講義2

三角関数
• 弧度法
円半径等
円の半径に等しい長さの弧の中心角を角の
長さ弧中心角を角
単位にする方法。単位はラジアン。
• πrad=180°
• 1rad=180°／π
1rad 180 ／π
• 円を一周する360°は2πradである。
例題
• 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 270°を弧
表
度法で表しなさい
例題
• 次の弧度法で表される角度を度数法で表し
なさい
5π/3 3π
5π/3,
3π, 3π/4
sin cos
sin,
cos, tanの定義
• sinθ=対辺／斜辺
• cosθ=隣辺／斜辺
cosθ 隣辺／斜辺
• tanθ=対辺／隣辺
• θとsin,cos,tanの関係
係
π/6
30°
°
sin
cos
tan
π/4
45°
°
60°
°
1
2
3
2
1
2
1
2
3
2
1
3
π/3 [rad]
1
2
1
3
sin θ
tan θ =
cos θ
sin
i 2 θ + cos 2 θ = 1
• 三角関数の加法定理
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
sin(α β)=sinαcosβ cosαsinβ
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
• 三角関数の積を和に直す公式
sinαcosβ=1/2{sin(α+β)+sin(α-β)}
i
β 1/2{ i ( β) i ( β)}
cosαsinβ=1/2{sin(α+β)-sin(α-β)}
cosαcosβ=1/2{cos(α+β)+cos(α-β)}
sinαsinβ=1/2{cos(α+β)-cos(α-β)}
β
{
( β)
( β)}
• 三角関数の和を積に直す公式
角
β
(( β) )
(( β) )
sinα+sinβ=2sin((α+β)/2)cos((α-β)/2)
sinα-sinβ=2cos((α+β)/2)sin((α-β)/2)
cosα+cosβ 2cos((α+β)/2)cos((α β)/2)
cosα+cosβ=2cos((α+β)/2)cos((α-β)/2)
cosα-cosβ=2sin((α+β)/2)sin((α-β)/2)
複素数
• 正弦波信号を表すときに用いられる。
正弦波信号を表すときに用いられる
• 周波数の概念を表すときに用いられる。
• 実数部と虚数部により成り立つ数値
Z = x + jy
x:実数部， y:虚数部
x:実数部
• jは虚数部であることを表している。
• jは数値としては-1の平方根として扱う。
数値
方根
扱う
j = −1
直交形式
• 複素数は次のように直交する２軸により成す
２次元平面上のベクトルとして表すことが出
来る。
• この２次元平面を複素
平面と呼ぶ。
• 横軸は実数部、縦軸は
虚数部に対応する。
• 実数部はReal part、虚
数部はImaginary part
とも呼ばれる。よって、
実数部と虚数部を右の
ように表すこともある。
x = Re Z
y = Im
I Z
• このように複素平面上のベクトルを実数部と虚数部
のそれぞれの値によって表現する形式としては以下
のようなものがある。
うなもがある
Z = ( x, y )
= x + jy
= Re Z + j Im Z
• このような表現の形式を直交形式と呼ぶ。
例題
• 次の複素数を直行形式で表しなさい。
(a)
(b)
(c)
(d)
極座標表示
• 複素数
複素数のベクトルの長さをr、実軸と成す角をθとすると、
ベ
さを実軸成す角をする
以下のように表すことが出来る。
Z = r∠θ
これを極座標表示と呼ぶ。
• rを複素数Zの「絶対値」と呼ぶ。
を複素数
「絶対値
ぶ
• θを複素数Zの「偏角」と呼ぶ。
Z =r
arg Z = θ
• argはZが実数軸の正の方向と成す角
• argは英語のargument（偏角）から
• 周期性
期性
偏角θは次のように周期性を持っている。
arg Z=θ+2nπ
ここで、nは任意の整数
は任意整数
• 例
π
7π
13π
4∠
3
= 4∠
3
= 4∠
3
= 4∠
19π
=L
3
• 角2nπは円をn回だけ回転して元に戻る角度である
ため
直交形式と極座標表示の関係
• 極座標表示、直交形式どちらも非常に良く使
用される。
• 両表示法の変換が必要となる。
• x=?
