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東京大学（前期）【物理】解答例
第１問 Ⅰ ⑴ 力学的エネルギー保存則より，小球 A の速さを v として，
mgl sin θ =
v=
1
mv 2
2
√
2gl sin θ
:::::::::
⑵ 最下点にきたときの小球 A の速さを v0 として，力学的エネルギー保存則より，
mgl =
1
mv 2
2 0
ゆえに v0 =
√
2gl
円運動の運動方程式より，
m
v02
= T − mg
l
ゆえに T = 3mg
::::
⑶ 小球 A の加速度は鉛直上向き
で，大きさは，
::::::::::
v02
= 2g
::
l
II ⑴ 重心 G の加速度 aG は鉛直下向きを正として，運動方程式より，
2maG = 2mg ゆえに aG = g (鉛直下向き)
:
:::::::::::
⑵ 重心速度 vG は水平右向きを正として，
vG =
v0
mv0 + m・0
=
m+m
2
よって，重心 G に対する小球 A,B の相対速度 vAG , vBG は水平右向きを正として，
vAG
v0
= v0 −
=
2
vBG = 0 −
√
gl
(水平右向き)
2 :::::::::::
::::
√
gl
v0
=−
(水平左向き)
2
2 :::::::::::
::::
⑶ 重心系での小球 A の運動を考えると，重心は鉛直下向きで大きさ g の加速度で運動しているので，
小球 A には鉛直上向きに mg の慣性力がはたらき重力と打ち消しあう。同様に小球 B においても慣性
力と重力が打ち消しう。よって，重心回りに小球 A,B は速さ
v0
の等速円運動を行うと考えられるの
2
で，円運動の運動方程式より，ひもの張力の大きさを T 0 として，
2
m
(v0 /2)
= T0
l/2
1
ゆえに T 0 =
mv02
= mg
:::
2l
⑷ 小球 A,B の加速度を下向きを正として aA , aB とすると，運動方程式より，
maA = mg − T 0
ゆえに aA = 0
:
maB = mg + T 0
ゆえに aB = 2g (鉛直下向き)
::
:::::::::::
⑸ 重心回りに小球 A,B は半径
しくなる時刻は，円運動の
l
v0
，速さ
の等速円運動を行うので，小球 A と小球 B の高さが等 2
2
1
周期後であるので，
4
√
πl/4
π
=
v0 /2
2
l
2g
::::::
⑹ 小球 A の円運動の角速度 ω は，
l
v0
ω = ゆえに ω =
2
2
√
2g
l
重心系での小球 A の水平位置 xAG は，
xAG =
l
sin ωt
2
また，重心は水平方向に速さ
xA = xAG +
v0
の等速直線運動を行うので，小球 A の水平位置 xA は，
2
v0
t
2
√
√
l
2g
gl
= sin
t+
t
2::::::::::::::::::
l
2
2
第２問 Ⅰ ⑴ 棒２∼棒 N にはそれぞれ
uBL cos θ = RI + R ·
I
の電流が流れるから，キルヒホッフの第２法則より
N −1
(N − 1)uBL cos θ
I
ゆえに I =
······①
N −1
NR
:::::::::::::::::
⑵ レール方向の力のつり合いより
mg sin θ = IBL cos θ ゆえに I =
mg
tan θ · · · · · · ②
BL
①式と②式より
(N − 1)uBL cos θ
mg
N Rmg sin θ
=
tan θ ゆえに u =
NR
BL
(N − 1)(BL cos θ)2
:::::::::::::::::::
Ⅱ 棒２∼棒 N が動かないとき，棒２∼棒 N に流れる電流は②式と同じである。このとき，棒１を流れる
電流はキルヒホッフの第１法則より (N − 1)I であるから，キルヒホッフの第２法則より
wBL cos θ = RI + R(N − 1)I
= N RI
N Rmg
=
tan θ
BL
ゆえに w =
N Rmg sin θ
(BL cos θ)2
::::::::::::
Ⅲ 速さが一定のとき，棒１∼棒 (N − 1) に流れる電流は②式に等しい。このとき，棒 N に流れる電流は
(N − 1)I であるから，キルヒホッフの第２法則より
u0 BL cos θ = RI + R(N − 1)I = N RI
