離散数学演習問題 (1) 解答 1. A = {a, b, c}, P = {1, 2, 3}, Q = {2, c} のとき (a) A ∩ P = φ (b) A ∪ P = {a, b, c, 1, 2, 3} (c) A ∪ Q = {a, b, c, 2} (d) A × Q = {(a, 2), (b, 2), (c, 2), (a, c), (b, c), (c, c)} (e) n (A ∪ (P ∩ Q)) = 4 (f) (A ∪ P ) \ Q = {a, b, 1, 3} 2. 素数の個数は無限個である。6780 の倍数は,6780 に任意の整数を掛けたものすべ てであるから,個数は無限個になる。答えは (a), (b), (c), (h) である。 3. 魚の好きな人の集合を F ,野菜が好きな人の集合を V ,肉が好きな人の集合を M とする。そうすると,題意より n(F ) = 25, n(V ) = 38, n(M ∩ V ) = 16, n(M) = 50, n(M ∩ F ) = 12, n(F ∩ V ) = 10, n(F c ∩ V c ∩ M c ) = 5 となる。 求めるものは n(M ∩ V ∩ V ) であり,それは公式 n(F ∪ V ∪ M) = n(F ) + n(V ) + n(M) − n(M ∩ V ) − n(M ∩ F ) − n(F ∩ V ) + n(M ∩ V ∩ V ) よりであるから n(F ∩ V ∩ M) = n(F ∪ V ∪ M) − n(F ) − n(V ) − n(M) + n(M ∩ V ) + n(M ∩ F ) + n(F ∩ V ) として求まる。したがって,上式右辺の未知量 n(F ∪ V ∪ M) (少なくともどれか一 つが好きな人の数) を求める必要がある。 少なくともどれか一つ好きな人の集合は,全てが嫌いな人の余集合であるから n(F ∪ V ∪ M) = 90 − n(F c ∩ V c ∩ M c ) = 85 となる。したがって, n(F ∩ V ∩ M) = 85 − 25 − 38 − 50 + 16 + 12 + 10 = 10 を得る。 4. (a) R = {(2, 5), (4, 4), (6, 3), (8, 2), (10, 1)} (b) R の定義域は {2, 4, 6, 8, 10},値域は {5, 4, 3, 2, 1} (c) R−1 = {(5, 2), (4, 4), (3, 6), (2, 8), (1, 10)} (d) R ◦ R = {(4, 4)} 5. (a) 関係 “x は y 以下” は反射的,反対称的でかつ推移的 (b) 関係 “x + y = 12” は対称的 (c) 関係 “x y はある整数の二乗である” は反射的,対称的かつ推移的 6. (a) n a r k−1 = k=1 a (1 − r n ) 1−r 解答: n = 1 のときは,左辺=右辺=a となり明らかに成り立っている。任意の n で成り立っているものとすと,n + 1 のときは n+1 k=1 ar k−1 = n a r k−1 + a r n = k=1 a (1 − r n ) a (1 − r n+1 ) + a rn = 1−r 1−r となり等式は成立している。 (b) 省略 (c) 省略 1 1 1 n (d) A = のとき An = 0 1 0 1 解答:n = 1 のときは明らかに成立している。任意の n で成り立っているもの とすると,n + 1 のときは 1 n 1 1 1 n + 1 An+1 = An · A = = 0 1 0 1 0 1 あるいは An+1 = A · An = 1 1 0 1 1 n 1 n+1 = 0 1 0 1 (e) 省略 n x sin nx sin n+1 2 x 2 (f) sin kx = sin 2 k=1 解答:n = 1 のときは明らに成り立っている。任意の n で成り立っているもの と仮定すると,和を積に,積を和に変換する公式を用いて,n + 1 のときは nx n+1 sin n+1 x sin 2 x 2 + sin(n + 1)x sin kx = sin 2 k=1 n+1 sin 2 x sin n2 x + sin(n + 1) x sin x2 = sin x2 x 1 cos 2 − cos(n + 12 )x + 12 cos(n + 12 )x − cos(n + 32 )x 2 = sin x2 cos x2 − cos(n + 32 )x = 2 sin x2 sin n+2 x sin n+1 x 2 2 = sin x2 (g) 省略 (h) n = 1 のとき成り立つのは明らかである。任意の n で成り立つとする。ここで, In = xn dx と置くと,帰納法の仮定より In = xn+1 n+1 となる。In+1 は,部分積分を行うことにより n+1 In+1 = x dx = xn · x dx n+1 x xn+1 ·x− dx = n+1 n+1 I xn+2 = − n+1 n+1 n+1 となる。これを In+1 について解くことによって In+1 = xn+2 n+2 となり,すべての n について成り立つ。
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