109 Chapter 5 カルタン構造方程式 座標基底は ea = ∂/∂xa によって与えられる基底ベクトルである．デカル ト座標を除くと座標基底は一般に正規直交ではない．座標基底を使って計算 することが可能であるにもかかわらず，それはしばしば問題を解く最良また は最も易しい方法ではない．代替となる方法が存在し，それは正規直交基底 または “非ホロノミックな” 基底を構成することである．物理的にはこれは 観測者の局所系で考えるということを意味する．結果を大域的座標で表すた めに，計量を見ることで簡単に構成することができる座標変換を使う． 本章ではこの概念を導入することから始め，それからそれら 2 つの間をど のように変換するのかを示す．一旦この概念が頭に入ったら，与えられた計 量に関するリーマンテンソルを求めるために使うことができる新しい方程式 の組を発展させることにする．この手続きは最初やや気が重く感じられるこ とだろう．しかしそれは実際にはここまで議論してきた方法を使うよりはる かに素晴らしいものである． ホロノミック (座標) 基底 心に浮かぶ最も自然な基底の選択は，座標微分によって基底ベクトルを直 接定義することである．与えられた座標 xa に対して，基底ベクトルと基底 110 第 5 章 カルタン構造方程式 1 形式を次のように定義する： e a = ∂a = ∂ ∂xa かつ ω a = dxa (5.1) 基底の組が座標微分に関するものだけで定義されるとき，それはホロノ ミックな基底または座標基底と呼ばれる．与えられたベクトル V はこの基 底で次のように展開される： V = V a ea 例として，球座標を考えよう： ds2 = dr2 + r2 dθ2 + r2 sin2 θdϕ2 座標基底ベクトルは次のようになる： e r = ∂r = ∂ , ∂r e θ = ∂θ = ∂ , ∂θ e ϕ = ∂ϕ = ∂ ∂ϕ ここで注意すべき重要なことは，これらの基底ベクトルの全てが単位長さを 持つ訳ではないということである．付け加えると，それらは同じ次元を持た ない*1 ．これらの考察は，下で試す異なる基底を導く． 座標基底において，基底ベクトルは次の関係式を満たす： ea · eb = gab (5.2) さらに言えば次のように書くことができる： v · w = gab v a wb (5.3) 上において，座標基底に伴う問題について簡単に触れる．もし座標基底を選 ぶなら，それは正規直交ではないかもしれない．このことは (5.2) を使って 球座標の場合について確認することができる．この線素を見てみると， ds2 = dr2 + r2 dθ2 + r2 sin2 θdϕ2 *1 訳注：r は長さの次元を持つのに対し，θ, ϕ は角度という無次元量である． 5.0 非ホロノミック基底 111 より，計量の成分は，grr = 1，gθθ = r 2 ，gϕϕ = r2 sin2 θ である．さて，い まから基底ベクトルの長さを計算してみよう．(5.2) を使うと， √ grr = 1 √ 2 eθ · eθ = r ⇒ |eθ | = gθθ = r √ eϕ · eϕ = r2 sin2 θ ⇒ |eϕ | = gϕϕ = r sin θ er · er = 1 ⇒ |er | = が得られる．これらのうちの 2 つが単位長さを持たないことより，この座標 に関する微分によって定義されたこの基底の組は，正規直交ではない．正規 直交であるような基底を選ぶために，基底ベクトルの内積が g(ea , eb ) = ηab を満たすようにそれを構成する．これは実際簡単に行うことができる．そし てのちに見るように，それは相対論の全機構をはるかに容易に扱えるように する．このようにして定義された基底は非ホロノミックまたは非座標基底と 呼ばれる． 非ホロノミック基底 非ホロノミック基底は選んだ計量に関して正規直交であるような基底ベク トルである．この型の基底の別の名前は非座標基底であり，正規直交テド ラッド (orthonormal tetrad) という用語 (以下詳細を述べる) は今後し ばしば使う．この型の基底は大学一年生の物理学から慣れ親しんでいる基本 原理に基づく．各々が単位長さを持つ直交ベクトルの組がこの基底のために 選ばれる．ここでは，正規直交基底を表すのに，添字の上に “ハット” を付 けることにする．つまり，基底ベクトルや基底 1 形式は eâ , ω â と書かれる． 正規直交基底は物理的に興味深い．またそれは，単なる数学を超えて使用 される．そのような基底は物理的観測者によって使われ，座標基底が大域的 112 第 5 章 カルタン構造方程式 時空を表すのに対し，局所ローレンツ系に関する基底を表現する*2 ．本章で 読み進めて行くように，ここではその 2 つの表現の間の変換を学ぶ．任意の ベクトル V は，座標基底，または非座標基底に関して展開できる．基底ベ クトルに関する任意の展開と同様に，同じベクトルの単に異なる表現が存在 する： V = V a ea = V â eâ この基底が局所ローレンツ系の観測者を表すことより，その系で平坦な空間 の計量を使って添字の上げ下げができる．いつも通り，計量の符号はその成 分から読み取ることができる．例えば，一般形 ds2 = dt2 − dx⃗ 2 を持つ計量 に対しては，ηâb̂ = diag(1, −1, −1, −1) である．非ホロノミック基底の基底 ベクトルは次を満足する： eâ · eb̂ = ηâb̂ (5.4) 要するに，非ホロノミック基底を生成する基本的な考え方は，線素の各微分 係数によって大きさの尺度を変えることである．これを例で示してみよう． 球座標の場合，非座標基底は次によって与えられる： er̂ = ∂r , eθ̂ = 1 ∂θ , r eϕ̂ = 1 ∂ϕ r sin θ 与えられた基底がホロノミックかどうかを決定する簡単な方法がその基 底の交換係数を計算することである．次節で球座標の場合についてこれを行 おう． 交換係数 交換子は次によって定義される： [A, B] = AB − BA *2 訳注：局所ローレンツ系は局所的に質点が自由落下する系とそれに対して等速直線運動 する系であり，局所的に平坦なミンコフスキー時空になっている．ミンコフスキー時空 の基底は正規直交であるため，局所ローレンツ系では，基底が正規直交になり，またそ の逆も成り立つ． 5.0 交換係数 113 微積分より，偏微分は交換する．関数 f (x, y) を考えよう．次が成り立つ： ∂2 ∂2f ∂2 ∂2f = ⇒ − =0 ∂x∂y ∂y∂x ∂x∂y ∂y∂x これを関数 f (x, y) に作用する微分の交換子によって書き換えてみよう： ∂2f ∂2 − = ∂x∂y ∂y∂x ( ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂x ∂y ∂y ∂x [ これより， ) [ f= ] ∂ ∂ , f ∂x ∂y ] ∂ ∂ , =0 ∂x ∂y と書くことができる．球座標の場合のホロノミック基底を見てみると， e r = ∂r = ∂ , ∂r e θ = ∂θ = ∂ , ∂θ e ϕ = ∂ϕ = ∂ ∂ϕ が得られる．上の議論より，次が明らかである： [er , eθ ] = [er , eϕ ] = [eθ , eϕ ] = 0 さて今から，球座標に対して求めた非ホロノミック基底を考えよう．交換子 [er̂ , eθ̂ ] を計算しよう．読者はまだこの計算が初めてであろうから，テスト 関数を補助としてこの計算を進めよう． [ ] ( ) 1 1 1 [er̂ , eθ̂ ]f = ∂r , ∂θ f = ∂r ∂θ f − ∂θ (∂r f ) r r r 1 1 1 = − 2 ∂θ f + ∂θ (∂r f ) − ∂θ (∂r f ) r r r 1 = − 2 ∂θ f r 非ホロノミック基底ベクトルの定義を使うことにより， 1 ∂θ f r2 1 = − eθ̂ f r [er̂ , eθ̂ ]f = − 114 第 5 章 カルタン構造方程式 が最終的に得られる．テスト関数は単に計算の便宜のために付けただけなの で，これを落とすことができ，すると 1 [er̂ , eθ̂ ] = − eθ̂ r と書くことができる．この例は非ホロノミック基底の交換子は常に消えるわ けではないことを表している．これは次のように形式化できる： [ei , ej ] = Cij k ek (5.5) Cij k たちは交換係数と呼ばれる．