1 ¡! v = $ dx dt

1
関数 s(t) はつねに s0 (t) > 0 をみたし，s(0) = 0 とする．座標平面上を運動する点 P の
座標 (x; y) は，時刻 t の関数として x = s(t)，y =
¡
!
dy
dx
<は
v =$
;
dt
dt
¡
!
jvj= C
3
1
fs(t)g2 で与えられ，点 P の速度
2
`1 : y =
5
x および
2
`2 : y = ¡
1
x
2
は C に接するものとする．C と `1 の接点を P，C と `2 の接点を Q とする．以下の問いに答えよ．
1
1 + fs(t)g2
をみたすとする．また，® = s #¡
放物線 C : y = ax2 + bx + c (a > 0) を考える．2 本の直線
(1) ®; ¯; ° (® Ë 0) を定数とするとき，2 次方程式 ®x2 + ¯x + ° = 0 が重解を持つための条件
4
4
;，¯ = s # ; とおく．次に答えよ．
3
3
dx
(1)
= f(x) が成り立つように関数 f(x) を定めよ．
dt
Z0
Z 4
3
1
4
4
dx
1
dx
(2)
=
dt，
=
dt を用いて，® と ¯ の値を求めよ．
4
3
3
dt
dt
¡
0
f(x)
f(x)
3
d2 x
= g(x) が成り立つように関数 g(x) を定めよ．また，® 5 x 5 ¯ のとき g(x) が最大と
dt2
なる x の値を求めよ．
を求めよ．
(2) b の値を求めよ．また，c を a を用いて表せ．
(3) P，Q の x 座標を a を用いて表せ．
(4) a の値にかかわらず C の頂点は直線 m 上にある．m の方程式を求めよ．
(5) C と `1 ，`2 で囲まれた部分の面積を a を用いて表せ．
(3)
4
A + B = E，AB = O をみたす 2 £ 2 行列 A; B を考える．ただし，E は単位行列，O は零行
列である．以下の問いに答えよ．
(1) A2 = A，B2 = B，BA = O となることを示せ．
(2) (A + ®B)n = A + kn B をみたす実数 kn を推測し，その推測が正しいことを数学的帰納法を
¼
¼
;，g(x) = sin 2x #0 5 x 5
; について，次に答えよ．
関数 f(x) = ¡ tan x #0 5 x 5
4
4
Z
Z
(1) 不定積分
tan x dx， tan2 x dx を求めよ．
¼
(2) b > 0 とする．曲線 y = g(x) および 3 直線 y = ¡b，x = 0，x =
で囲まれた部分を直線
4
y = ¡b のまわりに 1 回転してできる立体の体積 V1 を b を用いて表せ．
¼
(3) 0 5 x 5
のとき，不等式 f(x) + g(x) = 0 を示せ．
4
¼
1
(4) 2 曲線 y = f(x)，y = g(x) および直線 x =
で囲まれた部分を直線 y = ¡ p のまわり
4
3
に 1 回転してできる立体の体積 V2 を求めよ．
用いて証明せよ．ただし，® は実数であり，n は自然数である．
2
(3) A + ®B = '
5
f(x) =
えよ．
¡1 ¡3
2
4
? であるとき，A; B と実数 ® を求めよ．
1
¼
¼
sin x ¡ x cos x
，g(x) =
x+
とする．
< x < ¼ のとき，以下の問いに答
2
2
4
2
¡ cos x
¼
(1) f0 (x) を求めよ．
(2) f0 (x) > 0 を示せ．
¼
< f(x) < ¼ を示せ．
(3)
2
(4) f(x) < g(x) を示せ．
6
点 P は次の 1，2，3 の規則に従って数直線上を動く．
7
を用いて
1 時刻 0 で，P は整数座標点 0 から 10 のいずれかの位置 i (0 5 i 5 10) にある．
2 時刻 t (t = 0; 1; 2; Ý) に位置 i (1 5 i 5 9) にある P は，t + 1 には確率 p #0 < p <
で位置 i + 1 に，確率 1 ¡ p で位置 i ¡ 1 に移動する．
a; b を実数とし，行列 A を 2 次の正方行列とする．x; y についての連立 1 次方程式を，行列
1
;
2
3 時刻 t に位置 0 または 10 にある P は，t + 1 にもその位置に留まる．
