楕円体の断面積と楕円体の形状関数について
by T.Koyama
１．直交座標系における固有値問題と標準座標系
n 次元ユークリッド空間における直交軸について、ベクトル x をベクトル y に移す１次
変換で、ベクトルの大きさを不変に保つ変換を直交変換という。すなわち、
n
yi = ∑ lij x j , y = Lx
j =1
n
n
i =1
i =1
∑ xi2 = ∑ yi2 ,
x = y
であり、このときの行列 L を直交行列という。基本的に直交行列は n 次元ユークリッド空
間におけるにおける回転を意味し、直交行列には
LT = L−1 ,
L = ±1
の性質がある。
２．主軸問題
ある直交変換 x = Ly によって、２次形式
x T Ax =
n
∑a
i , j =1
x x j , ( aij = a ji )
ij i
を標準形
n
∑λ y
i =1
i
2
i
= λ1 y12 + λ2 y22 + " + λn yn2
に変換する問題を主軸問題と言う。
x = Ly より、この転置行列は、
xT = ( Ly )T = y T LT
である。したがって、
xT Ax = ( y T LT )A ( Ly ) = y T ( LT AL) y = y T ( L−1AL) y
n
となり、これが ∑ λi yi2 に一致するためには、行列 L−1AL が対角行列 Λ （対角要素 λi ）とな
i =1
らなくてはならない。
この意味を明確にするために、
n
n
i , j =1
i =1
∑ aij xi x j − λ ∑ xi2 = xT (A − λ E)x
1
の x = Ly による１次変換を計算して見よう。第一項は一次変換の定義から、および第二項
は直交変換の定義に基づき
n
n
i =1
i =1
∑ λi yi2 − λ ∑ yi2 = yT ( Λ − λ E) y
となる。したがって、係数間には、
L−1 ( A − λ E)L = ( Λ − λ E)
の関係が成立する。両辺の行列式を取ると、
L−1 ( A − λ E)L = L−1 A − λ E L = A − λ E = Λ − λ E
であるので、これより、
a11 − λ
a21
#
a n1
"
a1n
a22 − λ "
a2 n
a12
#
an 2
%
#
" ann − λ
λ1 − λ
=
0
"
0
λ2 − λ "
0
0
#
0
#
0
%
#
" λn − λ
= ( λ1 − λ )( λ2 − λ ) " ( λn − λ )
が成立する。したがって、 λi は λ に関する n 次方程式
A − λE = 0
の解でなくてはならない。この n 次方程式が固有方程式、解の λi が固有値である。
固有値の１つを λ1 とする。このとき、
Ax = λ1x
を満たすベクトル x を行列 A の固有値 λ1 に対する固有ベクトルを言う。
３．楕円の回転について
(x,y)直交座標系における２次元ユークリッド平面において、
ax 2 + 2hxy + by 2 = 0
は楕円を表す。この式は２次形式であるので、行列を用いて、
ax 2 + 2hxy + by 2 = x ( ax + hy ) + y ( hx + by ) = ( x
⎛ ax + hy ⎞
y)⎜
⎟ = (x
⎝ hx + by ⎠
⎛a h⎞⎛ x⎞
y)⎜
⎟⎜ ⎟ = 1
⎝h b⎠⎝ y⎠
と表現できる。座標軸を回転させ、新たな座標軸を ( x ', y ') としよう。座標系 ( x ', y ') には、
上記の楕円が、
2
⎛αx ' ⎞
