(1) ab(a + b) ¡ 2bc(b ¡ c)

年番号
1
次の
2
を適当に補え．
(1) ab(a + b) ¡ 2bc(b ¡ c) + ca(2c ¡ a) ¡ 3abc を因数分解すると
x 軸，直線 x = a および直線 x = b で囲まれた部分の面積 S は
(2) 自然数 n をいくつかの 1 と 2 の和で表すときの表し方の総数を a(n) とする．
S=
ただし，和の順序を変えた表し方は同じ表し方とする．例えば，4 = 2 + 2，
，a(2014) =
ウ
である．
(3) 数列 fan g の初項から第 n 項までの和 Sn が Sn
(1) f(x) を求めよ．
n
であるとき，
=
n+1
(2) c > 0 とする．曲線 y = f(x) 上の点 (c; f(c)) における接線，x 軸およ
n
P
1
= オである．
ak
(4) 0 5 µ 5 ¼ とする．sin µ + cos µ = t とすると，t のとりうる値の範囲は
an =
カ
，
エ
び y 軸で囲まれた三角形の面積を T とするとき， lim T を求めよ．
c!1
k=1
5t5
最小値は
ケ
(5) log2 64 =
キ
1
1
¡
a
b
であるとする．
4 = 2 + 1 + 1，4 = 1 + 1 + 1 + 1 であるから，a(4) = 3 である．このと
イ
x > 0 において，つねに正の値をとる連続な関数 f(x) がある．xy 平面に
おいて，0 < a < b をみたすすべての実数 a; b に対して，曲線 y = f(x)，
ア
となる．
き，a(9) =
氏名
であり，sin µ + cos µ + 2 sin 2µ の最大値は
ク
（愛知工業大学 2014 ）
，
である．
コ
である．また，x を 1 でない正の数とするとき，
log4 x2 ¡ logx 64 5 1 をみたす x の範囲は
サ
(6) f(x) = sin 2x とするとき，f0 (x) =
Z ¼
6
sin2 2x cos 2x dx = スである．
である．
シ
である．また，
3
a > 0 とする．xy 平面において，放物線 y = x2 + 1 の x = 0 の部分を C
とし，曲線 C 上の点 A(a; a2 + 1) における接線を `，A を通り ` に垂直な
直線を m とする．
(1) 直線 ` の方程式と直線 m の方程式を求めよ．
0
(2) 曲線 C，直線 ` および y 軸で囲まれた部分の面積を S1 とし，曲線 C，直線
（愛知工業大学 2014 ）
m および y 軸で囲まれた部分の面積を S2 とする．3S1 = S2 となるとき，a
の値を求めよ．
（愛知工業大学 2014 ）
4
次の
5
を適当に補え．
(1) 連続する 4 つの自然数を小さい順に a; b; c; d とする．
き，a =
f(x) = x(1 ¡ log x) (x > 0) とする．ただし，log x は x の自然対数で
ある．
ac
5
=
のと
8
bd
(1) xy 平面において，y = f(x) の増減，凹凸を調べ，グラフの概形をかけ．
である．
ただし， lim x log x = 0 である．
(2) 袋の中に 0 と書かれたカードが 1 枚，1 と書かれたカードが 2 枚，2 と書か
x!+0
れたカードが 3 枚，合わせて 6 枚のカードが入っている．この袋から 1 枚ず
(2) xy 平面において，曲線 y = f(x) が x 軸の正の部分と交わる点における
つ 4 枚のカードを取り出し，取り出した順に左からカードの数字を書き並べ
曲線の接線を ` とする．直線 `，直線 x = 1 および曲線 y = f(x) で囲まれ
たとき，2011 となる確率は
た部分の面積を求めよ．
である．また，1 枚カードを取り出し，
カードを袋に戻すことを 4 回くり返した場合，取り出した順に左からカード
の数字を書き並べたとき，2011 となる確率は
である．
a
n
4
(3) 数列 fan g は関係式 a1 = 1，2an+1 = p
(n = 1; 2; 3; Ý) をみたすと
2
する．このとき，a3 =
であり，an =
である．
¼
(4)
< µ < ¼ において，tan µ = ¡2 のとき，cos2 µ =
，
2
¼
;=
sin #2µ +
である．
4
(5) 2 次方程式 x2 ¡ kx + 9 = 0 が実数解をもつような実数 k の範囲は
である．このとき，その実数解を ®; ¯ とすると，(® +
最小値は
1)2
+ (¯ +
1)2
の
（愛知工業大学 2011 ）
6
xy 平面において，点 A(¡1; 0) を通り，傾きが正である直線 ` が放物線
y = x2 と 2 点 P，Q で交わり，AP : AQ = 1 : 4 であるとする．
である．
(6) 整式 x3 + 3x を x2 + 1 で割った商は
であり，余りは
Z2 3
x + 3x
である．
る．また，
dx =
0
x2 + 1
であ
（愛知工業大学 2011 ）
(1) 直線 ` の方程式を求めよ．
