2015年度入学前プログラム No. 3 (解答と配点)

2015 年度入学前プログラム No. 3 (解答と配点)
赤い数字は、配点です
XI. 微分 (合計 42 点)
′
(2x+3)
2
1. (1) y = (2x + 3)−1 より、y ′ = − (2x+3)
2 = − (2x+3)2
2
答. − (2x+3)
(3 点)
2
(2) y = (2x + 1) 4 より、y ′ = 41 (2x + 1) 4 −1 · (2x + 1)′ = 14 (2x + 1)− 4 · 2 = √
4
1
1
3
2
答.
2
√
4
1
(2x+1)3
1
(2x+1)3
(3 点)
(3) y ′ = 3 cos2 x · (cos x)′ = 3 cos2 x · (− sin x) = −3 cos2 x sin x
答. −3 cos2 x sin x (3 点)
(4) y ′ = (x)′ · sin x + x · (sin x)′ = sin x + x cos x
答. sin x + x cos x (3 点)
(5) y ′ =
答.
(2x−1)′
(2x−1) log 5
2
(2x−1) log 5
=
2
(2x−1) log 5
(3 点)
(6) y ′ = x′ ex + x · (ex )′ = ex + xex = (1 + x)ex
答. (1 + x)ex (3 点)
2. グラフ (6 点)
y = x x+1 = x + x1 , y ′ = 1 − x12 = x x−1
= (x+1)(x−1)
である。y ′ = 0 となる x の値は x = ±1
2
x2
2
′
′′
である。y ′′ = − −2
x3 = x3 であるので、x = 0 のとき y, y , y の値は存在しない (分母が 0 に
なるので)。これらのことから y ′ , y ′′ の符号、y の増減、凹凸の表は次のようになる。
2
2
① ✁✁✁ ✶ ✁✁✁ ✵ ✁✁✁ ✶ ✁✁✁
②✂ ✰ ✵
✵ ✰
②✂
✰ ✰ ✰
✝✄
✝✆✷
②
☎✷
1
1
= 0, lim
= 0 より曲線 y = x + x1 は x → +∞ , x → −∞ のとき y = x に
x→−∞ x
x
限りなく近づく。さらに lim y = +∞, lim y = −∞ である。よって直線 y = x と y 軸は、
また lim
x→+∞
x→+0
x→−0
この曲線の漸近線である。曲線の概形は下の図のようになる。
1
②
②❂①
✷
✶
❖
①
✶
✷
3. 接点の座標を (a, log a) とおく。y ′ =
1
x
より接線の方程式は y − log a = a1 (x − a) である。こ
の直線は原点 (0, 0) を通るから 0 − log a =
る接線の方程式は y − 1 =
1
e (x
− e) より y
1
a (0 −
= 1e x
a)、よって log a = 1, a = e である。求め
②
❧ ✁❛
❖
❛
✶
①
② ❂ ❧ ✁①
答. y = 1e x (6 点)
4. y ′ = cos x(1 − cos x) + sin x · sin x = cos x − cos2 x + (1 − cos2 x) = −2 cos2 x + cos x + 1 =
−(2 cos x + 1)(cos x − 1) である。0 ≦ x ≦ π において、y ′ = 0 となる x の値は、cos x = − 12
のとき x = 23 π, cos x = 1 のとき x = 0 である。
①
✵
②
②
✁✁✁
✰
✷
✸
✙
✵
✝✄
♣
☎ ☎
✹
✵
グラフは下のようになる。
2
✁✁✁
✙
✂
✵
②
♣
✸ ✸
✹
② ❂ s ✁ ①✭✂ ✄ ❝☎s ①✮
✷
✙
✸
❖
答. x = 23 π のとき最大値
√
3 3
4 ,
✙
①
x = 0, π のとき最小値 0 (6 点)
5. y = ex と y = ax のグラフは下のようになる。
❛❃❡
②
❛❁✵
② ❂ ❡①
❛❂❡
❡
✵✔❛✔❡
✶
❖
✶
上の 2 つのグラフは a = e のとき点 (1, e) で接する。これらのことより実数解の個数は、
答. a < 0 のとき 1 個、0 ≦ a < e のとき 0 個、a = e のとき 1 個、a > e のとき 2 個 (6 点)
XII. 積分 (合計 58 点)
1. (1)
[ 3 ]4
∫4√
∫4 1
3
2 2
2 dx =
= 23 4 2 − 0 =
xdx
=
x
3x
0
0
0
答.
16
3
(3 点)
∫2(
(2) 与式 = 1 x2 +
3
x2
)
dx = 2
答. 2 log 2 + 32 (3 点)
∫π
2x
dx =
(3) 与式 = 02 1+cos
2
答.
