〈数学の目で見るシリーズ⑧〉 ×9 を考えると, 9×9=81 で必ず末位が 1 となる。 素朴な疑問―小・中の橋渡しの巻 約数探しの旅 ふたたび九九表へ これしかないか ? いや,81 に,9 の倍数 に 10 をかけた数をたしても, 90+81=171=9×19, 180+81=261=9×29, … のように多くできる。 では,2 桁の数は,81 だけか ? そこで,9 には,約数 3 があることがわか 埼玉大学名誉教授・元文教大学教授 るので,「9 でわりきれるときは,3 でもわり 町田彰一郎 きれる。」を使い,3 の倍数で末位が 1 にな る数を探すと,3×7=21 にたどり着く。た 1.約数を探す旅 して 10 になる数(10 の補数)をとっても, 15 小学校で,たとえば, が約分できるか 27 10-3=7,10-7=3 で,7×3=21 となる。 しかしこれが出れば,21 に,3 の倍数に 10 どうか探すときに,15 と 27 が共通にもって をかけた数をたした,30+21=51=3×17, いる約数(公約数)を探した。 60+21=81=3×27,90+21=111=3× 37,… も,3 を約数にもつ数,(3 の倍数) 15 は,必ず 5 でわりきれるから, となる。 15=5×3 27 は,5 ではわりきれない,3 ではどうか。 27=3×9 となり,15 と 27 の共通の約数 3(公 さらに,70+21=91=7×13,140+21= 161=7×23,… は 7 の倍数となる。 それならということで,30+81=111=3× 約数,最大公約数)が見つかり, 15 5 = と約分できた。 27 9 37,60+81=141=3×47,90+81=171=3× 57=9×19,… と,どんどん 3 や 7 や 9 でわ ぐう すう 末位の数が偶数(2 の倍数)や 5 で終わる ひ かく てき りきれる数ができてくる。 数の約数を求めるのは比 較 的 簡単だ。しか し,1,3,7 などで終わる数の約数を探すと きは,すこし,工夫が必要となる。 とりあえず 2 桁の数に絞ると,上記から 21,51,81,91 が 3,7,9 などを約数としても う 21 などは,九九を思い浮かべれば, 3×7=21 となり,3 と 7 が約数とわかる。 つ数となって見えてくる。すると,必然的 に,素数(1 と自分自身以外に約数をもたな では,81 はどうか ?,これも九九表を頭に い数)も見えてくる。 浮かべて 9×9=81 となる。しかし, もし, 11,31,41,61,71 約数がすぐには出てこなかったときは,どう したらよいだろうか ? 今までのことを整理すると,ある数の約数 けた *1 という形をした 2 桁の数で考えてみよう。 を見つけるきまりには, 末位の数 1 の約数のうち,誰でも気づくの A 末位の数に着目して,*1 ならば 1=1× だれ は,1×1=1 だ。 1,*3 ならば 3=1×3,… を考え,その補 なんだ ! と思うかも知れない。しかし,こ ひ みつ かく こに秘密が隠れている。 ほ 1 に対して「たして 10 になる数(10 の補 すう 数という)」9 を考えるとよい。1×1 では,9 数 10-1=9,10-3=7 を 作 る と,9×9=81, 9×7=63 で,1 の補数 9,3 の補数 7 もまた約 数となる。(*:十の位の数) B (3 の倍数) ×10+ (3 の倍数)を考えると, 14 数学203号.indd 14 2016/10/18 10:34 別紙 町田先生 九九表 この数もまた 3 の倍数になる。もちろん,3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 4 6 8 10 12 14 16 18 3 6 9 12 15 18 21 24 27 16 20 24 28 32 36 25 30 35 40 45 36 42 48 54 49 56 63 56 64 72 以外の数でも成り立つ。 *3 は読者のために残しておいて,*7 の ような 2 桁の数はどんな約数をもつだろうか。 まず,7=1×7 だから,約数は 1 と 7。 きまり A を適用して,1 と 7 の補数をとる と,10-1=9,10-7=3 だから,9×3=27 と,末位の数 7 の約数が見つかり 3 と 9。 他にないだろうか。 1 4 5 きまり B を適用してみる。7=1×7 では, 6 6 7 十の位の数が 7 のとき, 7×10+7=77=7×11 で,約数 7 27=3×9 のときは,約数が 3 と 9 8 16 9 だから,30+27=57=3×19, 36 81 60+27=87=3×29 となり,57,87 はいず れも 3 でわりきれることがわかる。 ② 4×4=16 なら,4× (4+5) =4×9=36 ③ 6×1=6 なら,6× (1+5) =6×6=36 もちろん,約数 9 を使い 90+27=117=9×13 とできるが,3 桁の数に ④ 8×2=16 なら,8× (2+5) =8×7=56 なるので,ここではやめておこう。 ⑤ 9×4=36 なら, (9-5) ×4=4×4=16 これで,27,57,77,87 などの末位の数が 7 の 2 桁の数は,1 と自分以外の約数をもつこ 縦に見ても同じことがいえる。 次に A のきまりを適用すると, ⑥ 1×6=6 なら, (10-1)×(10-6)=36 とがわかる。 さらに,末位の数が 7 の 2 桁の数の素数 は,17,37,47,67,97 となることもわかる。 ⑦ 2×8=16 なら, (10-2)×(10-8)=16 ⑧ 4×9=36 なら, (10-4)×(10-9)=6 さらに,九九表にない数もあるので,きま 2.九九表から約数を探す ルールを開拓 り B を適用すると, 今まで考えてきたことを,九九表の上で見 6,20+6=26=2×13,40+6=46=2×23, 直してみよう。 6=2×3 から, 60+6=66=2×33,80+6=86=2×43, 右上の九九表で見てみよう。実は,九九表 とは人間の数の文化を支えるもっとも重要な ひそ 表の一つなのだ。そこで,九九表に潜む秘密 の一つを見つけ出してみよう。 30+6=36=3×12,60+6=66=3×22,90+ 6=96=3×32,…とまだまだ見つかる。 こうして,16,26,36,46,56,66,86,96 最後に,76 は, 末位が 6 の数*6 で考えてみよう。 60+16=76=2×38=4×19 と な り, 末 位 この九九表から,末位の数が 6 の数に印を が 6 の 2 桁の数は,2 以外にも,いろいろな つけてみる。すると一方が偶数のとき,次の きまり C が見つかる。 約数をもっていることがわかる。 最後に,読者の課題のヒント ; 末位が 3 の C まず,横に見ると, 2 桁の数の素数は,3,13,23,43,53,73,83 ① 2×3=6 なら,2× (3+5) =2×8=16 だけある。 教科研究数学 No.203 数学203号.indd 15 15 2016/10/18 10:34
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