交換係数は (定義より) 最初の 2 つの添字 に関して反対称である；つまり， Cij k = −Cji k もし，次の条件が満たされるとき，その基底の組はホロノミックである： Cij k = 0 ∀i, j, k 次節で述べるように，基底 1 形式を使って交換係数を計算することもできる． 交換係数と基底 1 形式 基底 1 形式を試すことによって基底がホロノミックかどうか決定すること もできる．1 形式 σ は座標基底 1 形式の組 ω a に関して， σ = σa ω a = σa dxa のように展開できる．ベクトルを異なる基底で展開できるのと同様に，1 形 式もまた非ホロノミック基底に関して展開できる．再び，“ハット” を使っ て非ホロノミック基底を扱っていることを表すことにすると， σ = σâ ω â と書くことができる．両方の展開が同じ 1 形式を表す．与えられた，特定の 基底 1 形式に対して，それがホロノミックかどうかを決定することが望まれ 5.0 交換係数と基底 1 形式 115 るかも知れない．再びここでは交換係数を計算することによってこれを行う が，ここでは異なる方法を使う． 与えられた基底 1 形式の組に対して，交換係数は dω a を計算することに よって求めることができる．この量は交換係数と次のように関係している： 1 dω a = − Cbca ω b ∧ ω c 2 (5.6) さて，座標基底に対して，基底 1 形式は次のように与えられるのであった： ω a = dxa 前章では，ウェッジ積の反対称性が任意の p 形式 α に対して次の結果を 導くことを学んだ： d(dα) = 0 これは，座標基底に対しては，dω a = 0 であることを意味する．球座標に 対しては，非ホロノミック基底を選ぶと，基底 1 形式は次によって与えら れる： ω r̂ = dr, ω θ̂ = rdθ, ω ϕ̂ = r sin θdϕ (5.7) (5.6) を使うと，この基底の交換係数を計算することができる．例えば， dω ϕ̂ = d(r sin θdϕ) = sin θdr ∧ dϕ + r cos θdθ ∧ dϕ であるので，(5.7) 式で与えられる定義より，この表式を基底 1 形式で書き 直すことができる．まず，最初の項は， sin θdr ∧ dϕ = dr ∧ sin θdϕ = 1 1 dr ∧ r sin θdϕ = ω r̂ ∧ ω ϕ̂ r r であることに注意しよう．次の項に対しては， cos θ cos θ (rdθ) ∧ rdϕ = (rdθ) ∧ r sin θdϕ r r sin θ cot θ θ̂ = ω ∧ ω ϕ̂ r r cos θdθ ∧ dϕ = 116 第 5 章 カルタン構造方程式 と求まる．これらの結果を一緒にすると，次が得られる： dω ϕ̂ = cot θ θ̂ 1 r̂ ω ∧ ω ϕ̂ + ω ∧ ω ϕ̂ r r ウェッジ積の反対称性は，この表式を次の形に書くことができることを意味 する： 1 cot θ θ̂ dω ϕ̂ = ω r̂ ∧ ω ϕ̂ + ω ∧ ω ϕ̂ r( r ) ) ( 1 cot θ θ̂ cot θ ϕ̂ 1 1 r̂ 1 ω ∧ ω ϕ̂ − ω ϕ̂ ∧ ω r̂ + ω ∧ ω ϕ̂ − ω ∧ ω θ̂ = 2 r r 2 r r すると，(5.6) と比較することにより，交換係数を読み取ることができる． 結局交換係数は， Cr̂ϕ̂ϕ̂ = −Cϕ̂r̂ϕ̂ = − 1 r かつ Cθ̂ϕ̂ϕ̂ = −Cϕ̂θ̂ϕ̂ = − cot θ r と求まる． ここで，もしすべての交換係数が消えるなら，その基底はホロノミックで あることを思いだそう．本章の最初で触れた通り，正規直交基底で計算する ことはしばしば便利である．しかし，その一方で，結果を座標基底で表すこ とが必要になるかもしれない．これから今，それら 2 つの間を変換するのに 使うテクニックを探ってゆこう． 基底間の変換 非座標基底ベクトルの座標成分を使うことによって座標基底ベクトルと非 座標基底ベクトルの間の変換法則を導き出すことができる．これらの成分は (eâ )b によって表され，テトラッド (tetrad) として知られる．これらの成 分の意味は任意のベクトルについて求められるものと一緒である．言い換え れば，それらを使って非座標基底ベクトルを座標基底ベクトルに関して展開 することができる： eâ = (eâ )b eb (5.8) 5.0 基底間の変換 117 例えば，球座標に関する非座標基底を次のように座標基底ベクトルに関し て展開することができる： er̂ = (er̂ )b eb = (er̂ )r er + (er̂ )θ eθ + (er̂ )ϕ eϕ eθ̂ = (eθ̂ )b eb = (eθ̂ )r er + (eθ̂ )θ eθ + (eθ̂ )ϕ eϕ eϕ̂ = (eϕ̂ )b eb = (eϕ̂ )r er + (eϕ̂ )θ eθ + (eϕ̂ )ϕ eϕ 以前述べた通り，非座標基底ベクトルは， er̂ = ∂r , eθ̂ = 1 ∂θ , r eϕ̂ = 1 ∂ϕ r sin θ である．これと上の式の添字を比較すると， (er̂ )r = 1 1 (eθ̂ )θ = r (eϕ̂ )ϕ = 1 r sin θ が得られ，残りの成分はすべて 0 である．成分 (eâ )b は Λâb で表される大域 的座標と観測者の局所ローレンツ系の間の変換を表す変換行列を構成するの に使うことができる．球座標の場合， Λâb 1 = 0 0 0 0 0 1 r 0 1 r sin θ となる．この行列による変換関係を表すと， eâ = Λâb eb となる．行列 Λâb は逆行列を持つ．逆行列の成分は非座標基底に関する座標 基底ベクトルの展開である逆の状況を表す．この展開は次のように書くこと ができる： ea = (ea )b̂ eb̂ 118 第 5 章 カルタン構造方程式 成分 (ea )b̂ を使って (Λ−1 )bâ で表される逆行列を構成することができる．す ると， (ea )b̂ (eb̂ )c = δac かつ (eâ )b (eb )ĉ = δâĉ が成り立つ*3 ．もっと言えば， (ea )ĉ (eb )ĉ = ηab が成り立つ．球座標の場合，逆行列は次によって与えられる： (Λ−1 )bâ 1 0 = 0 r 0 0 0 0 r sin θ 基底 1 形式に対する変換関係を導くことも可能である．再び，座標基底を 使っているときの基底 1 形式を思いだそう．その場合，それらは完全微分で ある： ω a = dxa 非座標基底は座標基底と次のようにして関係している： ω â = ω âb dxb 基底一形式の場合，変換行列の成分はラベル ω âb によって与えられる．球 座標の場合に試してみるために，ある単一の項を考えてみる．すなわち， ω ϕ̂ = ω ϕ̂b dxb = ω ϕ̂r dr + ω ϕ̂θ dθ + ω ϕ̂ϕ dϕ = r sin θdϕ である．これより，0 でない成分は ω ϕ̂ϕ = r sin θ *3 c ，e b 訳注：ea = (ea )b̂ eb̂ = (ea )b̂ (eb̂ )c ec より，(ea )b̂ (eb̂ )c = δa â = (eâ ) eb = b ĉ b ĉ ĉ (eâ ) (eb ) eĉ より，(eâ ) (eb ) = δâ が得られる． 5.0 表記法上の注意 119 によって与えられる成分のみであると結論付けられる．今回 Λâb で表される 変換行列が Λâb 1 0 = 0 r 0 0 0 0 r sin θ によって与えられることを示すのは簡単なことである．これは，単に基底ベ クトルの変換を求めるときに使った行列の逆行列である．座標基底 1 形式を 非座標基底 1 形式に関して表すためには，この行列の逆行列を使えばよい． すなわち， dxa = (Λ−1 )ab̂ ω b̂ である．球座標基底の場合この行列は次によって与えられる： (Λ−1 )ab̂ 1 = 0 0 0 1 r 0 0 0 1 r sin θ これらの変換行列は基底ベクトルとともに使われるそれらと次のように関係 している： Λâb = (Λ−1 )bâ かつ Λâb = (Λ−1 )bâ 表記法上の注意 座標の組 [x0 , x1 , x2 , x3 ] を考えよう．今考えている基底を座標基底と仮定 する．すなわち，ea = ∂/∂xa とする．この場合，計量または線素は次のよ うに書かれる： g = ds2 = gab dxa ⊗ dxb 考えているのが正規直交テトラッドのとき，計量は基底 1 形式に関して書か れる．