⎛α 0 ⎞ ⎛ x ' ⎞
α x '2 + β y '2 = x ' α x + y ' β y ' = ( x ' y ' ) ⎜
= ( x ' y ') ⎜
⎟
⎟⎜ ⎟ = 1
⎝ β y '⎠
⎝ 0 β ⎠ ⎝ y '⎠
と表現できたとする。これは先に説明した主軸問題であるので、 α , β は、
a−λ
h
h
b−λ
=0
( a − λ )(b − λ ) − h 2 = λ 2 − ( a + b)λ + ab − h 2 = 0
の解である。 h > 0 の時、２つの解の内大きな方が α である。また h < 0 では、２つの解の
内小さなが α である。（なお、いま楕円を考えているので、 α , β > 0 である。）
また 2 次方程式解の積の公式 ( ax 2 + bx + c = 0, x1 x2 = c / a, x1 + x2 = −b / a, ) から、２つの
解の積は、
αβ = ab − h 2
であるので、楕円の方程式を、
α x '2 + β y '2 = 1
x '2
(1/ α )2
+
y '2
(1/ β ) 2
=1
と変形することにより、楕円の面積 S は、
S =π
1
1
α
β
=
π
π
=
αβ
ab − h 2
と与えられる。
４．楕円体の断面積の導出１
楕円体
x2 y2 z2
+
+
=1
a 2 b2 c 2
と平面
lx + my + nz = 0
の交わりの面積（楕円体の断面積）を算出する。ただし l 2 + m 2 + n 2 = 1 とする。
まず、 n ≠ 0 と仮定して、平面の方程式を
3
1
z = − (lx + my )
n
と変形する。これを楕円体の方程式に代入し、
2
x2 y2 z2 x2 y2 1 ⎧ 1
⎫
+ 2 + 2 = 2 + 2 + 2 ⎨ − (lx + my ) ⎬
2
a
b
c
a
b
c ⎩ n
⎭
2
2
x
y
1
= 2 + 2 + 2 2 (l 2 x 2 + m 2 y 2 + 2lmxy )
a
b
nc
2
⎛ 1
⎛ 1
2lm
l ⎞
m2 ⎞
= ⎜ 2 + 2 2 ⎟ x 2 + 2 2 xy + ⎜ 2 + 2 2 ⎟ y 2 = 1
nc ⎠
nc
nc ⎠
⎝a
⎝b
を得る。これは、楕円体の断面の外周を xy 平面に投影した方程式で、楕円形状であること
がわかる。この楕円の面積を S ' とすると、先の議論から、
⎛ 1
l2 ⎞ ⎛ 1
m 2 ⎞ ⎛ lm ⎞
⎜ a 2 + n 2 c 2 ⎟ ⎜ b2 + n 2 c 2 ⎟ − ⎜ n 2 c 2 ⎟
⎠
⎝
⎠⎝
⎠ ⎝
2
⎛ n 2 c 2 + a 2 l 2 ⎞ ⎛ n 2 c 2 + b2 m 2 ⎞ l 2 m 2
=⎜
⎟ ⎜ b2 c 2 n 2 ⎟ − n 4 c 4
2 2 2
⎝ a cn
⎠⎝
⎠
2 2
2 2
2 2
2 2
( c n + a l )( c n + b m ) − a 2 b2 l 2 m 2
=
a 2 b2 c 4 n 4
c 4 n 4 + ( a 2 l 2 + b2 m 2 )c 2 n 2 + a 2 b2 l 2 m 2 − a 2 b2 l 2 m 2
=
a 2 b2 c 4 n 4
a 2 l 2 + b2 m 2 + c 2 n 2
=
a 2 b2 c 2 n 2
S'=
π
a l +b m +c n
a 2 b2 c 2 n 2
2 2
2
2
2
2
=
π abc n
a l + b2 m 2 + c 2 n 2
2 2
