前回の講義ファイル

物理学AI　第５講
前回の講義ファイル
http://www.ms.osakafu-u.ac.jp/
spweb/PhysicsAI04.pdf
自習用テキスト
http://www.ms.osakafu-u.ac.jp/
spweb/physmath*.pdf
*:4 5
物理学AI　第５講
レポート解説
レポート提出者：８０名
ホッチキス不使用：１名
レポート１不正解者：１４名
桁間違い：５名
DegとRadの間違い：７名
物理学AI　第５講
レポート1解説
月の視直径は約10mrad。
月までの距離は何スタディオンか?
10mrad
月の直径は
約20,000std.
月までの距離は
約2,000,000std.
物理学AI　第５講
レポート2解説
マクローリン展開
両辺の差・比の極限
(1)等比級数の和
ロピタルの定理
物理学AI　第５講
レポート2解説
以下の近似式を導け。
1
x
≃ 1 - x, e ≃ 1 + x, sin x ≃ x
1+x
マクローリン展開
(2)(0)
∞ f (n)(0)
f
n
(1)
2
x = f(0) + f (0)x +
∑
x +…
2!
n =0 n!
物理学AI　第５講
第４講
運動の記述 ∼微分方程式∼
物理学AI　第５講
微分方程式
微分方程式：
未知関数の微分を含む方程式
常微分／偏微分
n階微分方程式
線形／非線形
定数係数
同次（斉次）／非同次（非斉次）
物理学AI　第５講
微分方程式
常微分方程式とは
df(x)
f(x+h) - f(x)
常微分 dx = hlim
→0
h
を含んで例えば以下のような式
d2f(x) df(x)
+b
+ cf(x) = g(x)
2
dx
dx
物理学AI　第５講
微分方程式
偏微分方程式とは
∂U(x,t)
U(x+h,t) - U(x,t)
偏微分 ∂x = hlim
→0
h
を含んで例えば以下のような式
2
∂ U(x,t)
2
∂x
1
= 2
v
2
∂ U(x,t)
2
∂t
物理学AI　第５講
微分方程式
１階微分方程式
dx
+ cx = f(t)
dt
2階微分方程式
2
dx
dx
+b
+ cx = f(t)
2
dt
dt
物理学AI　第５講
微分方程式
線形微分方程式
dx
+ g(t)
+ h(t)x = f(t)
2
dt
dt
2
dx
非線形微分方程式
dx
d2x
+ g( ,t) + h(x,t) = f(t)
2
dt
dt
物理学AI　第５講
微分方程式
定数係数微分方程式
dx
+b
+ cx = f(t)
2
dt
dt
2
dx
（一般の）微分方程式
dx
d2x
+ g(t)
+ h(t)x = f(t)
2
dt
dt
物理学AI　第５講
微分方程式
同次（斉次）微分方程式
2
dx
dx
+ g(t)
+ h(t)x = 0
2
dt
dt
非同次（非斉次）微分方程式
2
dx
dx
+ g(t)
+ h(t)x = f(t)
2
dt
dt
物理学AI　第５講
微分方程式
物理・工学で頻繁に現れるのは
定数係数線形常微分方程式
dx
+b
+ cx = f(t)
2
dt
dt
2
dx
物理学AI　第５講
運動の記述 ∼微分方程式∼
解法
物理学AI　第５講
解の性質
・微分方程式の解は元の微分
方程式を満たす
・微分方程式の階数だけ任意定数を含む
一般解（初期条件無し）
初期条件を満たす解
物理学AI　第５講
解の性質：具体例
右式は左の微分方程式を満たす
dx
=0
x(t) = C
dt
2
dx
=0
x(t) = C1t + C2
2
dt
dx
=x
x(t) = C exp(t)
dt
物理学AI　第５講
解の性質
・微分方程式の解は元の微分
方程式を満たす
・微分方程式の階数だけ任意定数を含む
一般解（初期条件無し）
初期条件を満たす解
物理学AI　第５講
解の性質：具体例
力が働かない物体の運動：
ma = 0
初期条件: x(0) = x0, v(0) = v0
v(t) = v0
x(t) = v0 t + x0
物理学AI　第５講
解の性質：具体例