A&
x
y
a
b
>
ÝÝ(¤)
と表す．次に答えよ．
以下の問いに答えよ．
(1) P が時刻 0 で位置 2 にあるとき，時刻 3 で位置 0 にある確率を求めよ．
>=&
(1) A = '
3 2
6 4
? のとき，連立 1 次方程式 (¤) を解け．
(2) P が時刻 0 で位置 1 にあるとき，時刻 3 で位置 0 にある確率を求めよ．
時刻 0 で位置 i にある P が，いずれかの時刻で位置 0 に到達する確率を qi とする．ただし，
q0 = 1，q10 = 0 である．1 5 i 5 9 のとき，qi+1 ，qi ，qi¡1 の間には qi = pqi+1 + (1 ¡ p)qi¡1
の関係が成り立つ．
(3) qi+1 ¡ qi =
(qi ¡ qi¡1 ) である．空欄に入る適切な数または式を求めよ．
(4) qi を q1 と p を用いて表せ．
(5) q1 を求め，qi を p を用いて表せ．
(2) c を実数とし，a Ë 0; b Ë 0 とする．また，A = '
a b
c 1
? とする．
‘ a Ë bc とする．連立 1 次方程式 (¤) がただ 1 つの解をもつことを示せ．また，連立 1 次方
程式 A2 '
x
y
?='
a
b
? もただ 1 つの解をもつことを示せ．
’ 連立 1 次方程式 (¤) が解をもたないための必要十分条件を a; b; c を用いて表せ．この条件
が成り立つとき，連立 1 次方程式 A2 '
x
y
?='
a
b
? も解をもたないことを示せ．
“ 連立 1 次方程式 (¤) が解を無数にもつための必要十分条件を a; b; c を用いて表せ．この条件
が成り立つとき，自然数 m に対して，連立 1 次方程式
(A + A2 + A3 + Ý + A2m¡1 ) &
も解を無数にもつことを示せ．
x
y
>=&
a
b
>
8
頂点が O で，各辺の長さが 1 である正四角錐 O-ABCD がある．辺 OA，CO を t : 1¡t (0 < t < 1)
に内分する点をそれぞれ P，Q とし，辺 OD を k : 1 ¡ k (0 < k < 1) に内分する点を R とす
¡
! ¡! ¡
! ¡! ¡
! ¡!
る．また， a = OA， b = OB， c = OC とおく．次に答えよ．
¡! ¡
! ¡
! ¡
!
¡
! ¡
!
(1) OD を a ; b ; c を用いて表せ．また，内積 a ¢ c の値を求めよ．
¡! ¡!
(2) 内積 BR ¢ PQ を k; t を用いて表せ．
(3) 点 R が 3 点 P，B，Q の定める平面上にあるとする．
‘ k を t を用いて表せ．
’ t の値が変化するとき，k の最大値を求めよ．また，k が最大値をとるときの四角形 PBQR
の面積 S を求めよ．
9
関数 f(x) = log x がある．曲線 y = f(x) の点 (t; log t) における接線の方程式を y = g(x)
とするとき，次に答えよ．ただし，対数は自然対数を表し，e は自然対数の底とする．
(1) x > 0 のとき，不等式 f(x) ¡ g(x) 5 0 を証明せよ．
(2) t >
Z t+ 1
Z t+ 1
2
2
1
f(x)
dx
と
g(x) dx をそれぞれ t を用いて表せ．
のとき，
1
1
2
t¡
t¡
2
2
1
1 n+ 2 ¡n
e の大小を比較せよ．
(3) 自然数 n に対して，n! と 2 #n + ;
2
B
x2
+ y2 = 1 (x = 0) と曲線 C2 : x2 + y2 = 1 (x = 0) がある．曲線 C1 の点
4
p
p
P( s; t) (s > 0; t > 0) における法線を ` とする．次に答えよ．
10 曲線 C1 :
(1) s を t を用いて表せ．また，直線 ` の方程式を t を用いて表せ．
(2) 直線 ` が曲線 C2 に接するときの点 P の座標および接点 Q の座標を求めよ．
(3) P，Q は (2) で求めた点とし，点 (0; 1) を R とする．曲線 C1 ，弧 RQ および線分 PQ で囲まれ
た図形を y 軸のまわりに 1 回転してできる立体の体積 V を求めよ．

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