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いうえおかきくいうえおかき
2016 年度大学入試センター試験解説〈数学Ⅱ・B〉
第１問
〔 1 〕
5
(1)
5
5
8  23 より, 8 6  23  6  2 2  2
2
1
2
1
 22  2 2  4 2
……ア，イ
また,底の変換公式を用いると,
1
2
log3
1
9  log3 3  2
log27 
9 log3 27
3
log3 33
……ウエ，オ
である。
(2)
 1 x
y  2 ,y    のグラフは,それぞれ
2
y=
x
8 9
1
2
y
x
y = 2x
右図のようになり,この 2 つのグラフは
y 軸に関して対称
 2
……カ
である。
ここで, a  0,a  1 のとき,
1
x
O
x
y  a と y  loga x のグラフが直線 y  x に関して対称
であることから, y  2x のグラフと y  log2 x のグラフは
 3
直線 y  x に関して対称
である。さらに, y  log1 x と y  log2
2
……キ
y
1
は,
x
y = log 2x
log2 x
log2 x
log2 x


  log2 x
log 1 x 
1 log2 2 1
1
2
log2
2
1
log2  log2 1  log2 x   log2 x
log2 1  0 より
x
O
1
x
y = -log 2x
であるから,いずれのグラフも右図のように,
y  log2 x のグラフと x 軸に関して対称
 1
である。
-1-
……クおよびケ
いうえおかきくいうえおかき
(3)
log2
x
 log2 x  log2 4  log2 x  log2 22  log2 x  2
4
さらに,底の変換公式を用いると,
log4 x 
log2 x log2 x

2
log2 4
であるから, t  log2 x とおくと,
2

x
y  log2   4 log4 x  3

4
log2 x
2
 log2 x - 2  4 
3
2
t
2
 t  2  4   3
2
 t 2  4t  4  2 t  3
コ,サ
 t2  6 t  7
y  log2 x のグラフより, t  log2 x で x  0 の範囲を動くとき,
t のとり得る値の範囲は実数全体
 3 である。
……シ
したがって,
y  t 2  6t  7
2
  t  3  2
より, t  3 のとき,すなわち,
……ス
log2 x  3 より, x  23  8 のとき,
……セ
y は最小値 2 をとる。
……ソタ
〔 2 〕
 1
1 
0

cos 2 x  sin2 x  k 
 cos 2 x sin2 x 
①
(1) ① の左辺を整理すると,
sin2 x  cos 2 x
sin2 x cos 2 x
cos 2 x  sin2 x
 cos 2 x  sin2 x 
2 k
sin x cos x
cos 2 x  sin2 x  k 
であるから,① は


k
2
2
1 
2   cos x  sin x  0

sin x cos x 
と変形でき,この両辺に cos 2 x sin2 x をかけると,
sin x cos x
2
 k   cos 2 x  sin2 x  0
となる。
-2-
いうえおかきくいうえおかき
これに,2 倍角の公式
cos 2 x  sin2 x  cos 2x,
2 sin x cos x  sin 2x
を用いて ① を変形すると
 sin 2x 2




  k

 cos 2x  0


 2 



すなわち,
 sin2 2x



 4  k cos 2x  0


を得る。ここで, 0  x 
2x 
②
……チ
p
において cos 2x  0 となるのは, 0  2x  p より,
2
p
p
すなわち x 
2
4
のときであり,このとき ② は成り立つ。
したがって,k の値に関係なく, x 
また, 0  x 
p
のときはつねに ① が成り立つ。……③
4
p
より, 0  2x  p であるから,
2
……ツ
1
sin 2x
0  sin 2x  1
これより, 0  sin2 2x  1 であるから,
2x
sin2 2x
 k  0 すなわち sin2 2x  4k
4
④
O
-1
1

