問題PDF版

日図 lのように床 ABおよび床 CDからな掛かない上下 2段の水平な床があ
り，下段の床 CD上には質量 M の水平な台が静止している。台の上面は，上段
の床 ABと同じ高さで接している。質量 m の小球が速度 U(
v>0）で上段の床
ABから台の上に乗るとき，以下の問いに答えなさい。ただし，台や小球の速度
と加速度は右向きを正とし，重力加速度の大きさは g とする。また，小球と床
ABとの聞には摩擦がないものとし，小球の大きさは無視できるものとする。
まず，図 Iのように，台の上に質量と厚さが無視できる両面粘着テープを取り
付けた。小球が両面粘着テープの位置に達すると，台と小球が一体となって床
CD上をすべり始めた。このとき，小球と台との問，および台と床 CDとの聞に
は摩擦がないものとする。
小球
両面粘着テープ
m
A
み
床
、
，
.ι
完 η・
.
i
事
∼
"
φメ
ヘミ t1，~点台
c
床
v
D
図l
問 l 台と小球とが一体となって床 CD上をすべり始めたときの速度を M, m
,
v
, gのうち必要な記号を用いて表しなさい。
-2-
＞
くM6(
6
9
5 6
8
)
次に，図 2のように両面粘着テープをはずして台の上面の材質を変え，小球と
台との問に摩擦力が生じるようにした。小球と台との問の動摩擦係数を μ とす
1後に台上
。小球は台の上に乗ってから，台の上を距離 fだけ進んで，時間 T
る
で静止した。ただし，台は床 CD上で動かないように固定されているものとす
。
る
小球
m
A
床
c
D
床
図2
1および fの値を M, m, v, g, μのうち必要な記号を用いて，それぞ
問 2 T
れ表しなさい。
-3-
。
M6(695-69)
さらに，図 3のように台の固定をはずし，台が床 CD上をなめらかにすべるよ
うにしたところ，小球は台に乗ってから時間 T
2後に台上で静止し，台と一体と
なって動いた。小球が台の上を移動している間の，床に対する小球および台の加
速度をそれぞれ α，dとし，台と床 CDとの聞の摩擦はないものとする。
小球
η1
A
床
c
D
床
図3
問 3 小球が台の上を移動している聞の，床に対する小球および台の運動方程式
を
， M, m, v
,g
, μ，α，dのうち必要な記号を用いて書きなさい。
， M, m, v
,g
, μのう
問 4のグラフ中に記入する値，ならびに問 5，問 6は
ち必要な記号を用いて答えなさい。
，縦軸を床に対する小球およ
問 4 横軸を小球が台に乗ってから経過した時間 t
ぴ台の速度としたグラフを描きなさい。ただし，床に対する小球の速度を破
, t= T
2お
線（一−−−−−）で，台の速度を実線（ー一一一）で示すものとし， t= 0
よび t=2T2のときの床に対する小球および台の速度が分かるようにグラ
フの縦軸に記入しなさい。
問 5 T2の値を求めなさい。
問 6 小球が台上で静止するまでの聞に，台が床 CD上を移動した距離を求めな
さい。
-4-
<
)M6(
6
9
5-7
0
)
囚図のように水平右向きを x軸の正の向き鉛直上向きを y軸の正の向きとし
原点 O にある質量 m の小球を地表から打ち上げ，ばねを使った装置に衝突させ
る場合の運動を考える。
この装置は，ばね定数 hの軽いばねと質量 M の平らな板からなり，図のよう
にばねの一端に板が取り付けられており，ばねのもう一端は地中に固定されてい
る。板の質量 M は小球の質量 m より大きく，板の厚さは無視できるものとす
る。この板はその中心が原点から距離 Lの位置に設置されており，板の x軸方
向の板幅は距離 Lに比べて十分小さい。また，板はそのつりあいの位置におい
て地表と同じ高さにあり，常に水平を保つとする。
初めに，板はつりあいの位置で静止していた。そして，小球が板の中心に衝突
するよう，時刻 t= 0に仰角。（ 0。
＜
e<g
o。），速さ uで小球を打ち上げた。小
球と板の衝突は弾性衝突であるとし，小球の運動は xy平面内に，ばねの運動は
y方向に限られるとする。小球の加速度の x軸方向と y軸方向の成分をそれぞれ
a
x
.a
y，重力加速度の大きさを g とするとき，以下の問いに答えなさい。ただ
し，空気抵抗および板とまわりの摩擦の影響は無視できるものとする。
y
図
5-
）
く M6(695 71)
問 l この小球が板に衝突するまでの運動方程式を x軸方向と y軸方向のそれぞ
y
.g
,m
,t
,
れについてめ， a
eのうちから必要な記号を用いて表しなさ
問 2 小球が板に衝突するまでの任意の時刻 tにおける小球の x座標， y座標を
