仮平均と簡便法による分散・標準偏差の求め方

特別出演　その３　仮平均と簡便法による分散 → 標準偏差の求め方
ここでは、分散・標準偏差を「教科書の例題」の解法と違った”簡単な方法”で、計算することを考えてみます。
まずは、下ごしらえで分
分散について、触れておきましょう。
分散は、偏差（x- x ) の2 乗の平均値　と定義しました。
s 2 =
1
x 1- x 1 2 + 0x2 - x 1 2 +…… +0 xn - x 1 27 …(A)
n 60
という式ですが、
これを変形すると
s 2=
1
x 1- x 1 2 + 0x2 - x 1 2 +…… +0 xn - x 1 27
n 60
1
x 2 +x2 2+ …… +xn 2 1- 2 x 0 x1+ x2+ ……+x n1 + n0 x 1 2 7
n 60 1
＝
= x 2 -2 x %
G
1
x 1+ x 2 +…… +x n1 + 0 x 1 2 ＝ x 2 -20 x 1 2 + 0 x 12 ＝ x 2 - 0 x 1 2
n0
※
2
2
2
すなわち、 s = x - 0 x 1 … (B)　と表すこともできる！ということです。　日本語で書くと、　( 分散 ) ＝ ( x 2 の平均値 ) － 0x の平均値 1 2
データの大きさが、小さい（少ない）ときは(A)で、大きく（多く）なると(B)がお薦めですね。
また、まともに計算をやると大変な場合も、仮平均 ( 変量の変換→自分で勝手に平均を決める！) の考え方を
導入して、計算をすることができます。いきなり、分
分散の話をする前に、仮
仮平均の話をしておきます。ここでは、
x 0 を仮平均、c
c を階級の幅とします。
変量 x の平均値を x 、標準偏差をsx とし、
u =

x- x0
すなわち　x= cu+ x0 で定められる変量 u の平均値を u 、標準偏差をsu とすると、
c
x =c u +x0 , sx 2=c 2su2
0s x = c s u 1 が成り立つ。
データの大きさを n として、変量 x の値を x 1 , x 2 , …… , x n とする。
ここで、　xk= cu k + x0 0 k=1,2, …… , n 1 とすると
1
1
x ＝ 6 x1 +x2+…… +x n7 ＝ 60cu 1 + x01 + 0c u 2+ x 01 + …… + 0cu n + x017
n
n
＝
1
1
c u 1 + u 2 + …… + u n1 + n ･ x 07 ＝c % 0 u 1+ u 2 + …… + u n 1 + x0 ＝c u + x 0
n6 0
n
よって、　x
x = c u + x0 日本語で書くと　x ＝ ( 階級の幅 ) × ( u の平均 ) ＋仮平均
x- x0
) によって変量x を別の変量 u に変えることを、変量の変換
c
1
といい、仮平均x0 を利用して、 x = x 0 + c % 60x 1 - x 0 1 + 0x 2 - x 0 1 + … … + 0 x n - x 0 17 ＝ x 0 + c u n
便利な手法です。
の計算は、データの数値の大きいときなども使えるので、便
このように、関係式 x= cu+ x0 ( u =
-1-
いよいよ、分
分散（標準偏差sx の2 乗）についてですが、先程もやった定義から始めると、
sx 2 =
1
x1 - x 1 2 + 0x2 - x 1 2+ …… + 0x n - x 1 27 n 60
＝
1
cu 1 + x01 - 0c u + x017 2 + 60cu 2 + x01 - 0c u + x017 2 + …… + 60cu n + x0 1- 0c u + x0 17 2
n 460
＝
1 2
c u 1 - u 1 2 + c 20u 2 - u 1 2 + …… + c 2 0u n- u 1 27
n6 0
＝c 2%
ここで、 xk= cu k + x0 , x = c u + x0 より
5
1
u 1 - u 1 2+ 0 u 2- u 1 2 + …… + 0u n - u 1 27 ＝c 2su 2
n 60
と表せます。となり　s x 2 = c 2 s u 2 …※※　また、　の部分を、始めに書いた「分散の変形」での ※ の部分にあてはめると
s x 2 ＝ c 2 6 u 2 - 0 u 1 2 7 という式になります。
日本語で書くと、　分散 s 2 ＝ 0階級の幅 1 2× 6 u 2 の平均 - 0u の平均 12 7
したがって、標
標準偏差＝ U 分散より、　※※から　s x = c ･s u という関係になります。
日本語で書くと、　標準偏差 s ＝ 0 階級の幅 1 × 0 u の標準偏差 1 さて、共
共分散の場合は、どうなるでしょう。２０１６のセンターで出題されましたね。
x , u 以外に　新しいデータ a との共
共分散を考えてみます。
a と x の共分散をsax 、　a と u の共分散をsau とすると、　先にS au を書いておくと、
共分散　S au＝
1
a 1 - a 10u 1 - u 1 + 0a 2 - a 10u 2 - u 1 + …… + 0a n - a 10u n - u 17 n 60
また、　共分散　S ax＝
1
a 1 - a 10x1 - x 1+ 0 a 2- a 10x2 - x 1 + …… + 0a n - a 10xn - x 17
n 60
ここで、 xk= cu k + x0 , x = c u + x0 より
＝
1
a - a 160 cu 1 +x 01 -0cu +x017+0a 2 - a 160 cu 2+ x01 -0cu +x0 17+ …+0a n - a 160 cun + x01 -0cu +x 017
n 40 1
＝
1
a - a 10cu 1- cu 1+ 0a 2 - a 10cu2 -cu 1 +……+ 0a n - a 10cu n -cu 17
n 60 1
＝c%
5
1
a - a 10u 1 - u 1+ 0a 2 - a 10u 2- u 1+ …… +0a n - a 10u n- u 17
n 60 1
よって、　s a x = c ･ s a u 日本語で書くと、　共分散 0 a , x 1 ＝ 0 階級の幅 1 × 共分散 0 a , u 1　という関係で表されるということでした。　ここまで、考えるのはあまりやりませんが、一度は確認でやって
おくのもいいのかも知れません。
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