-1- 正弦波演習問題 (Ⅰ) 図のように波源の振動が与えられ、波は正の

正弦波演習問題
(Ⅰ)
図のように波源の振動が与えられ、波は正の向きに速さ 20m/s のとき、①振幅、
②周期、③波長、④振動数、⑤波源の振動の式 yx=0(t)、⑥波の式 y(t,x)、⑦波が負の向き
に進んでいるとき波の式
(1)
を求める。
①
A=2(m)
②
③
ｃ＝λ/T より
λ＝ｃＴ
∴
T ＝ 0.2(s)
λ=20 × 0.2 ＝４(m)
④
ｆ＝ 1/T ＝ 1/0.2 ＝５（Hz)
⑤
yx=0(t)＝ Asin2 π t/T
＝ 2sin2 π t/0.2 ＝ 2sin10 π t
⑥
ｙ（ｔ、ｘ）＝ yx=0(t － x/c)＝ 2sin2 π(t － x/20)／ 0.2
＝ 2sin2 π(t/0.2 － x/4)
⑦
波の向きが左向き（負の向き）のとき、速度を－にして、
ｙ（ｔ、ｘ）＝ yx=0(t ＋ x/c) ＝ 2sin2 π(t/0.2 ＋ x/4)
(２)
(３)
A,
T は(1)と同様にして図から読んで、
①
A=３(m)、
③
λ＝ｃＴ＝ 20 × 0.5 ＝ 10(m)
④
ｆ＝１／Ｔ＝２(Hz)
②
Ｔ＝ 0.5(s)
⑤
yx=0(t)＝ 3cos2 π t/0.5 ＝ 3cos4 π t
⑥
y(t ､ x)＝ yx=0(t － x/c)＝ 3cos2 π(t － x/20)／ 0.5 ＝ 3cos2 π(t/0.5 － x/10)
⑦
3cos2 π(t/0.5 ＋ x/10)
①
A ＝ 4(m)
②
Ｔ＝ 0.4(s)
③
λ＝ｃ T ＝ 20 × 0.4 ＝８(m)
④
ｆ＝１／ T ＝ 2.5(Hz)
⑤
yx=0(t)＝－ 3cos2 π t/0.4 ＝－ 4cos5 π t
⑥
y(t ､ x)＝ yx=0(t － x/c)＝－ 4cos2 π(t － x/20)/0.4 ＝－ 4cos2 π(t/0.4 － x/8)
⑦
－ 4cos2 π(t/0.4 ＋ x/8)
-1-
(４)
①
A ＝ 0.2(m)
②
T ＝４(s)
③
λ＝ｃ T ＝ 20 × 4 ＝ 80(m)
④
ｆ＝１／ T ＝ 0.25(s)
⑤
yx=0(t)＝－ 0.2sin2 π t/4 ＝－ 0.2sin1/2 π t
⑥
y(t ､ x)＝ yx=0(t － x/c)＝－ 0.2sin2 π(t － x/20）/4 ＝－ 0.2sin2 π(t/4 － x/80）
－ 0.2sin2 π(t/4 ＋ x/80）
⑦
(Ⅱ）ｔ＝０の波形が図のように与えられ,波が正の向きに進んでいるとき、①振幅、
②周期、③波長、④振動数、⑤波源ｘ＝０の振動の式 yx=0(t)、⑥ yx=0(t)のグラフ、
⑦ｔ＝０での波形 yt=0(x）、⑧波の式 y(x, t)、⑨ 0.5 秒後の波形、⑩ y(0.5, x)のグラフ、
波が負の向きに進んでいるときの、⑪波源ｘ＝０の振動の式 yx=0(t)、⑪波の式
(1)
を求める。
速さ 4.0m/s とする。
ｔ＝０の波形のグラフ（右図）より、
①
A ＝ 2(m)
③
Ｔ＝λ/ｃ＝ 8/4 ＝ 2(s)
④
f ＝ 1/T ＝ 0.5（Hz)
⑤
ｔ＝０でｙ＝０
②
λ＝ 8(m)
波が右に動くと
ｘ＝０での変位は負になるので、
関数形は
∴
－ sin
yx=0(t)＝－ 2sin2 π t/2
＝－ 2sin πｔ
