”応用数学３－複素関数論”
等角写像，指数関数、３角関数，
双曲線関数、対数，一般ベキ
(pp.27—47)
基本的な解析関数を導入・定義する
等角写像
1
f (z = x + iy) = z 2
= x2 − y 2 + 2ixy の場合:
ｙを固定, y = 1.
u = x2 − 1, v = 2x.
f (C1 ) : u = v 2 /4 − 1
f (1 + i) = 2i
f (2 + i) = 3 + 4i
ｘを固定，x = 2.
u = 4 − y 2 , v = 4y.
f (C2 ) : u = 4 − v 2 /16
媒介変数表示
d
f (z(t))
dt
0
= f (z(t))z 0 (t)
f (C) の接線方向
接線方向
C1 : z = z1 (t) = t + i 2z,
C2 : z = z2 (t) = 2 + it 2zi
交点 z = z1 (t) = z2 (t) では直交
複素平面内の２つの放物線は直交．直交する直線が直交する放物線に
1
1.1
滑らかな曲線と等角性
2
1.2
滑らかな曲線 (*1) C ⇔ z(t) = x(t)+iy(t)
def
で，x(t), y(t) 共に C 1 級（導関数が連続）
で，瞬間的に停止することはない （z 0 (t) =
x0 (t) + iy 0 (t) 6= 0 for ∀ t)
（尖ってなければ such 媒介変数表示できる）
臨界点（f 0 (z) = 0 なる点 z ）に関する注意
z
原点を除いた領域で解析的
|z|2
= r cos θ + ri sin θ + (1/r) cos θ − (1/r)i sin θ ⎧
⎪
⎨ 楕円 for r 6= 1
(r + 1/r) cos θ + i (r − 1/r) sin θ ： ⎪
⎩ 線分 u = 2 cos θ for r = 1
実軸方向倍率
虚軸方向倍率
f (z) = z + 1/z = z +
f 0 (z) = 1 − 1/z 2
臨界点 z = ±1 で f (z) = ±2
接線方向を表す複素数
d
f (z(t)) = f 0 (z(t))z 0 (t)
dt
arg(f 0 (z(t))z 0 (t))
C1 : z1 (t) = t. 実軸
C2 : z2 (t) = eit (r = 1 の場合)：
C2 と直交 （at t = 1）
t = 0 で C1 と直交
d
d
f (z2 (t))|t=0 = 0 で向きがない
f (z1 (t))|t=1 = 0 で向きがない.
dt
dt
向きがないものに対し角度をそもそも定義できない
= arg(f 0 (z(t))) + arg(z 0 (t))
等角性 （滑らかな曲線に対し）
写像前後の曲線の角度は一致
交点 z2 (t2 ) = z1 (t1 )
arg(f 0 (z2 (t2 ))z20 (t2 ))−arg(f 0 (z1 (t1 ))z10 (t1 )) = arg(z20 (t2 ))−arg(z10 (t1 ))
ただし，臨界点ではＬＨＳは０－０＝０．
z が f の臨界点 ⇔ f 0 (z) = 0
def
(*) ここでの「滑らかな曲線」は，
「正則曲線」
C1 と C2 を連続に繋げるためには，尖った点に
おいて一度止めなければ連続に繋がらない
3
4
３角関数
指数関数 ez = ex+iy = ex (cos y + i sin y)
オイラーの公式が基本で、これを拡張
x
値に関して、実数の e の拡張： y = 0 の場合
いたるところで解析的
u = ex cos y, v = ex sin y
ux = ex cos y, vy = ex cos y, uy = −ex sin y, vx = ex sin y
コーシー・リーマン ux = vy , uy = −vx が成立し，偏導関数は連続
eix = cos x + i sin x, e−ix = cos x − i sin x,
eix − e−ix
eix + e−ix
, sin x =
cos x =
2
2i
上記を z に拡張（z = x とすれば cos z = cos x）
：
eiz + e−iz
eiz − e−iz
（定義）
, sin z =
2
2i
領域の取り方に依存しない．よって，全複素平面で解析的（整関数）
cos z =
f (z = x + iy) = ex cos y + iex sin y. y を固定し両辺を x で微分
特に、eiz = cos z + i sin z （オイラーの公式の複素数版）
Ã
!
π
eiz+iπ/2 − e−iz−iπ/2
ieiz − (−i)e−iz
=
=
= cos z
計算例： sin z +
2
2i
2i
(ez )0 = ez
ez = ex eiy 極形式
ez1 +z2 = e(x1 +x2 )+i(y1 +y2 ) = ex1 ex2 eiy1 eiy2 = ez1 ez2
eiy = cos y + i sin y オイラーの公式
ez = ex eiy = ex ei(y±2nπ) = ez±2niπ
ベキ乗で既にわかっていること：
√
√
z n1 +n2 = z n1 z n2 , z 1/n = n z =n rei(θ+2mπ)/n ,
√
3
1 = ei(2mπ)/3
cos z, sin z の微分： iz, − iz, ez が全平面で解析的だから、整関
数であることは明らか
⎛
z −n = 1/z n
¡ −iz ¢0
e
= e−iz (−iz)0 = −ie−iz
(m = 0, 1, 2, ...)