, v
,
それぞれ g, m, t
eのうちから必要な記号を用いて表しなさい。
問 3 距離 Lを g
, m, v
,
eのうちから必要な記号を用いて表しなさい。
問 4 板に衝突する直前の小球の速度の y軸方向の成分を g
, m
, M, v
, 8のう
ちから必要な記号を用いて表しなさい。
問 5 板に衝突した直後の小球と板のそれぞれの速度の y軸方向の成分を g
,
k
, m, M, v
, 8のうちから必要な記号を用いて表しなさい。
小球が板に衝突した後，板はつりあいの位置を中心として単振動をはじめ，そ
の後，小球と再び衝突することはなかった。
問 6 小球が板に衝突した後の板の振動の周期を g
, k
, m, M, v
, 8のうちか
ら必要な記号を用いて表しなさい。
問 7 小球が板に衝突した後の板の運動の振幅を g
, I
i
, m, M, v
, 8のうちか
ら必要な記号を用いて表しなさい。
問 8 小球が板に衝突した後，小球が次に地表と接する地点の x座標を g
, k
,
L
, m, M, vのうちから必要な記号を用いて表しなさい。
,L
,m
,
問 9 小球が板に衝突した後，小球が次に地表と接する時刻を g, k
M, Bのうちから必要な記号を用いて表しなさい。
-6-
。
M6(
6
957
2
)
回図 lのように単位長さあたりの質量的長されの十分に細い導体棒があ
る。その導体棒のそれぞれの端には長さ tの絶縁体でできたひもがとりつけられ
ており，導体棒が水平になるように水平な天井からつるされている。このとき，
2本のひもはともに鉛直方向を向いていた。導体棒の両端には十分に細い導線が
とりつけられ，抵抗値 Rの抵抗を通して，起電力 Eの直流電源につながれてい
る。この導体棒に磁束密度 Bの一様な磁場をかけることを考える。
ただし，図 lに示すように，導体棒と平行に x軸（紙面右向きが正），鉛直方向
に z軸（上向きが正），それらと垂直な方向に y軸（紙面手前から奥の向きが正）を
とる。重力加速度の大きさを g とする。また，導線や導体棒の抵抗，電源の内
部抵抗，空気抵抗や摩擦の影響，導体棒の運動にともなう誘導起電力，導線の質
量，導線が磁場から受ける力は無視できるとする。導体棒は常に x軸に平行に
なっており， x軸方向には運動しないとして，以下の問いに答えなさい。
x
導線
直流電源抵抗
図l
まず，磁場をかけていない場合を考える。
問 1 導体棒に流れる電流の大きさ Iを Eと Rを用いて表しなさい。
-7-
）
く M6(
6
9
5 7
3
)
問 2 導体棒を x軸に平行な状態に保ったまま， y軸の正の向きに微小な初速度
oを L
,1
，ρ，g
を与えたところ単振動を始めた。このとき，単振動の周期 T
のうち必要な記号を用いて表しなさい。
0
LV
3
・
,1
，ρ，g
,B
, Iのうち必要な記号を用いて答えなさ
以下の解答はすべて， L
次に， x軸の正の方向に一様な磁束密度 B(B>0）の磁場をかけている場合を
考える。
問 3 導体棒に流れる電流が磁場から受ける力の大きさ F1を求めなさい。
問 4 導体棒に y軸の正の向きに微小な初速度を与えたところ単振動をはじめ
た。このとき単振動の周期 T
10)Toi
：：対する比去を求めなさい。
今度は， y軸の正の方向に一様な磁束密度 B(B>0）の磁場をかけている場合
を考える。
問 5 導体棒に流れる電流が磁場から受ける力の大きされを求めなさい。
問 6 導体棒に y軸の正の向きに微小な初速度を与えたところ，ひもがたるむこ
となく，導体棒は単振動をはじめた。このとき，単振動の周期 T
2の T
oに
対する比子を求めなさい。
10
-8-
。
M6(695 7
4
)
囚図 1のように単位長さあたりの質量的長されの十分に細い導体棒があ
る。その導体棒のそれぞれの端には長さ fの絶縁体でできたひもがとりつけられ
ており，導体棒が水平になるように水平な天井からつるされている。このとき，
2本のひもはともに鉛直方向を向いていた。導体棒の両端には十分に細い導線が
とりつけられ，抵抗値 Rの抵抗を通して，起電力 Eの直流電源につながれてい
る。この導体棒に磁束密度 B の一様な磁場をかけることを考える。
ただし，図 lに示すように，導体棒と平行に x軸（紙面右向きが正），鉛直方向
に z軸（上向きが正），それらと垂直な方向に y軸（紙面手前から奥の向きが正）を
とる。重力加速度の大きさを g とする。また，導線や導体棒の抵抗，電源の内
部抵抗，空気抵抗や摩擦の影響，導体棒の運動にともなう誘導起電力，導線の質
