ 1×6＝6 なら，
（10－1）×（10－6）＝36
とがわかる。
さらに，末位の数が 7 の 2 桁の数の素数
は，17，37，47，67，97 となることもわかる。
⑦ 2×8＝16 なら，
（10－2）×（10－8）＝16
⑧ 4×9＝36 なら，
（10－4）×（10－9）＝6
さらに，九九表にない数もあるので，きま
2．九九表から約数を探す
ルールを開拓
り B を適用すると，
今まで考えてきたことを，九九表の上で見
6，20＋6＝26＝2×13，40＋6＝46＝2×23，
直してみよう。
6＝2×3 から，
60＋6＝66＝2×33，80＋6＝86＝2×43，
右上の九九表で見てみよう。実は，九九表
とは人間の数の文化を支えるもっとも重要な
ひそ
表の一つなのだ。そこで，九九表に潜む秘密
の一つを見つけ出してみよう。
30＋6＝36＝3×12，60＋6＝66＝3×22，90＋
6＝96＝3×32，…とまだまだ見つかる。
こうして，16，26，36，46，56，66，86，96　最後に，76 は，
末位が 6 の数＊6 で考えてみよう。
60＋16＝76＝2×38＝4×19 となり，末位
この九九表から，末位の数が 6 の数に印を
が 6 の 2 桁の数は，2 以外にも，いろいろな
つけてみる。すると一方が偶数のとき，次の
きまり C が見つかる。
約数をもっていることがわかる。
最後に，読者の課題のヒント ; 末位が 3 の
C　まず，横に見ると，
2 桁の数の素数は，3，13，23，43，53，73，83
① 2×3＝6 なら，2×
（3＋5）
＝2×8＝16
だけある。
教科研究数学　No.203
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