ゆえに u0 =
N Rmg sin θ
(= w)
(BL cos θ)2
::::::::::::
Ⅳ ⑴ 棒 n（n = 1, 2, · · · N ) に流れる電流をレール P から Q の向きに In（n = 1, 2, · · · N ) とする。棒 n
の運動方程式より
man = mg sin θ − In BL cos θ · · · · · · ③
これより，
a1 + a2 + a3 + · · · + aN = N g sin θ −
BL cos θ
(I1 + I2 + I3 + · · · + IN )
m
キルヒホッフの第１法則より，(I1 + I2 + I3 + · · · + IN ) = 0 であるから
a1 + a2 + a3 + · · · + aN = N g sin θ · · · · · · ④
:::::::
⑵ ③式より
an+1 − an = −
BL cos θ
(In+1 − In )
m
棒 n と棒 n + 1 からなる回路にキルヒホッフの第２法則を適用すると
vn+1 BL cos θ − vn BL cos θ = RIn+1 − RIn
3
ゆえに In+1 − In =
BL cos θ
(vn+1 − vn )
R
以上より
an+1 − an = −
ゆえに k =
(BL cos θ)2
(vn+1 − vn ) · · · · · · ⑤
mR
(BL cos θ)2
mR
:::::::::::
⑶ ⑤式より
aN − a1 = −
(BL cos θ)2
(vN − v1 )
mR
となるから，題意より，時間の経過とともに vN は v1 に近づく。また，vn+1 − vn ; 0 のとき，⑤式よ
り，an+1 ; an となるから，④式を考慮すると
a1 = a2 = · · · = aN = g sin θ
以上より，::
アが正しい。
⑷ アの２つのグラフの間の面積が棒１と棒 N の距離差に対応するから，距離差は一定値に近づく。
よって，::
イが正しい。
4
第３問 I ⑴ 力のつり合いより，
mg = ρSdg
ゆえに d =
m
ρS
:::
⑵ 図 3 − 1 の状態での気体の圧力は，P + ρgd，水位が容器の中と外で同じになるときの気体の圧力は P である。図 3 − 1 の状態での気体の体積を V とすると，ボイルの法則より，
(P + ρgd)V = P rV
ρgd
P
ゆえに r = 1 +
:::::::
II ⑴ 変化の間力のつり合いが常に成立しているので，気体の圧力は P + ρgd で一定である。
(
)
6
ゆえに W = (P + ρgd)
V −V
5
状態方程式 (P + ρgd)V = 1・RT より，
W =
1
RT
5::::
⑵ シャルルの法則より，加熱後の気体の温度を T 0 とすると，
6
V0
V0
= 5 0
T
T
ゆえに T 0 =
6
T
5
単原子分子理想気体より，定圧モル比熱は
Q=
5
R なので，
2
5
1
1・R・(T 0 − T ) = RT
2
2::::
Ⅲ ⑴ 図 3 − 2 の気体の体積を V 0 とすると，力のつり合いより，
mg = ρV 0 g
ゆえに V 0 =
m
ρ
状態方程式より，
(P + ρhg)V 0 = 1・RT
P + ρhg =
ρRT
m
ゆえに h =
1
ρg
(
ρRT
−P
m
)
:::::::::::::::
5
⑵ 設問Ⅲ⑴より，P が大きくなると，h は小さくなるのでつり合いの位置は浅くなる。また，P が
大きくなることにより，気体の圧力は大きくなるので，気体の体積は加圧前より小さくなる。よって，浮力が減少するため固定をはずすと容器は下降する。よって，エ
。
::
2
Ⅳ ⑴ 状態方程式と問題文の関係式から，「(圧力) × (体積) 3 = 一定」より，
2
2
T1 V13 = T2 V23
(
ゆえに T2 =
V1
V2
)2
3
T1
3
2
ゆえに ∆U = ・1・R(T2 − T1 )


( )2

3  V1 3
− 1 T1
= R

2  V2
:::::::::::::::::::::
⑵ 容器にはたらく重力による位置エネルギーの変化や容器の上面と仕切りにはたらく水圧にさからって
する仕事。(50 字)
6

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