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可制御�
任意の初期時刻t0に対して状態がx0にある
とき、有限時間t1において任意の状態x1にシ
ステムをもっていくような入力u(t)が存在す
ること。行列A,Bによって決定
V =
B
AB
A2 B
· · · An
1
B
の行列がrankV = nであれば可制御
この条件が満たされない場合、状態変数の��
一部が入力u(t)に影響されない�
38
例題�
以下のシステムの可制御性について調べよ�
d
dt
x1 (t)
x2 (t)
=
1
0
x1 (t)
0
1
x2 (t)
+
1
1
u(t)
39
例題�
•  状態x(t)は2次元なので
B=
1
1
AB =
1
0
0
1
1
1
=
1
1
–  より
V =
B
AB
=
1 1
1 1
–  rank V = 1より、可制御ではない�
40
可観測�
入力が既知であるシステムにおいて、初期時
刻t0から任意の時刻t1までの出力y(t)を観
測することによって初期状態x0の状態が一
意に決定できるとき、可観測
•  x0がわかれば任意の時刻の状態を知ること
ができる
NT =
C
CA
CA2
..
.
CAn
についてrank NT = nの場合
可観測
1
41
可観測�
可観測の条件
C
CA
2
CA
N=
..
.
n 1
CA
についてrank N = nの場合
可観測
条件を満たさない場合、状態変数x(t)の一部が出
力y(t)に影響を及ぼさない
42
例題�
以下のシステムの可観測性について調べよ�
d
dt
x1 (t)
x2 (t)
=
y(t) =
1 0
x1 (t)
0 1
x2 (t)
1 1
x1 (t)
x2 (t)
+
1
1
u(t)
43
例題�
状態x(t)は2次元なので
C=
1
1
CA =
1
1
1
0
0
1
=
1
1
より
C
1 1
T
N =
=
CA
1 1
rank N = 1より、可制御ではない�
44
状態フィードバック制御�
任意の時刻において、状態x(t)の値が制御
に利用可能であるとする。状態変数にある
適当なゲインFを乗じて制御入力を決定
u(t) = F x(t)
˙
x(t)
= Ax(t) + Bu(t) = (A + BF )x(t)
A+BFの固有値を望ましい値になるように��
Fを決定する→極配置法
�
45
例題�
以下の状態方程式で表されるシステム
d
dt
x1 (t)
0
1
x1 (t)
0
=
+
u(t)
x2 (t)
1 1
x2 (t)
1
に対し、システムの極を−1, −2とする状態
フィードバック行列Fを求めよ�
46
例題�
状態フィードバック入力を
u(t) = F x(t) = f1 f2
とすると�
d
dt
x1 (t)
x2 (t)
0 1
x1 (t)
1 1
x2 (t)
=
0 1
1 1
x1 (t)
x2 (t)
=
0
1 + f1
=
1
1 + f2
= (A + BF )x(t)
+
+
x(t)
0
1
0
f1
f1
0
f2
f2
x1 (t)
x2 (t)
x1 (t)
x2 (t)
x1 (t)
x2 (t)
47
例題�
状態フィードバックされた閉ループシステムの
特性多項式は
det (sI
(A + BF )) = det
= det
= s2
s
0
0
1
0
s
1 + f1
1 + f2
s
(1 + f1 )
(1 + f2 )s
s
1
(1 + f2 )
(1 + f1 )
= (s + 1)(s + 2)
= s2 + 3s + 2
48
例題�
係数を比較して
(1 + f2 ) = 3
(1 + f1 ) = 2
f1 =
3
f2 =
4
49
最適制御�
•  1入力で可制御なシステムについては、望ましい
システムの極が与えられれば状態フィードバック行
列Fを求めることができる
•  多入力であるシステムの場合、状態フィードバッ
ク行列が一意に決まらない(不良設定問題)
50
例�
以下の状態方程式で表される2入力システム
d
0
x1 (t)
0 1
dt x2 (t)
状態フィードバックが
x2 (t)
x1 (t)
u1 (t)
=
u2 (t) det (sI
1
=
2
0
0
3
(A + BF )) = det
= det
x1 (t)
x2 (t)
+
0
1 0
0
s
0 1
= s2 + 3s + 2
0
u1 (t)
0
1
u2 (t)
であるとき�
s
s+1
0
1
+
2
0
0
3
0
s+2
51
例�
状態フィードバックが
u1 (t)
=
u2 (t) det (sI
3
0
0
2
(A + BF )) = det
= det
x1 (t)
x2 (t)
であるとき�
s
0
1 0
0
s
0 1
s+2
0
+
3
0
0
2
0
s+1
