微分方程式Ⅰ 参考資料 5

微分方程式Ⅰ
参考資料 5
2015 年度前期
工学部・未来科学部 2 年
担当: 原隆 (未来科学部数学系列・助教)
■ ヘヴィサイド*1 の演算子法について
d
D=
を微分演算子 diﬀerential operator と呼ぶ。
dx
babababababababababababababababababab
(定数係数) 非斉次 2 階線形微分方程式
y ′′ + ay ′ + by = (D2 + aD + b)y = q(x)
の特殊解 y0 は y0 =
D2
1
q(x) として計算出来る。
+ aD + b
1
⇝ 逆演算子 2
q(x) の計算が出来れば良いはず
D + aD + b
ヘヴィサイドの主張: (逆) 演算子は単なる文字式のように扱って良い (!)
つまり、部分分数分解
1
1
1
1
1
=
−
(D − α)(D − β)
α−β D−α α−β D−β
やマクローリン展開
1
1
=
D+α
α
(α ̸= β)
(
)−1
(
)
1
D D2
D3
D
1+
=
1−
+ 2 − 3 + ...
α
α
α
α
α
などは自由におこなっても構わない (?!)
【コラム】
1
はもともと微分演算子の逆演算を形式的に書き直しただけのもの
2
D + aD + b
なので、それを「部分分数分解」したり「マクローリン展開」したりするのはいかにもナンセン
スで「気持ち悪い」。そう感じた人は極めて真っ当な感性の持ち主と言えるでしょう。
一方で、こんな「無茶苦茶な」計算をしてみると、ちゃんと特殊解が得られてしまうのも確か
なようです。元々電気技師であるヘヴィサイドは「正しい結果が出るんだから別にこれでいい
じゃん?!」的な立場でこの手法を編み出したみたいですが*2 、当然「こんなの全然説明になって
いないじゃないか!」との猛反発も出てきて当時はかなりの荒れ模様になっていたようです。
ヘヴィサイドのこの (一見適当極まりない?) 演算子法に理論的な説明を付けたのがラプラス
変換 Laplace transform の理論であり、本学では後期の自由科目『微分方程式Ⅱ』(土曜 5 限, 網
谷泰治さん担当) で扱われます*3 。
*1
*2
Oliver Heaviside (1850–1925)
彼のスタンスを表す「私は消化のプロセスを知らないからといって食事をしないわけではない」“I do not refuse my
dinner simply because I do not understand the process of digestion.” という言葉はあまりにも有名です。
*3 他にもミクシンスキーによる代数的構成などがありますが、あまり深入りするのは止めておきましょう。
■ 必ず覚えるべき逆演算子の公式
babababababababababababababababababab
(1)
(2)
【説明】
1
f (x) =
D
∫
f (x) dx
1
f (x) = e−αx
D+α
m回
∫
eαx f (x) dx,
1
(D + α)
z }|∫ {
∫
−αx
f (x) = e
· · · eαx f (x) dx
m
(逆演算子の意味を理解していれば当たり前 !!)
(1) 逆演算子の定義より、F (x) =
1
d
f (x) は DF (x)(=
F (x)) = f (x) を満たす関数。つまり
D
dx
F (x) は f (x) の原始関数に他ならない。
1
(2) 逆演算子の定義より、F (x) =
f (x) は (D + α)F (x)(= F ′ (x) + αF (x)) = f (x) を満た
D+α
す関数。つまり F (x) は 1 階線形微分方程式 y ′ + αy = f (x) の解に他ならない。ゆえに、
∫
−αx
1 階線形微分方程式の解の公式より F (x) = e
eαx f (x) dx となる。
□
■ 覚えておくと便利な頻出公式
指数関数にまつわる以下の公式は、覚えておくと非常に便利。
babababababababababababababababababab
多項式 P (x) に対して
1 αx
1
eαx =
e
(但し P (α) ̸= 0 のとき)
P (D)
P (α)
1
1
eαx f (x) = eαx
f (x)
[指数関数と逆演算子の交換関係]
(4)
P (D)
P (D + α)
(3)
【説明】
(3) P (D)F (x) = eαx となる F (x) をみつければ良い。ところで Dk eαx = αk eαx であるから、
P (x) = am xm + am−1 xm−1 + . . . + a1 x + a0 とすると
P (D)eαx = (am Dm + am−1 Dm−1 + . . . + a1 D + a0 )eαx
= (am αm + am−1 αm−1 + . . . + a1 α + a0 )eαx = P (α)eαx
(
となるので P (α) ̸= 0 なら P (D)
1 αx
e
P (α)
)
= eαx である。ゆえに F (x) =
1 αx
e
P (α)
(4) 先ずは Dk (eαx f (x)) を計算してみると
D(eαx f (x))
積の微分法
=
αeαx f (x) + eαx f ′ (x) = eαx (D + α)f (x),
D2 (eαx f (x)) = D{eαx (D + α)f (x)}
積の微分法
=
D(eαx )(D + α)f (x) + eαx D(D + α)f (x)
= eαx α(D + α)f (x) + eαx D(D + α)f (x) = eαx (D + α)2 f (x), . . .
