正弦波演習問題 (Ⅰ) 図のように波源の振動が与えられ、波は正の向きに速さ 20m/s のとき、①振幅、 ②周期、③波長、④振動数、⑤波源の振動の式 yx=0(t)、⑥波の式 y(t,x)、⑦波が負の向き に進んでいるとき波の式 (1) を求める。 ① A=2(m) ② ③ c=λ/T より λ=cT ∴ T = 0.2(s) λ=20 × 0.2 =4(m) ④ f= 1/T = 1/0.2 =5(Hz) ⑤ yx=0(t)= Asin2 π t/T = 2sin2 π t/0.2 = 2sin10 π t ⑥ y(t、x)= yx=0(t - x/c)= 2sin2 π(t - x/20)/ 0.2 = 2sin2 π(t/0.2 - x/4) ⑦ 波の向きが左向き(負の向き)のとき、速度を-にして、 y(t、x)= yx=0(t + x/c) = 2sin2 π(t/0.2 + x/4) (2) (3) A, T は(1)と同様にして図から読んで、 ① A=3(m)、 ③ λ=cT= 20 × 0.5 = 10(m) ④ f=1/T=2(Hz) ② T= 0.5(s) ⑤ yx=0(t)= 3cos2 π t/0.5 = 3cos4 π t ⑥ y(t 、 x)= yx=0(t - x/c)= 3cos2 π(t - x/20)/ 0.5 = 3cos2 π(t/0.5 - x/10) ⑦ 3cos2 π(t/0.5 + x/10) ① A = 4(m) ② T= 0.4(s) ③ λ=c T = 20 × 0.4 =8(m) ④ f=1/ T = 2.5(Hz) ⑤ yx=0(t)=- 3cos2 π t/0.4 =- 4cos5 π t ⑥ y(t 、 x)= yx=0(t - x/c)=- 4cos2 π(t - x/20)/0.4 =- 4cos2 π(t/0.4 - x/8) ⑦ - 4cos2 π(t/0.4 + x/8) -1- (4) ① A = 0.2(m) ② T =4(s) ③ λ=c T = 20 × 4 = 80(m) ④ f=1/ T = 0.25(s) ⑤ yx=0(t)=- 0.2sin2 π t/4 =- 0.2sin1/2 π t ⑥ y(t 、 x)= yx=0(t - x/c)=- 0.2sin2 π(t - x/20)/4 =- 0.2sin2 π(t/4 - x/80) - 0.2sin2 π(t/4 + x/80) ⑦ (Ⅱ)t=0の波形が図のように与えられ,波が正の向きに進んでいるとき、①振幅、 ②周期、③波長、④振動数、⑤波源x=0の振動の式 yx=0(t)、⑥ yx=0(t)のグラフ、 ⑦t=0での波形 yt=0(x)、⑧波の式 y(x, t)、⑨ 0.5 秒後の波形、⑩ y(0.5, x)のグラフ、 波が負の向きに進んでいるときの、⑪波源x=0の振動の式 yx=0(t)、⑪波の式 (1) を求める。 速さ 4.0m/s とする。 t=0の波形のグラフ(右図)より、 ① A = 2(m) ③ T=λ/c= 8/4 = 2(s) ④ f = 1/T = 0.5(Hz) ⑤ t=0でy=0 ② λ= 8(m) 波が右に動くと x=0での変位は負になるので、 関数形は ∴ - sin yx=0(t)=- 2sin2 π t/2 =- 2sin πt ⑥ 右図 ⑦ t=0の波形のグラフより yt=0(x)= 2sin2 π x/8=2sin π x/4 ⑧ y(x, t)= yt=0(x - ct)= 2sin2 π(x - 4t)/8 = 2sin2 π(x/8 - t/2) または、 y(x, t)= yx=0(t - x/c)=- 2sin2 π(t - x/4)/2 = 2sin2 π(x/8 - t/2) yx=0(t)、yt=0(x)どちらからでも求められる。 ⑨ y(x, 0.5)= 2sin2 π(x/8 - 1/4)= 2sin π x/4・cos π/2 - 2cos π x/4・sin π/2 =- 2cos π x/4 -2- ⑩ 図で点線が t = 0.5(s)の波形 2 1 ⑨の関数のグラフを書くか、 0 t=0での波形のグラフを -1 0 2 4 6 8 10 12 x=ct=4× 0.5 = 2(m) 右に進めれば良い。2(m)進めば、 山の位置が2→4へ移動する。 -2 ⑪ t=0 で y=0 かつ、左に進むとx= 0 での変位は正となるので、関数は sin yx=0(t)= 2sin2 π t/2 = 2sin πt ∴ ⑫ 負の向きに進んでいるとき、c=- 4 とすれば良いので、 y(x, t)= yt=0(x + ct)= yx=0(t + x/c)= 2sin2 π(x/8 + t/2) (2) 速さ 0.50m/s とする ① A = 3(m) ② λ= 0.5(m) ③ T=λ/c = 0.5/0.5 = 1(s) ④ f= 1/T = 1(Hz) ⑤ yx=0(t)= 3cos2 π t/1 = 3cos2 π t ⑥ 4 t=0でy=3(山)より、 3 2 関数形は cos 振幅 3, 1 周期1なので 0 右図のようになる。 -1 0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 -2 -3 ⑦ yt=0(x)= 3cos2 π x/0.5 = 3cos4 π x ⑧ y(x, t)= yt=0(x - 0.5t)= 3cos2 π(x - 0.5t)/0.5 = 3cos2 π(x/0.5 - t) -4 y(x, t)= yx=0(t - x/0.5)= 3cos2 π(t - x/0.5)/1 = 3cos2 π(t - x/0.5) cos は偶関数なので、 どちらも同じで、 yx=0(t)、yt=0(x)どちらからも求められる。 ⑨ y(x, 0.5)= 3cos2 π(x/0.5 - 0.5)= 3cos4 π xcos π+ 3sin4 π xsin π =-3 cos4 π x -3- または、 ⑩ 右図の破線が t=0.5(s)の波形 3 ⑨の波を書くか、 2 t=0の波形をx= 0.5・0.5 = 0.25(m)右に進 1 めれば良い。 0 0 0.25 0.5 0.75 -1 つまり t=0 で x = 0 の山が 0.25 まで進む。 -2 yx=0(t)= 3cos2 π t ⑪ -3 負の向き(左)に進むので、c=- 0.5 として、 ⑫ y(x, t)= 3cos2 π(t + x/0.5) (3) 速さ 20m/s とする ① A = 4(m) ② λ= 40(m) ③ T=λ/c= 40 / 20 = 2(s) ④ f= 1/T = 0.5(Hz) ⑤ yt=0(x)=- 4cos2 πt/2 ⑥ 右図 ⑦ ⑧ yt=0(x)=- 4cos2 π x/40 y(x, t)=-4 cos2 π(x - 20t)/40 =-4 cos2 π(x/40 - t/2) ⑨ y(x,0.5)=-4 cos2 π(x/40 - 0.5/2)=-4 cos2 π(x/40 - 1/4) =- 4cos(π x/20 -π/2) =- 4cos π x/20cos π/2 - 4sin π x/20sin π/2 =- 4sin π x/20 4 ⑩ 波形は右図の破線 3 2 ⑨式の関数をグラフにするか、 1 t=0 での波形をx= 0.5・20 = 10(m) 右に進めれば良い。 -1 10 20 30 40 50 -3 山の位置が x=20(m)となる。 ⑫ 0 -2 x=10(m)の所の山が 10 m右に進み ⑪ 0 -4 yt=0(x)=- 4cos2 π x/40 負の向きに進むので、c=- 20 として、 y(x, t)= yt=0(x - ct)=-4 cos2 π(x + 20t)/40 =-4 cos2 π(x/40 + t/2) -4- (4) 速さ 6.0m/s とする ① A = 0.2(m) ② λ=4(m) ③ T=λ/c = 4/6 = 2/3(s) ④ f=1/T= 1.5(Hz) ⑤ t=0でy=0、波が進むと変位yは正の向きに動くので、関数は sin ∴ yx=0(t)= 0.2sin2 π t/(2/3)= 0.2sin3 π t ⑥ 右図 ⑦ yt=0(x)=- 0.2sin2 π x/4 ⑧ y(x, t)= yt=0(x - 6t) =- 0.2sin2 π(x - 6t)/4 =- 0.2sin2 π(x/4 - t/(2/3)) y(x, 0.5)=- 0.2sin2 π(x/4 - 0.5/(2/3)) ⑨ = - 0.2sin2 π(x/4 - 3/4)=- 0.2sin(π x/2 - 3/2 π) = - 0.2sin π x/2cos3/2 π+ 0.2cos π x/2sin3/2 π =- 0.2cos π x/2 0.2 ⑩ 波形は右図の破線 0.15 0.1 ⑨式の関数をグラフにするか、 t=0 での波形をx= 0.5・6 = 3(m) 右に進めれば良い。 