1級-2次〔検定時間〕120分

〔検定時間〕１２０分
検定上の注意
１．自分が受検する階級の問題用紙であるか確認してくださ
い。
２．検定開始の合図があるまで問題用紙を開かないでくださ
い。
３．この表紙の右下の欄に，氏名・受検番号を書いてくださ
い。
４．解答用紙の氏名・受検番号・生年月日の記入欄は，もれ
のないように書いてください。
５．解答はすべて解答用紙（No. ４まであります）に書き，解
法の過程がわかるように記述してください。ただし，問
題文に特別な指示がある場合は，それにしたがってくだ
さい。
６．問題１∼５は選択問題です。２題を選択して，選択した
問題の番号のをぬりつぶし，解答してください。選択
問題の解答は解いた順番に解答欄へ書いてもかまいませ
ん。ただし，３題以上解答した場合は採点されませんの
で，注意してください。問題６・７は，必須問題です。
７．電卓を使用することができます。
８．携帯電話は電源を切り，検定中に使用しないでください。
９．問題用紙に乱丁・落丁がありましたら検定監督官に申し
出てください。
10．出題内容に関する事項を当協会の許可なくインターネ
下記の「個人情報の取扱い」についてご同意いただいたうえでご提出
ください。
【このフォームでお預かりするすべての個人情報の取り扱いについて】
１．事業者の名称公益財団法人日本数学検定協会
２．個人情報保護管理者の職名，所属および連絡先
管理者職名：個人情報保護管理者所属部署：事務局
連絡先：03-5812-8340
３．個人情報の利用目的受検者情報の管理，採点，本人確認の
ため。
４．個人情報の第三者への提供団体窓口経由でお申込みの場合
は，検定結果を通知するために，申し込み情報，氏名，受検階級，
成績を，Web でのお知らせまたは FAX，送付，電子メール添
付などにより，お申し込みもとの団体様に提供します。
５．個人情報取り扱いの委託前項利用目的の範囲に限って個人
情報を外部に委託することがあります。
６．個人情報の開示等の請求ご本人様はご自身の個人情報の開
示等に関して，下記の当協会お問い合わせ窓口に申し出ること
ができます。その際，当協会はご本人様を確認させていただい
たうえで，合理的な対応を期間内にいたします。
【問い合わせ窓口】
公益財団法人日本数学検定協会検定問い合わせ係〒110-0005 東京都台東区上野 5-1-1 文昌堂ビル 6 階
TEL：03-5660-4804 電話問い合わせ時間月∼金 9:30-17:00
（祝日・年末年始・当協会の休業期間を除く）
７．個人情報を提供されることの任意性について
ご本人様が当協会に個人情報を提供されるかどうかは任意によ
るものです。ただし正しい情報をいただけない場合，適切な対
応ができない場合があります。
氏名
ットなどの不特定多数が閲覧できるような所に掲載する
ことを固く禁じます。
１級-２次
受検番号
−
（無断転載・複製を禁ず）
１−２−１
２次：数理技能検定
〔１級〕
問題１．（選択）
次の式を満たす整数の組（ x ，y ）は存在しますか。存在するならば，その組を求めなさい。
存在しないならば，そのことを証明しなさい。
７x 2 −９y 2 ＝３９１
問題２．（選択）
実数全体を定義域とする関数
f（x ）＝
sinx
x
１
（ x ≠０）
（ x ＝０）
について，次の問いに答えなさい。
f ）の導関数 f（x ）は連続であるこ
（１） f
（x ）はすべての実数 x において微分可能であり，（x
とを証明しなさい。
∞
（n は正の整数）で定めるとき，級数 a n の
（２）（１）での f（x ）において，a n ＝ f（nπ）
和を求めなさい。
n ＝1
１−２−２
問題３．（選択）
右の図のような一辺の長さがℓの立方体ＡＢＣＤ‐ＥＦＧＨが
あり，頂点Ａが x y z 空間の原点に固定された状態で，この立
方体が自由に動くことができるものとします。このとき，頂
A
（ x 2 ，y 2 ，z 2 ），
点Ｂ，Ｄ，Ｅの座標をそれぞれ（ x 1 ，y 1 ，z 1 ），
B
H
（ x 3 ，y 3 ，z 3 ）とし，それらに対して
α＝x 1＋y 1 i ，β＝x 2＋y 2 i ，γ＝x 3＋y 3 i （ i は虚数単位）
C
D
E
G
F
とおきます。このとき，次の問いに答えなさい。
