漸化式 (まとめ)

漸化式 (まとめ)
初期条件と漸化式から一般項を求めることができる. 初期条件 (初項についての条件) が変わ
れば, 一般項の内容も変わる.
1 等差数列
a1 = a, an+1 = an + d で与えられる場合,
{an } は初項 a, 公差 d の等差数列, すなわ
ち, an = a + (n − 1)d である.
2 等比数列
a1 = a, an+1 = ran (r ̸= 1) で与えられる
場合, {an } は初項 a, 公比 r の等差数列,
すなわち, an = arn−1 である.
3 階差数列を用いて一般項を求めることが
できるもの
a1 = a, an+1 = an + f (n)
f (n) は自然数 n に関する関数
で与えられる場合, an+1 − an = f (n) だ
から, n ≧ 2 のとき
an = a +
n−1
∑
f (k)
k=1
で n ≧ 2 について an を求めて a1 = a と
一致するか否かを確かめればよい.
4 an+1 = p an + q (p ̸= 1) の場合
1 階差数列を用いて
⃝
an+2 = p an+1 + q だから
an+2 − an+1 = p(an+1 − an ).
an+1 −an = bn とおくと, {bn } は等比数列
の型に帰着できる. ただし, bn = an+1 −an
ゆえに, 階差数列から一般項を求める方
法で {an } の一般項を求めないといけな
い.
2 特性方程式を用いて
⃝
α = p α + q (なぜこれを用いて良いかに
ついては, ノートを参照のこと) より α の
値を求めて
an+1 − α = p(an − α)
と変形できる. 数列 {an −α} が初項 a1 −α,
公比 p の等比数列であることから {an } の
一般項が求まる.
5 初項から第 n 項までの和 Sn を用いるも
の
Sn について復習しておくと
S1 = a1 , Sn − Sn−1 = an (n ≧ 2)
という性質をもつ. 後者については,
Sn+1 − Sn = an+1 (n ≧ 1)
と見ることもできるので, これらの性質
を使って {an } の一般項を求めることがで
きる.
6 an+1 = p an + (n の 1 次式) (p ̸= 1) の場
合
p = 1 の場合は, 階差数列を用いて解け
ばよい. また, p ̸= 1 の場合も, 階差数列
を用いて解けるが, 次のように考えても
よい.
an+1 − α(n + 1) − β = p(an − α n − β)
と変形できるとして, α, β の値を求め
ればよい. このように考えれば, 数列
{an − α n − β} が初項 a1 − α − β, 公比
p の等比数列であることから {an } の一般
項を求めることができる.
7 an+1 = p an + q n (p ̸= 1) の場合
両辺を q n+1 で割ることで
p an
1
an+1
=
· n +
n+1
q
q q
q
an
= bn とおくと, {bn } は特性方程式を
qn
用いて一般項を求めることができる.
8 an+1 =
an
(分数型の特殊なとき)
p an + q
の場合
漸化式に対して, 逆数をとると
p an + q
1
1
=
=q·
+p
an+1
an
an
1
= bn とおくことで
an
特性方程式を用いて解く型にもっていく
ことができる.
となる. 従って,
9 対数をとる型,
すなわち, an+1 = p an q (※ an > 0) の場
合
an > 0 が保証されているとき, 両辺に対
数 (主に, p に関する底) をとると
logp an+1 = 1 + q logp an
となる. logp an = bn とおくことで, 特性
方程式を用いて解く型にもっていくこと
ができる.
p an + q
r an + s
(ps − qr ̸= 0, r ̸= 0) の場合
10 分数型 (一般) an+1 =
(1) ps − qr = 0 のとき
ps = qr ゆえに,
ps an + qs
an+1 =
rs an + s2
q(r an + s)
q
=
= (一定)
s(r an + s)
s
(2) ps − qr ̸= 0 のとき
分数型の特性方程式
pα + q
α=
rα + s
を用いて, 重解となる場合は
A(an − α)
an+1 − α =
B(an − α) + C
の形に変形し, 逆数をとればよい. 異
なる 2 解 α, β があらわれる場合は
A(an − α)
an+1 − α =
,
ran + s
an+1 − β =
B(an − β)
ran + s
とし, 2 式を除することで
an+1 − α
A(an − α)
=
an+1 − β
B(an − β)
an − α
= bn とおくこ
an − β
A
とで, {bn } は公比
の等比数列と
B
なる.
となるので,
11 隣接 3 項の漸化式 an+2 +p an+1 +q an = 0
の場合
隣接 3 項の特性方程式
x2 + px + q = 0
を解いて, 異なる 2 解 α, β があらわれた
場合は
an+2 − α an+1 = β(an+1 − α an ),
an+2 − β an+1 = α(an+1 − β an )
と変形できるので, それぞれが等比数列
の形になることから, それぞれの一般項
を求めて, 適切な差をとればよい. 重解
となる場合は
an+2 − α an+1 = α(an+1 − α an )
から {an+1 − α an } は公比 α の等比数列,
つまり,
an+1 − α an = (a2 − α a1 )αn−1
となる. 両辺を αn+1 で割ればよい.
12 連立漸化式
a1 = a, b1 = b,
an+1 = p an + q bn
の場
bn+1 = r an + s bn
合
漸化式の係数に特性がある場合は, 漸化
式の加減を考えることで {A an +B bn } が
等比数列であるようにすることができる.
また, 漸化式を用いて {an }, {bn } をそれ
ぞれ隣接 3 項の漸化式として表して別々
に求めることもできる. いろいろな出題
形式があるので, 柔軟に対応できるよう
にしておくと良い.

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