にて求められる。ところで、平面 lx + my + nz = 0 と xy 平面のなす角の余弦が n であるので、
求める断面積は、面積は、
S n = S'=
∴ S=
π abc n
a 2 l 2 + b2 m 2 + c 2 n 2
π abc
a 2 l 2 + b2 m 2 + c 2 n 2
と計算される。
５．楕円体の断面積の導出２
以上の問題は、平面が原点を通る平面であったが、次にこの制約を外す。すなわち、
4
楕円体
x2 y2 z2
+
+
=1
a 2 b2 c 2
と平面
lx + my + nz = w
の交わりの面積（楕円体の断面積）を算出する。ただし l 2 + m 2 + n 2 = 1 とし、また w は原点
から平面までの垂直距離である。
先と同様に、 n ≠ 0 と仮定して、平面の方程式を
1
z = − (lx + my − w)
n
と変形する。これを楕円体の方程式に代入し、
2
x2 y2 z2 x2 y2 1 ⎧ 1
⎫
+ 2 + 2 = 2 + 2 + 2 ⎨ − (lx + my − w) ⎬
2
a
b
c
a
b
c ⎩ n
⎭
2
2
x
y
1
= 2 + 2 + 2 2 {l 2 x 2 + m 2 y 2 + 2lmxy − 2 w(lx + my ) + w2 }
a
b
cn
2
⎛ 1
⎛ 1
2 wm
l ⎞ 2 2lm
m 2 ⎞ 2 2 wl
w2
= ⎜ 2 + 2 2 ⎟ x + 2 2 xy + ⎜ 2 + 2 2 ⎟ y − 2 2 x − 2 2 y + 2 2 = 1
cn ⎠
cn
cn ⎠
cn
cn
cn
⎝a
⎝b
を得る。これは、楕円体の断面の外周を xy 平面に投影した方程式で、やはり楕円形状であ
ることがわかる。しかし、楕円の原点は xy 平面の原点には一致しない。まずこの楕円の中
心座標を求める。中心座標を ( x1 , y1 ) とすると、x = x − x1 および y = y − y1 を上式に代入する
ことにより、 x と y の係数は 0 とならなくてはならない。したがって、
⎛ 1
⎛ 1
l2 ⎞
m2 ⎞
2lm
2
+
−
+
−
−
+
+
(
)
(
)(
)
( y − y1 ) 2
x
x
x
x
y
y
1
1
1
⎜ 2
⎜ 2
2 2 ⎟
2 2
2 2 ⎟
a
c
n
c
n
b
c
n
⎝
⎠
⎝
⎠
2
2 wl
2 wm
w
− 2 2 ( x − x1 ) − 2 2 ( y − y1 ) + 2 2 = 1
cn
cn
cn
より、
5
⎛ 1
l2 ⎞
2lm
2 wl
−2 ⎜ 2 + 2 2 ⎟ x1 − 2 2 y1 − 2 2 = 0
cn ⎠
cn
cn
⎝a
⎛ 1
m2 ⎞
2lm
2 wm
−2 ⎜ 2 + 2 2 ⎟ y1 − 2 2 x1 − 2 2 = 0
cn ⎠
cn
cn
⎝b
⎛ 1
l2
+
⎜ a 2 c2 n2
⎜
lm
⎜
⎜
⎝ c2n2
⎞
lm
⎛ wl ⎞
− 2 2⎟
⎟
2 2
⎜
⎛ x1 ⎞
cn
⎟⎜ ⎟ = ⎜ c n ⎟
2
1
m ⎟ ⎝ y1 ⎠ ⎜ wm ⎟
+
⎜− 2 2 ⎟
⎟
⎝ cn ⎠
b2 c 2 n 2 ⎠
であり、 ( x1 , y1 ) は、
wl
2
w
x1 = 2 2 b2 c 2n 2 2 = − a 2 l 2 2
2 2
a l +b m +c n
a l + b m + c2n2
a 2b2 c 2 n 2
wm
− 2 2 2
w
y1 = 2 2 a2 c 2n 2 2 = −b2 m 2 2
2 2
a l +b m +c n
a l + b m + c2n2
