2015年度入学前プログラム No. 1 (解答と配点)

2015 年度入学前プログラム No. 1 (解答と配点)
赤い数字は、配点です
I. 三角比・図形の計量 (合計 18 点)
1. (三角比の相互関係の利用)
( )2
2
5
sin θ + cos θ = 1 より cos θ = 1 − sin θ = 1 −
= である。90◦ ≦ θ ≦ 180◦ のと
3
9
√
sin θ
2
5
である。tan θ =
より tan θ = − √
き、cos θ ≦ 0 より cos θ = −
3
cos θ
5
√
5
2
答. cos θ = −
(2 点), tan θ = − √ (2 点)
3
5
2
2
2
2
2. (正弦定理を利用)
b
4
C = 180◦ − (105◦ + 45◦ ) = 30◦ である。正弦定理より
=
であるので、
◦
sin 45
sin 30◦
√
4
4
1
= 2R より R = 4
b = 1 × √ = 4 2 となる。また
sin
30◦
2
2
√
答. b = 4 2 (2 点), R = 4 (2 点)
3. (余弦定理・ヘロンの公式の利用)
b2 + c2 − a2
72 + 152 − 132
1
a+b+c
=
= であるので A = 60◦ となる。S =
と
2bc
2 · 7 · 15
2
2
√
√
√
35 9 21 5
105 3
すると △ABC の面積は S = s(s − a)(s − b)(s − c) より、S =
· ·
· =
2 2 2 2
4
√
105
3
答. A = 60◦ (2 点), 面積
(2 点)
4
cos A =
4. (1) △ABC で余弦定理により AC2 = 22 + 32 − 2 · 2 · 3 cos 60◦ = 7 となる。AC > 0 より
√
AC = 7
(2) D = 180◦ − 60◦ = 120◦ である (円に内接するので、対角の和は 180◦ )。△ACD で余弦
√
定理により、( 7)2 = 12 + AD2 − 2 · 1 · AD · cos 120◦ となる。よって AD2 + AD − 6 = 0 よ
り、(AD + 3)(AD − 2) = 0 となり、AD > 0 より AD = 2
√
√
√
1
1
3
3
+
=2 3
(3) 求める面積は △ABC + △ACD = · 2 · 3 · sin 60◦ + · 2 · 1 · sin 120◦ = 3 ·
2
2
2
2
√
√
答. (1)
7 (2 点), (2) 2 (2 点), (3) 2 3 (2 点)
II. 三角関数 (合計 20 点)
1. (5 点)
1
②
✷
✂
✁ ✸✹
✁ ✙✹ ❖
✁✂
✙
✹
✸
✹
✺
✹
✼
✹
✾
✹
✶✶
✹
①
✁✷
2. (加法定理)
( )2
4
9
3
sin2 α + cos2 α = 1 より cos2 α = 1 −
=
であり、α は第 1 象限にあるので cos α =
5
25
5
( )2
5
144
である。同様に cos2 β = 1 −
=
であり、β は第 2 象限にあるので cos β < 0 より
13
169
(
)
12
3
12
4 5
+ ×
=
cos β = − である。よって、cos(α−β) = cos α cos β +sin α sin β = × −
13
5
13
5 13
16
−
65
16
答. −
(5 点)
65
3. (加法定理と三角関数の合成)
√
√
√
3
1
π
a = 3, b = −1 より r = a2 + b2 = 2 である。cos α =
, sin α = − より α = −
2
2
6
②
❖
✶
答.
