年 番号 1 次の 氏名 を適当に補え． ac 5 = のとき，a = である． 8 bd (2) 袋の中に 0 と書かれたカードが 1 枚，1 と書かれたカードが 2 枚，2 と書かれたカードが 3 枚，合わせて 6 (1) 連続する 4 つの自然数を小さい順に a; b; c; d とする． 枚のカードが入っている．この袋から 1 枚ずつ 4 枚のカード を取り出し，取り出した順に左からカード の 数字を書き並べたとき，2011 となる確率は である．また，1 枚カード を取り出し ，カード を袋に 戻すことを 4 回くり返した場合，取り出した順に左からカード の数字を書き並べたとき，2011 となる確率 は である． 4an (n = 1; 2; 3; Ý) をみたすとする．このとき，a3 = (3) 数列 fan g は関係式 a1 = 1，2an+1 = p 2 であり，an = である． ¼ ¼ ;= (4) ，sin #2µ + である． < µ < ¼ において，tan µ = ¡2 のとき，cos2 µ = 2 4 (5) 2 次方程式 x2 ¡ kx + 9 = 0 が実数解をもつような実数 k の範囲は である．このとき，その実数 解を ®; ¯ とすると，(® + 1)2 + (¯ + 1)2 の最小値は (6) 整式 x3 + 3x を x2 + 1 で割った商は である． であり，余りは Z である．また， 2 0 x3 + 3x dx = x2 + 1 である． （ 愛知工業大学 2011 ） 2 f(x) = x(1 ¡ log x) (x > 0) とする．ただし，log x は x の自然対数である． (1) xy 平面において，y = f(x) の増減，凹凸を調べ，グラフの概形をかけ．ただし ， lim x log x = 0 で x!+0 ある． (2) xy 平面において，曲線 y = f(x) が x 軸の正の部分と交わる点における曲線の接線を ` とする．直線 `， 直線 x = 1 および曲線 y = f(x) で囲まれた部分の面積を求めよ． （ 愛知工業大学 2011 ） 3 xy 平面において，点 A(¡1; 0) を通り，傾きが正である直線 ` が放物線 y = x2 と 2 点 P，Q で交わり， AP : AQ = 1 : 4 であるとする． (1) 直線 ` の方程式を求めよ． (2) 直線 ` と放物線 y = x2 で囲まれた部分の面積を求めよ． （ 愛知工業大学 2011 ） -1- 4 次の を適当に補え． (1) 2 つの自然数 x; y (x < y) の積が 588 で，最大公約数が 7 であるとき，この 2 つの自然数の組 (x; y) は (x; y) = である． (2) xy 平面において，2 次関数 y = f(x) のグラフが点 (2; 5) を頂点とし，点 (¡1; ¡4) を通る放物線であ るとき，f(x) = である．また，このグラフを x 軸方向に ，y 軸方向に だけ平行 移動すれば y = ¡x2 + 10x ¡ 21 のグラフになる． (3) 円に内接する四角形 ABCD において，ÎA = 60± ，AB = 4，BC = 2，DA = 3 のとき，BD = ， である． CD = (4) 全体集合 U = f1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10g の部分集合 A = f1; 2; 3; 4; 8; 9g，B = f2; 4; mg （ m は 2; 4 以外の U の要素 ）に対して，A \ B = f2; 4g となるのは m = A [ B = f6; 7; 10g となるのは m = のときであり， のときである．ただし ，A [ B は U における A [ B の補 集合である． 1 12 ; の展開式において，x3 の係数は (5) #x ¡ 2x2 であり，定数項は である． （ 愛知工業大学 2011 ） 5 次の を適当に補え． (1) x2 ¡ 2y2 + xy + 5x + y + 6 を因数分解すると となる． (2) 平面上に半径 1 と半径 2 の円がある．共通接線がちょうど 3 本引けるとき，この 3 本の接線によって囲ま れる三角形の面積は である． ¡ ! ¡ ! (3) 2 つの平面ベクトルを a = (3; ¡1)， b = (0; 2) とする．s; t が s + t = 3 (0 5 s 5 3) をみたすと ¡ ! ¡ ! き，ベクトル s a + t b の大きさの最大値は ，最小値は である． (4) y = sin2 x + 4 sin x cos x + 3 cos2 x を sin 2x と cos 2x の式で表すと y = となり，0 5 x 5 ¼ である． における y の値の範囲は (5) ある粒子を 1 枚で 50 % 遮断できる繊維がある．この繊維を少なくとも 99 % 以上遮断できる．ただし，log10 2 = 0:3010 とする． 2 n P $ k< Sn k=1 = (6) Sn = であり， lim のとき，S3 = n P 2 n!1 n k 枚重ねれば，この粒子を である． k=1 （ 愛知工業大学 2010 ） 6 関数 f(x) は f(x) = 3x + 2 (1) Z 1 0 f(x) dx = a; Z Z 1 0 (t + ex )f(t) dt をみたしている．ただし，e は自然対数の底である． 1 0 xf(x) dx = b とするとき，f(x) を x; a; b の式で表せ． (2) a; b の値および f(x) を求めよ． （ 愛知工業大学 2010 ） -2- 7 f(x) = 8x ¡ x2 とする． f(4) ¡ f(2) = f0 (c) をみたす c を求めよ． 2 (2) xy 平面において，(1) で求めた c について，点 (c; f(c)) における曲線 y = f(x) の接線，曲線 y = f(x) (1) および y 軸で囲まれた部分の面積を求めよ． （ 愛知工業大学 2010 ） 8 次の を適当に補え． (1) x2 ¡ 2y2 + xy + 5x + y + 6 を因数分解すると (2) 連立不等式 W x2 ¡ 2x ¡ 3 < 0 x2 + 3x + 1 > 0 となる． をみたす x の範囲は である． (3) x の 2 次方程式 x2 ¡ 2ax ¡ a2 + 1 = 0 が実数解をもたないような実数 a の範囲は である． (4) 初速 v m = 秒 で地上から真上に投げたボールの x 秒後の高さ y m は，y = vx ¡ 5x2 で表されるものとす る．地上から真上に投げたボールが 3 秒後に最高点に達したとすると，ボールの初速は あり，最高点の高さは m である． (5) 4 桁の自然数で各位の数字がすべて異なるものは全部で は全部で m= 秒で 個あり，そのうち，1234 より大きいもの 個である． (6) 平面上に半径 1 と半径 2 の円がある．共通接線がちょうど 3 本引けるとき，この 3 本の接線によって囲ま である． れる三角形の面積は 1 であるという．A 君が少なくとも 1 校に合 2 である．また，合格した大学には 1 校につき 30 万円の入学金を支払うとすると，支 (7) A 君は 3 校の大学を受験し，合格する確率はすべて等しく 格する確率は 払う入学金の期待値は 円である． （ 愛知工業大学 2010 ） -3-
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