5 数列の収束（1）数列の収束の定義

数列の収束（１）数列の収束の定義
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基本事項 1 数列の極限
∞
実数列 {an }∞
n=1 と α ∈ R に対し，数列 {an }n=1 の収束は ε-n0 論法を用いて，次のように定義する。(以下の定義
は全て同じことだが，文献によって色々な表現で書かれているので，数パターン載せておくことにする。)
定義 A どのような正の数 ε が指定されたとしても，うまく番号 n0 を探してくると，n >
= n0 であるすべての
∞
n に対して，|an − α| < ε が成り立つとき，数列 {an }n=1 は α に収束するという。
定義 B 任意の正の数 ε に対して，適当な番号 n0 を決めると，n >
= n0 を満たす全ての n について |an − α| < ε
∞
が成り立つとき，数列 {an }n=1 は α に収束するという。
定義 C 任意の正の数 ε に対して，ある自然数 n0 が存在して，任意の自然数 n に対して，n >
= n0 ならば，|an − α| < ε
∞
が成り立つとき，数列 {an }n=1 は α に収束するという。
論理記号を用いれば次のようになる。
定義
def
>
{an }∞
n=1 が α に収束する ⇐⇒ ∀ε > 0，∃n0 ∈ N，∀n ∈ N [n = n0 ⇒ |an − α| < ε]
このとき， lim an = α と書き，α を {an }∞
n=1 の極限値とよぶ。
n→∞
1
で与えられる数列 {xn }∞
n=1 について，次の問いに答えよ．
n
「|xn − 0| < 0.1 (n >
= n0 )」とするには，n0 をどうとればよいか．
【5−1】第 n 項が
(1)
(2)
(3)
(4)
「|xn − 0| < 0.001 (n >
= n0 )」とするには，n0 をどうとればよいか．
1
「|xn − 0| < 100 (n >
= n0 )」とするには，n0 をどうとればよいか．
2
ε > 0 があるとき，|xn − 0| < ε (n >
= n0 ) とするには，n0 をどうとればよいか．そのような
n0 を ε を用いて表せ．
【5−2】次のことを ε-n0 式で示せ．
2
(1) lim n 2 + n = 1
n→∞ n + 1
1
(3) lim √
=1
2
n→∞
n + 2n − n
√
√
(2) lim ( n + 1 − n − 1 ) = 0
n→∞
√
sin( nπ)
(4) lim
=0
n→∞
n
【5−3】次のことを示せ．
(1) xn → a, xn → b (n → ∞) ならば a = b．
(2) lim xn = a のとき， lim |xn | = |a|．
n→∞
n→∞
【5−4】収束する実数列は有界であることを示せ。
）
（実数列 {an }∞
n=1 が有界であるとは，集合 {an | n ∈ N} が有界であることである。
【5−5】次のことを示せ。
(1)
(2)
x1 + x2 + · · · + xn
= 0.
n
x + x2 + · · · + xn
= a.
lim xn = a のとき， lim 1
n→∞
n→∞
n
lim xn = 0 のとき， lim
n→∞
n→∞
補充問題
【5−6】 lim xn = a, lim yn = b とする．任意の n ∈ N に対して xn < yn ならば a <
= b であることを示せ。
n→∞
n→∞
【5−7】次のことを示せ。
(
)
1
1
1
(1)
1 + + ··· +
→ 0 (n → ∞)
n
2
n
a1 + 2a2 + · · · nan
→ a (n → ∞)
(2) an → a (n → ∞) ならば，
1 + 2 + ··· + n
na1 + (n − 1)a2 + · · · + an
a
→
(n → ∞)
2
n
2
an
(4) lim (an − an−1 ) = 0 ならば， lim
=0
n→∞
n→∞ n
(3) an → a (n → ∞) ならば，

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