f(x) - SUUGAKU.JP

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関数 f(x) を
3
正の整数 n に対して，Sn (x) =
Z
x
0
tn e¡t dt とおく．ただし，e は自然対数
の底とする．
f(x) = (x2 ¡ 6x + 8)e¡x
(1) Sn+1 (x) を n; x および Sn (x) を用いて表せ．
x
と定める．ただし，e は自然対数の底とする．
(2) m を正の整数とする．x > 0 のとき，不等式 e m+1 >
x
が成り立つ
m+1
xm
= 0 となることを示せ．
x!1 ex
(3) 数学的帰納法を用いて，すべての正の整数 n に対して， lim Sn (x) = n!
ことを示せ．また， lim
(1) 関数 f(x) の極値を求めよ．
(2) 曲線 y = f(x) と x 軸で囲まれた図形の面積を求めよ．
x!1
となることを示せ．
（室蘭工業大学 2015 ）
（室蘭工業大学 2011 ）
2
2
a を定数とし，e を自然対数の底とする．曲線 y = xe¡x および直線 y = ax
をそれぞれ C; L とする．C と L は原点 (0; 0) 以外に交点をもつ．
(1) a の値の範囲を求めよ．また，C と L の交点でその x 座標が正であるもの
を a を用いて表せ．
(2) x = 0 において C と L で囲まれた部分の面積を S(a) とするとき，S(a) を
求めよ．
(3) S(a) <
1
であることを示せ．
2
4
¡!
¡!
平面上の 3 点 A，B，C は同一直線上にないものとし，jABj = jACj = 1 と
¡! ¡!
¡!
する．また，t を正の実数とし，平面上の点 P を AP = AB + tAC と定め，
線分 AP と BC の交点を Q とする．
¡!
¡! ¡!
(1) AQ を t および AB; AC を用いて表せ．
¡! ¡!
(2) 三角形 ABP の面積を t と内積 AB ¢ AC を用いて表せ．
¡! ¡
!
(3) AC ? CP かつ点 Q が線分 BC を 1 : 2 に内分するとき，三角形 BPQ の面
積を求めよ．
（室蘭工業大学 2014 ）
（室蘭工業大学 2012 ）
5
t を実数とする．平行四辺形 ABCD において，点 E，F は辺 AD 上にあり，
¡!
¡! ¡!
¡!
¡! ¡
! ¡! ¡
!
AE = tAD; AF = (1¡t)AD を満たすとする．また，AB = b ; AD = d
7
数列 fan g を
an =
とおく．
¡!
¡!
¡
! ¡
!
(1) ベクトル CE および CF を t; b ; d を用いて表せ．
¡
!
¡
!
¡! ¡!
(2) ÎBAD = 60± かつ j b j = j d j = 1 のとき，内積 CE ¢ CF が最大となる t
の値を求めよ．
2n + 1
n(n + 1)(n + 2)
(n = 1; 2; 3; Ý)
と定める．
(1) 定数 p; q を用いて an = p #
すとき，p; q の値を求めよ．
（室蘭工業大学 2009 ）
1
1
1
1
; + q#
; と表
¡
¡
n
n+1
n+1
n+2
(2) 数列 fan g の初項から第 n 項までの和 Sn を求めよ．
（室蘭工業大学 2012 ）
6
平面上の 4 点 O，A，B，P は互いに異なる点とする．三角形 OAB において
¡!
jOAj = 2;
¡!
jOBj = 3
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¡! ¡!
¡!
かつ OA と OB のなす角が 60± とする．` は点 A を通り OA が法線ベクトル
¡!
である直線，m は点 B を通り AB が法線ベクトルである直線とする．また，
p; q を整数とし，p > 0 とする．数列 fan g は
a1 = 36;
an+1 = an + 2pn + q (n = 1; 2; 3; Ý)
を満たすとする．
` と m は点 P で交わるとする．
¡! ¡!
¡! ¡!
(1) OA ? AP であることを用いて，内積 OA ¢ OP を求めよ．
¡! ¡!
(2) 内積 OB ¢ OP を求めよ．
¡!
¡!
¡!
(3) OP = sOA + tOB を満たす実数 s; t の値を求めよ．
（室蘭工業大学 2013 ）
(1) an を p; q; n を用いて表せ．
(2) a4 > 0 かつ a5 < 0 とする．このとき，p; q の値を求めよ．
(3) (2) の条件のもとで，an < 0 を満たす n の値をすべて求めよ．
（室蘭工業大学 2013 ）

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