言い換えると， ds2 = g = ηâb̂ ω â ⊗ ω b̂ 120 第 5 章 カルタン構造方程式 と書かれる．多くの場合，内積 (ここでは ηâb̂ によって表される) は対角的 である．ηâb̂ = diag(1, −1, −1, −1) の場合，計量は次のように書かれる： ds2 =g = ω 0̂ ⊗ ω 0̂ − ω 1̂ ⊗ ω 1̂ − ω 2̂ ⊗ ω 2̂ − ω 3̂ ⊗ ω 3̂ ≈(ω 0̂ )2 − (ω 1̂ )2 − (ω 1̂ )2 − (ω 3̂ )2 これは幾つかの特定の例で本書を通してよく使われる．ここでは次に正規直 交基底を使って曲率を計算することに取り掛かろう．この型の計算は時々テ トラッド法という名前で呼ばれる．この計算を遂行するのに使われる方程式 がカルタン構造方程式である． カルタン第 1 構造方程式とリッチ回転係数 曲率を計算する最初の手順は，本章でこれから大枠を展開する方法を使 う．それは，曲率 1 形式とリッチ回転係数を求めることである．この手法の ために使われる表記法は実際以上に数学的に洗練されているように見える． 実際，読者は最後の章で見てきたクリストッフェル記号とリーマンテンソル を求めるために使われる”直接的な”方法よりも，それがかなり退屈ではない ということに気付くだろう． このテクニックの核心は，与えられた基底 1 形式の組 ω â に対して，その 微分 dω â を計算したいということである．これらの量はカルタン第 1 構造 方程式 dω â = −Γâb̂ ∧ ω b̂ (5.9) を満たす．考えているのが非座標基底であることを示すためにハットの付い た添字を使うことに注意しよう．Γâ は曲率 1 形式と呼ばれ，それらは次の b̂ ように基底一形式で書くことができる： Γâb̂ = Γâb̂ĉ ω ĉ ここで新しい量 Γâ b̂ĉ (5.10) を導入した．これは，リッチ回転係数である．それ はクリストッフェル記号と関係している．しかし，実はクリストッフェル記 5.0 カルタン第 1 構造方程式とリッチ回転係数 121 号とは異なる．これは座標基底に変換を適用することによってクリストッ フェル記号を得るために使われる．このことは下で説明する． 曲率 1 形式は計算中便利なある対称関係を満たす．特に， Γâb̂ = −Γb̂â Γ0̂î = Γî 0̂ (5.11) かつ Γî ĵ = −Γĵî (5.12) ここで，i と j は空間成分を表す*4 ．これらの関係がどのように働くか見 るために，局所系の計量を使って添字を上げ下げできることを利用しよう． ηâb̂ = diag(1, −1, −1, −1) のとき，(5.11) を使うと， Γî ĵ = η îî Γîĵ = −Γîĵ = Γĵ î = ηĵ ĵ Γĵî = −Γĵî を得る．これは上手く働く．何故なら ηâb̂ の成分は対角成分だけだから，同 じ添字しか持たないからである．さらには，ここで扱っている添字が空間成 分のみであることより，各 ηij にはマイナス符号が付く．もちろんここで使 われる符号は符号規約による．ηâb̂ = diag(−1, 1, 1, 1) を試して，様子が変 わるのを確かめてみると良い． dω â を計算するとき，次を思い出すのは役に立つ．α と β を 2 つの任意 の形式とする．すると， d(dα) = 0 α ∧ β = −β ∧ α (5.13) が成り立つ．したがって，(具体的にするためだけの理由で仮に r とする と)d(dr) = 0 かつ dr ∧ dr = 0 であることを思いだすだろう． クリストッフェル記号は正規直交基底を座標基底に変換する行列を使って リッチ回転係数から得ることができる．特に，Γabc をクリストッフェル記号 とするとき， *4 ˆ ˆ Γabc = (Λ−1 )adˆΓdêfˆΛêb Λfc (5.14) 訳注：i = j のときは，条件より Γî = −Γî なのだから，常に Γî = 0 である． î î î 122 第 5 章 カルタン構造方程式 が成り立つ．ここで，ただの添字が座標基底が使われていることを表し， ハット付きの添字が正規直交基底が使われていることを表すことを思いだそ ˆ と書くときは正規直交基底でのリッチ回転係数を表す． êfˆ う．本書では Γd 本章で使われるテクニックは接続を計算するために座標を使った方法を使 うよりはるかに退屈ではない．次節では，この方法を推し進め，どのように リーマンテンソルを計算するかを見る．ここで使われる手続きは，(5.9) 式 の両辺を計算し，曲率 1 形式が何であるかという経験に基づく推測 (これは 時々推測的方法 (guess method) と呼ばれる) をするために比較すること である．一度それを行ってしまえば，曲率 1 形式についてより多くのものを 求めることができるかどうかを確認するために (5.12) における対称性を使 用することができる． 例 5.1 次によって与えられるトルマン‐ボンディ‐ド・ジッター計量 (Tolman- Bondi-de Sitter metric) を考えよ： ds2 = dt2 − e−2ψ(t,r) dr2 − R2 (t, r)dθ2 − R2 (t, r) sin2 θdϕ2 (5.15) この計量は，例えば，宇宙定数を伴う球状のダスト (塵) の研究で現れる．こ の計量のリッチ回転係数を求めよ． 解 5.1 まず，計量 (5.15) を確認して基底 1 形式を書き下す必要がある．リッチ 回転係数を求めることが要求されていることより，非座標基底で考えよう． (5.15) を ds2 = (ω t̂ )2 − (ω r̂ )2 − (ω θ̂ )2 − (ω ϕ̂ )2 と書くと，非座標基底 1 形式は， ω t̂ = dt, ω r̂ = e−ψ(t,r) dr, ω θ̂ = R(t, r)dθ, ω ϕ̂ = R(t, r) sin θdϕ (5.16) となる． 5.0 カルタン第 1 構造方程式とリッチ回転係数 123 この先，時おり，時間に関する微分は “ドット”(つまり，df /dt = f˙) で表 し，r に関する微分はプライム (つまり，df /dr = f ′ ) で表すことにする． さて，今から，各基底 1 形式に (5.9) を適用する．最初のものは， dω t̂ = d(dt) = 0 より，あまり情報を与えてくれない．次の 1 形式に移ってみよう．これは次 を与える： dω r̂ = d(e−ψ(t,r) dr) = − ∂ψ −ψ(t,r) ∂ψ −ψ(t,r) e dt ∧ dr − e dr ∧ dr ∂t ∂r ここで，dr ∧ dr = 0 より，これは次のように単純化される： dω r̂ = − ∂ψ −ψ(t,r) e dt ∧ dr ∂t 次の手順は，基底 1 形式に関して導いた表式を書き換えることである．こ の種の計算を行うときには，基底 1 形式に関する座標微分を書くことが有効 である．(5.16) を見るとすぐに， dt = ω t̂ , dr = eψ(t,r) ω r̂ , dθ = 1 1 ω θ̂ , dϕ = ω ϕ̂ R(t, r) R(t, r) sin θ (5.17) であることが分かる．したがって，次を得る： ∂ψ −ψ(t,r) ∂ψ −ψ(t,r) t̂ e dt ∧ dr = − e ω ∧ dr ∂t ∂t ∂ψ −ψ(t,r) t̂ e ω ∧ eψ(t,r) ω r̂ =− ∂t ∂ψ t̂ =− ω ∧ ω r̂ ∂t dω r̂ = − ここでいま (5.13) を使うとこの表式は， dω r̂ = ∂ψ r̂ ω ∧ ω t̂ ∂t (5.18) と書かれる．さて，ここで (5.9) を使って dω r̂ が何であるか書き出してみよ う．すると，次が求まる： dω r̂ = −Γr̂b̂ ∧ ω b̂ = −Γr̂t̂ ∧ ω t̂ − Γr̂r̂ ∧ ω r̂ − Γr̂θ̂ ∧ ω θ̂ − Γr̂ϕ̂ ∧ ω ϕ̂ 124 第 5 章 カルタン構造方程式 この表式を式 (5.18) と比較すると， Γr̂t̂ = − ∂ψ r̂ ω ∂t (5.19) であることが分かる*5 ．次の基底 1 形式に移ると， dω θ̂ =d(R(t, r)dθ) =Ṙdt ∧ dθ + R′ dr ∧ dθ R′ ψ −ψ Ṙ dt ∧ Rdθ + e (e dr) ∧ Rdθ R R R′ ψ r̂ Ṙ = ω t̂ ∧ ω θ̂ + e ω ∧ ω θ̂ R R = が得られる．(5.13) を使って項の順序を入れ替えよう．