2年選アス数学Ⅱ3学期考査前演習②

2年　選アス　数学Ⅱ　3学期　考査前演習②
(　)組(　)番　名前(　)　１
次の関数の増減を調べ，極値を求めよ。また，そのグラフをかけ。
(1)　y = x 3 -6x 2 +9x -1　(2)　y = x 3 -3x 2 +3x +5
２
関数 f 0 x1 =2x 3 -3x 2 -12x +10 の定義域として，次の範囲をとるとき，各場合につい
て，最大値と最小値を求めよ。
(1)　-3 ( x ( 3　(2)　-2 ( x ( 4
３
関数 f 0 x1 = x 3 + ax 2 + bx +1 は，x =-1 で極大値 9 をとる。このとき，定数 a，b の
値を求めよ。また，極小値を求めよ。
４
次の 3 次方程式の異なる実数解の個数を求めよ。
(1)　2x 3 -3x 2 -12x +1=0　(2)　x 3 -3x -2=0
５
3 次方程式 x 3 -6x 2 +9x = a の異なる実数解の個数が，定数 a のとる値によって，どの
ように変わるか調べよ。
-1-
１
s　(1)　x =1 で極大値 3，x =3 で極小値 -1　"図#　(2)　極値はない　"図#
(1)
y
(2)
y
3
6
5
3
O
1
x
-1
O
２
1
x
s　(1)　x =-1 で最大値 17，x =-3 で最小値 -35
(2)　x =4 で最大値 42，x =2 で最小値 -10
３
４
５
s　a =-6，b =-15，極小値 -99
s　(1)　3 個　(2)　2 個
s　a <0，4< a のとき 1 個；a =0，4 のとき 2 個；0< a <4 のとき 3 個
-2-
１
(1)　y - =3x 2 -12x +9=30 x 2 -4x +31 =30 x -11 0 x -31
y - =0 とすると　x =1，3
y の増減表は，次のようになる。
y
x
…
1
…
3
…
y-
+
0
-
0
+
y
9
極大
:
3
極小
-1
3
9
3
よって，x =1 で極大値 3，x =3 で極小値 -1
x
1
O
-1
をとる。
また，グラフは "図#
(2)　y - =3x 2 -6x +3=30 x 2 -2x +11 =30 x - 11 2
y - =0 とすると　x =1
y の増減表は，次のようになる。
y
x
…
1
…
y-
+
0
+
y
9
6
9
6
5
すべての実数について y -) 0 であるから，y は常に増
加する。
よって，極値はない。
O
また，グラフは "図#
２
x
1
f - 0 x1 =6x 2 -6x -12=60 x +11 0 x -21
f - 0 x1 =0 とすると　x =-1，2
(1)　-3 ( x ( 3 における f 0 x1 の増減表は，次のようになる。
x
-3
f - 0 x1
f 0 x1
-35
…
-1
…
2
…
+
0
-
0
+
9
極大
17
:
極小
-10
9
3
1
したがって，x =-1 で最大値 17，x =-3 で最小値 -35 をとる。
(2)　-2 ( x ( 4 における f 0 x1 の増減表
は，右のようになる。
x
したがって，x =4 で最大値 42，
f - 0 x1
x =2 で最小値 -10 をとる。
f 0 x1
-3-
-2
6
…
-1
…
2
…
+
0
-
0
+
9
極大
17
:
極小
-10
9
4
42
３
f - 0 x1 =3x 2 +2ax + b
f 0 x1 が x =-1 で極大値 9 をとるとき　f - 0 -11 =0，f 0 -11 =9
したがって　3-2a + b =0，-1+ a - b +1=9
整理して　2a - b =3，a - b =9
これを解いて　a =-6，b =-15
このとき　f 0 x1 = x 3 -6x 2 -15x +1
f - 0 x1 =3x 2 -12x -15=30 x +11 0 x -51
よって，右の増減表が得られ，条件を満たす。
以上から　a =-6，b =-15
極小値 -99
４
(1)　y =2x 3 -3x 2 -12x +1
とおく。
y - =6x 2 -6x -12
=60 x +11 0 x -21
x
…
-1
…
5
…
f - 0 x1
+
0
-
0
+
f 0 x1
9
x
…
-1
…
2
…
y-
+
0
-
0
+
y
9
8
:
-19
9
極大
:
9
y
極小
-99
9
8
1
2
x
-1 O
y - =0 とすると　x =-1，2
y の増減表とこの関数のグラフは右のようになり，グラフ
と x 軸は異なる 3 点で交わる。
-19
よって，方程式の異なる実数解の個数は　3 個
(2)　y = x 3 -3x -2 とおく。
2
y - =3x -3
=30 x +11 0 x -11
y - =0 とすると　x
…
-1
…
1
…
y-
+
0
-
0
+
y
9
0
:
-4
9
x = $1
y
-1
O
-2
y の増減表とこの関数のグラフは右のようになり，グラフ
と x 軸は異なる 2 点で交わる。
-4
よって，方程式の異なる実数解の個数は　2 個
-4-
1
x
５
f 0 x1 = x 3 -6x 2 +9x とすると　f - 0 x1 =3x 2 -12x +9
=30 x -11 0 x -31
f - 0 x1 =0 とすると
x
…
1
…
3
…
f - 0 x1
+
0
-
0
+
f 0 x1
9
極大
4
:
極小
0
9
x =1，3
f 0 x1 の増減表と y = f 0 x1 のグラフは，右のように
なる。
y
a >4
4
a =4
a
0< a <4
このグラフと直線 y = a の共有点の個数が，方程式
の実数解の個数に一致するから
a <0，4< a のとき　1 個；
a =0
a =0，4　のとき　2 個；
O
0< a <4　のとき　3 個
1
3
x
a <0
-5-

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