a 2 b2 c 2 n 2
−
2 2
にて与えられる。
ここで、
l2
lm
1
+
2
2
2 2
⎛ 1
l2 ⎞ ⎛ 1
m 2 ⎞ ⎛ lm ⎞
a 2 l 2 + b2 m 2 + c 2 n 2
a
cn
c2n2
=
+
+
−
=
⎜ a 2 n 2 c 2 ⎟ ⎜ b2 n 2 c 2 ⎟ ⎜ n 2 c 2 ⎟
a 2 b2 c 2 n 2
lm
m2
1
⎠
⎝
⎠⎝
⎠ ⎝
+
c2 n2
b2 c 2 n 2
wl
lm
− 2 2
m 2 ⎞ lm wm
wl
cn
c2n2
⎛ wl ⎞ ⎛ 1
=
−
+
+ 2 2 2 2 =− 2 2 2
⎜ 2 2 ⎟⎜ 2
2 2 ⎟
2
cn ⎠ cn cn
bcn
wm 1
m
⎝ c n ⎠⎝ b
− 2 2
+ 2 2
2
cn
b
cn
1
l2
+
a 2 c2n2
lm
c2n2
wl
2
c 2 n 2 = − ⎛ 1 + l ⎞ ⎛ wm ⎞ + wl lm = − wm
⎜ a 2 c2n2 ⎟ ⎜ c2n2 ⎟ c2n2 c2 n2
a 2 c2n2
wm
⎠
⎝
⎠⎝
− 2 2
cn
−
6
⎛ 1
l2 ⎞ ⎛ 1
m 2 ⎞ ⎛ lm ⎞ ⎛ n 2 c 2 + a 2 l 2 ⎞ ⎛ n 2 c 2 + b2 m 2 ⎞ l 2 m 2
+
+
⎟ =⎜
⎜ 2
⎟⎜
⎟−⎜
⎟⎜
⎟−
n 2 c 2 ⎠ ⎝ b2 n 2 c 2 ⎠ ⎝ n 2 c 2 ⎠ ⎝ a 2 c 2 n 2 ⎠ ⎝ b2 c 2 n 2 ⎠ n 4 c 4
⎝a
( c 2 n 2 + a 2 l 2 )( c 2 n 2 + b2 m 2 ) − a 2 b2 l 2 m 2 c 4 n 4 + ( a 2 l 2 + b2 m 2 )c 2 n 2 + a 2 b2 l 2 m 2 − a 2 b2 l 2 m 2
=
=
a 2 b2 c 4 n 4
a 2 b2 c 4 n 4
a 2 l 2 + b2 m 2 + c 2 n 2
=
a 2 b2 c 2 n 2
2
m 2 ⎞ lm wm
wl (n 2 c 2 + b2 m 2 ) lm 2 w
wl
⎛ wl ⎞ ⎛ 1
−⎜ 2 2 ⎟⎜ 2 + 2 2 ⎟ + 2 2 2 2 = −
+ 4 4 =− 2 2 2
2 4 4
cn ⎠ cn cn
bcn
cn
bcn
⎝ c n ⎠⎝ b
⎛ 1
l 2 ⎞ ⎛ wm ⎞ wl lm
n 2 c 2 + a 2 l 2 ml 2 w
wm
− ⎜ 2 + 2 2 ⎟ ⎜ 2 2 ⎟ + 2 2 2 2 = − wm
+ 4 4 =− 2 2 2
2 4 4
c n ⎠⎝ c n ⎠ c n c n
a cn
cn
a cn
⎝a
である。
また定数項は、
⎛ 1
⎛ 1
2 wm
l 2 ⎞ 2 2lm
m 2 ⎞ 2 2 wl
w2
x
x
y
y
x
y
+
+
+
+
+
+
+
⎜ a 2 c 2 n 2 ⎟ 1 c 2 n 2 1 1 ⎜ b2 c 2 n 2 ⎟ 1 c 2 n 2 1 c 2 n 2 1 c 2 n 2
⎝
⎠
⎝
⎠
lm
wl
lm
wm
w2
2lm
2 wl
2 wm
= − 2 2 x1 y1 − 2 2 x1 + 2 2 x1 y1 − 2 2 x1 y1 − 2 2 y1 + 2 2 x1 + 2 2 y1 + 2 2
cn
cn
cn
cn
cn
cn
cn
cn
2
wl
wm
w
= 2 2 x1 + 2 2 y1 + 2 2
cn
cn
cn
1
= 2 2 ( wlx1 + wmy1 + w2 )
cn