となり、帰納的に D k (eαx f (x)) = eαx (D + α)k f (x) となることが証明出来る (各自確認し
てみよう)。したがって P (x) = am xm + am−1 xm−1 + . . . + a1 x + a0 とすると
P (D)(eαx f (x)) = (am Dm + am−1 Dm−1 + . . . + a1 D + a0 )eαx f (x)
= (am eαx (D + α)m + am−1 eαx (D + α)m−1 + . . . + a1 eαx (D + α) + a0 )f (x)
= eαx P (D + α)f (x)
· · · · · · (∗)
が成り立つので、
(
P (D) eαx
1
f (x)
P (D + α)
)
1
XX
XX XX
f (x) = eαx f (x)
= eαx P (D+α)
P (DX
+X
α)
X
(∗)
となる。したがって逆演算子の定義より
注意
1
1
eαx f (x) = eαx
f (x)
P (D)
P (D+α)
□
(3) で P (α) = 0 となる場合も、(2) を使えば簡単。例えば P (D) = (D − α)m なら
m回
1
eαx
(D − α)m
m回
z∫ }|∫ {
z∫ }|∫ {
dx = eαx · · · 1 dx = 1 xm eαx
eαx
e−αx
= eαx · · · m!
である (符号に注意!!)。このように臨機応変に公式を使い分けられるようにしておくのが大切です。
【計算例】
)
(
1
1
1
1
2x
(i) e2x
e =
−
D2 − D − 2
3 D−2 D+1
1 1
1 1
e2x
=
e2x −
3D−2
3D+1
(部分分数分解)
∫
(2),(3) 1 2x
1
1 2x
· e2x
=
e
e
e−2x
dx − ·
3
3 2+1
1 2x 1 2x
xe − e
3
9
)
(
1
1
1
1
2 x
(ii) x
e
=
−
ex x 2
(部分分数分解)
D2 − 2D − 3
4 D−3 D+1
(
)
(4) 1 x
1
1
2
2
= e
x −
x
4
(D + 1) − 3
(D + 1) + 1
{
(
)−1
(
)−1 }
1 x
1
D
1
D
2
= e −
1−
x −
1+
x2
4
2
2
2
2
{(
)
(
) }
1 x
D D2
D D2
2
1+
+
+ ... x + 1 −
+
− . . . x2
=− e
8
2
4
2
4
{(
) (
)}
(
)
1 x
1
1
1 2 1 x
2
2
=− e
x +x+
+ x −x+
= − x −
e
8
2
2
4
8
=
■ 三角関数についての逆演算子公式について
三角関数に対する逆演算子の式
P (−ω 2 ) ̸= 0 となる多項式 P (x) に対して
1
1
1
1
cos(ωx) =
cos(ωx),
sin(ωx) =
sin(ωx)
2
P (D)
P (−ω )
P (D)
P (−ω 2 )
D2
1
1
1
1
cos(ωx) =
x sin(ωx), 2
sin(ωx) =
x cos(ωx)
2
2
+ω
2ω
D +ω
2ω
iθ
などもしばしば「公式」として参考書に載っているが、オイラーの公式 e
= cos θ + i sin θ さえき
ちんと覚えていれば
cos(ωx) = Re(eiωx )
(eiωx の実部),
sin(ωx) = Im(eiωx )
(eiωx の虚部)
として指数関数の場合に帰着出来てしまうので、無理して覚えるメリットはあまりない*4 (!!)
【計算例】
(これを機に複素数の計算にも慣れてしまおう!)
(
)
1
1
1
2ix
2ix
cos(2x) = 2
Re(e ) = Re
e
だから、
(iii) 2
D +4
D +4
D2 + 4
1
1
e2ix =
D2 + 4
4i
(
1
1
−
D − 2i
D + 2i
)
e2ix
(部分分数分解)
∫
(2),(3) i
1
i
1
i
·
dx + i · 1 e2ix
e2ix +
e2ix = − e2ix e−2ix
e2ix
=−
4 D − 2i
4 D + 2i
4
4 2i + 2i
(
)
(
)
1
1
1
1
2ix
=
− xi e
=
− xi (cos(2x) + i sin(2x))
16
4
16
4
(
) (
)
1
1
1
1
=
x sin(2x) +
cos(2x) + − x cos(2x) +
sin(2x) i
4
16
4
16
1
1
1
sin(2x) +
cos(2x) となる*5 。
cos(2x) =
D2 + 4
4x
16
(
)
1
1
1
ix
ix
x sin(x) = 2
Im(xe ) = Im
xe
であるから、
(iv) 2
D − 2D + 1
D − 2D + 1
D2 − 2D + 1
の実部をとって
(
)2
1
x
(D + i) − 1
)2 (
)−2
(
)−2
D
1
1+i
1
ix
ix
1+
x=e ·
· 1−
D
x
=e
−1 + i
−1 + i
−2i
2
(
)−1 (
)
1+i
i
1+i
1−
D
1+
D + ... x
= eix ·
2
2
2
(
)(
)
ieix
ieix
1+i
1+i
=
1+
D + ...
x+
=
(x + 1 + i)
2
2
2
2
1
1
= − {(x + 1) sin x + cos x} + {(x + 1) cos x − sin x}i
2
2
1
xeix =
D2 − 2D + 1
の虚部をとって
*4
*5
D2
1
D−1
(
)2
(4)
(
eix x = eix
1
1
x sin(x) = {(x + 1) cos(x) − sin(x)} となる。
− 2D + 1
2
もちろん正しく覚えられれば、その分計算の手間は節約出来ますが……。
(i) と殆ど同じ計算になっていることに注意。

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