x=1(m)の所の谷が 3 m右に進み 谷の位置が x=4(m)となる。 0.05 0 -0.05 0 1 2 -0.1 -0.15 -0.2 ⑪ t =0 で y=0、かつ波が左に動くと 変位はマイナスになっていくので、関数は- sin よって、yx=0(t)=- 0.2sin2 π t/(2/3)=- 0.2sin3 π t ⑫ c=- 6 として、 y(x, t)= yx=0(t + x/6)=- 0.2sin2 π(t + x/6)/(2/3) =- 0.2sin2 π(3t/2 + x/4) -5- 3 4 5 6 (Ⅲ) (1)t=0で波は①→ 0.5 秒後に②、0.5 秒間に山の位置が 6(m)移動した。 よって波の速さは、c= 6/0.5 = 12(m/s) 振幅と波長はグラフより読み取り、振幅 A=3(m)、波長λ= 8(m), 振動数f= c/λ= 12/8 = 1.5、 周期T= 1/f = 2/3(s) x=0 での波源の振動: t=0 で x=0 の変位はy=3(山)なので、 振動は cos となる。 ∴ yx=0(t)= 3cos(2 π・1.5 t) = 3cos(3 πt) よって、波の式は、 y(x 、 t)=y x=0 (t - x/12)= 3cos3 π(t- x/12) = 3cos2 π(3t/2 - x/8) または、t=0での波形は yt=0(x)=3 cos 2π x/λ=3 cos 2π x/8 これを使うと波の式は、 y(x 、 t)= yt=0(x - 12t)=3 cos 2π(x - 12t)/8 = 3cos2 π(x/8 - 3t/2)= 3cos2 π(3t/2 - x/8) 最後の変形は cos は偶関数なので、cos α= cos(-α)を使った。 このように、波源の時間振動を使って、 t=0の波形を使って、 y(x 、 t)= yx=0(t - x/c) y(x 、 t)= yt=0(x - ct) どちらでも求めることができる。 x=4での時間的振動は、y(4,t)= 3cos2 π(3t/2 - 4/8)= 3cos(3 π t -π) =- 3cos(3 π t) (別法) x=4での時間的振動をグラフから考える。 グラフを見ると、t=0でx=4の所では よって時間が経つと、谷→0 y(4,0)=- 3、つまり谷 となるので、波形は- cos となる。 よって、振幅 3,振動数f= 1.5 の- cos の単振動なので、 y(4,t)=- Acos2 π f t =- 3cos2 π・1.5 t=- 3cos(3 πt) -6- (2)t=0で波は①→ 0.5 秒後に②、0.5 秒間に山の位置が- 6(m)移動した。 よって波の速さは、c=- 6/0.5 =- 12(m/s) つまり左向き(負の向き)に速さ 12(m/s)となる。 振幅と波長は(1)と同様にグラフより読み取り、振幅 A=3(m)、波長λ= 8(m), 振動数f= c/λ= 12/8 = 1.5、 周期T= 1/f = 2/3(s) 波源の時間振動 yx=0(t)を求める。 t=0でx=0の変位はy=0、それから波を負の向き(左側)に動かすと、 変位は負の向きに動く。よって0→谷と なる ので、波源の振動は- sin ∴ yx=0(t)=-3 sin3 πt よって波の式は、 y(x 、 t)= yx=0(t + x/12) =- 3sin3 π(t- x/12) =- 3sin2 π(3t/2 + x/8) または、t=0での波形 yt=0(x)=-3 sin 2π x/λ=3 cos 2π x/8 より、波の式は、 y(x 、 t)= yt=0(x - ct) c=- 12 を代入して、 =-3 sin 2π(x + 12t)/8 =-3 sin 2π(x/8 + 3t/2) 波が左に進むと、波の式のxの前の符号が+となり、 前問(1)に示すように、波が右に進むと波の式のxの前の符号が-となる。 x=4での時間的振動は、y(4,t)=- 3sin2 π(3t/2 + 4/8)=- 3sin(3 π t +π) = 3sin3 π t または、グラフから見ても、t=0でのx=4の位置での変位は、y=0 波が左に進むと、変位は+に動くので、0→山となるので、関数形は sin よって、 y(4,t)= Asin(2 π f t)= 3sin(2 π・1.5 t)= 3sin(3 π t) -7- となる。
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