= s2 + 3s + 2
52
例�
状態フィードバックが
u1 (t)
=
u2 (t) 1
2
1
4
x1 (t)
x2 (t)
であるとき
s 0
1 0
1 1
det (sI (A + BF )) = det
+
0 s
0 1
2
4
s
1
= det
2 s+3
= s2 + 3s + 2
状態フィードバックが異なるが、全て同じ特性
方程式になる�
53
最適制御�
•  解を一意にするため、与えられた制御目標に加
えて、ある評価関数を最小にする制御入力を求める
•  通常は制御入力に関する評価関数を加える
1
J=
2
x(t)T Qx(t) + u(t)T Ru(t) dt
0
Q, Rは適当な次元の定数行列、
Qは半正定な対称行列、Rは正定な対称行列�
•  特に、制御量を一定に保つ定値制御が目的であ
る場合を最適レギュレータ問題�
54
最適レギュレータ問題の解�
リカッチ(Riccati)方程式
AT P + P A P BR 1 B T P + Q = 0
この式を満たすn×nの対称行列Pが存在し、さらに
F = R 1 B T P とおくと
u(t) = F x(t) を用いた閉ループ系
˙
x(t)
= (A + BF )x(t) が安定になるならば、
この制御ゲイン F を使った閉ループ制御系が
評価関数を最小にする
Pは数値的に解く�
55
出力フィードバック�
•  状態変数は直接計測できず、出力から
推定することが多い
–  オブザーバー（状態観測器）を導入して、推
定された状態を用いたフィードバック制御
��可観測であること
56
同一次元オブザーバ�
初期状態x(0) = x0としたシステムを考える
d
x(t) = Ax(t) + Bu(t)
dt
y(t) = Cx(t)
ˆ (t) を状態とした次のようなシステムを考える
x
d
ˆ (t) = Aˆ
x
x(t) + Bu(t) + K (y(t)
dt
2つのシステムの状態の差を取る
ˆ (t)
e(t) = x(t) x
ˆ (t)) ,
Cx
ˆ (0) = x
ˆ0
x
57
同一次元オブザーバ�
d
d
d
ˆ (t)
e(t) = x(t)
x
dt
dt
dt
= (Ax(t) + Bu(t))
= A (x(t)
= (A
行列 (A
ˆ (t)
x
ˆ (t))
x
KC) e(t)
(Aˆ
x(t) + Bu(t) + K (Cx(t)
KC (x(t)
ˆ (t)))
Cx
ˆ (t))
x
e(0) = x(0)
ˆ (0) = x0
x
ˆ0
x
KC) が安定になるように K を選べば
ˆ (t) は x(t) の推定値となる
x(t) となり x
同一次元状態観測器（オブザーバ）�
58
例題�
以下のシステムについて考える
x1 (t)
0
1
x1 (t)
1
d
=
+
u(t)
dt
x2 (t)
1 1
x2 (t)
1
= Ax(t) + Bu(t)
x1 (t)
y(t) = 0 1
= Cx(t)
x2 (t)
に対して、同一次元オブザーバを構成する�
59
例題�
d
dt
x
ˆ1 (t)
x
ˆ2 (t)
= Aˆ
x(t) + Bu(t) + K (y(t)
=
0
1
1
1
x
ˆ1 (t)
x
ˆ2 (t)
+
ˆ (t))
Cx
1
1
u(t) + K
y(t)
0 1
x
ˆ1 (t)
x
ˆ2 (t)
•  このとき、状態と推定値との誤差システ
ムの極が−1, −2となるオブザーバゲイン
Kを求めよ�
60
例題�
状態の推定誤差を e(t) =x(t)
de(t)
=
dt
0
1
1
=
= (A
1
0
1
1
1
x1 (t)
x
ˆ1 (t)
x2 (t)
x
ˆ2 (t)
K
0 1
ˆ (t) とすると
x
K
0 1
x1 (t)
x
ˆ1 (t)
x2 (t)
x
ˆ2 (t)
e(t)
KC) e(t)
K=[k1 k2]Tとすると�
A
KC =
=
0
1
1
1
0
1
1 k1
1 k2
k1
k2
0 1
61
例題�
A−KCの固有値を求める
det (sI
(A
KC)) = det
s
= s2 + (k2
�
1
k1 + 1
s
(1
k2 )
1)s + k1 + 1
この極が−1と−2なので
s2 + (k2
1)s + (k1 + 1) = (s + 1)(s + 2)
= s2 + 3s + 2
よってk1=1, k2=4となるので�
K=
1
4
62
オブザーバによるフィードバック系�
出力から推定された状態をフィードバックする
u(t)
x(t)
y(t)
+�
C�
B�
+�
A�
ˆ (t)
x
F�
オブザーバ�
状態フィードバック行列FとオブザーバゲインK
を安定に設定すれば、フィードバック系は安定
63

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