結果は次のように なる： dω θ̂ = − R′ ψ θ̂ Ṙ θ̂ ω ∧ ω t̂ − e ω ∧ ω r̂ R R (5.9) を使うと， dω θ̂ = − Γθ̂b̂ ∧ ω b̂ = − Γθ̂t̂ ∧ ω t̂ − Γθ̂r̂ ∧ ω r̂ − Γθ̂θ̂ ∧ ω θ̂ − Γθ̂ϕ̂ ∧ ω ϕ̂ を得る．たった今上で求めた結果と比較すると，次を結論付けることがで きる： Γθ̂t̂ = *5 Ṙ θ̂ ω R かつ Γθ̂r̂ = R′ ψ(t,r) θ̂ e ω R (5.20) 訳注：Γr̂r̂ = 0 が対称性 (5.12) より言え，後ろの 2 項は ω t̂ でも ω r̂ でもない項を含む から消えるべきであるのでこのことが言える． 5.0 カルタン第 1 構造方程式とリッチ回転係数 125 最後に ω ϕ̂ に取り組もう．この項は次を与える： dω ϕ̂ =d(R sin θdϕ) =Ṙ sin θdt ∧ dϕ + R′ sin θdr ∧ dϕ + cos θRdθ ∧ dϕ = Ṙ R′ ψ(t,r) −ψ(t,r) dt ∧ R sin θdϕ + e (e dr) ∧ R sin θdϕ R R cos θ + Rdθ ∧ R sin θdϕ R sin θ 基底一形式に関する微分を書き，それから各項の順序を反転させると，次を 得る： R′ ψ(t,r) r̂ Ṙ t̂ cot θ θ̂ ω ∧ ω ϕ̂ + e ω ∧ ω ϕ̂ ω ∧ ω ϕ̂ + R R R R′ ψ(t,r) ϕ̂ cot θ ϕ̂ Ṙ e ω ∧ ω r̂ − ω ∧ ω θ̂ = − ω ϕ̂ ∧ ω t̂ − R R R dω ϕ̂ = (5.9) を使うと次のようになる： dω ϕ̂ = −Γϕ̂t̂ ∧ ω t̂ − Γϕ̂r̂ ∧ ω r̂ − Γϕ̂θ̂ ∧ ω θ̂ − Γϕ̂ϕ̂ ∧ ω ϕ̂ これと上で得た結果を比較すると， Γϕ̂t̂ = Ṙ ϕ̂ ω , R Γϕ̂r̂ = R′ ψ(t,r) ϕ̂ e ω , R Γϕ̂θ̂ = cot θ ϕ̂ ω R (5.21) が結論付けられる．dω t̂ を計算しても何の役立つ情報が得られないことを以 前述べた．それ以外の項に関しては，基本的に “推測的” 方法が使える限り はそれを使い続ける．いまから，(5.12) で示された対称性を使ってそれ以外 の曲率 1 形式を求める．具体的には， Γt̂ r̂ = Γr̂t̂ = − Ṙ θ̂ ω R Ṙ = Γϕ̂t̂ = ω ϕ̂ R Γt̂ θ̂ = Γθ̂t̂ = Γt̂ ϕ̂ ∂ψ r̂ ω ∂t 126 第 5 章 カルタン構造方程式 が成り立つ．さて，空間添字のみに注意を払うと，次が成り立つ： R′ ψ(t,r) θ̂ e ω R R′ = − eψ(t,r) ω ϕ̂ R cot θ ϕ̂ ω =− R Γr̂θ̂ = −Γθ̂r̂ = − Γr̂ϕ̂ = −Γϕ̂r̂ Γθ̂ϕ̂ = −Γϕ̂θ̂ いま，曲率 1 形式を計算したので，(5.10) を使ってリッチ回転係数を求める ことができる．それをここに再度書いてみよう： Γâb̂ = Γâb̂ĉ ω ĉ まず，Γt̂ b̂ を考えることから始めよう．明らかに，Γt̂ t̂ = 0 であり，したがっ てこの項はスキップできる．続けると， Γt̂ r̂ = Γt̂ r̂t̂ ω t̂ + Γt̂ r̂r̂ ω r̂ + Γt̂ r̂θ̂ ω θ̂ + Γt̂ r̂ϕ̂ ω ϕ̂ が成り立つ．上で Γt̂ r̂ = − ∂ψ(t,r) r̂ ∂t ω であることを述べた．これら 2 つの表 式を比較すると，結局， Γt̂ r̂r̂ = − ∂ψ(t, r) ∂t であることが結論付けられる．加えて，Γt̂ r̂t̂ = Γt̂ (5.22) r̂ θ̂ = Γt̂ r̂ϕ̂ = 0 も結論付け ることができる．次の座標に移ると， Γt̂ θ̂ = Γt̂ θ̂ĉ ω ĉ = Γt̂ θ̂t̂ ω t̂ + Γt̂ θ̂r̂ ω r̂ + Γt̂ θ̂θ̂ ω θ̂ + Γt̂ θ̂ϕ̂ ω ϕ̂ が成り立つ．上では，Γt̂ = Γθ̂t̂ = θ̂ Ṙ θ̂ Rω と求まった．したがってゼロでな θ̂ い項は ω を含む項のみであるので， Γt̂ θ̂θ̂ = Ṙ R (5.23) Ṙ R (5.24) であると結論付けられる．同様に， Γt̂ ϕ̂ϕ̂ = 5.0 カルタン第 1 構造方程式とリッチ回転係数 127 と求まる．さて，Γr̂ の形をした項に移ろう．まず最初に， b̂ Γr̂t̂ = Γr̂t̂t̂ ω t̂ + Γr̂t̂r̂ ω r̂ + Γr̂t̂θ̂ ω θ̂ + Γr̂t̂ϕ̂ ω ϕ̂ が成り立つ．いま，(5.19) において，Γr̂t̂ = −ψ̇(t, r)ω r̂ となることを求め た．この 2 つの比較より， Γr̂t̂r̂ = − ∂ψ ∂t が結論付けられる．次に，(5.12) によって消える (i = j と置く)Γr̂r̂ を飛ば すと， Γr̂θ̂ = Γr̂θ̂ĉ ω ĉ = Γr̂θ̂t̂ ω t̂ + Γr̂θ̂r̂ ω r̂ + Γr̂θ̂θ̂ ω θ̂ + Γr̂θ̂ϕ̂ ω ϕ̂ ′ ψ(t,r) θ̂ ω という結果と比較す に進む．以前求めた，Γr̂ = −Γθ̂r̂ = − R Re θ̂ ると， Γr̂θ̂θ̂ = − R′ ψ(t,r) e R が導かれる．最後に， Γr̂ϕ̂ = Γr̂ϕ̂ĉ ω ĉ = Γr̂ϕ̂t̂ ω t̂ + Γr̂ϕ̂r̂ ω r̂ + Γr̂ϕ̂θ̂ ω θ̂ + Γr̂ϕ̂ϕ̂ ω ϕ̂ ′ ψ(t,r) ϕ̂ が成り立つ．以前 Γr̂ = − R ω であることを求めた．この結果を上 Re ϕ̂ と比較すると， Γr̂ϕ̂ϕ̂ = − でなければならない．Γθ̂ 及び Γ b̂ ϕ̂ b̂ R′ ψ(t,r) e R の形をした項に同様の手続きを適用する と，残りのリッチ回転係数が得られる： Γθ̂t̂θ̂ = Γϕ̂t̂ϕ̂ = Ṙ R′ ψ(t,r) ϕ̂ cot θ , Γθ̂r̂θ̂ = Γϕ̂r̂ϕ̂ = e , Γ θ̂ϕ̂ = −Γθ̂ϕ̂ϕ̂ = − R R R こうして，我々はリッチ回転係数の計算を終えた．リッチ回転係数はクリス トッフェル記号を得ることや，のちに見るように曲率を計算するのに使うこ とができる．この時点で，クリストッフェル記号を与えるためにどのように これらの量を座標系に変換するのかを実演することができるようになった． 128 第 5 章 カルタン構造方程式 これは厳密にいえば必要ではないが，望ましいものである．簡単な例を考え よう：ここで紹介する手続きは全ての項で同じように適用できる．ここで必 要となる，式 (5.14) で示された公式を再掲しよう： ˆ ˆ Γabc = (Λ−1 )adˆΓdêfˆΛêb Λfc まず最初に変換行列を構成する必要がある．これは計量の係数をただ読み取 るだけで良いから十分簡単である．前のページを見返さなくてよいようにそ れをここに再掲しよう： ds2 = dt2 − e−2ψ(t,r) dr2 − R2 (t, r)dθ2 − R2 (t, r) sin2 θdϕ2 変換行列の対角成分は単に計量から読み取ることができる．したがって変換 行列は， Λâb 1 0 0 e−ψ(t,r) = 0 0 0 0 であり，その逆行列は， (Λ−1 )ab̂ 0 0 0 R(t, r) sin θ 0 0 R(t, r) 0 1 0 0 eψ(t,r) = 0 0 0 0 0 0 1 R 0 0 0 0 (5.25) (5.26) 1 R sin θ である．この場合，クリストッフェル記号を求めることはこれらの行列が対 角行列であることより，やや簡単である．例として，Γ う．公式を使うと，これは， Γϕθϕ =(Λ−1 )ϕϕ̂ Γϕ̂θ̂ϕ̂ Λθ̂θ Λϕ̂ϕ = ( 1 R sin θ ϕ θϕ を計算してみよ )( ) cot θ − (R)(R sin θ) R = − cot θ となる．この例は，曲率を計算するために必要な最初の手順をどのように遂 行するのかを示し，クリストッフェル記号を得ている．通常，リッチ回転係 数を使った局所系で更に計算を進める．それを行うために使われる手続きは 次節で探る． 5.0 カルタン第 1 構造方程式とリッチ回転係数 129 曲率を計算する 全てのアフィン接続の成分を求めるために座標基底で考えて，リーマンテ ンソルを得るために終わりのない微分を求める計算を続けることは，誰もが 避けたいひどい混乱である．ありがたいことにカルタンによって発展させ られた方法は，より洗練されるが，ただしそれでも大きな退屈な計算は残さ れる． 