力が働かない物体の運動：
2
d
x
m 2 =0
dt
dx(0)
初期条件: x(0) = x0,
= v0
dt
dx(t)
= v0
初期条件を
dt
満たす解
x(t) = v0 t + x0
物理学AI　第５講
解の性質：具体例
力が働かない物体の運動：
2
d
x
m 2 =0
dt
上式の解はたくさんある
dx(t)
= C1
dt
一般解
x(t) = C1t + C2
物理学AI　第５講
解法（直接積分法）
１階微分方程式
dx
= f(t)
dt
直接積分法
一般解
∫
x = f(t)dt
物理学AI　第５講
解法例（直接積分法）
速度一定v0の場合
dx
=v0
dt
位置 x(t) は
∫
x(t) = v0 dt = v0t + C
物理学AI　第５講
解法例（直接積分法）
dx
= 2t
dt
dx
= ae at
dt
dx
=cos t
dt
∫
x(t) =∫ ae
x(t) = 2t dt = t2 + C
∫
at dt = e at + C
x(t) = cos t dt = sin t + C
物理学AI　第５講
解法（変数分離法）
１階微分方程式
dx
= f(t)g(x)
dt
左辺と右辺に変数を分離
1 dx
= f(t)
g(x) dt
物理学AI　第５講
解法（変数分離法）
両辺を積分
∫
1 dx
dt = f(t)dt
g(x) dt
∫
左辺を置換積分
変数分離法
1
dx = f(t)dt
g(x)
∫
∫
物理学AI　第５講
解法例（変数分離法）
速度vに比例する抵抗がある場合
dv
= - cv
dt
速度を左辺に移項
1 dv
=-c
v dt
物理学AI　第５講
解法例（変数分離法）
両辺を積分
∫
1 dv
dt = - c dt
v dt
∫
左辺を置換積分すると速度 v(t) は
log v(t) = - ct + C1
v(t) = C2
ct
e
物理学AI　第５講
解法例（変数分離法）
dx
x
=c
t
dt
∫
1 dx
dt =
x dt
∫
c
dt
t
log x = c log t + C1
x
= exp(C1 ) = C2
c
t
c
x = C2 t
物理学AI　第５講
解法（直接積分法）
２階微分方程式
2
dx
= f(t)
2
dt
直接積分法
一般解
∫∫
x=
f(t)dt2
物理学AI　第５講
解法例（直接積分法）
慣性の法則
2
dx
=0
2
dt
位置 x(t) は
∫∫
∫
x(t) = ( 0 dt) dt = C1 dt = C1t + C2
物理学AI　第５講
解法例（直接積分法）
2
dx
dt2
= sin t
dx
= sin t dt = - cos t + C1
dt
∫
∫
x(t) = (- cos t + C1)dt = -sin t + C1 t +C2
特解 x(t) = - sin t
2
dx
2
dt
=-x
物理学AI　第５講
物理で頻出
2
dx
2
dt
d2x
= sin t
2
dt
d2x
= cos t
2
dt
d2x
it
=e
2
dt
=-x
x(t) = - sin t
x(t) = - cos t
it
x(t) = - e
物理学AI　第５講
解の性質
微分方程式の階数だけ任意定
数を含む解：一般解
微分方程式を満たし任意定数
を含まない解：特解
物理学AI　第５講
解の性質
線形同次微分方程式
n
i
d
x
∑ ai i = 0
i =0 dt
x1(t)…xm(t) (m ≤ n)を特解とすると
m
∑ Aj xj
j =1
も解。特に m=n の場合は一般解。
重ね合わせの法則
物理学AI　第５講
解の性質
線形非同次微分方程式
n
i
d
x
∑ ai i = F
i =0 dt
x1(t)… xn(t) を同次式の解、 x0(t) を
非同次式のある一つの特解とする
と、非同次式の一般解は
n
x0 + ∑ Aj xj
j =1
物理学AI　第５講
解法（変数分離法）
２階微分方程式
2
dx
= f(x)
2
dt
dx
両辺に 2 をかけると
dt
dx d2x
dx
2
= 2 f(x)