（１）複素数α2 ＋β2 ＋γ2 は頂点 B，D，E の位置に関わらず，ある一定の値をとります。
このことを証明した上で，α2 ＋β2＋γ2 の値を求めなさい。
（２） ℓをα，β，γを用いて表しなさい。
１−２−３
問題４．（選択）
確率分布の１つである t 分布について，次のことが成り立ちます。
平均μ，標準偏差σの正規母集団から n 個の標本 x k （ k ＝１，２，３，…，n ）
を無作為に抽出したとき，標本平均 x と標本標準偏差 s を
x＝
１
n
n
k ＝１
x k ，s ＝
１
n −１
n
2
（x k −x ）
k ＝１
x −μ
と定めるとき，X ＝は自由度 n −１の t 分布に従う。
s
n
（※以上のことは証明しなくてもかまいません）
このことを用いて，製品 P の１個の重さの平均 m（ g ）について，信頼区間を求めます。
このとき，次の問いに答えなさい。ただし解答の際，１−２−６ページにある t 分布表の値
を用いなさい。さらに信頼区間について，上限は上から５桁めを切り上げ，下限は上から
５桁めを切り捨てて，上から４桁の概数で求めるものとします。
（１）サンプルとして製品 P を１０個，無作為に抽出して，重さを量ったところ，次の結果
を得ました。
１５.１９ g，１４.７８ g，１４.８９ g，１５.１１ g，１５.０５ g，
１４.７９ g，１５.１６ g，１４.８５ g，１４.９４ g，１５.２４ g
このとき，m の９５％信頼区間を求めなさい。
（２）次にサンプルとして製品 P を２００個，無作為に抽出して，重さを量ったところ
標本平均：１５.００ g，標本標準偏差：０.２５０ g
を得ました。このとき，m の９５％信頼区間を求めなさい。ただし，２００は十分大き
い値として扱ってよいとします。
１−２−４
問題５．（選択）
１７世紀初頭，ヨハネス・ケプラーは太陽系の惑星の観測結果を分析し，次の法則を発見
しました。
・第１法則
太陽系の惑星は太陽を焦点の１つとする楕円軌道上を動く。
・第２法則
惑星と太陽を結ぶ線分が一定時間にえがく面積は一定である（面積速度が一定）。
※第３法則は省略
ある太陽系惑星が上の法則に従って動くとします。この惑星が動く楕円軌道をC とし，あ
る時刻 t および時刻 t ＋Δt（Δt ＞０）における惑星の位置をそれぞれ P，Ｐとします。また，
C の焦点の１つである太陽の位置をＳ，もう１つの焦点の位置をS とします。
e e ＞０）が十分小さいとき，次のことがいえます。
ここでΔt の値および C の離心率（
① Ｐが C の P における接線上にあると見なすことができる。
② S Ｐ ≒S Ｐ
③ e 2 の値が無視できるほど小さい，すなわち e 2 ≒０と見なすことができる。
（上の①，②，③は証明しなくてもかまいません）以上の条件のもとで，この惑星の運動を S から見たとき，角速度が一定の運動
（一定時間
における∠ＰS P の大きさが一定）であると「見なす」ことができることを示しなさい。
１−２−５
問題６．（必須）
n 次正方行列 A，B（ n は２以上の整数）
について，次の問いに答えなさい。
（１） n 次正方行列 M の対角線成分の和を tr（M ）とします。このとき
tr（AB ）＝tr（BA）
であることを証明しなさい。
（２） A ，B が等式
AB −BA ＝ A
を満たすとき，A を求めなさい。ただし，次の事実は証明なしで用いてよいとします。
n
n 個の未知数 x 1 ，x 2 ，x 3 ，…，x n に対する連立方程式
n
k ＝１
xk ＝
n
k ＝１
xk2＝
n
k ＝１
xk3＝…＝
n
k ＝１
x k n ＝０
の解は x 1 ＝ x 2 ＝ x 3 ＝ … ＝ x n ＝０のみである。
問題７．（必須）
f x ，y ，z ）について，下の条件をすべて満たすものの一般形を求めなさい。
３変数実関数（
f x ，y ，z ）は３次の同次式（どの項の次数も３に等しい多項式）である。
（
∂f
∂f
∂f
＋
＋
＝０
∂x
∂z
∂y
2
2
2
∂f
∂f
∂f
＋
＋
∂x ∂y
∂y ∂z
∂z ∂x ＝０
3
∂f
∂x ∂y ∂z ＝０
１−２−６
t 分布表（下の表は自由度 n の t 分布における上側α点の値を表します）
α
t
t 分布表