重力場について学ぶ準備として，曲率と，究極的にはアインシュタインテ ンソルを得るためには，リーマンテンソルとそれから導くことができる量が 必要である．以前我々は， Rabcd = ∂c Γabd − ∂d Γabc + Γebd Γaec − Γebc Γaed であることを学んだ．これは退屈な計算をにじませる気が重い公式である． 完全に狂った人しかこのようなひどい計算を楽しめないだろう．幸運なこと に，カルタンは一旦コツがつかめればやや易しく感じられる，よりコンパク トな方程式で我々を助けてくれた．鍵となるアイデアはリーマンテンソルは クリストッフェル記号からそれらを微分することによって得られるというこ とに気付くことである．前節では，曲率 1 形式の組を計算した．それは，局 所系でそれらの成分としてリッチ回転係数を含んでいた．したがって，曲率 テンソルを得るためにこれらのものを微分することは完全に意味があること である．ここでは形式に適用できる方法でそれを行い，本書で Ωâ によって b̂ 表す曲率 2 形式と呼ばれる新しい量の組を定義する．それらは次によって与 えられる： Ωâb̂ = dΓâb̂ + Γâĉ ∧ Γĉb̂ (5.27) これらの量は次のようにしてリーマンテンソルと関係していることが判明 する： Ωâb̂ = 1 â ˆ R ω ĉ ∧ ω d 2 b̂ĉdˆ (5.28) 130 第 5 章 カルタン構造方程式 さて，この方程式に現れるリーマンテンソルが正規直交基底で表される (添 字の上に “ハット” が付いている) ことに注意しよう．これはもし，座標基 底で考えたければ，座標基底に変換する必要があることを意味する．これは 次の便利な変換公式を使うことによって行うことができる： ˆ Rabcd = (Λ−1 )aê Rêfˆĝĥ Λfb Λĝc Λĥd (5.29) これらの量をどのように使うかを見るために，これらに関する 2，3 の計算 をしてみよう．ここでは，まずとても単純な場合から始め，それからより複 雑なものを考えよう． 例 5.2 恐らく，ゼロでない曲率を持つもっとも単純な計量は単位球面 ds2 = dθ2 + sin2 θdϕ2 であろう．カルタン構造方程式を使ってリッチスカラーを求めよ． 解 5.2 これはとても単純な計量である．(正規直交基底に対する) 基底 1 形式は 次によって与えられる： ω θ̂ = dθ かつ ω ϕ̂ = sin θdϕ 問題として，この計量に対するゼロでないリッチ回転係数が次によって与え られることを示そう： Γϕ̂θ̂ = cot θω ϕ̂ ⇒ Γϕ̂θ̂ϕ̂ = cot θ 5.0 カルタン第 1 構造方程式とリッチ回転係数 131 この場合，(5.27) は，次のようになる： Ωϕ̂θ̂ =dΓϕ̂θ̂ + Γϕ̂ĉ ∧ Γĉθ̂ = dΓϕ̂θ̂ + Γϕ̂θ̂ ∧ Γθ̂θ̂ + Γϕ̂ϕ̂ ∧ Γϕ̂θ̂ ( ) =dΓϕ̂θ̂ = d cot θω ϕ̂ ) ( cos θ sin θdϕ = d(cos θdϕ) =d sin θ ここで，最初の行から次の行への移行には，Γθ̂ = Γ θ̂ ϕ̂ ϕ̂ = 0 を使った．続け ると，次が得られる： Ωϕ̂θ̂ = d(cos θdϕ) = − sin θdθ ∧ dϕ 次の手順は，非ホロノミック基底 1 形式に関する微分に書き換えることであ る．ここでの定義 ω θ̂ = dθ 及び ω ϕ̂ = sin θdϕ を見ると，dϕ = 1 ϕ̂ sin θ ω と書 くことができることが分かるので，次を得る： Ωϕ̂θ̂ = − sin θdθ ∧ dϕ = −ω θ̂ ∧ ω ϕ̂ = ω ϕ̂ ∧ ω θ̂ (5.30) この結果は，(5.28) を経由してリーマンテンソルの成分を得るために使うこ とができる．たった 2 つの次元しか存在しないことより，この方程式はとて も単純になる．というのも，ゼロでない項は â ̸= b̂ である場合の ω â ∧ ω b̂ を 含む項のみであるからである．これは次を与える： 1 ϕ̂ 1 1 ˆ R ω ĉ ∧ ω d = Rϕ̂θ̂θ̂ϕ̂ ω θ̂ ∧ ω ϕ̂ + Rϕ̂θ̂ϕ̂θ̂ ω ϕ̂ ∧ ω θ̂ 2 θ̂ĉdˆ 2 2 ここで，α ∧ β = −β ∧ α を使ってこれを次のように書き換える： ) 1 ( ϕ̂ Ωϕ̂θ̂ = R θ̂θ̂ϕ̂ − Rϕ̂θ̂ϕ̂θ̂ ω θ̂ ∧ ω ϕ̂ 2 これを (5.30) からリーマンテンソルの成分を読み取ることができる形に Ωϕ̂θ̂ = 持っていくためには，リーマンテンソルの対称性を使う必要がある．まず最 初にいくつかの添字を下げる必要がある．計量が ds2 = dθ 2 + sin2 θdϕ2 で あることより，ηâb̂ は，恒等行列以外の何物でもない： ( ηâb̂ = 1 0 0 1 ) 132 第 5 章 カルタン構造方程式 さてここで，リーマンテンソルの対称性を思いだそう： Rabcd = −Rbacd = −Rabdc これらの対称性は局所系にも適用される．そこでは非ホロノミック基底を 使っている．したがって，次のように書くことができる： Rϕ̂θ̂ϕ̂θ̂ = η ϕ̂ϕ̂ Rϕ̂θ̂ϕ̂θ̂ = Rϕ̂θ̂ϕ̂θ̂ = −Rϕ̂θ̂θ̂ϕ̂ = −ηϕ̂ϕ̂ Rϕ̂θ̂θ̂ϕ̂ = −Rϕ̂θ̂θ̂ϕ̂ これは次のように書きかえることを許す： ) 1( ) 1 ( ϕ̂ R θ̂θ̂ϕ̂ − Rϕ̂θ̂ϕ̂θ̂ = Rϕ̂θ̂θ̂ϕ̂ + Rϕ̂θ̂θ̂ϕ̂ = Rϕ̂θ̂θ̂ϕ̂ 2 2 この書き換えの下で， Ωϕ̂θ̂ = Rϕ̂θ̂θ̂ϕ̂ ω θ̂ ∧ ω ϕ̂ が得られる．(5.30) との比較によって， Rϕ̂θ̂θ̂ϕ̂ = −1 が得られる．リーマンテンソルの対称性の別の応用は次を示す： Rϕ̂θ̂ϕ̂θ̂ = Rθ̂ϕ̂θ̂ϕ̂ = +1 Rθ̂θ̂θ̂ϕ̂ = Rθ̂θ̂θ̂ϕ̂ = −Rθ̂θ̂θ̂ϕ̂ , Rθ̂θ̂θ̂ϕ̂ = 0 2 行目は Rabcd = −Rbacd 及び，a = −a ⇒ a = 0 が成り立つことより，言 える．このことは R ϕ̂ θ̂ ϕ̂ϕ̂ についても成り立つ． この時点で，リッチテンソルとリッチスカラーを計算することができるよ うになった．後者の量がスカラーであることより，それは不変量であり，ま た大域的座標で変換する必要がない．以前の議論より， Rθ̂ϕ̂ = Râθ̂âϕ̂ = Rθ̂θ̂θ̂ϕ̂ + Rϕ̂θ̂ϕ̂ϕ̂ = 0 と求まる．別の項は， Rθ̂θ̂ = Râθ̂âθ̂ = Rθ̂θ̂θ̂θ̂ + Rϕ̂θ̂ϕ̂θ̂ = 0 + 1 = 1 Rϕ̂ϕ̂ = Râϕ̂âϕ̂ = Rθ̂ϕ̂θ̂ϕ̂ + Rϕ̂ϕ̂ϕ̂ϕ̂ = 1 + 0 = 1 (5.31) 5.0 カルタン第 1 構造方程式とリッチ回転係数 133 となる．これより，リッチスカラーを計算するのは簡単なことになる： R = η âb̂ Râb̂ = η θ̂θ̂ Rθ̂θ̂ + η ϕ̂ϕ̂ Rϕ̂ϕ̂ = Rθ̂θ̂ + Rϕ̂ϕ̂ = 1 + 1 = 2 リッチスカラーは与えられた幾何学における内部曲率の基本的な特徴づけを 与えるために使うことができる．リッチスカラーの値は局所的にその幾何学 が “どのようになっているか” を教えてくれる．もしリッチスカラーが正な らば，この場合のように，その表面は球面状になっている．もしそれが負な らば，その表面は鞍状になっている．このことは，三角形を描くことによっ て考えることができる．もし，R > 0 ならば，内角の和は 180◦ より大きく なる．その一方で R < 0 ならばそれらの和は 180◦ より小さくなる．これら の観察結果により，“正の曲率” 及び “負の曲率” という呼称が導かれる．さ て，もし R = 0 のときは，その幾何学は平坦であり，三角形の内角の和は丁 度 180◦ になる． 例 5.3 ロバートソン・ウォーカー計量 ds2 = −dt2 + a2 (t) dr2 + a2 (t)r2 dθ2 + a2 (t)r2 sin2 θdϕ2 1 − kr2 は一様で等方な膨張宇宙を記述する．定数 k = −1, 0, 1 はそれぞれ宇宙が開 いている，平坦，閉じているに対応する．テトラッド法を使ってリーマンテ ンソルの成分を求めよ． 解 5.3 計量を見ると，次の正規直交基底 1 形式を定義できることが分かる： ω t̂ = dt, ω r̂ = √ a(t) dr, ω θ̂ = ra(t)dθ, ω ϕ̂ = ra(t) sin θdϕ 1 − kr2 (5.32) 134 第 5 章 カルタン構造方程式 ここから先は，書く手間を省いて a(t) = a と書くことにする．