静磁場とビオ・サヴァールの法則

静磁場とビオ・サヴァール
の法則
講義資料URL
https://www.sss.fukushimau.ac.jp/~kami/Lecture/EM/
1
• 電場があると電荷は電場から力を受ける
クーロン力
• 電荷があると電場ができる
クーロンの法則
• 磁場があると，移動する電荷（電流）は，磁場
から力を受ける
ローレンツ力
• 移動する電荷（電流）があると，磁場ができる
ビオ・サバールの法則
2
ビオ・サヴァールの法則
電磁気学の第２の原理
速度 v を持つ点電荷 Q がそこから r 離れた位置に
作る磁束密度は
b(r)
⊗
v
Q
r
0 Qv  r 
b( r ) 
 2  
4 r  r 
μ0：＝4π×10-7Tm/A，磁気定数
Ｔ：テスラ（磁束密度Ｂの単位）
3
ビオ・サヴァールの法則
定常電流が作る磁束密度
I
電流 I 中に電子が単位長さ当たり n個
あるとすると
I  env
ΔB
I
⊗
導線Cの微小区間Δl中にある電荷は
enl
Δl
r - r’
これがつくる磁束密度は
r
r’
C
Δはｄと同じ
4
これがつくる磁束密度は
0 enlv  (r  r ' )
B (r )  b(r  r ' )nl 

3
4
r  r'
0 env  (r  r ' )
0 I  (r  r ' )


l 

l
3
3
4
4
r  r'
r  r'
電流全体のつくる磁束密度は
N
B (r )  lim  Bk (rk )
N 
k 0
0 I  (r  r ' )
0
 lim 

l 
3
N 
4
r  r'
k  0 4
N

C
I  (r  r ' )
r  r'
3
dl
5
ビオ・サヴァールの法則例題・演習問題
１．直線電流がつくる磁場
［1］無限に長い直線電流（がｒだけ離れた点に作る磁場）
z
 0 I  (r  r ' )
B(r ) 
dl
3

4 C r  r '
0
By 

4
0 I
By 
4

3
2 2
O
φ
rdz
3
2 2
( z' r )
2
ｒ’
z '
( z' r )


r - r' sin   r
r－r ’
I r
2
I
z’
θ
P
x
y
r
ΔB=(0, ΔB,0)
6
0 I
By 
4



z  r tan 
rdz
3
2 2
(z2  r )
とおいて Byを求めよ
7
8
問題［2］有限の長さの直線電流がつくる磁場（１）
2a
I
2a
O
図に示すように，一辺が 2a である正
方形導線に矢印の向きに電流Iが流
れているとき，正方形の対角線の交
点Oの磁場（向きと大きさ）を求めなさ
い。
9
x
前問より，正方形の一辺がつ
くる磁場は
2a
0 I
B
4
O

a
a
adx
3
2 2
(x  a )
2
x
x  a tan  とおくと
dx r ’
x
r－r ’=
(x2  a2 )
1
2
φ
-a → + a
-

4
→+

4
O
r
10
0 I
B
4


0 I 4
cos 
4 a d  4a 4 cos d


4

0 I
0 I 1
0 I
1
4
sin     {  ( )} 

4a
4a 2
2
2 2a
4

正方形が作る磁場は
20 I
4B 
a
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問題［3］有限の長さの直線電流がつくる磁場（2）
x
有限の長さの直線状導線ABにBから
Aの方向に電流I が流れているとき，
導線からの距離がl で，∠PAB＝θ1，
∠PBA＝θ2 であるような点P におけ
る磁磁束密度を求めなさい。
A
θ1
a
θ'
dx
r
x
θ
I
l
P
b
θ2
B
12
l
r
sin 
dx
l

d
sin 2 
l
x
tan 
(cot  )'  
1
sin 2 
ld
dx  
sin 2 
dxの部分から生ずる磁場は
0 I sin  '
0 I sin  sin 2  ld
0 I
dB 
dx  

sin d
2
2
2
4 r
4
l
sin 
4 l
0 I 
0 I



B   dB  
sin

d


cos

  

 



4l
4l
0 I
 I
(cos 1  cos(   2 ))  0 (cos 1  cos  2 )
4l
4l
1
1
2
1
2
2
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［2］の（別解）
la
1   2 

のとき
4
0 I
0 I 2
0 I
B
(cos 1  cos  2 ) 

4l
4a 2 2 2a
I
dx
θ’
r-r’
したがって，点Oの磁場は紙面に直角に
手前から向こう側に向かい，その大きさ
は
40 I

2 2a
20 I
a
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２．円形電流が作る磁界
RP  r  r '
z
ΔB
z
P
0 I  r  r '
0
I
B 

l 

l
3
2
4 r  r '
4 r  r '
0
I

 2
l
2
4 a  z
θ
I
y
a
R
x
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対称性より，xy 平面上の成分は打ち消しあい，z 軸方向の
成分だけが残る。
0
I
Bz  B sin  
 2
4 a  z 2
0
aI
l 

l
3
4
a2  z 2
(a 2  z 2 ) 2
a
円電流全体が作る磁場は
0
Bz  

4
0


4
Ia
3
2 2
(a 2  z )
aI
3
2 2
(a 2  z )
0
dl 

4
 2a 
Ia
3
2 2
(a 2  z )
 dl
0 a 2 I
3
2 2
2(a 2  z )
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