= 1, e
2πi/3
⎞0
eiz + e−iz ⎠
−eiz + e−iz
ieiz − ie−iz
=
= − sin z
=
2
2
2i
(sin z)0 = cos z も同様
(cos z)0 = ⎝
4πi/3
, e
（合成関数の微分）
z1z2 は「一般ベキ」．
z 1/n も正確には，
「一般ベキ」の定義に基づく
z n の逆数 z −n （z n z −n = z 0 = 1）も一般ベキの定義に従う
（z 0 = 1 も正確にはまだ論じていない）
5
6
双曲線余弦・正弦
加法定理
実数の双曲線余（正）弦の拡張：
cosh z =
−i(x+iy)
i(x+iy)
−y ix
y −ix
+e
e e +e e
=
2
2
e (cos x + i sin x) + ey (cos x − i sin x)
=
2
e−y − ey
e−y + ey
cos x +
i sin x
=
2
2
y
−y
y
e +e
e − e−y
=
cos x −
i sin x
2
2
cos z =
e
−y
= cos x cosh y − i sin x sinh y
同様に sin z = sin x cosh y + i cos x sinh y
cos z, sin z は、ez , e−z で定義され，双曲線余弦・正弦の項を含み，
非有界だが，複素数の解析関数としてはむしろ当たり前
Liouville の定理：全複素平面で有界な解析関数は定数関数
実数の双曲線余弦・正弦 （hyperbolic cosine, sine）
直交双曲線 x2 − y 2 = 1
媒介変数表示: x = ± cosh t, y = sinh t
cosh2 t − sinh2 t =
Ã
et + e−t
2
!2
cos(z1 ± z2 ) = cos z1 cos z2 ∓ sin z1 sin z2
sin(z1 ± z2 ) = sin z1 cos z2 ± cos z1 sin z2
ez − e−z
ez + e−z
, sinh z =
2
2
−
Ã
et − e−t
2
!2
I=
eiz1 + e−iz1 eiz2 + e−iz2 eiz1 − e−iz1 eiz2 − e−iz2
−
2
2
2i
2i
let a = eiz1 , b = eiz2
4I = (a + a−1 )(b + b−1 ) + (a − a−1 )(b − b−1 ) = 2(ab + (ab)−1 )
I=
eiz1 eiz2 + e−iz1 e−iz2
ei(z1 +z2 ) + e−i(z1 +z2 )
=
= cos(z1 + z2 )
2
2
他の規則も同様
等角写像としての３角関数
解析関数は等角（滑らかな曲線間の角度を保存する.
直交する x =a と y=b の w = sin z による像は直交する
z = x + iy
sin z = sin x cosh y + i cos x sinh y
x 固定で双曲線，y 固定で楕円
ここでの等角性は，楕円と双曲線の直交性
=1
一般の双曲線 x = a cosh t, y = b sinh t
楕円同様に，直交双曲線をｘ方向にａ倍，ｙ方向
にｂ倍
複素平面で描画する場合は
z(t) = a cosh t + bi sinh t
7
8
対数関数： 指数関数の逆
z = reiArg z
Arg z
ln z の主値 Ln の解析性
は偏角の主値 −π < Arg z ≤ π
ln z の主値 Ln z = ln |z| + i Arg z
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
逆関数 ⎪
入力平面で，r を固定し，偏角を変動
eLn z = eln r+iArg z = eln r eiArg z = z
Ln ez = Ln ex+iy = Ln (ex eiy ) = x + iy + 2mπi = z + 2mπi m は整数
⎪
⎪
⎪
⎩ （入力 z = x + iy の虚部 y は −π < y ≤ π とは限らず，調整が必要）
iθ
ln z = ln re = ln r
+ i(Arg z
± 2nπ) = Ln z ± 2nπi
√
ln 2 7π ln 2 π ln 2 9π
ln(1 + i) = ln 2eπi/4 = · · · ,
−
i,
+ i,
+
i, · · · 可能な値の全て
2
4
2
4
2
4
√
3
2πi/3 4πi/3
多価の 1 = 1, e
,e
と同様の表現で複数の値を持つ
ln(z1 z2 )
= ln(r1 eiθ1 r2 eiθ2 ) = ln(r1 r2 ei(θ1 +θ2 ) )
= ln(r1 r2 ) + i(θ1 + θ2 )
ln z1 + ln z2 = ln(r1 eiτ1 ) + ln(r2 eiτ2 )
= (ln r1 + iτ1 ) + (ln r2 + iτ2 )
= (ln(r1 r2 ) + i(τ1 + τ2 )
同じ偏角を選択し，一つの値に関する等号が成立
他の可能な偏角に関しても同様で，厳密に言えば，
値の集まりとして一致
z1 = z2 = −1
Ln z1 = Ln z2 = πi
Ln (z1 z2 ) = Ln 1 = 0
6= 2πi = Ln z1 + Ln z2
Thus, 主値 Ln は，実軸の
うち，負の部分がうまく定
義できない
同様に， ln z1 /z2 = ln(r1 /r2 )ei(θ1 −θ2 ) = ln(r1 /r2 ) + i(θ1 − θ2 )
= (ln r1 + iθ1 ) − (ln r2 + iθ2 ) = ln z1 − ln z2
出力平面（左）で，虚部は変動
実部は log r で一定.