(5.9) を使っ て曲率を計算すると，1 形式は次を与える： dω t̂ =d(dt) = 0 ( ) a ȧdt ∧ dr ȧ r̂ dω =d √ dr = √ = − ω r̂ ∧ ω t̂ 2 2 a 1 − kr 1 − kr dω θ̂ =d(radθ) = rȧdt ∧ dθ + adr ∧ dθ √ a 1 − kr2 ra ȧ t̂ θ̂ dr ∧ dθ = ω ∧ω + √ a 1 − kr2 ra √ ȧ 1 − kr2 r̂ = − ω θ̂ ∧ ω t̂ + ω ∧ ω θ̂ a ra √ ȧ θ̂ 1 − kr2 θ̂ t̂ =− ω ∧ω − ω ∧ ω r̂ a ra dω ϕ̂ =d(ra sin θdϕ) =rȧ sin θdt ∧ dϕ + a sin θdr ∧ dϕ + ra cos θdθ ∧ dϕ √ ȧ ϕ̂ 1 − kr2 ϕ̂ cot θ ϕ̂ t̂ =− ω ∧ω − ω ∧ ω r̂ − ω ∧ ω θ̂ a ra ra (5.9) の右辺を書き出すことによって求められる次の関係式 dω r̂ = − Γr̂t̂ ∧ ω t̂ − Γr̂r̂ ∧ ω r̂ − Γr̂θ̂ ∧ ω θ̂ − Γr̂ϕ̂ ∧ ω ϕ̂ dω θ̂ = − Γθ̂t̂ ∧ ω t̂ − Γθ̂r̂ ∧ ω r̂ − Γθ̂θ̂ ∧ ω θ̂ − Γθ̂ϕ̂ ∧ ω ϕ̂ dω r̂ = − Γϕ̂t̂ ∧ ω t̂ − Γϕ̂r̂ ∧ ω r̂ − Γϕ̂θ̂ ∧ ω θ̂ − Γϕ̂ϕ̂ ∧ ω ϕ̂ を使うと，次の曲率一形式を読み取ることができる： Γr̂ t̂ = Γϕ̂ t̂ = ȧ r̂ ω , a Γθ̂ t̂ = ȧ ϕ̂ ω , a Γϕ̂ r̂ ȧ θ̂ ω , Γθ̂ r̂ = a √ 1 − kr2 ϕ̂ = ω , ra √ 1 − kr2 θ̂ ω ra Γϕ̂ θ̂ = (5.33) cot θ ϕ̂ ω ra 添字の上げ下げは，ηâb̂ を使ってできる．この場合 ηâb̂ = diag(−1, 1, 1, 1) と置かねばならないことを示す計量の形に注意しよう．これが曲率 1 形式と 5.0 カルタン第 1 構造方程式とリッチ回転係数 135 どのように働くのか見てみよう： Γr̂ t̂ = η r̂r̂ Γr̂t̂ = Γr̂t̂ = −Γt̂r̂ = −ηt̂t̂ Γt̂ r̂ = Γt̂ r̂ Γθ̂ r̂ = η θ̂θ̂ Γθ̂r̂ = Γθ̂r̂ = −Γr̂θ̂ = −ηr̂r̂ Γr̂ θ̂ = −Γr̂ θ̂ さて，今から，式 (5.27) を使って曲率 2 形式を計算しよう．ここでは，Ωθ̂ r̂ を丁寧に計算する： Ωθ̂ r̂ = dΓθ̂ r̂ + Γθ̂ ĉ ∧ Γĉ r̂ = dΓθ̂ r̂ + Γθ̂ t̂ ∧ Γt̂ r̂ + Γθ̂ r̂ ∧ Γr̂ r̂ + Γθ̂ θ̂ ∧ Γθ̂ r̂ + Γθ̂ ϕ̂ ∧ Γϕ̂ r̂ = dΓθ̂ r̂ + Γθ̂ t̂ ∧ Γt̂ r̂ + Γθ̂ ϕ̂ ∧ Γϕ̂ r̂ いま，この表式の最初の項に対して， θ̂ Γ r̂ √ √ √ 1 − kr2 θ̂ 1 − kr2 ω = (radθ) = 1 − kr2 dθ = ra ra が成り立つ．したがって， ) (√ kr 1 − kr2 dθ = − √ dr ∧ dθ 1 − kr2 k = − 2 ω r̂ ∧ ω θ̂ a dΓθ̂ r̂ = d が成り立つ．残りの 2 つの項に対しては， ȧ2 ȧ θ̂ ȧ r̂ ω ∧ ω = 2 ω θ̂ ∧ ω r̂ a a a √ cot θ ϕ̂ 1 − kr2 ϕ̂ =− ω ∧ ω =0 ra ra Γθ̂ t̂ ∧ Γt̂ r̂ = Γθ̂ ϕ̂ ∧ Γϕ̂ r̂ を得る．したがって，曲率 2 形式は， Ωθ̂ r̂ = − k r̂ ȧ2 θ̂ θ̂ ω ∧ ω + ω ∧ ω r̂ a2 a2 k θ̂ ȧ2 ω ∧ ω r̂ + 2 ω θ̂ ∧ ω r̂ 2 a a ȧ2 + k θ̂ r̂ = ω ∧ω a2 = (5.34) 136 第 5 章 カルタン構造方程式 となる．(5.28) を使うと，リーマンテンソルの成分を得ることができる．ま ず最初に，ηâb̂ = diag(−1, 1, 1, 1) とともにリーマンテンソルの対称性 Rθ̂ r̂r̂θ̂ = η θ̂θ̂ Rθ̂r̂r̂θ̂ = Rθ̂r̂r̂θ̂ = −Rθ̂r̂θ̂r̂ = −ηθ̂θ̂ Rθ̂ r̂θ̂r̂ = −Rθ̂ r̂θ̂r̂ を使って， Ωθ̂ r̂ = 1 θ̂ 1 R ω θ̂ ∧ ω r̂ + Rθ̂ r̂r̂θ̂ ω r̂ ∧ ω θ̂ 2 r̂θ̂r̂ 2 = 1 1 θ̂ R ω θ̂ ∧ ω r̂ − Rθ̂ r̂r̂θ̂ ω θ̂ ∧ ω r̂ 2 r̂θ̂r̂ 2 = ) ) 1 ( θ̂ 1( R r̂θ̂r̂ − Rθ̂ r̂r̂θ̂ ω θ̂ ∧ω r̂ = Rθ̂ r̂θ̂r̂ + Rr̂θ̂θ̂r̂ ω θ̂ ∧ ω r̂ 2 2 =Rθ̂ r̂θ̂r̂ ω θ̂ ∧ ω r̂ となることに注意しよう．(5.34) と比較すると， Rθ̂ r̂θ̂r̂ = ȧ2 + k a2 という結論が得られる．同様の計算で次が示される (各自確かめよ)． Rt̂ θ̂t̂θ̂ = Rt̂ ϕ̂t̂ϕ̂ = Rt̂ r̂t̂r̂ = Rr̂ θ̂r̂θ̂ = ȧ2 + k a2 Rθ̂ ϕ̂θ̂ϕ̂ = ȧ2 + k , a2 ä a Rϕ̂ r̂r̂ϕ̂ = − ȧ2 a2 章末問題 球座標 ds2 = dr2 + r2 dθ2 + r2 sin2 θ dϕ2 を考えよ．このとき，リッチ回 転係数を計算せよ． 5.0 章末問題 137 1. Γr̂ ϕ̂ϕ̂ は， （a）− 1r である． （b）r sin2 θ である． （c）−r sin θ cos θ である． （d）−r sin2 ϕ である． 2. Γθ̂ ϕ̂ϕ̂ は， （a）tan θ である． （b）− sin θ sin ϕ である． （c）− cotr θ である． （d）r2 sin θ cos θ である． 3. リッチ回転係数に適切な変換行列を適用すると，Γr ϕϕ は， （a）r sin2 θ となる． （b）−r sin2 ϕ となる． （c）− cotr θ となる． （d） r12 となる． 4. リンドラー計量 ds2 = u2 dv 2 − du2 . を考えよ．ゼロでないリッチ回 転係数は （a）Γv̂ v̂v̂ = Γû ûv̂ = − u1 である． （b）空間は平坦なのですべてのリッチ回転係数は消える． （c）Γû v̂v̂ = Γv̂ ûv̂ = − u12 である． （d）Γû v̂v̂ = Γv̂ ûv̂ = − u1 である． 5. 球座標では，交換係数 Crθ θ , Crϕ ϕ , 及び Cθϕ ϕ は， （a）Crθ θ = Crϕ ϕ = − 1r , Cθϕ ϕ = 0 である． （b）Crθ θ = Crϕ ϕ = − 1r , Cθϕ ϕ = − tan θ である． （c）Crθ θ = Crϕ ϕ = − 1r , Cθϕ ϕ = − cotr θ である． （d）Crθ θ = Crϕ ϕ = − r12 , Cθϕ ϕ = − cotr θ である． 6. 例 5.1 で学んだトルマン計量を考えよ．リッチ回転係数 Γϕ̂ r̂ϕ̂ は， 138 第 5 章 カルタン構造方程式 ′ Ψ(t,r) （a）− R である． R e ′ Ψ(t,r) （b） R である． R e （c）−eΨ(t,r) である． （d）− e Ψ(t,r) R である． 7. トルマン計量に対するアインシュタインテンソルの Gtt 成分は， （a）Gtt = 0 である． [ ( )] （b）Gtt = R1 −R e2Ψ 2R′ Ψ′ + 2R′′ + R−1 R′2 − 2ṘΨ̇R + 1 + Ṙ2 で ある． （c）Gtt = 1 R2 [ ( )] R e2Ψ 2R′ Ψ′ + 2R′′ + R−1 R′2 − 2ṘΨ̇R + 1 + Ṙ2 で ある． （d）Gtt = 1 R2 [ ( )] −R e2Ψ 2R′ Ψ′ + 2R′′ + R−1 R′2 − 2ṘΨ̇R + 1 + Ṙ2 である． 8. 