2
dt dt
dt
物理学AI　第５講
解法（変数分離法）
d dx 2
左辺を [( ) ] と書き直すと
dt dt
d dx 2
dx
[( ) ] = 2 f(x)
dt dt
dt
両辺をtで積分すると
dx 2
( ) = 2 f(x)dx + C
dt
１階微分方程式変数分離法
∫
物理学AI　第５講
解法例（変数分離法）
バネの力を受ける運動
2
dx
2x
=
-ω
2
dt
dx
両辺に 2 をかけて積分すると
dt
dx 2
( ) = 2 (-ω2x) dx + C1 = -ω2x2 + C1
dt
∫
物理学AI　第５講
解法例（変数分離法）
2
C1/ω
2
= C2 とすると
dx
= ω(C22 - x2)1/2
dt
x(t) = C2 cosθ とおいて積分すると
- θ = ωt + C3
x(t) = C2 cos(ωt + C3)
物理学AI　第５講
解法（特性方程式）
２階定数係数同次線形微分方程式
2
dx
dx
+b
+ cx = 0
2
dt
dt
x(t) =
λt
e
2
λ
と仮定して代入
+ bλ + c = 0
特性方程式
物理学AI　第５講
解法（特性方程式）
特性方程式の解をλ1、λ2とすると
x(t) =
λ
t
λ
t
1
2
C1 e + C2 e
が一般解。λ1 = λ2 = λ（重解）の
場合は後述。
物理学AI　第５講
解法例（特性方程式）
速度vに比例する抵抗がある場合
dv
= - cv
dt
λt
v(t) = e と仮定して代入
λt
λt
λe + c e = 0 ➡ λ= - c
一般解は
v(t) = C1 e - ct
物理学AI　第５講
解法例（変数分離法）
速度vに比例する抵抗がある場合
dv
= - cv
dt
速度を左辺に移項
1 dv
=-c
v dt
物理学AI　第５講
解法例（変数分離法）
両辺を積分
∫
1 dv
dt = - c dt
v dt
∫
左辺を置換積分すると速度 v(t) は
log v(t) = - ct + C1
v(t) = C2
ct
e
物理学AI　第５講
解法例（特性方程式）
バネの力を受ける運動
2
dx
2x
=
-ω
2
dt
特性方程式は
λ2 +ω2 = 0 ➡ λ = ± iω
物理学AI　第５講
解法例（特性方程式）
一般解は
x(t) =
iωt
-iωt
C1e + C2e
変形すると
x(t) = C3 cos(ωt + C4)
物理学AI　第５講
解法例（変数分離法）
バネの力を受ける運動
2
dx
2x
=
-ω
2
dt
dx
両辺に 2 をかけて積分すると
dt
dx 2
( ) = 2 (-ω2x) dx + C1 = -ω2x2 + C1
dt
∫
物理学AI　第５講
解法例（変数分離法）
2
C1/ω
2
= C2 とすると
dx
= ω(C22 - x2)1/2
dt
x(t) = C2 cosθ とおいて積分すると
- θ = ωt + C3
x(t) = C2 cos(ωt + C3)
物理学AI　第５講
解法（特性方程式）
２階定数係数同次線形微分方程式
の特性方程式が重解を持つ場合、
λt
x(t) = C e
は解ではあるが一般解ではない。
（任意定数が一つしか無い）
物理学AI　第５講
解法（特性方程式）
定数 C を関数 x(t) = C(t) e λt として、
元の微分方程式に代入すると
d2 C(t) = 0 ➡ C(t) = C + C t
1
2
2
dt
一般解は
x(t) = (C1+ C2t) e λt
物理学AI　第５講
レポート1
月の見かけの姿は、
なぜ光を当てた球とは違うのか？
出た出た月が
まるいまるい
まん丸い
盆のような月が
物理学AI　第５講
レポート2
次の微分方程式の一般解を求めなさい。
dx
= -x,
= -x, 4 = x
2
dt
dt
dt
2
dx
4
dx
締切：5月 29日 13:00
提出先：B8-205
（数理工学事務）

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