√
✙✻
✷
♣
✸
①
(
π)
3 sin θ − cos θ = 2 sin θ −
(5 点)
6
4. 2 cos2 θ + sin θ − 1 = 2(1 − sin2 θ) + sin θ − 1 = −2 sin2 θ + sin θ + 1 であるので、与えら
れた方程式は 2 sin2 θ − sin θ − 1 = 0 と表せる。ゆえに (sin θ − 1)(2 sin θ + 1) = 0 となる。
1
7 11
π
0 ≦ θ < 2π であるから、sin θ = 1 なら θ = 、sin θ = − なら θ = π, π である。
2
2
6
6
π 7 11
答. θ = , π, π (5 点)
2 6
6
III. 指数関数・対数関数 (合計 31 点)
1. (指数関数・対数関数の性質の利用)
√
√
√
12
3
3×2
(1)
512 =
512 = 5 6 = 52 = 25
答. 25 (3 点)
2
(2)
√
3×
√
√
1
1
2
1
1
2
6
3 ÷ 3 9 = 3 2 × 3 6 ÷ 3 3 = 3 2 + 6 − 3 = 30 = 1
答. 1 (3 点)
√
1
1
(3) log5 2 = log5 2 2 = log5 2
2
1
答. log5 2 (3 点)
2
(4) log10 8 + log10 400 − 5 log10 2 = log10
8 × 400
= log10 100 = log10 102 = 2 log10 10 = 2
25
答. 2 (3 点)
(5) log3 18 − log9 4 = log3 18 −
log3 9 = 2
2 log3 2
log3 4
18
= log3 18 −
= log3 18 − log3 2 = log3
=
log3 9
2 log3 3
2
答. 2 (3 点)
2. 8 点 (4 つの関数のグラフは各 2 点)
② ❂ ✷①
②
② ❂ ❧☎✆✂ ✝
✶
❖
✶
✝
✄①
② ❂ ✁✂
② ❂ ❧☎✆ ✞ ✝
✟
(ア) 実数全体 (1 点)
(イ) 正の実数全体 (1 点)
(ウ) (0, 1) (1 点)
(エ) (1, 0) (1 点)
(オ) x 軸 (1 点)
(カ) y 軸 (1 点)
(キ) 増加 (1 点)
(ク) 減少 (1 点)
IV. 直線と円 (合計 10 点)
3
1. 接点を Q(x, y) とする。点 Q における接線の方程式を x1 x + y1 y = 25・・・(1) とする。(1)
が点 P (−5, 10) を通るから、−5x1 + 10y1 = 25 である。x1 = 2y1 − 5・・・(2) とおく。ま
た, 接点 Q は円周上の点でもあるから x21 + y12 = 25・
・
・(3) である。(2) を (3) に代入する。
(2y1 − 5)2 + y12 = 25, 5y12 − 20y1 = 0, y1 (y1 − 4) = 0 より、y1 = 0, 4 である。y1 = 0 のとき
x1 = −5、y1 = 4 のとき x1 = 3、を (1) に代入すると、x = −5, 3x + 4y = 25
答. x = −5, 3x + 4y = 25 (5 点)
2. (原点 O と直線 ax + by + c = 0 との距離 d =
|c|
a2 +b2
を利用)
円と直線の交点を A, B とし, 線分 AB の中点を M とする。線分 OM の長さは、OM =
√
√
√
|2|
√
= 2 である。OA = 5 であるから、AB = 2AM = 2 OA2 − OM2 =
2
2
√1 √+ (−1) √
√
2 ( 5)2 − ( 2)2 = 2 3
√
答. 2 3 (5 点)
V. 複素数平面 (合計 21 点)
1. (1) α + β = (3 − 2i) + (2 + i) = (3 + 2) + (−2 + 1)i = 5 − i
答. 5 − i (3 点), 図 (3 点)
②
✶
✶ ❖
✶
✷
✸
☞ ❂✷✰✐
✶
✷
✸
✹
✺ ①
☛✰☞ ❂ ✺ ✐
☛ ❂ ✸ ✷✐
√
√
(2) |α − β| = (3 − 2)2 + (−2 − 1)2 = 10
√
答. 10 (5 点)
√
√ (
√ )
(
)
(
)
) √ (
3
11
5
11
5
3
1
1
3 1
3
2. 与式 =
{cos
π − π +i sin
π− π }=
cos π + i sin π =
+
i =
2
18
18
18
18
2
3
3
2
2
2
√
3 3
+ i
4
4
√
3 3
+ i (5 点)
答.
4
4
v
u(
√
) 2 ( √ )2
u
1
3
1
3
2
t
−
) であ
3. r =
+
= 1 であり、偏角は θ = π (∵ cos θ = − , sin θ =
2
2
3
2
2
√
1
3
2
2
る。よって、− +
i = cos π + i sin π
2
2
3
3
2
2
答. cos π + i sin π (5 点)
3
3
4

Download Report