例 5.2 のロバートソン・ウォーカー計量で，ηâb̂ = diag(−1, 1, 1, 1) を 使って添字を上げ下げすると， （a）Γϕ̂ θ̂ = −Γθ̂ ϕ̂ が成り立つ． （b）Γθ̂ θ̂ = −Γθ̂ ϕ̂ が成り立つ． （c）Γϕ̂ ϕ̂ = −Γθ̂ ϕ̂ が成り立つ． （d）Γϕ̂ θ̂ = Γθ̂ ϕ̂ が成り立つ． 139 Chapter 6 アインシュタイン方程式 アインシュタインの重力理論の基礎を構成する物理的原理は 17 世紀にガ リレオによって行われた有名なピサの斜塔の実験を起源とする．ガリレオは 実際にはこの傾いた塔からは球を落としてはいない．代わりに，斜面から球 を転がした．どのように実験が行われたかはここでは重要ではない；ここで 関心があるのは，全ての物体が重力場内でそれらの質量や内部の成分によら ず同じ加速度を経験するという，その実験が暴く根本的な事実のみである． これは最初の等価原理に到達することを許す根源的事実である．基本的な ニュートン物理学では質量と呼ばれる量は 3 つの基本的な方程式によって特 徴づけられる．慣性力を記述する方程式と重力ポテンシャル下で物体に働く 力の方程式と重力場の発生源として物体が作る力の方程式の 3 つである．こ れらの状況のそれぞれを記述する方程式に現れる質量が全く同一であると仮 定する少しの先験的な理由も，本当にない．それにもかかわらず，ガリレオ の得た結果がそのような場合になっていることを証明するものであることを これから示す． 140 第6章 アインシュタイン方程式 ニュートン理論における質量の等価性 ニュートン理論では，3 つの型の質量が存在する．最初の 2 つは慣性力と 重力に対する反応を記述するものであり，3 つ目は与えられた物体が重力場 の発生源として振る舞った結果による重力場を記述するために使われる．よ り，具体的には， • 慣性質量：基礎的な物理学の課程で現れる最初の質量は有名な公式 F = ma に含まれている．慣性質量は運動の変化に抵抗する能力の大 きさである．以下では，慣性質量 (Inertial mass) を mI で表す． • 受動的な重力質量：ニュートン理論では，重力場を通して物体が感じ る力は，F = −m∇ϕ によって与えられるポテンシャル ϕ によって記 述される．この方程式に現れる質量 m は，与えられた重力場に対す る物体のを記述し，受動的な重力質量と呼ばれる．以下では，受動的 な重力質量 (Passive gravitational mass) を mP で表す． • 能動的な重力質量：この型の質量は重力場の発生源として振る舞う． 以下では，能動的な重力質量 (Active gravitational mass) を mA で 表す． これらの型の質量が互いに等価であるべきであるというのは先験的には明 らかではない．ここでは，今から，それらが互いに等価であることの実証を 進める．まず，重力場内における 2 つの物体の運動を考えよう．ガリレオ は，空気抵抗を無視すれば高さ h から同時に放たれた 2 つの物体は同時に地 面に到達するということを示した．このことは，それらの質量やそれらがど のような物質でできているかによらずに成り立つ． 重力場内の 2 つの物体の運動を考える．重力場は物体に力を及ぼし，その ためニュートンの第 2 法則によって F1 = mI1 a1 F2 = mI2 a2 6.0 ニュートン理論における質量の等価性 141 と書くことができる．さていま，重力場を通して働く力は F = −m∇ϕ を 使ってポテンシャルに関して書くことができる．ここでこの場合の m は物 体の受動的な重力質量である．これより， F1 = mI1 a1 = −mP 1 ∇ϕ F2 = mI2 a2 = −mP 2 ∇ϕ が成り立つ．2 番目の式を使うと，質量 2 の加速度に対して解くことがで きる： mI2 a2 = −mP 2 ∇ϕ mP ⇒ a2 = − 2I ∇ϕ m2 ここでただし，ガリレオによって得られた実験事実は，重力場内の全ての物 体が同じ加速度で落下するということを教えてくれる．その加速度を g とす れば，a1 = a2 = g を意味するので， a2 = g = − mP 2 ∇ϕ mI2 が成り立つ．a1 = a2 = g より，F1 = mI1 a1 = −mP 1 ∇ϕ は次のように書き 換えることができる： F1 = mI1 a1 = mI1 g = −mP 1 ∇ϕ P m g = − 1I ∇ϕ m1 g に関するこの 2 つの表式を等号で結ぶと， mP mP 1 ∇ϕ = 2I ∇ϕ I m1 m2 が成り立つので，この両辺の ∇ϕ を消去すると， mP mP 1 2 = mI1 mI2 142 第6章 アインシュタイン方程式 が得られる．この表式で現れる質量 m1 及び m2 は完全に任意であり，質量 m2 としてどんなものを代入してもこの結果はそのまま成り立つ．したがっ て，受動的な重力質量と慣性質量の比はどんな物体に対しても一定であると 結論付けることができる．この定数が 1 になるように選ぶことができ，その 結果として mI1 = mP 1 が結論付けられる．すなわち，慣性質量と受動的な重力質量は等価である (この結果は有名なエトヴェシュ実験によって高い精度で確かめられてい る)．ここからは，能動的な重力質量が受動的な重力質量と等価であること を示す． 再び，m1 及び m2 で表示される 2 つの質量を考えよう．質量 m1 を原点 に置き，m2 を原点からの動径座標の直線に沿って m1 から距離 r 離れたと ころに最初に配置する．距離 r 離れた地点における質量 m1 による重力ポテ ンシャルは， ϕ1 = −G mA 1 r によって与えられる．ここで G はニュートンの重力定数である．質量 m1 による，質量 m2 に対する力は， F2 = −mP 2 ∇ϕ1 によって与えられる．今考えているのが動径座標のみであることより，グラ ディエント (grad = ∇) は， [ P F2 = −mP 2 ∇ϕ1 = −m2 ∂ ∂r ( ) ] mA mA mP −G 1 r̂ = −r̂G 1 2 2 r r と書くことができる．同様に質量 m2 によって生成される重力場を経由して 質量 m1 に働く力は， F1 = r̂G P mA 2 m1 2 r 6.0 試験質点 143 となる．符号の違いを理解するためには，この場合力の働く向きが逆向きで あることより −r̂ となることに注意しなければならない．さて，ニュートン の第三法則は，F1 = −F2 であることを教えてくれる；したがって， G P P mA mA 2 m1 1 m2 = G r2 r2 が成り立つ．ここで，共通項 G 及び r 2 を消去すると， P A P mA 2 m1 = m1 m2 となる．これは， mP mP 1 2 = A mA m 1 2 を導く．再び，この実験ではどんな質量を選んでもよいことが分かる．した がって，この比は一定であるべきであるので，1 にとろう．この結果， mA = mP を結論付けることができる．すなわち，あらゆる物体の能動的な重力質量と 受動的な重力質量は等価である．我々は既に受動的な重力質量が慣性質量と 等価であるということを導いたので， m = mI = mP = mA であることが示されたことになる．ここで，単一の量 m によって物体の質 量を表した． 試験質点 ある物質やエネルギーの分布が重力場の源として振る舞うような時空の領 域の研究をすることを想像しよう．このようなものを背景場と呼ぶことにし よう．試験質点は背景場と比較してそれ自身が生成する重力場が無視できる ほど小さいような質点 (訳注：質点なので大きさも無視できる) である．言 い換えれば，試験質点の存在は背景場に何の変更も影響も与えない． 144 第6章 アインシュタイン方程式 アインシュタインのリフト実験 アインシュタインのリフト実験は等価原理を説明するために使うことがで きる思考実験の単純な組である．アインシュタインの時代，彼はリフトまた はエレベーターを使って彼の着眼点を描いた．ここでは同じことを宇宙船を 使ってより現代的な形で行おう．全ての実験において，回転はないという状 況を仮定する．まず最初に宇宙船が深い星間空間にあり，重力場の発生源か ら遠く離れている状況を考えよう．さらに，宇宙船は中にいる宇宙飛行士が 外の宇宙と通信手段を持たないものとしよう．特に，宇宙船には窓がなく宇 宙飛行士は外側を覗いて宇宙における彼の運動の状態や位置を決定できない ものとしよう．これらの実験を読み進める際にニュートンの第 1 法則を心に 留めておこう．