⑥ 右図
⑦ ｔ＝０の波形のグラフより
yt=0(x)＝ 2sin2 π x/8=2sin π x/4
⑧ y(x, t)＝ yt=0(x － ct)＝ 2sin2 π(x － 4t)/8 ＝ 2sin2 π(x/8 － t/2)
または、 y(x, t)＝ yx=0(t － x/c)＝－ 2sin2 π(t － x/4)/2 ＝ 2sin2 π(x/8 － t/2)
yx=0(t)、yt=0(x)どちらからでも求められる。
⑨
y(x, 0.5)＝ 2sin2 π（x/8 － 1/4）＝ 2sin π x/4・cos π/2 － 2cos π x/4・sin π/2
＝－ 2cos π x/4
-2-
⑩
図で点線が t = 0.5(s)の波形
2
1
⑨の関数のグラフを書くか、
0
ｔ＝０での波形のグラフを
-1
0
2
4
6
8
10
12
ｘ＝ｃｔ＝４× 0.5 ＝ 2(m)
右に進めれば良い。2(m)進めば、
山の位置が２→４へ移動する。
-2
⑪
t=0 で y=0 かつ、左に進むとｘ＝ 0 での変位は正となるので、関数は sin
yx=0(t)＝ 2sin2 π t/2 ＝ 2sin πｔ
∴
⑫
負の向きに進んでいるとき、ｃ＝－ 4 とすれば良いので、
y(x, t)＝ yt=0(x ＋ ct)＝ yx=0(t ＋ x/c)＝ 2sin2 π(x/8 ＋ t/2)
(2)
速さ 0.50m/s とする
①
A ＝ 3(m)
②
λ＝ 0.5(m)
③
Ｔ＝λ/c ＝ 0.5/0.5 ＝ 1(s)
④
ｆ＝ 1/T ＝ 1(Hz)
⑤
yx=0(t)＝ 3cos2 π t/1 ＝ 3cos2 π t
⑥
4
ｔ＝０でｙ＝３(山)より、
3
2
関数形は cos
振幅 3,
1
周期１なので
0
右図のようになる。
-1
0
0.25
0.5
0.75
1
1.25
1.5
-2
-3
⑦
yt=0(x）＝ 3cos2 π x/0.5 ＝ 3cos4 π x
⑧
y(x, t)＝ yt=0(x － 0.5t）＝ 3cos2 π(x － 0.5t)/0.5 ＝ 3cos2 π(x/0.5 － t)
-4
y(x, t)＝ yx=0(t － x/0.5)＝ 3cos2 π(t － x/0.5)/1 ＝ 3cos2 π(t － x/0.5)
cos は偶関数なので、どちらも同じで、
yx=0(t)、yt=0(x)どちらからも求められる。
⑨ y(x, 0.5)＝ 3cos2 π(x/0.5 － 0.5)＝ 3cos4 π xcos π＋ 3sin4 π xsin π
＝－３ cos4 π x
-3-
または、
⑩
右図の破線が t=0.5(s)の波形
3
⑨の波を書くか、
2
ｔ＝０の波形をｘ＝ 0.5・0.5 ＝ 0.25(m)右に進
1
めれば良い。
0
0
0.25
0.5
0.75
-1
つまり t=0 で x ＝ 0 の山が 0.25 まで進む。
-2
yx=0(t)＝ 3cos2 π t
⑪
-3
負の向き（左）に進むので、ｃ＝－ 0.5 として、
⑫
y(x, t)＝ 3cos2 π(t ＋ x/0.5)
(3)
速さ 20m/s とする
① A ＝ 4(m)
② λ＝ 40(m)
③ Ｔ＝λ／ｃ＝ 40 ／ 20 ＝ 2(s)
④ ｆ＝ 1/T ＝ 0.5(Hz)
⑤
yt=0(x）＝－ 4cos2 πｔ/2
⑥
右図
⑦
⑧