1
p
を満たす x 0  x   は, 0  4k  1 すなわち 0  k  のときに存在し,

2
4
k
p
1
のとき,① を満たす x は ③ より,
4
4
……テ，ト
のみである。
ここで, 0  k 
1
のとき,④ より sin 2x   4k  2 k であるが,
4
1
0  2x  p のとき, sin 2x  0 より,
sin 2x
sin 2x  2 k
2U k
これを満たす 2x 0  2 x  p  は,右図の単位円から
2 つあり,一方は, 0  2x 
p
p
すなわち 0  x  ,
2
4
p
p
p
他方は,  2x  p すなわち
 x  にある。
2
4
2
これらはいずれも x 
2x
-1
O
1
p
とは異なるので,このとき ① を満たす x の個数は 3 個である。 ……ナ
4
-3-
いうえおかきくいうえおかき
また, k 
1
のとき,④ より, sin2 2x  1
4
であり,この x は 2x 
p
p
すなわち x  となり,これは ③ のときの x と一致する。
2
4
したがって,このとき ① を満たす x の個数は 1 個である。
(2)
k
……ニ
p
p
p
4
のとき,  x  より,
 2x  p であるから,
4
2
2
25
cos 2x  0 すなわち ④ を満たす x について考えればよく,
sin2 2x 
ここで,
16
4
より, sin 2x 
5
25
……ヌ，ネ
p
 2x  p に注意すると, cos 2x  0 より,
2
 4 2
3
9
cos 2x   1  sin2 2x   1     

5
25
5
……ノハ，ヒ
したがって,
cos 2x  2 cos 2 x  1
より,
2 cos 2 x  1  
これより, cos 2 x 
cos x 
1
5
3
2
すなわち 2 cos 2 x 
5
5
1
p
p
であり,  x  より, cos x  0 であるから,
4
2
5

5
5
……フ，へ
-4-
いうえおかきくいうえおかき
第2 問
(1) 図形 D の面積 S は,
 1 2 1 1 2 
 x   x  dx
 2
2 4 

a 1  1
1 
   x 2   dx
a
2 
 4
S
1
1
C 1: x 2 +
2
2
a 1
y
a
ア，イ
 1 3 1  a 1
  x  x
 12
2  a
C 2:y=
1 2
x
4
D
1
1
3
 a  1  a3    a  1  a 
12 
2
1
1
 3a 2  3a  1 
12
2
a2 a 7

 
ウ～キ
4
4 12

1
2
a
O
x
a+1
よって,
2
1 
1 
1
7
S  a    
4
2  16 12
2
1
1
25
 a   
4
2
48
であるから,S は a 
25
1
で,最小値
をとる。
48
2
(2) 直線 y  1 と, C1 : y 
……ク～セ
1 2 1
x  の交点の x 座標は,
2
2
1 2 1
x   1 より, x 2  1
2
2
よって, x  1 より,交点の座標は,
 1,1
……ソ
直線 y  1 と, C2 : y 
1 2
1
x の交点の x 座標は, x 2  1 より, x 2  4
4
4
よって, x   2 より,交点の座標は,
 2,1
……タ
y
したがって,
C1
a  0 の範囲を動くとき,正方形 R と図形 D の共通部分が
空集合にならないのは,
0a
かつ
a2
C2
R
すなわち,
0a2
のときである。
……チ
1
1
2
O
-5-
a
1
a+1
2
x
いうえおかきくいうえおかき
y
C1
y
C1
C2
C2
1
1
R
1
2
O
1
a
2
x
a+1
R
1
2
O
1
a
2
1  a  2 の範囲で a が増加するとき,下図のように,a が a0 から a1
a+1
x
1  a0  a1  2 に
変化する様子を考える。
y
C1
C2
T0 T1
1
1
2
O
1 a0 a1 2
x
a 1+1
a 0+1
a0 に対応する T を T0 , a1 に対応する T を T1 とすると, T1 は T0 に含まれるので,


