低次元空間における異なる伝播速度をもつ半線形波動方程式系について

低次元空間における異なる伝播速度をもつ
半線形波動方程式系について
太田雅人 (埼玉大・理)
n = 1, 2, 3, α ≥ 1, c1 , c2 > 0, c1 6= c2 とし

 (∂ 2 − c2 ∆)uj = |u1 |α |u2 |α , (x, t) ∈ Rn × [0, ∞)
t
j
(1)
 u (x, 0) = ϕ (x), ∂ u (x, 0) = ψ (x), x ∈ Rn
j
j
t j
j
または “同値な”積分方程式
(2)
uj = Kc(n)
[ϕj , ψj ] + Lc(n)
[|u1 |α |u2 |α ],
j
j
(x, t) ∈ Rn × [0, ∞)
に対する small data global existence (SG) について考える.
以前, 久保英夫氏との共同研究 [KO] により, n = 3, α ≥ 1 のとき,
c1 6= c2 ならば (SG) が成り立つことを示した. c1 = c2 のときは, 本質
的に, 単独方程式 (∂t2 − ∆)u = |u|2α と同じだから, (SG) が成り立つ
√
ための必要十分条件は, 2α > p0 (n) である. ここで, p0 (3) = 1 + 2,
√
p0 (2) = (3 + 17)/2, p0 (1) = ∞. 今回, 次の結果を得た.
定理 1
n = 2, 1 ≤ α < 3/2 のとき, c1 6= c2 でも (SG) は成り立た
ない.
n = 1 の場合は, 一般には (SG) は期待できないが, データを奇関数
に制限すれば, 次が成り立つ.
定理 2 n = 1, α > 1, c1 6= c2 のとき, ϕj , ψj ∈ Codd (R) かつ
κ ≥ 1/(α − 1) なる κ に対して
X
j=1,2
sup{hxiκ |ϕj (x)| + hxiκ+1 |ψj (x)|}
x≥0
が十分小さければ, u ∈ C(R × [0, ∞)), u(−x, t) = −u(x, t),
sup
hx − tiκ |u(x, t)| < ∞
(x,t)∈[0,∞)2
をみたす (2) の時間大域解 u が存在する.
定理 3 n = 1, α = 1, c1 6= c2 のとき, ϕj , ψj ∈ Codd (R) かつ κ > 0 に
対して
X
j=1,2
sup eκx {|ϕj (x)| + |ψj (x)|}
x≥0
が十分小さければ, u ∈ C(R × [0, ∞)), u(−x, t) = −u(x, t),
sup
eκ|x−t| |u(x, t)| < ∞
(x,t)∈[0,∞)2
をみたす (2) の時間大域解 u が存在する.
(n)
Kc
に対して, n = 2 では Huygens の原理は成り立たず, n = 3
及び n = 1 でも奇関数に限れば, Huygens の原理が成り立つことに
注意する. 特に, 定理 1 の証明では, n = 2 のとき
inf
(t + |x|)1/2 (ct − |x|)1/2 Kc(2) [0, ψ](x, t) > 0
|x|≤c(t−1)
をみたす ψ ∈ C0∞ (R2 ) が存在することが重要な役割を果たす.
参考文献
[KO] H. Kubo and M. Ohta, On systems of semilinear wave equations
with unequal propagation speeds in three space dimensions, Preprint.

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