ニュートンの第 1 法則は，静止または一様運動 (つまり等速 直線運動) をしている質点は，外力が働かない (かつり合っている) 限り，静 止または一様運動をし続けるというものである． ケース 1. 最初の実験においては，加速をしておらず，ある慣性系の観測 者に対して空間を一様運動している宇宙船を考えよう．宇宙飛行士は小さな ボールを持ち，その後手放す．彼はニュートンの第一法則より，ボールは単 純に彼が手放したその場に止まって静止するのを目撃する (図 6.1 を見よ)． ケース 2. 次にいまから加速している宇宙船を考えよう．宇宙船は先ほど と同様に，惑星，恒星やその他の重力発生源から遠く離れた深い空間に位置 するものとする．しかし今回，宇宙船は一定加速度 a で加速しているもの とする．より限定的には，ここで選ぶ加速度は地表の重力加速度と等しいも 2 のとしよう．つまり，a = g = 9.81 m/s とする．この状況で宇宙飛行士が ボールを手放すと，彼から見てボールは (地上と同じ加速度で) まっすぐ床 に落ちる (図 6.2 を見よ)． 6.0 アインシュタインのリフト実験 145 図 6.1 重力場から遠く離れた深い空間で非加速運動をする宇宙船に乗っ た宇宙飛行士の図．彼はボールを手放すが，ボールは同じところにとどま り続け，彼に対して静止したままである． g 図 6.2 加速している宇宙船．この場合宇宙飛行士がボールを手放すと， 彼から見てそれはまっすぐ床に落ちる． ケース 3. 3 番目の状況を考えてみよう．今想像するのは，地表の上の発 射台にしっかり乗った宇宙船である．宇宙船の寸法は重力の潮汐効果と地球 の回転運動による効果が無視できる程度のものであるとする．全ての人が理 解するように，この状況で宇宙飛行士がボールを手放すと，それは一つ前の 146 第6章 アインシュタイン方程式 状況と同様，まっすぐ床に落ちる (図 6.3 を見よ)． 図 6.3 地表に固定された発射台の上の宇宙船．ボールを落とすとまっす ぐ床に落ちる． ここで発射台の上の宇宙船の中の状況は深宇宙で加速度 g で加速する宇宙 船の船内と同じである． ケース 4. 最後にもう一つの状況を考えよう：地表付近で自由落下する宇 宙船である．仮に宇宙船が地表付近に掘った鉱山の立坑をまっすぐ落ちてい くものとしよう．この場合，宇宙飛行士がボールを手放すと，宇宙船が加速 せずに深宇宙にいる状況と同じ状況に出くわす．彼がボールを手放すとそれ は手放した位置に静止する (図 6.4 を見よ)． g 図 6.4 g 地表付近の立坑を自由落下する宇宙船．宇宙飛行士がボールを手 放すと，驚いたことにボールは彼から見て船内の同じ位置に静止したまま である． 6.0 弱い等価原理 147 これらの実験の要点は次の通りである：重力の潮汐効果が無視できるほど 小さい時空領域では，重力場内を自由落下する (局所的な) 慣性系と重力場 が存在しない空間を一様運動 (等速直線運動) する観測者を区別する実験は 存在しない． より具体的には，ケース 2 とケース 3 はこの宇宙飛行士からは区別でき ない．彼が外の景色を見ることができないと仮定すると，彼は深宇宙を加速 度 g で加速しているか，地表に静止しているかを区別する方法はない．これ は，特殊相対論で加速しているどんな系も，測定する時空領域が十分小さく て潮汐効果が無視できるような場合における重力場にいるのと区別ができな いことを意味する． ケース 1 とケース 4 は重力場が存在しない空間を一様運動する場合と，重 力場内を自由落下する場合を区別する実験が存在しないことを示す．もう一 度言うと，この宇宙飛行士の周りが完全に密封されているなら，これらの 状況は等価に見える．ケース 1 とケース 4 は弱い等価原理を描いたもので ある． 弱い等価原理 弱い等価原理は重力場の一般的な性質についての言明である．ガリレオは 重力場に対するすべての物質の反応は，その質量や物質を構成する成分に よらず全く同じであることを発見した．加えて，特殊相対論は質量とエネル ギーの等価性を教えてくれる．これら 2 つの物理学の授業は弱い等価原理を 導く． 弱い等価原理重力場は全ての質量とエネルギーに対して全く同じように結 合する．重力場は普遍的である．これは本章の初めの部分で得た結果である 慣性質量と重力質量が等価であることの正式な言明である． 148 第6章 アインシュタイン方程式 強い等価原理 思考実験，ケース 2 とケース 4 は強い等価原理を描く宇宙船を含む．この 原理は物理法則は加速系と一様で静的な重力場で等しいことを述べるもので ある． 十分大きな時間間隔や十分大きな空間の領域をとる実験では，重力の潮汐 効果が表れることに注意しよう．このような条件下では等価原理はもはや適 用できない．例えば，地球の表面付近から 2 つのボールを落とす実験を考 えよ． 一般共変性原理 4 章ではある座標系で成り立つテンソル方程式は，全ての座標系で成り立 つことを述べた．これは一般共変性原理を導く．これは単純に座標変換の下 で不変であるべき物理法則は，テンソルの形で書けるということを述べたも のである．この原理はまだ議論の余地があることに注意しよう．ただし，そ れがアインシュタインの理論の開発の中で彼を導いたので，ここでは単にそ れを述べるだけにしておこう． 測地線偏差 通常の平坦な空間では，平行線はどこまで行っても常に平行であり続け る．さて，いまから “可能な限りまっすぐな線” が測地線であるようなより 一般の空間を考えよう．曲がった空間で (局所的に) 平行で始まる測地線に 何が起こるか？ ヒントは読者の手直なところにある世界地図を見ることで ある．北極から南極に向かう曲がった経線がどうなるか示してみよう．赤道 ではこれらの線は (局所的に) 平行である．しかし，北極から南極に移動す るにつれて隣り合う線は互いに近づきあい北極で交わってしまう．北極の同 6.0 測地線偏差 149 じ点から出てくる経線は赤道に向けて移動するにつれて散らばっていく (図 6.5 を見よ)． 平坦な空間の平行線は平行のまま 平行だった経線は収束する 経線は赤道では平行から始まる 図 6.5 平坦な空間では左の図のように，平行線はどこまで行っても平行 である．一方曲がった空間では，これは正しくない．右に示すように平行 で始まった線は赤道から北極に移動するにつれて，互いに近づいて収束し てしまう．このような，偏差は一般の曲がった空間や曲がった時空でも成 り立つ． この振る舞いは任意の曲がった幾何学において典型的である．実際最初平 行であるような曲がった空間の測地線は結局は交わる*1 ．重力が単なる幾何 学であることより，時空内の測地線上の質点の運動のこの種の振る舞いを求 めることは有意義である． 重力場において，最初平行だった測地線が収束するというのは，重力場の 潮汐効果に他ならない．物理的には，これは重力場内で自由落下する 2 つの 質点が共に加速することとして示される．2 つの質点を地表上のある高さ h で手放したとしよう．例え最初この粒子たちが地上に向かって平行に運動し 始めたとしても，それらが地球の中心から放射状に走る経路上にあること より，もし (落下する距離)h が十分大きければ，それらは互いに近づいてい くように見える．これは重力潮汐効果の徴である．ここでは，測地線偏差の *1 訳注：この部分の原著者の記述は負曲率の空間については当てはまらないことに注意し よう． 150 第6章 アインシュタイン方程式 方程式とともにこの現象を学ぶ．重力の学習において，読者はしばしば合同 (congruence) という用語を目にするだろう．合同は多様体の各点 p が単 一の曲線上にあるような曲線の集まりである．時空における測地線偏差を学 習するために，時間的測地線の合同を考える．曲線の接ベクトルを ua とす ると，その合同は ua ua = 1 のときの慣性世界線の集まりを表す． 接続ベクトルはある測地線からその隣の測地線に向かって指すベクトルと して定義される．より具体的には，それは同じアフィンパラメータの値を持 つ隣り合う曲線上の 2 つの点をつなげる．これは図 6.6 に描いた． γ µ V p 図 6.6 q 多様体内の 2 つの曲線 γ と µ．それぞれの曲線が共にアフィンパ ラメータ τ でパラメータ化されているものとしよう．偏差ベクトル V は， あるアフィンパラメータの値 τ = τ1 に対して，γ(τ1 ) = p かつ µ(τ1 ) = q となるとき，この曲線上の 2 つの点 p と q を結ぶ．
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