量，導線が磁場から受ける力は無視できるとする。導体棒は常に x軸に平行に
なっており， x軸方向には運動しないとして，以下の問いに答えなさい。
x
導線
直流電源抵抗
図l
まず，磁場をかけていない場合を考える。
間 l 導体棒に流れる電流の大きさ Iを Eと Rを用いて表しなさい。
-9-
。
M6(
6
9
5 7
5
)
問 2 導体棒を x軸に平行な状態に保ったまま， y軸の正の向きに微小な初速度
, f，ρ，g
を与えたところ単振動を始めた。このとき，単振動の周期 Toを L
のうち必要な記号を用いて表しなさい。
, Iのうち必要な記号を用いて答えなさ
, f，ρ，g, B
以下の解答はすべて， L
し
ユ。
次に， x軸の正の方向に一様な磁束密度 B(B>0）の磁場をかけている場合を
考える。
問 3 導体棒に流れる電流が磁場から受ける力の大きさ F1を求めなさい。
問 4 導体棒に y軸の正の向きに微小な初速度を与えたところ単振動をはじめ
た。このとき，単振動の周期 T1の Toに対する比与を求めなさい。
10
今度は， y軸の正の方向に一様な磁束密度 B(B>0）の磁場をかけている場合
を考える。
問 5 導体棒に流れる電流が磁場から受ける力の大きされを求めなさい。
問 6 磁束密度 Bがある値 Boより大きいとき，ひもがたるむ。その B。の値を
求めなさい。
問 7 磁束密度 Bが問 6で求めた Boより小さいとき，導体棒に y軸の正の向き
に微小な初速度を与えたところ，導体棒は単振動をはじめた。このとき，単
振動の周期 T2の Toに対する比子を求めなさい。
10
0- 1
6)
5 7
9
(6
O M6
最後に， z軸の正の方向に一様な磁束密度 B(B>0）の磁場をかけている場合
を考える。
問 8 x軸の正の方向から導体棒をみたとき，図 2のように導体棒をつるすひも
は鉛直方向下向きから角度。＝ B
oだけずれて静止していた。このときも，
導体棒は x軸に平行なままであった。 t
a
n8oの値を求めなさい。ただし，角
度。は鉛直方向下向きを Oとし，図 2中の矢印の向きを正とする。
問 9 問 8のように導体棒が静止していたとき，ひもと導体棒との両方に直交す
る方向に微小な初速度を与えたところ，導体棒は単振動をはじめた。このと
き単振動の周期 T
30)T
oI
：＝対する比去を求めなさい。
y
導線
直流電源および
抵抗へ
図2
- 1
1-
）
く M6(
6
9
5 7
7
)
回図のようになめらかに動く 2つのピストン A Bのついた断面積 Sの円筒形
の容器を，大気圧 ρ。中で水平に置く。ピストン A と Bとの問には nモルの理想
気体 Gが閉じ込められている。気体 Gの定積モル比熱は Cvである。また，ピ
ストン Bの右側は真空状態で，ばね定数 kのばねが取り付けられている。問題
文中で述べられている場合以外は気体 G と外部との熱のやり取りはないものと
する。問題文中に定義された記号を用いて，以下の問いに答えなさい。気体定数
を R とする。
B
A
ばね
大気圧 P
o
気体 G
~J)J)J)J)_;
真空
図
はじめの状態では，気体 Gの圧力は大気圧と等しくれ，体積は V
oで，ピスト
ン A, Bは静止していた。
問 l ばねは自然長からどれだけ縮んでいるか，縮んだ長さを求めなさい。
問 2 気体 Gの温度を求めなさい。
- 1
2-
＞
くM6(695 78)
次に，ピストン Bを動かないように固定して気体 Gをゆっくりあたためたと
ころ，ピストン A が動いて，気体 Gの体積は V1になった。
問 3 この間に気体 Gが外部にした仕事を求めなさい。
問 4 このときの気体 Gの温度を求めなさい。
問 5 この間の気体 Gの内部エネルギーの増加量を求めなさい。
問 6 この間に外部が気体 Gに与えた全熱量を求めなさい。
次に，気体 G をはじめの状態に戻して，ピストン A を動かないように固定
し，ピストン Bが自由に動けるようにした。その後，気体 Gをゆっくりあたた
めたところ，ピストン Bが右に距離 αだけ移動して静止した。
問 7 このときの気体 G の温度を求めなさい。
問 8 ピストン Bが移動する聞に気体 Gがばねにした仕事を求めなさい。
1
3-
<)M6(
6
9
5 7
9
)
囚
音源と観測者が同じ xy平面内にあって音源のみが xy平面内で動く場合の
ドップラー効果を考えよう。以下の問いに答えなさい。
図 1のように，原点 O を通り x軸から角度。（ 0。
＜ )
(<9
0
。）だけ傾いた直
線上を，音源 Pが図の右上方向に一定の速さ uで移動している。時刻 t=Oで
