極形式まとめ

2. 極形式‥‥複素数を，大きさと偏角を用いて表す。
※ 複素数が 0 であるとは，実部と虚部が
0 でない複素数 z= x+i y があって
ともに 0 であるということ。
大きさ ∣z∣=r , 偏角 arg ( z )=θ のとき，
x = r cos θ , y = r sin θ
であるから
z
y
z = r cos θ + i r sin θ = r (cos θ+i sin θ)
そこで，
r
iθ
e = cos θ+i sin θ (オイラーの関係式)
という表現を用いて
θ
z = r e i θ (極形式による表示) ← 必ずｒ＞ 0 とする。
x
と表す。
例題 2.1
つぎの複素数について，標準形は極形式に，極形式は標準形に直せ。
(1) 1+i
(2) −i
√2 e
πi
4
(3) 2 e
πi
6
(4) 3 e πi
(2) e
3 1
(3) 2(cos π + i sin π ) = 2( √ + i) = √ 3+i
6
6
2
2
(4) 3(cos π + i sin π) = 3×(−1 + 0 i) = −3
(解) (1)
1+i
i
πi
2
√2
π/4
1
※　偏角を求めるには，図から求めるか，あるいはつぎのようにする。
(例)　∣1+i∣= √ 2 だから，極形式は 1+i = √ 2(cos θ+i sin θ) の形になる。
1
1
1
1
1+i = √ 2 (
+
i ) と比較すれば cos θ=
, sin θ=
√2 √2
√2
√2
π
したがって θ=
4
例題 2.2
三角関数の性質を用いて，つぎの等式を確かめよ。
(1) e 0 i = 1
(2) ∣e i θ∣ = 1
(3) e i(θ+ψ) = e i θ ei ψ
(4)
d iθ
(e ) = i ei θ
dθ
(解) (1) e 0 i = cos 0 + i sin 0 = 1 + 0i = 1
iθ
2
2
(2) ∣e ∣ =∣(cos θ+isin θ)∣ = √ (cos θ) +(sin θ) = 1
(3) e i θ ei ψ = ( cos θ+i sin θ)(cos ψ+isin ψ) = (cos 2 θ−sin 2 ψ)+i (cos θ sin ψ+sin θ cos ψ)
i (θ+ ψ)
= cos (θ+ψ)+i sin(θ+ψ) = e
d
( e i θ) = ( cos θ+i sin θ)' = (cos θ)' +i( sin θ)'
(4)
1
dθ
iθ
= −sin θ+i cos θ = i(cos θ+i sin θ) = i e
※　(1),(3),(4)は，実数の指数関数 e x と類似の性質。
(2)は， e i θ が単位円周上にあることを示す。
（単位円‥‥原点が中心で半径 1 の円）
複素数の偏角に関し，つぎの性質は重要である。
-1
θ
-1
1
例題 2.3
極形式を用いて，つぎの等式を確かめよ。
(1) arg (z z ') = arg ( z) + arg (z ') ( 2 k π の差は無視)
(2) arg ( z / z ' ) = arg (z ) − arg ( z ' ) (
同上
)
n
(3) arg ( z ) = arg ( z ) × n (n は自然数)
z z'
θ'
θ
(解) (1)　極形式で z=r e i θ , z ' =r ' e i θ ' とすると，
z z ' = (r e i θ )(r ' e i θ ' ) = r r ' e i θ ei θ ' = ( r r ' )e i (θ +θ ' ) (例題 2.2 を用いた）
右辺が z z ' の極形式を与えるので
arg (z z ' ) = θ+θ ' = arg ( z )+arg (z ')
が示された。
(2) (1)より， arg ( z ) = arg (( z / z ') z ') = arg ( z / z ')+arg ( z ' ) となり，得られる。
(3) (1)より， z をかけるごとに z の偏角が加えられる。よって明らか。
例題 2.4
つぎの計算をせよ。
100
(1) (1+i)n
(n=1,2,3,4)
(2)
(1+ √3 i)
100
(1− √3 i)
πi
n
n
(解) (1) 1+i = √ 2 e 4 より (1+i) = ( √ 2) e
1
(1+i) = 1+i
2
nπ i
4
であるから，
πi
(1+i)2 = ( √ 2) e 2 = 2 i
3π i
4
−1+i
= −2+2 i
√2
4
(1+i)4 = ( √ 2) e π i = 4×(−1) = −4
3
3
(1+i) = ( √ 2) e
πi
= 2 √ 2×
−
(2) 1+√ 3 i = 2 e 3 , 1−√ 3i = 2 e
100
100π −100π
(1+ √ 3 i)
2100 { 3 − 3 }i
=
e
100
2100
(1− √ 3 i)
=e
=
200 πi
3
=e
−1+√3
2
2π i
3
←
πi
3
より
( 200−6 k ) π
200 π
−2 k π =
だから
3
3
200 は 200÷6 の余りでおきかえてよい。
z

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