1 ⎛
w
w
⎞
= 2 2 ⎜ − wla 2 l 2 2
− wmb2 m 2 2
+ w2 ⎟
2 2
2 2
2 2
2 2
cn ⎝
a l +b m +c n
a l +b m +c n
⎠
w2 ⎛ −a 2 l 2 − b2 m 2 + a 2 l 2 + b2 m 2 + c 2 n 2 ⎞
= 2 2⎜
⎟
cn ⎝
a 2 l 2 + b2 m 2 + c 2 n 2
⎠
2
w
= 2 2
2 2
a l + b m + c2n2
と変形できる。ここで、
7
⎛ 1
l2 ⎞
lm
wl
− ⎜ 2 + 2 2 ⎟ x1 − 2 2 y1 − 2 2 = 0
cn ⎠
cn
cn
⎝a
⎛ 1
l2 ⎞
lm
wl
⎜ 2 + 2 2 ⎟ x1 = − 2 2 y1 − 2 2
cn ⎠
cn
cn
⎝a
⎛ 1
l2 ⎞ 2
lm
wl
+
x = − 2 2 x1 y1 − 2 2 x1
⎜ 2
2 2 ⎟ 1
cn ⎠
cn
cn
⎝a
⎛ 1
m2 ⎞
lm
wm
− ⎜ 2 + 2 2 ⎟ y1 − 2 2 x1 − 2 2 = 0
cn ⎠
cn
cn
⎝b
⎛ 1
m2 ⎞
lm
wm
⎜ 2 + 2 2 ⎟ y1 = − 2 2 x1 − 2 2
cn ⎠
cn
cn
⎝b
⎛ 1
m2 ⎞ 2
lm
wm
+
y = − 2 2 x1 y1 − 2 2 y1
⎜ 2
2 2 ⎟ 1
cn
cn
cn ⎠
⎝b
を用いた。
以上から、原点を中心に持つ楕円の式は、
⎛ 1
⎛ 1
2lm
l2 ⎞
m2 ⎞
2
2
(
)
(
)(
)
x
x
x
x
y
y
+
−
+
−
−
+
+
1
1
1
⎜ a 2 c2n2 ⎟
⎜ b2 c 2 n 2 ⎟ ( y − y1 )
2 2
c
n
⎝
⎠
⎝
⎠
2
2 wl
2 wm
w
− 2 2 ( x − x1 ) − 2 2 ( y − y1 ) + 2 2 = 1
cn
cn
cn
2
⎛ 1
⎛ 1
l ⎞ 2 2lm
m2 ⎞ 2
w2
x
xy
y
+
+
+
+
+
=1
⎜ 2
⎟
⎜ 2
⎟
c2n2 ⎠
c2n2
c2n2 ⎠
a 2 l 2 + b2 m 2 + c 2 n 2
⎝a
⎝b
⎛ 1
⎛ 1
m 2 ⎞ 2 a 2 l 2 + b2 m 2 + c 2 n 2 − w2
l 2 ⎞ 2 2lm
⎜ 2 + 2 2 ⎟ x + 2 2 xy + ⎜ b2 + c 2 n 2 ⎟ y = a 2 l 2 + b2 m 2 + c 2 n 2
cn ⎠
cn
⎝
⎠
⎝a
⎛ 1
⎛ 1
2lm
l2 ⎞
m2 ⎞
t ⎜ 2 + 2 2 ⎟ x 2 + t 2 2 xy + t ⎜ 2 + 2 2 ⎟ y 2 = 1
cn ⎠
cn
cn ⎠
⎝a
⎝b
にて与えられる。ここで、
t=
a 2 l 2 + b2 m 2 + c 2 n 2
a 2 l 2 + b 2 m 2 + c 2 n 2 − w2
である。したがって、この楕円の面積を S ' とすると、
⎛ 1
l2 ⎞ ⎛ 1
m2 ⎞
a 2 l 2 + b2 m 2 + c 2 n 2 2
⎛ lm ⎞
t ⎜ 2 + 2 2 ⎟ t ⎜ 2 + 2 2 ⎟ − t2 ⎜ 2 2 ⎟ =
t
n c ⎠ ⎝b
nc ⎠
a 2 b2 c 2 n 2
⎝n c ⎠
⎝a
2
S'=
π
a 2 l 2 + b2 m 2 + c 2 n 2 2
t
a 2 b2 c 2 n 2
=
π abc n
t a 2 l 2 + b2 m 2 + c 2 n 2
8