1  a  2 の範囲で a が増加するとき,T は減少する。  1
……ツ
したがって,T が最大となる a の値は, 0  a  1 の範囲にある。
このとき,正方形 R の頂点  a,1 は,
y
1 2 1
x 
2
2
C1
にあるので,右図のようになり,
図形 D のうち R の外側にある部分の面積 U は,
1 2 1

 x   1 dx
 2

2
a 1  1
1
   x 2   dx
1
2
2
U
a 1
U
1
1
a 1
1
1 
  x3  x
 6
2  1

C2
R
1
1
a  13  13   2 a  1  1
6
-6-
1
2
O
a
1
a+1
2
x
いうえおかきくいうえおかき
1 3
1
 a  3 a 2  3 a  2 a
6
a3 a 2


6
2

テ，ト
である。
よって, 0  a  1 において,
T  SU

a 2 a 7  a3 a 2 
     
4
4 12  6
2 

a3 a 2 a 7

 
6
4
4 12
ナ，ニ，ヌ
である。
T
T  f a とおくと,
1
4
-1 - U 3
2
2
a
a 1
 
2
2 4
1
  2a 2  2 a  1
4
f '  a  
＋
O
-1 + U 3
2
a
- 1
であるから,
f ' a  0 すなわち 2 a 2  2 a  1  0
となる a 0  a  1 が a 
1  3
2
のようになる。
これより,T は a 
…
-1 + U 3
2
…
f -0 a 1
+
0
-
f0 a 1
9
a
であることより, f  a の増減表は右の表
1  3
2
で最大値をとることがわかる。
0
1
:
……ネ～ヒ
-7-
いうえおかきくいうえおかき
第3 問
m  2 のとき,分母が m である分数の項からなる数列を第 m  1 群と呼ぶことにする。
第 m  1 群の分子は,1 から m  1 の値をとるので,第 m  1 群の項数は, m  1 項
である。……(*)
1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1
, , , , , , , , , , ,
2 
3 3 
4 
4 4 
5 5 5 5 6

第1群
第 2群
第 3群
第 4群
(1) 1  2  3  4  5  15 より, a15 は第 5 群の末項である。
第 5 群の分母は 6 であり, 右のように並ぶので,
a15 
5
6
1 2 3 4 5
,,,,
6 6 
6 6 6

……ア，イ
第 5群
また,分母に初めて 8 が現れるのは第 7 群の初項であり,第 1 群から第 6 群までの項の総数は,
(*)より,
123456 
1
 6  7  21
2
よって,第 7 群の初項は， a 22 である。
……ウエ
(2) 第 Mk 項は第 k  1 群の初項である。(1)の後半と同様に,第 1 群から第 k  2 群まで
の項の総数は,(*)より,
1  2    k  2 
1
1
3
k  2 k  1  k2  k  1
2
2
2
よって,
1

3
1
3
Mk   k2  k  1  1  k2  k  2
2

2
2
2
また,第 Nk 項は Nk  Mk 1  1 より,
1
k  1  2  k  1  1  1  1
2
1
 k  1 k
2
1 2 1
コ～ス
 k  k
2
2
Nk 
である。
ここで, a104 が属する群を第 k  1 群とすると,
Mk  104  Nk
より,
1
1
k  2 k  1  1  104  k  1 k
2
2
k  2 k  1  2  208  k  1 k ①
-8-
……オ～ケ
第 ( k 1) 群


1 2 3
k 1
1
, , ,,
,
k k k
k
k1

第 Mk 項

第 Nk 項

第 Mk 1 項


 N が第 1 群から第 k  1 群までの項の総数と 
k




 一致していることを用いて



1




1  2    k  1  k  1 k


2


1 2 1


 k  k


2
2


 としてもよい。



いうえおかきくいうえおかき
であるから, k  15 のとき,
k  2 k  1  2  13  14  2  184
k  1 k  14  15  210
より,① を満たすから, a104 は第 14 群の項である。
ここで,
1
M15  13 14  1  92
2
より, a104 は第 14 群の
104  92  1  13 (番目)
の項であるから,
a104 
13
15
……セ～チ
(3) 数列  an  の第 Mk 項から第 Nk 項までの和は,第 k  1 群の項の総和で,このとき,分母は k
であるから,分子には,1 から k  1 までが並ぶ。
よって,第 k  1 群の分子だけの総和は,
1  2    k  1 
k  1 k
2
より,求める和は
k  1 k
1
k 1 1
2