yt=0(x）＝－ 4cos2 π x/40
y(x, t)＝－４ cos2 π（x － 20t）/40
＝－４ cos2 π（x/40 － t/2）
⑨
y(x,0.5)＝－４ cos2 π（x/40 － 0.5/2）＝－４ cos2 π（x/40 － 1/4）
＝－ 4cos（π x/20 －π/2）
＝－ 4cos π x/20cos π/2 － 4sin π x/20sin π/2
＝－ 4sin π x/20
4
⑩
波形は右図の破線
3
2
⑨式の関数をグラフにするか、
1
t=0 での波形をｘ＝ 0.5・20 ＝ 10(m)
右に進めれば良い。
-1
10
20
30
40
50
-3
山の位置が x=20(m)となる。
⑫
0
-2
x=10(m)の所の山が 10 ｍ右に進み
⑪
0
-4
yt=0(x）＝－ 4cos2 π x/40
負の向きに進むので、ｃ＝－ 20 として、
y(x, t)＝ yt=0(x － ct）＝－４ cos2 π（x ＋ 20t）/40 ＝－４ cos2 π（x/40 ＋ t/2）
-4-
(4)
速さ 6.0m/s とする
①
A ＝ 0.2(m)
②
λ＝４(m)
③
Ｔ＝λ/c ＝ 4/6 ＝ 2/3(s)
④
ｆ＝１／Ｔ＝ 1.5(Hz)
⑤
ｔ＝０でｙ＝０、波が進むと変位ｙは正の向きに動くので、関数は sin
∴
yx=0(t)＝ 0.2sin2 π t/(2/3)＝ 0.2sin3 π t
⑥
右図
⑦
yt=0(x）＝－ 0.2sin2 π x/4
⑧
y(x, t)＝ yt=0(x － 6t)
＝－ 0.2sin2 π（x － 6t)/4
＝－ 0.2sin2 π（x/4 － t/(2/3)）
y(x, 0.5)＝－ 0.2sin2 π（x/4 － 0.5/(2/3)）
⑨
＝－ 0.2sin2 π（x/4 － 3/4）＝－ 0.2sin（π x/2 － 3/2 π）
＝－ 0.2sin π x/2cos3/2 π＋ 0.2cos π x/2sin3/2 π
＝－ 0.2cos π x/2
0.2
⑩
波形は右図の破線
0.15
0.1
⑨式の関数をグラフにするか、
t=0 での波形をｘ＝ 0.5・6 ＝ 3(m)
右に進めれば良い。
x=1(m)の所の谷が 3 ｍ右に進み
谷の位置が x=4(m)となる。
0.05
0
-0.05
0
1
2
-0.1
-0.15
-0.2
⑪ t =0 で y=0、かつ波が左に動くと
変位はマイナスになっていくので、関数は－ sin
よって、yx=0(t)＝－ 0.2sin2 π t/(2/3)＝－ 0.2sin3 π t
⑫
ｃ＝－ 6 として、
y(x, t)＝ yx=0(t ＋ x/6)＝－ 0.2sin2 π（t ＋ x/6)/(2/3)
＝－ 0.2sin2 π（3t/2 ＋ x/4）
-5-
3
4
5
6
（Ⅲ）
(1)ｔ＝０で波は①→ 0.5 秒後に②、0.5 秒間に山の位置が 6(m)移動した。
よって波の速さは、ｃ＝ 6/0.5 ＝ 12(m/s)
振幅と波長はグラフより読み取り、振幅 A=3(m)、波長λ＝ 8(m)，
振動数ｆ＝ c/λ＝ 12/8 ＝ 1.5、
周期Ｔ＝ 1/f ＝ 2/3(s)
x=0 での波源の振動：
t=0 で x=0 の変位はｙ＝３（山）なので、
振動は cos となる。
∴
yx=0(t)＝ 3cos(2 π・1.5 ｔ)
