1 ¡ n 1 - SUUGAKU.JP

1
n を自然数とする．xy 平面上で行列 '
1¡n
1
¡n(n + 1) n + 2
? の表す 1 次変
3
定数 k は k > 1 をみたすとする．xy 平面上の点 A(1; 0) を通り x 軸に垂直
な直線の第 1 象限に含まれる部分を，2 点 X，Y が AY = kAX をみたしな
換 (移動ともいう) を fn とする．以下の問に答えよ．
がら動いている．原点 O(0; 0) を中心とする半径 1 の円と線分 OX，OY が
交わる点をそれぞれ P，Q とするとき，4OPQ の面積の最大値を k を用いて
(1) 原点 O(0; 0) を通る直線で，その直線上のすべての点が fn により同じ直
表せ．
線上に移されるものが 2 本あることを示し，この 2 直線の方程式を求めよ．
(2) (1) で得られた 2 直線と曲線 y = x2 によって囲まれる図形の面積 Sn を求
めよ．
1
P
1
(3)
n=1 Sn ¡
1
6
（東京工業大学 2011 ）
4
を求めよ．
平面上に一辺の長さが 1 の正方形 D および D と交わる直線がある．この直
線を軸に D を回転して得られる回転体について以下の問に答えよ．
（東京工業大学 2011 ）
(1) D と同じ平面上の直線 ` は D のどの辺にも平行でないものとする．軸とす
る直線は ` と平行なものの中で考えるとき，回転体の体積を最大にする直線
は D と唯 1 点で交わることを示せ．
2
(2) D と交わる直線を軸としてできるすべての回転体の体積の中で最大となる
実数 x に対して
値を求めよ．
f(x) =
Z
0
¼
2
j cos t ¡ x sin 2tj dt
（東京工業大学 2011 ）
5
とおく．
f(x) = 1 ¡ cos x ¡ x sin x とする．
(1) 0 < x < ¼ において，f(x) = 0 は唯一の解を持つことを示せ．
Z¼
(2) J =
jf(x)j dx とする．(1) の唯一の解を ® とするとき，J を sin ® の
(1) 関数 f(x) の最小値を求めよ．
Z1
(2) 定積分
f(x) dx を求めよ．
0
0
（東京工業大学 2011 ）
式で表せ．
p
(3) (2) で定義された J と 2 の大小を比較せよ．
（東京工業大学 2010 ）
6
8
a を正の整数とする．正の実数 x についての方程式
(¤)
x=
と異なる動点 P = P(x; y) をとる．次の条件
a
1
#x +
;—
2
x
が解を持たないような a を小さい順に並べたものを a1 ; a2 ; a3 ; Ý とする．
ここに [
] はガウス記号で，実数 u に対し，[ u ] は u 以下の最大の整数を
表す．
(1) a = 7; 8; 9 の各々について，(¤) の解があるかどうかを判定し，ある場合
は解 x を求めよ．
(2) a1 ; a2 を求めよ．
1
P
1
を求めよ．
(3)
n=1 an
（東京工業大学 2010 ）
7
a を正の定数とする．原点を O とする座標平面上に定点 A = A(a; 0) と，A
1 から n までの数字がもれなく一つずつ書かれた n 枚のカードの束から同時
に 2 枚のカードを引く．このとき，引いたカードの数字のうち小さいほうが
3 の倍数である確率を p(n) とする．
(1) p(8) を求めよ．
(2) 正の整数 k に対し，p(3k + 2) を k で表せ．
（東京工業大学 2010 ）
A から P に向けた半直線上の点 Q に対し
AQ
QP
AP
5 2 ならば
5
AP
OQ
OA
を満たす P からなる領域を D とする．D を図示せよ．
（東京工業大学 2010 ）

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