2015 年度入学前プログラム No. 3 (解答と配点) 赤い数字は、配点です XI. 微分 (合計 42 点) ′ (2x+3) 2 1. (1) y = (2x + 3)−1 より、y ′ = − (2x+3) 2 = − (2x+3)2 2 答. − (2x+3) (3 点) 2 (2) y = (2x + 1) 4 より、y ′ = 41 (2x + 1) 4 −1 · (2x + 1)′ = 14 (2x + 1)− 4 · 2 = √ 4 1 1 3 2 答. 2 √ 4 1 (2x+1)3 1 (2x+1)3 (3 点) (3) y ′ = 3 cos2 x · (cos x)′ = 3 cos2 x · (− sin x) = −3 cos2 x sin x 答. −3 cos2 x sin x (3 点) (4) y ′ = (x)′ · sin x + x · (sin x)′ = sin x + x cos x 答. sin x + x cos x (3 点) (5) y ′ = 答. (2x−1)′ (2x−1) log 5 2 (2x−1) log 5 = 2 (2x−1) log 5 (3 点) (6) y ′ = x′ ex + x · (ex )′ = ex + xex = (1 + x)ex 答. (1 + x)ex (3 点) 2. グラフ (6 点) y = x x+1 = x + x1 , y ′ = 1 − x12 = x x−1 = (x+1)(x−1) である。y ′ = 0 となる x の値は x = ±1 2 x2 2 ′ ′′ である。y ′′ = − −2 x3 = x3 であるので、x = 0 のとき y, y , y の値は存在しない (分母が 0 に なるので)。これらのことから y ′ , y ′′ の符号、y の増減、凹凸の表は次のようになる。 2 2 ① ✁✁✁ ✶ ✁✁✁ ✵ ✁✁✁ ✶ ✁✁✁ ②✂ ✰ ✵ ✵ ✰ ②✂ ✰ ✰ ✰ ✝✄ ✝✆✷ ② ☎✷ 1 1 = 0, lim = 0 より曲線 y = x + x1 は x → +∞ , x → −∞ のとき y = x に x→−∞ x x 限りなく近づく。さらに lim y = +∞, lim y = −∞ である。よって直線 y = x と y 軸は、 また lim x→+∞ x→+0 x→−0 この曲線の漸近線である。曲線の概形は下の図のようになる。 1 ② ②❂① ✷ ✶ ❖ ① ✶ ✷ 3. 接点の座標を (a, log a) とおく。y ′ = 1 x より接線の方程式は y − log a = a1 (x − a) である。こ の直線は原点 (0, 0) を通るから 0 − log a = る接線の方程式は y − 1 = 1 e (x − e) より y 1 a (0 − = 1e x a)、よって log a = 1, a = e である。求め ② ❧ ✁❛ ❖ ❛ ✶ ① ② ❂ ❧ ✁① 答. y = 1e x (6 点) 4. y ′ = cos x(1 − cos x) + sin x · sin x = cos x − cos2 x + (1 − cos2 x) = −2 cos2 x + cos x + 1 = −(2 cos x + 1)(cos x − 1) である。0 ≦ x ≦ π において、y ′ = 0 となる x の値は、cos x = − 12 のとき x = 23 π, cos x = 1 のとき x = 0 である。 ① ✵ ② ② ✁✁✁ ✰ ✷ ✸ ✙ ✵ ✝✄ ♣ ☎ ☎ ✹ ✵ グラフは下のようになる。 2 ✁✁✁ ✙ ✂ ✵ ② ♣ ✸ ✸ ✹ ② ❂ s ✁ ①✭✂ ✄ ❝☎s ①✮ ✷ ✙ ✸ ❖ 答. x = 23 π のとき最大値 √ 3 3 4 , ✙ ① x = 0, π のとき最小値 0 (6 点) 5. y = ex と y = ax のグラフは下のようになる。 ❛❃❡ ② ❛❁✵ ② ❂ ❡① ❛❂❡ ❡ ✵✔❛✔❡ ✶ ❖ ✶ 上の 2 つのグラフは a = e のとき点 (1, e) で接する。これらのことより実数解の個数は、 答. a < 0 のとき 1 個、0 ≦ a < e のとき 0 個、a = e のとき 1 個、a > e のとき 2 個 (6 点) XII. 積分 (合計 58 点) 1. (1) [ 3 ]4 ∫4√ ∫4 1 3 2 2 2 dx = = 23 4 2 − 0 = xdx = x 3x 0 0 0 答. 16 3 (3 点) ∫2( (2) 与式 = 1 x2 + 3 x2 ) dx = 2 答. 2 log 2 + 32 (3 点) ∫π 2x dx = (3) 与式 = 02 1+cos 2 答. π 4 1 2 ∫2 ∫ 1 dx 1 x π 2 0 +3 16 3 ∫2 1 dx 1 x2 2 = 2 [log x]1 − 3 (1 + cos 2x) dx = 1 2 [ x+ 1 2 [ 1 ]2 x 1 ]π sin 2x 02 = = 2 log 2 + 3 2 π 4 (3 点) (4) 2 − x = t 即ち x = 2 − t とおく。 