＝ 3cos(3 πｔ)
よって、波の式は、
y(x ､ t)＝ｙ
x=0
(t － x/12)＝ 3cos3 π（ｔ－ x/12)
＝ 3cos2 π（3t/2 － x/8)
または、ｔ＝０での波形は
yt=0(x)＝３ cos ２π x/λ＝３ cos ２π x/8
これを使うと波の式は、
y(x ､ t)＝ yt=0(x － 12t)＝３ cos ２π（x － 12t)/8
＝ 3cos2 π（x/8 － 3t/2）＝ 3cos2 π（3t/2 － x/8)
最後の変形は cos は偶関数なので、cos α＝ cos(－α)を使った。
このように、波源の時間振動を使って、
ｔ＝０の波形を使って、
y(x ､ t)＝ yx=0(t － x/c)
y(x ､ t)＝ yt=0(x － ct)
どちらでも求めることができる。
ｘ＝４での時間的振動は、y(4,t)＝ 3cos2 π（3t/2 － 4/8)＝ 3cos（3 π t －π）
＝－ 3cos(3 π t)
（別法）
ｘ＝４での時間的振動をグラフから考える。
グラフを見ると、ｔ＝０でｘ＝４の所では
よって時間が経つと、谷→０
ｙ(4,0)＝－ 3、つまり谷
となるので、波形は－ cos となる。
よって、振幅 3，振動数ｆ＝ 1.5 の－ cos の単振動なので、
y(4,t)＝－ Acos2 π f t ＝－ 3cos2 π・1.5 ｔ＝－ 3cos(3 πｔ)
-6-
（2）ｔ＝０で波は①→ 0.5 秒後に②、0.5 秒間に山の位置が－ 6(m)移動した。
よって波の速さは、ｃ＝－ 6/0.5 ＝－ 12(m/s)
つまり左向き（負の向き）に速さ 12(m/s)となる。
振幅と波長は(1)と同様にグラフより読み取り、振幅 A=3(m)、波長λ＝ 8(m)，
振動数ｆ＝ c/λ＝ 12/8 ＝ 1.5、
周期Ｔ＝ 1/f ＝ 2/3(s)
波源の時間振動 yx=0(t)を求める。
ｔ＝０でｘ＝０の変位はｙ＝０、それから波を負の向き（左側）に動かすと、
変位は負の向きに動く。よって０→谷と
なる
ので、波源の振動は－ sin
∴
yx=0(t)＝－３ sin3 πｔ
よって波の式は、
y(x ､ t)＝ yx=0(t ＋ x/12)
＝－ 3sin3 π（ｔ－ x/12)
＝－ 3sin2 π（3t/2 ＋ x/8）
または、ｔ＝０での波形
yt=0(x)＝－３ sin ２π x/λ＝３ cos ２π x/8
より、波の式は、
y(x ､ t)＝ yt=0(x － ct)
ｃ＝－ 12 を代入して、
＝－３ sin ２π（x ＋ 12t)/8
＝－３ sin ２π（x/8 ＋ 3t/2)
波が左に進むと、波の式のｘの前の符号が＋となり、
前問(1)に示すように、波が右に進むと波の式のｘの前の符号が－となる。
ｘ＝４での時間的振動は、y(4,t)＝－ 3sin2 π（3t/2 ＋ 4/8)＝－ 3sin（3 π t ＋π）
＝ 3sin3 π t
または、グラフから見ても、ｔ＝０でのｘ＝４の位置での変位は、ｙ＝０
波が左に進むと、変位は＋に動くので、０→山となるので、関数形は sin
よって、
y(4,t)＝ Asin(2 π f t)＝ 3sin(2 π・1.5 ｔ)＝ 3sin(3 π t)
-7-
となる。

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