(1) f(x) (2) 曲線 y = f(x)

1
x の 2 次関数 f(x) が条件 f(0) = 3，f0 (0) = ¡2，f0 (3) = 4 を満たすと
3
数列 fan g が次の条件を満たすとする．
する．
a1 = 1;
(1) f(x) を求めよ．
3
; 0; から 2 本の接線を引いたとき，それぞれにつ
2
いて接線の方程式および接点の座標を求めよ．
(2) 曲線 y = f(x) に点 #
(3) 曲線 y = f(x) および (2) で求めた 2 本の接線で囲まれた部分の面積を求
an+1 =
1
1
a + n
2 n
3
(n = 1; 2; 3; Ý)
(1) bn = 2n an とおくとき，bn+1 ¡ bn を n を用いて表せ．
(2) 数列 fan g の一般項を求めよ．
（室蘭工業大学 2011 ）
めよ．
（室蘭工業大学 2011 ）
2
正の整数 n に対して，Sn (x) =
Z
x
0
4
tn e¡t dt とおく．ただし，e は自然対数
の底とする．
(1) Sn+1 (x) を n; x および Sn (x) を用いて表せ．
x
(2) m を正の整数とする．x > 0 のとき，不等式 e m+1 >
x
が成り立つ
m+1
xm
= 0 となることを示せ．
x!1 ex
(3) 数学的帰納法を用いて，すべての正の整数 n に対して， lim Sn (x) = n!
ことを示せ．また， lim
x!1
となることを示せ．
¡!
¡!
平行四辺形 OABC において，jOAj = jOCj = 1，かつ ÎAOC = 120± であ
¡!
¡!
るとする．また，s; t を実数とし，2 点 P，Q をそれぞれ OP = sOA + (1 ¡
¡! ¡!
¡!
s)OC; OQ = tOB と定める．
¡! ¡!
(1) 内積 OP ¢ OQ を t を用いて表せ．
¡! ¡!
¡! ¡!
(2) 内積 OP ¢ PQ が 0 のとき，内積 OP ¢ OQ を s を用いて表せ．
(3) (2) の条件のもとで，さらに点 Q が線分 OB 上にあるような s の値の範囲を
求めよ．
（室蘭工業大学 2011 ）
（室蘭工業大学 2011 ）

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