Ln は、z
= 0 でそもそも未定義
{z = x | x < 0} で不連続
これらを除いた領域を Ｄ とする
Ｄ の各点において Ln は解析的で、(Ln z)0 =
1
z
多価 ln z の微分： 関数でなければならない
ln z = Ln z + 2mπi なる整数 m は固定し (*1)
(ln z)0 = (Ln z)0 = 1/z
微分可能な領域も Ln と同じ (*2)．
(*1) 偏角の多価性を，入力 z の関数 m = ϕ(z) で解消したとする．ln z − Ln z = 2ϕ(z)i．仮に ln z が
微分可能とすると，RHS は虚部のみの関数で微分可能であることから，2ϕ(z)i は結局のところ定
数となる．つまり，微分可能な ln z を考える限りにおいて，ϕ(z) = m となる．
(*2) 仮に，
π
3π
<θ≤
2
2
なる g は 閉集合 {z = yi | y ≥ 0} で不連続となり，これを除いた領域 Dg で解析的となる．導関
数も同じ．
1
g 0 (z) =
z
多価の ln z は，上記の g を用いても
g(z = reiθ ) = ln r + iθ, where −
ln z = g(z) + 2mπi
と書ける．この g に対し m を固定した ln z は，Dg で解析的であり，Ln が解析的な領域とは異
なる
9
1
の検証
z
極形式のコーシー・リーマンを使う
1.3
(Ln z)0 =
Ln
(z = reiθ ) = (u(r, θ) = ln r) + i(v(r, θ) = θ),
但し − π < θ ≤ π
ur = 1/r, vθ = 1. よって， ur = vθ /r
vr = 0, uθ = 0. よって， vr = −uθ /r
つまり，極形式のコーシー・リーマンを満たす
10
ベキ乗
• 整数ベキ，指数関数（定義がベキ乗）は既にやった：
√
√
n
z = z 1/n : wn = z = reiθ なる複素数で w =n rei(θ+2mπ)/n , (m = 0, ±1, ...)
√ n
n/m
m
= ( z)
z
ez = ex+iy = ex (cos y + i sin y)
では，一般に z1z2 は？
b
f (reiθ ) = ln r + iθ の両辺を r で微分
eiθ f 0 (z) = 1/r. f 0 (z) =
1
1
=
reiθ
z
a = (e
実数の場合は：
ln a b
) =e
b ln a
,
where a 6= 0 （ln a）
0n = 0 だが，01.23 ？
実数に制限して上記が成立するように
z c = ec ln z , where z 6= 0，c も複素数
教科書における (ln z)0 = 1/z の導出は，z = x + iy として，
−
π
y
π
< arctan <
2
x
2
を用いた証明が述べてある．偏角をとる実数区間長はどの ln を使ったとしても 2π なので，
arg z = ±π/2 + 2mπ
が偏角区間の内点として含まれ，x = 0 の場合についても言及すべきだが，何の説明もない．つ
まり，ln z は z = ±yi においても微分できることも示す必要がある．
ここでは，そうした煩わしさを回避できる極形式を用いたより単純なやり方で示している．
上記は 多価関数．対数を主値にとったものは，z c の主値と呼ぶ
z 0 = e0 ln z = e0 = 1
z c1 +c2 = e(c1 +c2 ) ln z = ec1 ln z+c2 ln z
iθ
z 1/n = e(ln z)/n = e(ln |z|e
=
e のベキ
ec1 ln z ec2 ln z = z c1 z c2
√
√
= e(ln |z|)/n eiθ/n =n reiθ/n =n z ... 多価
1 1
1
1
= n ln r niθ =
= n １価！
e
e
(reiθ )n
z
)/n
z −n = e−n ln z = e−n ln r−niθ
定義中，多価の ln を使っているが，この場合，偏角の取り方に依存しない
その他 (z c1 )c2 = z c1 c2 は成り立つか？，等々，気になる式はあるが，
多価性の議論が煩わしいので省略する．
あとの話では 一般ベキ は使わない．
11
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