原点 0を通過した瞬間から，音源が一定の振動数 fの音を出し続けた。この
音を x軸上の点 A(
L
,0
)（ただし，L >0）で観測したところ，観測された音の
振動数 I
mはfとは異なっていた。この現象について，以下の問いに答えなさ
い。ただし，音速を Vとし， uは Vより小さいものとする。
問 l 点 A で初めて観測された音の振動数／ moについて記した以下の文中の
空欄仁己 ∼ 仁己に入る式を答えなさい。なお，解答には f
,
v
,V
,L
, ）（，ならびに以下の文中で定義される L
1tのうち必要な記号を用
いなさい。
時刻 t= 0で音源 Pが原点 O を通過してから短い時間 L
1tの聞に，音源が発
する波の数 nは
，
仁ヨとなる。原点 Oで出た音が点 A に届く時刻 fIは
仁ヨである。
一方，時刻 t= L
1
tでの音源の位置を点 Bとすると，点 Bの座標は
（亡司，仁己）となるよって，点 Bで出た音が点 A に届く時刻
山
t＋仁己である。
したがって，点 A では時間 L
1
t
'(=t
2-t
1）の聞に n個の波が届く。この
L
1t
'の短い時間内では，観測される音の振動数／ moは一定とみなせるので，観
n
摂j
lされる音の振動数／ moは
となる L
1t
'は L
1tと異なるので， fmoは／と
L
1
t
’
異なる値となる。
0
- 14-
<)M6(695
-80
)
問 2 点 Aで初めて観測された音の振動数 Imoを
， f
,v
,V
, 8を用いて表
しなさい。ただし， L
1tは十分小さいのでは t
)2の項は無視してよい。
÷
x
さらに，必要な場合には，！ x
iが 1に比べて十分小さいときの近似式
汀百与1＋
を用いなさい。
問 3 音源 Pが移動するにしたがって，音源 Pから見た観測点の方向は変
わっていく。このとき，点 A で観測される音の振動数んは，音が初めて
観測されたときの値 Imoから，時間とともにどのように変化するか。次の
（
ア）
∼（
オ）
のうちから，一つ選んで記号で答えなさい。
（
ア）減少し続ける
（
イ）増加し続ける
（
扮一定で変化しない
（
エ）最初は増加し，その後は減少し続ける
（
オ）最初は減少し，その後は増加し続ける
y
B
v
。
観測点
A(
L
,0
)
x
図l
- 1
5-
＞
くM6(
6
9
5-8
1
)
I
I
.
図 2のように，原点 O を中心として，半径 r，周期 Tで反時計回りに，音
源 Pが等速円運動をしている。時刻 t=Oで音源 Pが点 C(r, 0）を通過した瞬
間から，音源 Pが一定の振動数 fの音を出し続けた。この音を x軸上の点 A
(
L
, 0)（ただし， L >r）で観測したところ，観測された音の振動数 I
mは時間
とともに変化した。この現象について，以下の問いに答えなさい。
ただし，音速を Vとし，音源 Pの速さは Vより小さいものとする。さら
に，音源 Pが出す音波の周期は Tより十分小さいものとする。
線分 OPの線分 ocからの回転角をゆ（反時計回りのときを正）とする。
問 l 点 Aで観測される振動数が最小となる音を出す時の音源 Pの位置を点
D とし，線分 ODの線分 o
cからの回転角をゆ D とする。このとき， r
,
L，ゆ D の聞に成り立つ関係式を書きなさい。
次に，点 Aで観測される音の振動数の時間変化について考える。
， f
, V
,r
, T
, Lのうち必要な
問 2 点 Aで音が初めて観測された時刻 fAを
記号を用いて表しなさい。
mの
問 3 点 Aで音が初めて観測された時刻 fAから時刻九十 Tまでの聞の I
時間変化の様子について考えよう。なお，以下の (
1
)
,(
2）
では， f
, V
,r
,
T
, Lのうち必要な記号を用いて表しなさい。
(
1
) 時刻 tが f
A豆 t三 t
A+Tの範囲における I
mの最大値と最小値を求
めなさい。
(
2) 時刻 tが f
A豆 t壬 t
A+Tの範囲において，
I
mがfと等しくなる時刻
をすべて求めなさい。
(
3）時刻 tが九三五 t豆 t
A+Tの範囲における I
mの時間変化の概略を，
1
)
,(
2）
で求め
解答欄のグラフに書きなさい。なお，グラフ中には，上の(
た値を記さなくてよい。
-16-
＞
くM6(
6
9
5
8
2
)
y
観測点
A(
L
,0
)
x
図2
- 1
7-
＞
くM6(695 8
3
)

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