π
4
1
2
∫2
∫
1
dx
1 x
π
2
0
+3
16
3
∫2
1
dx
1 x2
2
= 2 [log x]1 − 3
(1 + cos 2x) dx =
1
2
[
x+
1
2
[ 1 ]2
x 1
]π
sin 2x 02 =
= 2 log 2 +
3
2
π
4
(3 点)
(4) 2 − x = t 即ち x = 2 − t とおく。 dx
= −1 より dx = −dt である。x = 0 のとき t = 2、
∫ 0 dt
x = 2 のとき t = 0 なので、与式 = 2 (2 − t) t3 (−dt) = 85
答.
8
5
(3 点)
π
(5) x = 2 sin θ とおくと dx
dθ = 2 πcos θ である。0 ≦ x ≦ 2πより 0 ≦ θ ≦ 2π である。よっ
∫2
∫2
∫
2θ
dθ =
て、cos θ ≥ 0 である。与式 = 0 2 cos θ · 2 cos θdθ = 4 0 cos2 θdθ = 4 02 1+cos
2
π
[
]
1
2
2 θ + 2 sin 2θ 0 = π
答. π (3 点)
)′
[
]e ∫ e
(
∫e
(6) 与式 = 1 log x · 12 x2 dx = log x · 21 x2 1 − 1
答.
e2 +1
4
(3 点)
3
1
x
· 21 x2 dx = 12 e2 −
1
2
[1
2x
]
2 e
1
=
e2 +1
4
(7) 与式 =
∫1
0
(2x + 1)(ex )′ dx = [(2x + 1)ex ]0 − [2ex ]0 = (3e − 1) − (2e − 2) = e + 1
1
1
答. e + 1 (3 点)
) √
(
π
∫π
(8) 与式 = 2 04 cos xdx = 2 [sin x]04 = 2 √12 − 0 = 2
√
答. 2 (3 点)
∫x
∫x
2. (x−t) cos t を t で積分するから、x は定数とみなす。F (x) = x 0 cos tdt− 0 t·cos tdt であるの
(
)
∫
∫
∫
∫
x
x
x
x
d
d
で、F ′ (x) = (x)′ 0 cos tdt+x dx
cos tdt − dt
t cos tdt = 0 cos tdt+x cos x−x cos x =
0
0
x
[sin t]0 = sin x
答. sin x (6 点)
3. 2 曲線の交点の x 座標は x =
π 5
4 , 4π
である。また区間
π
4
≦ x ≦ 54 π において、下図のように
sin x ≧ cos x である。
② ❂ ❝☎s ①
② ❂ s✂✄ ①
②
✶
✁✹
❖
✙
✺✹ ✙
✷✙ ①
✶
よって求める面積は
√
2 2
√
答. 2 2 (6 点)
∫
5
4π
π
4
5
π
(sin x−cos x)dx = [− cos x − sin x] 4π =
(
4
√1
2
+
√1
2
) (
− − √12 −
√1
2
)
=
4. (放物線、直線とも x で表し、y で積分する)
x = y 2 , x = y + 2 より y 2 = y + 2 である。これより交点の y 座標は y = −1, 2 となる。ま
}
∫2 {
た、区間 −1 ≦ y ≦ 2 において y 2 ≦ y + 2 である。求める面積は −1 (y + 2) − y 2 dy =
[
]2
∫2
(−y 2 + y + 2)dy = − 31 y 3 + 12 y 2 + 2y −1 = 29
−1
答.
9
2
(6 点)
√
5. 半円 y = r2 − x2 を、区間 −r ≦ x ≦ r において x 軸のまわりに 1 回転してできる回転体
を考える。
②
r
体積 V は、V = π
∫r
−r
y 2 dx = π
♣
② ❂ r✷ ①✷
r
❖
∫r
−r
(r2 − x2 )dx = 2π
4
3
3 πr
答.
4
3
3 πr
(6 点)
4
①
∫r
0
]r
[
(r2 − x2 )dx = 2π r2 x − 13 x3 0 =
6. (1) y 2 = 4− 49 x2 (−3 ≦ x ≦ 3)。よって求める体積 V1 は、V1 = π
[
]
4 3 3
2π 4x − 27
x 0 = 16π
答. 16π (5 点)
(2) x2 = 9− 94 y 2 (−2 ≦ y ≦ 2)。よって求める体積 V2 は、V2 = π
[
]2
2π 9y − 43 y 3 0 = 24π
答. 24π (5 点)
5
∫3
−3
∫2
−2
y 2 dx = π
x2 dy = π
)
∫3 (
4 − 94 x2 dx =
−3
∫2 (
−2
)
9 − 94 y 2 dy =

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