α
n
0.20
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
0.0005
1
1.376
3.078
6.314
12.706
31.821
63.657
318.309
636.619
2
1.061
1.886
2.920
4.303
6.965
9.925
22.327
31.599
3
0.978
1.638
2.353
3.182
4.541
5.841
10.215
12.924
4
0.941
1.533
2.132
2.776
3.747
4.604
7.173
8.610
5
0.920
1.476
2.015
2.571
3.365
4.032
5.893
6.869
6
0.906
1.440
1.943
2.447
3.143
3.707
5.208
5.959
7
0.896
1.415
1.895
2.365
2.998
3.499
4.785
5.408
8
0.889
1.397
1.860
2.306
2.896
3.355
4.501
5.041
9
0.883
1.383
1.833
2.262
2.821
3.250
4.297
4.781
10
0.879
1.372
1.812
2.228
2.764
3.169
4.144
4.587
11
0.876
1.363
1.796
2.201
2.718
3.106
4.025
4.437
12
0.873
1.356
1.782
2.179
2.681
3.055
3.930
4.318
13
0.870
1.350
1.771
2.160
2.650
3.012
3.852
4.221
14
0.868
1.345
1.761
2.145
2.624
2.977
3.787
4.140
15
0.866
1.341
1.753
2.131
2.602
2.947
3.733
4.073
16
0.865
1.337
1.746
2.120
2.583
2.921
3.686
4.015
17
0.863
1.333
1.740
2.110
2.567
2.898
3.646
3.965
18
0.862
1.330
1.734
2.101
2.552
2.878
3.610
3.922
19
0.861
1.328
1.729
2.093
2.539
2.861
3.579
3.883
20
0.860
1.325
1.725
2.086
2.528
2.845
3.552
3.850
21
0.859
1.323
1.721
2.080
2.518
2.831
3.527
3.819
22
0.858
1.321
1.717
2.074
2.508
2.819
3.505
3.792
23
0.858
1.319
1.714
2.069
2.500
2.807
3.485
3.768
24
0.857
1.318
1.711
2.064
2.492
2.797
3.467
3.745
25
0.856
1.316
1.708
2.060
2.485
2.787
3.450
3.725
26
0.856
1.315
1.706
2.056
2.479
2.779
3.435
3.707
27
0.855
1.314
1.703
2.052
2.473
2.771
3.421
3.690
28
0.855
1.313
1.701
2.048
2.467
2.763
3.408
3.674
29
0.854
1.311
1.699
2.045
2.462
2.756
3.396
3.659
30
0.854
1.310
1.697
2.042
2.457
2.750
3.385
3.646
40
0.851
1.303
1.684
2.021
2.423
2.704
3.307
3.551
60
0.848
1.296
1.671
2.000
2.390
2.660
3.232
3.460
120
0.845
1.289
1.658
1.980
2.358
2.617
3.160
3.373
∞
0.842
1.282
1.645
1.960
2.326
2.576
3.090
3.291

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