 k
2
2
2
k
②
……ツ～ナ
したがって,初項から第 Nk 項までの総和は,第 1 群から第 k  1 群の末項までの総和であり,
1
1
② より,各群の項の総和が初項 ,公差の等差数列となっていることに注意すると,
2
2
1  1
1
  k  
1
1
1
2 2
2
 k  1  k k  1  k2  k
2
4
4
4
……ニ～ノ
第 14 群の末項は (2)より a105 であるから,第 1 群から第 14 群までの項の総和が,
105
103
a
n 1
n

a
n 1
n
 a104  a105
であることに注意して,
103
a
n 1
n
105

a
n 1
n
 a104  a105
1
13 14
 15  14  
4
15 15
105 9 525  18 507

 

2
5
10
10

ハ～ホ
-9-
いうえおかきくいうえおかき
第4 問
(1)
60,
 
 
a  b  a b cos 60
3
1
 32  3
2
 
 
a  c  a c cos 60
60,
sa
2
2
P
1
 32  3
2
 
 
b  c  b c cos 60
 22
O
A
C
1- t
B
1
2
2
t Q
より,
 
   
a  b  a  c  3,b  c  2
①
……ア，イ
である。

  


PQ  OQ  OP  s a  1  t b  t c ②
より,

PQ
2






  s a  1  t b  t c   s a  1  t b  t c
 2
 2
 2
2
 s 2 a  1  t b  t 2 c
 
 
 
2s 1  t a  b  2st a  c  2t 1  t b  c






これに, a  3 , b  c  2 ,および ① を用いて

PQ
2
2
 9s 2  4 1  t  4t 2  6s 1  t  6st  4t 1  t
 9s 2  6s  4t 2  4t  4
2
2
 3s  1  1  2t  1  1  4
2

  2 t  1
 3s 1
2
③
2
ウ～キ
となる。

したがって, PQ が最小となるのは,③ が最小となるときであり,
2
2
3s  1  0,2t  1  0 であるから,
3s  1  0
かつ 2t  1  0 ,すなわち s 
1
1
,t 
3
2
……ク～サ
のときである。
このとき,③ より,

PQ
2
 2 すなわち

PQ  2 となる。
- 10 -
……シ
いうえおかきくいうえおかき
(2)

1
1
PQ  2 のとき,(1)より, s  ,t  である。
3
2
A
C
よって,② より
G

1  1  1 
PQ   a  b  c
3
2
2
Q
であるから,
B
    1  1  1  
OA  PQ  a   a  b  c 
 3
2
2 





2
1
1
1  
  a  ab  ac
3
2
2
O
P

a  3 と ① より,
A
 
1
1
1
OA  PQ    3 2   3   3  0
3
2
2
C
G
……ス
Q
B
よって, OA  PQ より, APQ  90 である。
……セソ
したがって,三角形 APQ の面積を S とすると,

1
AP  3  OP  3   3  2, PQ  2
3
であるから,
S
1
1
AP  PQ   2  2  2
2
2
……タ
 1  1 
また,G は三角形 ABC の重心であり, OQ  b  c であるから,
2
2
  

abc
OG 
3
1  2  1  1  
 a    b  c 
3
3 2
2 


1  2   OA  2 OQ 
 OA  OQ  

3
3
2 1


チ～ト
よって,G は線分 AQ を 2 : 1 に内分する点である。
……ナ
以上のことから,三角形 GPQ の面積を T とすると,
Ｐ
S : T  AQ : GQ  3 : 1 より 3T  S
よって,
T
1
2
S
3
3
……二，ヌ
Ａ
②
である。
- 11 -
Ｇ
①
Ｑ

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