にて求められる。ところで、平面 lx + my + nz = 0 と xy 平面のなす角の余弦が n であるので、
求める断面積は、面積は、
S n = S'=
π abc n
t a l + b2 m 2 + c 2 n 2
π abc
π abc( a 2 l 2 + b2 m 2 + c 2 n 2 − w2 )
∴ S=
=
( a 2 l 2 + b2 m 2 + c 2 n 2 )3/ 2
t a 2 l 2 + b2 m 2 + c 2 n 2
2 2
と計算される。
ところで方向余弦は、角度 (θ , ϕ ) を用いて、
l = sin θ cos ϕ
m = sin θ sin ϕ
n = cos θ
にて表現でき、さらに楕円体において、
a=a
b = aq
c = ap
と置くとともに、
K (θ , ϕ ) = sin 2 θ cos2 ϕ + q 2 sin 2 θ sin 2 ϕ + p 2 cos2 θ
を定義すると、
a 2 l 2 + b2 m 2 + c 2 n 2
= a 2l 2 + a 2 q2 m2 + a 2 p 2 n2
= a 2 sin 2 θ cos2 ϕ + a 2 q 2 sin 2 θ sin 2 ϕ + a 2 p 2 cos2 θ
= a 2 (sin 2 θ cos2 ϕ + q 2 sin 2 θ sin 2 ϕ + p 2 cos2 θ )
= a 2 K 2 (θ , ϕ )
であるので、
S=
π abc( a 2 l 2 + b2 m 2 + c 2 n 2 − w2 )
( a 2 l 2 + b 2 m 2 + c 2 n 2 )3/ 2
π a 3 pq{a 2 K 2 (θ , ϕ ) − w2 } π pq{a 2 K 2 (θ , ϕ ) − w2 }
=
=
{a 2 K 2 (θ , ϕ )}3/ 2
K 3 (θ , ϕ )
となる。
６．楕円体状粒子の形状関数の導出
楕円体の３軸を x, y , z 軸とし、楕円体表面と軸との交点を a, aq, ap と置く。実空間におけ
9
る楕円体の関数式は、
x2
y2
z2
+
+
=1
a 2 a 2 q2 a 2 p2
および、極座標表示では、
x = a sin θ cos ϕ
y = aq sin θ sin ϕ
z = ap cos θ
となる。θ を h 方向と z 軸のなす角度と置き、 h の xy 面内の方位角を ϕ とする。 h 方向上で
原点から距離 w の点を通り、 h 方向に垂直な面が楕円体と交わる曲線は楕円となる。ここ
で次の関数 K (θ , ϕ ) を定義する。
K (θ , ϕ ) = sin 2 θ cos2 ϕ + q 2 sin 2 θ sin 2 ϕ + p 2 cos2 θ
これより、切り取られた楕円の面積 A は、
π qp( w02 − w2 )
K 3 (θ , ϕ )
w0 ≡ aK (θ , ϕ )
A≡
にて与えられる。 w0 は w の最大値である（ w > w0 の時、平面は楕円体と交わらない）。こ
の解析のキーポイントは、A が w の関数になる点にある。したがって、この A が w の関数
になる条件が満足される場合には、回転楕円体以外の他の形状に関しても、以下の解析は
同様となる。
（ θ , ϕ は h によって決まる点にも注意）
また、以上の式から、
K (θ , ϕ ) = sin 2 θ cos2 ϕ + q 2 sin 2 θ sin 2 ϕ + p 2 cos2 θ
K 2 (θ , ϕ ) = sin 2 θ cos2 ϕ + q 2 sin 2 θ sin 2 ϕ + p 2 cos2 θ