• 三角関数を思い出す
角
r
θ
x
x = r cosθ
• 同様に
様
r
θ
y = r sin θ
y
x = r cosθ
y = r sin θ
Z = r cosθ + jr
j sin
i θ
• 直交形式から極座標表示への変換には・・・
換
r= x +y
2
2
y
−1 y
θ = arctan
t
(= tan
t
)
x
x
• 極座標表示変換時の注意
次の複素数を考える。
z
=
−
3
+
j
4
偏角はarctan(-4/3)だが
偏角はarctan(
4/3)だが、これは次の複素数の場合
これは次の複素数の場合
の偏角と同じになる。
z = 3 − j4
つまりarctan(-4/3)だけで計算したのでは２通りの角
度が考
度が考えられる。実際には実数部が負、虚数部が
れ
実際
実数部が負虚数部が
正であるから、偏角は第２象限に来ることが判断で
きる。
きる
複素数の相等
• 2つの複素数a+jbとc+jd（a,b,c,dは実数）が
が
a+jb=c+jd
なら
a=c
b=d
例題
• 3x+j(1-2x)=2y-j3を満たす実数x,yを求めなさ
い。
複素数の四則演算
z1 = x1 + jy1
z 2 = x2 + jy2
• 加法
z1 + z 2 = ( x1 + x2 ) + j ( y1 + y2 )
• 減法
z1 − z 2 = ( x1 − x2 ) + j ( y1 − y2 )
• 乗法
j2=-1として
1として
z1 z 2 = ( x1 + jy1 )( x2 + jy2 )
= x1 x2 + jx
j 1 y2 + jy
j 1 x2 − y1 y2
= ( x1 x2 − y1 y2 ) + j ( x1 y2 + y1 x2 )
• 乗算の極座標の場合は
算極座標
合
z1 z 2 = r1 ((cosθ1 + j sin θ1 )r2 ((cosθ 2 + j sin θ 2 )
= r1r2 {(cosθ1 cosθ 2 − sin θ1 sin θ 2 ) + j (sin θ1 cosθ 2 + sin θ 2 cosθ1 )}
= r1r2 {cos(θ1 + θ 2 ) + j sin(θ1 + θ 2 )}
従って乗算において大きさと位相は次のようになっ
算
ている。
z1 z 2 = z1 z 2
arg z1 z 2 = arg z1 + arg z 2
• r2=1のときは長さは変わらず角度変換のみと
1のときは長さは変わらず角度変換のみと
なる。
• 除算
1
1
x2 − jy2
−1
= z2 =
= 2
z2
x 2 + jy2 x2 + y22
を
を用いて、
z1
= z1 ( z 2−1 )
z2
である。
ある
• 除算の極座標の場合は
除算極座標
合
z 2−1 =
x2 − jy2
1
1
1
−
=
−
=
=
(
x
jy
)
r
(cos
θ
j
sin
θ
)
(cos θ 2 − j sin θ 2 )
2
2
2
2
2
2
2
2
2 2
x2 + y 2
x2 + y 2
r2
r2
だから
z1 r1
= {cos(θ1 − θ 2 ) + j sin(θ1 − θ 2 )}
z 2 r2
r1
= ∠(θ1 − θ 2 )
r2
共役複素数
z = x + jy
に対して
z = x − jy
を共役な（conjugate）複素数といい、
*
などで表す。
z , z
x =
y =
の関係がある。
z + z
2
z − z
2 j
*
*
例題
• 次の複素数を計算し、A+jBの形になおしなさ
算
い。
(1)
1
3 + j4
(3)
1
1− j2
(2)
2
1+ j2
(4)
1
−1− j2

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