(2) 直線 ` と放物線 y = x2 で囲まれた部分の面積を求めよ．
（愛知工業大学 2011 ）
7
次の
8
を適当に補え．
(1) 2 つの自然数 x; y (x < y) の積が 588 で，最大公約数が 7 であるとき，こ
の 2 つの自然数の組 (x; y) は (x; y) =
である．
のグラフを x 軸方向に
である．また，こ
，y 軸方向に
(1) x2 ¡ 2y2 + xy + 5x + y + 6 を因数分解すると
だけ平行移動すれば
最大値は
(3) 円に内接する四角形 ABCD において，ÎA = 60± ，AB = 4，BC = 2，
，CD =
A [ B = f6; 7; 10g となるのは m =
A [ B は U における A [ B の補集合である．
1 12
; の展開式において，x3 の係数は
(5) #x ¡
2x2
である．
のときである．ただし，
であり，定数項は
である．
(5) ある粒子を 1 枚で 50 % 遮断できる繊維がある．この繊維を少なくとも
f1; 2; 3; 4; 8; 9g，B = f2; 4; mg（ m は 2; 4 以外の U の要素）
のときであり，
である．
となり，0 5 x 5 ¼ における y の値の範囲は
y=
(4) 全体集合 U = f1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10g の部分集合 A =
，最小値は
(4) y = sin2 x + 4 sin x cos x + 3 cos2 x を sin 2x と cos 2x の式で表すと
である．
に対して，A \ B = f2; 4g となるのは m =
となる．
この 3 本の接線によって囲まれる三角形の面積は
である．
¡
!
¡
!
(3) 2 つの平面ベクトルを a = (3; ¡1)， b = (0; 2) とする．s; t が
¡
!
¡
!
s + t = 3 (0 5 s 5 3) をみたすとき，ベクトル s a + t b の大きさの
y = ¡x2 + 10x ¡ 21 のグラフになる．
DA = 3 のとき，BD =
を適当に補え．
(2) 平面上に半径 1 と半径 2 の円がある．共通接線がちょうど 3 本引けるとき，
(2) xy 平面において，2 次関数 y = f(x) のグラフが点 (2; 5) を頂点とし，
点 (¡1; ¡4) を通る放物線であるとき，f(x) =
次の
枚重ねれば，この粒子を 99 % 以上遮断できる．ただし，log10 2 =
0:3010 とする．
2
n
P
$
k<
k=1
(6) Sn =
のとき，S3 =
n
P
k2
であり， lim
n!1
Sn
=
n
で
k=1
ある．
（愛知工業大学 2010 ）
（愛知工業大学 2011 ）
9
関数 f(x) は f(x) = 3x + 2
Z
1
0
(t + ex )f(t) dt をみたしている．ただし，
e は自然対数の底である．
Z1
Z1
(1)
f(x) dx = a;
xf(x) dx = b とするとき，f(x) を x; a; b の式
0
で表せ．
0
(2) a; b の値および f(x) を求めよ．
11 次の
（愛知工業大学 2010 ）
を適当に補え．
(1) x2 ¡ 2y2 + xy + 5x + y + 6 を因数分解すると
(2) 連立不等式 W
x2 ¡ 2x ¡ 3 < 0
x2 + 3x + 1 > 0
となる．
をみたす x の範囲は
である．
(3) x の 2 次方程式 x2 ¡ 2ax ¡ a2 + 1 = 0 が実数解をもたないような実数 a
の範囲は
である．
(4) 初速 v m = 秒で地上から真上に投げたボールの x 秒後の高さ y m は，
y = vx ¡ 5x2 で表されるものとする．地上から真上に投げたボールが 3
秒後に最高点に達したとすると，ボールの初速は
高点の高さは
10 f(x) = 8x ¡ x2 とする．
m = 秒であり，最
m である．
(5) 4 桁の自然数で各位の数字がすべて異なるものは全部で
f(4) ¡ f(2)
= f0 (c) をみたす c を求めよ．
2
(2) xy 平面において，(1) で求めた c について，点 (c; f(c)) における曲線
(1)
y = f(x) の接線，曲線 y = f(x) および y 軸で囲まれた部分の面積を求
めよ．
（愛知工業大学 2010 ）
のうち，1234 より大きいものは全部で
個あり，そ
個である．
(6) 平面上に半径 1 と半径 2 の円がある．共通接線がちょうど 3 本引けるとき，
この 3 本の接線によって囲まれる三角形の面積は
である．
1
(7) A 君は 3 校の大学を受験し，合格する確率はすべて等しく
であるとい
2
う．A 君が少なくとも 1 校に合格する確率は
である．また，合格し
た大学には 1 校につき 30 万円の入学金を支払うとすると，支払う入学金の
期待値は
円である．
（愛知工業大学 2010 ）

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