a 2 K 2 (θ , ϕ ) = a 2 sin 2 θ cos2 ϕ + a 2 q 2 sin 2 θ sin 2 ϕ + a 2 p 2 cos2 θ
a 2 K 2 (θ , ϕ ) = x 2 + y 2 + z 2
w02 = a 2 K 2 (θ , ϕ ) = x 2 + y 2 + z 2
の関係にあることがわかる。
以上から、形状関数の計算は、 −v0 から v0 まで、切り取られた楕円の面積 A を v に沿って
積分すればよい。つまり、
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θ ( h) = ∫ c(r ) exp(ihr )dr
r
=∫
r'
=∫
r'
=∫
w0
0
0
=∫
∫
∫
w0
− w0
w0
− w0
− w0
w0
− w0
exp{ih( w + r')}dwdr'
exp(ihw)dwdr'
exp(ihw)
{∫ dr'} dw
r'
0
exp(ihw) Adw
となる。ここで、 w は h 方向で長さが v のベクトルで、 r' は切り取られた楕円内の位置ベ
クトルである。また h ⋅ w = hw, h ⋅ r' = 0 を用いた。これより、
θ ( h) = ∫
w0
− w0
exp(ihw) Adw =
π qp w
( w02 − w2 ) cos( hw)dw
K 3 (θ ) ∫− w
0
0
と計算される。さらに、
2
0
w
∫
w0
0
w02
cos( hw)dw =
sin( hw0 )
h
および
∫
w0
0
w02
2w
2
sin( hw0 ) + 20 cos( hw0 ) − 3 sin( hw0 )
w cos( hw)dw =
h
h
h
2
より、
∫
w0
− w0
w0
( w02 − w2 ) cos( hw)dw = 2 ∫ ( w02 − w2 ) cos( hw)dw
0
⎧ w2
⎡ w2
⎤⎫
2w
2
= 2 ⎨ 0 sin( hw0 ) − ⎢ 0 sin( hw0 ) + 20 cos( hw0 ) − 3 sin( hw0 ) ⎥ ⎬
h
h
⎣ h
⎦⎭
⎩ h
w
⎧1
⎫
= 4 ⎨ 3 sin( hw0 ) − 20 cos( hw0 ) ⎬
h
⎩h
⎭
=
4 [sin( w0 h ) − w0 h cos( w0 h ) ]
h3
であるので、 θ ( h) は次式にて与えられる。
θ ( h) =
4π qp [sin( w0 h ) − w0 h cos( w0 h ) ]
qp [sin( w0 h ) − w0 h cos( w0 h ) ]
= 3V 3
3
3
( w0 h )3
K (θ , ϕ )
h
K (θ , ϕ )
ここで、 V =
4 3
π w0 である。なお回転楕円体の場合には
3
11
q =1
K (θ , p ) = sin 2 θ cos2 ϕ + sin 2 θ sin 2 ϕ + p 2 cos2 θ = sin 2 θ + p 2 cos2 θ
w0 ≡ aK (θ , p )
θ ( h) = 3V
p
[sin( w0 h ) − w0 h cos( w0 h )]
K (θ , p )
( w0 h )3
3
球の場合には
p = q =1
K =1
w0 = a
θ ( h) = 3V
[sin(a0 h ) − a0 h cos(a0 h )]
( a0 h )3
となる。
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