dx = −1 より dx = −dt である。x = 0 のとき t = 2、 ∫ 0 dt x = 2 のとき t = 0 なので、与式 = 2 (2 − t) t3 (−dt) = 85 答. 8 5 (3 点) π (5) x = 2 sin θ とおくと dx dθ = 2 πcos θ である。0 ≦ x ≦ 2πより 0 ≦ θ ≦ 2π である。よっ ∫2 ∫2 ∫ 2θ dθ = て、cos θ ≥ 0 である。与式 = 0 2 cos θ · 2 cos θdθ = 4 0 cos2 θdθ = 4 02 1+cos 2 π [ ] 1 2 2 θ + 2 sin 2θ 0 = π 答. π (3 点) )′ [ ]e ∫ e ( ∫e (6) 与式 = 1 log x · 12 x2 dx = log x · 21 x2 1 − 1 答. e2 +1 4 (3 点) 3 1 x · 21 x2 dx = 12 e2 − 1 2 [1 2x ] 2 e 1 = e2 +1 4 (7) 与式 = ∫1 0 (2x + 1)(ex )′ dx = [(2x + 1)ex ]0 − [2ex ]0 = (3e − 1) − (2e − 2) = e + 1 1 1 答. e + 1 (3 点) ) √ ( π ∫π (8) 与式 = 2 04 cos xdx = 2 [sin x]04 = 2 √12 − 0 = 2 √ 答. 2 (3 点) ∫x ∫x 2. (x−t) cos t を t で積分するから、x は定数とみなす。F (x) = x 0 cos tdt− 0 t·cos tdt であるの ( ) ∫ ∫ ∫ ∫ x x x x d d で、F ′ (x) = (x)′ 0 cos tdt+x dx cos tdt − dt t cos tdt = 0 cos tdt+x cos x−x cos x = 0 0 x [sin t]0 = sin x 答. sin x (6 点) 3. 2 曲線の交点の x 座標は x = π 5 4 , 4π である。また区間 π 4 ≦ x ≦ 54 π において、下図のように sin x ≧ cos x である。 ② ❂ ❝☎s ① ② ❂ s✂✄ ① ② ✶ ✁✹ ❖ ✙ ✺✹ ✙ ✷✙ ① ✶ よって求める面積は √ 2 2 √ 答. 2 2 (6 点) ∫ 5 4π π 4 5 π (sin x−cos x)dx = [− cos x − sin x] 4π = ( 4 √1 2 + √1 2 ) ( − − √12 − √1 2 ) = 4. (放物線、直線とも x で表し、y で積分する) x = y 2 , x = y + 2 より y 2 = y + 2 である。これより交点の y 座標は y = −1, 2 となる。ま } ∫2 { た、区間 −1 ≦ y ≦ 2 において y 2 ≦ y + 2 である。求める面積は −1 (y + 2) − y 2 dy = [ ]2 ∫2 (−y 2 + y + 2)dy = − 31 y 3 + 12 y 2 + 2y −1 = 29 −1 答. 9 2 (6 点) √ 5. 半円 y = r2 − x2 を、区間 −r ≦ x ≦ r において x 軸のまわりに 1 回転してできる回転体 を考える。 ② r 体積 V は、V = π ∫r −r y 2 dx = π ♣ ② ❂ r✷ ①✷ r ❖ ∫r −r (r2 − x2 )dx = 2π 4 3 3 πr 答. 4 3 3 πr (6 点) 4 ① ∫r 0 ]r [ (r2 − x2 )dx = 2π r2 x − 13 x3 0 = 6. (1) y 2 = 4− 49 x2 (−3 ≦ x ≦ 3)。よって求める体積 V1 は、V1 = π [ ] 4 3 3 2π 4x − 27 x 0 = 16π 答. 16π (5 点) (2) x2 = 9− 94 y 2 (−2 ≦ y ≦ 2)。よって求める体積 V2 は、V2 = π [ ]2 2π 9y − 43 y 3 0 = 24π 答. 24π (5 点) 5 ∫3 −3 ∫2 −2 y 2 dx = π x2 dy = π ) ∫3 ( 4 − 94 x2 dx = −3 ∫2 ( −2 ) 9 − 94 y 2 dy =
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