§3. 函数の極限と連続函数
まず，「 x ! a のとき，f (x) ! b 」とはどういうことか，定義する必要がある．
定義 3.1
lim f (x) = b であるとは，次が成立すること：
x!a
8" > 0, 9 > 0 s.t. 8x (0 < x
注意 3.2.
a < ) に対して f (x)
b < "．
数列のときと同様に，定数函数 f (x) = b のときも，lim f (x) = b である．
x!a
定義 3.3
(1) lim f (x) = +1 とは次が成立すること：
x!a
8L > 0, 9 > 0 s.t. 8x (0 < x
(2) lim f (x) =
x!a
a < ) に対して f (x) > L．
1 も同様．
(3) lim f (x) = b： 8" > 0, 9R > 0 s.t. 8x (x > R) に対して f (x)
x!+1
b < "．
(4) lim f (x) = b も同様．
x! 1
(5) (3) や (4) で，b = ±1 のときも同様（正しく定義を与えよ）．
定義 3.4
(1) （右からの極限） lim f (x) = b とは：
x!a+0
8" > 0, 9 > 0 s.t. 8x (a < x < a + ) に対して f (x)
b < "．
(2)（左からの極限） lim f (x) = b も同様（正しく定義を与えよ）．
x!a 0
(3) (1) や (2) で b = ±1 も同様（正しく定義を与えよ）． 注意 3.5.
a = 0 のときは， lim と書かず， lim と書く（複号同順）．
x!0±0
x!±0
命題 3.6
lim f (x) = b ()
x!a
証明. =)
lim f (x) = lim f (x) = b．
x!a+0
x!a 0
明らか．
(= 8" > 0：given．
9
9
1
2
> 0 s.t. f (x)
> 0 s.t. f (x)
b < " for 8x (a < x < a + 1 ),
b < " for 8x (a
2 < x < a)
:= min( 1 , 2 ) > 0 とすれば，0 < x
a < のとき， f (x)
1
a < "．
⇤
定義 3.7
f ：区間 I で定義された函数．
def
(1) a 2 I とする．f が a で連続 () lim f (x) = f (a)．
x!a
（ただし，a が I の端点のときは，右端点のときは左極限，左端点のときは右極
限だけを考える．
）すなわち
a < ) に対して f (x)
8" > 0, 9 > 0 s.t. 8x ( x
f (a) < "．
(2) 区間 I のすべての点で f が連続のとき，f は区間 I 上の連続函数という．
定義 3.8
函数 f が区間 I で有界であるとは，9M > 0 s.t. f (x) 5 M
(8x 2 I).
定理 3.9
(1) f ：a で連続 =) f は a の近くで有界である：
ある > 0 をとると，定数 M > 0 が存在して，
x
a < の範囲で f (x) 5 M ．
(2) f ：a で連続，かつ f (a) >
=) ある > 0 をとると， x
a < の範囲1で f (x) >
不等号の向きを反対にして，f (a) <
証明. (1) 9 > 0 s.t. 8x ( x
としても同様である．
a < ) に対して f (x)
f (x) 5 f (x)
f (x)
ゆえに f (x) > f (a)
f (a) < 1．このとき
f (a) + f (a) < f (a) + 1.
> 0 に対して， > 0 をとれば， x
(2) " = f (a)
となる．
a < の範囲で
f (a) < ".
⇤
"= .
命題 3.10
f ：a で連続，g ：b = f (a) で連続 =) h := g f は a で連続．
証明. x ! a のとき，f (x) ! f (a) = b，g(f (x)) ! g(b) = g(f (a))．
注意 3.11.
連続函数でないときの合成函数の極限はデリケートなところがある．
（今日の宿題参照．
）
1
⇤
> 0 に言及するのが面倒なとき，
「x が a に十分近いとき」という言い方をするときがある．
2
命題 3.12
f, g ：a で連続．
(1) f ± g は a で連続．
(2) f g は a で連続．
(3) g(a) 6= 0 ならば，x が a に近いとき g(x) 6= 0 であり，
8
<x sin 1
x
例 3.13. f (x) :=
: 0
(x 6= 0)
(x = 0)
f
は a で連続．
g
を考える．x 6= 0 での連続性は明らかであ
1 5 x とな
x
るので，はさみうちの原理から， lim f (x) = 0 = f (0) である（グラフは下左側）．
ろう．さらに，f は x = 0 においても連続である．実際，0 5 x sin
x!0
8
<sin 1
x
例 3.14. f (x) :=
: 0
(x 6= 0)
(x = 0)
を考える．ここでも x 6= 0 での連続性は明
らかであろう．しかし，0 にいくらでも近いところに f (x) = 1 となる x があるの
1
で，連続とはならない．実際，n = 1, 2, . . . に対して，xn :=
とおくと
2⇡n + ⇡2
lim xn = 0 かつ f (xn ) = 1 (8n) であるから，f (xn ) ! 0 = f (0) とはならない
n!1
（グラフは上右側）．
連続函数の基本的性質は実数のなす集合 R の連続性に深く関わっている．
当面は次を実数の連続性の公理として採用する．より根源的な事に興味がある人は
教科書の第 3 章を参考にしてほしい．
公理
有界な単調数列は収束する．
3
定義 3.16
数列 {an } が単調増加であるとは，
a1 5 a2 5 · · · 5 an 5 · · ·
となるときをいう．等号を許さないとき，すなわち
a1 < a2 < · · · < an < · · ·
であるとき，数列 {an } は狭義単調増加であるという．
• 不等号の向きを変えれば，単調減少数列，狭義単調減少数列の定義．
• 単調増加または単調減少である数列のことを単調数列という．
• 等号を許さないとき，狭義単調数列という．
中間値の定理を我々の公理から導いてみよう．
定理 3.17 （中間値の定理）
I = [ a, b ]：有界閉区間，f ：I で連続，f (a) < f (b)
=) 8 (f (a) <
< f (b) に対して，9c 2 (a, b) s.t. f (c) = ．
f (a) > f (b) としても同じ結論．
証明. a1 := a，b1 := b，c1 := 12 (a1 + b1 )．
a2 ，b2 ，c2 は次の様に定める．
(1) f (c1 ) <
のとき，a2 := c1 ，b2 := b1 ．
(2) f (c1 ) >
のとき，a2 := a1 ，b2 := c1 ．
(3) f (c1 ) =
なら，証明はこの時点で終了．
(1), (2) のとき，f (a2 ) <
y=
< f (b2 ) が成り立つ．
a1
c1
b1
c2 := 12 (a2 + b2 ) として同じ事を繰り返す：
(1) f (c2 ) < のとき，a3 := c2 ，b3 := b2 ． (2) f (c2 ) > のとき，a3 := a2 ，b3 := c2 ．
(3) f (c2 ) =
なら，証明はこの時点で終了．
ゆえに，途中で (3) が成立しない限りこの操作は続いて，数列 {an } と {bn } を得て，
f (an ) < < f (bn )
(8n).
明らかに {an } は単調増加で有界ゆえ，収束する．
c := lim an とおくと，f の連続性から，f (c) = lim f (an )．ゆえに f (c) 5 ．
n!1
n!1
b a
一方，bn = an + (bn an ) = an + n 1 ! c (n ! 1) ゆえ，f (c) = lim f (bn ) = ．
n!1
2
以上より f (c) = である．
⇤
4
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